Teoria dei numeri

Appunti per una lezione
I numeri periodici, introduzione alla teoria dei numeri
di Raffaele MAURO
Istituto Tecnico Commerciale “A.Bianchini” – Terracina
Piet Mondrian,
Broadway Boogie Woogie, 1943
Presentazione
Il lavoro che si presenta è relativo ad attività svolta in un biennio di un Istituto Tecnico
Commerciale. In laboratorio si è fatto ampio uso di Derive 5. In classe è stata disponibile una TI-89
collegata alla lavagna luminosa con ViewScreen.
La rappresentazione decimale delle frazioni proprie m/n con n>=7 ha permesso un approccio
stimolante alla Teoria dei Numeri in cui l’uso degli strumenti informatici si è dimostrato
grandemente efficace.
Ho cercato di sistemare il lavoro svolto con gli allievi presentando un percorso di base, attraverso
alcune schede di lavoro.
Scheda 1
Attività di Laboratorio da svolgersi con Derive
1- Costruire una tabella delle espansioni decimali delle frazioni proprie m/n con n<=7
1/2=0,5
1/3=0,(3)
2/3=0,(6)
2/4=1/2=0,5
3/4=0,75
1/6=0,1(6)
2/5=0,4
2/6=1/3=0,(3)
3/5=0,6
3/6=1/2=0,5
4/5=0,8
4/6=2/3=0,(6)
5/6=0,8(3)
1/7=0,(142857)
2/7=0,(285714)
3/7=0,(428571)
4/7=0,(571428)
5/7=0,(714285)
1/4=0,25
1/5=0,2
6/7=0,(857142)
2. Cosa si può osservare relativamente alla lunghezza della parte decimale ?
- Se si considerano le frazioni ridotte ai minimi termini, l’espansione decimale di m/n dipende solo
da n. In alcuni casi, per n=2,4,5 la parte decimale è finita, mentre per n=3, 6, 7 è periodica. Per n=6
in particolare esiste l’antiperiodo mentre per n=7 le cifre del periodo si ripetono ciclicamente
nell’espansione decimale delle 6 frazioni proprie.
3. Costruire una tabella delle espansioni decimali di 1/n con 7<n<=100 nel caso in cui l’espansione
decimale è finita.
N
8
10
16
20
25
32
40
50
64
80
100
1/n
0,125
0,1
0,0625
0,05
0,04
0,03125
0,025
0,02
0,01563
0,0125
0,01
3a. Cosa puoi notare relativamente ai valori di n?
- sono tutti e soli i numeri divisibili per 2 e/o per 5
3b. Come è legata la lunghezza della parte decimale alla fattorizzazione di n ?
(suggerimento: considera separatamente i casi in cui n è divisibile per 2, poi per 5, poi per 2 e per
5.)
- dato n= 2a.5b la lunghezza della parte decimale è uguale al massimo tra a e b.
4. Con Derive trova i valori di n con 8<= n<=30 per cui l’espansione decimale è periodica e manca
l’antiperiodo:
9
11
13
17
19
23
27
29
4a. Cosa puoi notare relativamente ai valori di n?
- sono numeri primi o potenze di 3.
5. Come sarà l’espansione decimale di 1/14? e di 1/28? e di 1/70?
(suggerimento: considera la fattorizzazione di 14, 28, 70.)
- hanno antiperiodo rispettivamente di 1, 2, 1 cifra mentre il periodo è costituito da 6 cifre (che sono
quelle dell’espansione decimale di m/7).
Negli Elementi (libri VII, VIII, IX) si occupa di divisibilità,
numeri primi, M.C.D., m.c.m…
In particolare nel libro IX degli Elementi si trovano i fondamenti
teorici della Teoria dei Numeri.
Alcuni teoremi fondamentali:
- Principio di Euclide: Un numero primo non può dividere un
prodotto se non divide almeno un fattore. Da cui: Ogni numero si
scompone univocamente in fattori primi (Teorema fondamentale
dell’Aritmetica).
- Esistono infiniti numeri primi.
Euclide (365 a.C. – 300 a.C.)
Scheda 2
Attività da svolgersi con Derive e TI-89
Si fornisce un programma per la TI-89 (rapdec) che fornisce l’espansione decimale di m/n.
1. Con la TI-89 (e rapdec) trova la lunghezza del periodo di 1/n con n numero primo. Cosa accade
se n = 17, 19, 23, 29 ?. E se invece n = 11, 13, 31, 37 ?
- Detta a la lunghezza del periodo se n=17 si ha a=16, se n=19 si ha a=18, se n=23, a= 22…In
generale: a=n-1. Per n=11 si ha invece a=2, per n=13 a=6, per n=31 a=15, per n=37 a= 3… In
generale: a è un divisore di n-1.
2. Un numero n si chiama primo lungo se il periodo di 1/n è di n-1 cifre. Trova i primi lunghi
minori di 100 ?.
7
17
19
23 29 47 59
61
97
3. Considera le frazioni proprie di 41. In che cosa differisce un primo lungo come 7 o 17 da uno
che non lo è, come 13, o come 41?
- Le frazioni proprie di 7 sono numeri decimali con periodo di 6 cifre. Si ha che 1/7=0,(142857).
Moltiplicando per 10 si ha che 10/7= 1,(428571) da cui 3/7=0,(428571). Moltiplicando invece per
100 sia ha 100/7=14,(285714) da cui 2/7=0,(285714) ……..
La scrittura decimale è legata alla divisibilità per 7 e al resto della divisione.
In sostanza si ha : 10≡3 mod 7; 100≡2 mod 7, 1000≡6 mod 7, 10000≡4 mod 7, 100000≡5 mod 7,
1000000≡1 mod 7……Si ha 10^6 ≡ 1 mod 7
- Per le frazioni proprie con denominatore 41 le cose vanno diversamente. Si ha 1/41=0,(02439),
2/41=0,(04878)….
Le frazioni con denominatore 41 si dividono in 8 periodi diversi in quanto le potenze di 10 modulo
41 si ripetono con periodo 5. I numeri che costituiscono il periodo di 1/41, danno luogo a 10/41,
18/41, 16/41, 37/41, per successivi spostamenti della virgola.
Si ha 10^5 ≡ 1 mod 41. Ma anche 10^40 ≡ 1 mod 41
In ogni caso si ha che:
la lunghezza del periodo di 1/n è il più piccolo numero p per cui il resto della divisione di 10p
per n sia 1.
* Per ogni numero primo diverso da 2 e 5 si ha che: 10 n-1 ≡ 1 mod n
(Questo risultato non è legato alla base 10: piccolo Teorema di Fermat)
4. Costruisci una tabella dei numeri primi (n<1000) con espansione decimale di 1/n costituita da 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 cifre rispettivamente.
cifre
2
3
4
5
6
7
8
11
37
101
41
7
239
73
271
13
101
137
5. Costruire una tabella delle espansioni decimali delle frazioni proprie m/n con n<=7 in base due
(con Derive si pone OutputBase:=2).
½=0,1
1/3=0,(01)
2/3=0,(10)
2/4=1/2=0,1
3/4=0,11
1/6=0,00(10)
2/5=0,(0110)
2/6=1/3=0,(01)
3/5=0,(1001)
3/6=1/2=0,1
4/5=0,(1100)
4/6=2/3=0,(10)
5/6=0,11(01)
1/7=0,(001)
2/7=0,01(001)
3/7=0,(011)
4/7=0,(100)
5/7=0,1(011)
¼=0,01
1/5=0,(0011)
6/7=0,(110)
6. Costruire una tabella delle espansioni decimali delle frazioni proprie m/n con n<=7 in base tre
(con Derive si pone OutputBase:=3).
½=0,(1)
1/3=0,1
2/3=0,2
2/4=1/2=0,(1)
3/4=0,(20)
1/6=0,0(1)
2/5=0,(01012)
2/6=1/3=0,1
3/5=0,(1210)
3/6=1/2=0,(1)
1/7=0,(010212)
2/7=0,01(021201) 3/7=0,(102120)
¼=0,(02)
1/5=0,(0121)
4/5=0,(2101)
4/6=2/3=0,2
5/6=0,2(1)
4/7=0,(120102)
5/7=0,1(201021) 6/7=0,(212010)
7. Quali osservazioni puoi fare riguardo la rappresentazione decimale nelle varie basi ?
-
Il fatto che la rappresentazione decimale sia periodica dipende dalla base.
* Se la rappresentazione è periodica in una base b essa è periodica anche in ogni base c con c
divisore di b o potenza di b.
* Anche la lunghezza del periodo dipende dalla base.
Se a e b divisi per n danno lo stesso resto si scrive a ≡ b mod n.
Questa notazione è stata introdotta da Gauss in Disquisitiones
Aritmeticae, un libro di 500 pagine in grande formato, composto tra
il 1797 e il 1800 che è un testo fondamentale nella storia della
Teoria dei Numeri.
Johann Carl Friedrich
Gauss (1777-1855)
La funzione ϕ di Eulero svolge un ruolo importante nella teoria dei numeri.
la ϕ di Eulero per ogni intero n restituisce il numero degli interi primi con n e minori di n.
(La funzione è stata introdotta da Eulero , mentre la notazione ϕ è dovuta a Gauss).
Alcuni risultati relativi alle cose di cui ci siamo occupati e
che coinvolgono la funzione di Eulero:
- Se n non è primo e la rappresentazione decimale di 1/n è
periodica il numero delle cifre del periodo è un divisore di
ϕ(n).
- Dato un numero primo p lungo in base 10, il numero delle
basi in cui è lungo è ϕ(p-1).
La funzione di Eulero gioca un ruolo fondamentale nella
crittografia: La sicurezza del codice RSA dipende
esclusivamente dalla possibilità di calcolare
ϕ(n),
conoscendo il numero primo n e sapendo che n=pq. Riuscire
a fattorizzare un numero primo di qualche centinaio di cifre
è attualmente al di là delle possibilità degli attuali
calcolatori. Per approfondimenti si rimanda all’unità
didattica di Comoglio e Iozzi su “Crittografia a chiave pubblica” .
Piet Mondrian, Composition in
Blue-Gray, and Pink
Leonhard Euler (1707-1783)
rapdec()
Prgm
ClrIO
Disp
Disp “rappresentazione decimale “
Disp “ di una frazione m/n”
Prompt m,n
Local d,c,a,b,r,i,p,st,j
gcd (m,n) → d
If d>1 Then
string(m)&”/”&string(n)&”=”→st
m/d→m
n/d→n
Else
“ “→st
EndIf
st&string(m)&“/“&string(n)&“=“&string(intDiv(m,n))&“.“→st
n→r
0→a
0→b
While mod(r,2)=0
a+1→a
r/2→r
EndWhile
While mod(r,5)=0
b+1→b
r/5→r
EndWhile
max(a,b)→b
0→i
0→p
mod(m,n)→r
While r≠p
If i=b Then
r→p
st&”(“→st
EndIf
i+1→i
intDiv(10*r,n)→c
mod(10*r,n)→r
st&string(c)→st
EndWhile
ClrIO
0→j
While J<6
Disp mid(st,1+j*26,26)
j+1→j
EndWhile
EndPrgm
Piet Mondrian , Composition n.
11, 1913
Bibliografia
G. C. Barozzi, Teoria elementare dei numeri con Derive,
L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate,
Dicembre 1997
G. C. Barozzi, Teoria elementare dei numeri con la TI 89/92,
Ipotesi vol.2 -1999
M. Comoglio, F. Iozzi: Crittografia a chiave pubblica,
http://www2.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Argomenti/Appunti/Crittografia/Crittografia.htm
J. Conway , R. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York, 1996
G. Jones, M. Jones, Elementary Number Theory, Springer-Verlag, 1998
Hardy, Wright, An introduction to the Thory of Numbers, Clarendon Press, Oxford, 1979