Determinazione della frazione generatrice di un numero razionale L

Determinazione della frazione generatrice di un numero razionale
L’insieme dei numeri reali razionali è
Q=
nm
n
o
| m, n ∈ Z, n 6= 0
La rappresentazione decimale di un numero reale razionale q (se n 6= ±1)
si ottiene da quella frazionaria dividendo il numeratore per il denominatore.
La rappresentazione è del tipo:
x, y1 y2 y3 ......
oppure
x.y1 y2 y3 ......
dove x è un numero intero e si chiama parte intera di q e la sequenza
di cifre y1 y2 y3 ...... è detta parte decimale di q.
Il segno (punto o virgola) che separa le due parti dipende dal mezzo di calcolo
utilizzato. Noi utilizzeremo prevalentemente il punto.
Tale rappresentazione decimale se non è finita (costituita cioè da un numero
finito di cifre), è periodica, cioè la parte decimale contiene una sequenza di cifre
che si ripete all’infinito.
Esempi
1
= 0.5
2
7
= 0.875
8
2
= 0.666... = 0.6
3
327
= 1.45333... = 1.453
225
4
−
= −0.363636... = −0.36
11
8
= 1.142857142857... = 1.142857
7
11
−
= −0.7333... = −0.73
15
1353
= 5.412
250
Come ci si comporta per risalire dalla rappresentazione decimale alla frazione
che l’ha prodotta?
Definiamo:
Periodo: la sequenza delle cifre che si ripetono indefinitamente.
Antiperiodo: l’eventuale sequenza di cifre compresa tra il punto decimale e il
periodo.
Numero completo: il numero intero costituito da tutte le cifre della rappresentazione decimale (senza il punto decimale e senza gli eventuali zeri in testa)
fino alla fine della prima ripetizione del periodo.
Numero incompleto: il numero completo, privato del periodo
1
Per i numeri con rappresentazione decimale finita la rispettiva frazione è:
numero privato del punto decimale e degli zeri in testa
10numero di cifre che seguono il punto decimale
Se invece il numero ha rappresentazione decimale infinita (e quindi c’è un
periodo preceduto eventualmente da un antiperiodo) la frazione si ottiene cosı̀:
numero completo − numero incompleto
tanti 9 quante le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante le cifre dell’antiperiodo
Considerando gli esempi precedenti:
5
1
= .
10
2
6−0
6
2
0.6 =
= = .
9
9
3
36
4
−0.36 = −
=− .
99
11
875
875
7
0.875 = 3 =
= .
10
1000
8
1142857 − 1
1142856
8 · 142857
8
1.142857 =
=
=
= .
999999
999999
7 · 142857
7
73 − 7
66
11
−0.73 = −
=−
=− .
90
90
15
1453 − 145
1308
327 · 4
327
1.453 =
=
=
=
.
900
900
225 · 4
225
5412
1353 · 4
1353
5.412 =
=
=
.
1000
250 · 4
250
0.5 =
Osservazione
Tutti i numeri che nella parte decimale contengono un 9 sono uguali al
decimale finito più vicino; ad esempio:
0.9 = 0.999... = 1
1.9 = 1.999... = 2
1.009 = 1.00999... = 1.01
3.709 = 3.70999... = 3.71
−7.29 = −7.2999... = −7.3
Quindi i numeri con questa forma hanno due diverse rappresentazioni decimali; nessun altro numero reale ha due diverse rappresentazioni decimali.
2