M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
DOMANDA 6
Sia data la seguente matrice di transizione A=
·
¸
10
, allora x1 = ...
al tempo 0 è x0 =
20
Metodi Matematici II
Test di Algebra Lineare
DOMANDA 7
Sia data la seguente matrice di transizione A=
·
¸
10
, allora x2 = ...
al tempo 0 è x0 =
10
a cura di Gianluca Fusai e Gianni Longo
SEMEQ - Università del Piemonte Orientale
Anno Accademico 2003-04
¸
·
¸
1
1
, x2 = α
con α ∈ R, sono:
I seguenti vettori x1 =
2
2
a l.i. se α 6= 1; b l.i. ∀α; c l.d. ∀α; d l.d. solo se α = 1;
DOMANDA ·10
1
La matrice A=
2
a r (A) = 1, ∀α;
DOMANDA 3·
¸
1 α
La matrice A =
, α ∈ R, ha:
2 α
a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α;
c r (A) = 2 se α 6= 0;
d r (A) = 2, ∀α;
DOMANDA 4·
¸
1 2
La matrice A =
, α ∈ R, ha:
α α
a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α;
c r (A) = 2 se α 6= 0;
d r (A) = 2, ∀α;
0.4
0.6
¸
. Se il sistema
·
0.8
0.2
0.1
0.9
¸
. Se il sistema
¸
α
, α ∈ R, ha:
4
b r (A) = 1 se α = 2;
d r (A) = 1 se α 6= 1/2;
d r (A) = 1 se α 6= 0;
c r (A) = 2 se α 6= 0;
d r (A) = 2, ∀α;
DOMANDA 11
·
¸
1 −1
La matrice A =
, α ∈ R, ha:
α −1
a r (A) = 2 se α 6= 0; b r (A) = 2, ∀α;
c r (A) = 1 se α = 1; d r (A) = 1, ∀α;
DOMANDA 12
·
¸
·
¸
1 0 1
0 −1
Siano date le seguenti matrici: A=
, B=
, C =
0 1 −1
1 1
0
1 . Allora il risultato del prodotto matriciale B A C è:
−1
1
0.7
0.3
DOMANDA 9·
¸
α α
La matrice A =
, α ∈ R, ha:
α α
a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 0, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0;
·
DOMANDA 5
·
DOMANDA 8·
¸
α−1
α
La matrice A=
, α ∈ R, ha:
α
α−1
a r (A) = 1, ∀α; b r (A) = 2, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 1/2;
DOMANDA 1 (Vecchio ordinamento)
2:
Indicareµ·
quale ¸tra· le seguenti
costituisce
¸¶
µ· ¸ una
· base
¸ ·di R¸¶
2
1
2
1
1
a
,
; b
,
,
;
µ· 1 ¸ · −1¸¶
µ· 1 ¸ ·−1 ¸¶ 1
2
−2
0
4
c
d
,
;
,
;
1
0
1
−2
DOMANDA 2
2
¸
1 2
, con α ∈ R:
3 α
b r (A) = 2 se α 6= 6; c r (A) = 2 ;
Data la matrice A =
a r (A) = 1;
DOMANDA 13
·
1 2 3
La matrice seguente A = 2 2 4 ha rango:
3 4 3
d det(A) = 6 − α;
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
a r (A) = 0;
DOMANDA 14
b r (A) = 1;
c r (A) = 2;
3
d r (A) = 3;
1 2 1
La matrice seguente A= 2 2 0 ha rango:
3 4 1
a r (A) = 2; b r (A) = 1; c r (A) = 0;
a
c
DOMANDA
16¸
·
1 0
Sia A=
. L’inversa di A è:
0 2
·
¸
·
¸
0
2
0 -2
a A−1 =
;
b A−1 =
;
· 1 0
¸
· -1 0
¸
1
0
1/2 0
c A−1 =
;
d A−1 =
;
0 1/2
0
1
DOMANDA
17¸
·
3 0
Sia A=
. L’inversa di A è:
0 2
·
¸
·
0 3
0
a A−1 =
;
b A−1 =
2 0
-2
1/3
0
0
1/2
¸
;
d A−1 =
DOMANDA 18
Se A ∈ R4,4 ha determinante pari a 5:
a det(2A) = 24 ∗ 5; b det(2A) = 23 ∗ 5;
·
1
2;
1 12
0 0
¸
;
·
1/2
0
¸
−1 1 0
:
0 1 1
a ha l’origine come unica soluzione; b non ammette soluzione;;
c ha ∞2 soluzioni; d ha soluzioni (t, t, −t), con t ∈ R;
¸
;
0
1/3
·
DOMANDA 21
1 0 0 2
Il Sistema Lineare con matrice completa: A|B = 0 0 0 0 :
0 1 1 1
a ha ∞1 soluzioni; b non ammette soluzione;
c ha soluzione (2, 1, t), con t ∈ R; d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA 22
0 0 1
Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A = 0 1 0 :
1 0 1
a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;;
c ha ∞2 soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;
DOMANDA 23
-3
0
4
¸
1 12
;
· 0 11 ¸
2 2
;
d
0 1
b
Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A =
R:
·
·
DOMANDA 20
d r (A) = 3;
DOMANDA 15
·
¸
·
¸
1 − 23
1 2
. La matrice B=
La matrice A=
, ha inversa A−1 =
1
0 3
0 3
·
¸
·
¸
0
1
1 1
. Allora il prodotto matriciale 2 (AB)−1
ha inversa B −1 =
1 −1
1 0
è pari a:
c A−1 =
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
¯
1 0 −1 ¯¯ −2
¯
Le soluzioni del sistema lineare avente matrice orlata −3 0 3 ¯ 6 ,
2 1 0 ¯ 0
sono:
a una; b infinite; c nessuna; d due.
¸
;
c det(2A) = 2 ∗ 5;
DOMANDA 24
d det(2A) = 0;
DOMANDA 19
La forma ridotta,
dopo
·
¸ il procedimento di eliminazione Gaussiana, della
4 2
matrice A =
è:
2 3
1 0
Il Sistema Lineare con matrice completa: A|B = 1 1
1 1
a ha ∞1 soluzioni; b non ammette soluzione;
c ha un’unica soluzione; d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA 25
0
0
1
1
1 :
1
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
1 −1 0
Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A = 0 0
0 :
0 −1 −1
a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;
c ha ∞2 soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;
DOMANDA 26
Il Sistema Lineare
½
2x + 1y = 2
4x + 2y = 1
a ha ∞1 soluzioni; b non ammette soluzione;
c ha un’unica soluzione data da (1, 0); d ha un’unica soluzione;
DOMANDA 27
1 0 1 2
Il Sistema Lineare con matrice completa
0 1 0 2 :
0 0 0 0
a non ammette soluzione; b ha soluzione (2, 2, t), t ∈ R;
c ha ∞1 soluzioni;
d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA 28
Risolvendo un sistema lineare si è
matrice completa
1
0
0
Il sistema lineare:
a non ammette soluzione;
c ha ∞1 soluzioni;
DOMANDA 29
Risolvendo un sistema lineare si è
matrice completa
1
0
0
arrivati alla seguente forma ridotta della
0
1
0
2
0
0
2
2
0
b ha soluzione (2,2,1);
d ha ∞2 soluzioni;
arrivati alla seguente forma ridotta della
0
1
0
2
0
0
3
4
0
5
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
Il sistema lineare:
a ha ∞2 soluzioni;
c non ammette soluzione;
b ha soluzione (3,4,0);
d ha ∞1 soluzioni;
DOMANDA 30
Siano A ∈ R3,2 e B ∈ R3 ; il sistema Ax = B ha un’unica soluzione se e solo
se
a r(A) = 1 e r(A|B) = 1; b r(A) = 3 e r(A|B) = 3;
c r(A) = 1 e r(A|B) = 2; d r(A) = 2 e r(A|B) = 2;
DOMANDA 31
Risolvendo un sistema lineare si è
trice completa
0
0
2
Il sistema lineare:
a non ammette soluzione;
c ha ∞1 soluzioni;
arrivati alla seguente struttura della ma-
0
1
0
-1
0
0
2
0
1
b ha un’unica soluzione;
d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA 32
Sia A ∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha una sola soluzione.
Allora il sistema lineare Ax = b:
a è possibile solo se r (A|b) = 2; b ammette unica soluzione ∀b;
c è impossibile, ∀b;
d ammette ∞ soluzioni, ∀b;
DOMANDA 33
Sia A ∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞2 soluzioni.
Allora il sistema lineare Ax=b
a è sempre possibile; b è possibile se r (A|b) = 1
c ammette ∞2 soluzioni, ∀b; d è sempre impossibile, ∀b;
DOMANDA 34
Risolvendo un sistema lineare si è
matrice completa
1
0
0
Il sistema lineare:
arrivati alla seguente forma ridotta della
0
1
0
1
0
0
2
0
0
6
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
a non ammette soluzione;
c ha una sola soluzione;
7
DOMANDA 36
Siano A ∈ R3,3 e b ∈ R3 ; il sistema Ax = b ha un’unica soluzione se e solo
se
a r(A) = r(A|b); b r(A) = 3;
c r(A) = r(A|b) = 2; d r(A) = r(A|b) = 1;
DOMANDA 37
Il seguente sistema lineare
2x + y = 3
4x + 2y = 6
DOMANDA 38
Il seguente sistema lineare con matrice completa
-1 0 1 2
A|b =
0 1 2 0
0 0 0 -2
DOMANDA 39
b non ammette soluzione;
d ha ∞2 soluzioni;
1 0
Il sistema lineare avente la seguente matrice completa 0 1
0 0
a non ammette soluzione; b ha soluzione (2,2,t),t ∈ R
c ha ∞1 soluzioni;
d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA 40
1
0
0
DOMANDA 41
¸
9 8
, allora la distribuzione stazionaria con
1 2
somma delle componenti pari a· 1, è¸data da:
· ¸
· 8 ¸
1
8
a non esiste; b è x = 98 ; c è x =
; d x = 91 ;
1
9
9
Data la matrice T =
1
10
·
DOMANDA 42
Un gestore ha un patrimonio investito in 3 titoli le cui sensibilità rispetto
ad un dato fattore di rischio sono rispettivamente 1.4, 0.9 e 0.8. Le quantità
investite sono 20, 50 e 30. Allora la sensibilità del portafoglio rispetto al
fattore di rischio è:
a 97; b 96;
c 95; d 94;
DOMANDA 43
Si sono individuati 2 fattori di rischio. Un portafoglio è formato da 10 unità
di un titolo avente sensibilità ai due fattori di rischio rispettivamente pari a
2 e −1 e da 5 unità di un altro titolo avente sensibilità pari a −1 e 2 rispetto
ai 2 fattori di rischio. La sensibilità del portafoglio ai due fattori di rischio
è pari a:
a 0 e 15; b −15 e 0; c 15 e 0; d 1 e 1;
a ha un’unica soluzione x = 1, y = 1; b ha infinite soluzioni;
c non ammette soluzione;
d non si può dire nulla;
a ha soluzione (0,-4,2);
c ha ∞1 soluzioni;
¯
1 2 0 ¯¯ 0
¯
Il sistema avente matrice completa:
0 3 6 ¯ 3 :
0 1 2 ¯ α
a è possibile ∀α;
b è impossibile ∀α;
c se α = 1, è determinato; d se α 6= 1, è impossibile;
b (2, 0, 0) è soluzione;
d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA 35
Siano A ∈ R2,3 e b ∈ R2 ; il sistema Ax = b ha un’unica soluzione se e solo
se
a r(A) = r(A|b); b r(A) = 3;
c r(A) = r(A|b) = 2; d mai;
½
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
2
2 :
0
DOMANDA 44
Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,
deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 1. Se i due titoli hanno
sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4
e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:
a n1 = 13, 86, n2 = 8, 9; b n1 = 12, 5, n2 = 10;
15
c n1 = 8, 9, n2 = 13, 86; d n1 = 25
4 , n2 = 4 ;
DOMANDA 45
Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,
deve costruire un portafoglio immune al fattore di rischio. Se i due titoli
hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono
pari a 4 e 5, le quantità da detenere dei due titoli sono:
8
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
9
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
100
a n1 = 13, 86, n2 = 8, 9; b n1 = 150
11 n2 = 11 ;
150
c n1 = 100
,
n
=
;
d
n
=
8,
9,
n
=
13,
86;
2
1
1
11
11
DOMANDA 51
Il polinomio caratteristico della matrice A =
a λ2 + 7λ + 8;
c λ2 − 7λ − 8;
DOMANDA 46
Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,
deve costruire un portafoglio immune al fattore di rischio. Se i due titoli
hanno sensibilità al fattore di rischio pari a −1.5 e 1 e che i loro prezzi sono
pari a 5 e 4, le quantità da detenere dei due titoli sono:
100
a n1 = 13, 86, n2 = 8, 9; b n1 = 150
11 = n2 = 11 ;
100
150
c n1 = 11 , n2 = 11 ; d n1 = 8, 9, n1 = 13, 86;
DOMANDA 52
a λ2 + 7λ + 8;
·
DOMANDA 53
Se A ∈ R4,4 ha eq. caratteristica λ4 + 3λ3 − λ2 + 2λ + 1 = 0, allora:
a det(2 ∗ A) = 24 ; b A non ha inversa; c det(2 ∗ A) = 2; d det(2 ∗ A) = 1;
DOMANDA 54
Se A ∈ R3,3 ha eq. caratteristica −λ3 − λ2 + 2λ + 2 = 0, allora:
a A−1 non esiste; b det(2 · A) = 2;
c det(2 · A) = 4;
d det(2 · A) = 16;
DOMANDA 55
Se A ∈ R3,3 ha eq. caratteristica −λ3 − λ2 + 2λ + 1 = 0, allora:
a A−1 non esiste; b det(2 · A) = 2;
c det(2 · A) = 1;
d det(2 · A) = 8;
25
4 ;
DOMANDA 49
Un gestore che dispone di un capitale di 40 deve costruire un portafoglio
immunizzato ad un fattore di rischio, sapendo che i due titoli hanno sensibilità ad un fattore di rischio di 5 e -3 e che i loro prezzi sono pari a 10. La
quantità da acquistare dei due titoli è:
a n1 = 0, n2 = 0; b n1 = 32 , n2 = − 52 ; c n1 = 52 , n2 = 32 ; d n1 = 32 , n2 = 52 ;
DOMANDA 50
Un gestore con un capitale di 100 deve costruire un portafoglio immunizzato
in presenza di un solo fattore di rischio. Se i due titoli hanno sensibilità al
fattore di rischio pari a 1 e -2 e che i loro prezzi sono pari a 10, le quantità
da acquistare dei due titoli sono:
20
a n1 = 0, n2 = 0; b n1 = 10
3 , n2 = 3 ;
10
c n1 = 2, n2 = 1; d n1 = 20
,
n
=
2
3
3 ;
b λ2 − 7λ + 8;
¸
4 2
, è:
2 3
¸
3 2
, è:
2 4
2
c λ − 7λ − 8; d λ2 + 7λ − 8;
Il polinomio caratteristico della matrice A =
DOMANDA 47
Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,
deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 0. Se i due titoli hanno
sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4
e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono:
a n1 = 0, n2 = 9; b n1 = 150, n2 = 100;
100
c n1 = 0, n2 = 0; d n1 = 150
11 , n2 = 11 ;
DOMANDA 48
Un gestore con un capitale di 100 euro deve costruire un portafoglio immunizzato in presenza di un solo fattore di rischio. Se i due titoli hanno
sensibilità al fattore di rischio pari a 5/10 e -3/10 e che i loro prezzi sono
pari a 10 euro, la quantità da acquistare dei due titoli è:
15
a n1 = 0, n2 = 0; b n1 = 1, n2 = 1; c n1 = 25
d n1 = 15
4 , n2 = 4 ;
4 , n2 =
b λ2 − 7λ + 8;
d λ2 + 7λ − 8;
·
10
DOMANDA 56
Se A ∈ R4,4 ha eq. caratteristica λ4 + 3λ3 − λ2 + 2λ = 0, allora:
a det(A) = 1; b A non ha inversa; c A ha inversa; d det(A) = 2;
DOMANDA 57
·
¸
4 2
La seguente matrice A =
ha autovalori:
2 3
√
√
7
1
7
1
a 1, 1; b 2 + 2 17, 2 − 2 17;
√
√
c 72 , 72 ; d 12 17, 12 17;
DOMANDA 58
9
La matrice A = 0
1
¢¡ 2 6
¡
9
λ − 5λ +
λ − 10
1
10
0 0
6 4 con equazione caratteristica
4 6
¢
1
5 = 0, ha autovalori:
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
a λ1 = 1, λ2 = 9, λ3 = −1;
c λ1 = 1, λ2 = 9, λ3 = 1;
9
b λ1 = 15 , λ2 = 10
, λ3 = 1;
9
1
d λ1 = 1, λ2 = 10
, λ3 = 10
;
DOMANDA 59
La matrice A =
1
10
9 0 0
¡
1 6 5 con eq. caratt. λ −
0 4 5
0, ha autovalori
a λ1 = 1, λ2 = 9, λ3 = 1; b
c λ1 = 1, λ2 = 9, λ3 = 1; d
DOMANDA 60
L’eq. caratteristica di una matrice
allora gli autovalori di A sono:
√
a λ1 = 0.5, λ2 = −1 + 2, λ3
c λ1 = 1, λ2 = 9, λ3 = −1;
11
9
10
¢¡ 2
λ −
11
1
10 λ + 10
¢
=
9
1
λ1 = 0.1, λ2 = 10
, λ3 = 10
;
9
1
λ1 = 1, λ2 = 10 , λ3 = 10 ;
¡
¢
A ∈ R3,3 è (λ − 0.5) λ2 + 2λ − 1 = 0;
√
= −1 − 2;
b λ1 = 0.5, λ2 = 1, λ3 = −3;
d λ1 = 1, λ2 = 9, λ3 = 1;
DOMANDA
61 ¸
·
·
¸
−1 2
−2
Sia A =
. Dato l’autovettore di A, v =
, stabilire quale
1 0
1
tra i seguenti numeri reali sia l’autovalore di A associato all’autovettore v:
a 2; b 1; c -1; d -2;
DOMANDA 62
2 0
0
£
¤T
,
Siano dati la matrice A = 0 1
0 ed il vettore v = 0 −3 1
0 −1 −2
autovettore di A. Allora l’autovalore associato a v è (si usi la definizione di
autovalori-vettori)
a 1; b −1;
c 2;
d −2;
DOMANDA 63
1
Sia data la matrice A= 0
−3
a 0, 1,5; b 1, 5; c
0 0
5 0 . Tutti gli autovalori di A sono:
6 1
1; d 0, 1;
DOMANDA 64
· (Vecchio
¸ ordinamento)
1 3
La matrice A =
:
2 3
a ha rango pari a 1;
b non è diagonalizzabile;
c ha determinante pari a 3 d ha autovalori distinti ;
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
DOMANDA 65
· (Vecchio
¸ ordinamento)
5 4
La matrice A =
ha eq. caratteristica (λ − 1) (λ − 10) = 0. Allora:
5 6
¸·
¸·
¸
·
8
5
1 0
− 13
−1 2
13
a è diag. con A =
4
5
4
0 10
1 4
13
13
b non è diag.;
·
¸·
¸· 5 4 ¸
−1 4
1 0
−9 9
c è diag. con A =
1 ;
1
· 1 5 ¸ · 0 10 ¸ · 9 5 91 ¸
−1 4
0 10
−9 9
d è diag. con A =
1 ;
4
1 5
1 0
9
9
DOMANDA 66
· (Vecchio
¸ ordinamento)
−1 1
La matrice A =
ha eq. caratteristica λ2 + 4. Allora:
−5 1
·
¸·
¸· 5 1 ¸
−1 4
2 0
−9 9
a è diag. con A =
1
4
1
5
0
2
·
¸·
¸· 9 5 9 8 ¸
−1 2
0 2
− 13 13
b è diag. con A =
4
5
4
¸
· 1 4 ¸ · 2 0 ¸ · 13 5 13
−1 4
2 0
− 9 94
c è diag. con A =
1
1
1 5
0 −2
9
9
d non è diagonalizzabile;
DOMANDA 67
1
0
5
Sia data la matrice A= 0
−3 6
seguentivettori
autovettore
è un
0
0
a 0 ; b 1 ; c
1
1
0
0 di cui 5 è un autovalore. Quale tra i
1
di
5?
A associato
all’autovalore
0
1
2 ; d 1 ;
3
1
DOMANDA 68
· (Vecchio
¸ ordinamento)
1 3
La matrice A =
:
3 2
a è diagonalizzabile; b non è diag.;
c ha r (A) = 1;
d non ammette inversa;
DOMANDA 69
· (Vecchio
¸ ordinamento)
9 2
La matrice A =
ha eq. caratteristica (λ − 7) (λ − 10) = 0. Allora:
1 8
12
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
a è diag. con A =
b non è diag.;
·
−1 2
1 1
¸·
7 0
0 10
¸·
− 13
1
3
2
3
1
3
13
¸
¸· 2 2 ¸
7 0
−3 3
;
0 10 ¸ · − 23 32 ¸
0 10
− 13 23
1 ;
1
7 0
3
3
1 2 3
1
Si consideri il sistema lineare Ax = b, dove: A = 2 0 4 , b = 0 .Allora
3 4 1
1
·
−1
· 1
−1
d è diag. con A =
1
DOMANDA 70
c è diag. con A =
¸·
2
1 ¸·
2
1
la seconda componente del vettore soluzione è: R.......................
DOMANDA ·71
¸
α 2α
La matrice A=
, α ∈ R, ha:
2 2
a r (A) = 2, ∀α; b r (A) = 1 , ∀α; c r (A) = 1, se α 6= 0; d r (A) = 2 se α 6= 0;
DOMANDA 72
1 0 1 2
Il Sistema Lineare con matrice completa 0 1 1 2 :
0 1 0 1
a non ammette soluzione; b ha soluzione (1,1,1) c ha ∞1 soluzioni; d ha ∞2 soluzioni;
DOMANDA
· 9 732 ¸
10
10
una matrice di transizione per un sistema con 100
Sia P =
8
1
10
10
elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:
£
¤T
D = ....... ......
DOMANDA 74
·
¸
9 1
Data la matrice A =
, determinare gli autovettori di A associati
0 6
all’autovalore più piccolo, al variare del parametro reale t ∈ R/0:
£
¤T
x = ....... ......
t ∈ R/0
DOMANDA 75
Un gestore ha in portafoglio 10 unità ciascuno di due titoli. I due titoli hanno
prezzo di mercato pari a 10E. Il gestore desidera costruire un portafoglio
immunizzato ad un fattore di rischio. Considerato che i due titoli hanno
sensibilità al fattore di rischio pari a 0.1 e -0.9 rispettivamente, la quantità
da detenere dei due titoli è:
a n1 = 2, n2 = 18; b n1 = 18, n2 = 2; c n1 = 10, n2 = 10; d n1 = 18, n2 = 18;
DOMANDA 76
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
14
Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio
£
¤T
descritto dalla seguente composizione: 0.4 0.6 . Indici di mercato con
£
¤T £
¤T
composizione 1 0
e 0.2 0.8
hanno registrato una performance
rispettivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo non spiegata
dal mercato (ex) è data da:
a ex = 0.5%; b ex = 8.5% ; c ex = 8%; d ex = −0.5%;
DOMANDA 77
Se A ∈ R4,4 ha polinomio caratteristico λ4 + 3λ3 − λ2 + 2λ + 1, allora:
a det(2 ∗ A) = 24 ; b A non ha inversa; c det(2 ∗ A) = 2; d det(2 ∗ A) = 23 ;
DOMANDA 78
Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di
rischio, deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 1. Se i due titoli
hanno sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari
a 4 e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono: R:
DOMANDA 79
La matrice A raccoglie il costo in Euro per ora derivante dall’utilizzo di
diverse materie prime (MP1 , MP2 ) per ciascun impianto (I1 , I2 ). Le materie
I1 I2
prime sono le etichette di riga, gli impianti di colonna: A = M P1 2 3 .
M P2 3 1
Nella matrice B si raccolgono tre diverse ipotesi di ore di utilizzo dei diversi
Hyp1 Hyp2 Hyp3
impianti B = I1
2
3
4 . Sotto quale ipotesi, il costo di
I2
3
1
3
utilizzo della materia prima M P1 risulta maggiore?
a Hyp1 ; b Hyp2 ; c Hyp3 ; d sono tutte uguali;
DOMANDA 80
·
¸
·
¸
1 2
....... ........
1
La matrice A =
, ha inversa: A− =
3 2
....... .......
DOMANDA 81 ·
¸
1 α
La matrice A =
, α ∈ R, ha:
2 α
a r (A) = 1 se α = 2; b r (A) = 1, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0; d r (A) = 2, ∀α;
DOMANDA 82
La matrice A raccoglie il profitto in Euro per unità derivante dalla vendita di diversi prodotti (Libri e DVD) a seconda del fornitore (F1 , F2 ). I
Libri DV D
2
3
.
prodotti sono le etichette di colonna, i fornitori di riga: A = F 1
F2
3
1
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
15
Nella matrice B si raccolgono tre diverse ipotesi di rifornimento dei due
prodotti (quindi B ha in colonna le quantità acquistate di ciascun prodotto)
Hyp1 Hyp2 Hyp3
3
4
4 . Sotto quale ipotesi, il profitto compB = Libri
DVD
3
4
3
lessivo risulta maggiore?
a Hyp1 con F 1; b Hyp2 con F 1; c Hyp1 con F 2; d Hyp3 con F 1;
DOMANDA
· 783
Sia P = 10
3
10
3
10
7
10
¸
una matrice di transizione per un sistema con 100
DOMANDA 84
1 2 3
1
Il sistema lineare Ax = b, con A = 2 0 4 , b = 1 , ammette
3 4 1
2
come seconda componente del vettore soluzione: R:
DOMANDA 85 ·
¸
1 3
La matrice A =
, ha autovalori: R. λ1 = ......; λ2 = ......
3 2
DOMANDA 86
Sia A∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha un’unica
soluzione. Allora il sistema lineare Ax = b
può non ammetè possibile ed ammette
è possibile ed ammetnon è
a
d
; b
;c
tere soluzioni ;
una sola soluzione;
te infinite soluzioni;
possibile;
1 2 3
1 2 3 4 5
4
5
6
e B∈ R3,5 = 2 3 4 5 6 e
Siano A∈ R4,3 =
7 8 9
3 4 5 6 7
10 11 12
C∈ R4,3 = AB. Allora l’elemento c4,4 di C è pari a:
a 200; b 167; c 122; d 77;
DOMANDA 88
4 2
1 2
DOMANDA 89
Data la matrice A =
¸
1
, ha inversa: R: A− =
·
·
4 2
1 2
¸
eb=
·
7 0
0 2
¸
gli autovettori associati all’autovalore più
0
1
¸
16
, il sistema lineare Ax=b ha
R:
DOMANDA 90
Data la matrice A =
]
DOMANDA 87
La matrice A =
·
soluzione:
elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:
R: [
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
piccolo, al variare di t ∈ R/ {0} sono dati da: R: [
]T
DOMANDA 91
Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio
£
¤T
descritto dalla seguente composizione: f ondo = 0.2 0.8 . Indici di
mercato puri hanno registrato una performance rispettivamente del 4% e
del 10%. La performance del fondo si scompone in rf ondo = rmkt + ex, dove
r
= .....
rmkt e ex sono rispettivamente: R: mkt
ex = .......
DOMANDA 92
1 0
1
Il sistema lineare Ax = b dove A = 0 2 , e b = 1 :
1 2
1
non ha
è possibile ed ammetè possibile ed ammetè possibile ed ammeta
b
c
d
te due sole soluzioni;
soluzioni ;
te una sola soluzione;
te infinite soluzioni;
DOMANDA 93
Sia A ∈ R3,3 e si sappia che il sistema lineare Ax = 0 ha ∞ soluzioni.
Allora il sistema lineare Ax = b
può non ammetè possibile ed ammette
è possibile ed ammetnon è
a
d
; b
;c
tere soluzioni ;
una sola soluzione;
te infinite soluzioni;
possibile;
DOMANDA 94
Un gestore ha ottenuto una performance dell’8% gestendo un portafoglio
£
¤T
0.5 0.5 . Indici di mercato
descritto dalla seguente composizione:
¤T
£
¤T £
e 0 1
hanno registrato una performance
con composizione 1 0
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
17
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
·
α2
α
¸
α
, α ∈ R, ha:
α
b r (A) = 2, ∀α; c r (A) = 2 se α 6= 0;
18
rispettivamente del 4% e del 10%. La performance del fondo non spiegata
dal mercato (ex) è data da:
a ex = 1%; b ex = 7% ; c ex = 8%; d ex = −1%;
La matrice A =
DOMANDA 95
·
¸
4 0
1
−
La matrice A =
, ha inversa: A =
1 2
DOMANDA 102
Un gestore ha un patrimonio investito in 3 titoli i cui prezzi presentano
rispetto ad un dato fattore di rischio una sensibilità rispettivamente di 1,
0.5 e 1.3. I quantitativi presenti in portafoglio dei tre titoli sono 20, 40 e 30.
La sensibilità del portafoglio rispetto al fattore di rischio è perciò:
DOMANDA 96
Data la matrice A =
Ax = b sono:
·
4 8
1 2
¸
eb=
·
−4
−1
¸
, le soluzioni del sistema lineare
Data la matrice A =
·
7 −1
0 2
¸
]T
¸
1 −2
. Allora:
k 3
a se k 6= −1, 5 allora r(A) = 2 b se k = −1, 5 allora A−1 esiste
c se k 6= −1, 5 allora r(A) = 1; d se k 6= −1, 5 A−1 non esiste;
DOMANDA 99
·
¸
·
¸
·
¸
−1 0
2
0 −1
2
Siano date le seguenti matrici: A=
, B=
, C=
.
0
−1 1
1 1
−1
Allora il risultato del prodotto matriciale CT BA è:
Si consideri la matrice A =
·
......
DOMANDA 100
0 0 1
Il Sistema Lineare Omogeneo con matrice A = 0 1 1 :
1 0 1
a ha soluzioni (c, c, −c), con c ∈ R; b non ammette soluzione;;
c ha ∞2 soluzioni; d ha l’origine come unica soluzione;
DOMANDA 101
........
gli autovettori associati all’autovalore più
grande, al variare di t ∈ R/ {0} sono dati da: R: [
DOMANDA 98
d r (A) = 1 se α = 1;
DOMANDA 103 ·
¸
· ¸
1 −2
2
Data la matrice A =
ed un suo autovettore v =
, qual è
−1 2
1
l’autovalore cui è associato v?
R:
DOMANDA 97
a r (A) = 1, ∀α;
λ = ......
DOMANDA 104
¯
1
0 −1 ¯¯ −2
3 ¯¯ 6 ,
Le soluzioni del sistema lineare avente matrice orlata −3 0
1 −2 0 ¯ 3
sono:
a una; b ∞1 ; c nessuna; d ∞2 .
DOMANDA 106
Un gestore con un capitale di 100 e in presenza di un solo fattore di rischio,
deve costruire un portafoglio con sensibilità pari ad 0.5. Se i due titoli hanno
sensibilità al fattore di rischio pari a 2 e −3 e che i loro prezzi sono pari a 4
e 5, le quantità da acquistare dei due titoli sono: R:
DOMANDA 106
·
¸
1 2k
La matrice A =
, k ∈ R, ha:
2 k
a r (A) = 1 se k = 1; b r (A) ≥ 1, ∀k;
c r (A) = 2 se k = 0;
d r (A) = 2, ∀k;
DOMANDA 107
La matrice A raccoglie il costo in Euro per unità di 2 diversi semilavorati
(S1, S2) classificati a seconda del fornitore (F1 , F2 ). I prodotti sono le
S1 S2
3 . Nella matrice
etichette di colonna, i fornitori di riga: A = F 1 2
F2 3
1
B si raccolgono tre diverse possibilità di utilizzo dei due semilavorati per
M.M.II U. P. O. A.A. 2003-04. Test di Algebra Lineare
la produzione di un’unità di un certo bene (B ha in colonna le quantità
p1 p2 p3
4
6 . Col vincolo
acquistate di ciascun semilavorato): B = S1 3
S2 5
4
3
che non è possibile ripartire tra i due fornitori l’acquisto dei due semilavorati,
quale combinazione produttiva associata a quale fornitore garantisce il minor
costo di produzione?
a p2 con F 1; b p1 con F 1; c p1 con F 2; d p3 con F 1;
DOMANDA
¸
· 8 108
3
10
10
una matrice di transizione per un sistema con 1000
Sia P =
7
2
10
10
elementi. Allora lo stato stazionario del sistema è descritto dal vettore:
R: [
]
DOMANDA 108
1 2 3
1
Il sistema lineare Ax = b, con A = 2 0 4 , b = 1 , ammette
−1 0 −1
2
come terza componente del vettore soluzione: R:
DOMANDA
109 ¸
·
1 −1
Sia A =
. L’inversa di A è:
0 2
·
¸
. .
R:
. .
19
