Matematica d`argilla: generalizzazione del diagramma quadratico (L

Matematica d'argilla: generalizzazione del diagramma quadratico
(L'anello mancante dei mattoni poligonali regolari)
E' possibile che storicamente l'origine della geometria e
dell'algebra si possa riferire ad un pugno d'argilla? E' possibile
che dalla manipolazione di questa preziosa "materia prima" siano
nati oggetti e figure che, a loro volta definite, movimentate,
composte e scomposte, abbiano dato vita "al primo raggio di luce
sulla buia preistoria dell'algebra geometrica"[1]? E' possibile che
da 4 mattoni d'argilla posizionati a modulo quadrato, magari solo
per la semplice conoscenza empirica delle leggi della statica
applicate alle esigenze costruttive, si possano dedurre gli
"antenati" di concetti algebrico-geometrici come i prodotti
notevoli, il teorema di Pitagora e quello di Carnot, il Rapporto
Aureo, i primi concetti di Equivalenza, di Limite ed Infinito, l'origine e lo sviluppo dei Poligoni e
dei Poliedri regolari, e molto altro ancora? E dimenticavo un piccolo particolare: i 4 mattoni
d'argilla di cui si parla avrebbero ( secondo le tavolette matematiche finora tradotte e
rinvenute) sicuramente più di 3500 anni! Più di 5000 anni secondo l'ipotesi di Aldo Bonet
(tenuto conto che il mattone ha più di 10.000 anni di storia). E' possibile tutto ciò? Se davvero
lo fosse ci troveremmo di fronte ad una scoperta che rivoluzionerebbe la stessa storia della
geometria e dell'algebra, sarebbe "come aver trovato un sito archeologico, con l'ausilio
dell'intuizione, sulle origini del nostro pensiero prescientifico o matematico, dove lo scavo viene
condotto mediante gli strumenti dell'analisi linguistica e della logica empirico-matematica"[2].
Circa un anno e mezzo fa, grazie ad un articolo di Annarita Ruberto , "
Lettera dello scriba: due ipotesi a confronto ", pubblicato sul suo blog
Mate@ticamente , ebbi la possibilità di leggere ed apprezzare un lavoro
enorme di ricostruzione storica e risoluzione algebrico-geometrica di
alcuni famosi problemi delle civiltà arcaiche: i primi tre problemi diretti
analizzati e contenuti nella tavoletta cuneiforme BM 13901 e il primo
problema con sistema della tavoletta cuneiforme AO 8862. Tali
problemi erano sufficienti per estenderli nello stesso modo risolutivo
anche agli altri problemi rimanenti e contenuti nelle stesse tavolette
soprindicate. Più nello specifico, il lavoro si basava sul confronto di due
ipotesi antagoniste di possibili risoluzioni e ricostruzioni storiche: quella
del geom. Aldo Bonet e quella del prof. Jens Høyrup . Il lavoro in questione è " Lettera dello scriba
" il cui autore è Aldo Bonet.
Ora, non sto qui a farvi un sunto, primo perché non ne sarei in grado e secondo perché
risulterebbe irriverente nei confronti di una magnifica opera di ricostruzione storico-matematica
che invece merita di essere letta per intero dall'originale, questo per poterne apprezzare
completamente le diverse fasi logico deduttive che man mano si susseguono e che vengono
sempre supportate da documentazioni e riferimenti storici comprovati. Vi dico solo, tornando
alle domande iniziali di questo articolo ( è possibile che...?), che il buon geometra a queste
domande dà risposte concrete e reali, abilmente dimostrate dal punto di vista logico-matematico
e sempre supportate da precisi riferimenti storici. E per farlo tira fuori dal cilindro un "
Diagramma d'argilla risolvente a modulo quadrato", una sorta di "arnese" per il calcolo e le
composizioni e scomposizioni geometriche. Ebbene, grazie a questa sua intuizione, Aldo
(semplicemente ed amichevolmente solo Aldo da qui in poi) smonta l'ipotesi antagonista del
prof. Jens Høyrup ed allo stesso tempo fa scaturire dal diagramma concetti e personaggi "futuri"
come Pitagora, Euclide e altri. In poche parole lega inequivocabilmente al diagramma d'argilla
a modulo quadrato la primogenia del pensiero algebrico-geometrico. Ecco che la rivoluzione è
compiuta; le va solo dato il giusto e meritato riconoscimento.
Sono partito da lontano, ma ci arrivo, tranquilli che ci arrivo (spero).
Questa premessa era d'obbligo visto che tutto il resto dell'articolo avrà come punto focale il
diagramma d'argilla dell'ormai amico Aldo e senza questa premessa sarebbe stato difficile poter
"presentare" i vari diagrammi d'argilla, questa volta poligonali. Dopo la mia prima lettura della
" Lettera dello scriba" (sono sincero), passato un primo breve periodo in cui ancora mi
riecheggiavano concetti, considerazioni e ricostruzioni dell'amico Aldo, non ci ho più pensato ed
ho continuato il mio percorso di studente curioso senza che nulla di particolarmente significativo
mi fosse rimasto. Avevo letto il lavoro di Aldo in modo probabilmente frettoloso e senza riuscire
a comprenderne appieno l'importanza storico-matematica.
"Galeotto" è stato (come spesso mi accade), un
altro articolo dell'inesauribile Annarita: si
parlava dell' inverso del teorema di Pitagora
interattivamente riscontrabile grazie ad un suo
applet costruito con Geogebra. In quell'articolo,
tramite un suo commento, Aldo propone (spinto
dal ricordo e dai metodi di insegnamento del suo
caro professore di matematica Francesco
Berardi) una piccola sfida: "Un giorno
dovremmo provare a fare con Geogebra il
criterio arcaico dello scivolamento o rotazione
del quadrato che stava alla base dell'arcaico
problema dello scivolamento del palo o della
[3]
canna..." . Più che una vera sfida io l'ho vista come una sorta di gentile richiesta da parte di un
amico che per sua stessa ammissione ha poca dimestichezza con certe tecnologie digitali, quindi,
pur non essendo stato interpellato direttamente, ho voluto provare a realizzare l'applet con
Geogebra. Non vi spiego in cosa consisteva il millenario problema dello scivolamento del palo
perché lo ha già fatto perfettamente Annarita in un altro articolo dove ha voluto inserire il mio
applet e dove è presente un'ottima spiegazione dello stesso Aldo, ripresa da un suo precedente
lavoro: " Genesi del teorema di Pitagora".
Se avete seguito i vari link
proposti, pian piano già si
dovrebbe
cominciare
a
materializzare nella vostra mente
l'ormai onnipresente Diagramma
d'argilla quadratico. Non è così?
Nessun timore, neanche io ci
avevo ancora concretamente
pensato, ma a ricordarmelo arriva
l'ennesimo commento di Aldo:
"con Geogebra, dovresti fare in
modo di costruire sul palo il
diagramma di argilla a modulo
quadrato e farlo scivolare
assieme (assieme al palo)
visualizzando così il variare dei
quadrati costruiti sui cateti e far vedere di conseguenza il variare sincrono delle dimensioni dei
rettangoli interni che lo compongono; anche per rientrare con quello che mi avevi chiesto oggi
sulle dimensioni dei rettangoli e della evidente generalità che il diagramma esprime"[4].
L'obiettivo di Aldo era quello di "svincolare" il diagramma dalla staticità delle tavole cuneiformi
e dei papiri e provare a dargli una sorta di dinamicità ed interattività che un po' gli mancava nel
momento in cui non lo si rappresentava empiricamente con la forza vitale dell'argilla. Ed in questo
la tecnologia di Geogebra poteva essere utile: l'argilla di sicuro utilizzo algebrico-geometrico
più di 3500 anni fa ed i Byte di oggi, una collaborazione fantastica che superava i vincoli del
tempo ed attualizzava ancor di più i segreti algebrico-geometrici che il millenario diagramma
in sé celava.
Detto fatto, arriva il nuovo applet e nuovamente Annarita lo presenta insieme alle considerazioni
di Aldo:
"[...] ho potuto vedere agevolmente ciò che, con fatica, ho sempre tentato di spiegare mediante la
staticità della carta, come tu hai evidenziato con la mia tavola sul criterio di rotazione del
quadrato (frecce, freccine verticali, orizzontali, in movimento ecc). Da ciò scaturisce la mia ferma
convinzione che il diagramma di argilla è stato smontato e trasferito in bidimensionalità da
Pitagora e dalle sue scuole per essere adattato all'epoca, con il solo uso di riga e compasso, al
più "moderno" papiro (l'internet dell'antichità), poiché esso evidenziava la stessa difficoltà
nell'esprimere una fedele rappresentazione grafica tridimensionale e dinamica del diagramma di
argilla babilonese, che, invece, le rinomate scuole mesopotamiche mantenevano in atto, con la
loro tecnica empirica e artigianale. Questa, se pur definita da Platone più appartenente ai comuni
e rozzi operai, era, invece, molto più vicina alle attuali modellazioni tecnologiche e ciò grazie allo
spostamento rigido dei vari pezzi di argilla, effettuato mediante equiscomposizioni,
equicomposizioni, equisovrapposizioni, rotazioni, traslazioni, ribaltamenti ecc., che mal si
conciliavano, purtroppo, con la staticità grafica del papiro [...]" [5]
Fino a questo momento avevo considerato le mie costruzioni con Geogebra un valido ausilio
tecnologico-didattico alla "causa" del diagramma d'argilla e nulla di più; avevo creduto di far
cosa gradita ad Aldo dando al suo lavoro quella dinamicità che il semplice foglio di carta impediva,
ma non avevo ancora preso in considerazione una mia partecipazione attiva ai contenuti. Non ci
avevo neanche lontanamente pensato, non per mancanza d'interesse sia chiaro, ma per puro rispetto
e riverenza verso un lavoro che consideravo completo e perfetto e che quindi non aveva bisogno
di "intrusioni" che ne potessero compromettere la qualità; eppure lo stesso Aldo aveva spesso
messo in evidenza che il diagramma di argilla è solo la cima scoperta di una montagna ancora
interamente sepolta e tutta da scoprire!
Poi si succedono due o tre cose che messe insieme mi fanno capire (non sono così sveglio) che
forse stavo ricevendo "un invito" ad essere più partecipativo in questa pseudo-collaborazione
che si era innescata, dove io vedevo la mia partecipazione finalizzata solo all'aspetto "tecnologico"
mentre invece Aldo mi stava aprendo le porte e mi invitava ad entrare anche con la testa ed il cuore
in quello che era il contenuto reale dei suoi studi.
Arriva la sua terza "sfida": "[...] riusciresti a concludere l'applet
sullo scivolamento del palo estendendolo anche agli altri
diagrammi di argilla? Ovvero al Diagramma a modulo:
Triangolare, Pentagonale, Esagonale, ecc... probabilmente,
nemmeno gli antichi babilonesi avranno fatto una simile
estensione, ma sarà divertente e interessante... anche per me."[6].
Mi spedisce via posta un estratto della sua pubblicazione sul
"Periodico di matematiche" (N°3, Set-Dic 2008) contenente il suo: "Il diagramma d'argilla,
geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l'intera arte algebrica degli antichi
scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle civiltà arcaiche" più
il libro di un altro suo importante lavoro: " La scienza di Talete". Ed inoltre, le nostre
comunicazioni via mail si intensificano. Questa volta non si trattava di creare semplicemente un
nuovo applet, questa volta mi veniva permesso (ma probabilmente questo l'avevo sin dall'inizio)
di "rovistare" costruttivamente in almeno una parte del suo magnifico lavoro di ricostruzione
storico-matematica: la generalizzazione del diagramma d'argilla quadratico verso la
creazione di ennesimi diagrammi poligonali.
E qui ho dovuto riprendere (questa volta più seriamente) la lettura delle
ricerche e studi dello storico Aldo Bonet. E l'ho fatto con molto piacere
anche grazie alla "carta" che mi era stata così gentilmente donata. Io
respiro tecnologia tutti i giorni (come tutti i ragazzi della mia età) ma ho
potuto appurare che la lettura su carta permette una maggiore
concentrazione in quanto scevra da "distrazioni digitali". Mi sono subito
reso conto che per la costruzione dei vari diagrammi avevo un
problema: molteplici erano le costruzioni possibili ed io dovevo adottare
quella che più poteva "adattarsi" alle conoscenze delle civiltà arcaiche in
cui lo stesso problema poteva essersi presentato. Si trattava di fare mentalmente un salto indietro
nel tempo di più di 3500 anni e provare ad immaginare come uno scriba del II millennio a.C. avesse
potuto costruire il suo diagramma d'argilla poligonale. Il grande problema di fondo in cui mi sono
imbattuto è stato la forma geometrica del mattone; il diagramma, qualsiasi fosse il modulo da
"costruire", secondo me, doveva partire sempre dall'elemento primario che era il mattone (es: 4
mattoni rettangolari = diagramma quadratico). Ma Aldo mi aveva mandato l'immagine (figura B)
di un diagramma pentagonale in cui i mattoni avevano la forma trapezoidale. Questo smontava
tutta la mia ipotesi di partenza, ipotesi che ho così cercato di spiegare ad Aldo insieme ai miei
dubbi.
" [...] Ciao Aldo, ecco la mia ipotesi ed i miei dubbi:
1) Pensavo che comunque tutti i diagrammi dovessero partire
dal "mattone" e quindi da un rettangolo iniziale che poi si
distribuisce lungo i lati dell'eventuale poligono. Nel caso del
diagramma quadratico avevamo 4 mattoni che si distribuivano
lungo i lati del quadrato costruito sull'ipotenusa (palo verde), il
tutto a formare il diagramma quadratico (figura A). Quindi, nel
pentagono pensavo 5 mattoni rettangolari, nell'esagono 6 ecc.
Ma poi ho visto la tua immagine (figura B) ed a questo punto ho
il dubbio che il "mattone" debba essere per forza rettangolare
visto che dalla tua immagine sembra sia un trapezio isoscele.
2) L'idea è quella di immaginare una sorta di "cassetta degli attrezzi" per la didattica arcaica
in cui fossero presenti arnesi per il calcolo e le costruzioni o movimentazioni geometriche: il
diagramma a modulo quadrato ne sarebbe l'espressione (come tu hai dimostrato nei tuoi studi) e
comprenderebbe l'uso eventuale del palo, della corda, del mattone, dell'angolo vuoto (squadra) e
dell'angolo pieno (cuneo). Perché sia empiricamente realizzabile la costruzione dei diagrammi
poligonali da uno scriba di 3500 anni fa, avrei però bisogno di sapere se nel periodo storico a cui
ci stiamo riferendo, ci fosse la consapevolezza dei concetti di angolo e di poligoni così come noi
li conosciamo.
3) Pensavo inoltre che le dimensioni dei vari mattoni che si distribuiscono sui lati dell'eventuale
poligono regolare, dovessero variare in egual modo con il variare di X e Y, ovvero le misure dei
cateti del triangolo rettangolo che viene a formarsi tra il palo ed il muro (grigio scuro).
Chiaramente, il variare delle dimensioni dei mattoni porterebbe automaticamente a variare il
poligono regolare interno (rosso chiaro; differenza dei quadrati nel diagramma quadratico) che
viene a formarsi internamente al poligono costruito sull'ipotenusa (verde chiaro).
4) Imponendo come elemento costituente il mattone rettangolare (figura C), io avrei tutti i
riferimenti geometrici per risalire ai 3 poligoni fondamentali che verrebbero a crearsi (verde,
rosso chiaro e grigio tratteggiato) e si tratterebbe di riferimenti geometrici elementari (spigoli)
facilmente riscontrabili anche empiricamente. I due spigoli coincidenti con la diagonale del
mattone (nel nostro caso il palo verde), considerando mattoni identici che andrebbero a
distribuirsi a modulo poligonale (pentagonale nel nostro esempio), coinciderebbero con il
pentagono verde costruito sulla diagonale dello stesso mattone. Gli spigoli interni dei mattoni
coinciderebbero con il pentagono rosso chiaro e quelli esterni con il pentagono grigio
tratteggiato.
5) Questo tipo di costruzione che prende come riferimenti gli spigoli dei vari mattoni movimentati
per la costruzione dei diagrammi poligonali, mi potrebbe permettere anche di generalizzare
algebricamente le due formule presenti nel diagramma a modulo quadrato (figura A:
;
), ovvero il quadrato della differenza e quello della
somma.[...]"
"[...] Ciao Marco, io ho buttato lì così la sfida, pensando ai miei
diagrammi rigidi, però mi è piaciuto questo tuo pensiero, questo
giusto approccio storico di pensare. Potrebbe anche essere,
come dici tu, un modo alternativo per raggiungere la scoperta
dei poligoni regolari e poteva essere anche quello di disporre i
mattoni a ventaglio, aperti di un angolo per costruire delle figure
consecutive ( 3,4,5,6,7, 8 lati ecc..). I miei diagrammi hanno
strutture di mattoni trapezoidali rigide con misure angolari
obbligatorie confortate anche da tavolette e problemi esistenti,
il tuo è molto più dinamico e mi piace. Sinceramente, all'inizio,
come tu ben sai, quando ho visto frettolosamente il tuo diagramma avevo pensato ad un tuo errore,
ma poi, le tue parole iniziali della tua successiva e-mail, di cui al primo punto, hanno risvegliato
in me l'identico approccio prima di incamminarmi verso un passato remoto e così, sono andato a
rivedere e focalizzare meglio il tuo applet; ho capito subito di aver commesso io l'errore e di
essere in realtà davanti ad una nuova e meravigliosa scoperta!...Dovevo immediatamente
sperimentare in laboratorio questa tua grande scoperta ed ho constatato che il tuo risultato non
era poi così diverso dal mio,anzi, direi che il tuo, che inizialmente pensavo alternativo, era
senz'altro migliore, ora posso preannunciarti che per la genesi è addirittura primordiale al mio e
lavorandoci empiricamente posso dimostrartelo (figura D). Come laboratorio empirico per te, per
i tuoi mattoni poligonali rettangolari, sono andato a prendere quelli veri (poiché l'argilla conserva
da sempre le sue antiche vibrazioni); cinque mattoni rettangolari e cinque cannette colorate color
rosa e..., funziona perfettamente! Nell'imbastirli correttamente a girotondo ( formando coi mattoni
un circolo chiuso perfetto), gli angoli di 18°si formano quasi automaticamente in modo empirico
senza conoscerne il loro valore, a differenza di quelli trapezoidali in cui si rende necessario
ricavarne il giusto angolo di costruzione attraverso vari e vari tentativi empirici. Ti invito a
continuare seguendo le tue intuizioni anche perché l'essere sgombri di nozioni e pieni di un
approccio genuino porta la mente libera a ripercorre strade semplici e genuine: strade nuove e
strade antiche. Questo era anche il pensiero e la convinzione di due ottimi storici della
matematica: il professor Tullio Viola e il professor Bruno Rizzi.
Riguardo al concetto di angolo, l'uomo delle civiltà arcaiche lo conosceva più come forma che
come vera grandezza! Secondo Jeans Høyrup, "Lettera dello Scriba", "Le origini", pag 112 ( pag
13 di Jeans Høyrup): "Non c'era un concetto di angolo come quantità misurabile. Distinguevano
solo fra angoli praticamente retti (angoli rilevanti per il calcolo delle aree) e angoli obliqui ( e
perciò irrilevanti)". Mentre i poligoni erano conosciuti con l'empirismo come hai fatto tu con i
tuoi mattoni. Ci sono anche tavolette (del periodo di Hammurabi) che evidenziano poligoni
regolari iscritti in un cerchio, quindi con un concetto grafico molto preciso.
Fig. 1
Fig 2
Le Fig 1 e 2 sono rispettivamente il fronte e il retro di una stessa tavoletta contrassegnata come
TMS2 risalente ad un periodo un po' anteriore ad Hammurabi o antica Babilonia. Nella Fig 1 è
presente un ettagono regolare, mentre nella Fig 2 è presente un esagono regolare, entrambi
iscritti in un cerchio.
Queste tavolette sono state rinvenute in una missione archeologica in Iran, tradotte e studiate da
E.M. Bruins e M.Rutten e poi pubblicate in un libro dal titolo: Textes Mathématiques de Suse
(Testi matematici di Susa), Parigi 1961. Questa tavoletta dimostra anche una certa teoria
numerica dei poligoni regolari confermata da un terzo testo dentro il quale ci sono 70 costanti
per il pentagono, l'esagono e l'ettagono. Il problema esposto proponeva di calcolare l'altezza di
uno dei triangoli interni componenti.
Anche un favo era una buona visione poligonale fatta in natura, una ragnatela poi, poteva anche
dare l'idea delle prime imbastiture poligonali, il triangolo, il quadrato, il rombo erano mimetizzati
tra l'intreccio dei rami e il rettangolo tra l'intreccio dei tronchi. Questi erano gli input della
geometria poligonale visiva dell' uomo delle civiltà arcaiche; molto più scorgeva sfere e cerchi
celesti, raggi solari, rette che squarciavano le nubi, ellissi nelle ombre e nelle sezioni degli alberi,
elicoidi nelle conchiglie, cerchi concentrici intersecanti..buttando dei sassi nell'acqua ecc...
Questo è sufficiente per farti capire l'emozione enorme che deve aver provato l'uomo arcaico
quando è riuscito perfettamente a ricreare con le sue mani la geometria della natura circostante
e soprattutto quando è riuscito seguendo l'ordine dei numeri naturali a creare nuove figure
poligonali e poliedriche regolari sconosciute alla stessa natura visiva !.....L'inizio della logica
matematica prescientifica.
Fig 3
Nella Fig 3 è presente una tavoletta risalente al periodo dell'antica Babilonia dove sono presenti
dei problemi sul quadrato, sia sul fronte che sul retro. Un quadrato unitario scomposto in varie
sottofigure geometriche componenti in cui lo scriba si propone di ricavare la somma totale delle
superfici complessive. Contrassegnata come BM 15285 è stata studiata e tradotta da F.
Thureau-Dangin in Textes Mathématiques Babyloniens,Leiden E.J.Brill 1938 e da Otto
Neugebauer in Mathematische Keilschrift-Texte, Berlino 1935.[...]"
Avevo la sensazione (che più avanti verrà dimostrata)
che Aldo sapesse bene dove il mio ragionamento mi
avrebbe portato ma, da buon allievo di un Maestro, mi
lasciava libero di spaziare senza condizionamenti nella
speranza che i suoi semplici stimoli sotto forma di sfide,
mi portassero a ripercorrere strade che lui ben conosceva
ma che se si fosse limitato a descrivermele, mi avrebbe
tolto il gusto della scoperta e quindi la completa
consapevolezza. A questo punto, ricevuta la
"benedizione" dello storico della matematica, non mi
rimaneva che proseguire.
Partendo da una prima generalizzazione, ovvero quella
grafica, con Geogebra ho costruito vari diagrammi
(triangolare, quadratico, pentagonale, esagonale, ettagonale e ottagonale). L'applet in questione
è stato realizzato cercando di simulare la costruzione empirica che Aldo ha dimostrato
fisicamente possibile (figura D) imbastendo materialmente mattoni a girotondo ed in un circolo
perfettamente chiuso, facendo coincidere i giusti spigoli dei mattoni e sugli stessi costruendo i
diversi poligoni. L'interattività dell'applet permette il ridimensionamento simultaneo della
dimensioni del mattone "originario costituente" (X e Y) semplicemente trascinando il punto
alla base del palo verde (diagonale del mattone e quindi ipotenusa del triangolo rettangolo grigio
scuro). La tecnologia di Geogebra permette movimentazioni (traslazioni e rotazioni) e
sovrapposizioni (tramite diverse spunte) dei diversi elementi geometrici e questo consente
osservazioni geometriche e verifiche algebriche difficilmente praticabili su di una semplice
tavoletta cuneiforme o su un papiro di 3500 anni fa. L'ipotesi iniziale di un mattone originario
costituente che si moltiplica volte, che si movimenta a modulo poligonale e i cui spigoli sono
generatori di nuovi poligoni, grazie a Geogebra è stata verificata e quindi il primo obiettivo, ovvero
quello della generalizzazione di un metodo empirico-tecnologico di costruzione geometrica di
-esimi diagrammi poligonali. In qualche modo il diagramma d'argilla a modulo quadratico è
stato "ricondotto" in una più generale regola poligonale come è probabilmente giusto che sia visto
che il quadrato altro non è che un poligono regolare di 4 lati; un poligono regolare che nella sua
"particolarità" genera nuovi assiomi (es: il parallelismo a due a due dei lati...). L'applet è stato
anche pensato come uno strumento per l'osservazione dinamica degli aspetti geometrici ed
algebrici che i diagrammi poligonali celano e che lo storico Aldo ha intuitivamente svelato
dall'osservazione "fisica", studiato e dimostrato nei suoi lavori di ricostruzione storico-matematica.
Lascio a voi l'osservazione e le riflessioni ricordando che l'applet è solo uno strumento di supporto
ad uno studio più approfondito che può essere fatto solo alla fonte.
Questa mia generalizzazione geometrica dei vari diagrammi ha però un grossissimo difetto:
non ha riscontri storici ravvisabili in un qualche documento o tavoletta antica; non ci sono reperti
archeologici che possano confutare una costruzione poligonale dei diagrammi così come io l'ho
ipotizzata. Si tratta quindi solo di una ricostruzione fantasiosa senza alcuna pretesa storica.
OK, mi sono divertito. Per un po' ho indossato il cappello di Indiana Jones alla ricerca di una
relazione geometrica generatrice perduta, ma non ci sono riuscito (credevo).
Poi... mi arriva un file .DOC di Aldo. Il titolo: "L'anello mancante dei diagrammi poligonali".
Scrive Aldo: "Ti avevo preannunciato che il tuo metodo potesse essere addirittura primordiale al
mio e che lavorandoci un po' empiricamente avrei potuto dimostrartelo. Segue la dimostrazione
fatta con mattoni reali, una dimostrazione empirica limitata al caso del diagramma pentagonale,
la cui validità si può estendere in forma generale"
A partire dai mattoni poligonali rettangolari e primordiali (es: diagramma pentagonale)
per passare ai mattoni trapezoidali poligonali dei miei diagrammi a modulo poligonale, è
sufficiente considerare che l'angolo di apertura (il tuo ) è identico all'angolo di taglio dei mattoni
ancora crudi, aventi come facile direttrice il fianco dei mattoni.
Si possono quindi delineare tutti i vari tagli da effettuare sul diagramma pentagonale
e inciderne i vari pezzi triangolari per separali dalla struttura del diagramma primordiale
I pezzi così equiscomposti si equicompongono perfettamente negli angoli di apertura (i tuoi )
Imbastendo così la rifinitura del diagramma e delineando le successive foggiature del modulo
pentagonale, come volevasi dimostrare:
Voi capirete la mia gioia nel vedere questa dimostrazione. La sensazione che avevo avuto era
corretta: Aldo mi aveva lasciato giocare con il cappello di Indiana Jones, aveva intuito che il mio
metodo primordiale mi avrebbe portato ai suoi diagrammi pentagonali rigidi ed alla fine ha voluto
regalarmi questa dimostrazione empirica che secondo lo storico svelerebbe l'esistenza
dell'anello mancante per il passaggio tra il diagramma d'argilla a modulo quadratico e gli altri
diagrammi poligonali rigidi documentabili storicamente. L'anello primigenio mancante tra le
primitive foggiature fatte con mattoni rettangolari e quadrati che probabilmente hanno condotto
alla scoperta dei primi poligoni regolari e le equivalenti foggiature trapezoidali successive che
hanno condotto ai diagrammi poligonali rigidi. La possibile compatibilità storica di questo
originario passaggio nel quale mi sono imbattuto "accidentalmente" andrà sicuramente studiata ed
approfondita, ma questo sarà compito dello storico della matematica antica Aldo Bonet, io sono
già soddisfatto di essere arrivato fin qui grazie allo stimolo ed al preziosissimo aiuto dell'amico
Aldo.
Ma lasciamo le costruzioni e generalizzazioni geometriche e proviamo a gustare un po' di algebra
elementare, anche se in questo caso non potranno esserci riscontri storici con le civiltà arcaiche
visto che mi servirò di un po' di sana trigonometria e di alcune conoscenze algebriche sui poligoni
regolari.
Come egregiamente dimostrato nei suoi studi da
Aldo, l'area del quadrato interno del diagramma d'argilla a modulo quadrato corrisponde
sempre ad
(figura A), poiché il lato di questo quadrato è proprio
. Con l'ausilio
dell'apposito applet di Geogebra, si può facilmente constatare che anche al variare delle
dimensioni del mattone rettangolare (X e Y), l'area del quadrato interno (rosso chiaro)
corrisponderà sempre al quadrato della differenza delle dimensioni del mattone.
Volendo generalizzare questo concetto anche ai diagrammi poligonali, la precedente relazione
perde la sua validità. Sorge così, quindi, l'esigenza di trovare una nuova relazione valida per
diagrammi basati su poligoni regolari con numero di lati diverso da 4.
Immaginiamo quindi di costruire il diagramma d'argilla basandoci su un poligono -gonale
(poiché il numero di lati è una variabile, la figura successiva presenta solo alcuni lati di questo
poligono):
Osservando attentamente la figura, possiamo notare che presenta, in maniera ripetitiva, sempre lo
stesso quadrilatero (evidenziato in blu), di fondamentale importanza poiché uno dei suoi lati
coincide con quello del poligono interno la cui area stiamo tentando di generalizzare.
Come possiamo notare, inoltre, questo quadrilatero è il risultato della composizione di metà del
nostro mattone rettangolare (quindi il triangolo rettangolo con cateti X e Y) e un ulteriore triangolo
scaleno di cui conosciamo solo due lati (X e Y) ed un angolo ( ). Sarà quindi importante calcolare
l'ampiezza dell'angolo .
Essendo l'angolo
l'angolo interno del poligono -gonale costruito sull'ipotenusa del triangolo
rettangolo di partenza, la sua ampiezza è pari a
( angoli interni di un poligono regolare ) . I due angoli
ad esso adiacenti e sono gli altri angoli non retti del triangolo rettangolo di partenza. e saranno
quindi complementari, e, di conseguenza,
.
Torniamo al quadrilatero che stavamo precedentemente analizzando, e focalizziamoci sul triangolo
scaleno a sinistra. Tracciandone l'altezza relativa al lato , lo suddividiamo in due triangoli
rettangoli.
Troviamo le misure dei cateti del triangolo rettangolo
:
( definizione di coseno )
( definizione di seno )
A questo punto, calcoliamo l'ipotenusa (che poi è il lato del poligono interno la cui area stiamo
cercando) con il teorema di Pitagora.
(nota:
, indipendentemente dal valore di . Ulteriori informazioni su questa identità trigonometrica.)
(nota: il procedimento che abbiamo appena utilizzato riconduce al teorema di Carnot ; poiché verrà riutilizzato successivamente,
se ne consiglia l'approfondimento)
Per calcolare l'area del poligono possiamo utilizzare la relazione con l'apotema.
In ogni poligono regolare l' apotema è pari a:
dove è il numero di lati del poligono, e è la misura del lato (nel nostro caso specifico
).
L'area del poligono sarà quindi pari a:
Inseriamo in questa relazione il valore
trovato precedentemente:
Siamo così giunti a ricavare una relazione valida per diagrammi basati su poligoni regolari
con un qualunque numero di lati.
Per dimostrare comunque la validità della relazione del diagramma quadratico
,
utilizziamo la formula appena trovata, e consideriamo il caso particolare del diagramma a modulo
quadrato in cui
.
Così come siamo riusciti a generalizzare l'area del poligono interno di qualsiasi diagramma
-gonale, ora tenteremo di raggiungere il medesimo obiettivo per il poligono esterno (grigio
tratteggiato), in modo tale da generalizzare la relazione
nei suoi studi (figura A).
, anche essa dimostrata da Aldo
Il poligono esterno (tratteggiato in grigio) va a delineare un nuovo triangolo (evidenziato nella
figura successiva in blu) del quale conosciamo due lati (corrispondenti ad X e Y, i lati dei mattoni),
e il terzo corrisponde al lato del poligono esterno la cui area stiamo tentando di generalizzare.
Seguiremo quindi lo stesso procedimento adottato precedentemente.
Per trovare l'ampiezza dell'angolo , consideriamo l'angolo giro che ha vertice sul punto
evidenziato in nero: due angoli che lo compongono sono retti, mentre un terzo è proprio . Quindi:
Grazie al teorema di Carnot:
Ricordando i teoremi di addizione e sottrazione di seni e coseni:
Da cui ne consegue che:
Ricordando il valore dell'area calcolato tramite l'utilizzo dell'apotema, giungiamo a:
Anche qui, per
abbiamo:
In conclusione, da questa generalizzazione algebrica, abbiamo ricavato due formule che ci
permettono di calcolare facilmente le due aree poligonali (quella interna rossa e quella
esterna grigia) semplicemente conoscendo le dimensioni del mattone (X e Y) e il numero dei
lati ( ) del poligono. Notare come le due formule sembrino identiche mentre in realtà si
differenziano proprio a causa del segno (negativo o positivo) davanti al doppio prodotto delle
dimensioni ( 2XY ) del mattone originario; differenza che ritroviamo anche in figura A,
;
, ovvero il quadrato della differenza e quello della somma nel
diagramma d'argilla risolvente a modulo quadrato.
dove
Il tutto può essere quindi sintetizzato come:
Un sentito ringraziamento allo storico della Matematica antica (nonché amico) Aldo Bonet, che
con pazienza e continui stimoli ha permesso la stesura di questo articolo; una collaborazione
essenziale senza la quale non sarei riuscito a portare a termine questo piccolo "lavoro" di
ricostruzione e generalizzazione dei diagrammi d'argilla poligonali con mattoni rettangolari
originari.
Marco Cameriero
Note:
1,2,3,4,5,6: Frasi e pensieri di Aldo Bonet riprese dalle sue pubblicazioni scientifiche indicate e
dai commenti esposti sui precedenti post citati e presenti sul blog Matem@ticamente della
professoressa Annarita Ruberto.
Sitografia e bibliografia dello storico della Matematica Aldo Bonet, più qualche consiglio alla
lettura:
Lettera
dello
scriba:
due
ipotesi
a
confronto
Genesi
del
teorema
di
Pitagora
- Il diagramma d'argilla, geometrico risolvente a modulo quadrato, che governava l'intera arte
algebrica degli antichi scribi. Un paradigma che ha aperto le porte alla Cultura Matematica delle
civiltà arcaiche. "Periodico di Matematiche" organo della Mathesis N°3 Set-Dic 2008, Vol1 Serie
X Anno CXVIII, scaricabile gratuitamente dal sito Storia della matematica
- Le possibili origini geometriche del principio della semisomma e semidifferenza delle incognite
in uso presso i babilonesi e sue applicazioni. "L’educazione Matematica" Dicembre 1989 Anno X
Serie II-Vol.4. Rivista quadrimestrale a cura del centro di ricerca e sperimentazione
dell’educazione matematica di Cagliari, scaricabile gratuitamente dal sito Storia della matematica
La
Scienza
di
Talete
Dal
blog
Matem@ticamente
della
professoressa
Annarita
Ruberto:
Bhaskara
e
una
dimostrazione
del
teorema
di
Pitagora
- E’ arrivato a scuola il millenario diagramma di argilla a modulo quadrato
Bronowski
sul
teorema
di
Pitagora
- Il diagramma di argilla, soltanto casualità?
Per approfondire la Storia della Matematica e confrontare le sue pubblicazioni scientifiche, Aldo
Bonet
consiglia
ed
io
condivido
le
seguenti
letture
:
"C’è
spazio
per
tutti"
di
Piergiorgio
Odifreddi
(Mondadori
2010)
- "La matematica. I luoghi e i tempi" di C. Bartocci e P. Odifreddi (Einaudi, Torino, 2007)
"Lengths,
Widths,
Surfaces"
di
Jens
Høyrup
(Spinger
2002)
- "Amazing Traces of a Babylonian Origin in Greek Mathematics" di Jöran Friberg (World
Scientific
2007)
- "Unexpected Links between Egyptian and Babylonian Mathematics" di Jöran Friberg (World
Scientific
2005)
- "A Remarkable Colllection of Babylonian Mathematical" di Jöran Friberg (Springer 2007)
- "La matematica delle civiltà arcaiche" di Livia Giacardi e S.C. Roero (Stampatori Didattica
Torino
1979)
"Storia
dell’algebra"
di
Silvio
Maracchia
(Liguori
2009)
"Storia
della
Matematica"
di
Carl
B.
Boyer
(Mondadori
2011)
- "Breve storia del pensiero scientifico" di Charles Singer (Enaudi 1961)
"Antico
Oriente"
di
Mario
Liverani
(Laterza
2009)
"La
Musica
di
Pitagora"
di
Kitty
Ferguson
(Longanesi
2009)
"The
Ascent
of
Man"
di
Jacob
Bronowski
(Little
Brown
1973)
"Storia
universale
dei
numeri"
di
Georges
Ifrah
(Mondadori
1983)
- "Il mattone e la sua storia, 8000 anni di architettura" di James W.P. Cambell (Dolis edizioni
2003)
- "Dangin in Textes Mathématiques Babyloniens" di F. Thureau (Leiden E.J.Brill 1938)
- "Mathematische Keilschrift-Texte" di
Otto
Neugebauer (Berlino
1935)
- "le Scienze esatte nell’Antichità" di Otto Neugebauer (Feltrinelli 1974)
- "Mathematical Cuneiform Textes" di Otto Neugebauer e A. Sachs (American Oriental Society
1945)
- "Textes Mathématiques de Suse" di E.M. Bruins e M.Rutten (Parigi 1961)