Analisi delle serie storiche

Analisi delle serie storiche
parte V Modelli autoregressivi
a.a. 2016/2017
Statistica Economica ‐ Laurea in Relazioni Economiche Internazionali
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Definizioni introduttive
Autoregressione: modello di regressione che spiega una
serie temporale con i suoi valori passati
Autocorrelazione o correlazione seriale: correlazione di
una serie storica con i propri valori ritardati
Si definisce p‐esima autocovarianza di una serie Yt la
covarianza tra il valore assunto dalla serie al tempo t e il
valore assunto p periodi precedenti:
autocovarianzap = cov(Yt,Yt‐p)
mentre la p‐esima autocorrelazione (o p‐esimo
coefficiente di autocorrelazione) è data da:
autocorrelazionep=corr(Yt,Yt‐p)=p= cov( Y , Y t  p )
t
var( Y t ) var( Y t
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 p
)
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Modelli autoregressivi
Modello autoregressivo del primo ordine AR(1)
Yt = 0+1Yt‐1+ut dove ut ≈ NID(0, σu2)
previsione al tempo T del valore al tempo T+1:
prevYT+1lT = b0+b1YT
dove b0 e b1 sono gli stimatori OLS del modello
di regressione delle osservazioni Yt sulla
osservazione immediatamente precedente
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Modelli autoregressivi
Modello autoregressivo del p‐esimo ordine AR(p)
Yt = 0+1Yt‐1+ … + pYt‐p + ut
dove ut ≈ NID(0, σu2)
previsione al tempo T del valore al tempo T+1:
prevYT+1lT
= b0 + b1YT + … + bpYT‐p+1
dove b0, b1, … bp sono gli stimatori OLS del modello
di regressione delle osservazioni Yt sulle p
osservazioni precedenti
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Scelta dell’ordine del modello AR
• Trade‐off fra la semplicità dei modelli di ordine
più basso e la (eventuale) maggiore capacità
esplicativa di quelli di ordine superiore. Se
l’ordine dell’autoregressione è troppo basso si
tralasceranno le informazioni contenute nei
valori ritardati più lontani, se troppo alto si
stimeranno più coefficienti del necessario,
introducendo errori di stima aggiuntivi nelle
previsioni
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Scelta dell’ordine del modello AR
Test di significatività del parametro autoregressivo di
ordine più elevato
Si inizia con un modello con molti ritardi e si verifica
man mano la significatività del coefficiente relativo al
ritardo finale.
n  2p 1
t
NB per p=1 si ha
tn  3 
 bp  p
Sbp
b1   1
s(b1)
(Yt 1Y )
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Scelta dell’ordine del modello AR
Se l’ipotesi nulla H0: p=0 viene accettata, si passa da
un modello AR(p) a un modello AR(p‐1) C’è però il
rischio (pari all’errore di I specie, , probabilità di
rifiutare H0 quando è vera) di stimare comunque
modelli con ritardi troppo lunghi.
Criteri alternativi:
BIC Criterio d’informazione bayesiano (detto anche SIC,
Criterio d’informazione di Schwarz)
AIC Criterio d’informazione di Akaike
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Scelta dell’ordine del modello AR
• BIC
indicando con SSR(p) la somma dei quadrati dei
residui del modello AR(p) scegliamo il valore di p
che rende minima la quantità
ln T
 SSR ( p ) 
BIC ( p )  ln 
  ( p  1)
T
 T

si osservi che il primo termine diminuisce (o
comunque non cresce) al crescere del numero
dei p regressori Yt‐p mentre il secondo aumenta
con l’aumentare di p
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Scelta dell’ordine del modello AR
• AIC
2
 SSR ( p ) 
AIC ( p )  ln 

(
p

1
)

T

 T
per un numero di osservazioni T superiore a 8
(ln8=2,08) il secondo termine è più piccolo
rispetto al precedente: quindi basta una
riduzione più piccola in SSR(p) per passare da un
modello con p‐1 ritardi ad uno con p ritardi.
Teoricamente, dunque, l’uso del criterio AIC
potrebbe portare ad una sovrastima dell’ordine
del modello.
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Costruzione del modello AR(p) per una serie annuale
• Scelta dell’ordine p del modello
• Stima del modello di regressione multipla AR(p)
• Si testa l’ipotesi H0: p=0. Se H viene rifiutata il
modello stimato viene usato per rappresentare la
serie e fare previsioni. Se H0 viene accettata si
stima un modello AR(p‐1) e si testa l’ipotesi H0:
p‐1=0. Il processo continua fino ad individuare un
modello AR(k) per cui l’ipotesi H0: k=0 viene
rifiutata
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Scelta del tipo di modello per interpolare la serie storica
Analisi dei residui
• errore standard della stima, su
• deviazione media assoluta
n
MAD 

Y t  Yˆt
t 1
n
Principio di parsimonia
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Analisi delle serie storiche infra‐annuali
• Se la cadenza della serie storica è inferiore all’anno, occorre tener conto della stagionalità
• Per inserire nel modello di regressione la componente stagionale si introducono delle variabili dummy stagionali.
• Ad es. per dati Yt mensili si introducono 11 variabili indicatrici M1t=1 se il mese t è gennaio, 0 altrimenti
…
M11t=1 se il mese t è novembre, 0 altrimenti
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Analisi delle serie storiche infra‐annuali
• Per dati Yt trimestrali si introducono 3 variabili indicatrici Q1t=1 se il trimestre t è il primo, 0 altrimenti
Q2t=1 se il trimestre t è il secondo, 0 altrimenti
Q3t=1 se il trimestre t è il terzo, 0 altrimenti
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Cenni sui modelli ARIMA
I modelli autoregressivi e le medie mobili a
livellamento esponenziale sono casi particolari di
una classe molto generale di modelli per l’analisi
delle serie storiche, i cosiddetti modelli
Autoregressivi a media mobile, ARMA(p,q).
Nei modelli ARMA(p,q) si ipotizza che la serie
storica sia costituita da una componente
prevedibile, che dipende dai valori assunti dalla
serie in p periodi precedenti e da una componente
casuale, funzione degli shock casuali verificatisi nei
q periodi precedenti:
Yt=b0+b1Yt‐1+b2Yt‐2+..+bpYt‐p+ut+c1ut‐1+c2ut‐2+…+cqut‐q
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Cenni sui modelli ARIMA
Una ulteriore generalizzazione dei modelli ARMA è
costituita dai cosiddetti modelli ARIMA(p,d,q) – modelli
autoregressivi integrati a media mobile – in cui il
modello ARMA viene applicato non ai valori delle
osservazioni Yt ma alle differenze di ordine d delle
osservazioni, dove
dYt=(Yt‐Yt‐1)‐(Yt‐1‐Yt‐2)‐…‐(Yt‐d+1‐Yt‐d)
Un modello autoregressivo di ordine p, AR(p),
costituisce pertanto un modello ARIMA di ordine p,0,0
ARIMA(p,0,0).
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