Cenni di Teoria delle assicurazioni
• Valutazione di alcune forme basilari di
assicurazioni sulla vita
• Problema di valutazione di una rendita di
durata aleatoria
• Necessità di esprimere la probabilità di
sopravvivenza di un individuo:
– Funzioni biometriche
Le funzioni biometriche
Detta x l’età intera, si indicano con:
lx
dx
numero delle persone viventi di età x dell’insieme teorico
considerato dalle tavole di sopravvivenza
numero delle persone di età x che muoiono prima di aver
raggiunto l’età successiva x+1
Fra esse esiste la relazione:
dx
=
lx − lx+1
I valori di lx decrescono al crescere di x fino all’ultima età rilevata,
detta età estrema
ω
L’età estrema è tale che nessun vivente raggiunge l’età successiva
lω + 1 = 0
quindi risulta:
dω = l ω
Utilizzando le funzioni biometriche si calcolano le probabilità di
sopravvivere e di morire ad una certa data
La probabilità che una persona di età x raggiunga l’età x+1, è detta
tasso annuo di sopravvivenza ed è data da:
l x +1
px =
lx
La probabilità dell’evento dell’evento contrario, ossia che la persona di età
x muoia prima di raggiungere l’età x+1, è detta tasso annuo di
mortalità e risulta:
lx +1 lx − lx +1 d x
qx = 1 − px = 1 −
=
=
lx
lx
lx
Interessa conoscere le probabilità di sopravvivere e di morire per
assegnati intervalli di età
Costruzione di tavole di mortalità
IPOTESI DI LAVORO
La probabilità di morire nell’intervallo di tempo ( t, t + ∆t ) è espressa da
p ( t, t + ∆t ) = a ( t )∆t + O ( ∆t ),
a(t) ≥ 0
Ciò che avviene nell’intervallo di tempo (t1,t2) è indipendente dal passato
(t<t1)
La probabilità di morte alla nascita è 0.
Si ottiene facilmente:
t
– ∫ a( z) z
0
d
π(t) = e
MODELLO SEMPLIFICATO
a ( t ) = α + βe
π( t ) = e
–
γt
β γt
αt + ⎛⎝ --- e – 1⎞⎠
γ
La probabilità che una persona di età x sia in vita dopo n anni, detta
probabilità di sopravvivenza dopo n anni, è data da:
n
lx+n
px =
lx
Si tratta di una probabilità composta e si ottiene dal prodotto di n tassi
annui di sopravvivenza.
n
p x = p x ⋅ p x +1 ⋅ ... ⋅ p x + n +1
l x +1 l x + 2
lx+n
lx+n
=
⋅
⋅ ... ⋅
=
l x l x +1
l x + n −1
lx
La probabilità contraria è la probabilità di morte entro n anni, ossia la
probabilità che la persona muoia prima di raggiungere l’età x+n, è data
da:
lx+n lx − lx+n
=
/ n q x = 1− n p x = 1 −
lx
lx
La probabilità di morte differita di n anni e temporanea di 1
anno, ossia la probabilità che una persona di età x raggiunga l’età
x+n e muoia entro un anno, è anch’essa una probabilità composta:
n/
qx = n px ⋅ qx +n
lx+n d x+n d x+n
=
⋅
=
lx l x+n
lx
Esempio
1. Calcolare per un uomo di 40 anni le probabilità:
a) di sopravvivere per un anno;
b) di sopravvivere per 25 anni;
c) di morire entro 30 anni;
d) di raggiungere gli 80 anni e di morire entro un anno.
Ripetere il calcolo per una donna di 40 anni.
Utilizzando le tavole di sopravvivenza riferite ad un insieme teorico di 100.000
neonati maschi in Italia nel 1981:
l 41
95 . 025
=
= 0 , 997910
l 40
95 . 224
a)
p 40 =
b)
25 p40 =
c)
/ 30 q 40 =
l 40 − l70 95 .224 − 63 .075
=
= 0 ,337614
l 40
95 .224
d)
40 / q 40 =
d 80
3 . 846
=
= 0 ,039576
l 40
95 . 224
l65 74.195
=
= 0,779163
l40 95.224
Per una donna di 40 anni. Con i dati della Tavola di sopravvivenza riferita ad
un insieme teorico di 100.000 neonate in Italia nel 1981 si ha:
l41 97.068
=
= 0,998847
l40 97.180
a)
p40 =
b)
p 40 =
25
c)
/ 30 q 40 =
d)
40 / q 40 =
87 . 009
l 65
=
= 0 ,895339
97 . 180
l 40
97 . 180 − 80 . 629
l 40 − l 70
=
= 0 ,170313
97 . 180
l 40
3 . 846
d 80
=
= 0 ,039576
97 . 180
l 40
Tasso istantaneo di mortalità
La probabilità che un individuo muoia prima di raggiungere l’età
x+∆x è data:
l x − l x + ∆x
l x + ∆x − l x
=−
/ ∆x q x =
lx
lx
Supponendo la funzione lx derivabile e con derivata continua si può
sostituire a detto incremento il differenziale della lx commettendo un
errore che è infinitesimo di ordine superiore a ∆x
l x′
⋅∆x
/ ∆x q x ≅ −
lx
Ponendo:
µx
l x′
d log l x
µx = − = −
lx
dx
è detto tasso istantaneo di mortalità o
forza di mortalità
Pertanto:
/ ∆x
qx ≅ − µ x ⋅ ∆ x
Quando si conosce la forza di mortalità si può dedurre la
corrispondente legge di sopravvivenza lx
d log lu
= − µu
du
Integrando nell’intervallo [0, x] si ricava:
[log l ]
x
u 0
x
= − ∫ µud u
0
ossia
x
x
lx
log
= − ∫ µud u ⇒
l0
0
l x = l0 ⋅ e
−
∫ µudu
0
l0=1
la probabilità di sopravvivere all’ età 0 si considera
pari ad 1
x
quindi
lx = e
−
∫ µudu
0
Le varie probabilità si possono esprimere in funzione
della forza di mortalità, ad esempio:
x+n
−
∫ µudu
x+n
− ∫ µudu
lx+n e 0
x
p
=
=
=
e
x
n
x
lx
− ∫ µudu
e 0
Esempio
Calcolare la probabilità per una donna di 40 anni di
sopravvivere altri 25 anni ipotizzando che la forza di
mortalità sia costante e pari ai 0,001:
65
65
p 40 = e
∫
− 0 , 001 d u
40
=e
− 0 , 0025
= 0,97531
Assicurazioni sulla vita
L’assicurazione sulla vita è un contratto con il quale l’assicuratore, verso
il pagamento di un premio, si obbliga a pagare all’assicurato un capitale
o una rendita, al verificarsi di un evento attinente alla vita umana.
Oltre all’assicuratore intervengono, in genere tre persone che possono o
no coincidere:
il contraente
il beneficiario
l’assicurato.
I contratti sulla vita si possono distinguere in tre gruppi:
assicurazioni in caso di vita, nelle quali l’assicuratore si impegna a
pagare la somma o le somme assicurate solo se l’assicurato è in vita;
assicurazioni in caso morte, nelle quali l’assicuratore è impegnato a
pagare la somma assicurata in caso di morte dell’assicurato;
assicurazioni miste, combinazioni di assicurazioni in caso di vita e in
caso di morte;
Assicurazione elementare di vita
(o di capitale differito)
Una persona, di età x, si assicura un capitale C, esigibile ad una determinata
scadenza, solo se sarà in vita.
C
t
x
x+n
Indichiamo con x+n la scadenza.
Se il capitale assicurato è unitario, il suo valore attuale alla stipulazione
del contratto è dato da:
v n = (1 + i ) − n
Consideriamo la variabile casuale S, che rappresenta il valore attuale delle
somme che saranno pagate all’assicurato:
n
⎛
s⎜ v
⎝ n px
0 ⎞
⎟
q
/n x ⎠
Premio unico puro
di una assicurazione di capitale differito
Supponiamo che l’assicurato si impegni a pagare in un’unica soluzione e
che il premio tenga conto solo delle prestazioni che l’assicuratore si obbliga
a pagare alla scadenza. In tal caso si parla di premio unico puro e si
indica generalmente, con la lettera U.
Quanto è disposta a pagare una persona di età x, per assicurarsi un capitale
unitario, ad una scadenza fissata x+n, a condizione di essere in vita?
U=n Ex
lx+n
n Ex = v ⋅n px + 0⋅/ n qx = v ⋅n px = v ⋅
lx
n
n
n
Se il capitale è pari a C, il premio unico puro è dato da:
U = C⋅n Ex
Si può esprimere il valore atteso anche in un altro modo:
n
x
x+n
l
v
⋅
v
⋅
l
v
⋅ lx+n
n x+n
x+n
=
= x
n Ex = v ⋅
x
lx
v ⋅ lx
v ⋅ lx
Posto
Dx = v ⋅ lx
x
il valore atteso risulta pari a :
Dx + n
x En =
Dx
La grandezza DX era (lo è tutt’ora) tabulata.
Il fattore attuariale di sconto
xEn
è detto fattore attuariale di sconto ed è il valore attuariale di
un capitale unitario, , esigibile da una persona di età x dopo n anni
se sarà in vita.
Essendo:
n
E
=
v
⋅n px
n x
n
E
<
v
n x
1
n Ex
Poiché
npx<1
È detto fattore attuariale di capitalizzazione e
permette di calcolare il montante fra n anni di un capitale
unitario versato oggi da una persona di età x, montante
esigibile solo se la persona sarà in vita
Assicurazione di rendita vitalizia
L’assicurato si garantisce una successione di capitali, dette rate, esigibili
periodicamente a condizione di essere in vita alle scadenze fissate.
Si distinguono quattro tipi di rendite vitalizie:
immediate illimitate;
differite illimitate;
immediate temporanee;
differite temporanee.
Rendita vitalizia immediata illimitata
Rappresentiamo l’operazione con uno schema temporale:
1
x
1
1
X+1 X+2
1
ω
L’assicurato di età x ottiene, alle scadenze fissate, un capitale unitario se è
in vita, nello schema abbiamo considerato una rendita anticipata.
t
Il premio unico (il valore attuale attuariale della rendita ) è dato
da:
U = ax
Dx+1 Dx+2
Dω
ax = 1+1Ex +2 Ex + ...+ω−x Ex = 1+
+
+ ...+ =
Dx
Dx
Dx
D x+ D x+1+ D x+2+ ...D ω
=
Dx
Nx = Dx + Dx+1 + Dx+2 + ...Dω
Nx
ax =
Dx
Se la rata è R, il premio unico risulta:
U = R ⋅ ax
Se la rendita è posticipata ed unitaria, il valore attuariale è dato:
U = ax
D x+1+ D x+2+ ...D x+ω Nx+1
ax =1Ex +2 Ex + ...+ω −x Ex =
=
Dx
Dx
Rendita vitalizia differita illimitata
Una rendita è differita se la prima rata scade dopo m anni dalla stipulazione del
contratto. A questa data assumiamo che l’assicurato abbia l’età x.
Nel caso la rata sia unitaria e venga corrisposta anticipatamente, il premio unico
è dato da:
U = m/ ax
Nx+m
m/ ax =mEx +m+1Ex + ...+m+ω−x Ex =
Dx
Se la rata della rendita è R, il premio unico risulta:
U = R ⋅ m/ ax
Se la rendita è posticipata la si può trasformare:
m/
ax = m+1/ ax
Rendita vitalizia immediata temporanea
La prima rata viene corrisposta alla stipulazione del contratto (quando
l’assicurato ha età x) per n anni.
Calcoliamo il premio puro nel caso la rendita sia unitaria:
D x +1 D x + 2
D x + n −1
+
+ ... +
=
/ n a x = 1+ 1 E x + 2 E x + ... + n −1 E x = 1 +
Dx
Dx
Dx
D x + D x +1 + D x + 2 + ... + D x + n −1
Dx
D x + D x +1 + D x + 2 + ... + D x + n −1 =
= D x + D x +1 + D x + 2 + ... + D x + n −1 + ( D x + n + ... + Dω ) − ( D x + n + ... + Dω )
= N x − N x+n
Quindi il premio unico puro per un’ assicurazione di rendita immediata
anticipata unitaria temporanea per n anni è:
N x − N x +n
/n ax =
Dx
Rendita vitalizia differita temporanea
Una persona di età x si garantisce il godimento di n rate con inizio fra m anni.
Considerando una rata unitaria il premio da pagare si ricava:
U =m / n a x
m / n a x = m E x + m +1 E x + ...+ m + n −1 E x =
=
Dx + m Dx + m +1
D
+
+ ... + x + m + n −1 =
Dx
Dx
Dx
Dx + m + Dx + m +1 + ... + Dx + m + n −1
Dx
Il numeratore si può scrivere come
N x +m − N x +m+n
quindi:
N x +m − N x +m+n
m/n ax =
Dx
Esempio
Un uomo di 40 anni vuole garantirsi una rendita vitalizia di €10.000,00 annue.
Determinare il premio unico nei seguenti casi:
a)
la rendita duri tutta la vita e la prima rata sia esigibile subito;
b)
la rendita sia illimitata con la prima rata scadente al compimento dei 55
anni;
la rendita abbia una durata di 25 anni, con la prima rata scadente dopo
un
anno;
la rendita abbia una durata di 20 anni con la prima rata scadente al
compimento dei 50 anni
c)
d)
N 40 =€ 184.271,51
D40
a)
U=€ 10.000,00 · ā40= € 10.000,00 ·
b)
U=€ 10.000,00 ·
15/
ā40= € 10.000,00 ·
N 55
D40
c)
U=€ 10.000,00 ·
/25
a40= € 10.000,00 ·
N 41 − N 66 =€ 146.891,37
D40
d) U=€ 10.000,00 ·
10/20
ā40= € 10.000,00 ·
=€ 71.164,30
N 41 − N 66
D40
=€ 83.403,86
Assicurazione in caso di morte
Le assicurazioni in caso di morte impegnano l’assicuratore al pagamento della
somma assicurata durante il periodo previsto dal contratto.
Vi sono vari tipi di assicurazione secondo il periodo assicurato.
Consideriamo per prima l’assicurazione elementare di morte.
L’assicuratore si impegna a pagare il capitale di un euro fra m+1 anni se
l’assicurato morirà nell’anno compreso fra le età x+m e x+m+1.
Consideriamo, pertanto, la variabile casuale S, che rappresenta il valore
attuale delle somme che l’assicuratore deve pagare. Essa assume il valore
vm+1 se l’assicurato muore nell’anno compreso fra le età x+m e x+m+1, 0 in
caso contrario :
S
⎛ v m +1
0 ⎞
⎜ q 1− q ⎟
m/ x ⎠
⎝ m/ x
Il valore atteso che rappresenta il premio unico puro, risulta:
m +1
m +1
(
)
=
⋅
+
0
⋅
1
−
=
⋅m / qx
A
v
q
q
v
m /1 x
m/ x
m/ x
U = m / 1 Ax
Trasformando questa relazione si può scrivere.
m +1
x
d
v
v
⋅
⋅ d x +m
m +1
m +1
x +m
⋅m / qx = v ⋅
=
m / 1Ax = v
x
lx
v ⋅ lx
C x = v x +1 ⋅ d x
C x + m = v x +1+ m ⋅ d x + m
Dx = v ⋅ l x
Cx+m
m / 1Ax =
Dx
x
Assicurazione di morte immediata
vita intera
L’assicurato con questo contratto garantisce agli eredi un capitale esigibile alla
fine dell’anno della sua morte in qualunque epoca egli muoia.
Questa assicurazione è la somma di tante assicurazioni elementari di morte
ciascuna per un anno, dall’età x all’età ⍵. Se il capitale è unitario, il premio
unico puro risulta pari a:
U = Ax
C x C x +1 C x +2
Cω
Ax = / 1 Ax +1 / 1Ax + 2 / 1A...+ω − x / 1Ax =
+
+
+ ... +
=
Dx Dx
Dx
Dx
C x + C x +1+ C x + 2 + ...C ω
=
Dx
M x = C x + C x +1+ C x + 2 + ...C ω
Mx
Ax =
Dx
Assicurazione di morte immediata e temporanea
L’assicuratore si impegna a pagare agli eredi il capitale assicurato alla fine
dell’anno in cui avverrà la morte dell’assicurato, se e solo se la morte avverrà
entro n anni dalla stipula del contratto.
Se il capitale è unitario il premio unico è dato da:
U = / n Ax
C x C x +1 C x +2
C x + n −1
+
+
+ ... +
=
/ n Ax = / 1 Ax +1 / 1 Ax + 2 / 1 A...+ n −1 / 1 Ax =
Dx Dx
Dx
Dx
C x + C x +1+ C x +2 + ...C x + n −1
=
Dx
C x + C x +1+ C x +2 + ...C x + n −1= M x − M x + n
M x − M x +n
/ n Ax =
Dx
Assicurazione di morte differita vita intera
L’assicuratore pagherà la somma stabilita solo se l’assicurato morirà dopo m
anni dalla stipulazione del contratto.
Se il capitale è unitario, il premio unico puro risulta pari a:
U = m / Ax
m/
Ax = m /1 Ax + m +1/1 Ax + ...+ ω − x /1 Ax =
=
C
x+m
+C
x + m +1
Dx
+ ... + C ω
M x+m
=
Dx
Assicurazione di morte differita temporanea
L’assicuratore pagherà la somma stabilita solo se l’assicurato morirà dopo
m anni dalla stipulazione del contratto ed entro gli n anni successivi.
Se il capitale è unitario, il premio unico puro è dato da:
U = m / n Ax
m / n Ax = m / 1 Ax + m +1 / 1 Ax + ...+ n −1 / 1 Ax =
C x + m + C x + m +1+ ... + C
=
Dx
x + n −1
M x +m − M x +m+n
=
Dx
Finora abbiamo ipotizzato che il capitale unitario venga corrisposto alla
fine dell’anno in cui avviene la morte dell’individuo considerato
Se si vuole considerare il caso che esso venga corrisposto al momento
della morte ossia al tempo x + y con y compreso tra zero e uno, il
valore attuale, che indicheremo con ĀX, viene stimato con il valore
attuale ottenuto per il valore atteso di x + y ossia con x + 1/2.
L’assicuratore per compensare gli interessi di mezzo anno, maggiora i
premi unici delle assicurazioni in caso morte capitalizzandoli per
(1+i)1/2.
Per una assicurazione in caso morte a vita intera, si ha:
Ax ≅ Ax ⋅ (1 + i )
1/ 2
Assicurazione mista semplice
Con questo tipo di contratto, l’assicuratore, si impegna a corrispondere un
capitale dopo n anni se l’assicurato sarà in vita all’età x+n, o alla morte
dell’assicurato se questa avverrà prima dell’età x+n.
Il contratto si compone, pertanto, di un capitale differito e di una temporanea in
caso morte. Se il capitale è unitario, il premi unico puro è dato:
D x+n + M x − M x+n
U = n E x + / n Ax =
Dx
Assicurazione mista a capitale raddoppiato
L’assicuratore si impegna a corrispondere un capitale alla morte dell’ assicurato,
a qualunque età egli muoia, ed un altro capitale solo dopo n anni, se l’individuo
sarà in vita.
Se il capitale è unitario, in entrambi i casi, il premio unico è dato da:
D x+n + M x
U = n E x + Ax =
Dx
Esempio
1.
Un uomo di 31anni stipula un’assicurazione mista semplice per il capitale di
€ 70.000,00, scadente a 60 anni con pagamento alla fine dell’anno del
decesso. Calcolare il premio unico puro.
U= € 70.000,00 *
2.
D60 + M 31 − M 60
D31
= € 23.786,19
Una donna di 36 anni stipula un’ assicurazione mista a capitale
raddoppiato per il capitale di € 60.000,00 con scadenza del capitale a 56
anni. Calcolare il premio unico puro nel caso che il capitale venga
corrisposto agli eredi all’atto del decesso.
U= €60.000,00 *
D 56 + M
D 36
36
= € 38.391,40
Premi annui
Nella maggior parte dei contratti di assicurazione è previsto il
pagamento di premi periodici, in genere annui.
Per l’assicuratore i premi annui puri, essendo il loro pagamento
condizionati dall’esistenza in vita dell’assicurato, costituiscono una
rendita vitalizia anticipata, in generale temporanea, il cui valore
attuariale, per il principio di equivalenza finanziaria, è uguale al
premio unico puro.
Indicato con P il premio annuo costante per h anni si ha la relazione:
U=P·
da cui è possibile ricavare P
N x − N x+h
/h ax =
Dx
Per le assicurazioni di rendite immediate non è concesso il pagamento del
premio annuo. Per le assicurazioni di morte vita intera ,il premio può
essere pagato per tutta la vita dell’assicurato e in tal caso si parla di
premio vitalizio pari a:
P=U/
Dx
ax =
Nx
Esempio
1.
Un uomo di 35 anni stipula una assicurazione mista semplice per il
capitale di € 100.000,00 con scadenza a 55 anni, con capitale
pagabile agli eredi all’atto di morte( per ipotesi i=4%). Determinare
il premio annuo che dovrà pagare per tutta la durata.
U= € 100.000,00 · (
20E35
+
/20Ā35)=
= € 100.000,00 · D55+(M35-M55) · 1,041/2
D35
Essendo:
D35
=
P = U / / 20 a 35 = U ⋅
N 35 − N 55
D55 + ( M 35 − M 55 ) ⋅ (1.04)1/ 2
= 100.000 ⋅
= 3.384,25
N 35 − N 55
