b. caleidoscopi e triangoli sferici

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B. CALEIDOSCOPI
E TRIANGOLI SFERICI
La scheda verte intorno all’argomento dei trian-
certo lato per riflessione rispetto a quel lato.
goli sferici. I contenuti, in particolare, riguarda-
Queste due condizioni sono così restrittive che le
no: l’ampiezza di angoli diedri, la somma degli
uniche triangolazioni della sfera che le soddisfa-
angoli interni di un triangolo sferico, l’eccesso
no sono sostanzialmente solo le tre proposte nel-
sferico, l’area di un triangolo sferico e il legame
le foto. Oltre ad esse infatti vi sono solo quelle
di proporzionalità diretta tra l’area di un trian-
che si ottengono suddividendo la sfera in n spic-
golo sferico e il suo eccesso sferico.
chi tutti uguali tra loro con n meridiani “equidi-
Grazie ai diversi oggetti a disposizione gli studen-
stanziati” e poi tagliando ciascuno spicchio in
ti hanno la possibilità di allenare la loro capacità
due triangoli tramite l'equatore.
di visualizzazione. Essi dovranno contare il nu-
Nel poster viene anche suggerito come queste
mero di immagini di un oggetto riflesso da due
triangolazioni si generino a partire dai piani di
specchi piani, il numero delle immagini di un og-
simmetria di alcuni poliedri regolari.
getto inserito in un caleidoscopio, infine osservare
Ad esempio, per ottenere la triangolazione del
sfere costituite interamente da triangoli sferici.
caleidoscopio blu, si può partire dalla superficie
Abbiamo già avuto modo di affermare che la-
di un cubo e affettarla con i 9 piani di simmetria
sciare del materiale manipolabile a disposizione
del cubo. Si ottengono 48 triangoli rettangoli iso-
degli studenti favorisce il loro coinvolgimento e la
sceli (8 per ciascuna faccia del cubo). Se si
partecipazione alle attività. In particolare ciò ac-
proietta il cubo radialmente su una sfera che ha
cade in maniera evidente con gli specchi (sia con
centro nel centro del cubo, i 48 triangoli si proiet-
quelli piani sia con i caleidoscopi). Per questo mo-
tano sui triangoli della triangolazione.
tivo consigliamo di lasciare gli studenti liberi di
Un discorso analogo vale per le triangolazioni
prendere confidenza con questi oggetti prima di
gialla e rossa, pur di partire con un tetraedro e
iniziare le attività proposte dalla scheda. Per que-
con un dodecaedro rispettivamente.
ste attività è necesario dare ai gruppi le immagini delle sfere fornite nel CD-rom.
B1. COPPIE DI SPECCHI PIANI
I triangoli sferici su cui si propongono i vari que-
Avete a disposizione una coppia di specchi inci-
siti sono di tipo molto particolare: si tratta di tas-
denti ad apertura variabile.
selli delle triangolazioni sferiche “provenienti”
• Sapreste utilizzare un piccolo oggetto (una
da poliedri regolari raffigurate nelle foto. Tali
pallina, o un cubetto, o altro ….) per capire
triangolazioni godono di due proprietà. Anzitut-
quando l’apertura degli specchi è di 60°? E
to i triangoli che le costituiscono sono tutti uguali
ancora, quando è di 45°? Se sì, come?
fra loro, e inoltre ciascuno dei triangoli può essere ottenuto da quello a lui adiacente lungo un
Può essere divertente e funzionale all’apprendi-
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mento lasciare che gli studenti giochino un po’
L’apertura degli specchi rappresenta l’ampiezza
con gli specchi per rispondere alla domanda. Se
dell’angolo (angolo diedro) da essi individuato.
essi non riuscissero a trovare un modo per giungere alla soluzione, si potrebbe suggerire loro di
Lo scopo di questa affermazione è di far riflette-
“costruire”, anche semplicemente con un pezzet-
re i ragazzi sullo stretto legame tra il primo e il
to di carta, un angolo dell’apertura richiesta e
secondo quesito. È bene che i ragazzi la legga-
far notare loro come varia, al variare dell’aper-
no soltanto arrivati a questo punto, perché se la
tura, il numero di immagini di un oggetto inserito
leggessero prima avrebbero il suggerimento per
fra gli specchi (è pari a 6 se l’apertura degli
rispondere al primo quesito.
specchi è di 60°, 8 se è di 45°, …). Ovviamente
Ci sembra importante a questo punto indurre i
una misura fatta in questo modo non sarà preci-
ragazzi a cercare un legame tra apertura degli
sa ma comunque lo è in maniera sufficiente per
specchi e numero di palline riflesse. Potrebbe non
i nostri scopi. Si possono eventualmente fornire
essere immediato per loro arrivare a dire che
agli studenti goniometri o oggetti che presentano
eseguendo una semplice divisione (360/apertu-
angoli noti, ma ci sembra più costruttivo che sia-
ra espressa in gradi) si risale al numero di im-
no essi stessi ad ingegnarsi nel costruirli. Questo
magini visualizzabili tramite gli specchi. Questa
quesito funge da introduzione al successivo.
osservazione li aiuterà a rispondere al quesito
successivo.
Immaginate di inserire una pallina tra i due specchi a diverse aperture. Quante palline vedreste
B2. CALEIDOSCOPI
compresa quella reale?
Avete a disposizione le fotografie di tre sfere sulle quali sono evidenziati dei triangoli di colori
Qui è solo questione di contare. In tabella si tro-
differenti. Sul tavolo trovate anche un caleido-
vano le risposte al quesito:
scopio che può essere blu, rosso o giallo. Quello
blu è stato realizzato congiungendo i lati del
apertura
numero di palline
triangolo blu al centro della sfera con delle pare-
90°
4
ti riflettenti. In maniera analoga, sono stati rea-
30°
12
lizzati i caleidoscopi corrispondenti ai triangoli
60°
6
rossi e gialli. Una coppia di piani che formano il
45°
8
caleidoscopio individua un angolo diedro.
18°
20
• Appoggiate ora una pallina allo spigolo di
10°
36
uno di questi diedri, cioè tra due specchi.
Vedrete formarsi tante corone di palline.
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Sapreste risalire alla misura dell’angolo diedro a partire dal numero di palline di una
corona? Riportate i valori nelle seguenti tabelle, iniziando da quella relativa al caleidoscopio che state utilizzando. Successivamente, aiutandovi solo con le fotografie delle sfere, provate a riempire anche le tabelle
degli altri due caleidoscopi.
Analogamente al quesito precedente si cerca di
far riflettere gli studenti sul legame tra il numero
di immagini che si formano tra due specchi e l’ampiezza del corrispondente angolo diedro: eseguendo una semplice divisione (360/numero di
palline della corona) si risale alla misura in gradi
dell’angolo diedro. Nelle tabelle precedenti sono
state riportate le soluzioni per ogni caleidoscopio.
Potrebbe essere interessante distribuire un solo
caleidoscopio a ciascun gruppo, facendo in modo che ai vari gruppi vengano forniti caleidoscopi differenti, dopodiché proporre agli studenti di
completare le due rimanenti tabelle senza utilizzare il caleidoscopio corrispondente ma solo le
immagini delle sfere riportare nel CD-rom. La domanda è infatti volutamente posta in maniera tale da stimolare i ragazzi a ragionare, a fare delle congetture, prima ancora di avere in mano il
materiale da manipolare. Essi devono quindi cer-
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CALEIDOSCOPIO BLU
Spigolo 1
• Numero di palline della corona
6
4
8
90º
45º
Spigolo 1
Spigolo 2
Spigolo 3
6
4
6
60º
90º
60º
Spigolo 1
Spigolo 2
Spigolo 3
• Numero di palline della corona
• Misura dell’angolo diedro
CALEIDOSCOPIO ROSSO
Spigolo 3
60º
• Misura dell’angolo diedro
CALEIDOSCOPIO GIALLO
Spigolo 2
• Numero di palline della corona
• Misura dell’angolo diedro
6
4
10
60º
90º
36º
care di trovare una strategia nuova per rispon-
quelle ricavate dagli altri gruppi che hanno dav-
dere. Potrebbero osservare, ad esempio, sulle
vero avuto a disposizione il caleidoscopio e, co-
immagini delle sfere un vertice del triangolo sfe-
me ulteriore conferma e della correttezza delle
rico colorato e contare quanti angoli convergono
risposte, manipolare il materiale specifico.
nel vertice stesso. Vale la pena di fare osservare
esplicitamente ai ragazzi che i triangoli sono tut-
B3. ECCESSO SFERICO
ti uguali e che l’angolo del triangolo sferico può
I tre caleidoscopi individuano dei triangoli sferici.
essere identificato con l’angolo diedro corrispon-
• Provate a calcolare la somma delle misure
dente. Questi angoli sono tutti uguali fra loro e il
dei tre angoli in ciascuno dei tre casi e ri-
loro numero corrisponde al numero di palline di
portate il risultato nella tabella qui sotto (in
una corona. Da esso si può quindi ricavare l’am-
gradi o in radianti).
piezza di ciascun angolo diedro con la consueta
divisione (360/numero di palline). Dovrebbero
• Cosa osservate di diverso rispetto al caso dei
triangoli nel piano?
poi ripetere il procedimento per i rimanenti due
12
vertici di triangolo sferico. Alla fine i ragazzi po-
È probabile che gli alunni si aspettino che la som-
tranno confrontare le risposte date sulla base del-
ma degli angoli interni di un triangolo sferico sia
l’osservazione delle immagini delle sfere, con
180°, come nel caso dei triangoli piani. Alcuni
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Somma delle misure degli angoli
Triangolo del caleidoscopio giallo
210º
ovvero 7π/6
Triangolo del caleidoscopio blu
195º
ovvero 39π/36
Triangolo del caleidoscopio rosso
186º
ovvero 31π/30
di essi potrebbero aver ricavato, erroneamente,
• Calcolate, in ciascuno dei tre casi, quanto la
l’ampiezza del terzo angolo diedro (spigolo 3
somma trovata eccede (in radianti) la som-
nelle tabelle precedenti) per differenza da 180°
ma degli angoli di un triangolo nel piano e
della somma degli altri due. Essi hanno quindi
riportate il risultato nella tabella qui sotto.
modo ora di notare che tale aspettativa non sia
Eccesso
veritiera per i triangoli sferici e lo fanno analizzando dati da loro stessi ricavati.
Non solo infatti la somma degli angoli interni di
Triangolo del caleidoscopio giallo π /6
un triangolo sferico non è 180°, ma inoltre tale
Triangolo del caleidoscopio blu
π/12
somma non è neppure costante: le soluzioni as-
Triangolo del caleidoscopio rosso
π/30
sumono tutte valori superiori a 180° e diversi tra
loro. Ci si può accontentare che gli studenti osservino che la somma “non è 180°”, tanto il que-
Questa domanda è il pretesto per un ulteriore
sito successivo permette di approfondire la que-
momento di riflessione sul fatto che la somma
stione.
degli angoli interni di un triangolo sferico sia
maggiore di π e non sia costante. Abbiamo notato che gli studenti in questo caso non hanno
nessuna difficoltà a comprendere la richiesta,
ma che spesso forniscono come risultato le misure in gradi degli angoli, mentre la domanda
fa esplicito riferimento ai radianti. Il quesito potrebbe quindi rappresentare un’occasione per
ripassare il passaggio da un’unità di misura all’altra. La scelta di esprimere in radianti l’eccesso sferico consente di avere un semplice legame
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tra questa quantità e l’area del triangolo (se
voro sul metodo più efficace per effettuare que-
però la classe non ha introdotto i radianti si può
sto conteggio.
portare avanti fino in fondo l’attività utilizzando
• L’area del triangolo colorato può essere ri-
i gradi).
cavata da quella della sfera. Come?
B4. UNA CONGETTURA:
LA PROPORZIONALITÀ DIRETTA
Un semplice modo per ricavare l’area del trian-
TRA L’AREA DI UN TRIANGOLO
golo è quello di dividere la superficie della sfera
SFERICO E IL SUO ECCESSO SFERICO
per il numero dei triangoli sferici che la forma-
Osservate ancora la sfere sulle fotografie.
no. Il procedimento è abbastanza intuitivo, per
questo sarebbe meglio lasciare che gli studenti
• Sapete calcolare il numero di triangoli in cui
trovino da soli la risposta, con i loro tempi. Po-
è suddivisa ciascuna delle tre sfere? Ripor-
trebbe tuttavia essere utile ricordare loro la for-
tate il risultato qui sotto.
mula per il calcolo dell’area della sfera, che comunque servirà anche per affrontare le attività
Numero di triangoli
della scheda C.
Sfera col triangolo giallo
24
• Indicata con r la misura del raggio della sfe-
Sfera col triangolo blu
48
ra, riportate qui sotto le misure delle aree
Sfera col triangolo rosso
120
dei triangoli dei caleidoscopi.
Area del triangolo sferico
Gli studenti devono trovare una strategia per rispondere alla domanda, non potendo contare i
Triangolo del caleidoscopio giallo πr2/6
triangoli uno per uno, anche nel caso in cui ab-
Triangolo del caleidoscopio giallo πr2/12
biano già costruito le sfere in cartoncino. Con le
Triangolo del caleidoscopio rosso πr2/30
fotografie a disposizione potrebbero ad esempio
osservare la regolarità con cui i triangoli stessi si
ripetono sulle sfere. Ciò è suggerito anche dalle
• Confrontate la tabella con gli eccessi sferici e
immagini del poster, nelle quali a ciascuna delle
quella con le aree dei triangoli sferici: che co-
tre sfere sono associati poliedri sui quali il calco-
sa osservate? Provate a fare una congettura.
lo richiesto risulta più agevole. Si potrebbe stimolare una discussione tra i diversi gruppi di la-
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Con i dati delle tabelle precedenti, gli studenti
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generalmente non hanno difficoltà a fare la loro
congettura: area ed eccesso sferico sono direttamente proporzionali, con rapporto di proporzionalità r2 (se l’eccesso è stato calcolato in radianti). È importante sottolineare con gli studenti che
la loro è solo un’ipotesi, dal momento che è stata
verificata solo per pochi casi, che però potranno
dimostrare svolgendo le attività proposte nella
scheda C. L’insegnante può suggerire agli studenti di testare la validità della congettura su altri
triangoli per i quali il calcolo degli angoli risulti
agevole, ad esempio quelli che hanno per lati un
ennesimo di equatore e due semi meridiani che
congiungono i suoi estremi al polo nord, come
mostrato nella seguente figura.
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C. TRIANGOLI SFERICI:
ALCUNE PROPRIETÀ
La scheda verte sui triangoli sferici: sulla loro
Una semplice formula è la seguente: area dello
area e su alcune semplici loro proprietà. In parti-
spicchio = area della sfera x α/2π. I ragazzi po-
colare, le prime attività che vengono proposte
trebbero arrivare alla risposta partendo dall’i-
permettono di ricavare l’area di un triangolo sfe-
dea di suddividere l’area della sfera per il nume-
rico in funzione dei suoi angoli. Ciò può costitui-
ro di spicchi, il quale a sua volta si ricava divi-
re un importante spunto di riflessione sul fatto che
dendo 2π per l’ampiezza α dello spicchio. È fa-
nella geometria sferica cade il concetto di simili-
cile convincere i ragazzi della validità della for-
tudine tra figure. La seconda parte dell’attività
mula nel caso in cui l’ampiezza dell’angolo sia
approfondisce differenze e analogie tra piano e
un sottomultiplo di 2π o commensurabile con 2π.
sfera. L’attività è guidata passo passo per per-
Questo procedimento richiede un paio di pas-
mettere agli studenti di raggiungere le proprie
saggi algebrici, è quindi importante che venga
conclusioni in maniera autonoma. In particolare
lasciato il tempo sufficiente per rispondere e che
i quesiti della scheda cercano di far leva sulla co-
gli studenti non si scoraggino troppo presto. La
noscenze che i ragazzi già possiedono riguardo
validità generale richiederebbe un passaggio al
alla geometria piana.
limite, sul quale tuttavia riteniamo opportuno non
soffermarsi in questa sede.
Per svolgere le attività gli studenti hanno a disposizione le sfere di Lénárt: gli studenti sono quindi
Sempre nella scheda A abbiamo definito un
liberi di utilizzarle per rispondere alle domande,
triangolo sferico mediante l’intersezione di tre se-
anche dove non esplicitamente richiesto, purché
mipiani. In modo analogo, si può ottenere il
ciò non allunghi troppo i tempi.
triangolo sferico ABC intersecando tre spicchi di
ampiezze rispettive α, β‚ e γ, come mostrato nel-
C1. AREA DI UN TRIANGOLO SFERICO
le figure qui sotto.
Un angolo sulla sfera corrisponde a uno spicchio
sferico delimitato da due semicirconferenze di
circonferenze massime (si veda la scheda A).
S3
S2
L’area di uno spicchio è proporzionale all’angolo di apertura.
Conoscendo la superficie della sfera di raggio r
e l’ampiezza α dell’angolo, è allora semplice
calcolare l’area di uno spicchio. Sapreste scrivere qui sotto la formula?
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B
C
A
α
S1
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Scrivete qui sotto le aree dei doppi spicchi numerati rispettivamente con 1, 2 e 3.
S3
S2
Il calcolo è molto semplice, tanto più che con la
B
risposta alla domanda precedente gli studenti
β
C
A
dovrebbero già avere dimestichezza con il calcolo dell’area di uno spicchio. Va notato che qui
S1
è richiesta l’area di un doppio spicchio. Queste
sono le aree richieste:
Area di 1
A1 = 4αr2
Area di 2
A2 = 4βr2
Area di 3
A3 = 4γr2
S3
S2
• Osservate che l’unione di questi doppi spicchi è l’intera sfera. È corretto allora dire che
B
γ
A
C
la somma delle loro aree è l’area della superficie sferica? Perché?
S1
L’affermazione non è corretta perché l’intersezione dei doppi spicchi a due a due non è vuota,
anzi c’è una tripla sovrapposizione sui triangoli
ABC e A’B’C’. Questo è un punto delicato: abbiamo notato che gli studenti inizialmente tendono a confondere unione con somma. È bene
S3
quindi che venga lasciato loro tempo per riflette-
S2
C’
re sulla questione.
A’
B
β
B’
A
S1
α
γ
C
• Sapete mettere in relazione la differenza tra
la somma di queste aree e l’area della superficie sferica con l’area del triangolo
ABC?
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Dopo che i ragazzi hanno risposto alla doman-
metria dei triangoli sferici e quella dei triangoli
da precedente non è difficile rispondere a que-
piani.
sta. Una possibile soluzione è la seguente:
A1 + A2 + A3 – area sfera = 4 x area ABC
(il 4 deriva da un 2+2, nel senso che tanto il
Ricordate la definizione di triangolo isoscele nel
piano? E quella di triangolo equilatero?
triangolo ABC quanto il triangolo A’B’C’ sono
contati 3 volte in A1 +A2 +A3, quindi due volte
Esistono due triangoli isosceli nel piano che non
di troppo).
sono congruenti? E che non sono simili? E nel caso di due triangoli equilateri?
• Riuscite a dedurre una formula che esprima
l’area del triangolo sferico ABC in termini del
Passiamo ora alla sfera.
raggio della sfera e degli angoli α, β e γ?
• Come definireste un triangolo sferico isosceGli studenti possono utilizzare la formula ottenu-
le? E uno equilatero?
ta poco sopra e inserire all’interno le aree dei
doppi spicchi precedentemente ricavate, ottenen-
Come sottolineato in precedenza, in questa se-
do in tal modo:
conda parte di attività la scheda guida gli stu-
Area ABC =
(4αr2 +
4βr2 +
4γr2 –
4πr2)/4
=
=(α + β + γ – π)xr2.
denti passo passo. È importante che essi arrivino
a notare che, a priori, nella definizione bisognerebbe distinguere tra lati uguali e angoli uguali.
Questa domanda fornisce uno spunto di riflessio-
Ad ogni modo è fondamentale che si ricordino
ne sulle differenze tra triangoli piani e triangoli
quanto appreso nella scheda A, ovvero che i lati
sferici: nel piano non esiste una formula per cal-
di un triangolo sferico sono archi di cerchi mas-
colare l’area di un triangolo in funzione solo dei
simi. Uno degli errori più frequenti è infatti pro-
suoi angoli. Si potrebbe chiedere direttamente
prio quello di tracciare “triangoli” in cui uno dei
agli studenti come mai non esista. Le attività suc-
lati giaccia su un parallelo (diverso dall’equato-
cessive permettono una riflessione più approfon-
re): sarebbe come disegnare nel piano un trian-
dita sul fatto che nella geometria sferica non esi-
golo in cui uno dei lati è curvo.
stono triangoli simili che non siano congruenti.
Nella figura alla pagina seguente è raffigurato
un triangolo equilatero, con angoli di 90° e lati
C2. CONFRONTO TRA PIANO E SFERA
pari a un semimeridiano.
Questa attività si propone di mettere in evidenza
alcune delle differenze fondamentali tra la geo-
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• Con i fili elastici o con il materiale a disposi-
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sariamente angoli di ..... gradi. Che cosa
succede nel caso della sfera?
Non c’è un valore fisso per l’angolo. Si veda la
scheda B.
Ricordando la relazione tra l’area e gli angoli di
zione per disegnare, tracciate sulla sfera al-
un triangolo sferico, sapreste dire quanto vale
cuni triangoli sferici isosceli ed equilateri.
l’area di un triangolo sferico equilatero con an-
Esistono triangoli sferici con due angoli ret-
goli di ampiezza α?
ti? E con tre?
Il calcolo è semplice e fornisce come risultato:
(3α-π) r2.
In genere, questa attività diverte gli studenti: poter disegnare triangoli sferici con due o con tre
angoli retti è un fatto inaspettato per chi è abi-
• In base a questa formula, può esistere un
tuato a lavorare con i triangoli piani. In questa
triangolo sferico equilatero con angoli di 45
fase del laboratorio, l’insegnante, tempo permet-
gradi?
tendo, potrebbe chiedere agli studenti di raffigurare sulle sfere a disposizione un poligono che
Un’osservazione: dovendo essere 3α-π>0, quin-
non sia un triangolo (ad esempio un quadrato),
di α>π/3, la risposta alla domanda è negativa,
lasciando così spazio alla loro creatività. Proprio
non possono esistere triangoli sferici equilateri
nella fase in cui i ragazzi si scontrano con le dif-
con angoli di 45 gradi.
ficoltà pratiche dell’utilizzo del materiale, essi si
L'insegnante potrebbe proporre agli studenti di
scontrano anche con le difficoltà concettuali de-
pensare se vi sia o meno un valore minimo e un
gli argomenti: per realizzare un quadrato, ad
valore massimo per i possibili angoli di un trian-
esempio, essi devono affrontare il problema di
golo sferico equilatero. Per quanto riguarda il
dover decidere che cosa si debba intendere per
valore minimo (o meglio l'estremo inferiore) la
“quadrato” sulla sfera, dal momento che la ri-
formula dell’area sopra riportata suggerisce la
chiesta più naturale (ovvero quella di un quadri-
risposta, dal momento che l'area di un triangolo
latero con quattro angoli retti e quattro lati ugua-
deve restare comunque positiva.
li) non è realizzabile.
Per quanto invece riguarda il valore massimo, bisognerà decidere insieme agli studenti che cosa
• Nel piano, il triangolo equilatero ha neces-
si voglia intendere per “triangolo”. A priori infat-
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ti sulla sfera i tre lati di un triangolo delimitano
due regioni complementari: entrambe potrebbero essere chiamate “triangolo”. Se si segue però
la convenzione di limitarsi a considerare triangoli contenuti in una mezza sfera, il massimo dell'area (e quindi dell'angolo al vertice) di un triangolo equilatero è raggiunto quando tutti e tre i
vertici stanno su una circonferenza massima. Il
triangolo diviene un emisfero e gli angoli al vertice piatti.
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D. RETTE SULLA SFERA:
ALCUNE DIMOSTRAZIONI
I contenuti della scheda riguardano alcune pro-
Proviamo a seguire in parallelo le proprietà di
prietà delle rette sulla sfera, affrontate in paral-
punti e rette sul piano e sulla sfera.
lelo con le analoghe proprietà nel piano.
Sul piano, dati due punti esiste una ed una sola
L’attività che viene qui proposta è differente da
retta che li congiunge. Come si modifica questa
quella delle altre schede: si chiede agli studenti
affermazione sulla sfera?
di dare alcune dimostrazioni di semplici proprietà geometriche. Se da un lato le richieste
Se i due punti non sono antipodali, esiste una e
possono sembrare complicate (gli alunni spesso
una sola retta che li congiunge, come mostrato
non hanno molta familiarità con le “dimostra-
nella figura sottostante, altrimenti ne esistono in-
zioni”), dall’altro stimolano notevolmente la
finite. Spesso gli studenti tendono a dare risposte
creatività degli studenti. Accanto a ragazzi che
incomplete, dimenticando di considerare i punti
gettano la spugna a un passo dalle risposte, ce
antipodali. Bisogna quindi invitarli a riflettere an-
ne sono stati altri che sono giunti a risposte ori-
che su questi e ciò vale anche per i quesiti suc-
ginali e corrette. Per questo motivo suggeriamo
cessivi.
di proporre ai ragazzi le attività di questa scheda, che comunque consigliamo di svolgere al
termine del percorso di laboratorio. In particolare i docenti che hanno intenzione di far affrontare agli studenti lo studio delle geometrie
non euclidee, potrebbero utilizzare questa scheda come introduzione a tale argomento. Un suggerimento che teniamo a dare è quello di non
indirizzare gli studenti verso la dimostrazione
che abbiamo in mente: in questa attività, ancora
di più che nelle altre, ciò potrebbe indurli a rinunciare a ragionare con la loro testa.
Sapete dimostrarlo?
Gli archi di circonferenza massima svolgono un
ruolo “analogo” sulla sfera di quello svolto dai
Scriviamo qui una proposta di soluzione.
segmenti di linea retta sul piano (si veda scheda
I due punti (se non antipodali) e il centro della
A).
sfera sono 3 punti non allineati, quindi indivi-
Per tale motivo, chiameremo “rette” sulla sfera le
duano un unico piano che taglia la sfera in un
circonferenze massime.
cerchio massimo.
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Sul piano, data una retta ed un punto fuori di es-
gruenti) e passante per il punto assegnato. Come
sa, esiste una ed una sola retta parallela alla ret-
si modifica questa affermazione sulla sfera?
ta data (ovvero che non la interseca) e passante
per il punto assegnato. Come si modifica questa
Se retta e punto non sono del tipo polo-equatore,
affermazione sulla sfera?
per il punto passa una ed una sola retta perpendicolare a quella data, altrimenti ne passano in-
Sulla sfera tutte le rette si intersecano in due pun-
finite.
ti antipodali.
Sapete dimostrarlo?
Sapete dimostrarlo?
Scriviamo qui una proposta di soluzione.
Scriviamo qui una proposta di soluzione.
La retta sulla sfera è una circonferenza massima
Due cerchi massimi si intersecano sempre, infatti
e individua quindi un piano π passante per il
essi sono tagliati sulla sfera da piani che, pas-
centro della sfera. Se la coppia (punto, “retta”)
sando per il centro della sfera, non sono paralle-
non è del tipo (polo, equatore), la retta dello spa-
li e quindi hanno una retta in comune. La retta
zio che passa per il centro della sfera ed è orto-
taglia la circonferenza in due punti (antipodali)
gonale al piano π non contiene il punto e, insie-
comuni ai due cerchi massimi.
me ad esso, individua il piano che taglia la sfera
nella “retta” cercata.
Sul piano, data una retta ed un punto, esiste una
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ed una sola retta perpendicolare alla retta data
Sul piano le rette hanno lunghezza infinita. E sul-
(ovvero che forma con essa quattro angoli con-
la sfera?
QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Geometria sferica
Impa_OmbrettaNew
20-11-2006
13:51
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Sono tutte di lunghezza finita e uguale tra loro.
Sul piano, dati due punti, esistono infinite rette
passanti per uno di essi e non passanti per l’altro. E sulla sfera?
Se i due punti non sono antipodali, esistono infinite rette passanti per l’uno ma non per l’altro, se
i due punti sono antipodali ogni retta passante
per l’uno passa anche per l’altro.
QUADERNO LABORATORIO DI MATEMATICA ■ Geometria sferica
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