OC FISICA
Serie 10: Elettrodinamica III
III liceo
Esercizio 1 Campo elettrico di cariche puntiformi
Due punti materiali di cariche opposte e intensià 2,0 · 10−7 C sono poste a una
distanza di 15 cm.
1. Disegna qualitativamente le linee di forza del campo elettrico per questa distribuzione di cariche.
2. Determina qual è la l’intensità del campo elettrico nel punto di mezzo tra le
~ in quel punto.
due cariche, la sua direzione ed il suo verso. Disegna il vettore E
Esercizio 2 Campo elettrico di un dipolo elettrico
Una coppia di cariche di stessa intensità q ma segno opposto ad una distanza d
fissata è chiamato dipolo elettrico, e definisce il vettore momento di dipolo
elettrico
p~ = q d~
dove d~ è il vettore d~ = ~x+ − ~x− diretto dalla carica negativa (vettore posizione ~x− )
alla carica positiva (vettore posizione ~x+ ).
1. Dimostra che il campo elettrico in un punto P sulla retta definita da d~ (= asse
del dipolo), ad una distanza z ≫ d dal punto medio tra le cariche vale
1
Ez (z) = 2πε
0 z3
p
Ex = Ey = 0
Indicazione: Utilizza l’approssimazione lineare seguente, valida se x ≪ 1
1
≃ 1 − 2x .
(1 + x)2
2. Calcola il momento di dipolo elettrico di un’elettrone e di un protone posti ad
una distanza di 4,30 nm.
3. Disegna schematicamente una molecola di acqua individuando il “baricentro”
delle cariche positive e quello delle cariche negative. Assimilando la molecola
ad un dipolo elettrico disegna qualitativamente il momento di dipolo elettrico.
4. Sapendo che una molecola di acqua nello stato gassoso genera un campo elettrico come se fosse un dipolo elettrico il cui momento di dipolo ha un’intensità
di 6,2 · 10−30 Cm, quale intensità avrà il campo elettrico a una distanza 1,1 nm
dalla molecola sull’asse del dipolo? Verifica se è possibile utilizzare l’equazione
trovata nel punto 1.
1
Esercizio 3 Momento meccanico di un PM
Consideriamo un punto materiale che subisce una forza F~ . Si chiama momento
(meccanico) rispetto al punto O della forza F~ la grandezza vettoriale definita
da
~ O = ~x ∧ F~
M
−→
dove ∧ indica il prodotto vettoriale, ~x = OP .
Considera la situazione in cui due PM ad una distanza d fissata e posti in P1 e P2
subiscono una forza di stessa intensità F ma verso opposto (il PM in P1 subisce una
forza F~ e quello in P2 una forza −F~ ).
1. Fai un disegno della situazione (il più generale possibile).
2. Determina la forza totale sul sistema composto dai due PM, ossia
può parlare di condizione di equilibrio in generale?
P ~
α Fα . Si
3. Dimostra che il momento (meccanico) totale vale
−→
~ tot = −
M
P2 P1 ∧ F~
in questo caso1 si dice che il sistema composto dai due PM subisce una coppia
~ tot .
di momento M
4. Verifica che la condizione di equilibrio è
X
X
F~α = ~0
~xα ∧ F~α = ~0 .
α
5. Dimostra che
α
→
~A = M
~B +−
M
AB ∧ F~
(ciò che mostra la dipendenza esplicita del momento dal punto rispetto al quale
esso viene calcolato).
1
In generale nei casi in cui la risultante delle forze è nulla.
2
Esercizio 4 Dipolo in un campo elettrico
Considera un dipolo elettrico definito dal vettore p~, per esempio una molecola di
H2 O, e supponiamo che esso abbia una struttura rigida, ossia il centro della carica
positiva e quello della carica negativa rimangano sempre ad una distanza d. Questo
~ indipendente dal tempo, come
dipolo è posto in un campo elettrico uniforme E
illustrato nella figura qui sotto (in tratteggiato le linee di forza del campo elettrico)
+q
d
p~
~
E
−q
1. Disegna i vettori forza subiti dal centro della carica positiva e da quello della
carica negativa (assimilati a due PM), quanto vale la forza totale sul dipolo?
2. Determina il momento (meccanico) di ogni PM e dimostra che il momento
meccanico totale vale
~ .
~τ = p~ ∧ E
3. Considera una molecola di acqua dell’esercizio 3 posta in un campo elettrico
di intensità E = 1,5 · 104 N/C. Quale sarà il momento meccanico massimo che
il campo esercita su di esso?
4. Dimostra che il lavoro (totale) svolto dal campo elettrico per ruotare di un
angolo infinitesimale dθ il dipolo è
δW = pE sin θdθ = τ dθ
−
→
−
→
Indicazione: per ogni forza agente sul dipolo δW1 = F~ · dℓ = kF~ kkdℓk cos ∡,
−
→
inoltre kdℓk è la lunghezza di un arco infinitesimale di un cerchio di raggio d/2.
Utilizzando la relazione ∆E pot = −W e scegliendo E pot = 0 per θ = π/2 si
può scrivere
Z θ
Z θ
pot
pot
pot
E (θ)−E (π/2) = −Wπ/2→θ = −
δW =⇒ E (θ) = −
pE sin θ′ dθ′
π/2
π/2
che dà l’energia potenziale di un dipolo elettrico in un campo elettrico uniforme
~
E pot (θ) = −pE cos θ =⇒ E pot = −~p · E
3
5. Determina il lavoro per ruotare da θ = π a θ = 0 il dipolo dell’esercizio 3.
Applicazione pratica: forno a microonde. Vedi Halliday, Resnick, Walker, Fondamenti
di fisica. Elettromagnetismo, Zanichelli (pagina 518).
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