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Fisica moderna
1 giugno 2017
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Indice
1 Corpuscolarità della materia
1
1.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Teoria cinetica della materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Spiegazione microscopica della pressione . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Distribuzione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
1.4.1
Studio della maxwelliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2
Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5
Distribuzione dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6
Coefficienti di trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7
1.6.1
Libero cammino medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2
Sezione d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.3
Frequenza urti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4
Viscosità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.5
Conducibilità termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Distribuzione statistica di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.1
Correzione postulato di equiprobabilità . . . . . . . . . . . 25
1.7.2
Esempio di distribuzione di Boltzmann: legge dell’atmosfera 26
2 Corpuscolarità della carica
29
2.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2
Esperimento di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1
Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2
Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3
Esperimento di Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4
Esperimento di Millikan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1
Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Indice
3 / 124
2.4.2
2.5
Descrizione esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Raggi canale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5.1
Apparato sperimentale
2.5.2
Descrizione esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Corpo nero
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
41
3.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2
Leggi fenomenologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3
Legge di Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1
Spiegazione termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4
Legge di Wien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5
Modelli teorici
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6
Modello di Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.7
Modello di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Calore specifico dei solidi
59
4.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2
Modello di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3
Modello di Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4
Approfondimento:precisazioni sul modello di solido . . . . . . . . . 64
5 Effetto fotoelettrico
66
5.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2
Apparato sperimentale (Lenard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3
Incompatibilità con le previsioni classiche . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4
Spiegazione di Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5
Applicazione: il fotomoltiplicatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Modelli atomici
72
6.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2
Modello di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3
Esperimento di Rutherford
6.4
Previsioni secondo il modello di Thomson . . . . . . . . . . . . . . 73
6.5
Modello di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.6
Modello di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.7
Modello di Wilson-Sommerfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7 Raggi X
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
96
Indice
4 / 124
7.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2
Esperimento di Bragg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3
Spettro dei Raggi X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4
Interazione Raggi X-Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.1
Diffusione classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.2
Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.3
Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4.4
Produzione di coppie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4.5
Fotodisintegrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.5
Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.6
Assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Ipotesi di De Broglie
110
8.1
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2
Esperimento di Davisson e Germer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3
Pacchetti d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.4
Principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.5
Esperimento della doppia fenditura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9 Fonti per testo e immagini; autori; licenze
119
9.1
Testo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.2
Immagini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.3
Licenza dell’opera
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
1 / 124
Capitolo 1
Corpuscolarità della materia
1.1 Introduzione
L’idea che la materia non sia un continuum, bensì sia composta da quantità discrete, inizia a maturare nell’antica Grecia con le speculazioni filosofiche di Leucippo
e Democrito. Fino al XVII secolo, tuttavia, la discussione rimane scorrelata dall’indagine scientifica del reale. In questo periodo si iniziano invece ad elaborare
modelli di spiegazione dei fenomeni basati proprio sull’ipotesi di granularità della
materia. Il successo di questi modelli dà una prima significativa conferma della
validità di tale ipotesi.
Verso la metà del XVII secolo Pierre Gassendi e successivamente Robert Hooke
cercano di spiegare gli stati di aggregazione della materia e le transizioni di stato
facendo riferimento a particelle indistruttibili e solide in moto in tutte le direzioni.
Nel 1662 Robert Boyle pubblica i risultati del suo lavoro sperimentale e mostra
che il prodotto della pressione e del volume di un gas rimane costante se tale rimane la temperatura. Isaac Newton qualche anno dopo fornisce una spiegazione
della legge di Boyle basata sull’assunzione che il gas sia composto da particelle
solide e statiche che si respingono con una forza inversamente proporzionale alla
distanza mutua. Daniel Bernoulli nel 1738 elabora un modello cinetico che consente di ricavare matematicamente la legge di Boyle.
Nel XIX secolo la teoria cinetica della materia viene ampiamente sviluppata, grazie al lavoro di importanti scienziati quali Herapath,Joule,Waterson,Clausius,Maxwell
e Boltzmann.
Parallelamente la teoria atomica viene approfondita nel tentativo di spiegare le
leggi empiriche della chimica. Nel 1808 Dalton ipotizza che un elemento sia costituito da atomi identici e indistruttibili per giustificare la legge delle proporzioni
costanti di Proust. Nello stesso anno Gay-Lussac enuncia la legge di combinazione dei volumi. Nel 1811 Avogadro propone un’importantissima ipotesi che tiene
conto delle leggi e delle evidenze sperimentali:
• Le particelle di un gas sono piccole rispetto alla loro distanza reciproca
• Le particelle di un elemento possono essere costituite da due o più atomi
legati insieme, che Avogadro chiama molecole.
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
2 / 124
• Volumi uguali di gas diversi nelle stesse condizioni di temperatura e pressione contengono lo stesso numero di particelle.
L’ipotesi di Avogadro è essenziale nello sviluppo della teoria atomica della chimica.
Oggetto di questo capitolo è in particolare la teoria cinetica della materia, di cui
si cercheranno di mettere in luce i punti di forza descrivendo anche le evidenze sperimentali che la supportano. Si vogliono inoltre descrivere gli aspetti della
teoria che risultano insoddisfacenti in quanto non adatti a spiegare determinati
fenomeni osservati in natura.
1.2 Teoria cinetica della materia
La teoria cinetica si propone di descrivere le proprietà dei gas considerando questi
come un insieme di particelle in moto. Le ipotesi di partenza del modello cinetico
sono le seguenti:
1. Un gas è costituito da un numero elevato N di molecole uguali;
2. Le collisioni tra molecole e tra molecole e pareti del contenitore sono di
tipo elastico e nell’atto della collisione non vi è alcuna perdita di energia
traslazionale per conversione in energia interna;
3. Le molecole sono separate da distanze molto grandi rispetto alle loro dimensioni ed è dunque lecito considerare nulle le forze intermolecolari, se
non durante gli urti;
4. In assenza di forze esterne non esiste una posizione preferenziale per una molecola nel contenitore e non esiste una direzione preferenziale per il vettore
velocità.
Vediamo il significato di queste assunzioni. La seconda ipotesi implica che negli
urti tra molecole si conservi quantità di moto ed energia, mentre negli urti tra
molecole e pareti si conservi solo l’energia (forze esterne impulsive). Dalla terza
ipotesi deriva che l’energia potenziale interna è nulla e quindi la sola forma di
energia è quella cinetica. Un’ulteriore conseguenza è che il volume totale occupato dalle molecole sia trascurabile rispetto a quello del recipiente (di fatto si
richiede la rarefazione del gas). Sulla base della quarta ipotesi (detta anche di
caos molecolare) si deduce che:
• non esiste una posizione preferenziale per una molecola nel contenitore → il
numero di molecole per unità di volume deve essere lo stesso in ogni parte
del contenitore occupato dal gas, ossia la densità deve essere costante;
• non esiste una direzione preferenziale per il vettore velocità → lo spazio
è isotropo, il moto delle molecole è casuale e dunque scelta una qualsiasi
direzione ⃗u ci sono tante molecole che hanno velocità concorde a ⃗u quante
hanno velocità discorde a ⃗u : la velocità media è quindi nulla.
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
3 / 124
1.3 Spiegazione microscopica della pressione
Una prima proprietà macroscopica che il modello cinetico consente di interpretare
microscopicamente è la pressione.
Si consideri un contenitore cubico di lato l riempito da un gas che rispetti le
ipotesi prescritte dal modello cinetico. La velocità di una molecola è data da v⃗i =
vxi u⃗x + vyi u⃗y + vzi u⃗z : la componente x della velocità è ortogonale alla parete yz,
la componente y alla parete xz, la componente z alla parete xy. Nell’urto elastico
contro la parete yz cambia solo la componente vxi u⃗x , che diventa −vxi u⃗x , mentre
le altre rimangono invariate, data l’assenza di forze di attrito. La variazione di
quantità di moto nell’urto della molecola con la parete yz è pari −2mvxi u⃗x , se m
è la massa della molecola, e dunque l’impulso comunicato alla parete è 2mvxi u⃗x
Sia Ni il numero di molecole nel volume V che hanno componente x della velocità
pari a | vxi |. Le molecole possono colpire la parete nel tempo ∆t se si trovano
nel cilindro di base A (dove A è l’area della faccia del cubo) e altezza vxi ∆t e
viaggiano in direzione della parete. Il numero di molecole che colpisce la parete
nel tempo ∆t è dunque NVi Avxi ∆t , avendo assunto per ora vxi positiva.
L’impulso complessivo esercitato da queste molecole sulla parete yz è pari alla
variazione totale del momento delle molecole, che è la variazione per una singola molecola (2mvxi ) per il numero delle molecole che colpiscono la parete che
abbiamo appena calcolato. Riassumendo i risultati si ha dunque:
Ii =
2 A∆t
2Ni mvxi
V
Ii
La forza media corrisponde a ⟨Fi ⟩ = ∆t
per il teorema dell’impulso, e la pressione
esercitata da queste molecole, che non è altro che la forza media per unità di
superficie, risulta essere:
Pi =
2
2Ni mvxi
V
Per via dell’ipotesi 4 del modello cinetico, descritta nell’ Introduzione, in media
metà delle molecole si muoverà verso destra ( vxi positiva) e metà verso sinistra (
vxi negativa). Quando calcoliamo la pressione totale sulla superficie yz, data dalla
somma di tutti i contributi Pi in cui vxi è positiva (per colpire la parete devono
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
4 / 124
muoversi verso di essa!), possiamo sommare su tutte le molecole dividendo per
un fattore 2.
P =
1∑
Pi
2
i
=
1 ∑ 2Ni mv 2
xi
2
V
i
∑
m
2
Ni vxi
=
V
i
Detto N =
∑
i Ni
il numero totale di molecole presenti nel volume V, si definisce:
⟨vx2 ⟩ =
1 ∑
2
Ni vxi
N
i
Per poi riscrivere la pressione in funzione di questa quantità:
P =
N m⟨vx2 ⟩
V
Poichè, sempre per l’ipotesi 4, non esiste una direzione preferenziale di moto, si
ha che ⟨vx2 ⟩ = ⟨vy2 ⟩ = ⟨vz2 ⟩ . Inoltre, tenendo presente che v 2 = vx2 + vy2 + vz2 ,
possiamo scrivere ⟨v 2 ⟩ = 3⟨vx2 ⟩ . In conclusione si ottiene:
P =
N m⟨v 2 ⟩
3V
Questa formula si può riscrivere mettendo in relazione la pressione all’energia
cinetica media delle molecole. Infatti:
PV =
2N ⟨Ek ⟩
2N mv 2
⟨
⟩=
3
2
3
Vediamo l’importanza di tale risultato.
Ricordando le leggi dei gas ideali, sappiamo che per essi vale:
P V = nRT
con n numero di moli di gas contenute nel volume V .
Sfruttando la relazione appena ricavata si ottiene:
nRT =
2N ⟨Ek ⟩
3nRT
⇒ ⟨Ek ⟩ =
3
2N
sapendo che

n =
N
num.di Avogadro
R

=k
num.di Avogadro
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
5 / 124
(
)
J
con k costante di Boltzmann 1.38 · 10−23 K
, la relazione finale tra energia
cinetica media e temperatura è:
⟨Ek ⟩ =
3kT
2
J
Osservazione: k ha le misure di K
, dunque kT ha le misure di un’energia (
J ). Le energie possono essere “misurate in kT ”. A temperatura ambiente (300
K ), si ottiene per l’azoto un’energia media di 0.025 eV, tenendo presente che
1eV = 1.6 · 10−19 J . Questo mi dà un’idea dell’energia cinetica delle molecole a
temperatura ambiente.
1.3.1 Conseguenze
Elenchiamo ora le conseguenze dei risultati ricavati, e le previsioni che essi consentono di fare.
1. Si può conoscere la velocità quadratica media delle molecole nota solamente
la temperatura:
√
√
3kT
2
⟨v ⟩ = vrms =
m
dove il pedice rms sta per “root mean square”.
2. Si può ricavare l’espressione del calore specifico a volume costante. Infatti
cv = n1 ∂U
∂T V . Ricordando che in questo caso l’energia del gas è tutta cinetica
( U = Ek ), otteniamo:
3R
cv =
2
3. Abbiamo ottenuto in un caso particolare il teorema di equipartizione dell’energia: dato un sistema in equilibrio termico, associato ad ogni grado di
libertà c’è un contributo all’energia pari a kT
2 . Infatti abbiamo trovato che
m⟨v 2 ⟩
m⟨vx2 ⟩ m⟨vy2 ⟩ m⟨vz2 ⟩
3kT
=
+
+
=
2
2
2
2
2
ma poiché ⟨vx2 ⟩ = ⟨vy2 ⟩ = ⟨vz2 ⟩ , si ha che
m⟨vy2 ⟩
m⟨vz2 ⟩
kT
m⟨vx2 ⟩
=
=
=
2
2
2
2
Questa ripartizione è una naturale conseguenza degli urti tra le molecole.
Il teorema di equipartizione dell’energia e l’espressione ricavata per il calore specifico dei gas consentono di fare importanti previsioni sul valore di grandezze fisiche
osservabili, dunque anche di verificare la validità del modello. Le previsioni che
si ottengono sono:
1. gas monoatomico è visto come costituito da singoli atomi, ciascuno con
J
3 gradi di libertà. cv = 3R
2 = 12.5 molK . Questa previsione è coerente con i
risultati sperimentali.
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
6 / 124
2. gas biatomico
• modello a manubrio rigido Le molecole del gas vengono schematizzate
come sferette collegate rigidamente, che possono compiere oltre ai 3
movimenti traslazionali anche 2 movimenti rotazionali attorno al centro di massa. I gradi di libertà sono quindi 5 e il calore specifico risulta
J
essere cv = 5R
2 = 20.8 molK . Questa previsione è in accordo con i
risultati sperimentali per alcune specie di gas, ma non per tutte.
• modello a manubrio vibrante Si differenzia dal modello a manubrio
rigido perchè le sferette non sono più considerate a distanza fissa ma
collegate da una “molla”. Ai 5 gradi di libertà se ne aggiungono 2 vibrazionali: uno per l’energia potenziale, che è proporzionale a (r − r0 )2 ,
( )2
, dove r è lo spostae uno per l’energia cinetica, proporzionale a ∂r
∂t
mento delle sferette dalla posizione di equilibrio r0 . Questo modello
J
porta ad un calore specifico cv = 7R
2 = 29.1 molK . Tuttavia anche
questo modello non riesce a spiegare i risultati sperimentali.
Gas
gas monoatomici
He
Ar
Ne
Kr
gas biatomici
H2
N2
O2
CO
Cl2
(
J
cv molK
)
12.5
12.5
12.7
12.3cv=3R.
20.4
20.8
21.1
21.0
25.7
Sperimentalmente si trova inoltre una dipendenza del calore specifico dalla temperatura, contraria alle previsioni del teorema di equipartizione. Ad esempio l’idrogeno H2 a temperature molto basse si comporta come un gas monoatomico, non
ruota e non vibra, mentre a temperature molto alte inizia addirittura a vibrare.
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
7 / 124
Il teorema di equipartizione è uno strumento molto utile anche per interpretare il
calore specifico dei solidi. Nel 1819 Dulong e Petit trovano che il calore specifico
molare della maggior parte dei solidi era compreso tra 2.7 R e 3.5 R. Utilizzando
il teorema di equipartizione questo risultato è interpretabile modellizzando una
molecola di un solido come un oscillatore armonico in tre dimensioni, avente
quindi oltre ai 3 termini di traslazione 3 termini vibrazionali. Con questo modello
la molecola nel solido ha 6 gradi di libertà, che corrispondono a un calore specifico
cv = 3R . Tuttavia anche nei dati raccolti da Dubong e Petit vi sono eccezioni,
come il Diamante e il Berillio. Inoltre si trova anche in questo caso una dipendenza
dalla temperatura estranea all’interpretazione microscopica adottata.
1.4 Distribuzione delle velocità
Il calcolo della pressione di un gas ci fornisce importanti informazioni riguardo alla
velocità quadratica media, e quindi all’energia media, ma non dice nulla riguardo
alla distribuzione delle velocità delle molecole.
La funzione di distribuzione delle velocità molecolari viene ricavata per la prima
volta da Maxwell nel 1859.
Consideriamo un gas costituito da N molecole, contenuto in un volume V e in
equilibrio termico a temperatura T. L’obiettivo è valutare quante molecole hanno
la componente x della velocità compresa tra vx e vx + dvx , la componente y
compresa tra vy e vy + dvy e la componente z tra vz e vz + dvz . Questo numero
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
8 / 124
sarà esprimibile nella forma N F (vx , vy , vz ) dvx dvy dvz , dove F (vx , vy , vz ) è la
funzione di distribuzione delle velocità, nonché la nostra incognita.
Le ipotesi adottate da Maxwell sono le seguenti:[1]
1. isotropia dello spazio
• ⇒ la funzione F (vx , vy , vz ) può dipendere solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione. Le componenti della velocità, vx , vy , vz ,
possono comparire solo nella combinazione vx2 + vy2 + vz2 .
• ⇒ Le componenti vx , vy , vz sono indipendenti e quindi la funzione
F (vx , vy , vz ) può essere fattorizzata:
F (vx , vy , vz ) = f (vx ) f (vy ) f (vz )
2. ipotesi di gas perfetto
• ⇒ la distribuzione di velocità deve rispettare i risultati della teoria ci2⟩
netica, dunque il principio di equipartizione e il fatto che Ek = m⟨v
=
2
3kT
.
2
Con queste premesse il problema di trovare la distribuzione più probabile si riduce alla massimizzazione della F (vx , vy , vz ) = f (vx ) f (vy ) f (vz ) rispettando il
vincolo v 2 = vx2 + vy2 + vz2 . Questo problema può essere facilmente risolto con il
metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
{
(
)
( )
f (vx ) f (vy ) f (vz ) = F vx2 + vy2 + vz2 = F v 2
vx2 + vy2 + vz2 = v 2
Essendo il logaritmo una funzione monotona, si può tranquillamente massimizzare
il logaritmo della funzione F.
(
)
L = ln F + A2 vx2 + vy2 + vz2 − v 2
dove ln F rappresenta la funzione da massimizzare e A2 è il moltiplicatore del
vincolo. Svolgiamo i calcoli espliciti per una singola componente, x, della velocità,
le altre sono analoghe.
∂(vx2 + vy2 + vz2 − v 2 )
∂ln (F )
∂L
=
+ A2
∂vx
∂vx
∂vx
f (vy ) f (vz ) df (vx )
∂L
=
+ A2 2vx dvx
∂vx
f (vx ) f (vy ) f (vz )
df (vx )
∂L
=
+ A2 2vx d (vx ) = 0.
∂vx
f (vx )
df (vx )
= −2A2 vx d (vx ) integrando
f (vx )
ln f (vx ) = −A2 vx2 + C
( )
2 2
f (vx ) = f0 e−A vx = f vx2
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
9 / 124
In effetti la funzione ottenuta può essere considerata come funzione distribuzione
di probabilità per la variabile vx2 . Ora, la condizione di normalizzazione è valida
per qualunque distribuzione di probabilità; inoltre abbiamo supposto valido il
teorema di equipartizione, per cui possiamo scrivere il seguente sistema:
{∫ +∞ ( )
2
−∞ f vx dvx = 1
m⟨vx2 ⟩
2
=
kT
2
normalizzazione
equipartizione
Risolviamo la condizione
che può essere riscritta, utilizzando
( 2di
) normalizzazione,
∫ +∞ −A
2 v2
x dv = 1 . L’integrale che comla forma esplicita di f vx , come: f0 −∞ e
x
pare è un integrale di “tipo Gauss”, la cui risoluzione è per motivi
√ di chiarezza
[2]
riportata nelle note. Qui ci limitiamo a dire che il risultato è Aπ , da cui si
ottiene
√
π
f0
=1⇒
A
A
f0 = √
π
Imponendo la seconda condizione otteniamo invece il valore del moltiplicatore A
.
kT
m⟨vx2 ⟩
=
2
2
kT
⟨vx2 ⟩ =
m
Abbiamo visto che la funzione di distribuzione per vx2 è f (vx2 ) =
imponiamo che la media statistica di
∫
⟨vx2 ⟩
+∞
=
∫
−∞
+∞
vx2
A −A2 vx2
√
e
π
secondo tale distribuzione sia pari a
; ora
kT
m
.
( )
kT
vx2 f vx2 dvx =
m
Ae−A vx
kT
√
dvx =
m
π
−∞
∫ +∞
A
kT
2 2
√
vx2 e−A vx dvx =
m
π −∞
2 2
vx2
Dove nella prima uguaglianza abbiamo fatto uso della definizione di media statistica.
Abbiamo di√ nuovo un integrale di tipo Gauss, che risolviamo nelle note.[3] . Il
risultato è 2Aπ3 . Definitivamente si ha quindi
⟨vx2 ⟩ =
kT
1
=
⇒
2
2A √m
m
A=
2KT
L’espressione finale per la distribuzione delle velocità lungo l’asse x è dunque:
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
10 / 124
√
f (vx ) =
m −mvx2
e 2kT
2πkT
Questa forma funzionale corrisponde ad una gaussiana centrata in 0. Tenendo presente inoltre che per le altre componenti della velocità si ottengono distribuzioni
analoghe, e che F (vx , vy , vz ) = f (vx ) f (vy ) f (vz ) , si ha per F (vx , vy , vz )
F (vx , vy , vz ) dvx dvy dvz =
( m ) 3 −m(vx2 +vy2 +vz2 )
2
2kT
e
dvx dvy dvz
2πkT
Osservazioni:
(
)
• Il fatto che F (vx , vy , vz ) = F vx2 + vy2 + vz2 , ossia dipenda solo dal modulo della velocità, è coerente con l’isotropia dello spazio ipotizzata. Posso
passare in coordinate sferiche in modo da evidenziare questa dipendenza.
( m )3
−m(v 2 )
2
2
v e 2kT dv
F (vx , vy , vz ) dvx dvy dvz = 4π
2πKT
Moltiplicando per N, numero di molecole, ottengo la funzione
( m )3
−m(v 2 )
2
v 2 e 2kT dv
n (v) dv = 4πN
2πkT
che rappresenta il numero di molecole aventi velocità in modulo compresa
tra v e v + dv .
• L’esponente di e contiene un termine di energia cinetica e un termine
termico.
1.4.1 Studio della maxwelliana
La funzione appena introdotta è nota con il nome di funzione di distribuzione di
Maxwell-Boltzmann, o anche semplicemente maxwelliana, di cui ci proponiamo
di studiare alcune caratteristiche.
( m )3
−m(v 2 )
2
2
n (v) dv = 4πN
v e 2kT dv
2πkT
1. massimo
dn (v)
=0
dv ]
( m )3 [
−mv 2
−mv 2
m
2
4πN
2ve 2kT − v 2
2ve 2kT = 0
2πkT
2kT
mv 2
mv 3 − mv2
2ve− 2kT −
e 2kT = 0
kT
(
)
mv 2
mv 2
2ve− 2kT 1 −
=0
2kT
mv 2
=0
1−
2kT
√
2kT
vmp =
m
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
11 / 124
vmp rappresenta la velocità più probabile
2. velocità media
1
⟨v⟩ =
N
= 4π
∫
+∞
0
vn (v) dv
) 3 ∫ +∞
( m
2πkT
2
v3e
−mv 2
2kT
dv
0
Questo integrale è I3 nella famiglia degli integrali di tipo gauss di ordine dispari e
m
lo risolviamo nelle note.[4] Basti qui sapere che vale 2A1 4 , con A2 = 2kT
. Dunque
( m ) 3 4k 2 T 2
2
⟨v⟩ = 4π
2πkT
2m2
√
8kT
=
πm
3. velocità quadratica mediaNon svolgiamo i calcoli, si ottiene valutando
l’integrale che esprime ⟨v 2 ⟩ . Si ha:
√
vrms =
3kT
m
Osservazioni:
• ⟨v⟩ > vmp : le particelle hanno in media una velocità maggiore della velocità
più probabile
• vrms > ⟨v⟩ .
• piccolo esempio numerico: qual è la velocità quadratica media delle particelle
d’azoto nell’aria, a temperatura ambiente?
√
3kT
vrms =
m
√
J
· 300K
3 · 1.38 · 10−23 K
m
=
≈ 500
−27
28 · 1.66 · 10 Kg
s
1.4.2 Evidenze sperimentali a sostegno della distribuzione di
Maxwell
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
12 / 124
Esperimento di Stern: il selettore di velocità
Il fisico tedesco Otto Stern pensa ad un esperimento per verificare la validità
della teoria di Maxwell. L’apparato sperimentale è costituito da un forno in cui
è contenuto un gas in equilibrio termico a temperatura T con un piccolo foro da
cui esce un fascio di particelle, successivamente collimato grazie ai collimatori.
Questo fascio entra in una camera in cui è fatto il vuoto spinto e in cui sono
presenti due dischi, D1 e D2, posti sullo stesso asse e con scanalature sfasate di
un angolo θ . Detta ω la velocità angolare dei due dischi, l’intervallo di tempo
necessario affinché una molecola che è passata attraverso la prima fenditura passi
anche attraverso la seconda è ∆t = ωθ = vs . Solo le molecole dotate di una
velocità v = sω
θ riescono ad oltrepassarli entrambi e a raggiungere il rivelatore
P, che conta quante molecole sono passate. Regolando la velocità angolare dei
dischi è possibile regolare la velocità delle molecole che riescono a raggiungere il
rilevatore e campionare le velocità delle particelle, potendo dunque tracciare la
funzione n = n (v)
In realtà è necessario applicare una correzione, che tiene conto del fatto che il
campionamento è fatto sulle molecole che escono dal forno e non propriamente
su quelle contenute nel forno. Infatti ad uscire dal forno sono le molecole più
veloci, perchè hanno maggiore probabilità di uscire. L’andamento sperimentale
che si osserva non è maxwelliano proprio per via di questo questo fenomeno,
detto effusione. Vediamo di studiare il fenomeno dal punto di vista statistico e
apportare la necessaria correzione.
Consideriamo una scatola (il nostro forno) sulla cui faccia di area A, ortogonale
all’asse z, è praticato un piccolo foro. Sia n (v) il numero di particelle per unità di
volume presenti nella scatola e aventi velocità v inclinata di un angolo θ rispetto
all’asse z. In un tempo dt Una molecola può uscire dal foro se si trova nel parallelepipedo di volume dA cos θvdt . Poichè questo vale indipendentemente dalla
direzione di v, si devono considerare tutte le molecole che hanno v < v < v + dv
(sottolineiamo in modulo!) e che stanno nell’angolo solido dΩ = dφ sin θdθ , ossia
n′ (v) dv = n(v)dvdΩ
. La distribuzione che esprime il numero totale di molecole
4π
aventi v < v < v + dv che in area unitaria e tempo unitario possono urtare la
parete e quindi uscire dal foro è quindi data da:
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
∫
2π
13 / 124
∫
π
2
Φ (v) dv =
0
0
∫
π
2
= 2π
0
∫
poiché
0
π
2
n (v) vdv cos θ sin θ
dθ dϕ
4π
n (v) vdv cos θ sin θ
dθ
4π
1
⇒
2
vn (v) dv
Φ (v) dv =
4
cos θ sin θ dθ =
⇒ considerando l’effusione la distribuzione cambia forma. Infatti Φ (v) dv va come v 3 mentre n (v) dv come v 2 . Ecco perchè il foro seleziona le velocità più
grandi. Poichè i dati sperimentali sono coerenti con questa nuova distribuzione,
si può comunque concludere la validità della teoria di Maxwell, in quanto è stata solo applicata una correzione che tenesse conto della presenza del foro, senza
modificare la forma di n (v) dv
√
√
Si noti che la velocità quadratica media ⟨v 2 ⟩ = 4kT
m è maggiore della velocità
quadratica media della maxwelliana, dunque il grafico sarà spostato verso destra.
Allargamento doppler termico
I gas eccitati emettono uno spettro a righe caratteristico, che può essere analizzato tramite uno spettrometro. Idealmente le righe di emissione dovrebbero essere
sottili e uniformi, trascurando per ora la larghezza minima (larghezza quantistica). Tuttavia per effetto termico (la temperatura non è mai 0) la riga appare in
realtà come una gaussiana, e la sua larghezza riflette la distribuzione delle velocità delle particelle che compongono il gas. Infatti parte delle particelle si muove
verso l’osservatore e parte se ne allontana, e questo comporta per effetto doppler
l’allargamento della riga. Vediamo nel dettaglio cosa accade.
Le particelle che costituiscono il gas hanno una certa distribuzione di velocità, che
ora supponiamo essere quella di Maxwell. Quando una particella si muove verso
l’osservatore, la radiazione emessa risulta spostata ad una frequenza più alta.
Analogamente, quando la particella si allontana, la frequenza risulta inferiore.
Per velocità termiche non relativistiche, l’effetto Doppler in frequenza assume la
forma:
(
v)
ν = ν0 1 +
c
c (ν − ν0 )
v=
ν0
dove ν è la frequenza osservata, ν0 la frequenza a riposo, v è la velocità della
particella verso l’osservatore, e c è la velocità della luce. Se la direzione di osservazione è ad esempio l’asse x, la distribuzione delle velocità lungo tale asse è
gaussiana:
√
n (vx ) dvx = N
m −mvx2
e 2kT
2πkT
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
14 / 124
Allora la distribuzione delle frequenze sarà:
√
m
e
2πkT
P (ν) dν = N
−mc2 (ν−ν0 )2
2
2kT ν0
c
dν
ν0
√
kT
che è sempre una gaussiana, centrata in ν0 e deviazione standard σν = mc
2 ν0
. Aumentando la temperatura la distribuzione di velocità si allarga, e lo stesso
succede per la distribuzione delle frequenze, e quindi per la riga.
Un parametro importante di tale distribuzione è la larghezza a metà altezza (
ν/P (ν) = 12 ):
√
∆ν =
8kT ln 2
ν0 .
mc2
Dall’allargamento delle righe spettrali è possibile stimare la temperatura dell’emettitore.
[1] Una trattazione più approfondita, che delinea meglio le ipotesi fondanti e le conseguenze della caduta di ciascuna di esse, può trovarsi su https://it.wikipedia.org/
wiki/Distribuzione_di_Maxwell-Boltzmann
[2]
∫
+∞
I=
∫∫
+∞
I2 =
e−x
2
−y
2
∫
+∞
∫
0
2
−∞
2π
dx dy =
−∞
e−x dx =
re−r dθ dr = π
2
+∞
e−y dy
2
−∞
∫
0
∫
+∞
0
2re−r dr = π
√
I= π
2
∫ +∞
2 2
Il nostro integrale è di questo tipo: −∞ e−A x dx . Con la costante A2 faccio una
sostituzione di variabili x → Ax
√
∫
∫ +∞
1 +∞ −A2 x2
π
A −A2 x2
e
dx =
e
d(Ax) =
A −∞
A
−∞ A
. Questo integrale appartiene alla classe degli integrali In =
partire da I0 , che abbiamo appena ricavato essere
ricorrenza tutti gli In di indice pari. Infatti si ha che
In = −
√
π
A
∫ +∞
−∞
xn e−A
2
x2
dx . A
, si possono ricavare per
∂In−2
∂In−2 ∂A
=−
∂A2
∂A ∂A2
[3]
∫
+∞
I=
−∞
x2 e−A
2
x
2
√
√
√
∂ Aπ
∂I0 ∂A
− π −1
π
∂I0
=−
= ( 2 )(
)= 3
dx = − 2 = −
∂A
∂A2
∂A ∂A2
A
2A
A
[4] A partire dalla relazione di ricorrenza
In = −
∂In−2
∂A2
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
15 / 124
possiamo calcolare anche tutti gli integrali di ordine dispari, a patto di conoscere
I1 , che ora calcoliamo.
∫ +∞
2 2
1
I1 =
xe−A x dx sostituzione t2 = A2 x2 ⇒ xdx =
d(t2 )
2A2
0
∫ +∞
2
1
=
e−t d(t2 )
2
2A 0
1
= − 2.
2A
Possiamo ora calcolare facilmente I3 :
∂I1
∂A2
1
=
2A4
I3 = −
1.5 Distribuzione dell’energia
Parlando di gas ideali, ove le interazioni tra le molecole sono trascurabili, è possibile ricavare la distribuzione dell’energia da quella delle velocità. In questo caso,
2
infatti, l’energia è tutta cinetica: E = Ek = mv
2 .

2
n (v) dv = 4πN ( m ) 32 v 2 e −mv
2kT dv
2πkT
√
√
2 √
1
v = 2Ek , dv =
m
m 2 E dE
(
⇒ n (E) dE = 2πN
1
πkT
)3
2
√ −E
Ee kT dE
Osservazioni:
• La distribuzione di energia non dipende dalla massa
• è un esempio di distribuzione di Boltzmann classica, ossia di distribuzione
avente la forma:
−E
n (E) dE = N g (E) e kT dE
−E
Il fattore e kT è detto fattore di Boltzmann.
Dalla formulazione di tale fattore si può notare che, a parità di temperatura T,
si ha minor probabilità di occupare stati energetici più alti.
Per una trattazione più approfondita della distribuzione di Boltzmann si veda
Distribuzione statistica di Boltzmann
1.6 Coefficienti di trasporto
Nel calcolo della pressione esercitata da un gas sulle pareti del suo contenitore la
dimensione delle molecole costituenti il gas non entrava in gioco. In questa sezione
esamineremo invece i fenomeni della viscosità e della conducibilità termica, i quali
dipendono dalla dimensione delle molecole e dalle collisioni tra di esse. Il successo
dell’applicazione della teoria cinetica a questi fenomeni fornisce storicamente una
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
16 / 124
delle prime prove convincenti della sua validità, e di conseguenza dell’esistenza
delle molecole.
Nella teoria cinetica possiamo considerare diverse quantità “trasportate” dalle molecole, ciascuna delle quali è legata ad uno dei cosiddetti coefficienti di
trasporto:
1. trasporto di quantità di moto→ coefficiente di viscosità ν ;
2. trasporto di energia→ coefficiente di conducibilità termica k ;
3. trasporto di materia (di densità)→w coefficiente di diffusione.
Il trasporto di queste quantità è strettamente legato agli urti tra le molecole,
e la frequenza delle collisioni dipende dalle dimensioni delle molecole e dal loro
numero per unità di volume. Prima di entrare nell’analisi dettagliata dei fenomeni
introduciamo alcuni concetti fondamentali.
La molecola, avente diametro d , viene pensata occupare un volume pari a d3
: non si entra nel dettaglio della forma. Con questa premessa la densità della
molecola è approssimativamente
ρ=
m
N a d3
Conoscendo il numero di Avogadro è possibile stimare le dimensioni delle molecole, che risultano essere dell’ordine dell’angstrom (simbolo Å, 1 Å = 10−10 m).
Viceversa se sono note le dimensioni delle molecole è possibile ricavare il numero
di Avogadro.
1.6.1 Libero cammino medio
Il libero cammino medio è la distanza che una molecola percorre in media tra una
collisione e l’altra, a temperatura fissata.
Consideriamo una molecola che si muove in una regione in cui ci sono n molecole
per unità di volume. Sia ⟨v⟩ la velocità media della molecola che stiamo considerando e r il suo raggio. Essa potrà collidere con un’altra molecola se i centri sono
a distanza 2r = d . Nel tempo t la molecola percorre una distanza ⟨v⟩t e urta con
tutte le molecole che si trovano nel volume cilindrico V = πd2 ⟨v⟩t . Il numero di
molecole in questo volume è chiaramente nπd2 ⟨v⟩t . La distanza totale percorsa
diviso il numero di collisioni fornisce l’espressione per il libero cammino medio.
l=
1
⟨v⟩t
=
2
nπd ⟨v⟩t
nπd2
→è inversamente proporzionale alla densità
1.6.2 Sezione d’urto
La quantità σ = πd2 è detta sezione d’urto e rappresenta la dimensione del
bersaglio. Essa può essere fisica (urto effettivo, bersaglio concreto) o non fisica
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
17 / 124
(es: urto elettrico).
Il cammino libero medio può essere riscritto tramite sezione d’urto come
l=
1
nσ
L’espressione corretta tuttavia è
1
l= √
2nσ
formula in cui si tiene conto anche della velocità relativa tra le particelle. Infatti
se v1 , v2 sono le velocità di due molecole, la loro velocità relativa è vrel = v1 − v2
, e si ha
2
vrel
= v12 + v22 + 2v1 v2 cos θ
2
⟨vrel
⟩ = v12 + v22
. Se v1 = v2 come nel caso considerato
2
⟨vrel
⟩ = 2⟨v12 ⟩
√
⟨vrel ⟩ = 2⟨v1 ⟩
1.6.3 Frequenza urti
ν=
⟨v⟩
l
1.6.4 Viscosità
Consideriamo un gas racchiuso tra due piatti. Scegliamo un piano z = cost tra
questi due piatti. In condizioni stazionarie si ha che :
{
Pzz
Pzx
=P
=0
forza per unità di area (pressione) nel piano z = cost lungo la componente z
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
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Il piatto superiore viene messo in movimento verso destra con velocità µ0 , mentre
quello inferiore rimane fermo. Si osserva la formazione di un gradiente di velocità
lungo l’asse z, la cui origine si pone in corrispondenza del piatto inferiore. Di fatto
accade che il gas in prossimità del piatto superiore tende a seguire il movimento
di questo con velocità µ0 , mentre quello in prossimità del piatto in quiete tende
a rimanere fermo. Non siamo più in equilibrio e non vale più che Pzx = 0 . Per
effetto del gradiente di velocità
Pzx = −ν
∂µx
∂z
Il coefficiente ν è il coefficiente di viscosità. Quello che stiamo dicendo è che
compare una forza per unità di superficie diretta lungo l’asse x e proporzionale al
gradiente di velocità,che tende a ristabilire una condizione di velocità uniforme.
Il fluido presenta quindi una sorta di attrito che viene chiamato viscosità.
La teoria cinetica dà un’interpretazione microscopica del coefficiente di viscosità
e ne valuta la dipendenza da altri parametri. Nelle ipotesi del modello cinetico
• il fluido è rarefatto
• µ0 << ⟨v⟩ → la velocità del piatto (di conseguenza quella di deriva del
gas,funzione di z ma chiaramente legata a µ0 ) è molto minore rispetto alla
velocità media termica delle molecole.
Qualitativamente possiamo legare il fenomeno della viscosità al trasporto di quantità di moto.Infatti se una molecola acquista per effetto del gradiente di velocità
un momento, per agitazione termica cambia quota e si “ritermalizza” tramite urti,
trasferendo il momento alle molecole partecipi delle collisioni.
Sia n il numero di molecole per unità di volume e consideriamo il nostro piano
z = cost . Per isotropia avremo che n6 delle molecole viaggeranno verso +z e
quindi attraverseranno una unità di superficie del piano dal basso verso l’alto e
altrettante verso −z , attraversando il piano dall’alto verso il basso. Dalla definizione di libero cammino medio si deduce che le molecole che attraversano il piano
dal basso hanno avuto in media una collisione precedente ad una distanza l al
di sotto del piano. Analogamente quelle che attraversano il piano dall’alto hanno
avuto una collisione ad una distanza l al di sopra del piano. Al momento della
collisione la velocità di deriva di tali particelle era rispettivamente µx (z − l) e
µx (z + l) . Le molecole che viaggiano verso +z trasportano quindi attraverso il
piano una quantità di moto n⟨v⟩mµ6x (z−l) , mentre quelle che viaggiano verso −z
trasportano un momento n⟨v⟩mµ6x (z+l) . Ricordando che ∆p
∆t = F possiamo dire
che Pzx = ∆p in quanto stiamo considerando l’unità di area e di tempo. Di conseguenza il trasporto netto di quantità di moto per unità di tempo e di superficie
attraverso il piano è[1] :
n⟨v⟩m
(µx (z − l) − µx (z + l))
6 (
)
n⟨v⟩m
∂µx
=
−2
·l
6
∂z
Pzx =
Pzx
l << z
sviluppo Taylor
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
{
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∂µx
= −n⟨v⟩ml
3
∂z
x
= −ν ∂µ
∂z
Pzx
Pzx
n⟨v⟩ml
3
1
l= √
2nσ
m⟨v⟩
ν= √
3 2σ
ν=
Osserviamo che:
• non dipende dalla densità (solo implicitamente per le ipotesi della teoria
cinetica).L’indipendenza da n implica anche che, a parità di temperatura,
ν è indipendente anche dalla pressione. Questo
risultato fu derivato per la prima volta da Maxwell nel 1860 e fu da lui confermato
sperimentalmente.
• ⟨v⟩ =
√
8kT
πm
→ν∝
√
T
Loschmidt sfrutta questo modello per stimare il numero di Avogadro:

ν =
ρ =
M
3Na πd2
M
Na d3
√
8kT
πM
M massa molare
ottiene Na ≈ 10 · 1023 corretto
nell’ordine di grandezza. Non c’è la correzione
√
della sezione d’urto con 2 perchè non ne era al corrente.
Esempio:
Stimiamo la viscosità dell’Azoto N2 . Sappiamo che:
• ⟨v⟩ = 460 m
s
• d = 3 · 10−8 cm
1 28 · 1.66 · 10−24 g · 4.6 · 104 cm
g
s
ν= √
= 1.78 · 10−4
−16
2
π · ·10 cm
cms
3 2
è coerente con il valore sperimentale.
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
20 / 124
1.6.5 Conducibilità termica
Consideriamo un gas disposto in strati ortogonali all’asse z verticale, in cui vi sia
una differenza di temperatura tra lo strato superiore, mantenuto a temperatura T2
, e lo strato inferiore, mantenuto a temperatura T1 < T2 . In questo modo si ha un
gradiente termico lungo l’asse z. Poichè in presenza di un gradiente di temperatura
il calore fluisce dai punti a temperatura maggiore a quelli a temperatura minore,
finché non viene raggiunto l’equilibrio termico, possiamo scrivere
Qz = −k
∂T
∂z
Prendiamo un piano z = cost . Essendo il calore legato al trasporto di energia
valutiamo il passaggio netto di ⟨Ek ⟩ = ⟨Ek (z)⟩ attraverso il piano scelto. Analogamente a quanto fatto per il coefficiente di viscosità, sappiamo che mediamente
n
6 molecole per unità di volume attraversano il piano dall’alto verso il basso
e altrettante dal basso verso l’alto, con rispettive energie cinetiche dall’ultima
collisione ⟨Ek (z + l)⟩ ed ⟨Ek (z − l)⟩ . Si ha quindi:
n⟨v⟩
(⟨Ek (z − l)⟩ − ⟨Ek (z + l)⟩)
6
−n⟨v⟩l ∂E
Qz =
3
∂z
−n⟨v⟩l ∂E ∂T
=
3
∂T ∂z
Qz =
Confrontando questa espressione con
Qz = −k
∂T
∂z
riconosciamo essere
k=
Essendo inoltre
n⟨v⟩l ∂E
3 ∂T
l << z
sviluppo Taylor
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
21 / 124
{
c =
l =
∂E
∂T
√1
2nσ
si ha infine:
1 ⟨v⟩
k= √
c
3 2 σ
Anche in questo caso non si√ha dipendenza dalla densità e la dipendenza dalla
temperatura è del tipo k ∝ T . Possiamo fare un’ulteriore considerazione mettendo a confronto le espressioni per il coefficiente di viscosità e di conducibilità
termica.
k
c
=
ν
m
k
ν
c
m
=1
Questo avverrebbe se le previsioni della teoria cinetica fossero corrette. Tuttavia
si trova
1.3 <
k
ν
c
m
< 2.5
Questo è dovuto alle approssimazioni eccessive introdotte, soprattutto per quanto
riguarda la conducibilità termica. Si sono infatti sovrastimate le velocità usando
solo la velocità media e si sono trascurati i fenomeni convettivi.
[1] Sviluppo di Taylor: µx (z ± l) = µx (z) ±
∂µx
∂z
·l
1.7 Distribuzione statistica di Boltzmann
La distribuzione di Maxwell-Boltzmann per le velocità e l’energia è un esempio
particolare della distribuzione di Boltzmann. Tale distribuzione è una funzione
di distribuzione per gli stati di un sistema, che rimane all’interno della meccanica statistica classica. La classicità del modello sta nel considerare le particelle
identiche ma distinguibili.
Consideriamo N particelle che formano un sistema di energia totale U. Se pensiamo di individuare r livelli di energia E1 , E2 , ...Er , potranno esserci n1 particelle
nel livello di energia E1 , ossia caratterizzate da un’energia E1 , n2 particelle nel
livello di energia E2 e così via. Chiaramente devono essere rispettati i vincoli che
{
N
U
∑
= ri=1 ni
∑
= ri=1 ni Ei
. La distribuzione delle particelle nei vari livelli di energia può cambiare, sebbene
il numero totale di particelle e l’energia totale del sistema debbano rimanere
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
22 / 124
costanti. Introduciamo un po’ di terminologia.
Un microstato del sistema è una configurazione specifica del sistema in cui si
tiene presente e ha importanza la posizione di ciascuna particella nei livelli di
energia. Per macrostato si intende una combinazione di variabili che descrivono
tale sistema in maniera completa perché esso possa essere studiato da un punto
di vista “macroscopico”, cioè in modo tale che l’indagine del sistema venga svolta
da un osservatore (reale o immaginario) posizionato rispetto al sistema ad una
“distanza” tale da coglierne le caratteristiche globali anziché le caratteristiche
delle singole particelle che compongono il sistema. Chiaramente microstati diversi
possono corrispondere allo stesso macrostato. Se ad esempio prendiamo come
variabili macroscopiche U ed N, tutte le possibili suddivisioni delle particelle nei
livelli energetici che rispettino
{
N
U
∑
= ri=1 ni
∑
= ri=1 ni Ei
sono microstati che danno origine allo stesso macrostato.
La domanda fondamentale che ci poniamo è se esiste una distribuzione più probabile delle particelle nei livelli energetici.
Per far questo ci “avviciniamo un po’ ” e immaginiamo di poter vedere, oltre all’energia e al numero di particelle totale, anche la suddivisione nei livelli. Per
evitare confusioni riportiamo il significato di microstato e macrostato nella situazione che stiamo analizzando, ricordando al lettore che il significato nell’uso
futuro sarà quello qui specificato.
• macrostato del sistema: U , N , ni in Ei
• microstati corrispondenti: tutte le configurazioni che danno come risultato
U , N , ni in Ei , tenendo presente che le particelle si considerano uguali
ma distinguibili
• Consideriamo il caso in cui U e N non cambiano: due macrostati si differenziano per la suddivisione delle molecole nei livelli energetici
• due microstati si differenziano per le particelle che costituiscono la frazione
ni
• La caratterizzazione del sistema tramite U e N è ora una sorta di “macromacrostato”. Abbiamo cambiato nomenclatura per rendere più chiara la
formulazione del postulato seguente.
La trattazione di Boltzmann si basa sul postulato fondamentale dell’equiprobabilità
a priori: dato un sistema isolato in equilibrio, ogni microstato ha eguale probabilità di manifestarsi. Questo postulato è una premessa fondamentale in meccanica
statistica. Stabilisce infatti che un sistema isolato in equilibrio non ha preferenze
per nessuno dei suoi microstati possibili. Dati Ω microstati associati ad una particolare energia, la probabilità di trovare il sistema in un particolare microstato è
dunque P = Ω1 . Questo postulato è necessario perché permette di concludere che
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
23 / 124
per un sistema in equilibrio lo stato termodinamico che può risultare dal maggior
numero di microstati è anche il macrostato più probabile del sistema.
Per ottenere la probabilità di un macrostato, nell’ipotesi di equiprobabilità, è
sufficiente contare il numero di modi in cui si può realizzare il macrostato, ossia
a quanti microstati corrisponde. Per passare dal numero di modi alla probabilità,
basta aggiungere una costante moltiplicativa che normalizza all’unità la somma
di tutte le probabilità. Immaginiamo ora il riempimento dei livelli energetici.
primo livello: esistono N modi per scegliere la prima componente del primo livello,
N-1 modi per scegliere la seconda e così via fino a ( N −n1 +1 ) modi per scegliere
la n1 -esima componente. In totale il numero di modi per riempire il primo livello
con n1 particelle sembrerebbe essere
N (N − 1) (N − 2) . . . 1
(N − n1 ) (N − n1 − 1) . . . 1
N!
=
(N − n1 )!
N (N − 1) (N − 2) . . . (N − n1 + 1) =
Le particelle classiche sono però identiche ma distinguibili. Dunque nel contare i
modi possibili di costruire il macrostato si sono considerati diversi il caso in cui si
mette prima la particella ‘a’ e poi la particella ‘b’ e il caso in cui si mette prima la
particella ‘b’ e poi la particella ‘a’. In realtà non devono essere considerati come
due modi distinti perché ai fini dell’energia conta solo che le due particelle si
trovino nel primo livello. Si è quindi sovrastimata la probabilità: si deve dividere
ancora per il numero di modi in cui si possono ordinare le n1 particelle. Tale
numero è il numero di permutazioni di n1 oggetti, pari a n1 ! . La probabilità del
macrostato E1 con n1 particelle è quindi data da:
N!
(N − n1 )! (n1 )!
( )
N
=
n1
P1 =
secondo livello: Ripetendo il ragionamento fatto per il primo livello, si trova che
esistono (N − n1 ) modi per scegliere la prima componente, (N − n1 − 1) modi
per scegliere la seconda, (N − n1 − n2 + 1) modi per scegliere la n2 -esima e
ultima componente. In ultima si ha
(N − n1 )!
(N − n1 − n2 )! (n2 )!
(
)
N − n1
=
n2
P2 =
Concludendo, il numero complessivo di modi di riempimento di tutti i livelli (che
è proporzionale alla probabilità di un certo macrostato) è il prodotto di questi
modi di riempimento dei vari livelli:
W = numero modi
N!
=
n1 !n2 ! . . . nr !
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
24 / 124
Notare che questa quantità è pari al numero di permutazioni con ripetizione di N
oggetti tra cui n1 sono uguali tra loro, n2 sono uguali tra loro, ..., nr sono uguali
fra loro.
A questo punto si può rispondere alla domanda “Dato un sistema ad energia U
con N particelle qual è la probabilità che una particella si trovi nel livello E1 ? ”
. Ragionando sull’esempio illustrato in figura, dove vengono rappresentati 3 macrostati differenti, ciascuno con un numero diverso di modi in cui può presentarsi,
vediamo che
4 · 5 + 3 · 20 + 2 · 10
35
∑
ni · numero microstati
= macrostati
microstati tot
∑
macrostati ni · numero microstati
= ∑
macrostati numero microstati
P (E = E1 ) =
Graficando la probabilità per una particella di trovarsi nei vari livelli energetici si
ottiene una curva esponenziale decrescente, che dà un’idea della forma della distribuzione di Boltzmann. Per ricavarla rigorosamente occorre invece massimizzare
la funzione W , o il suo logaritmo. In ogni caso si ottiene :
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
fmb = Ce
−Ei
kT
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fattore di Maxwell Boltzmann
dove C è la costante di normalizzazione.
∑
∑
fmb = 1
i
Ce
−Ei
kT
=1
i
1
C=∑
ie
−Ei
kT
Dunque si ha:


fmb
=

Z
=
−Ei
kT
−Ei
kT
e
i
−Ei
kT
e
∑
∑
ie
funzione di partizione
Il fattore di Maxwell-Boltzmann esprime la probabilità di trovare una particella
in un livello energetico. Se ho N particelle e voglio sapere la probabilità di trovare
ni particelle nel livello energetico Ei basta moltiplicare per N:
ni = N
e
−Ei
kT
Z
Osservazioni:
• i livelli energetici ad energia minore sono i più popolati. All’aumentare della
temperatura si popolano anche i livelli di energia maggiore.
• Data la funzione di partizione Z si possono ricavare le proprietà macroscopiche del sistema.
1.7.1 Correzione postulato di equiprobabilità
Se voglio introdurre la possibilità che i livelli energetici non siano equiprobabili
basta inserire un fattore di peso statistico gi [1] che distingua probabilisticamente
i livelli Ei .
−Ei
N
gi e kT
Z
∑
−Ei
Z=
gi e kT
ni =
i
Vediamo, come preannunciato nelle osservazioni, come ricavare le proprietà macroscopiche dalla funzione di partizione Z del sistema
Energia interna
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
U=
∑
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vincolo
ni E i
i
N ∑ ( −Ei )
gi e kT Ei
Z
i
( −Ei )
d
gi e kT
∑
N
=
kT 2
Z
dT
i
)
(
−Ei
∑
kT
d
g
e
i
i
N
= kT 2
Z
dT
∑ ( −Ei )
d i gi e kT
N
= kT 2
Z
dT
N 2 dZ
= kT
Z
dT
d
(ln Z)
U = N kT 2 dZ
dT
=
Energia media per particella
⟨E⟩ =
U
N
d
= kT 2 dZ
(ln Z)
dT
Nel caso limite in cui E è continuo l’espressione finale per il numero di particelle
aventi energia compresa tra E ed E + dE è:
(
n(E)dE =
(
2πN
1
πkT
)3
2
√
· E
)
−E
· e kT dE
dove il termine tra parentesi indica il peso gi , mentre il termine esponenziale è
il fattore di Boltzmann nel caso considerato.
1.7.2 Esempio di distribuzione di Boltzmann: legge dell’atmosfera
Consideriamo un gas ideale in un campo gravitazionale uniforme. Questo può
essere un buon modello per i gas costituenti l’atmosfera nel campo gravitazionale
terrestre. Vogliamo ricavare la dipendenza della densità del gas dalla distanza dal
suolo. Prendiamo come sistema di riferimento l’asse z, orientato verso l’alto, e
supponiamo che il gas sia descritto dai seguenti parametri:
• m = massa di una molecola;
• n= N
V = numero di molecole per unità di volume. Chiaramente è proporzionale alla densità.
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
Vogliamo ricavare la legge
funzione della quota.
dn
dz
27 / 124
che rappresenta la variazione della densità in
Prendiamo una colonna di gas di altezza ∆z . Tale colonna esercita una forza per
unità di area (ossia una pressione) pari a
∆p = −nmg∆z
dove il segno meno è dovuto al fatto che affinché ci sia equilibrio la forza peso
deve essere uguale e opposta alla forza esercitata dalla colonna di gas.
La legge di variazione per la pressione è dunque
dp
= −mgn
dz
. Sfruttando l’equazione di stato dei gas perfetti
pV = nkT →
P
→
n=
kT
dn
1
=
dp
kT
Con un piccolo artificio scriviamo
dn dp
dn
=
·
dz
dp dz
−mgn
=
separazione variabili
kT
−mgdz
dn
=
→
n
kT
−mgz
n = n0 e kT
Abbiamo raggiunto il nostro obiettivo: ricavare l’andamento della densità in funzione della quota. Possiamo notare che tale andamento segue la distribuzione
−mgz
di Boltzmann: è presente il fattore di Boltzmann e kT , che dimensionalmente
rappresenta un’energia. Questo è coerente con il fatto che a quote diverse corrispondono energie potenziali diverse. La stessa legge si può ricavare anche per la
pressione.
Il fisico Perrin esegue una verifica sperimentale della legge dell’atmosfera che gli
consente inoltre di ricavare in modo preciso il valore del numero di Avogadro.
Egli utilizza un recipiente d’acqua con particelle in sospensione, costituite da
una resina particolare di densità poco superiore a quella dell’acqua, di modo da
avere una sedimentazione lenta e poter osservare nel tempo la distribuzione delle
particelle alle diverse quote. Le dimensioni delle particelle, all’incirca uguali, si
aggirano intorno al micron. Tenendo conto della spinta di Archimede verifica la
forma funzionale della legge
Capitolo 1. Corpuscolarità della materia
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(
)
−mg ρparticelle −ρf luido z
n = n0 e
ρparticelle kT
(
= n0 e
)
−mgNa ρparticelle −ρf luido z
ρparticelle RT
da cui ricava la costante Na
[1] il peso statistico gi rappresenta il numero di stati quantici aventi lo stesso valore
di energia Ei
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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Capitolo 2
Corpuscolarità della carica
2.1 Introduzione
L’idea che anche la carica elettrica sia in realtà costituita da particelle (atomicità
della carica) inizia a svilupparsi sulla base di diverse evidenze sperimentali.
Una prima evidenza è la legge dell’elettrolisi di faraday: la massa di una sostanza
prodotta in corrispondenza di un elettrodo durante l’elettrolisi è direttamente
proporzionale alla quantità di carica trasferita a quell’elettrodo. Questo porta a
pensare che sia la materia che l’elettricità siano costituite da unità elementari che
preservano la loro identità durante il processo.
Ulteriori evidenze a supporto dell’idea di atomicità della carica sono legate allo
studio del passaggio dell’elettricità attraverso i gas. In opportune condizioni il
passaggio di elettricità attraverso un gas genera scariche elettriche. Un esempio
molto comune sono i fulmini, scariche attraverso l’aria. In queste esperienze un
ruolo importante è svolto dalla pressione del gas in esame. Per questo motivo
l’apparato sperimentale utilizzato è del tipo illustrato in figura.
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
30 / 124
Tale dispositivo è detto tubo di crookes ed è costituito da
• un tubo di vetro collegabile ad una pompa a vuoto.
• una croce di malta, che ha la funzione di “oggetto”
• un dispositivo per generare una differenza di potenziale
Questo dispositivo consente di variare tramite la pompa a vuoto la pressione all’interno del tubo.
( Quando
) la pressione è quella atmosferica è necessario un campo
V
6
molto intenso 3 · 10 m per generare una scarica. Diminuendo la pressione l’intensità di campo necessaria diminuisce, finché, a pressioni molto basse, aumenta
di nuovo. La stessa natura delle scariche che vengono a formarsi all’interno del
tubo cambia a seconda della pressione. In particolare a pressioni basse anche il
vetro che costituisce le pareti del tubo diventa luminescente. In questo modo si
osserva che interponendo un oggetto tra gli elettrodi esso produce un’ombra sulla
pareti del tubo. Inizia allora ad affiorare l’idea che responsabili della luminescenza siano raggi, che non riescono però a penetrare l’oggetto interposto. Tali raggi
vengono chiamati raggi catodici e il loro studio porta alla scoperta di importanti
proprietà della carica elettrica.
2.2 Esperimento di Thomson
Alla fine del XIX secolo Thomson si dedica ad uno studio sistematico dei raggi
catodici, osservando che:
1. i raggi vengono deviati da campi elettrici e magnetici. Questo porta alla conclusione che siano costituiti da particelle cariche. Dalla direzione di
deviazione può inoltre concludere che sono particelle cariche negativamente.
q
2. cambiando tipo di gas nel tubo il rapporto m
è costante e identico nei vari
casi, dunque le particelle cariche dei raggi catodici sono comuni alle varie
specie.
q
Thompson riesce inoltre a determinare il rapporto m
di tali particelle. Illustriamo
nel dettaglio l’esperimento che porta a questo risultato.
2.2.1 Apparato sperimentale
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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Presentiamo anche una schematizzazione della strumentazione con la nomenclatura utilizzata nei calcoli che seguiranno.
Dove:
• E è un campo elettrico perpendicolare al moto delle cariche, dovuto ad una
differenza di potenziale impostata dallo sperimentatore.
• L è la lunghezza di entrambe le armature, nota a priori
• D è la distanza tra l’estremo delle armature, dove il campo E smette di
influenzare il moto, e lo schermo fluorescente
• y1 è la massima deviazione sull’asse verticale delle cariche sottoposte al
campo E
• y2 è la differenza tra P P ′ e y1 , da cui segue che y1 + y2 = ytot = P P ′
2.2.2 Procedimento
Prima di entrare nella regione di campo elettrico le condizioni del fascio sono:
vx = cost
All’ingresso nella regione di campo , supponendo il fascio essere composto di
particelle di massa m e carica q, esse risentono dell’accelerazione:
ay =
qE
m
Il moto risultante è dunque parabolico ed ha equazione:
{
y
t
=
=
1 qE 2
2 mt
x
vx
1 qE
⇒y=
2 m
(
x
vx
)2
All’uscita dalla regione di campo elettrico la deviazione lungo l’asse y è dunque
y|x=L = y1
1 qE
=
2 m
(
L
vx
)2
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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I raggi successivamente proseguono in linea retta, inclinati con un angolo θ
rispetto all’orizzontale. Osservando la figura è chiaro che


 y2
tan θ


{
= D tan θ
D·q·E·L
dy
= dx
|x=L
⇒ y2 =
mvx2
x
= qE
|
m v 2 x=L
x
y1
y2
=
=
1 qE L 2
2 m vx
D·q·E·L
mvx2
qE L
⇒ y1 + y2 = ytot =
m vx2
(
L
+D
2
)
Per determinare vx Thomson utilizza un campo magnetico B ortogonale al campo
elettrico E. Variando il campo B appropriatamente egli riesce a bilanciare gli
effetti del campo elettrico annullando la deviazione.
qvx B = qE
E
vx =
B
in questo modo l’unica incognita è il rapporto
q
m
, che risulta essere:
E
ytot
q
)
= 2 (L
m
B L 2 +D
C
= 1.7 · 1011
Kg
Il valore oggi accertato è:
e
C
= 1.758803 · 1011
m
Kg
Osservazione: E’ necessaria una precisazione. Una particella carica in un campo elettrico compie una traiettoria parabolica, mentre una particella carica in un
campo magnetico ha traiettoria circolare. Com’è possibile dunque che i due effetti
si bilancino? Questa approssimazione è valida se il tratto di circonferenza si può
pensare come tratto parabolico. Consideriamo l’effetto del solo campo magnetico
2
B. Da qvx B = m vRx segue che il raggio di curvatura della traiettoria circolare
dovuta a B è:
R=
mvx
qB
Poichè abbiamo bisogno di un arco di circonferenza che vada a compensare il
tratto parabolico del moto all’interno del campo E , prendiamo la circonferenza
centrata in (0, −R) , che avrà equazione:
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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(x − 0)2 + (y − (−R))2 = R2
x2 + (y + R)2 = R2
x2 + y 2 + 2Ry = 0
R=−
x2 + y 2
2y
2
2
L’approssimazione di Thomson è R ≈ −x
2y , che vale se y << x , cioè se la
deviazione lungo y è molto minore della distanza percorsa lungo x. Otteniamo
così la componente del moto lungo l’asse verticale con le dovute correzioni:
2
{
mvx
qB
−x2
2y
R=
R≈
⇒y=
−qBx2
2mvx
Applicando questa correzione


y1



y
2





= −qBL
2mvx
(
)
= D tan θ
−qBL L
+D
⇒ ytot =
dy
mvx
2
= D dx
= −D qBL
mvx
2
Abbiamo visto che per piccole deflessioni l’approssimazione dell’arco di circonferenza con una parabola è valida.
A questo punto confrontando l’espressione di ytot con quella dovuta al solo campo
elettrico
ytot =
possiamo eliminare vx e ottenere
qE L
m vx2
(
L
+D
2
)
q
m
2.3 Esperimento di Zeeman
q
Un’ulteriore determinazione del rapporto m
viene svolta da Zeeman durante studi spettroscopici. In particolare Zeeman osserva che in presenza di un campo
magnetico le righe di emissione dei vari elementi si modificano. Più precisamente,
ciascuna riga si scinde in più righe molto vicine. Questo primo effetto viene chiamato effetto Zeeman normale e Zeeman fornisce per esso una spiegazione classica
q
esauriente, che consente inoltre di ricavare il rapporto m
. Tuttavia le evidenze
sperimentali riscontrate dallo scienziato mettono anche in luce un secondo effetto,
per cui all’epoca non si riesce a trovare una spiegazione classica soddisfacente. Per
questo motivo viene indicato con il nome effetto Zeeman anomalo. Nell’immagine
seguente viene mostrato un esempio di effetto Zeeman normale.
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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Apparato sperimentale
• Dispositivo che consente di generare un campo magnetico B omogeneo
all’interno dei due piatti del polo S;
• Sorgente di luce (es: lampada al sodio);
• Sistemi ottici per ottenere una visione sia in direzione ortogonale a B, sia
in direzione longitudinale rispetto a B.
Si osserva:
• la riga singola del sodio si scinde in 3 righe spettrali se la direzione di
osservazione è ortogonale al campo magnetico applicato B;
• la riga singola del sodio si scinde in 2 righe spettrali se la direzione di
osservazione è quella longitudinale.
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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Spiegazione teorica [1] Poniamoci nella condizione di osservazione ortogonale.
Immaginiamo che la carica q all’interno dell’atomo sia trattenuta da una forza in
tre dimensioni di tipo elastico a carattere centrale, esprimibile come:
F = −br
Fx = −bx
Fy = −by
Fz = −bz
In quest’ottica ha senso definire una frequenza propria e una pulsazione propria
della carica nell’atomo:
1
ν0 =
2π
√
b
m
√
b
ω0 =
m
Possiamo scomporre il moto della carica q in un moto armonico nella direzione
parallela a B e in due moti circolari controrotanti nel piano perpendicolare a B .
In presenza di un campo magnetico sulla carica in moto agisce la forza di Lorentz
F = q (v ∧ B)
Tale forza lascia invariata la componente del moto parallela al campo ( responsabile della riga a frequenza ν0 ), mentre agisce sui moti circolari controrotanti con
una forza Fm che genera un aumento o una diminuzione della forza centripeta in
base al verso di rotazione e al segno della carica. I due moti si ricombinano come
moti controrotanti con frequenza ν0 + ∆ν e ν0 − ∆ν
Considerando anche le altre forze agenti e scriviamo l’equazione delle forze:
mv 2
− br = ±qvB
r
Il segno ± indica le due componenti controrotanti. Sappiamo inoltre che:
{
v = ωr = 2πνr
b = mω02
Dunque la nostra equazione del modo è
ω2 +
qBω
− ω02 = 0
m
Con soluzioni:
qB
ω=±
±
2m
√(
qB
2m
)2
+ ω02
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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Vediamo subito che le soluzioni con il segno intermedio negativo non hanno significato fisico perchè corrispondono a pulsazioni negative. Verifichiamo inoltre
qB
che con i valori in gioco si ha 2m
<< ω0 , in modo da poter svolgere qualche
qB
approssimazione. Se i campi sono B ≈ 1T si ottiene 2m
≈ ·1010 . Le pulsazioni
tipiche di un atomo sono invece dell’ordine di 1015 . Possiamo dunque fare le
necessarie approssimazioni e ottenere
ω = ω0 ±
qB
2m
Abbiamo quindi ottenuto le frequenze (basta dividere per 2 π ) perturbate e simmetriche rispetto alla frequenza centrale che si osservano quando la luce emessa da
una sorgente viene fatta passare in un campo magnetico uniforme. La separazione
tra le righe spettrali corrispondenti è:
∆ν =
da cui infine ricaviamo il rapporto
q
m
q B
m 2π
in funzione di quantità note o misurabili:
q
2π∆ν
=
m
B
Il valore ottenuto da Zeeman è
C
q
= 1.6 · 1011
m
Kg
, compatibile con quello ricavato da Thomson. Il segno della carica è ricavabile
dal verso di polarizzazione della luce.
[1] Per chi rimanga perplesso da questa spiegazione, forse troppo semplificata per
essere chiara, approfondimento chiarificatore;http://www.ld-didactic.de/literatur/
hb/i/p6/p6271_i.pdf
2.4 Esperimento di Millikan
Dopo gli esperimenti di Thomson e Zeeman si conosce la natura dei raggi catodici
q
e si ha una misura del rapporto m
proprio delle particelle che li costituiscono.
Tuttavia non è ancora possibile conoscere i valori di q ed m separatamente. Questo obiettivo viene raggiunto da Millikan nel 1909 tramite l’esperimento che ora
descriveremo.
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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2.4.1 Apparato sperimentale
• goccioline d’olio nebulizzate, osservabili tramite microscopio, di dimensioni
dell’ordine del micron ( 1µm = 10−6 m )
• condensatore con armature distanti L
• sorgente ionizzante
2.4.2 Descrizione esperimento
Inizialmente il campo elettrico non viene acceso. Scegliamo un riferimento verticale orientato verso il basso. Quando la gocciolina d’olio inizia a cadere è sottoposta
a 3 forze:
• la forza peso, diretta verso il basso, Fp = mg
• la forza di Archimede, diretta verso l’alto, Fa = m′ g
• la forza di attrito viscoso, o forza di Stokes, diretta secondo la stessa direzione ma in verso opposto rispetto alla velocità, Fs = 6πνRvg , in questo
caso verso l’alto.
Ricordiamo che:
• la massa m’ che compare nell’espressione della forza di Archimede è la massa
corrispondente al volume d’aria spostato dalla gocciolina.
• la velocità vg che compare nella forza di attrito viscoso è la velocità di
regime: raggiunta tale velocità il moto della gocciolina diventa uniforme, in
quanto le forze si bilanciano. vg viene raggiunta in un tempo di ≈ 40µs ,
dunque possiamo considerare le velocità misurate come di regime.
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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Misurando le velocità di caduta è possibile ricavare il raggio della gocciolina d’olio.
Infatti l’equazione del moto è:
mg − m′ g − 6πνRvg = 0
4 3
4
πR ρolio g − πR3 ρaria g − 6πνRvg = 0
3
3
4 3
πR (ρolio − ρaria ) g = 6πνRvg
3
2
(ρolio − ρaria )
vg = R2 g
9
ν
Dopo aver determinato secondo questo metodo il raggio delle goccioline si accende
il campo elettrico. La gocciolina ionizzata per effetto del campo risale verso l’alto.
Riscriviamo le equazioni del moto tenendo presente che ora agisce la forza Fe =
qE verso l’alto e che la forza di Stokes, poichè ora la velocità è verso l’alto, agisce
verso il basso.
mg − m′ g + 6πνRve − qE = 0
Dai calcoli svolti precedentemente possiamo inoltre scrivere:
mg − m′ g = 6πνRvg
Dunque si ha:
6πνR (vg + ve ) = qE
Dalla misura della velocità (ve , e conoscendo
E tramite il potenziale applicato e
)
la distanza tra le armature E = Vd , si ricava quindi il valore della carica q:
q=
6πνR (vg + ve )
E
In realtà Millikan non ottiene misure dirette della velocità ma misura i tempi di
caduta, da cui:
(
6πνRL
q=
1
tg
+
1
te
)
E
L’ulteriore,importantissima, scoperta di Millikan è che i valori di tali cariche sono
tutti multipli interi di una quantità costante, e , che egli riesce a misurare.


q






q ′






= ne
(
6πνRL
=
= n′ e
=
6πνRL
1
tg
+ t1
⇒ q′ − q =
E
(
1
tg
+ t1′
e
(
)
e
6πνRL
)
E
Ottiene che il valore di questa carica elettrica e è:
1
t′e
E
−
1
te
)
(
)
= n′ − n e
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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e = 1.591 · 10−19 C
Questo valore viene quindi assunto come quello di carica elementare ovvero la
Osservazione:
Rispetto al valore oggi accertato
(carica del singolo elettrone.
)
e = 1.602176565(35) · 10−19 C il risultato di Millikan è sottostimato. Questo è
dovuto ad un errore nella stima del coefficiente di viscosità dell’aria.
2.5 Raggi canale
Dopo la scoperta dell’elettrone, particella elementare di carica negativa, ci si
interroga riguardo alle cariche positive. Per tale indagine si utilizzano tubi a
scarica simili a quelli adoperati per i raggi catodici. Nel 1886 Goldstein si accorge
infatti che se il catodo presenta un foro compare una luminescenza anche sulla
parete del tubo opposta all’anodo. I responsabili di tale luminescenza vengono
chiamati raggi canale.
Riassumiamo ciò che emerge dall’analisi di questi raggi:
• i raggi vengono deviati da campi elettrici o magnetici e viaggiano in direzione opposta rispetto ai raggi catodici → sono costituiti da particelle cariche
positivamente;
q
• la deviazione subita dai raggi indica che il rapporto m
è diverso a seconda
e
del tipo di gas presente nel tubo ed è inferiore rispetto al rapporto m
proprio
dei raggi catodici;
• la velocità dei raggi canale non è uniforme ed è molto minore di quella dei
raggi catodici.
I raggi sono costituiti da fasci di particelle ionizzate, atomi privati di uno o più
elettroni. Per il lettore moderno questo è un fatto piuttosto ovvio: le particelle
costituenti il gas vengono ionizzate dalla scarica elettrica, gli ioni positivi viaggiano verso il catodo, quelli negativi verso l’anodo. Lo studio del rapporto tra
massa e carica elettrica delle particelle costituenti i fasci porterà alla nascita della spettrometria di massa, alla scoperta degli isotopi e successivamente a quella
fondamentale del protone. L’esperimento che ora illustriamo è dovuto a Thomq
son e consente di ricavare il rapporto m
dei raggi canale, che hanno velocità non
uniformi.
Capitolo 2. Corpuscolarità della carica
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2.5.1 Apparato sperimentale
• il campo E e il campo B in questo setup sperimentale sono paralleli, non
ortogonali!
2.5.2 Descrizione esperimento
q
Supponiamo di avere una particella con rapporto m
incognito. Il campo E deflette la traiettoria della particella lungo l’asse z, mentre il campo B la deflette
lungo l’asse y. Riprendendo quanto visto nell’esperimento di Thomson scriviamo
le deflessioni lungo i due assi:
{
y
z
=
=
qBL
mvx
qEL
mvx2
(L
)
+
D
( L2
)
2 +D
Ricavando vx in funzione di y e inserendola nella seconda equazione possiamo
rendere esplicita la forma analitica della funzione:

vx
=
z
=
)
qBL ( L
my
2 +D
Emy 2
2
qB L( L
+D)
2
Ed ecco che riconosciamo l’equazione di una parabola nel piano yz:
z=
m
E
(L
) y2
2
q B L 2 +D
q
A seconda del rapporto m
si ottengono rami diversi di parabole. Proprio per
questo l’apparato è in grado di evidenziare la presenza di isotopi degli elementi:
avendo massa diversa, gli isotopi tracciano rami di parabole differenti. Tuttavia
l’apparato di Thomson è rudimentale e la separazione tra i rami delle parabole
non è molto evidente. Successivamente un allievo di Thomson (Francis Aston)
perfeziona l’apparato sfruttando il fenomeno dell’ effusione, che consente di selezionare le particelle più veloci ed evidenziare meglio la separazione tra le tracce
paraboliche. Lo scopo della miglioria era approfondire lo studio degli isotopi del
Neon, già rilevati da Thomson.
Capitolo 3. Corpo nero
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Capitolo 3
Corpo nero
3.1 Introduzione
Introduzione Ogni corpo caldo, ossia a temperatura T ̸= 0K , emette radiazione elettromagnetica, a frequenze tanto più alte quanto maggiore è la sua temperatura. Introduciamo alcune grandezze legate all’irraggiamento di radiazione
elettromagnetica da parte di una sorgente e alla sua interazione con i corpi.
Grandezze relative alla sorgente:
[1]
dP
W
→ [R] = 2
dΩdS
m · sr
W
dP
→ [R] = 3
Rλ =
dΩdSdλ
m · sr
R=
• R è la radianza. Rappresenta la potenza irraggiata per unità di superficie e
di angolo solido;
• Rλ è la radianza spettrale. Rappresenta la potenza irraggiata per unità
di superficie e di angolo solido in un intervallo infinitesimo di lunghezze
d’onda;
La radianza, in particolare, caratterizza l’emissione o riflessione complessiva, mentre la radianza spettrale si limita a considerare una singola frequenza o lunghezza
d’onda della luce. La radianza equivale pertanto all’integrale (alla somma) di
tutte le infinite radianze spettrali di una data superficie
Grandezze relative all’oggetto:
Quando la radiazione elettromagnetica incide su una superficie una parte viene
riflessa, una parte viene assorbita e una terza parte riesce, eventualmente, a essere
trasmessa. Per questo motivo si stabiliscono tre coefficienti che dipendono dal tipo
di superficie su cui incide la radiazione:
• Coefficiente di riflessione o riflettività: r =
Erif lessa
Eincidente
• Coefficiente di assorbimento o assorbanza: a =
Eassorbita
Eincidente
• Coefficiente di trasparenza o trasmittanza: t =
Euscente
Eincidente
Capitolo 3. Corpo nero
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Da quanto detto segue che la somma dei coefficienti è pari a uno cioè: a+r +t = 1
(conservazione dell’energia).
Classificazione corpi:
• Un corpo nero[2] è un oggetto (ideale), in equilibrio termico[3] con l’ambiente, che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente. Essendo in
equilibrio termico re-irradia tutta la quantità di energia assorbita (coefficiente di emissione uguale a quello di assorbimento e pari ad uno). Per un
corpo nero vale che:
r = t = 0, a = 1
• Un corpo che non sia nero, ma che tuttavia non trasmetta radiazione, è
detto corpo opaco. Per i corpi opachi:
t = 0, a + r = 1
Il corpo nero:
La radiazione emessa da un corpo nero viene detta radiazione del corpo nero e la
densità di energia irradiata spettro di corpo nero. Lo spettro (intensità o densità
della radiazione emessa in funzione della lunghezza d’onda o della frequenza) di
un corpo nero è uno spettro dalla caratteristica forma a campana (più o meno
asimmetrica e più o meno schiacciata) dipendente unicamente dalla sua temperatura T e non dalla materia che lo compone. La radiazione emessa si caratterizza
solitamente in termini di radianza
UV
VISIBLE
INFRARED
14
Spectral radiance (kW · sr⁻¹ · m⁻² · nm⁻¹)
5000 K
12
Classical theory (5000 K)
10
8
6
4000 K
4
2
3000 K
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Wavelength (μm)
Come si può notare, al crescere della temperatura il massimo della curva si sposta verso frequenze maggiori (lunghezze d’onda minori). Un’altra osservazione
importante è che, a differenza di altri spettri di emissione, è uno spettro continuo.
Il tentativo di dare spiegazioni convincenti dello spettro di corpo nero porta alla
necessaria introduzione di ipotesi quantistiche.
Capitolo 3. Corpo nero
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[1] Lo steradiante sr è un numero puro: [sr]=1
[2] Lo chiamiamo nero perchè non riflette alcuna lunghezza d’onda. Tipicamente il
colore di un oggetto è legato alle lunghezze d’onda riflesse dalla sua superficie.
[3] si ha equilibrio termico se la velocità di emissione è uguale alla velocità di assorbimento
3.2 Leggi fenomenologiche
Nella realtà un buon modo per ottenere un corpo nero è una cavità isoterma,
ossia un oggetto cavo mantenuto a temperatura costante (una sorta di forno) le
cui pareti emettono ed assorbono continuamente radiazioni su tutte le possibili
lunghezze d’onda dello spettro elettromagnetico.
Gli studi sperimentali sullo spettro del corpo nero si basano su questo tipo di
“costruzione” di un corpo nero.
Legge di Kirchhoff Chiamiamo ∆A l’area del corpo che irraggia nel tempo ∆t
. Per i corpi opachi all’equilibrio termico, condizione in cui la velocità di emissione
eguaglia quella di assorbimento,si ha che:
E1 =
R1 ∆A1 ∆t =
a I∆A ∆t
| {z }
| 1 {z 1 }
energia emessa energia assorbita
E2 = R2 ∆A2 ∆t = a2 I∆A2 ∆t
ossia il rapporto tra le radianze di due corpi opachi è pari al rapporto tra i loro
coefficienti di assorbimento.
R1
a1
=
R2
a2
Capitolo 3. Corpo nero
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R1
R2
Rn
=
= .... =
= cost = RBB
a1
a2
an
legge di Kirchhoff
Dove con RBB si intende radianza di un corpo nero.
[1]
L’ultima eguaglianza richiede una spiegazione: un corpo nero è un particolare
corpo opaco in cui, oltre a t , è nullo anche il coefficiente r ; segue che il coefficiente
a (in particolare ogni coefficiente an ) è uguale a 1 . Se dunque tra i corpi opachi
considerati c’è un corpo nero la legge resta valida.
La legge di Kirchhoff appena enunciata mi dice in sintesi che il rapporto tra
radianza e assorbanza per un corpo opaco è una costante che dipende solo dalla
temperatura ed è uguale alla radianza di un corpo nero a quella temperatura.
Poichè 0 < a < 1 si ha inoltre che
Rcorpo
opaco
< RBB
Isotropia della radiazione di un corpo nero
La radiazione di un corpo nero ideale è chiaramente isotropa: l’emissione è uniforme in tutte le direzioni. Tuttavia questo non è scontato per il nostro modello
di “forno”. Se dovesse emergere che per questo modello l’isotropia non vale, non
sarebbe più un valido modello per il corpo nero. Verifichiamo che questo non
accada.
Se R1 è la radianza del corpo M1 , esso emette nel tempo ∆t un’energia R1 ∆t .
Parte della radiazione emessa viene assorbita da M2 , parte viene invece riflessa
verso M1 , secondo il rapporto dettato dal coefficiente r2 : r2 R1 ∆t . Proseguendo
in modo analogo si ha la situazione descritta in figura dalle frecce blu. Le frecce
rosse descrivono la situazione corrispondente per il corpo M2
Consideriamo ora tutta la radiazione in una direzione, ad esempio verso destra,
e indichiamo la radianza relativa a tale radiazione RD . Allora si ha:
(
)
(
)
RD ∆t = R1 ∆t 1 + r1 r2 + r12 r22 + ... + R2 ∆t r1 + r12 r2 + r13 r22 + ...
Capitolo 3. Corpo nero
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Ricordando che 0 < r1 r2 < 1 possiamo riconoscere nella prima parentesi l’espressione di una serie geometrica di ragione q = r1 r2 . L’analogo si può riconoscere
nella seconda parentesi dopo aver raccolto r1 . Sfruttando la convergenza di tale
serie:
(
RD ∆t = R1 ∆t
1
1 − r1 r2
)
(
+ R2 ∆t
r1
1 − r1 r2
)
Sfruttando la legge di Kirchhoff:


R1 = a1 RBB



R = a R
2
2 BB

a
=
1
−
r1
1



a = 1 − r
2
2
{
⇒
R1 = (1 − r1 ) RBB
R2 = (1 − r2 ) RBB
Si ha infine:
RD =
(1 − r1 ) RBB + r1 (1 − r2 ) RBB
⇒
1 − r1 r2
(1 − r1 r2 ) RBB
RD =
= RBB
1 − r1 r2
Lo stesso si ottiene per la radiazione verso sinistra, RS .Dal momento che la cavità
può avere qualsiasi forma, la radianza assume, in ogni direzione,il valore RBB ,
quindi è isotropa. Se si pratica un foro nella cavità, la radiazione che ne esce è
quella del corpo nero.
[1] Dall’inglese “Black Body”, corpo nero
3.3 Legge di Stefan-Boltzmann
Torniamo a concentrarci sull’analisi della radiazione emessa da un corpo caldo.
Indipendentemente dal tipo di materiale che costituisce la sorgente, la forma
dello spettro rimane quella illustrata nell’Introduzione. Questo conferma l’idea
che la curva rappresenti una proprietà generale della radiazione termica a una
data temperatura. Uno studio di questa curva fornisce quindi informazioni sulla
radiazione stessa.
Matematicamente, l’area sottesa dalla curva è proporzionale alla radianza totale.
Analizzando la dipendenza dalla temperatura Stefan trova una legge empirica che
lega la radianza di un corpo alla quarta potenza della temperatura. In particolare,
trova che:
RBB = σT 4
Rcorpo
opaco
= aσT 4
La costante σ è detta costante di Stefan-Boltzmann e ha il valore:
Capitolo 3. Corpo nero
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σ = 5.67 · 10−8
W
m2 K 4
Il coefficiente a che compare per i corpi opachi è il loro coefficiente di assorbimento,
che è compreso tra 0 e 1. Dunque da questa legge fenomenologica ritroviamo che
Rcorpo opaco < RBB . [1]
Il contributo di Boltzmann è la spiegazione teorica, su basi termodinamiche, della
legge empirica.
Esempio:effetto stalla Quando in una stanza piccola sono presenti molte persone, dopo un po’ di tempo la temperatura aumenta. Perchè questo accade? Perchè noi siamo corpi caldi ed emettiamo radiazione termica. Tramite la legge di
Stefan, possiamo fare qualche calcolo quantitativo. Ricordiamo innanzitutto che
la potenza è la radianza moltiplicata per l’area:
P = R · Area
La potenza netta emessa dal corpo umano è:
(
)
Pnetta = Pemessa − Pambiente = Aaσ T 4 − T04
Supponiamo di trovarci in una stanza a 20°, ossia 293 K. La nostra temperatura
la consideriamo di circa 30°, ossia 303 K. La superficie del corpo umano è di circa
2 m2 e ci idealizziamo come corpi neri (sbagliando, ma ci interessa solo un’idea
approssimativa) per cui poniamo a=1.
Si ottiene P ≈ 100W : siamo come delle lampadine!
Esempio:temperatura superficiale del Sole Andiamo a stimare la temperatura superficiale del sole assumendo che sia un corpo nero.
Rsole = 7 · 108 m
dterra
sole
= 1.5 · 1011 m
W
cs = 1400 2
m
Stimiamo la potenza irraggiata dal Sole sulla Terra Pst :
Pst = 1400
R = σT 4 =
=
Da cui:
W
· 4πd2terra
m2
sole
Pst
4πRs2
W
2
1400 m
2 · 4πdterra
4πRs2
sole
Capitolo 3. Corpo nero
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√
T =
4
W
2
1400 m
2 · dterra
σRs2
sole
= 5803K
3.3.1 Spiegazione termodinamica
Un’onda elettromagnetica, quale è la radiazione termica che stiamo analizzando,
trasporta energia e quantità di moto.
• u=
E
V
= densità volumica di energia trasportata dalla radiazione;
• I = intensità = energia trasportata per unità di area e di tempo = u · c
•
u
c
=
p
V
densità volumica di quantità di moto.
Poichè la radiazione scambia un momento con la superficie su cui incide, esercita
una pressione. Da analisi dimensionali ricaviamo che:
{
[P ]
=
[u]
=
[F ]
[A]
[E]
[V ]
=
=
N
m2
J
m3
=
=
Kg·m
= sKg
2 ·m
s2 ·m2
Kg·m2
= sKg
2 ·m
s2 ·m3
→ [P ] = [u]
Dimensionalmente la pressione equivale alla densità di energia. La relazione funzionale corretta è:
P = u cos2 θ
che deriva qualitativamente dalla considerazione che se i raggi incidenti sulla
superficie sono inclinati di un angolo θ la pressione diminuisce perchè la densità
di energia si scarica su un’area maggiore, mentre la densità di energia diminuisce
P
perchè va proiettata: cos
θ = u cos θ .
Consideriamo ora una semisfera di raggio unitario costituita da N raggi incidenti con inclinazione θ generica: 0 < θ < π . La superficie che consideriamo è
perfettamente assorbente, dunque i raggi non subiscono riflessione.
Capitolo 3. Corpo nero
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La densità di energia totale trasportata dagli N raggi è U = N u e la pressione
risulta essere
P =
N
∑
u cos2 θ = u
i=1
N
∑
cos2 θ
i=1
Vogliamo valutare il numero di raggi dN con inclinazione compresa tra θ e θ + dθ
. Chiaramente sarà proporzionale all’area della corona circolare che sottende gli
angoli θ e θ + dθ . Tenendo presente che consideriamo una semisfera di raggio
unitario:
{
Scorona circolare = 2π sin θdθ
2
Ssemisf era = 4πr
2 = 2π
→
Scorona circolare
= sin θdθ
Ssemisf era
Così come dN è proporzionale all’area della corona circolare, N è proporzionale
all’area totale della semisfera. Il rapporto trovato per le aree vale anche per il
numero dei raggi:
Scoronacircolare
dN
=
N
Stot
= sin θdθ
dN = N sin θdθ
Inoltre, pensando che il numero di raggi è molto grande, possiamo scrivere:
N
∑
∫
∫
cos θ →
2
cos2 θ dN
i=1
∫
2
cos θ dN = N
π
2
cos2 θ sin θ dθ
0
(
) π
cos3 θ 2
=N −
3
0
N
=
3
Si ha quindi:
P =
Nu
U
=
3
3
Calcoliamo ora la radianza, che ricordiamo essere:
Capitolo 3. Corpo nero
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Etot emessa
dAdt
N
∑
=
cu cos θ
R=
∫i=1
= cu cos θ dN
∫
= N cu cos θ sin θ dθ
(
) π
cos2 θ 2
= N cu −
2
0
1
= cN u
2
c
= U
2
Il fattore
1
2
compare perchè stiamo considerando solo i raggi emessi.
Con queste premesse affrontiamo la derivazione termodinamica della legge di
Stefan - Boltzmann.[2]
Per definizione

δL+dU

dS = δQ

T =
T





δL = P dV = U3 dV







U = VU → U = U · V → dU = U dV + V dU
.
Tenuto conto che:
• S è l’entropia
• U è la densità di energia trasportata dalle onde
• U è l’energia interna del sistema
• L e Q rispettivamente lavoro e calore entranti/uscenti dal sistema.
• La seconda equazione vale in condizioni di pressione costante
Sostituendo le espressioni di δL e dU nell’equazione per dS si ha:
(
)
1 dV
U
V
dS = U
+
dV + dU
3 T
T
T
(
)
1 dV
U
V dU
= U
+
dV +
dT
3 T
T
T dT
(
)
(
)
4U
V dU
=
dV +
dT
3T
T dT
Capitolo 3. Corpo nero
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Riassumendo, sappiamo che:
• S = S(V, T ) : S è una funzione di stato;
• S è un differenziale esatto:
{
( ∂S )
( ∂S )
dS = ∂V
dV + ∂T
dT
T
V
∂2S
∂2S
∂T ∂V = ∂V ∂T
Confrontando le espressioni per dS concludiamo che
{(
)
∂S
( ∂V
)T
∂S
∂T V
( )
= 43 U
( V TdU )
= T dT
Sfruttando ora l’uguaglianza tra le derivate seconde miste:
(
)
∂
V dU
∂2S
=
∂V ∂T
∂V T dT
(
)
∂
4U
∂2S
=
=
∂T 3 T
∂T ∂V
Svolgendo i calcoli e ricordando U = U (T ) :
1
T
1
T
dU
dT
dU
dT
dU
U
ln U
−4 U
4 1 dU
+
2
3 T
3 T dT
4U
= 2 → separo le variabili
T
4dT
=
→ ora integro
T
= 4 ln T + C
=
ln U = ln T 4 + C
In conclusione si è ottenuto:
U ∝ T4
Poichè inoltre R ∝ U in definitiva è verificato che:
R ∝ T4
[1] In alcuni testi si può trovare anzichè il coefficiente di assorbimento a, l’emissività ε.
Tuttavia ricordiamo che l’emissività eguaglia il coefficiente di assorbimento come
conseguenza del principio di Kirchhoff.
[2] Si userà il simbolo dG per indicare G differenziale esatto, il simbolo δG per indicare
G differenziale non esatto
Capitolo 3. Corpo nero
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3.4 Legge di Wien
La proporzionalità tra temperatura e lunghezza d’onda viene scoperta nel 1893
da Wien. Egli si accorge che la radianza spettrale è esprimibile come:
Rλ = T 5 f (λT ) =
1
F (λT )
λ5
In particolare, è possibile riscalare tutte le curve in una sola, utilizzando in modo
equivalente le variabili
Rλ
T5
∨
Rλ · λ5
Le funzioni F (λT ) e f (λT ) sono quindi funzioni “universali”.
Nel grafico della radianza in funzione della lunghezza d’onda si nota come il
massimo della curva si sposti verso destra al diminuire della temperatura. Wien
trovò la legge che descrive tale spostamento: per questo motivo la legge di Wien
è anche detta legge dello spostamento di Wien.
Legge di Wien L’ascissa del massimo della curva Rλ = Rλ (λ) è inversamente
proporzionale alla temperatura:
λmax T = 2.8978 · 10−3 mK
I massimi si dispongono su un’iperbole
Wien cerca anche di trovare la forma funzionale della curva di corpo nero, senza
successo:questa curva decresce troppo rapidamente per lunghezze d’onda grandi.[1]
Uλ dλ = C1
1 −C2
e λT dλ curva di Wien
λ5
Osservazioni:
• Al crescere della temperatura aumenta la radianza complessiva (Legge di
Stefan-Boltzmann) e il massimo si sposta verso lunghezze d’onda minori
(Legge di Wien);
• La legge di Wien può essere usata per stimare la temperatura superficiale
delle stelle dall’analisi del loro spettro.
[1] La curva è espressa per Uλ , tuttavia passare alla radianza è immediato: non
scordiamo che vale
c
Rλ dλ = Uλ dλ
4
Capitolo 3. Corpo nero
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3.5 Modelli teorici
Analizziamo ora i tentativi di Rayleigh-Jeans e di Planck di derivare rigorosamente la legge del corpo nero. Il modello elaborato da Rayleigh-Jeans rimane
entro la fisica classica e non risulta soddisfacente. Tuttavia contiene elementi importanti che verranno ripresi da Planck e integrati con ipotesi quantistiche: la
quantizzazione dell’energia.
Nei capitoli precedenti abbiamo visto come si è arrivati alla quantizzazione della
materia e della carica, ossia a considerarle quantità discrete multipli di quantità
elementari. Lo studio del corpo nero è ciò che porta all’introduzione di tale ipotesi
anche per l’energia.
3.6 Modello di Rayleigh-Jeans
Rayleigh e Jeans modellizzano il corpo nero come una cavità isoterma cubica
con pareti conduttrici. All’interno della cavità la radiazione termica è radiazione elettromagnetica, governata dalle leggi dell’elettromagnetismo. Gli elettroni
delle pareti vengono messi in oscillazione dalle onde incidenti e, comportandosi
come oscillatori elementari, re-irradiano alla stessa frequenza: in questo modo
le radiazioni vengono costantemente assorbite e riemesse dalle pareti. La cavità
geometrica impone precise condizioni al contorno per il campo elettromagnetico,
perciò all’interno di essa si instaurano onde elettromagnetiche stazionarie: non
tutte le frequenze di oscillazione sono ammesse.
Il primo importante risultato dei due scienziati, che è poi la parte corretta del
modello che verrà ripresa da Planck, è la stima del numero di modi di oscillazione.
L’equazione dell’onda stazionaria si ottiene imponendo le condizioni al contorno
all’equazione d’onda generica in 3 dimensioni.
E = E(x, y, z, t)
 2
∂ Ex
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex

=

2 + ∂y 2 + ∂z 2
 ∂x
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
+ ∂y2 + ∂z 2 =
∂x2


 ∂ 2 Ez + ∂ 2 Ez + ∂ 2 Ez =
∂x2
∂y 2
∂z 2
1
c2
1
c2
1
c2
∂ 2 Ex
∂t2
∂ 2 Ey
∂t2
∂ 2 Ez
∂t2
Ex = 0 se y = 0, L z = 0, L
Ey = 0 se x = 0, L z = 0, L
Ez = 0 se x = 0, L y = 0, L
La soluzione di questo problema è:


Ex
Ey


Ez
= E0x cos n1Lπx sin n2Lπy sin n3Lπz sin 2πνt
= E0y sin n1Lπx cos n2Lπy sin n3Lπz sin 2πνt
= E0z sin n1Lπx sin n2Lπy cos n3Lπz sin 2πνt
Consideriamo ora la sola componente Ex , per le altre si procede in modo analogo.
Sostituendo l’espressione di Ex nell’equazione d’onda, otteniamo che le frequenze
Capitolo 3. Corpo nero
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permesse sono quelle che rispettano la condizione:
( n π )2 ( n π )2 ( n π )2
1
1
2
3
+
+
]Ex = − 2 (2πν)2 Ex
−[
L
L
L
c
√
c
⇒ν=
n21 + n22 + n23
2L
L’ultima equazione descrive una pseudosfera (in quanto è una sfera fatta di punti
discreti interi e non continui) nello spazio (che è uno spazio cartesiano di interi)
individuato dagli assi n1 , n2 , n3 , di cui consideriamo l’ottante (cioè 81 di sfera)in
cui le tre variabili sono positive. Ogni punto di questo spazio individua un modo
di oscillazione (un punto è una terna (n1 , n2 , n3 ) , ossia una frequenza ν ). I
volumi infinitesimi in questo spazio sono quindi misure di densità di modi.
Ora cambiamo le coordinate:


Rsf era = R


dR =
=
=
√
n21 + n22 + n23
2L
c ν
2L
c dν
Calcoliamo il volume del guscio di ottante compreso tra R e R + dR
Capitolo 3. Corpo nero
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1
Vottante = 4πR2 dR
8
(
)
1
2L 2 2L
= 4π
ν
dν
8
c
c
4πν 2
= 3 L3 dν
c
4πVcavità 2
=
ν dν
c3
Considerando poi i due possibili modi di polarizzazione dell’onda, ottengo l’espressione per la densità dei modi di oscillazione:
G (ν) dν =
8πVcavità 2
ν dν
c3
Fino a qui, il modello di Rayleigh-Jeans è corretto. A questo punto si vuole
determinare la densità di energia per unità di frequenza e di volume.
Uν dν = G (ν) dν · energia modo ·
1
V
A tal fine occorre trovare un’espressione per l’energia di ciascun modo, ed è
qui la scelta errata dei due scienziati. Essi la stimano pensando non all’energia
trasportata da un’onda stazionaria ma all’energia degli oscillatori nella parete,
che ricavano dal principio di equipartizione classica. Ogni modo di oscillazione ha
quindi energia media pari a kT . Dunque:
Uν dν =
8π 2
ν kT dν
c3
Passando alle lunghezze d’onda:
{
ν
dν
Uν dν =
=
=
c
λ
−c
dλ
λ2
8π
kT dλ
λ4
Capitolo 3. Corpo nero
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UV
VISIBLE
INFRARED
14
Spectral radiance (kW · sr⁻¹ · m⁻² · nm⁻¹)
5000 K
12
Classical theory (5000 K)
10
8
6
4000 K
4
2
3000 K
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Wavelength (μm)
Il problema è che l’energia diverge per λ → 0 anzichè andare a 0 come nella curva
sperimentale: si parla di catastrofe ultravioletta. Per λ grandi invece il modello si
adatta alla curva: in questa situazione l’interpretazione classica va bene.
3.7 Modello di Planck
Il problema del modello di Rayleigh-Jeans, come già abbiamo avuto modo di
osservare, sta nel principio di equipartizione.
Questo principio deriva dalla distribuzione di Boltzmann, in cui le quantità
considerate sono continue. Il calcolo del valor medio dell’energia secondo tale
distribuzione dà infatti:
∫
−E
Ee kT dE
= kT
⟨E⟩ = ∫ −E
e kT dE
Per risolvere il problema della catastrofe ultravioletta l’energia scambiata dagli
oscillatori deve dipendere dalla loro frequenza di oscillazione: in questo modo
potrebbe bilanciare l’andamento funzionale che provoca la catastrofe.
La prima ipotesi di Planck è che gli oscillatori non scambino energia in modo
continuo, ma discreto: introduce quindi la quantizzazione dell’energia. L’energia
degli oscillatori può essere:
E, ∆E, 2∆E..
Non solo, ma i quanti di energia scambiati sono funzione della frequenza:
∆E = hν
ipotesi di quantizzazione di Planck
Ciascun oscillatore scambia un’energia multipla di ΔE:
Capitolo 3. Corpo nero
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En = nhν
Sfruttando la distribuzione statistica di Boltzmann(Distribuzione statistica di
Boltzmann), in cui questa volta compaiono quantità discrete, la probabilità che
un oscillatore a temperatura T abbia energia En è:
p (En ) =
1 −nhν
e kT
kT
Poichè l’energia è ora trattata come quantità discreta, gli integrali si trasformano
in sommatorie:
∑+∞
n=0 En p (En )
⟨E⟩ = ∑
+∞
n=0 p (En )
∑+∞ nhν −nhν
e kT
= ∑n=0 kT −nhν
+∞ 1
kT
n=0 kT e
Per semplificare le espressioni poniamo:
α=
hν
kT
Dunque abbiamo:
∑+∞
−nα
n=0 nαe
⟨E⟩ = kT ∑
+∞ −nα
n=0 e
Ora:
∑+∞ d −nα
∑+∞
−nα
α (e
)
n=0 nαe
∑+∞ −nα = − n=0
∑+∞dα −nα
e
n=0 e
(n=0
)
d ∑+∞ −nα
n=0 e
dα
= −α ∑+∞
e−nα
(n=0+∞
)
∑
d
−nα
= −α
ln
e
dα
n=0
Quindi possiamo scrivere:
( +∞
)
∑
d
−nα
ln
e
⟨E⟩ = −αkT
dα
n=0
)
( +∞
∑
d
e−nα
= −hν
ln
dα
n=0
Capitolo 3. Corpo nero
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+∞
∑
e−nα =
n=0
1
1 − e−α
serie geometrica
(
)
1
d
ln
⟨E⟩ = −hν
dα
1 − e−α
−α
e
= hν
1 − e−α
hν
= α
e −1
hν
⟨E⟩ = hν
e kT − 1
Questo importantissimo risultato rappresenta l’energia media di un oscillatore
armonico a temperatura T, con l’ipotesi di quantizzazione dell’energia. Planck
recupera dal modello di Rayleigh-Jeans l’espressione per la densità dei modi di
oscillazione:
G (ν) dν =
8πVcavità 2
ν dν
c3
Ricordando che la densità di energia per unità di frequenza e di volume è:
Uν dν = G (ν) dν · (energia modo) ·
1
V
e utilizzando la nuova espressione per l’energia di un oscillatore si ottiene infine:
8πν 2 hν
dν
hν
c3 e kT
−1
Uν dν =
Se volessimo passare da frequenza a lunghezza d’onda basta ricordare che νc = λ
:
8π hc
1
8πhc
( hc
) dλ
=
dλ
hc
4
λ
λ e λkT − 1
λ5 e λkT − 1
Uλ dλ =
Se adesso
hν
kT
>> 1 abbiamo che:
Uν dν ≈
8πhν 3 − hν
e kT dν
c3
che tende a zero a frequenze alte e/o a temperature basse (limite quantistico).
Se invece
hν
kT
<< 1 espandiamo il denominatore e abbiamo che:
1
e
hν
kT
−1
=
1+
hν
kT
Uν dν ≈
1
kT
( 2)
=
hν
hν
+ o kT
−1
8πhν 3 kT
8πν 2 kT
=
c3 hν
c3
Capitolo 3. Corpo nero
58 / 124
Cioè si ritorna alla legge di Rayleigh-Jeans (limite classico).
Stiamo cominciando a intuire che Planck fonda un vero e proprio modello; un
altro esempio di ciò è evidente se proviamo a operare nel seguente modo:
c
4
∫
+∞
Uν dν =?
0
vedremo che a partire da questo integrale si ritorna alla legge di Stefan-Boltzmann
e si ottiene il valore di σ .
Vediamo invece come si ritorna alla legge di Wien: λmax T = 2.898 · 10−3 mK
Intanto prendiamo la formulazione Uλ dλ =
Sappiamo che
d
dλ Uλ
8πhc
···
= 0 , ora sviluppiamo:
−5
λ6
ora basta sostituire x =
(
)
1
e
hc
kT
hc
λkT
−1


hc
−e λkT − kThcλ2
( hc )  = 0
+
λ5 e λkT −
e arriviamo a :
−5(ex − 1) + xex = 0
−5(1 − e−x ) + x = 0
cerchiamo di risolvere dunque x = 5(1 − e−x ) per via grafica:
Vediamo che c’è in effetti un punto di incontro tra le due curve, per cui proviamo
per ricorrenza a trovare quel valore.
Quel valore corrisponde alla lunghezza d’onda massima che ricaviamo tramite:
x̄ ≈ 4, 9651 −→ λmax · T =
hc
4, 9651 · k
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
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Capitolo 4
Calore specifico dei solidi
4.1 Introduzione
Abbiamo visto come, utilizzando il teorema di equipartizione dell’energia, Dulong
e Petit trovarono, nel 1819, cv = 3R
Tuttavia tale risultato non è in accordo con i dati sperimentali che prevedono
una dipendenza della temperatura: 3R è il limite per alte temperature, mentre
per temperature vicino allo 0 si ha un andamento proporzionale a T 3 .
grafico
Alla luce dell’ipotesi di Planck sulla quantizzazione dell’energia vengono elaborati
nuovi modelli.
4.2 Modello di Einstein
Einstein modellizza il solido come un sistema di N atomi che vibrano a causa dei
microspostamenti termici attorno a un punto di equilibrio. In prima approssimazione il potenziale vibrazionale si può pensare ad andamento parabolico: il tipo
di moto di ciascun atomo è dunque armonico. Einstein immagina inoltre che le
oscillazioni di ciascun atomo siano indipendenti tra loro e lungo le direzioni, e
che le ’molle’ che legano gli atomi nel solido siano caratterizzate da un’unica costante elastica b: tutti gli atomi hanno dunque la stessa frequenza di vibrazione,
esprimibile come:
√
ν=
b
m
2π
Sfruttando l’ipotesi di quantizzazione di Planck, ad ogni oscillatore si può associare un’energia media:
⟨E⟩ =
hν
e
hν
kT
−1
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
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L’energia totale del sistema è data dal prodotto tra l’energia media associata ad
ogni grado di libertà di un oscillatore, ⟨E⟩ , il numero di gradi di libertà di ciascun
oscillatore, 3 , e il numero degli oscillatori, N . In conclusione:
hν
U = 3N
hν
kT
e
Ora, poichè cv =
un solido:
1 ∂U
n ∂T
−1
otteniamo la seguente espressione per il calore specifico di
(
cv = 3R
hν
kT
)2
hν
(
e kT
hν
e kT − 1
)2
Definendo come temperatura caratteristica di Einstein
θE =
hν
k
si ottiene che:
(
cv = 3R
θE
T
)2
e
θE
T
( θE
)2
e T −1
Vediamo i limiti di questa espressione:
• limite classico: T >> θE
(
cv ≈ 3R
θE
T
)2
1
(
1+
θE
T
)2 ≈ 3R
−1
Il limite classico è concorde con il modello di Dulong e Petit.
• limite quantistico: T << θE
(
cv ≈ 3R
θE
T
)2
(
e
e
θE
T
θE
T
(
)2 ≈ 3R
θE
T
)2
e
−θE
T
T →0
Dunque vediamo come cv −−−→0 , ma con dipendenza esponenziale, discorde con i
dati sperimentali che che evidenziano una dipendenza dal cubo della temperatura
( T 3 ).
4.3 Modello di Debye
Debye riprende l’intero modello di Planck per il corpo nero: non solo la quantizzazione dell’energia ma anche l’idea che vi siano diversi modi di oscillazione, a frequenze diverse. Il problema del modello di Einstein, infatti, era proprio
considerare una singola frequenza di oscillazione.
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
61 / 124
Se un’onda che si propaga in un solido è caratterizzata da una lunghezza d’onda λ
molto maggiore della distanza interatomica, essa vede il solido come un continuo
elastico [1] , ossia non vede la discretezza del solido. All’interno del solido si instaurano dunque onde elastiche stazionarie, le vibrazioni non sono più indipendenti e
le frequenze di oscillazione sono tante.
Consideriamo dunque un solido continuo elastico, ad esempio un cubo di lato L.
L’equazione di un’onda stazionaria che si propaga nel solido con velocità vs lungo
la direzione x è:
f (x, t) = sin (kx) cos (ωt)
con
2π
λ
vs
ν=
λ
ω = kvs
k=
La relazione lineare con coefficiente costante tra ω e k è un’approssimazione, che
chiamiamo appunto approssimazione lineare. Vedremo in seguito quando è da
considerarsi valida. Imponendo la condizione di periodicità
kx (x + L) = kx x + 2πnx
2π
kx =
nx
L
Lo stesso deve valere per onde che si propagano lungo y o lungo z. In conclusione
deve valere:


 kx
ky


kz
=
=
=
2π
L nx
2π
L ny
2π
L nz
Considero ora il vettore d’onda k = (kx , ky , kz ) e cerco la densità di onde con
numero d’onda compreso tra k e k + dk :
dnx dny dnz =
L3
dkx dky dkz
8π 3
In coordinate polari:
V
4πk 2 dk
8π 3
V
= 2 k 2 dk
2π
G (k) dk =
Per passare in pulsazioni ω ricordiamo che:
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
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{
k
dk
=
=
ω
vs
dω
vs
Dunque
G (ω) dω =
V ω2
dω
2π 2 vs3
e poichè
{
ω
dω
= 2πν
= 2πdν
Abbiamo l’espressione della densità di onde che oscillano con frequenza compresa
tra ν e ν + dν :
G (ν) dν =
4πV 2
ν dν
vs3
In generale, tuttavia, la velocità di propagazione di onde longitudinali e trasversali
è diversa. Inoltre per ogni onda trasversale esistono due direzioni indipendenti di
oscillazione, mentre per ogni onda longitudinale ve ne è solo una. Detta vt la
velocità di propagazione di un’onda trasversale e vl la velocità di propagazione di
un’onda longitudinale, possiamo definire una velocità di propagazione media nel
solido pesata sul numero di modi di oscillazione:
1
2
1
= 3+ 3
3
< vs >
vl
vt
Ricavo quindi che:
G (ν) dν =
4πV
ν 2 dν
< vs >3
Osserviamo che la densità di modi G (ν) dν è analoga a quella ricavata da Rayleigh
e Jeans per il corpo nero. Tuttavia in questo caso bisogna tener conto che il numero
massimo di gradi di libertà del sistema è 3N. Matematicamente bisogna imporre
la condizione:
∫
νD
G (ν) dν = 3N
0
La frequenza di taglio νD è detta frequenza di Debye.
∫
0
νD
4πV
4πV
ν 2 dν =
ν3
3
< vs >
3 < vs >3 D
4πV
9n 3
3
3
νD
= 3N → νD
=
v
3
3 < vs >
4π s
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
63 / 124
22
−3 ). Il fatto che
con n = N
V densità di atomi nel solido (dell’ordine di 10 cm
la velocità sia indipendente dalla frequenza, ed è dunque stata considerata una
costante nell’operazione di integrazione, viene dall’ipotesi di approssimazione
lineare.
L’energia interna del solido è quindi data da:
∫
νD
U=
G (ν) < E > dν
∫
4πV νD hν 3
dν
= 3
hν
vs 0 e kT
−1
0
Sostituendo nell’integrale tramite x =
{
hν
kT
otteniamo:
ν = kTh x
dν = kT
h dx
Si ottiene:
(
4πV h
U=
vs3
3 =
Ricordando che νD
9N
3
νD
9N
4πV
kT
h
)4 ∫
hνD
kT
x3
dx
ex − 1
0
νs3 possiamo sostituire tramite formula inversa
4πV
νs3
=
e ottenere:
(
U = 9N
kT
hνD
)3
∫
kT
U = 9N
T
θD
x3
dx
−1
ex
0
Definisco ora temperatura di Debye θD =
(
hνD
kT
)3
hνD
k
∫
e ottengo:
θD
T
kT
x3
dx
ex − 1
0
Calcoliamo i limiti di tale risultato:
• limite classico: T >> θD segue x << 1
Nell’integrale possiamo sostituire all’esponenziale la sua espansione di taylor
attorno a x0 = 0 .
∫
0
θD
T
x3
dx ≈
ex − 1
∫
θD
T
0
x3
dx =
1+x−1
∫
θD
T
0
1
x dx =
3
2
(
θD
T
)3
E dunque otteniamo per la formula dell’energia interna:
(
U = 9N kT
T
θD
)3
1
3
(
θD
T
)3
= 3N kT
Mentre per il calore specifico del solido avremo cv =
1
N
( dU )
dT v
= 3Nav k = 3R .
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
64 / 124
• limite quantistico: T << θD
∫
0
θD
T
x3
dx ≈
ex − 1
∫
+ inf
x3
π4
dx
=
ex − 1
15
0
( )3
3
T
U = N π 4 kT
5
θD
12 R
cv = π 4 3 T 3
5
θD
Il modello di Debye verifica dunque il valore del calore specifico ottenuto tramite
dati sperimentali, sia a basse che ad alte temperature. F (x)|x=0
Le sue limitazioni stanno però nel considerare il solido come un continuo elastico:
il modello fallisce infatti quando andiamo a calcolare θD per solidi diversi; si
nota che questa ha una piccola dipendenza dalla temperatura a cui andiamo
a calcolarla. Ad esempio, θD |300K ̸= θD |40K . Questo va contro il fatto che si
presuppone nel modello, cioè che θTD = cost . Dunque anche la descrizione della
densità di onde G(ν) dei solidi come una funzione parabolica non è esatta ma
un’approssimazione del modello.
[1] L’approssimazione di continuo elastico isotropo è corretta a basse temperature
4.4 Approfondimento:precisazioni sul modello di solido
Costruiamo un semplice modello monodimensionale per studiare la propagazione
delle onde in un solido. Immaginiamo il solido come costituito da tante masse
m equidistanti, che oscillano a causa dell’agitazione termica e soggette a interazioni elastiche con costante elastica β Utilizziamo l’ approssimazione dei primi
vicini, ossia studiamo solo l’interazione di una particella con quelle immediatamente adiacenti, trascurando le altre. Numeriamo le particelle con indice n e
consideriamo le particelle n − 1, n, n + 1 . Se a è la distanza tra le particelle all’equilibrio, la posizione di equilibrio della particella n-esima sarà xn = na . Sia ξn
lo spostamento della particella n-esima dalla posizione di equilibrio.
Studiamo le forze agenti sulla particella n-esima.
F1 = β (ξn − ξn−1 )
F2 = β (ξn+1 − ξn )
Capitolo 4. Calore specifico dei solidi
65 / 124
Ftot = −F1 + F2 = β (ξn+1 + ξn−1 − 2ξn )
L’equazione del moto è quindi:
m
∂ 2 ξn
= β (ξn+1 + ξn−1 − 2ξn )
∂t2
La soluzione di questa equazione differenziale è del tipo
ξn = ξ0 ei(ωt+kx)
= ξ0 ei(ωt+kna)
Sostituendo nell’equazione:
(
)
−mω 2 ξ0 ei(ωt+kna) = βξ0 ei(ωt+k(n+1)a) + ei(ωt+k(n−1)a) − 2ei(ωt+kna)
Fattorizzando il fattorizzabile ( ξ0 e ei(ωt+kna) )
(
)
−mω 2 = β eika + e−ika − 2
( ika
)
e + e−ika
= 2β
−1
2
= 2β (cos ka − 1)
mω 2 = 2β (1 − cos ka)
ka
= 2β2 sin2
2
2 ka
= 4β sin
2
Segue che
√
ω=±
β
ka
sin
m
2
L’approssimazione di Debye che vede ω funzione lineare di k è valida solo per
ka
ka
lunghezze d’onda elevate: se λ è grande ka
2 → 0 dunque sin 2 → 2
Capitolo 5. Effetto fotoelettrico
66 / 124
Capitolo 5
Effetto fotoelettrico
5.1 Introduzione
Assieme all’effetto Compton l’effetto fotoelettrico è uno dei due esperimenti che
mettono in luce l’aspetto corpuscolare della radiazione elettromagnetica. L’effetto fotoelettrico evidenzia soprattutto la quantizzazione dell’energia, l’effetto
Compton la quantizzazione della quantità di moto.
Nel corso di esperimenti relativi alle onde elettromagnetiche Hertz scopre che la
scarica tra due elettrodi mantenuti ad una certa differenza di potenziale viene
facilitata se gli elettrodi sono illuminati con luce ultravioletta.
Successivamente Hallwachs e Lenard dimostrano che l’incidenza di luce ultravioletta su una superficie metallica causa emissione di elettroni da parte di tale superficie. Tale fenomeno viene chiamato effetto fotoelettrico, gli elettroni emessi fotoelettroni e la corrente che è possibile misurare fotocorrente. Lo studio sistematico
di questo fenomeno è svolto da Lenard.
5.2 Apparato sperimentale (Lenard)
La luce prodotta dalla sorgente irraggia il metallo dell’emettitore attraverso una
finestra di quarzo. Un collettore è mantenuto ad una differenza di potenziale V
rispetto all’emettitore ed è collegato ad un circuito che rivela eventuali correnti.
I parametri che si possono variare sono:
Capitolo 5. Effetto fotoelettrico
67 / 124
• tipo di irraggiamento della sorgente: intensità, frequenza;
• tipo di emissione: tipo di metallo che costituisce l’emettitore;
• accelerazione: potenziale accelerante.
Potenziale e frequenza costanti, varia l’intensità Si osserva che all’aumentare dell’intensità della radiazione incidente aumenta linearmente l’intensità
della fotocorrente.
Intensità e frequenza della sorgente fissati, varia il potenziale accelerante All’aumentare del potenziale accelerante la fotocorrente si stabilizza su
un valore costante: questo avviene quando il collettore cattura tutti gli elettroni emessi. Diminuendo il potenziale accelerante la fotocorrente diminuisce: meno
elettroni riescono ad arrivare al collettore. Tuttavia a potenziale nullo la fotocorrente non è nulla: gli elettroni hanno un’energia cinetica, non escono “fermi”.
Capitolo 5. Effetto fotoelettrico
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Esiste un potenziale di stop, VS , negativo, che è il potenziale da applicare per
non misurare più fotocorrente. E’ una misura dell’energia cinetica massima degli
elettroni. Il valore di VS è indipendente dall’intensità della radiazione incidente:
non torna con le previsioni classiche.
Intensità sorgente fissata, potenziale fissato, varia la frequenza della
radiazione incidente Per ogni materiale esiste una frequenza caratteristica,
detta frequenza di soglia νsoglia , sotto la quale non si misura più fotocorrente, anche aumentando a dismisura l’intensità della radiazione. Questa frequenza dipende solo dal tipo di materiale che costituisce l’emettitore. Anche questo risultato
è incomprensibile classicamente.
Capitolo 5. Effetto fotoelettrico
69 / 124
Potenziale di stop in funzione della frequenza, a materiale e intensità
fissata All’aumentare della frequenza della radiazione incidente aumenta il potenziale di stop: l’andamento è lineare. Poichè il potenziale di stop è una misura
dell’energia cinetica massima degli elettroni, questo sembra indicare che l’energia cinetica dipenda dalla frequenza della radiazione incidente, assolutamente
incoerente con la visione classica che vede l’energia legata all’intensità e non alla
frequenza. Il potenziale Φ0 è detto lavoro di estrazione ed è una misura del lavoro
che bisogna spendere per estrarre un elettrone dal metallo.
5.3 Incompatibilità con le previsioni classiche
I risultati descritti sono incompatibili con le previsioni classiche. La fisica classica
tenta di spiegare il fenomeno ipotizzando che gli atomi trattengano gli elettroni
con una forza elastica e che quindi certe frequenze di luce possano metterli in
risonanza. Tuttavia questo non spiega perchè la risonanza avvenga per tutte le
frequenze superiori ad una data, νsoglia . Inoltre secondo le previsioni classiche
l’estrazione di un elettrone dovrebbe avvenire per effetto del campo elettrico della
radiazione incidente: aumentando l’intensità, poichè il campo risulterebbe maggiore, si dovrebbe avere maggiore emissione, contro l’evidenza sperimentale che
al di sotto della frequenza di soglia l’emissione è nulla anche aumentando a dismisura l’intensità della radiazione incidente, e contro la dipendenza dell’energia
cinetica dalla frequenza e non dall’intensità. Vi è inoltre un problema fondamentale: vediamo secondo il modello classico quanto impiegherebbe la luce a trasferire
all’elettrone l’energia Φ0 necessaria all’estrazione.
Supponiamo che l’assorbimento avvenga su un’area A . Per la fisica classica la
sua energia cinetica massima è
Kmax = IAtc − W0
dove W0 è il lavoro di estrazione, I l’intensità della radiazione e c il coefficiente
di assorbimento dell’atomo. Poniamo c = 1 .
{
se IAt < W0 non ho fotocorrente
Dovrei avere che:
se IAt > W0 ho fotocorrente e Kmax ∝ I, contro l’esperienza
Quanto tempo impiega un elettrone ad accumulare energia W0 ?
Kmax = 0
W0
t=
AIc
Inseriamo dei valori tipici:
W
m2
W0 (Na) ≈ 2.28eV
I ≈ 10−2
A ≈ πr2 ≈ π10−20 m2
Segue:
Capitolo 5. Effetto fotoelettrico
70 / 124
t ≈ 19min
La fotocorrente compare però dopo qualche nanosecondo!
5.4 Spiegazione di Einstein
La spiegazione teorica dell’effetto fotoelettrico viene elaborata da Einstein nel
1905. Egli riprende l’ipotesi di quantizzazione di Planck: la radiazione elettromagnetica ha una natura corpuscolare, è composta cioè da quanti di energia
Efotone = hν , detti fotoni, e nell’interazione della radiazione con la materia
un elettrone può assorbire un solo fotone alla volta (questo spiega i tempi di
assorbimento)
Se Efotone > W0 il fotone viene assorbito e l’elettrone è liberato con energia
cinetica
Kmax = eVstop
= Efotone − W0
= hν − W0
In caso contrario il fotone non viene assorbito e non si ha emissione. L’esistenza di
una frequenza di soglia viene in questo modo facilmente spiegata: essa è infatti la
minima frequenza che deve avere il fotone affinchè l’elettrone possa essere estratto
dal metallo.
Kmax = 0 = hνsoglia − W0 →
νsoglia =
W0
h
La proporzionalità che emerge sperimentalmente tra Ifotocorrente e Iradiazione
si comprende pensando che ad una maggiore intensità della radiazione incidente corrisponde un maggior numero di fotoni che interagiscono con gli elettroni del metallo: più elettroni possono essere emessi, dunque aumenta anche la
fotocorrente.
Vediamo come stimare l’energia dei fotoni costituenti un’onda luminosa:
E = hν =
hc
12400
=
eV
λ
λ[in armstrong]
Per la luce visibile 4000armstrong < λ < 8000armstrong → 2.55eV < E < 3.1eV
In realtà non tutti gli elettroni che assorbono fotoni riescono effettivamente ad
uscire dal metallo: per ogni materiale c’è una resa quantica, che dipende anche
dalla frequenza, ed è una curva di efficienza del tipo
Φ(ν) =
numero fotoni emessi
numero fotoni assorbiti
Capitolo 5. Effetto fotoelettrico
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. Ogni metallo ha una zona dello spettro in cui rende meglio, e a basse temperature
la resa è generalmente migliore perchè c’è meno agitazione termica nel metallo.
5.5 Applicazione: il fotomoltiplicatore
Il funzionamento del fotomoltiplicatore si basa principalmente su due effetti:
l’effetto fotoelettrico e l’emissione secondaria (cioè l’elettromoltiplicazione).
Il fotomoltiplicatore è costituito da un tubo in vetro al cui interno è stato praticato
il vuoto, in cui è presente un anodo e diversi elettrodi che costituiscono i dinodi.
I fotoni colpiscono attraverso una finestra di ingresso una superficie chiamata
fotocatodo, ricoperta di uno strato di materiale che favorisce l’effetto fotoelettrico,
dunque con basso lavoro di estrazione. A causa di questo effetto vengono emessi
degli elettroni, i fotoelettroni, che sono focalizzati da un elettrodo verso lo stadio
di moltiplicazione.
Questo stadio è costituito da una serie di elettrodi ciascuno caricato ad un potenziale superiore al precedente. Il primo elettrone emesso per effetto fotoelettrico
subisce una accelerazione a causa del campo elettrico e acquisisce energia cinetica. Quando l’elettrone colpisce il primo elettrodo del dinodo provoca l’emissione
secondaria di diversi elettroni di minore energia. La struttura del sistema è progettata in modo che ciascun elettrone emesso da un elettrodo venga accelerato
e provochi l’emissione di diversi elettroni dall’elettrodo successivo. Si ha così un
fenomeno a cascata per cui un singolo fotone che colpisce il tubo provoca il passaggio di moltissimi elettroni. Da qui il nome fotomoltiplicatore. L’amplificazione
del dispositivo arriva a 108 , il che significa che un impulso misurabile è prodotto
dai singoli fotoni.
Capitolo 6. Modelli atomici
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Capitolo 6
Modelli atomici
6.1 Introduzione
Dopo la scoperta degli elettroni e delle cariche positive si inizia a cercare di
costruire un modello di atomo che riesca a spiegare le osservazioni sperimentali.
In particolare al centro dell’elaborazione dei modelli vi è il tentativo di dare
ragione dello spettro a righe caratteristico degli atomi.
6.2 Modello di Thomson
Thomson elabora un modello atomico “a panettone”: l’atomo è visto come una
distribuzione uniforme sferica di carica positiva ρ in cui sono in equilibrio le
cariche negative, ossia gli elettroni.
Vediamo come si può interpretare, con questo modello, l’emissione a frequenze
caratteristiche osservata sperimentalmente.
Consideriamo un atomo con un singolo elettrone. Sia r il raggio dell’atomo e sia
a la distanza dell’elettrone dal centro. La forza agente sull’elettrone è
−1 4πa3 ρ e
4πϵ0 3 a2
−ρea
=
3ϵ0
F =
cioè la forza è di tipo elastico F = −ka con
ρe
3ϵ0
√
1
k
ν=
2π me
k=
Tuttavia questa frequenza cade nell’ultravioletto, e anche considerando le armoniche il modello non riesce a spiegare le righe di emissione.
Capitolo 6. Modelli atomici
73 / 124
6.3 Esperimento di Rutherford
L’esperimento di Rutherford mostra l’inadeguatezza del modello di Thomson e
conduce alla formulazione dell’ipotesi del nucleo.
Rutherford indaga le proprietà della materia tramite l’analisi dell’interazione tra
fasci di particelle α [1] e materia. Nel dettaglio egli bombarda una lamina d’oro
spessa qualche micron con fasci di particelle α prodotti da una sorgente radioattiva e ne misura lo scattering, ossia la deviazione, grazie ad uno schermo di solfuro
di zinco che emette una luminescenza quando viene colpito da una particella α .
Procede dunque a campionare la distribuzione di particelle scatterate in funzione
dell’angolo di scattering.
Apparato sperimentale
Evidenze sperimentali
• la deflessione media, < θ > , è di circa 1°.
1
• con una frequenza di 8000
si ha il fenomeno di back-scattering, ossia la
particella α viene rimbalzata all’indietro, con θ di 180°
[1] Nuclei di elio: 2 protoni e 2 neutroni, carichi positivamente
6.4 Previsioni secondo il modello di Thomson
Vediamo perchè i risultati dell’esperimento di Rutherford risultano incompatibili
con il modello di Thomson. Secondo tale modello una particella α può avere due
tipi di interazioni con l’atomo
• interazione con la carica positiva (sfera uniformemente carica)
• interazione con la carica negativa (elettroni)
Stimiamo i due effetti separatamente
Capitolo 6. Modelli atomici
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Interazione particella α - elettrone Questa interazione è modellizzabile
come urto elastico tra una particella di massa me e una particella di massa
mα >> me , di modo che possiamo approssimare mα ≈ +∞ .
Usando la conservazione della quantità di moto stimiamo la deflessione massima
imputabile a questo tipo di interazione.
{
p
∆p
= mα v
= 2me v
Dove la seconda equazione risulta più chiara quando si considera la particella alfa
ferma e l’elettrone che ci urta, rimbalzando all’indietro.
Poichè θ è piccolo, si ha che
∆p
= tan θ ≈ θ
p
Dunque:
2me v
mα v
2me
=
mα
1
=
rad ≈ 0.01◦
4000
θ=
Concludiamo che questo tipo di interazione non può essere responsabile delle
deviazioni osservate da Rutherford
Interazione particella α - carica positiva
Considerando il modello di
Thomson, se l’atomo ha raggio R una particella α impiega, per attraversarlo,
un tempo ∆t = 2R
v .
Durante questo tempo la particella è soggetta alla forza coulombiana F =
. Per il teorema dell’impulso:
1 qα Q
4πϵ0 R2
Capitolo 6. Modelli atomici
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∆p = F ∆t
2 qα Q
=
4πϵ0 Rv
∆p
= tan θ ≈ θ
p
1 qα Q 1
θ=
2πϵ0 Rv mα v
qα Q
(
)
=
2
4πϵ0 R mα2v
=
qα Q
4πϵ0 Kα R
Inserendo valori tipici si ottiene
θ ≈ 0.02◦
Dunque anche questa interazione, singolarmente, non spiega i risultati sperimentali.
Scattering multiplo Abbiamo visto che singolarmente le interazioni analizzate non sono sufficienti a spiegare la deviazione media osservata, < θ >= 1◦ .
Tuttavia ogni singola particella α nell’attraversare la lamina d’oro interagisce con
più di un atomo. Proviamo a tenerne conto e studiamo lo scattering multiplo.
La composizione degli angoli è analoga alla composizione delle distanze nel randomwalk, si ha dunque che l’angolo quadratico medio, < θ2 > , va come la radice del
numero di urti.
√
√
< θ 2 > = N < θ0 >
Se la lamina d’oro è spessa 1µm e il diametro di un atomo è circa d ≈ 1 Å si ha
10−6
4
N ≈ 10
−10 ≈ 10 da cui segue che
√
< θ 2 > ≈ 1◦
Questo risultato sembra concorde con i dati sperimentali. Tuttavia gli esperimenti mostrano un andamento lineare dell’angolo in funzione
dello
√
√ spessore, mentre
qui si evidenzia una relazione funzionale del tipo < θ2 > = N < θ0 > . Inoltre stimiamo la frequenza di back-scattering secondo questo modello, utilizzando
dunque una distribuzione gaussiana di probabilità (deviazione casuale dal valore
centrale).
p (θ) = e
◦
p (180 ) = e
−1802
−
(
θ
theta0
)2
= molto piccola!!!
Decisamente incompatibile con la frequenza osservata di
1
8000
Capitolo 6. Modelli atomici
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6.5 Modello di Rutherford
Rutherford intuisce che per spiegare il back-scattering è necessaria una forza di
interazione coulombiana più elevata, possibile se la carica positiva è concentrata in
una regione più piccola. Vediamo quale dovrebbe essere il raggio di distribuzione
della carica positiva per avere una deviazione media di 1°.
∆p
≈1
p
qα Q
=
→
4πϵ0 REk
qα Q
∆p ≈ p se R =
4πϵ0 Ek
tan θ =
Da cui si ottiene
R ≈ 4.6 · 10−4 Å
Questa è l’ipotesi del nucleo: la carica positiva è concentrata in una regione di 4
ordini di grandezza inferiore alle dimensioni atomiche, regione che viene chiamata
nucleo. L’atomo è per la maggior parte costituito da spazio vuoto, con gli elettroni
che orbitano attorno al nucleo, da cui il nome modello planetario per il modello
di Rutherford.
Spiegazione dell’esperimento di Rutherford con il modello planetario
Vediamo come possiamo interpretare l’interazione particelle α - atomi della lamina d’oro secondo il modello di Rutherford. Poichè l’atomo è essenzialmente vuoto,
la maggior parte delle particelle α passano lontane dal nucleo e vengono solo minimamente deflesse (la forza coulombiana, responsabile della deflessione, decresce
velocemente all’aumentare della distanza), mentre le poche che passano vicino
al nucleo subiscono deflessioni anche grandi.
Distinguiamo due tipi di collisioni:
• collisioni head-on, in asse con il nucleo, responsabili del back scattering
• collisioni non in asse
Capitolo 6. Modelli atomici
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Collisioni head-on Consideriamo il nucleo di massa M ≈ +∞ di modo da
trascurare l’effetto di rinculo. La particella α , avvicinandosi, subisce una forza
sempre maggiore, si arresta a una distanza D dal nucleo e torna indietro (back
scattering). Valutiamo la distanza di arresto D, detta parametro di massimo avvicinamento, utilizzando la conservazione dell’energia. All’inizio l’energia è tutta
cinetica, nel momento di stop è tutta potenziale.
mα v 2
zZe2
=
→
2
4πϵ0 D
zZe2
D=
2πϵ0 mα v 2
Collisioni non in asse Consideriamo ora una particella α che effettua una
collisione non in asse. Sia p = mα v la sua quantità di moto iniziale e sia b la
distanza tra l’asse su cui giace v e l’asse del nucleo. Chiamiamo b parametro di
impatto. Dopo la deflessione subita per effetto della forza coulombiana la particella avrà un nuovo momento p′ = mα v′ ed eventualmente potrà variare anche la
distanza b, che sarà dunque b’ . Nella figura è illustrato lo schema del fenomeno
con la nomenclatura che utilizzeremo.
Poichè la forza agente è quella coulombiana, a carattere centrale, si ha conservazione del momento angolare, oltre che, chiaramente, dell’energia.
{
mα vb
mα
2
v2
{
b
= mα v ′ b′
segue che:
mα v ′2
= 2
v
= b′
= v′
Chiaramente maggiore è il parametro d’impatto b, maggiore è la distanza da
considerare nella forza di Coulomb, quindi la deviazione è minore. A parametri di
impatto grandi corrispondono angoli di scattering piccoli. Con questa precisazione
cerchiamo ora di esprimere b in funzione di θ .
La variazione di quantità di moto p è diretta lungo l’asse z’. Inoltre per le leggi
di conservazione enunciate si ha che p = p′ (in modulo). La situazione geometrica
è illustrata in figura.
Capitolo 6. Modelli atomici
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Segue che
1
2 ∆p
p
= sin
θ
→
2
∆p = 2mα v sin
θ
2
Troviamo un’altra espressione per ∆p in cui compaia b, così potremo legare b a
θ . Usando il teorema dell’impulso dp = Fdt . Per ottenere p occorre integrare
nel tempo. Tuttavia le componenti che non sono dirette lungo z’ si elidono, poichè
z’ è diretto come p . Posso quindi proiettare la forza lungo z’.
∫
F cos ϕ dt
∆p =
∫
=
Ricaviamo il valore di
dt
dϕ
F cos ϕ
dt
dϕ
dϕ
.
Per la conservazione del momento angolare si ha
mα r 2
dϕ
= mα vb →
dt
dϕ
vb
= 2 →
dt
r
dt
r2
=
dϕ
vb
Inseriamo il risultato nel nostro integrale e procediamo con i conti.
Capitolo 6. Modelli atomici
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∫
+Φ
∆p =
−Φ
r2
zZe2
cos
ϕ
dϕ
4πϵ0 r2
vb
zZe2
=
(2 sin Φ)
4πϵ0 vb
Dalla figura si vede che Φ + Φ + θ = 180◦ . Sfruttando questo e le formule degli
archi associati si ha che sin Φ = cos 2θ .
∆p =
θ
2zZe2
cos
4πϵ0 vb
2
Confrontando quanto ottenuto con l’espressione precedentemente trovata otteniamo:
2zZe2
θ
θ
cos = 2mα v sin →
4πϵ0 vb
2
2
θ
D
cot
b=
2
2
D è il parametro di massimo avvicinamento definito nella trattazione delle collisioni head-on.
Introduciamo ora una complicazione: abbiamo visto la collisione con un singolo
atomo, ma il fascio di raggi α attraversa una lamina che contiene un gran numero
di atomi. Il numero di nuclei per unità di volume, nv , si può esprimere come
nv =
ρNAV
M
dove ρ è la densità e M la massa molare dell’oro.
Se ora la nostra lamina ha un’area esposta al fascio pari ad A0 e uno spesso δ ,
il numero di nuclei in tale volume sarà
n = nv A0 δ
Definiamo inoltre l’intensità del fascio di particelle α come
I0 =
numero di particelle α
unità di area e di tempo
Considero le particelle con parametro di impatto compreso tra b e b + db . Esse
verranno scatterate ad angoli compresi tra θ e θ − dθ . Tuttavia tenendo presente
l’inversione possiamo considerare θ e θ + dθ come illustrato in figura.
Capitolo 6. Modelli atomici
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Quante sono le particelle α che partono con parametro di impatto compreso tra
b e b + db ?
Se I0 definisce il numero di particelle per unità di area e di tempo, possiamo dire
che sono
num. di particelle α = Area · I0
sappiamo poi che Area = 2πbdb
L’elemento di superficie dello schermo è invece esprimibile come dS = 2πR2 sin θdθ
dS
, che sottende l’angolo solido dΩ = R
2 = 2π sin θdθ Chiamiamo dN il numero di
particelle diffuse in dΩ per unità di tempo. Chiaramente deve valere che:
numero di particelle diffuse in dΩ per unità di tempo per nucleo = numero di particelle incidenti per
→
dN
= 2πI0 bdb
n
Definiamo sezione d’urto infinitesima di scattering la quantità dσ = 2πbdb .
Per le relazioni ricavate si ha che


dσ
b


db
=
=
=
D
θ
dσ = 2π cot
2
2
= 2π
dN
nI0
D
θ
2 cot 2
−D 1
4 sin2 θ dθ
(
−D 1
4 sin2 θ
)
sin 2θ
D2 cos 2θ
(−dθ)
·
8 sin3 2θ
sin 2θ
=
D2 2π sin θ |dθ|
16
sin4 2θ
=
D2 1
dΩ
16 sin4 2θ
dθ
Capitolo 6. Modelli atomici
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Siamo riusciti a esprimere dσ esplicitando dΩ , di modo che risulti:
D2 1
dσ
=
dΩ
16 sin4
θ
2
→
dN
dσ
= nI0
dΩ
dΩ
D2 1
= nI0
16 sin4
θ
2
Abbiamo ottenuto la distribuzione di particelle diffuse in funzione dell’angolo di
scattering.
Verifica sperimentale La verifica sperimentale di tale distribuzione viene
eseguita da Geiger e Marsden, i quali verificano l’andamento in un range di
5◦ < θ < 180◦ . Inoltre provano che l’andamento rimane corretto variando
l’intensità I0 del fascio e lo spessore della lamina.
Osservazioni conclusive
•
√
dipende da n , non da n . Questo mostra che la prevalenza del
fenomeno non è dovuta allo scattering multiplo, che risulta trascurabile.
dN
dΩ
• cambiando il materiale non cambia solo n , ma anche D . Infatti ricordiamo
zZe2
2
2
. Poiché dN
che D = 4πϵ
dΩ dipende da D , il conteggio scala come Z .
0 Ek
• Se l’energia cinetica delle particelle α è elevata, esse
troppo
( si avvicinano
)
e−λr
al nucleo e compaiono delle forze a corto raggio F ∝ r2
che provocano una deviazione della distribuzione osservata da quella prevista secondo
questo modello, dato che l’interazione non è più coulombiana. Il corretto
andamento si perde a R ≈ 10−14 m : questo risultato fornisce una stima delle
dimensioni del nucleo e evidenzia che ha dimensioni finite, non è puntiforme.
• Un’ulteriore causa di deviazione della distribuzione sperimentale da quella
teorica è l’effetto di schermo degli elettroni sulle cariche positive, osservabile
soprattutto per piccoli angoli di scattering.
• Se si integra la sezione d’urto dσ si osserva che essa diverge: questo perchè
la forza coulombiana non ha range finito d’azione.
Problemi del modello di Rutherford Il modello planetario non è un modello
stabile: una carica in movimento irraggia con potenza proporzionale al quadrato dell’accelerazione. Questo comporta una riduzione del raggio dell’orbita fino
al collasso dell’elettrone sul nucleo, effetto che dovrebbe verificarsi in qualche
microsecondo. Tuttavia l’esperienza ci mostra che gli atomi sono stabili.
Capitolo 6. Modelli atomici
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6.6 Modello di Bohr
Bohr cerca di elaborare un modello che riesca a spiegare i fenomeni osservati e
ancora non chiari o coerenti con i modelli proposti. Prima tra le evidenze sperimentali ancora non spiegate è lo spettro di assorbimento/emissione degli atomi,
che ha la caratteristica forma a righe. Lo studio degli spettri atomici ne aveva già
delineato le proprietà fondamentali:
• sono costituiti da righe spettrali, corrispondenti a determinate frequenze o
lunghezze d’onda, raggruppate in serie;
• le serie di righe spettrali hanno un limite di convergenza;
• ciascuna riga in realtà ha una struttura fine: è cioè costituita da più righe
molto vicine.
Diversi scienziati avevano già tentato di ricavare leggi empiriche per l’individuazione delle righe degli spettri. Vediamo i risultati ottenuti:
• Balmer studia la serie visibile dell’atomo di idrogeno e ricava la legge
empirica
n2
λ = 3646 2
Å
n −1
)
(
• Rydberg trova una formula più generale ragionando in numeri d’onda ν̃ = λ1
, valida per l’atomo di idrogeno nella forma:
(
)
1
1
ν̃ = RH
−
, n = 3, 4, 5 . . .
22 n2
RH = 1.1 · 105 cm−1
ed estesa ad altri elementi con una piccola modifica:
(
)
1
1
ν̃ = R
−
, m, n ∈ N ∧ n > m
m2 n2
R ≈ RH varia poco per gli elementi che studia
Con questo background nel 1913 Bohr elabora un modello di atomo partendo da
postulati che contraddicono la fisica classica.
I postulati
1. Un elettrone percorre orbite circolari intorno al nucleo soggetto alla forza
coulombiana secondo le leggi della meccanica classica (recupera la stabilità
meccanica del modello di Rutherford e la sua ipotesi di esistenza del nucleo).
2. Non sono possibili tutte le orbite ma solo quelle per cui il momento angolare
rispetta la seguente condizione:
L = nℏ = n
h
,
2π
n∈N∧n>0
. Questa è l’ ipotesi di quantizzazione del momento angolare.
Capitolo 6. Modelli atomici
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3. L’elettrone su un’orbita permessa non irraggia: esistono stati stazionari ad
energia costante.
4. L’elettrone passa da un’orbita all’altra assorbendo o emettendo un fotone,
di frequenza tale che
Ei
−
Ef
= h |{z}
ν
|{z}
|{z}
E −E
energia stato iniziale Energia stato finale
ν= i h f
Il modello Consideriamo un atomo avente numero atomico Z . Riassumiamo
le sue grandezze caratteristiche:
Carica
Massa
Nucleo
Ze
M
Elettrone
e
m
In prima approssimazione possiamo porre M ≈ +∞ , essendo M >> m , ossia
possiamo trascurare il rinculo del nucleo.
Raggio dell’orbita
Utilizzando il primo postulato abbiamo che:
equilibrio meccanico:
1 Ze2
mv 2
=
2
4πϵ0 r
r
Utilizzando il secondo postulato ricaviamo v in funzione di r :
quantizzazione momento angolare:
{
L = nℏ
nℏ
⇒v=
mr
L = mvr
Mettendo a sistema le due equazioni si ottiene:
numero quantico principale
z}|{
4πϵ0 ℏ2
n2
rn =
2
Z
| me
{z }
costantea0
La costante a0 ≈ 0.53 Å è detta raggio di Bohr e rappresenta il raggio dell’orbita
di un elettrone nell’atomo di idrogeno allo stato fondamentale. Possiamo riscrivere
rn come:
rn = a0
Osserviamo che:
n2
Z
Capitolo 6. Modelli atomici
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• n varia anche nel singolo atomo, Z varia da atomo ad atomo.
• A parità di n , aumentando Z il raggio diminuisce. Questo è sensato: il
nucleo è più carico e dunque c’è una maggior forza attrattiva.
• A parità di atomo (stesso Z ) i raggi aumentano rapidamente, essendovi
una dipendenza da n2 .
Velocità dell’elettrone
Sostituendo nell’espressione di v rn si ottiene:
vn =
e2 Z
4πϵ ℏ n
| {z0 }
α·c
Osserviamo che:
• A parità di atomo la velocità diminuisce all’aumentare di n . Infatti all’aumentare di n il raggio dell’orbita aumenta, dunque la forza coulombiana
diminuisce e la velocità per avere equilibrio è minore.
• A parità di n vn aumenta linearmente con Z . Atomi più pesanti hanno
carica maggiore, dunque la forza attrattiva è maggiore, dunque deve esserlo
anche la velocità affinché ci sia equilibrio.
• La velocità di un elettrone è relativistica? Vediamo che, per Z = 1
v1 =
e2
4πϵ0 ℏ
= 2.2 · 106
m
s
1
v1
≈
c
137
dunque la velocità di un elettrone nell’atomo di idrogeno non è relativistica.
Per atomi pesanti può diventarlo.Si definisce costante di struttura fine la
quantità
e2
α=
4πϵ0 ℏc
Energia dell’elettrone
Ricaviamo l’energia totale di un elettrone nello stato caratterizzato dal numero
quantico principale n . Essa sarà la somma dell’energia cinetica dell’elettrone e
dell’energia potenziale elettrica.
Capitolo 6. Modelli atomici
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En = Kn + Un
∫ +∞
mvn2
Ze2
=
−
dr
2
4πϵ0 r2
rn
1 Ze2
Ze2
−
2 4πϵ0 rn 4πϵ0 rn
−1 Ze2
=
2 4πϵ0 rn
= −Ek
=
Sostituendo le espressioni per rn o,alternativamente, vn , si ottiene:
( 2 )
−1
e
Z2
En =
m 2
2
4πϵ0 ℏ
n
2
2
2
−α c m Z
=
2
n2
Osserviamo che:
• Il segno − indica che si tratta di un’energia di legame.
• Dalla quantizzazione della quantità di moto segue la quantizzazione degli
stati energetici.
• Aumentando Z l’energia diventa molto più negativa: gli elettroni interni
di atomi pesanti sono fortemente legati, quindi se emessi saranno molto
energetici.
• I livelli non sono equispaziati ma vanno a convergere man mano che aumenta
n
Diagramma energetico atomo di idrogeno
Aver ricavato l’espressione per i livelli energetici ci permette di disegnare il diagramma energetico di un atomo. Prendiamo l’atomo di idrogeno. Sostituendo i
valori delle costanti e dei parametri relativi all’idrogeno si ottiene:
En = −
13.6eV
n2
Capitolo 6. Modelli atomici
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Spettri atomici
Per passare da uno stato ad energia Ei ad uno stato ad energia Ef l’elettrone
deve assorbire o emettere (rispettivamente se Ei < Ef o Ei > Ef ) un fotone con
frequenza
ν=
Ei − Ef
h
come descritto dall’ultimo postulato. Le frequenze assorbite o emesse corrispondono chiaramente a quelle che si osservano negli spettri atomici di assorbimento
o emissione. Se il modello di Bohr è corretto deve dunque contenere le leggi
sperimentali che risultavano efficaci nella descrizione di tali spettri.
ν̃ =
Ei − Ef
ν
=
c
hc
(
)
me4
1
1
2
=
Z
− 2
n2i
nf
(4πϵ0 )2 4cπℏ3
|
{z
}
R∞
La costante indicata con R∞ non è altro che la costante di Rydberg ottenuta
nell’approssimazione M ≈ +∞ : i valori tornano. Possiamo quindi esprimere
l’energia tramite costante di Rydberg:
Capitolo 6. Modelli atomici
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En = −R∞ hc
Z2
n2
Per ogni stato quantico caratterizzato dal numero quantico principale n si ottiene
una serie di righe spettrali quando gli elettroni saltano da un livello ad energia
maggiore su di esso. Per l’atomo di idrogeno si hanno le seguenti serie:
• serie di Lyman ni = 1 , nf = 2, 3, . . . converge a λ = 812 Å (UV).
• serie di Balmer ni = 2 , nf = 3, 4, . . . converge a λ = 3646 Å (visibile)
• serie di Paschen ni = 3 , nf = 4, 5, . . . (infrarosso)
• serie di Brachett ni = 4 , nf = 5, 6, . . . (infrarosso)
• serie di Pfund ni = 5 , nf = 6, 7 . . . (infrarosso)
Le ultime tre serie vengono scoperte dopo essere state previste dal modello di
Bohr.
Osservazioni conclusive
• Il modello di Bohr non fa considerazioni probabilistiche: ci sono diversi
modi per gli elettroni, non equiprobabili, di compiere transizioni. Non viene
spiegata dunque la diversa intensità delle righe spettrali, che è proporzionale
al numero di elettroni che compiono una determinata transizione e dunque
alla probabilità di quella transizione.
• Secondo questo modello le righe sono esattamente “righe”, non hanno uno
spessore. In realtà la struttura delle righe è fine, come spiegato precedentemente, ed ogni riga ha inoltre uno spessore che non può ridursi oltre una
larghezza minima, la larghezza naturale della riga.
• Confrontando i diagrammi di alcuni elementi, come idrogeno ed elio, si
osserva che alcune righe dovrebbero coincidere, nel caso specifico di idrogeno ed elio quelle pari. In realtà questo non accade. L’origine di questa
incongruenza tra teoria ed evidenza sperimentale risiede nell’approssimazione M ≈ +∞ . Bisogna considerare il rinculo del nucleo a seguito della
transizione dell’elettrone. Assumendo ptot.atomo = pnucleo + pelettrone = 0 si
ha che pnucleo = pelettrone = p . Quando il nucleo rincula acquista un’energia
2
p2
cinetica Ek = M2v = 2M
.L’energia cinetica totale dell’atomo sarà quindi
p2
p2
+
2M
2m
M +m 2
p
=
2M m
p2
=
2µ
Ektot =
dove
µ=
m
mM
m
=
m =
1
M +m
1+ M
1 + 1836·Z
Capitolo 6. Modelli atomici
88 / 124
è la massa ridotta del sistema nucleo-elettrone.Con questa precisazione il
modello di Bohr non cambia nella sostanza, basta sostituire nell’espressione
∞µ
dell’energia Ratomo = Rm
alla costante R∞ . Questa correzione risolve il
problema di sovrapposizione delle righe spettrali e ha un effetto significativo
solo per atomi leggeri. Inoltre consente anche di distinguere gli isotopi: se
nel gas responsabile dello spettro vi sono isotopi compaiono delle righe
secondarie molto vicine alle primarie, perchè la massa ridotta è differente
per le due specie.
• Non si è finora tenuto conto che i fotoni emessi o assorbiti possiedono un
h
momento p = Ec = hν
c = λ , che deve entrare a far parte del bilancio del
momento totale.
• assorbimento
pf otone + 0 = patomo →
|
{z
}
conservazione momento
hν
pf otone = patomo =
c
p2
hν + Ei = Ef + atomo
2M }
|
{z
bilancio energetico
(
)
hν
Ef − Ei = hν 1 −
2M c2
hν = (Ef − Ei ) 
1



1 − hν 


2
|2M
{zc }
<<1
)
(
hν
≈ (Ef − Ei ) 1 +
|{z}
2M c2
T aylor
• emissione
0 = pf otone + patomo →
|
{z
}
conservazione momento
hν
|pf otone | = |patomo | =
c
p2
Ei = Ef + hν + atomo
2M }
|
{z
bilancio energetico
(
)
hν
Ei − Ef = hν 1 +
2M c2
Capitolo 6. Modelli atomici
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1
hν = (Ei − Ef ) 



1 + hν 

2
{zc }
|2M
<<1
(
)
hν
≈ (Ei − Ef ) 1 −
|{z}
2M c2
T aylor
Il fotone emesso è quindi un po’ meno energetico di ∆E e per essere
assorbito deve essere un po’ più energetico di ∆E . Questo comprometterebbe la possibilità di avere fenomeni di assorbimento/emissione
risonante,[1] se non fosse che in realtà la differenza di energia ∆E tra
assorbimento e emissione (da non confondere con il ∆E tra i livelli!) è
inferiore alla larghezza di riga naturale (conseguenza del principio di
indeterminazione) e dunque il fenomeno è egualmente possibile.
Principio di corrispondenza Il principio di corrispondenza afferma che se i
numeri quantici in gioco sono elevati le previsioni della fisica quantistica devono
coincidere con quelle della fisica classica. Verifichiamo questo principio per il
modello di Bohr.
Secondo la fisica classica le righe in frequenza osservate negli spettri atomici
sono dovute alla frequenza orbitale dell’elettrone, che è anche la sua frequenza
di irraggiamento. Vediamo che per n grandi la frequenza orbitale va a coincidere
con la frequenza del fotone emesso/assorbito.
• frequenza di transizione
Ei − Ef
h
(
)
Z 2 me4
1
1
=
−
(4πϵ0 )2 2ℏ2 h (n − 1)2 n2
(
)
Z 2 me4
2n − 1
=
(4πϵ0 )2 2ℏ2 h n2 (n − 1)2
νn→n−1 =
Z 2 me4 2n
≈
|{z} (4πϵ )2 2ℏ2 h n4
0
n grande
≈
Z 2 me4 1
(4πϵ0 )2 ℏ2 h n3
• frequenza orbitale
vn
2πrn
e2
1 Z
me2 Z
=
·
(4πϵ0 ) 2πℏ n 4πϵ0 ℏ2 n2
|
{z
} | {z }
fn =
vn
2π
=
Z 2 me4 1
(4πϵ0 )2 ℏ2 h n3
1
rn
Capitolo 6. Modelli atomici
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Critiche al modello di Bohr
1. Postulati: sebbene funzionino, i postulati introdotti non sono in alcun modo
giustificati;
2. atomo piatto: l’atomo di Bohr è piatto, non ha una struttura tridimensionale;
3. atomi multielettronici: il modello funziona bene per l’atomo di idrogeno e
idrogenoidi, abbastanza bene per i metalli alcalini che hanno un solo elettrone sul guscio esterno, ma non riesce a spiegare gli atomi multielettronici.
4. struttura fine delle righe: le righe spettrali sono in realtà composte da molte
righe vicine, la cui esistenza non è giustificata dal modello di Bohr. Per
ottenere dal modello molte righe vicine bisognerebbe infatti avere distinzioni
energetiche meno evidenti di quelle tra un livello e l’altro.
[1] se in un gas si eccitano tot atomi per assorbimento di fotoni, diseccitandosi i fotoni
emessi eccitano altri atomi e così via
6.7 Modello di Wilson-Sommerfield
Regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfield Il lavoro di Wilson e
Sommerfield tenta in primo luogo di giustificare il postulato di quantizzazione
del momento angolare presente nel Modello di Bohr rendendolo conseguenza di
una teoria più ampia. Avendo presente il formalismo di Hamilton essi proposero
una regola di quantizzazione legata alle variabili coniugate. Se in un sistema è
presente una coordinata generalizzata q periodica nel tempo, dato il suo momento
coniugato pq , deve valere la seguente regola, nota come la regola di quantizzazione
di Wilson e Sommerfield:
I
p dq = nq h
T
L’integrale è inteso sul periodo di q , il valore nq è chiamato numero quantico ed
è un numero intero. Ciò significa che tale integrale può assumere solamente valori
che sono multipli interi della costante di Planck h .
Quantizzazione di Bohr Dala regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfield è possibile derivare la quantizzazione del momento angolare introdotta da
Bohr. Consideriamo un elettrone che ruota intorno al nucleo atomico seguendo
un orbita di raggio r.
Capitolo 6. Modelli atomici
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Per il moto circolare scegliamo come coordinata generalizzata l’angolo θ . La forza
agente è quella di Coulomb:
FC =
1 e2
4πε0 r2
L’energia cinetica dell’elettrone è T =
Lagrangiana del sistema:
1
2 2
2 mr θ̇
. Possiamo dunque scrivere la
L = T (θ̇) − U (θ)
Dove U (θ) è il potenziale Coulombiano.
Calcoliamo ora il momento coniugato pθ :
pθ =
∂L
= mr2 θ̇ = mrv
∂ θ̇
Dove v è la velocità tangenziale dell’elettrone. Notiamo dunque che pθ è proprio
il momento angolare L dell’elettrone che, essendo la forza di Coulomb una forza
centrale, è costante. Possiamo quindi procedere al calcolo dell’integrale:
I
I
pθ dθ =
I
Ldθ = L
dθ = 2πL
Applicando la regola di quantizzazione otteniamo quindi:
Capitolo 6. Modelli atomici
92 / 124
2πL = nq h ⇒ L = nq
h
= nq ℏ
2π
Che è proprio la quantizzazione del momento angolare introdotta da Bohr come
postulato.
Oscillatore armonico Dall’applicazione della regola di quantizzazione di Wilson e Sommerfield si può derivare anche la quantizzazione dell’energia di un
oscillatore armonico ipotizzata da Planck. Consideriamo infatti un oscillatore armonico di costante elastica k . Si può procedere come nel paragrafo precedente:
utilizzando come coordinata generalizzata la distanza x dall’origine, scriviamo
l’energia cinetica T e l’energia potenziale U del sistema: <dmath type = align>
T = \frac{1}{2} m {\dot x}^2 \\ U = \frac{1}{2} k x^2 </dmath> Scriviamo
quindi la Lagrangiana:
1
1
L = T − U = mẋ2 − kx2
2
2
Da cui possiamo calcolare px :
px =
∂L
= mẋ
∂ ẋ
Possiamo ora costruire l’Hamiltoniana del sistema:
H(x, px ) = px ẋ(x, px ) − L(x, px ) =
px 2 1 px 2 1 2
−
+ kx
m
2 m
2
Da cui:
H(x, px ) =
Poichè
∂H
∂t
1 px 2 1 2
+ kx
2 m
2
= 0 l’Hamiltoniana coincide con l’energia del sistema , dunque:
E(x, px ) =
1 px 2 1 2
+ kx
2 m
2
Da ciò si può costruire lo spazio delle fasi, infatti risolvendo per px si ottiene:
√
)
(
1
px = ± 2m E − kx2
2
Capitolo 6. Modelli atomici
93 / 124
Otteniamo quindi gli estremi di integrazione della variabile x dalle condizioni di
esistenza della radice:
√
−
2E
≤x≤
k
√
√
2E
k
ponendo
2E
= c ⇒ −c ≤ x ≤ c
k
Dovendo integrare sul periodo consideriamo px positivo da -c ad c e negativo da
c fino a -c. Tale scelta è giustificata dallo spazio delle fasi ellittico. Calcoliamo
quindi l’integrale:
I
∫
px dx = 2
c
√
−c
(
)
1 2
2m E − kx dx
2
Procediamo alla risoluzione calcolando prima l’integrale indefinito:
∫ √
2
)
∫ √
√
1 2
k 2
2m E − kx dx = 2 2mE
1−
x dx
2
2E
(
√
Procediamo con la sostituzione x =
Procedendo otteniamo:
∫
√
2 2mE
√
k 2
x dx = 4E
1−
2E
√
2E
k
m
k
√
sin t , segue che dx =
√
∫
2
cos tdt = 4E
m
k
(
2E
k
cos t dt .
t
sin 2t
+
2
4
)
Sostituendo gli estremi di integrazione e proseguendo con i calcoli si ottiene:
√
I
px dx = 2πE
m
k
Capitolo 6. Modelli atomici
Ricordando che
√m
k
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=
1
ω
=
1
2πν
otteniamo:
I
px dx =
E
ν
Applicando la regola di quantizzazione otteniamo:
E = nhν
come ipotizzato da Planck.
Particella in una scatola Il modello della particella nella scatola è un’applicazione della regola di quantizzazione che mostra come una particella confinata
possa assumere solo livelli di energia multipli di una quantità discreta, ovvero
abbia energia quantizzata.
Trattazione monodimensionale
Consideriamo in primo luogo il caso monodimensionale di una particella vincolata
a muoversi sull’asse x in una regione di spazio compresa tra l’origine e un certo
punto x = L :
La coordinata generalizzata è banalmente l’ascissa x della particella e il momento
coniugato non è altro che il momento della particella. Il moto è periodico, la
particella infatti si muove tra una parete e l’altra invertendo il verso del moto
ogni volta che raggiunge i punti x = 0 o x = L . Possiamo quindi procedere a
calcolare:
I
∫
px dx =
∫
L
0
px dx +
0
L
∫
−px dx = 2
L
px dx = 2Lpx = nh
0
Capitolo 6. Modelli atomici
95 / 124
Segue che:
px =
nh
2L
Dunque il momento della particella è quantizzato. Da questo segue la quantizzazione dell’energia della particella, infatti:
( )
px 2
1 nh 2 1 h2 2
En =
=
n
=
2m
2m 2L
8 mL2
Trattazione tridimensionale
Il caso tridimensionale è una semplice estensione del caso monodimensionale,
consideriamo una particella confinata in una regione di spazio di lati Lx , Ly , Lz .
Il principio di Wilson e Sommerfield afferma che:
I
pi di = ni h
con i = x, y, z .
Segue quindi che ∀i pi =
ni h
2Li
e l’Energia diventa:
px 2 + py 2 + pz 2
h2
p2
=
=
E=
2m
2m
8m
Se inoltre Lx = Ly = Lz = L
.
⇒
E=
h2
8mL2
(
(
ny 2
nx 2
nz 2
+
+
Lx 2 Ly 2 Lz 2
)
)
(
)
nx 2 + ny 2 + nz 2 = E1 nx 2 + ny 2 + nz 2
Capitolo 7. Raggi X
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Capitolo 7
Raggi X
7.1 Introduzione
I raggi X sono stati scoperti da Röntgen nel 1896. Il nome raggi X deriva dal fatto
che nessuno conoscesse la loro natura. Röntgen, lavorando con scariche elettriche
in tubi catodici con gas rarefatti, osserva che in alcuni casi si produce una forte
fluorescenza anche su schermi posti a metri di distanza. Inizia dunque a studiare
sistematicamente gli effetti di questi raggi X e scopre che:
• hanno un’elevata penetrabilità della materia: la maggior parte dei materiali
non riesce a bloccarli;
• impressionano pellicole e lastre fotografiche;
• producono il fenomeno della fluorescenza;
• non subiscono deflessioni da parte di campi elettrici o magnetici → o sono
costituiti da particelle neutre o non sono costituiti da particelle;
• non riesce a produrre riflessione o rifrazione
[1]
• si originano maggiormente utilizzando materiali pesanti per l’anodo.
Nel 1913 Coolidge inventa un sistema efficiente per produrre e studiare i raggi
X, costituito da un tubo a vuoto ove un filamento di tungsteno produce elettroni
per effetto termoionico. Questi vengono accelerati da una differenza di potenziale
e impattando contro l’anodo producono i raggi X, con un intervallo di lungezza
d’onda ed uno spettro che sono strettamente dipendenti sia dalle caratteristiche
del tubo, cioé la tensione applicata, sia dal tipo di metallo con cui è fatto l’anodo. Il processo tuttavia non è per niente efficiente, dal momento che solo lo 0,1%
della potenza erogata viene effettivamente utilizzata per la produzione di raggi
X. Il restante 99,9% di essa viene trasformato in calore, perciò risulta di vitale
importanza raffreddare l’anodo per evitarne la fusione; ciò è fatto facendo circolare dell’acqua in corrispondenza dell’anodo stesso (l’impianto di raffreddamento
non è rappresentato in figura).
Capitolo 7. Raggi X
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Come rilevatore si utilizzano ben presto le camere di ionizzazione. Esse si basano
sulla proprietà dei raggi X di scaricare corpi carichi, ionizzando l’aria circostante.
Una camera è costituita da un tubo metallico con una finestra di entrata, generalmente di quarzo, per permettere ai raggi X di entrare. All’interno vi è una
barra metallica mantenuta ad una determinata differenza di potenziale rispetto
alle pareti della camera. Quando i raggi X colpiscono la barra questa si scarica e
l’aria si ionizza producendo una corrente misurabile.
[1] questo accade perchè i reticoli per funzionare devono avere un passo comparabile
con λ, e la λ dei raggi X è molto piccola
7.2 Esperimento di Bragg
Sebbene l’ipotesi che i raggi X siano radiazione elettromagnetica viene presto suggerita, provarlo si rivela complicato. La prima prova della diffrazione dei raggi X
viene ottenuta nel 1899 da Hags e Wind ma un esperimento più accurato viene
eseguito nel 1912 da Laue, Friedrick e Knipping, i quali utilizzano un cristallo
come reticolo naturale per determinare la lunghezza d’onda dei raggi X. Nel dettaglio, essi utilizzano un cristallo di tungsteno con un passo reticolare dell’ordine
dell’Å. Si traggono dunque le seguenti conclusioni:
• i raggi X sono radiazione elettromagnetica;
• hanno una lunghezza d’onda “piccola”, ossia dell’ordine dell’Å
Inoltre si ottiene un’importante informazione sulla natura dei cristalli:
• gli atomi dei cristalli sono disposti in modo regolare.
Infatti, se così non fosse, non si potrebbe avere interferenza.
La misura della lunghezza d’onda dei raggi X è dovuta a Bragg. Descriviamo
l’esperimento che porta a tale risultato.
Capitolo 7. Raggi X
98 / 124
Apparato sperimentale L’apparato sperimentale utilizzato è il cosiddetto
spettrometro di Bragg, illustrato in figura. Sottolineiamo che viene utilizzato un
fascio di raggi X monocromatico.
Spiegazione del fenomeno Sia θ l’angolo di incidenza del raggio sul primo
piano reticolare orizzontale del cristallo. Esso verrà riflesso con uguale angolo θ .
Un raggio che incide sul secondo piano reticolare del cristallo, distante d dal primo,
si comporta in modo analogo. La figura illustra il comportamento descritto.
S0
S1
A1
θ
θ
1
θ θ
2
B
d (hkl)
C
A2
d sinθ
Per avere interferenza costruttiva la differenza di cammino dei due raggi deve
essere un multiplo della lunghezza d’onda degli stessi. Osservando la figura, tale
differenza è 2d sin θ . Deve dunque valere che:
2d sin θ = nλ
legge di Bragg
Noto il passo del reticolo,dalla misura sperimentale delle posizioni dei massimi di
interferenza si può dunque stimare la lunghezza d’onda dei raggi X.
Capitolo 7. Raggi X
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7.3 Spettro dei Raggi X
Utilizzando un tubo di Coolidge e variando il potenziale del tubo è possibile
campionare tutto lo spettro dei raggi X. Il risultato che si ottiene è illustrato in
figura.
Vediamo che lo spettro è costituito da due componenti che si sommano:
• lo spettro continuo, che parte da un valore minimo di lunghezza d’onda
e dipende unicamente dalla tensione del tubo;
[1]
• lo spettro caratteristico, costituito da un numero di picchi presenti a determinate lunghezze d’onda dipendente dalle proprietà del metallo usato come
anodo.
Spettro continuo Lo spettro continuo è spiegabile classicamente come la radiazione emessa dal frenamento (Bremsstrahlung) degli elettroni che impattano
sull’anodo. Infatti una carica in moto accelerato irraggia e il frenamento successivo produce raggi X con lunghezze d’onda diverse. Maggiore è l’energia ceduta,
minore è la lunghezza d’onda dei raggi X prodotti.
Capitolo 7. Raggi X
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Tuttavia si osserva che lo spettro è troncato: esiste una λmin e questo non è
spiegabile se non con la quantizzazione di Planck: un elettrone può cedere al
massimo tutta la sua energia e dunque:
Emax = hνmax =
hc
λmin
legge di Duane-Hunt
Se vogliamo la relazione diretta con il potenziale del tubo:
Emax = eVmax =
λmin
hc
λmin
hc
=
eV
Questo fenomeno è anche chiamato effetto fotoelettrico inverso.Infatti nell’effetto fotoelettrico bombardo un metallo con fotoni e ottengo elettroni, in questo
caso bombardo con elettroni e ottengo fotoni X. In entrambi i casi l’energia è
quantizzata.
Spettro caratteristico I picchi caratteristici vengono studiati sistematicamente da Moseley utilizzando diversi materiali come bersaglio. Egli scopre che esiste
una relazione determinata tra la lunghezza d’onda a cui si trovano i picchi e il
tipo di materiale utilizzato.
L’esistenza di questi picchi è interpretabile come conseguenza della collisione di un
elettrone molto energetico con un elettrone interno dell’atomo del bersaglio, collisione che comporta l’espulsione dell’elettrone dall’atomo. Gli elettroni rimanenti
compiono transizioni per colmare la lacuna, emettendo fotoni con energia pari alla differenza tra i livelli. Tale differenza dipende dal tipo di materiale costituente
il bersaglio.[2]
[1] il lettore rilegga i capitoli precedenti se non ricorda la relazione tra lunghezza
d’onda e energia
[2] I livelli energetici nello studio dei raggi X sono nominati con lettere: K,L,M ...
Capitolo 7. Raggi X
101 / 124
7.4 Interazione Raggi X-Materia
L’interazione di un fotone con la materia è regolata dalla sua energia.
• fotoni di bassa energia tendono ad interagire con l’ intero atomo
• fotoni moderatamente energetici tendono ad interagire con gli elettroni
orbitali
• fotoni ad alta energia interagiscono con il nucleo.
I fotoni X hanno diverse lunghezze d’onda e quindi anche diversa energia (generalmente compresa fra i 5 KeV e i 500 keV) e interagiscono con la materia in
cinque modi:
1. Diffusione classica
2. Effetto Compton
3. Effetto fotoelettrico
4. Produzione di coppie
5. Fotodisintegrazione
7.4.1 Diffusione classica
Coinvolge fotoni con energia <10 keV. L’energia del fotone X incidente non è
sufficiente a ionizzare l’atomo, tuttavia mette in oscillazione gli elettroni più’
esterni che re-irraggiano ad un frequenza pari a quella del fotone incidente (se
si può trascurare, in quanto molto minore, l’energia di legame dell’elettrone all’atomo). Quindi la diffusione classica produce una variazione della direzione di
propagazione del fotone senza variare la sua energia.
7.4.2 Effetto Compton
L’interazione Compton ha luogo quando l’energia del fotone incidente è molto
più elevata dell’energia di legame dell’elettrone esterno che può essere considerato
libero. Questo avviene per fotoni X con energia >10keV. Il fotone incidente cede
parte della sua energia all’elettrone, che acquista energia cinetica, mentre il fotone
cambia energia e direzione. La trattazione approfondita di questo fenomeno è
svolta nella sezione Effetto Compton
7.4.3 Effetto fotoelettrico
L’effetto fotoelettrico è già stato analizzato in dettaglio nel capitolo Effetto fotoelettrico. Riassumiamo i principali concetti. I raggi X con energia >10keV possono
anche interagire con gli elettroni legati e cedere tutta la loro energia, espellendoli
e conferendo loro un’energia cinetica pari alla differenza tra l’energia del fotone incidente e l’ energia di legame dell’elettrone. Questo causa la ionizzazione
Capitolo 7. Raggi X
102 / 124
dell’atomo e la produzione dello spettro caratteristico dell’elemento, in quanto la
lacuna che si viene a creare tende ad essere colmata da un’elettrone di un orbitale
più esterno. Il fotone non viene dunque diffuso ma totalmente assorbito.
7.4.4 Produzione di coppie
Se un fotone incidente possiede energia in quantità sufficiente(uguale o maggiore
di 1,02 MeV) riesce a sfuggire all’interazione con la nube elettronica e ad arrivare
in prossimità del nucleo dell’atomo bersaglio. L’interazione tra fotone e campo di
forza del nucleo provoca la scomparsa del fotone,che si materializza sotto forma
di un elettrone e un positrone, i quali si annichilano dopo breve tempo. Vediamo
il bilancio energetico.
+
E+
hν
=
E−
|{z}
|{z}
|{z}
energia fotone energia elettrone energia positrone
(
) (
)
= m0 c2 + K− + m0 c2 + K+
= 2m0 c2 + K+ + K−
L’energia minima perchè possa avvenire la produzione della coppia elettronepositrone è quella per cui essi vengono generati con energia cinetica nulla:
hν = 2m0 c2 = 1, 02M eV
L’annichilazione torna a produrre due fotoni in direzioni opposte come conseguenza diretta della conservazione della quantità di moto, di energia pari alla metà
dell’energia del fotone iniziale.
7.4.5 Fotodisintegrazione
I fotoni di alta energia (maggiore di 10 MeV) possono sfuggire all’interazione
con la nube elettronica e con il campo di forze del nucleo ed essere assorbiti
direttamente dal nucleo stesso. In questo caso il nucleo è portato ad uno stato
eccitato ed emette istantaneamente un nucleone o un altro frammento nucleare.
7.5 Effetto Compton
Assieme all’effetto fotoelettrico l’effetto Compton mostra la quantizzazione della
radiazione elettromagnetica. Mentre l’effetto fotoelettrico evidenzia la quantizzazione dell’energia, l’effetto Compton mostra il carattere discreto della quantità di
moto.
Secondo la teoria classica, quando un’onda elettromagnetica incide su un elettrone, questo compie un’oscillazione armonica alla stessa frequenza dell’onda
incidente, e la scattera riemettendo radiazione sempre alla stessa frequenza.
Prima del 1914 Grey mostra che i raggi X scatterati vengono assorbiti più facilmente rispetto al raggio incidente, il che implica che, in media, i raggi scatterati
hanno energia minore.
Capitolo 7. Raggi X
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Nel 1923 Compton pubblica i risultati di misure accurate dello spettro di intensità
del raggio X diffuso in funzione dell’angolo di incidenza.
Spiegazione fenomeno Compton osserva che il raggio scatterato contiene due
picchi: uno alla stessa lunghezza d’onda del raggio incidente ed uno a lunghezza
d’onda maggiore, spostato di ∆λ rispetto al primo picco, maggiore quanto più
grande è l’angolo di scattering. La teoria classica non riesce a spiegare il motivo
dell’esistenza di questo secondo picco. Compton deriva una spiegazione basandosi
sulla teoria corpuscolare della radiazione elettromagnetica.
Capitolo 7. Raggi X
104 / 124
Assumiamo che i raggi X siano composti da fotoni di energia E = hν = hc
λ .
h [1]
Consideriamo un fascio di lunghezza d’onda λ0 e momento p = λ0
Se questo
fascio colpisce un elettrone libero viene scatterato ad un angolo θ con momento
p′ < p0 , dovuto al trasferimento di parte del momento all’elettrone, il quale
acquista un momento pe e rincula con angolo φ . Applicando la conservazione del
momento:
{
asse x:
asse y:
p0
0
= p′ cos θ + pe cos φ
= p′ sin θ − pe sin φ
Esprimendo p_{e} in funzione delle altre quantità in entrambe le equazioni:
{
pe cos φ = p0 − p′ cos θ
pe sin φ = p′ sin θ
Facciamo il quadrato e sommiamo:
p2e = p20 + p′2 − 2p0 p′ cos θ
Ora consideriamo la conservazione dell’energia.
E0 = |{z}
E ′ +Ke
|{z}
=
′
=
p0 c = p c + Ke →
(
)
K e = c p0 − p′
Ora esprimiamo pe in funzione di Ke , di modo da avere una seconda equazione
per pe e poterlo dunque eliminare ricavando una relazione solo tra p0 e p′ .
(
)2
L’energia totale dell’elettrone è Ee2 = Ke + me c2 ma vale anche Ee2 = p2e c2 +
m2e c4 . Eguagliamo i membri a destra delle due equazioni:
Ke2 + m2e c4 + 2Ke me c2 = p2e c2 + m2e c4 →
Ke2
+ 2me Ke
c2
(
)2
(
)
= p0 − p′ + 2me c p0 − p′
p2e =
Mettiamo a sistema con il risultato precedente:
{
= p20 + p′2 − 2p0 p′ cos θ
= (p0 − p′ )2 + 2me c (p0 − p′ )
(
)2
(
)
p20 + p′2 − 2p0 p′ cos θ = p0 − p′ + 2me c p0 − p′ →
p2e
p2e
p′ (2p0 cos θ − 2p0 − 2me c) = −2me cp0 →
me cp0
p′ =
me c + p0 (1 − cos θ)
Capitolo 7. Raggi X
105 / 124
Ed ecco la dipendenza esplicita di p′ da θ , angolo di scattering. Ora esprimiamo
p′ e p0 tramite lunghezze d’onda di raggio scatterato e raggio incidente e otterremo proprio l’esistenza del secondo picco a λ > λ0 Per la quantizzazione della
radiazione elettromagnetica si ha infatti:
{
p0
p′
=
=
h
λ0
h
λ′
Dunque:
me c λh0
h
=
λ′
me c + λh0 (1 − cos θ)
λ=
me c +
= λ0 +
h
λ0 (1
me c
λ0
− cos θ)
h
(1 − cos θ)
me c
La quantità λC = mhe c è detta lunghezza d’onda Compton per l’elettrone e vale
0.024 Å. Lo spostamento dal primo picco è dunque
∆λ = λC (1 − cos θ)
in accordo con i dati sperimentali.
Osservazione
Nel modello abbiamo assunto l’elettrone libero. Gli elettroni che producono questo
effetto sono dunque quelli esterni, meno legati agli atomi. Il primo picco a lunghezza d’onda invariata compare quando i fotoni colpiscono gli elettroni interni
dell’atomo che, essendo fortemente legati, non rinculano.
[1]
{
E
p
=
=
hc
λ0
E
c
→p=
h
λ0
7.6 Assorbimento
Consideriamo un fascio di raggi X di intensità I che incide su un materiale assorbente di spessore x . La quantità di intensità infinitesima dI assorbita è proporzionale allo spessore dx e all’intensità del fascio incidente, I . Indichiamo
con µ il coefficiente di proporzionalità in questa relazione, detto coefficiente di
assorbimento lineare.
dI = −µIdx
I = I0 e
−µx
integrazione
Capitolo 7. Raggi X
106 / 124
Modello di Thomson per il coefficiente di assorbimento Thomson elabora il modello più semplice per il coefficiente di assorbimento µ . Le ipotesi
fondamentali sono:
• L’interazione degli elettroni con il fascio è un’interazione indipendente:
ciascun elettrone interagisce singolarmente con il fascio.
• L’assorbimento è dovuto alla diffusione dei raggi X da parte degli elettroni
dell’atomo.
Il modello si basa sulla definizione di una sezione d’urto σ per l’elettrone. Definita
tale sezione d’urto Thomson ipotizza che il coefficiente µ sia dato da
µ = σ · ρe
Dove abbiamo indicato ρe il numero di elettroni per unità di volume, cioè una
densità elettronica.
Per quanto riguarda la sezione d’urto, questa è definita come il rapporto tra la
potenza emessa da un elettrone e l’intensità del fascio incidente:
σ=
Pe
I
Da analisi dimensionali vediamo che:
[σ] =
W
= m2
W m−2
Capitolo 7. Raggi X
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Vediamo di esprimere la potenza emessa dall’elettrone e l’intensità del fascio
incidente.
Potenza emessa
Consideriamo un elettrone con velocità u << c . La potenza emessa è il flusso del
vettore di Poynting attraverso una superficie sferica che racchiude l’elettrone.
S =E∧H →
I
P = (E ∧ H) · n̂ da
Introduciamo alcune approssimazioni:
• Approssimazione di onda piana: la radiazione emessa dagli elettroni è un’onda piana (quindi
√ stiamo dicendo che ci mettiamo a grandi distanze). Vale
quindi E⊥ = µϵ00 H⊥ .
• Approssimazione di campo di radiazione: trascuro tutti i termini di campo
che vanno a 0 più velocemente di 1r .
Dalle equazioni di Maxwell sappiamo che vale :
E=−
∂A
− ∇φ
∂t
Per l’approssimazione di campo di radiazione possiamo trascurare ∇φ , che va
sicuramente a 0 più veloce di 1r . Rimane quindi
E=−
∂A
∂t
L’espressione per il potenziale vettore A è di difficile derivazione. Per lo scopo di
questa trattazione basti sapere che vale
A=
µ0
e
u
4π r − r′ | {z }
R
µ0 e
sin θu
Aθ =
4π R
−∂Aθ
Eθ =
∂t
µ0 e
∂u
=
sin θ
4π R
∂t
Sfruttando ora l’approssimazione di onda piana ricaviamo Hφ
√
Hφ =
ϵ0
Eθ
µ0
Finalmente possiamo calcolare il prodotto vettore tra E e H proiettato lungo la
normale alla superficie sferica che racchiude l’elettrone.
Capitolo 7. Raggi X
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(E ∧ H) · n̂ = Eθ Hφ
√
ϵ0 2
=
E
µ0 θ
√
ϵ0 µ20
=
e2 u̇2 sin2 θ
µ0 (4πR)2
Infine integriamo per trovare la potenza emessa:
∫
∫
2π
π
(E ∧ H) · n̂R2 sin θ dθ
0
0
√
∫ π
ϵ0 µ20
2 2
= 2π
u̇ e
sin3 θ dθ
µ0 (4πR)2
0
√
u̇2 e2 2 µ0
=
4πc2 3 ϵ0
P =
[1]
Ora u̇ = a =
eE
m
dφ
dunque in conclusione possiamo esprimere P come:
e4 E 2 2
P =
4πm2 c2 3
√
µ0
ϵ0
Intensità del fascio incidente
Dall’elettromagnetismo classico sappiamo che
√
I=
ϵ0 2
E
µ0
Sezione d’urto
Dalla definizione data inizialmente della sezione d’urto si ottiene:
P
I
2 µ0
e4
=
3 ϵ0 4π m2 c2
σ=
Definendo raggio classico dell’elettrone la distanza alla quale l’energia potenziale
coulombiana eguaglia l’energia a riposo dell’elettrone mc2 si ha:
1 e2
= mc2
4πϵ0 rcl
e2
rcl =
4πϵ0 mc2
8 2
σ = πrcl
3
Numericamente si ha rcl = 2, 82 · 10−15 m e σ = 0, 666 · 10−28 m2 = 0, 666barn
Coefficiente di assorbimento
Capitolo 7. Raggi X
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Come avevamo preannunciato µ = σ·numero elettroni . Se il materiale assorbente
è costituito da un elemento di numero atomico Z µ = σ · numero atomi · Z .
Osservazione
Secondo questo modello l’assorbimento non dipende dall’energia dei raggi X, contro l’evidenza sperimentale. Questa dipendenza dall’energia viene mostrata da
Borkla nel 1909.
[1] Non abbiamo svolto i calcoli dell’integrale di sin3 θ e abbiamo sfruttato la relazione
c = √µ10 ϵ0
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
110 / 124
Capitolo 8
Ipotesi di De Broglie
8.1 Introduzione
Dalla teoria corpuscolare della radiazione è noto come ad un’onda di lunghezza
d’onda λ possa essere associato un momento p = λh . Nella sua tesi di dottorato
De Broglie ipotizza che tale relazione sia in qualche modo simmetrica e che ad
un corpo, dotato di momento p , si possa associare una lunghezza d’onda λ = hp
e dunque alla materia possano essere associati comportamenti ondulatori.
Ciò implica che, sotto opportuna condizioni, la materia può subire diffrazione. Un
rapido conto tuttavia mostra che la diffrazione della materia non è osservabile per
effetti macroscopici: se consideriamo un oggetto di massa m = 10g che si muove
alla velocità v = 10 m
s , possiamo calcolare la lunghezza d’onda associata:
λ=
h
6, 62 · 10−34 J · s
= −2
m·v
10 Kg · 10m · s−1
= 6, 6 · 10−23 Å
Si tratta chiaramente di una quantità non osservabile.
Se tuttavia consideriamo un elettrone di energia E = 100eV si può calcolare:
λ=
h
h
=√
p
2mE
=√
6, 62 · 10−34 J · s
2 · 9, 1 · 10−31 Kg · 100 · 1, 6 · 10−19 J
= 1, 2Å
Si tratta di una quantità misurabile. In linea di principio è dunque possibile
osservare la diffrazione degli elettroni a patto di utilizzare un appropriato reticolo
di diffrazione.
Bohr attraverso De Broglie Grazie all’ipotesi di De Broglie si può spiegare
la quantizzazione del momento angolare che costituisce uno dei postulati di Bohr.
Infatti se associamo ad un elettrone una lunghezza d’onda λ essa deve soddisfare
alla condizione di stazionarietà dell’orbita
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
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2πr = nλ
h
=n
p
h
=n
→
mv
h
mvr = n
2π
L = nℏ
8.2 Esperimento di Davisson e Germer
La prima prova dell’ipotesi di De Broglie arriva dall’esperimento di Davisson e
Germer, i quali, casualmente, osservano la diffrazione di un fascio di elettroni.
Mentre effettuavano degli esperimenti di scattering su polveri di nichel questo
entro accidentalmente in contatto con dell’ossigeno e si ossidò. Per ripulirlo dovettero riscaldarlo e questo fece assumere al nichel una struttura cristallina adatta
alla diffrazione degli elettroni.
Considero quindi un raggio che incide perpendicolarmente al reticolo cristallino e
viene scatterato di un angolo ϕ , quindi consideriamo un piano di Bragg interno al
cristallo la cui normale è inclinata di un angolo α = ϕ2 rispetto al raggio incidente
(i.e. diretta lungo la bisettrice di ϕ ). Si può ora studiare il fenomeno come una
riflessione di Bragg.
Posto ϑ =
π
2
− α si ha:
2d sin ϑ = nλ
Tenendo conto del fatto che sin ϑ = cos α e d = D sin α si ottiene:
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
D2 sin α cos α = nλ
112 / 124
⇒
D sin (2α) = nλ
⇒
D sin ϕ = nλ
Davisson e Germer lavorarono con un reticolo per cui D = 2, 15 Å. Per n = 1
osservarono ϕ = 50◦ da cui λ = 1, 66 Å.
Gli elettroni utilizzati erano accelerati da un potenziale di 54V (i.e. la loro energia
era pari a 54eV), da cui si può ricavare la lunghezza d’onda prevista dalla teoria
di De Broglie:
λ=
◦
h
h
=√
= 1, 67A
p
2mE
in accordo con i risultati dell’esperimento.
8.3 Pacchetti d’onda
Associare ad una particella una lunghezza d’onda, e dunque assegnargli una natura ondulatoria, introduce complicazioni non indifferenti: che tipo di onda definisce
la particella? E come possiamo mantenere la localizzazione della particella in un
contesto ondulatorio?
La risposta viene dal concetto di pacchetto d’onda, ossia un impulso con estensione finita. Questo pacchetto si ottiene per sovrapposizione di onde armoniche che
danno interferenza costruttiva solo in una regione finita dello spazio, annullandosi
altrove. Lo strumento matematico che consente questa trattazione è l’ analisi di
Fourier. Tuttavia il problema della localizzazione non è del tutto risolto: una particella nella concezione classica è esattamente in un punto dello spazio, invece in
quest’ottica il pacchetto ha comunque una larghezza. Se infatti penso di stringere
il picco per ottenere la localizzazione esatta, il pacchetto nello spazio dei numeri
d’onda k si allarga molto. Vediamo un esempio facile che ci permette di capire
meglio il concetto.
I battimenti Prendiamo due onde armoniche di eguale ampiezza di equazioni:
y1 (x, t) = y0 cos (k1 x − ω1 t)
y2 (x, t) = y0 cos (k2 x − ω2 t)
Tali che k1 ≈ k2 e ω1 ≈ ω2 Ora sovrapponiamole e studiamo l’onda risultante.
[1]
y (x, t) = y0 cos (k1 x − ω1 t) + y0 cos (k2 x − ω2 t)
(
)
(
)
1
1
1
1
= 2y0 cos
(k1 − k2 ) x − (ω1 − ω2 ) t cos
(k1 + k2 ) x − (ω1 + ω2 ) t
2
2
2
2
(
(
))
(
)
1
1
= 2y0 cos
∆kx − ∆ωt
cos k̄x − ω̄t
2
2
|
{z
}
ampiezza modulata
Dove
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
113 / 124
∆k = k1 − k2
k1 + k2
k̄ =
2
e lo stesso per la simbologia di ω
Dopo un semiperiodo dell’inviluppo deve valere:
1
1
∆kx2 − ∆kx1 = π
2
2
1
∆k∆x = π →
2
∆k∆x = 2π
Il prodotto ∆k∆x è un numero finito! Riducendo ∆x , ossia stringendo il picco
nello spazio, automaticamente ∆k aumenta.
Lo stesso si può fare con le variabili t e ω , ottenendo
∆ω∆t = 2π
.
Da questa semplice analisi ricaviamo già importanti osservazioni:
• Le coppie di variabili k e x , t e ω sono correlate.
• Nella rappresentazione “a pacchetti” vi è un’ indeterminazione intrinseca
Pacchetti d’onda atti alla rappresentazione di una particella Un pacchetto d’onda composto da due sole armoniche, come visto nel caso dei battimenti,
non è ancora adeguato alla descrizione della funzione d’onda di una particella. È
necessario sovrapporre un gran numero di armoniche. Questa sovrapposizione è
matematicamente rappresentabile come serie di Fourier, ossia:
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
114 / 124
rappresentazione nello spazio
∞
∑
π
f (x) =
cn ein 2L x
cn =
n=−∞
∫
1
2L
L
f (x)e−in 2L x dx
π
−L
rappresentazione nel tempo
∞
∑
π
f (t) =
gn ein 2L′ t
gn =
∫
1
2L′
n=−∞
L′
−L′
f (t)e−in 2L′ t dt
π
Se consideriamo un numero davvero grande di armoniche i coefficienti discreti
diventano variabili continue cn → A (k) e gn → A (ω) e la funzione anzichè essere
espressa come serie viene espressa come integrale[2] :
∫
rappresentazione in x,k
+∞
A (k) eikx dk
F (x) =
1
A (k) = √
2π
−∞
+∞
∫
−∞
∫
F (t) =
1
A (ω) = √
2π
trasformata di Fourier inversa
F (x)e−ikx dx, k ∈ R
trasformata di Fourier
rappresentazione in t,ω
+∞
A (ω) eiωt dω
−∞
∫ +∞
−∞
trasformata di Fourier inversa
F (t)e−iωt dt; ω ∈ R
trasformata di Fourier
[1] si utilizza la formula di prostaferesi cos α + cos β = 2 cos
(
α−β
2
)
cos
(
α+β
2
)
[2] stiamo consapevolmente sorvolando sull’ambiente in cui è possibile eseguire la trasformata ecc, in quanto il rigore matematico non è l’obiettivo di questa trattazione
8.4 Principio di indeterminazione
Prendiamo un pacchetto d’onda gaussiano centrato in 0 e con varianza σx .
L’espressione matematica di tale pacchetto è:
2
1 −x
F (x) = √ e 2σx2
2π
Se ora vogliamo passare nello spazio k dobbiamo farne la trasformata di Fourier:
∫
+∞
F (k) =
−∞
F (x) e−ikx dx
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
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Svolgendo i conti, che riportiamo nelle note,[1] si ottiene:
F (k) = e
2
−k2 σx
2
−k2
2
= e 2σk
Ossia la trasformata di Fourier di un pacchetto gaussiano è ancora un pacchetto
gaussiano con varianza
σk =
1
σx
da cui
σk σx ≈ 1
Poichè σ è una misura della larghezza del pacchetto, e dunque dell’incertezza,
possiamo scrivere
∆k∆x ≈ 1
Moltiplicando per ℏ entrambi i membri dell’equazione si ha
∆kℏ
|{z} ∆x ≈ ℏ →
2π h
= ∆λ
2π
∆p∆x ≈ ℏ
Analogamente per un pacchetto in t si ottiene
∆E∆t ≈ ℏ
Le due relazioni appena ricavate costituiscono il senso del principio di indeterminazione di Heisenberg, sebbene la relazione analitica precisa sia, per un pacchetto
gaussiano:
ℏ
2
ℏ
∆E∆t =
2
∆p∆x =
e per qualunque altro pacchetto
ℏ
2
ℏ
∆E∆t ≥
2
∆p∆x ≥
Osservazioni
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
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• L’indeterminazione minima che si può ottenere è quella legata a pacchetti
gaussiani;
• il limite inferiore delle misure non è legato alla misura in sè stessa o allo
strumento ma è un limite naturale intrinseco legato alla natura ondulatoria
della materia;
• non si può determinare contemporaneamente e con la stessa precisione
posizione e quantità di moto di una particella;
• l’incertezza sull’energia di uno stato energetico è legata al tempo di permanenza della particella in quello stato.
Conseguenze Significato della funzione d’onda per una particella
Sia ψ (x, t) la funzione d’onda associata ad una particella. Come abbiamo visto,
principio di indeterminazione di Heisenberg ci costringe a cambiare completamente la nostra concezione di localizzazione (in senso lato), e dunque dobbiamo
reinterpretare e dotare di significato fisico questa funzione d’onda. Come si avrà
modo di comprendere in corsi più avanzati il senso della funzione d’onda è che
|ψ (x, t)|2 rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella in una regione di spazio centrata intorno ad x al tempo t . Si passa dunque da una visione
deterministica ad un’ottica probabilistica.
Energia di confinamento
Consideriamo il caso monodimensionale di una particella confinata in una regione
di lunghezza L . La massima incertezza sulla posizione è chiaramente ∆x ≈ L .
Infatti se non posso stabilire la posizione della particella so quantomeno che si
trova nella regione di lunghezza L . Per il principio di indeterminazione abbiamo
quindi ∆p ≈ Lℏ Ora, note formule statistiche ci dicono che:
(∆p)2 =< p2 > − < p >2
Poichè il moto nella scatola è periodico si ha < p >2 = 0 , da cui
(∆p)2 =< p2 >≥
ℏ2
L2
Esprimiendo l’energia in funzione della quantità di moto otteniamo l’incertezza
su di essa:
< E >=
< p2 >
ℏ2
≥
2m
2mL2
Cosa significa il risultato ottenuto? Confinando una particella si pone un limite
inferiore diverso da 0 alla sua energia: per essere confinata la sua energia non può
essere nulla. Vediamo un’applicazione pratica e molto esemplificativa.
• confiniamo un elettrone in un atomo. Quindi si ha m = me e L ≈ 1 Å.
Svolgendo i conti si ottiene < E >≥ 3.8eV .
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
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• ora confiniamo l’elettrone nel nucleo, quindi L ≈ 10−4 Å. Si ottiene <
E >≥ 108 eV . Il confinamento di un elettrone nel nucleo richiede energie
grandissime, dunque è un fenomeno che non si osserva.
Energia di punto 0
Secondo Planck l’energia di un oscillatore armonico
: En = nhν =
( è quantizzata
)
nℏω . Tuttavia l’espressione corretta è E = ℏω n + 21 , dove la quantità ℏω
2
è detta energia di punto 0. Questo deriva dal principio di indeterminazione di
Heisenberg: non si può avere un oscillatore in x = 0 che abbia anche p = 0 .
L’energia dell’oscillatore è infatti:
p2
kx2
+
2m
2
2
<p>
k < x >2
< E >=
+
2m
2
E=
Come già visto, passaggi quantistici e periodicità implicano
< x >2 = ∆x2
< p >2 = ∆p2
Per il principio di indeterminazione
ℏ
∆x∆p = →
2
(
)2
ℏ
2
∆p =
2∆x
Da cui segue:
< E >=
ℏ
k∆x2
+
8m∆x2
2
Cercando il minimo (derivo rispetto a ∆x2 e pongo uguale a 0)si ottiene proprio
l’energia di punto 0.
Larghezza naturale delle righe di emissione/assorbimento
Il principio di indeterminazione di Heisenberg per tempo/energia ci dice che
∆t∆E ≥ ℏ2 . Se T = ∆t è il tempo di vita dello stato con energia E , questo implica che vi sia un’ incertezza naturale minima dello stato pari a ∆E = Tℏ
che si riflette in una larghezza minima delle righe di assorbimento/emissione, poiché le transizioni
responsabili di)tali( righe non avvengono
(
) più ad esempio da E2
∆E
∆E
∆E
a E1 ma da E2 + ∆E
,
E
−
a
E
+
,
E
−
2
1
1
2
2
2
2
Capitolo 8. Ipotesi di De Broglie
[1]
118 / 124
( √
) ( √
)2
∫ +∞
i 2σx k 2
x2
xk
1
− 2σ
+ i 2σ
2 −ikx−
2
2
x
F (k) = √
e
dx
2πσx −∞
∫ +∞ (
)2
√ )2 ( √
x
xk
1
− ikσ2x 2 + i 2σ
− √2σ
2
x
=√
e
dx
2πσx −∞
∫ +∞ √
2
−k2 σx
2
1
e 2
=√
2σx e−t dt
2πσx
−∞
=e
2
−k2 σx
2
8.5 Esperimento della doppia fenditura
Una caratteristica fondamentale di un’onda è la proprietà di produrre figure di
interferenza. Un esempio classico di questo fenomeno si osserva facendo passare
un fascio di fotoni attraverso due fenditure (esperimento di Young).
Scoperta la natura ondulatoria della materia si effettua un esperimento analogo
utilizzando fasci di elettroni e strumenti molto sensibili, in grado di rilevare addirittura un singolo elettrone. Quando l’intensità della sorgente è bassa si osservano
dei punti luminosi sullo schermo rivelatore,apparentemente casuali e indicativi di
una natura corpuscolare. Tuttavia aumentando gradualmente l’intensità della sorgente si osserva che la distribuzione non è casuale bensì rispetta il tipico pattern
di interferenza, tipico delle onde.
L’aspetto più interessante di questo esperimento è però un altro: se si tenta di
introdurre qualche strumento che riveli da quale fenditura sia passato il singolo
elettrone la figura di interferenza non si osserva più. Questo effetto ha motivato
Bohr ad introdurre il principio di complementarità, secondo il quale i due aspetti,
corpuscolare e ondulatorio, non possono essere osservati contemporaneamente in
quanto mutuamente esclusivi, ovvero il tipo di esperimento determina il successivo
comportamento delle particelle in esso coinvolte.
Capitolo 9. Fonti per testo e immagini; autori; licenze
119 / 124
Capitolo 9
Fonti per testo e immagini;
autori; licenze
9.1 Testo
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Introduzione Fonte: https://
it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_della_materia/Introduzione?
oldid=41189 Contributori: Roopi, Sofia, Bianca Pinolini e Move page script
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Teoria cinetica della materia Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_
della_materia/Teoria_cinetica_della_materia?oldid=28715 Contributori: Sofia, WikiToBot, Move page script e Anonimo: 1
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Spiegazione microscopica
della pressione Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%
C3%A0_della_materia/Spiegazione_microscopica_della_pressione?oldid=42225 Contributori: Roopi, Valsdav, Sofia, Simone Vavassori, V.e.padulano, Irene, Bianca Pinolini, WikiToBot, M.bona, Move page script e Anonimo: 3
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Distribuzione delle velocità Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_
della_materia/Distribuzione_delle_velocit%C3%A0?oldid=42244 Contributori: Roopi, Valsdav, Sofia, V.e.padulano, Irene, Bianca Pinolini, Maddalena collini, WikiToBot, M.bona e
Move page script
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Distribuzione dell’energia
Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_della_
materia/Distribuzione_dell’energia?oldid=41194 Contributori: Roopi, Sofia, V.e.padulano,
Bianca Pinolini, WikiToBot, M.bona e Move page script
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Coefficienti di trasporto
Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%C3%A0_della_
materia/Coefficienti_di_trasporto?oldid=29924 Contributori: Roopi, Sofia, V.e.padulano,
WikiToBot, M.bona e Move page script
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della materia/Distribuzione statistica di
Boltzmann Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Corpuscolarit%
C3%A0_della_materia/Distribuzione_statistica_di_Boltzmann?oldid=41195 Contributori: Roopi, Sofia, V.e.padulano, Bianca Pinolini, WikiToBot e Move page script
• Corso:Fisica moderna/Corpuscolarità della carica/Introduzione Fonte: https://it.
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• Corso:Fisica moderna/Corpo nero/Introduzione Fonte: https://it.wikitolearn.org/
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sperimentale_(Lenard)?oldid=28719 Contributori: Sofia, WikiToBot e Move page script
• Corso:Fisica moderna/Effetto fotoelettrico/Incompatibilità con le previsioni classiche Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Effetto_fotoelettrico/Incompatibilit%
C3%A0_con_le_previsioni_classiche?oldid=28723 Contributori: Roopi, Sofia, V.e.padulano,
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3A_il_fotomoltiplicatore?oldid=28721 Contributori: Sofia, WikiToBot e Move page script
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• Corso:Fisica moderna/Raggi X/Introduzione Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%
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• Corso:Fisica moderna/Raggi X/Effetto Compton Fonte: https://it.wikitolearn.org/
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• Corso:Fisica moderna/Raggi X/Assorbimento Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%
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• Corso:Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie/Introduzione Fonte: https://it.wikitolearn.
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• Corso:Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie/Esperimento di Davisson e Germer
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di_Davisson_e_Germer?oldid=29910 Contributori: Simone Vavassori, V.e.padulano, WikiToBot e Move page script
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• Corso:Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie/Pacchetti d’onda Fonte: https://it.
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• Corso:Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie/Principio di indeterminazione Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Ipotesi_di_De_Broglie/Principio_
di_indeterminazione?oldid=28739 Contributori: Sofia, WikiToBot e Move page script
• Corso:Fisica moderna/Ipotesi di De Broglie/Esperimento della doppia fenditura
Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso%3AFisica_moderna/Ipotesi_di_De_Broglie/Esperimento_
della_doppia_fenditura?oldid=28731 Contributori: Sofia, WikiToBot e Move page script
9.2 Immagini
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9.3 Licenza dell’opera
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