Campi magnetici e induzione elettromagnetica

CAMPI MAGNETICI E INDUZIONE
ELETTROMAGNETICA
Quando si parla di campi magnetici, più propriamente si parla di:
r
B = INDUZIONE MAGNETICA (o densità di flusso magnetico)
r
H = INTENSITÀ DI CAMPO MAGNETICO
r
r
B= µ H
L’equazione che lega queste due grandezze è:
dove:
µ = permeabilità magnetica del mezzo in cui si svolge il campo magnetico
Dimensionalmente (nel S.I.):
B = [T]
H = [A/m]
µ = [H/m] = [Ωs/m] = [Vs/Am]
Un mezzo è detto LINEARE se la
sua µ è sempre costante, cioè non
presenta i fenomeni né di saturazione
né di isteresi magnetica.
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DA CORRENTI
ELETTRICHE
Proprietà fondamentale: le linee del campo di induzione magnetica sono
concatenate con il circuito elettrico che le produce.
Esempio:
Conduttore rettilineo percorso da corrente continua e
immerso in un mezzo omogeneo lineare di estensione infinita:
le linee del campo di induzione magnetica sono di forma
circolare, centrate rispetto al conduttore e giacenti in piani
ortogonali al conduttore stesso.
Il verso del campo di induzione magnetica è dato dalla regola
della mano destra: considerando il pollice nel verso in cui
scorre la corrente, il verso del campo di induzione magnetica è
dato dal verso di chiusura della mano.
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DA
CORRENTI ELETTRICHE
La corrente che scorre in un circuito elettrico crea attorno a sé un
campo di induzione magnetica.
Questo campo teoricamente si estende all’infinito: in realtà la sua
intensità è inversamente proporzionale alla distanza dal circuito.
Quindi, oltre una certa distanza, l’intensità del campo di induzione
magnetica risulta trascurabile.
Per un conduttore rettilineo, vale la formula di Biot-Savart:
B = µ
i
2π d
Dimensionalmente:
V 
s
 H   A  Ω s  A   A   A  V s  Wb
[T ] =     =     = 
  =  2 =  2 
m m   m m   m m  m   m 


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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DA
CORRENTI ELETTRICHE
Nelle macchine elettriche i circuiti percorsi da correnti sono costituiti da più
spire contigue (solenoide). Se il solenoide è abbastanza lungo (almeno 5÷7
volte il diametro delle sue spire), l’induzione magnetica al suo interno può
essere considerata costante e pari a:
B = µ
Ni
l
dove:
N = n° spire,
l = lunghezza assiale
Le linee del campo di induzione magnetica sono perpendicolari alle spire.
All’esterno del solenoide il campo è quasi nullo (approssimazione: si trascura
il flusso disperso).
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CAMPI MAGNETICI PRODOTTI DA
CORRENTI ELETTRICHE
Facendo riferimento al solenoide, si definisce flusso magnetico (o flusso di
induzione):
dove:
Φ =B A
A = area della superficie ortogonale alle linee di induzione magnetica
Dimensionalmente:
B=
Φ
A
(per questo B si può chiamare
“densità di flusso magnetico”)
Wb 
[T ] =  2 
m 
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CIRCUITI MAGNETICI
Fino ad ora abbiamo solo parlato di circuiti elettrici percorsi da corrente che
producono un campo di induzione magnetica.
Abbiamo detto che B = µ H, dove µ dipende dal mezzo in cui si svolge il
campo di induzione magnetica:
µ = µ0 µr
dove µ0 = permeabilità magnetica del vuoto = 4π*10-7 H/m
Se µr >>1 si parla di materiali ferromagnetici (per questi materiali µr non è
costante, sono materiali non lineari, che presentano fenomeni di saturazione e
isteresi magnetica).
La µr di un materiale riassume in sé le caratteristiche magnetiche del materiale
stesso (a parità di H, è maggiore B se è maggiore µr).
Per i materiali ferromagnetici, µr = 500÷4000 (è un numero puro).
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CIRCUITI MAGNETICI
Si può intuire che, se abbiamo un solenoide avvolto attorno a un materiale
ferromagnetico, le linee del campo di induzione magnetica saranno per la
maggior parte confinate all’interno del materiale stesso.
Si parla di CIRCUITO MAGNETICO per definire lo sviluppo delle linee di
induzione magnetica che si svolgono prevalentemente entro materiali
ferromagnetici.
Si parla di NUCLEO MAGNETICO per definire il “corpo” costituito da
materiale ferromagnetico che realizza il circuito magnetico.
N.B.: Il circuito magnetico può essere non costituito interamente da materiale
ferromagnetico, ma può presentare delle parti in aria, denominate traferri.
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CIRCUITI MAGNETICI
Le linee principali del flusso magnetico sono obbligate a seguire un percorso
determinato dalla forma del nucleo magnetico, ma anche dalla forma
dell’avvolgimento.
Si può fare un paragone tra il flusso magnetico in un circuito magnetico e la
corrente elettrica in un circuito elettrico.
La differenza fondamentale è che nel caso del circuito magnetico occorre tener
conto della DISPERSIONE MAGNETICA: alcune linee del campo di
induzione magnetica fuoriescono dal nucleo magnetico.
FLUSSO DISPERSO
Tuttavia, per esprimere le leggi dei circuiti magnetici in modo analogo a quelle
dei circuiti elettrici, occorre fare l’ipotesi di flusso disperso = 0.
N.B.: Per i circuiti magneticamente accoppiati, il flusso disperso ha un altro
significato.
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CIRCUITI MAGNETICI
magnetica all’interno di un solenoide:
Ni
B = µ
l
e la definizione di flusso magnetico:
Φ = B A
Riprendendo l’espressione dell’induzione
µA
Φ =
Ni
l
Ni =
l
Φ
µA
Analogia con la legge di Ohm:
N i = forza magnetomotrice (f.m..m.)
ℜ =
l
= riluttanza = [1/H]
µA
Λ = 1 ℜ = permeanza = [H]
e = R
i
Ni
Φ =
ℜ
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CIRCUITI MAGNETICI
ANALOGIA CON LA LEGGE DI OHM:
La f.m.m. Ni è analoga alla f.e.m. e
Il flusso Φ è analogo alla corrente i
La riluttanza ℜ è analoga alla resistenza R
La riluttanza ℜ è direttamente proporzionale alla lunghezza l e inversamente
proporzionale alla permeabilità µ e all’area della sezione trasversale A, così
come la resistenza R è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e
inversamente proporzionale alla sua conduttività e all’area della sua sezione
trasversale.
Per un circuito magnetico costituito da più parti in serie, ciascuna con
un diverso valore di riluttanza ℜj , la f.m.m. totale è data da:
Ni = Φ
∑
ℜ
j
Legge di Hopkinson
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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
Fino a qui abbiamo parlato di flussi magnetici costanti nel tempo (prodotti da
correnti continue che percorrono avvolgimenti fissi nello spazio).
Le cose diventano più interessanti quando i flussi magnetici variano nel tempo.
Φ = B A
Quando varia il flusso magnetico?
1) quando varia B
2) quando varia A
1) B varia se varia i, cioè se il solenoide è alimentato con corrente di intensità
non costante ⇒ anche Φ sarà variabile nel tempo (Φ α B α i);
2) A varia se la spira si muove o si deforma.
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INDUZIONE ELETTROMAGNETICA
Cosa succede quando varia il flusso magnetico concatenato con un circuito
elettrico?
Nasce una forza elettromotrice (f.e.m.) indotta:
dove:
Ψ = NΦ
dΨ
e=
dt
è il flusso concatenato con N spire
(fenomeno dell’induzione elettromagnetica - legge di Faraday)
Dimensionalmente:
e=
dΨ
dt
Wb 
[V ] = 
 s 
[W b ] = [V s ]
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AUTOINDUZIONE
Considerando un circuito elettrico percorso da corrente:
corrente i
campo di induzione magnetica B
(le cui linee sono sempre concatenate con
il circuito elettrico che le ha generate)
flusso magnetico
concatenato Ψ
Se la corrente è variabile:
corrente i
variabile
flusso magnetico concatenato Ψ
variabile
f.e.m. autoindotta
fenomeno della AUTOINDUZIONE
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
AUTOINDUZIONE
Se µ è costante, sappiamo che:
Poiché
Φα B
Ψ = Li
Dimensionalmente:
e
Bα i
Ψα Φ
Ψα i
L = autoinduttanza
Wb  V s
= 
= [Ω s ] = [ H ]
L=


 A   A 
Inoltre, dalle seguenti equazioni si ricava il legame tra induttanza e riluttanza:
Ψ = NΦ
Ni
Φ =
ℜ
Ψ = Li
dΨ
E dalla: e =
dt
N 2i
Li =
ℜ
d (Li )
si ricava: e =
dt
N2
L =
ℜ
se L è costante:
e= L
di
dt
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
MUTUA INDUZIONE
Se due circuiti elettrici sono disposti in modo tale per cui tutto o una parte del
flusso generato da un circuito si concateni con l’altro, si ha il fenomeno della
MUTUA INDUZIONE:
Ψ
21
= M i1
flusso magnetico dovuto al 1° circuito e concatenato col 2°
Ψ
12
= M i2
flusso magnetico dovuto al 2° circuito e concatenato col 1°
se M è costante:
e21
d ( M i1 )
d Ψ 21
=
=
dt
dt
e1 2
d ( M i2 )
d Ψ 12
=
=
dt
dt
e21
d i1
= M
dt
e1 2
d i2
= M
dt
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CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI
Il caso più semplice di circuiti magneticamente accoppiati consiste in due
avvolgimenti rispettivamente di N1 e N2 spire avvolti su un nucleo comune di
materiale ferromagnetico.
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CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI
Il flusso prodotto da ciascun avvolgimento può essere separato in:
• flusso disperso (indicato col pedice l )
• flusso magnetizzante (indicato col pedice m)
Il flusso disperso prodotto da uno dei due avvolgimenti si concatena solo con
questo avvolgimento: si definisce “disperso”, perché è “disperso” ai fini della
trasformazione dell’energia, in quanto si concatena solo con uno dei due
avvolgimenti.
Il flusso magnetizzante invece, sia che sia prodotto dall’avvolgimento 1, sia
che sia prodotto dall’avvolgimento 2, è concatenato con entrambi gli
avvolgimenti.
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI
Il flusso che concatena ciascun avvolgimento è dato da:
Φ 1 = Φ l1 + Φ m 1 + Φ m 2
Φ 2 = Φ l 2 + Φ m 2 + Φ m1
Φ l1
è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 1 e concatena
solo le spire dell’avvolgimento 1
Φ l2
è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 2 e concatena
solo le spire dell’avvolgimento 2
Φ m1
è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 1 e concatena
tutte le spire degli avvolgimenti 1 e 2
Φ m 2 è prodotto dalla corrente che fluisce nell’avvolgimento 2 e concatena
tutte le spire degli avvolgimenti 1 e 2
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Campi magnetici e induzione elettromagnetica
CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI
Se il circuito magnetico può essere considerato lineare:
N 1 i1
Φ l1 =
ℜ l1
Φ m1 =
N 1 i1
ℜm
N 2 i2
Φ l2 =
ℜ l2
Φ m2 =
N 2 i2
ℜm
Le riluttanze di dispersione hanno un valore molto più elevato rispetto alla
riluttanza magnetizzante:
il flusso disperso è al massimo qualche per cento del flusso
magnetizzante (nei trasformatori reali).
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CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI
N 1 i1
N 1 i1
N 2 i2
Φ1 =
+
+
ℜ l1
ℜm
ℜm
Φ2 =
N 2 i2
N i
N i
+ 2 2 + 11
ℜ l2
ℜm
ℜm
I flussi concatenati sono dati da:
Ψ1 = N 1 Φ 1
Ψ2 = N 2Φ 2
N 12
N 12
N1N 2
Ψ1 =
i1 +
i1 +
i2
ℜ l1
ℜm
ℜm
N 22
N 22
N 2 N1
i2 +
i2 +
i1
Ψ2 =
ℜ l2
ℜm
ℜm
Ψ 12
Ψ 21
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CIRCUITI MAGNETICAMENTE ACCOPPIATI
Si osserva che i coefficienti dei primi due termini di ciascuna equazione
sono indipendenti dall’esistenza dell’altro avvolgimento: per questo motivo
sono definiti autoinduttanze:
N 12
N 12
+
= L l1 + L m 1
L11 =
ℜ l1
ℜm
N 22
N 22
+
= Ll2 + Lm 2
L 22 =
ℜ l2
ℜm
I coefficienti del terzo termine di ciascuna equazione rappresentano invece
le mutue induttanze:
L12 =
N1N 2
ℜm
L 21 =
N 2 N1
ℜm
L12 = L 21 = M
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