Il problema semantico nel calcolo proposizionale

Il problema semantico
Introduzione
Per problema semantico si intende la ricerca di frasi logicamente equivalenti o logicamente
contrarie ad una frase data.
Già Aristotele ed i suo seguaci si sono occupati di questa problematica, fino a giungere ad
una trattazione complessa, quasi esaustiva e sinceramente estenuante per lo studioso che
volesse verificare l’équivalenza o meno delle proposizioni con una “griglia” di soli 250
sillogismi!...
A differenza della logica classica e medioevale dei quattro esempi fatti a pag.4
(corrispondenti alle affermative, negative, universali o particolari di Aristotele nel De
Interpretatione), la logica moderna e contemporanea tenta un’analisi del linguaggio divisa in
due: il calcolo proposizionale ed il calcolo dei predicati. Ovverosia: il calcolo delle
proposizioni, prese per intero, con valore vero o falso, oppure l’analisi del rapporto soggettopredicato, cioè della proposizione “al suo interno” (considerando solo le frasi con il verbo
“essere”!).
Appare quindi evidente che il calcolo proposizionale porta a dei risultati completi, mentre il
calcolo dei predicati solo ad un’analisi parziale. D’altra parte appare ben difficile studiare il
rapporto soggetto-predicato e le sue interpretazioni possibili senza scadere nell’opinabile o
nel creare “griglie” infinite, come hanno fatto nel medioevo gli aristotelici…
Il problema semantico nel calcolo proposizionale
Abbiamo già visto che due proposizioni A e B possono formarne altre: AB, AB, AB.
Certamente l’implicazione è quella di maggiore interesse: vogliamo studiare le frasi
equivalenti e contrarie ad un’argomentazione basata sul principio di causa-effetto o ipotesitesi, ossia del tipo AB.
Di particolare interesse è, in tal senso, il ragionamento per assurdo: si nega la tesi (B) e
quindi si mostra che da ciò consegue la negazione persino dell’ipotesi (A) e questo è
assurdo. In altre parole:
AB è equivalente a BA
(e viceversa)
Ciò si può verificare con le tabelle di verità: risulterà sempre vera la proposizione
(AB)(BA) (e il relativo viceversa…) anche perché le tabelle di verità di AB e
BA sono identiche!.
Va da sé che qualunque altra tautologia assuma il significato di ripetizione di frasi
equivalenti e costituisca una regola per costruire o/e verificare equivalenze.
Appare perciò evidente che pretendere di determinare tutte le regole equivale a determinare
tutte le tautologie: ciò è semplicemente folle!
D’altra parte credo sia utile fornire la seguente
DEFINIZIONE due frasi F1 e F2 costituite da k proposizioni A1, A2, ..., Ak sono equivalenti
(cioè generano una tautologia F1F2) se le rispettive tabelle di verità sono identiche
[Viceversa sono contrarie se tutti i valori di verità sono opposti]
Il problema semantico nel calcolo dei
predicati
La ricerca di frasi logicamente equivalenti o logicamente contrarie ad una singola
proposizione del linguaggio comune è certamente un problema più complesso. Proviamo ad
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esemplificarlo con un esempio figurato.
Ignazio dice: Tutte le rose sono rosse!
Secondo il lettore: qual è la situazione (e quindi la frase) contraria? A, B, C o D?
Aldo dice: Nessuna rosa è rossa!
Beatrice dice:
Tutte le rose non sono rosse!
Carlo invece afferma:
Qualche rosa non è rossa!
Daniela dice:
Non tutte le rose sono rosse!
Note: A=Aldo, B=Beatrice, C=Carlo, D=Daniela. I=Ignazio
Nelle copie in B/N le rose rosse sono alte e snelle, mentre le altre sono basse e tracagnotte
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PRIMA OSSERVAZIONE Non ha alcun senso parlare di frasi contrarie alla frase iniziale
I di Ignazio, dal momento che vi sono almeno quattro candidate ad essere tali!
SECONDA OSSERVAZIONE Esistono due equivalenze A=B e C=D per il semplice fatto
che tali frasi descrivono rispettivamente le medesime situazioni reali!
A questo punto non rimane altro che effettuare l’opera di sintesi analitica, tipica del
metalinguaggio logico-matematico.
“Traduciamo” i quantificatori relativi al soggetto con le assegnazioni seguenti:
=“esiste”, “qualche”; = “tutti“, “per ogni”
Le negazioni saranno: = “nessuno”, non esiste”;
= ”non tutti”, “non per ogni”.
Traduciamo il predicato come la proprietà R della rosa r di “essere rossa” con R(r) e la sua
negazione con R(r). Perciò si ha:
A=B: Nessuna rosa è rossa! = Tutte le rose non sono rosse!
 r R(r)=  r R(r)
C=D: Qualche rosa non è rossa! = Non tutte le rose sono rosse!
r R(r) = r R(r)
… È estremamente più facile verificare nel metalinguaggio piuttosto che nel linguaggio
corrente che
PRIMA PROPRIETÀ
negare un quantificatore, affermando un predicato [ r R(r)]
è come
affermare l’altro quantificatore, negando il predicato [ r R(r)]
Sarebbe interessante che il lettore verificasse con un esempio anche la
SECONDA PROPRIETÀ
negare un quantificatore, negando un predicato
[ cioè, per esempio r R(r) ]
è come
affermare l’altro quantificatore, affermando il predicato
[ cioè, per esempio r R(r) ]
Cioè Non ……… rosa non rossa = ……… le rose ……… rosse
(completare la frase per esercizio)
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