Dinamica - Progetto e

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO
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CORSO DI LAUREA IN TUTELA E BENESSERE ANIMALE
Corso di : FISICA MEDICA
Docente: Dott. Chiucchi Riccardo
A.A. 2015 /2016
mail:[email protected]
Medicina Veterinaria: CFU 5 (corso integrato con Statistica e
Informatica : CFU 5)
Tutela e benessere animale: CFU 5
Durata del corso: 35 ore
Le leve
Una leva è un’asta rigida libera di ruotare attorno ad un punto F,
detto fulcro, alla quale sono applicate due forze: la forza resistente
F e forza motrice F detta anche la forza potenza.
M
R
Per trovarsi in equilibrio, la leva deve soddisfare le seguenti
condizioni:
1) F  F  N  0
M
R
2)       0
M
R
N
Consideriamo il moto della sbarra rispetto al fulcro. La reazione
vincolare è nulla e quindi le condizioni precedenti divengono:
1) F  F  0  F  F
M
R
M
R
2)     0    
M
R
M
R
Applicando la definizione di braccio e momento di una forza alla leva
e considerando che l’angolo θ formato da r e F vale π/2, cioè 90° ( il
sinθ=1), si può riscrivere la formula del momento nella seguente
maniera:
  r  F  sin   r  sin F  b  F cioè   Fb
Per calcolare la condizione di equilibrio, assumiamo arbitrariamente
come verso di rotazione positivo, il verso anti-orario. Così facendo, il
momento della forza motrice sarà positivo mentre il momento della
forza resistente sarà negativo.
F b
    F b  Fb    G
F b
M
R
M
M
R
R
M
M
R
R
Tale rapporto viene chiamato guadagno meccanico della leva.
Le leve vengono divise in tre categorie a seconda del valore del
guadagno.
Si hanno:
1. LEVA SVANTAGGIOSA quando il guadagno G <1
F b
G1  1  b b ; F F
F b
R
M
M
M
R
R
M
R
2. LEVA INDIFFERENTE quando il guadagno G =1
F b
G1  1  b b ; F F
F b
R
M
M
M
R
R
R
M
3. LEVA VANTAGGIOSA quando il guadagno G >1
F b
G1  1 
F b
R
M
M
b b ; F F
M
R
R
M
R
Le leve inoltre si possono classificare anche in primo, secondo e
terzo genere, in base al posizionamento delle forze rispetto al fulcro.
1. Leva di primo genere: il fulcro si trova tra la forza resistente e
la forza motrice. Possono essere vantaggiose, svantaggiose o
indifferenti. Sono leve di primo genere ad esempio:
2. Leva di secondo genere: la forza resistente si trova tra il fulcro
e la forza motrice. Sono sempre vantaggiose.
3. Leva di terzo genere: la forza motrice si trova tra il fulcro e
forza resistente. Sono sempre svantaggiose.
Dinamica dei corpi rigidi estesi
Esaminiamo ora il moto di un corpo rigido esteso, le cui dimensioni
quindi, non possono più essere considerate puntiformi.
Suddividiamo il corpo in N (moltissime) parti, tali che ognuna possa
essere considerata come puntiforme. Ogni i-esima parte avrà una
massa mi e sarà identificata dal vettore posizione r  (x ,y ,z )
Introduciamo una grandezza r , detta centro di massa del corpo così
definita:
i
CM
r  (x ,y ,z )
CM
CM
CM
CM
m x
N
x 
CM
i
i1
m
N
i
i1
m y
N
i
;y 
CM
i
i1
m
N
i
i1
m z
N
i
;z 
CM
i
i1
m
N
i
i1
i
i
i
i
In forma vettoriale il centro di massa è dato da:
m r m r
N
N
i
i
r 
i1
CM
m
N

i
i
i1
m
tot
i
i1
dove mtot rappresenta la massa totale del corpo.
Velocità e quantità di moto del centro di massa
Analizziamo il moto del centro di massa partendo dalla definizione di
velocità:
m r
dr
d 
1 d
1
v 


m r 

dt dt m
m dt
m
1
v 
m v  m v  m v

m
N
i
CM
i
N
i1
CM
i
i
tot
N
tot
i
i
i1
N
CM
i
tot
i1
tot
d
m dt r
N
i
tot
CM
i1
i
i
i1
Visto che il corpo ha una massa totale pari alla somma delle masse
  m ) e la quantità
N
di tutte le particelle i-esime (mtot
ii
i1
m v   q  Q
N
N
i
i
i
i1
tot
rappresenta la quantità di moto totale del
i1
corpo, l’espressione vista precedentemente si può riscrivere nella
seguente maniera:
Q m v
tot
tot
CM
Da questa formula si può dedurre che la quantità di moto totale di
un corpo esteso rigido è uguale alla quantità di moto di una
particella puntiforme di massa mtot che si muove solidale con il
centro di massa con una velocità pari a
Accelerazione del centro di massa
v .
CM
Analogamente a quanto fatto per la velocità, partiamo alla
definizione di accelerazione:
dv
1 d
1
a 

m
v


dt m dt
m
N
CM
CM
i
i
i1
tot
tot
d
1
m
v

 dt m
N
i
i
i1
tot
m
N
i
a
i
i1
m a   m a  F  F  m a
N
tot
N
CM
i
i
i
i1
est
tot
CM
i1
indicando con F i la forza risultante di tutte le forze esterne F est
agenti sulla particella i-esima del corpo rigido esteso, si deduce che:
il centro di massa di un corpo, si muove come se fosse una particella
puntiforme, di massa pari alla massa totale mtot del corpo e soggetta
alla somma delle forze esterne F est applicate al corpo.
Se sul corpo quindi non agiscono forze esterne o è nulla la loro
risultante, l’accelerazione del centro di massa è nulla cioè il centro di
massa è in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme.
F  0  a  0  v  cos tante o v  0
est
CM
CM
CM
Quantità di moto del centro di massa
Scomponendo l’espressione precedente si ha:
dv
dm v
dp
F m a m


dt
dt
dt
CM
est
tot
CM
tot
CM
tot
tot
dp
 F 
dt
tot
est
Si conclude quindi che la risultante delle forze esterne F est agenti su
un corpo è pari alla derivata fatta rispetto al tempo della quantità di
moto totale p tot del corpo.
Conservazione della quantità di moto
Se un corpo non è soggetto a forze esterne, si ha:
dp
F 0 F 
 0  p  costante
dt
tot
est
est
tot
Che costituisce il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’
DI MOTO DI UN SISTEMA: se in un sistema la risultante delle forze
esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane
costante nel tempo.
Momento angolare di una particella
Si definisce momento angolare
muove con velocità
vettoriale data da:
L di una particella di massa m che si
v rispetto ad un punto O, la grandezza
L  r  q  r  mv  mr  v
Il momento angolare L quindi è un vettore perpendicolare al piano
determinato da r e v il cui verso è determinato dalla regola della
mano destra.
Momento angolare di un sistema di particelle
Consideriamo ora un sistema composto da più particelle ed
indichiamo con L tot il momento angolare totale del sistema.
L  r  q
N
tot
i
i
i1
Derivando rispetto al tempo si ottiene:
d
d
d
d
L  r  q   r  q  r  q
dt
dt
dt
dt
N
tot
N
i
N
i
i1
i
i
i
i1
i
i1
Se il punto O rispetto al quale sono riferiti i vettori posizione ri è in
quiete o coincide con il centro di massa del sistema, allora il termine
d
r  q è nullo e quindi si ha:
dt
i
i
d
d
L  r  q  r  (F  F )    
dt
dt
N
tot
N
i
i1
i
i
i1
int
est
int
est
Dove con  int e  est vengono indicati rispettivamente il momento
totale delle forze interne e il momento totale delle forze esterne.
Da notare è che  int è dato dalla somma delle forze interne agenti
sulle singole particelle che, per il principio di azione reazione, a due
a due si annullano. Quindi l’espressione precedente si riduce a:
d
L 
dt
tot
est
Conservazione del momento angolare
Analizzando la formula precedente, si deduce che quando il
momento delle forze esterne  est è nullo, il momento angolare
totale del sistema non varia nel tempo cioè si conserva.
d
Se   0  L  0  L  costante
dt
tot
est
tot
Momento d’inerzia
Consideriamo il moto circolare di un corpo di massa m che si muove
con velocità angolare ω.
L’energia cinetica del corpo sarà:
1
1
1
E  mv  m  R   m R
2
2
2
2
2
2
2
k
denotando con I  mR la grandezza detta momento di inerzia I
della massa m rispetto al centro di rotazione O.
2
Si osserva che più esteso il corpo e maggiore è il suo momento di
inerzia.
L’unità di misura del momento d’inerzia nel SI è il kg m2.
L’energia cinetica rotazionale quindi varrà:
1
E  I
2
2
k
Di seguito vengono riportati dal sito https://it.wikipedia.org/
i valori del momento d’inerzia per alcune figure geometriche.
Momento angolare di un corpo rigido
Dalla formula del momento angolare abbiamo che se l’angolo
r e v è di 90°, si ha:
r mr v
L  mrv  mrv 
 I  L  I
r
r
formato tra
2
Si può in generale dimostrare che ogni corpo ha almeno tre direzioni
mutuamente perpendicolari per le quali il momento angolare L è
parallelo all’asse di rotazione.
Questi assi vengono detti assi principali di inerzia.
Quando un corpo ruota attorno un asse principale di inerzia, il
momento angolare totale Ltot è parallelo alla velocità angolare ω che
è diretta come l’asse di rotazione.
Urti
Urti anelastici: dopo l’urto corpi si fondono in un solo corpo
muovendosi con un unico valore della velocità.
Supponiamo per esempio di considerare l’urto perfettamente
anelastico tra due corpi.
Indicando con mAe mB le masse dei due corpi e con v A e vB le loro
velocità prima dell’urto, si ha:
m v  m v  m  m  v
A
A
B
B
dove con
A
B
C
v si è indicata la velocità comune ai due corpi.
C
Urti elastici: durante l’urto i corpi si deformano per poi
ritornare alla forma originaria.
Negli urti elastici viene conservata oltre alla quantità di moto
anche l’energia cinetica del sistema.
Supponiamo per esempio di considerare l’urto elastico tra
due corpi, per semplicità nel caso unidimensionale.
Indicando con mAe mB le masse dei due corpi e con v A e vB le loro
velocità prima dell’urto, si ha:
m v  m v  m v  m v

1
1
1
1
 2 m v A  2 m v B  2 m vA  2 m vB
A
A
B
B
A
2
B
2
A
dove con
A
B
B
2
A
2
B
v e v si è indicata la velocità dei due corpi dopo l’urto.
A
B
Applet utili per la dinamica:
http://www.walter-fendt.de/ph14i/collision_i.htm