Un argomento valido I 1. È necessariamente vero che tutti gli uomini sono mortali. 2. È necessariamente vero che Socrate è un uomo. 3. Dunque, è necessariamente vero che Socrate è mortale. Logica predicativa modale I Tuttavia, con i linguaggi logici che abbiamo a disposizione finora non abbiamo alcun modo di rappresentare argomenti di questo genere (e dunque di controllarne la validità), perché non abbiamo un linguaggio che contenga sia operatori modali che quantificatori. I Lo introduciamo ora e lo chiamiamo “LQS5” (il linguaggio della logica predicativa modale S5). Sandro Zucchi 2012-13 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale L’argomento seguente è valido in italiano: 1 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale Il linguaggio LQS5 Il linguaggio LQS5 i simboli le frasi c (a) Se P è un predicato a n-posti e 1 , . . . , n sono costanti, allora pP ( 1 , . . . , n )q è una frase (atomica) di LQS5. Se ϕ e ψ sono frasi di LQS5, allora (b) p∼ ϕq è una frase di LQS5, (c) p(ϕ ∧ ψ)q è una frase di LQS5, (d) p(ϕ ∨ ψ)q è una frase di LQS5, (e) p(ϕ ⊃ ψ)q è una frase di LQS5, (f) p(ϕ ≡ ψ)q è una frase di LQS5, (g) se pϕ( )q è una frase di LQS5 che contiene la costante , e è una variabile che non compare in pϕ( )q, allora p∀ ϕ( )q e p∃ ϕ( )q sono frasi di LQS5, (h) se e sono costanti, p = q è una frase di LQS5, (i) 2ϕ è una frase di LQS5, (j) 3ϕ è una frase di LQS5. (k) Nient’altro è una frase di LQS5. c I Un insieme infinito di costanti individuali: c1 c2 c3 . . . I Un insieme infinito di variabili individuali: x1 x2 x3 . . . I Un insieme infinito di predicati a n-posti (per ogni n>0): P11 P21 P31 . . . P12 P22 P32 . . . P13 P23 P33 . . . I La relazione di identità: = I I quantificatori: ∀ ∃ c c I I connettivi vero-funzionali: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼ I Gli operatori di necessità e di possibilità: 2 3 I Le parentesi: ( ) c u I (Assumo le convenzioni consuete). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale c 2 3 c v v c v v v c u S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 4 Il linguaggio LQS5 Commenti alla definizione di modello Tre osservazioni sono opportune sulla definizione di modello: modelli I Notate che la relazione di accessibilità R non è più un membro del modello. Come mai? Nella semantica di LS5 ogni mondo è accessibile da ogni mondo. Per questa ragione, è possibile formulare la semantica di LS5 semplicemente facendo a meno della relazione di accessibilità (non lo abbiamo fatto prima, perché volevamo mantenere una formulazione uniforme per i diversi sistemi modali). Dunque, nel formulare la semantica di LQS5, che su LS5 si basa, possiamo tralasciare la relazione di accessibilità (e lo facciamo). I La denotazione delle constanti predicative in un modello di LQS5 è relativa a un mondo. Intuitivamente, possiamo pensare alla denotazione di un predicato a un mondo come l’insieme degli individui che godono della proprietà espressa dal predicato a quel mondo. I La denotazione delle costanti individuali, d’altra parte, non è relativa a un mondo. Dunque, le costanti individuali di LQS5 denotano sempre lo stesso individuo nelle formule in cui occorrono, quale che sia il mondo a cui la formula è valutata (in questo senso, le costanti di LQS5 sono designatori rigidi). Un modello per LQS5 è una tripla M=<D, W , F >, dove I D è un insieme non vuoto di individui, I W è un insieme non vuoto di mondi possibili, I F è una funzione (detta interpretazione) tale che c c (a) per ogni costante individuale , F ( ) è un elemento di D, (b) per ogni mondo w e per ogni predicato P n , F (P n , w ) è un insieme di n-uple di elementi di D. Chiamiamo il valore assegnato da F a una costante individuale o predicativa denotazione della costante. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 5 c -varianti S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 6 Denotazione delle frasi di LQS5 Definiamo ora cosı̀ la denotazione delle frasi di LQS5 in un modello M relativamente a un mondo (leggiamo [[α]]M,w come “la denotazione della frase α in M al mondo w ”): I c c u c La nozione di -variante di un modello è definita come per i modelli di LQ: c • una -variante di un modello M è un modello M’ uguale M eccetto per il fatto che in M’ la funzione interpretazione può assegnare alla costante un individuo diverso del dominio D di M da quello che la funzione interpretazione assegna a in M. c S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale c c c 1. se P n è un predicato e 1 , . . . , n sono costanti individuali, allora [[P n ( 1 , . . . , n )]]M,w = 1 se < F ( 1 ), . . . , F ( n ) > ∈ F (P n ,w ); altrimenti [[P n ( 1 , . . . , n )]]M,w = 0. 2. se e sono costanti individuali, [[ = ]]M,w = 1 se F ( )=F ( ); altrimenti [[ = ]]M,w = 0. Se ϕ e ψ sono frasi di LQS5, 3. [[∼ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = 0; altrimenti [[∼ ϕ]]M,w = 0, 4. [[ϕ ∧ ψ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = 1 e [[ψ]]M,w = 1; altrimenti [[ϕ ∧ ψ]]M,w = 0, 5. [[ϕ ∨ ψ]]M,w = 1 se non si dà il caso che [[ϕ]]M,w = 0 e [[ψ]]M,w = 0; altrimenti [[ϕ ∨ ψ]]M,w = 0, 6. [[ϕ ⊃ ψ]]M,w = 1 se non si dà il caso che [[ϕ]]M,w = 1 e [[ψ]]M,w = 0; altrimenti [[ϕ ⊃ ψ]]M,w = 0, 7. [[ϕ ≡ ψ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = [[ψ]]M,w ; altrimenti [[ϕ ≡ ψ]]M,w = 0. c 7 c c c u S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale c c u c c u 8 Denotazione Validità cont. La nozione di validità in LQS5 è definita cosı̀: 8. [[2ϕ]]M,w = 1 se, per ogni w’ in W , [[ϕ]]M,w 0 = 1, altrimenti [[2ϕ]]M,w = 0; 9. [[3ϕ]]M,w = 1 se, per qualche w’ in W , [[ϕ]]M,w 0 = 1, altrimenti [[3ϕ]]M,w = 0; c I Sia M=<D, W , F > un modello di LQS5. Una frase ϕ di LQS5 è vera in M a un mondo w in W se e solo se la denotazione di ϕ in M a w è 1 (se e solo se [[ϕ]]M,w = 1); I un argomento in LQS5 con premesse ϕ1 , . . . , ϕn e conclusione ψ è valido in LQS5 (in simboli, ϕ1 , . . . , ϕn |=LQS5 ψ) se e solo se non esiste un modello M=<D, W , F > di LQS5 e un mondo w in W tali che ϕ1 , . . . , ϕn sono tutte vere in M a w e ψ è falsa in M a w ; I una frase ϕ di LQS5 è valida in LQS5 (in simboli, |=LQS5 ϕ) se e solo se non esiste un modello M=<D, W , F > di LQS5 e un mondo w in W tali che [[ϕ]]M,w = 0. cv Infine, sia una costante che non occorre in ϕ e ϕ( / ) il risultato di sostituire a ogni occorrenza di in ϕ: v c v cv c -variante M cv v c -variante 10. [[∀ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per ogni di M; altrimenti [[∀ ϕ]]M,w = 0; v v 11. [[∃ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per qualche M 0 di M; altrimenti [[∃ ϕ]]M,w = 0. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 0 9 Deduzione naturale per LQS5 I È possibile mostrare che QS5(NAT) permette di derivare una conclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi in cui le premesse implicano la conclusione in LQS5. I In simboli: Il sistema QS5(NAT) consiste in queste regole: tutte le regole di Q(NAT) e tutte le regole di S5(NAT). ϕ1 , . . . , ϕn `QS5(NAT ) ψ se e solo se ϕ1 , . . . , ϕn |=LQS5 ψ. I S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 10 Completezza e correttezza Introduciamo ora un sistema di deduzione naturale per il linguaggio LQS5, che chiamiamo QS5(NAT). I S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 11 (Come caso particolare, è possibile mostrare che `QS5(NAT ) ψ sse |=LQS5 ψ). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 12 Tableaux per LQS5 Regole specifiche di QS5(TAB) Le regole specifiche di QS5(TAB) sono le seguenti: I Per LQS5 introduciamo il sistema di tableaux QS5(TAB). I Le regole di QS5(TAB) sono le regole di S5(TAB) + regole specifiche di QS5(TAB). c v v c dove ϕ( ) è un’istanza di p∀ϕ( )q e p∃ϕ( )q, e pϕ (c/u )q è qualunque risultato si ottiene sostituendo la costante ad alcune o tutte le occorrenze della costante in ϕ. u S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 13 Completezza e correttezza S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale Un’ambiguità I Considerate ora l’enunciato seguente: (1) I Le definizioni di tableau chiuso e terminato e di derivazione sono le consuete. I Il sistema cosı̀ ottenuto è corretto e completo: se una conclusione è derivabile da un insieme di premesse in QS5(TAB), l’argomento è valido in LQS5; e, se un argomento è valido in LQS5, la conclusione è derivabile dalle premesse in QS5(TAB). I Ogni povero è necessariamente povero. L’enunciato (1) pare avere sia l’interpretazione (a) che l’interpretazione (b): (a) in tutte le circostanze possibili se un individuo è povero è povero; (b) ogni individuo che è attualmente povero è povero in ogni circostanza possibile. I I S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 14 15 Nell’interpretazione (a), (1) è chiaramente vero. Nell’interpretazione (b), (1) molto probabilmente è falso, perché è chiaro che ci persone attualmente povere che però avrebbero potuto non esserlo, se le cose fossero andate diversamente. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 16 Un’altra ambiguità I Considerate ora l’enunciato (2): (2) I Rappresentazione dell’ambiguità I Alcune teorie devono essere errate. Di nuovo, (2) pare avere sia l’interpretazione (a) che l’interpretazione (b): (a) in ogni circostanza possibile ci sono delle teorie errate, (b) ci sono delle teorie che sono errate in ogni circostanza possibile. I Nell’interpretazione (a), (2) non attribuisce la proprietà di essere necessariamente errata ad alcuna teoria. I Invece, nell’interpretazione (b), (2) afferma di alcune teorie che non potrebbero mai essere giuste. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 17 de dicto\de re Le due interpretazioni di (1) e (2) si possono rappresentare cosı̀ nel nostro linguaggio predicativo modale: (1) (a) (b) Ogni povero è necessariamente povero. 2∀x (P (x ) ⊃ P (x )) ∀x (P (x ) ⊃ 2P (x )) (2) (a) (b) Alcune teorie devono essere errate. 2∃x (T (x ) ∧ E (x )) ∃x (T (x ) ∧ 2E (x )) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 18 La formula Barcan I Nelle formule (a), l’operatore di necessità è il connettivo principale e il quantificatore è nell’ambito dell’operatore. I I Nelle formule (b), l’operatore di necessità non è il connettivo principale e Considerate ora la frase (3) di LQS5: il quantificatore è fuori dall’ambito dell’operatore modale. (1) (a) (b) Ogni povero è necessariamente povero. 2∀x (P (x ) ⊃ P (x )) ∀x (P (x ) ⊃ 2P (x )) (2) (a) (b) Alcune teorie devono essere errate. 2∃x (T (x ) ∧ E (x )) ∃x (T (x ) ∧ 2E (x )) (3) I Questa frase è un esempio dello schema di formula in BF detto formula Barcan: BF. I Una formula modale che contiene dei quantificatori è detta de re se tutti i ∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x ) ∀x2ϕ ⊃ 2∀xϕ I Tutte le istanze della formula Barcan sono valide in LQS5. I Vediamo una prova di (3) come caso particolare. suoi quantificatori sono fuori dall’ambito degli operatori modali. I Una formula modale che contiene dei quantificatori è detta de dicto se tutti i suoi quantificatori sono nell’ambito degli operatori modali. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 19 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 20 Prova: ∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x ) 1. 2. ∀x2F (x ) 3. 3∀x2F (x ) Ass 3∀x2F (x ) 5. 2I R,3 Prova: ∀xF (x ) 6. ∼ ∀xF (x ) Ass 8. ∃x ∼ F (x ) QN 9. ∼ F (a ) ∃E 3 ∼ F (a ) 11. 3∀x2F (x ) Prova: 2 ∼ ∀x2F (x ) Un modo possibile di intenderla è questo: se ogni oggetto che esiste è tale che in ogni mondo possibile ϕ è soddisfatta, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è tale che ϕ è soddisfatta. I Secondo questo modo di leggere la formula Barcan, l’istanza (3) afferma: se ogni oggetto che esiste è F in ogni mondo possibile, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è F. R, 3 2 I,10 13. 3 ∼ F (a ) 14. ∼ 2F (a) 15. ∃x ∼ 2F (x ) ∃ I,14 16. ∼ ∀x2F (x ) QN,15 17. ∼ 3∀x2F (x ) MN,112 R,10 MN,13 (3) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 21 La conversa della formula Barcan 1. Prova: 2∀xF (x ) ⊃ ∀x2F (x ) 2∀xF (x ) Considerate ora la frase (4) di LQS5: 3. Prova: ∀x2F (x ) 2∀xF (x ) ⊃ ∀x2F (x ) 4. Prova: 2F (a) (4) I ∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x ) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 2. I ∀x2ϕ ⊃ 2∀xϕ I 3I 10. Come possiamo leggere la formula Barcan? Quale principio esprime? BF. ∼I 7. 12. I 3 I, 2 Prova: 2∀xF (x ) 4. Leggere la formula Barcan ⊃I Questa frase è un esempio dello schema di formula CBF detto conversa della formula Barcan: CBF. 2∀xϕ ⊃ ∀x2ϕ I Tutte le istanze della conversa della formula Barcan sono valide in LQS5. I Vediamo una prova di (4) come caso particolare. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 22 21 ⊃I Ass ∀I 2I,2 5. 2∀xF (x ) R,2 6. ∀xF (x ) 2E 7. F (a ) ∀E S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 23 Leggere la conversa della formula Barcan I Come possiamo leggere la conversa della formula Barcan? Quale principio esprime? CBF. I I Formulazioni equivalenti I 2∀xϕ ⊃ ∀x2ϕ I I 2∀xF (x ) ⊃ ∀x2F (x ) 23 Obiezioni alla formula Barcan I I I I I ∀x2ϕ(x ) ⊃ 2∀xϕ(x ) 24 Anche la conversa della formula Barcan è un principio controverso: CBF. I ∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x ) I I I I 25 2∀xϕ(x ) ⊃ ∀x2ϕ(x ) Considerate l’istanza seguente di CBF: (5) La formula (3) dice: se ogni oggetto che esiste è F in ogni mondo possibile, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è F. Un’obiezione che viene sollevata è questa: anche se ogni oggetto che esiste è F in ogni mondo, potrebbero esistere dei mondi in cui esistono degli individui che non sono F. Per esempio, supponiamo che gli oggetti che esistono siano a, b, e c e che in tutti i mondi a, b, e c siano F. Questo non esclude che ci sia un mondo in cui esiste un altro individuo d che non è F. Ma la formula Barcan nega che questo possa accadere. (Anche se ritenete che, da un punto di vista metafisico, sia preferibile non ammettere la possibilità che negli altri mondi esistano individui che non esistono nel mondo reale, non è ovvio che questa possibilità debba essere esclusa semplicemente su base logica). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale È possibile formulare BF come BF’ in quanto, data un’istanza di BF è possibile derivare l’istanza corrispondente di BF’ usando semplicemente le regole di contrapposizione, negazione modale e negazione dei quantificatori (Fitting e Mendelsohn 1998:109). E viceversa. Lo stesso vale per CBF e CBF’. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale I Consideriamo di nuovo l’istanza (3) di BF: (3) ∃x3ϕ(x ) ⊃ 3∃xϕ(x ) Obiezioni alla conversa della formula Barcan La formula Barcan è un principio controverso: BF. Il principio espresso da CBF a volte viene formulato cosı̀: CBF’. Secondo questo modo di leggere la conversa della formula Barcan, l’istanza (4) afferma: se in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è F, allora ogni oggetto che esiste è F in ogni mondo possibile. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 3∃xϕ ⊃ ∃x3ϕ BF’. Se seguiamo il modo adottato per BF, intenderemo CBF cosı̀: se in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è tale che ϕ è soddisfatta, allora ogni oggetto che esiste è tale che in ogni mondo possibile ϕ è soddisfatta. (4) Il principio espresso dalla formula Barcan a volte viene formulato cosı̀: 2∀x∃y x = y ⊃ ∀x2∃y x = y La formula (5) asserisce questo: se in ogni mondo, per ogni individuo che esiste, qualcuno è identico a quell’individuo, allora ogni individuo che esiste è tale che in ogni mondo possibile esiste un individuo identico ad esso. Chiaramente, in ogni mondo, per ogni individuo che esiste, qualcuno è identico a quell’individuo, e cioè quell’individuo stesso. Dunque, se accettiamo la conversa della formula Barcan, e quindi accettiamo (5), dobbiamo accettare che ogni individuo che esiste è tale che in ogni mondo possibile esiste un individuo identico ad esso. Ma questo vuol dire che ogni individuo che esiste esiste in ogni mondo possibile! L’affermazione precedente è evidentemente falsa. Se i miei genitori non si fossero mai incontrati, io non sarei mai esistito. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 26 Che fare? I La formula Barcan e la sua conversa sono principi controversi. I Dobbiamo, dunque modificare la semantica di LQS5 per evitare di rendere valide la formula Barcan e la sua conversa? I Non necessariamente. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale Rileggere la formula Barcan I Nel leggere la formula Barcan abbiamo assunto che il quantificatore “∀” quantificasse su individui che esistono a un mondo. I Per esempio, abbiamo assunto che (3) fosse vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa condizione: se ogni oggetto che esiste in w è F in ogni mondo possibile, allora in ogni mondo possibile w 0 ogni oggetto che esiste in w 0 è F: (3) ∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x ) I Se la leggiamo cosı̀, (3) esclude la possibilità (6), che, almeno su base logica, vorremmo mantenere aperta: (6) tutti gli individui che esistono in w sono F in ogni mondo possibile, ma esiste un individuo in un mondo w 0 che non è F. I Tuttavia, il problema si dissolve se intendiamo “∀” come un quantificatore su individui possibili invece che su individui che esistono ad un mondo. I In questo caso, (3) è vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa condizione: se ogni individuo possibile è F in ogni mondo, allora in ogni mondo ogni individuo possibile è F. I In questa interpretazione, (3) non esclude (6). Infatti, l’antecedente di (3) è ora inteso come un’affermazione su tutti gli individui possibili e non sugli individui che esistono a un mondo. Se si verifica la possibilità in (6), è chiaro che non tutti gli individui possibili sono F in ogni mondo. Dunque, l’antecedente del condizionale in (3) è falso, e il condizionale è vero. 27 Rileggere la conversa della formula Barcan S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 28 Modelli a dominio unico I Nel leggere CBF, abbiamo assunto che i quantificatori “∀” e “∃” quantifichino su individui che esistono a un mondo. I In questo caso, (5) è vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa I I I I condizione: se in ogni mondo w 0 , per ogni individuo che esiste in w 0 , qualcuno è identico a quell’individuo, allora ogni individuo che esiste in w esiste in ogni mondo possibile. (5) 2∀x∃y x = y ⊃ ∀x2∃y x = y Cosı̀ intesa, (5) esclude la possibilità che un individuo esista solo contingentemente. Il problema scompare se assumiamo che “∀” e “∃” quantifichino su individui possibili. In questo caso, (5) è vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa condizione: se in ogni mondo w 0 , per ogni individuo possibile, qualche individuo possibile è identico a quell’individuo, allora ogni individuo possibile in ogni mondo è identico a un individuo possibile. Intesa cosı̀, (5) lascia aperta la possibilità che un individuo a esista in un mondo w e non in un altro mondo w 0 : infatti, anche in questo caso, in w 0 l’individuo possibile a è identico a un individuo possibile. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 29 I La difesa precedente della formula Barcan e della sua conversa assume che “∀” e “∃” quantifichino su individui possibili. I Se assumiamo questa interpretazione “possibilista” dei quantificatori, i problemi sollevati per BF e CBF si dissolvono e possiamo mantenere la formulazione della semantica di LQS5 che rende valide BF e CBF. I In questa semantica, il dominio del modello è inteso come l’insieme di tutti gli individui possibili (e i quantificatori quantificano su questo dominio). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 30 Il predicato di esistenza Modelli con domini variabili I La difesa possibilista della semantica a dominio unico lascia aperta una questione. I I quantificatori dell’italiano possono quantificare su individui esistenti a un mondo. Per esempio, (7) afferma che esistono tre miliardi di bambini nel mondo più simile al nostro in cui la pillola non è stata inventata: se la pillola anticoncezionale non fosse stata inventata, esisterebbero tre miliardi di bambini. I Se i quantificatori di LQS5 quantificano su individui possibili, come facciamo a esprimere in LQS5 quantificatori come quello in (7)? I Il possibilista può rappresentare i quantificatori sugli individui esistenti a un mondo introducendo un predicato di esistenza “” che a ogni mondo denota gli individui che esistono a quel mondo. I Gli enunciati che quantificano su individui esistenti a un mondo possono ora essere rappresentati cosı̀ (Hughes and Cresswell 1996, Fitting e Mendelsohn 1998): ∀x ((x ) ⊃ ϕ) ∃x ((x ) ∧ ϕ) I Un modo più diretto di rappresentare la quantificazione su individui esistenti consiste nel modificare la semantica del linguaggio predicativo modale introducendo la possibilità che il dominio dei quantificatori “∀” ed “∃” vari da mondo a mondo. I Vediamo come fare. (7) S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 31 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale Il linguaggio LQS5f Il linguaggio LQS5f simboli e frasi modelli 32 Un modello per LQS5f è una quadrupla M=<D, W , δ, F >, dove I I I Se cambia la semantica dei quantificatori, cambia il linguaggio (anche se la rappresentazione grafica dei quantificatori rimane uguale, hanno un significato diverso). Il linguaggio predicativo modale con domini variabili lo chiamiamo LQS5f . D è un insieme non vuoto di individui, I W è un insieme non vuoto di mondi possibili, I δ è una funzione che, a ogni mondo w in W , assegna un sottoinsieme di D (ovvero, δ(w ) ⊆ D), I F è una funzione (detta interpretazione) tale che c c I simboli e la definizione di frase sono gli stessi di LQS5. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale I (a) per ogni costante individuale , F ( ,) è un elemento di D, (b) per ogni mondo w e per ogni predicato P n , F (P n , w ) è un insieme di n-uple di elementi di D. 33 S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 34 c -varianti per domini variabili Commenti alla definizione di modello I I I I La novità è la funzione δ, che a ogni mondo w del modello associa un sottoinsieme degli individui del dominio. I Da un punto di vista intuitivo, possiamo pensare agli individui nell’insieme associato a un mondo w come gli individui che esistono in w . I Per far sı̀ che i quantificatori quantifichino sul dominio associato a un mondo, dobbiamo modificare la definizione di -variante di un modello. La nozione di • una -variante di un modello M relativa a un mondo w in W è un modello M’ uguale M eccetto per il fatto che in M’ la funzione interpretazione assegna alla costante un individuo in δ(w ). • (Se la funzione interpretazione di M assegna già a un individuo in δ(w ), allora M stesso è una -variante di M relativamente a w ). c Notate che la denotazione delle constanti individuali e predicative in un modello di LQS5f è definita come per LQS5: un costante individuale denota un individuo in D, e una costante predicativa denota a un mondo un sottoinsieme di D (non necessariamente di δ(w )). c 35 Denotazione delle frasi di LQS5f e validità Nel linguaggio predicativo LQ, la formula seguente è valida: (8) v cv v c -variante 11. [[∃ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per qualche M 0 di M relativa a w ; altrimenti [[∃ ϕ]]M,w = 0. I I La definizione di denotazione di una frase di è la stessa assunta per LQS5, eccetto per le formule quantificate, la cui denotazione è ora specificata cosı̀: cv v 2∃x x = a I In LQS5f , tuttavia, i quantificatori “∀” e “∃” quantificano sugli individui che esistono a un mondo, mentre le costanti denotano individui che non sono necessariamente nel dominio del mondo su cui il quantificatore quantifica. Dunque, (9) non è valida in LQS5f , in quanto potrebbe esserci un mondo tale che l’individuo denotato dalla costante a non esiste in quel mondo. I Le regole di deduzione naturale di LQS5f devono pertanto riflettere il fatto che, dato un mondo w , una costante può denotare un individuo che non esiste a w . I Le logiche libere da questo impegno esistenziale sono dette “logiche libere”. M0 c -variante 37 ∃x x = a In LQS5 la formula seguente è valida: (9) La definizione di validità è la stessa di LQS5. S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 36 Logica libera LQS5f v c S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale I 10. [[∀ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per ogni di M relativa a w ; altrimenti [[∀ ϕ]]M,w = 0; c -variante di un modello è ora definita cosı̀: c Si noti che, secondo la definizione, il dominio di un mondo può essere l’insieme vuoto (essendo l’insieme vuoto un sottoinsieme di qualunque insieme). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale I c S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 38 Deduzione naturale per LQS5f I Introduciamo ora un sistema di deduzione naturale per il linguaggio LQS5f , che chiamiamo QS5f (NAT). I Il sistema LQS5f (NAT) consiste in queste regole: tutte le regole di S5(NAT) + le regole specifiche di LQS5f + le regole di introduzione ed eliminazione dell’identità di Q(NAT). Regole di inferenza specifiche di LQS5f c [ϕ( ) è un’istanza di ∀ S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 39 Regole di inscatolamento e cancellazione di LQS5f v ϕ(v ) e ∃v ϕ(v ).] S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 40 Tableaux per LQS5f C’è una sola regola di inscatolamento e cancellazione specifica di LQS5f : S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 41 I Per LQS5f introduciamo il sistema di tableaux QS5f (TAB). I Le regole di QS5f (TAB) sono le le regole S5(TAB) + le regole per l’identità di QS5(TAB) + le regole specifiche di QS5f (TAB). S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 42 Regole specifiche di QS5f (TAB) Le regole specifiche di QS5f (TAB) sono le seguenti: c [ϕ( ) è un’istanza di ∀ v ϕ(v ) e ∃v ϕ(v ).] S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale 43