Un argomento valido
I
1. È necessariamente vero che tutti gli uomini sono mortali.
2. È necessariamente vero che Socrate è un uomo.
3. Dunque, è necessariamente vero che Socrate è mortale.
Logica predicativa modale
I
Tuttavia, con i linguaggi logici che abbiamo a disposizione
finora non abbiamo alcun modo di rappresentare argomenti di
questo genere (e dunque di controllarne la validità), perché
non abbiamo un linguaggio che contenga sia operatori modali
che quantificatori.
I
Lo introduciamo ora e lo chiamiamo “LQS5” (il linguaggio
della logica predicativa modale S5).
Sandro Zucchi
2012-13
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
L’argomento seguente è valido in italiano:
1
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
Il linguaggio LQS5
Il linguaggio LQS5
i simboli
le frasi
c
(a) Se P è un predicato a n-posti e 1 , . . . , n sono costanti, allora
pP ( 1 , . . . , n )q è una frase (atomica) di LQS5.
Se ϕ e ψ sono frasi di LQS5, allora
(b) p∼ ϕq è una frase di LQS5,
(c) p(ϕ ∧ ψ)q è una frase di LQS5,
(d) p(ϕ ∨ ψ)q è una frase di LQS5,
(e) p(ϕ ⊃ ψ)q è una frase di LQS5,
(f) p(ϕ ≡ ψ)q è una frase di LQS5,
(g) se pϕ( )q è una frase di LQS5 che contiene la costante , e
è una
variabile che non compare in pϕ( )q, allora p∀ ϕ( )q e p∃ ϕ( )q
sono frasi di LQS5,
(h) se e sono costanti, p = q è una frase di LQS5,
(i) 2ϕ è una frase di LQS5,
(j) 3ϕ è una frase di LQS5.
(k) Nient’altro è una frase di LQS5.
c
I Un insieme infinito di costanti individuali: c1 c2 c3 . . .
I Un insieme infinito di variabili individuali: x1 x2 x3 . . .
I Un insieme infinito di predicati a n-posti (per ogni n>0):
P11 P21 P31 . . . P12 P22 P32 . . . P13 P23 P33 . . .
I La relazione di identità: =
I I quantificatori: ∀ ∃
c
c
I I connettivi vero-funzionali: ∧ ∨ ⊃ ≡ ∼
I Gli operatori di necessità e di possibilità: 2 3
I Le parentesi: ( )
c u
I (Assumo le convenzioni consuete).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
c
2
3
c
v v
c v
v v
c u
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
4
Il linguaggio LQS5
Commenti alla definizione di modello
Tre osservazioni sono opportune sulla definizione di modello:
modelli
I Notate che la relazione di accessibilità R non è più un membro del
modello. Come mai? Nella semantica di LS5 ogni mondo è accessibile da
ogni mondo. Per questa ragione, è possibile formulare la semantica di
LS5 semplicemente facendo a meno della relazione di accessibilità (non lo
abbiamo fatto prima, perché volevamo mantenere una formulazione
uniforme per i diversi sistemi modali). Dunque, nel formulare la
semantica di LQS5, che su LS5 si basa, possiamo tralasciare la relazione
di accessibilità (e lo facciamo).
I La denotazione delle constanti predicative in un modello di LQS5 è
relativa a un mondo. Intuitivamente, possiamo pensare alla denotazione
di un predicato a un mondo come l’insieme degli individui che godono
della proprietà espressa dal predicato a quel mondo.
I La denotazione delle costanti individuali, d’altra parte, non è relativa a un
mondo. Dunque, le costanti individuali di LQS5 denotano sempre lo
stesso individuo nelle formule in cui occorrono, quale che sia il mondo a
cui la formula è valutata (in questo senso, le costanti di LQS5 sono
designatori rigidi).
Un modello per LQS5 è una tripla M=<D, W , F >, dove
I
D è un insieme non vuoto di individui,
I
W è un insieme non vuoto di mondi possibili,
I
F è una funzione (detta interpretazione) tale che
c c
(a) per ogni costante individuale , F ( ) è un elemento di D,
(b) per ogni mondo w e per ogni predicato P n , F (P n , w ) è un
insieme di n-uple di elementi di D.
Chiamiamo il valore assegnato da F a una costante
individuale o predicativa denotazione della costante.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
5
c -varianti
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
6
Denotazione delle frasi di LQS5
Definiamo ora cosı̀ la denotazione delle frasi di LQS5 in un modello M
relativamente a un mondo (leggiamo [[α]]M,w come “la denotazione della frase
α in M al mondo w ”):
I
c
c u
c
La nozione di -variante di un modello è definita come per i
modelli di LQ:
c
• una -variante di un modello M è un modello M’ uguale M
eccetto per il fatto che in M’ la funzione interpretazione può
assegnare alla costante un individuo diverso del dominio D di
M da quello che la funzione interpretazione assegna a in M.
c
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
c
c
c
1. se P n è un predicato e 1 , . . . , n sono costanti individuali, allora
[[P n ( 1 , . . . , n )]]M,w = 1 se < F ( 1 ), . . . , F ( n ) > ∈ F (P n ,w );
altrimenti [[P n ( 1 , . . . , n )]]M,w = 0.
2. se e
sono costanti individuali, [[ = ]]M,w = 1 se F ( )=F ( );
altrimenti [[ = ]]M,w = 0.
Se ϕ e ψ sono frasi di LQS5,
3. [[∼ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = 0; altrimenti [[∼ ϕ]]M,w = 0,
4. [[ϕ ∧ ψ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = 1 e [[ψ]]M,w = 1; altrimenti
[[ϕ ∧ ψ]]M,w = 0,
5. [[ϕ ∨ ψ]]M,w = 1 se non si dà il caso che [[ϕ]]M,w = 0 e [[ψ]]M,w = 0;
altrimenti [[ϕ ∨ ψ]]M,w = 0,
6. [[ϕ ⊃ ψ]]M,w = 1 se non si dà il caso che [[ϕ]]M,w = 1 e [[ψ]]M,w = 0;
altrimenti [[ϕ ⊃ ψ]]M,w = 0,
7. [[ϕ ≡ ψ]]M,w = 1 se [[ϕ]]M,w = [[ψ]]M,w ; altrimenti [[ϕ ≡ ψ]]M,w = 0.
c
7
c
c
c u
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c
c u
c
c
u
8
Denotazione
Validità
cont.
La nozione di validità in LQS5 è definita cosı̀:
8. [[2ϕ]]M,w = 1 se, per ogni w’ in W , [[ϕ]]M,w 0 = 1, altrimenti
[[2ϕ]]M,w = 0;
9. [[3ϕ]]M,w = 1 se, per qualche w’ in W , [[ϕ]]M,w 0 = 1,
altrimenti [[3ϕ]]M,w = 0;
c
I
Sia M=<D, W , F > un modello di LQS5. Una frase ϕ di
LQS5 è vera in M a un mondo w in W se e solo se la
denotazione di ϕ in M a w è 1 (se e solo se [[ϕ]]M,w = 1);
I
un argomento in LQS5 con premesse ϕ1 , . . . , ϕn e conclusione
ψ è valido in LQS5 (in simboli, ϕ1 , . . . , ϕn |=LQS5 ψ) se e
solo se non esiste un modello M=<D, W , F > di LQS5 e un
mondo w in W tali che ϕ1 , . . . , ϕn sono tutte vere in M a w e
ψ è falsa in M a w ;
I
una frase ϕ di LQS5 è valida in LQS5 (in simboli, |=LQS5 ϕ)
se e solo se non esiste un modello M=<D, W , F > di LQS5 e
un mondo w in W tali che [[ϕ]]M,w = 0.
cv
Infine, sia una costante che non occorre in ϕ e ϕ( / ) il
risultato di sostituire a ogni occorrenza di
in ϕ:
v
c
v
cv
c -variante M
cv
v
c -variante
10. [[∀ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per ogni
di M; altrimenti [[∀ ϕ]]M,w = 0;
v
v
11. [[∃ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per qualche
M 0 di M; altrimenti [[∃ ϕ]]M,w = 0.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
0
9
Deduzione naturale per LQS5
I
È possibile mostrare che QS5(NAT) permette di derivare una
conclusione da un insieme di premesse esattamente nei casi in
cui le premesse implicano la conclusione in LQS5.
I
In simboli:
Il sistema QS5(NAT) consiste in queste regole:
tutte le regole di Q(NAT) e tutte le regole di S5(NAT).
ϕ1 , . . . , ϕn `QS5(NAT ) ψ se e solo se
ϕ1 , . . . , ϕn |=LQS5 ψ.
I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
10
Completezza e correttezza
Introduciamo ora un sistema di deduzione naturale per il
linguaggio LQS5, che chiamiamo QS5(NAT).
I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
11
(Come caso particolare, è possibile mostrare che `QS5(NAT ) ψ
sse |=LQS5 ψ).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
12
Tableaux per LQS5
Regole specifiche di QS5(TAB)
Le regole specifiche di QS5(TAB) sono le seguenti:
I
Per LQS5 introduciamo il sistema di tableaux QS5(TAB).
I
Le regole di QS5(TAB) sono le regole di S5(TAB) + regole
specifiche di QS5(TAB).
c
v
v
c
dove ϕ( ) è un’istanza di p∀ϕ( )q e p∃ϕ( )q, e pϕ (c/u )q è qualunque
risultato si ottiene sostituendo la costante ad alcune o tutte le
occorrenze della costante
in ϕ.
u
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13
Completezza e correttezza
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
Un’ambiguità
I
Considerate ora l’enunciato seguente:
(1)
I
Le definizioni di tableau chiuso e terminato e di derivazione
sono le consuete.
I
Il sistema cosı̀ ottenuto è corretto e completo: se una
conclusione è derivabile da un insieme di premesse in
QS5(TAB), l’argomento è valido in LQS5; e, se un argomento
è valido in LQS5, la conclusione è derivabile dalle premesse in
QS5(TAB).
I
Ogni povero è necessariamente povero.
L’enunciato (1) pare avere sia l’interpretazione (a) che
l’interpretazione (b):
(a) in tutte le circostanze possibili se un individuo è povero è
povero;
(b) ogni individuo che è attualmente povero è povero in ogni
circostanza possibile.
I
I
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
14
15
Nell’interpretazione (a), (1) è chiaramente vero.
Nell’interpretazione (b), (1) molto probabilmente è falso,
perché è chiaro che ci persone attualmente povere che però
avrebbero potuto non esserlo, se le cose fossero andate
diversamente.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
16
Un’altra ambiguità
I
Considerate ora l’enunciato (2):
(2)
I
Rappresentazione dell’ambiguità
I
Alcune teorie devono essere errate.
Di nuovo, (2) pare avere sia l’interpretazione (a) che
l’interpretazione (b):
(a) in ogni circostanza possibile ci sono delle teorie errate,
(b) ci sono delle teorie che sono errate in ogni circostanza possibile.
I
Nell’interpretazione (a), (2) non attribuisce la proprietà di
essere necessariamente errata ad alcuna teoria.
I
Invece, nell’interpretazione (b), (2) afferma di alcune teorie
che non potrebbero mai essere giuste.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
17
de dicto\de re
Le due interpretazioni di (1) e (2) si possono rappresentare
cosı̀ nel nostro linguaggio predicativo modale:
(1)
(a)
(b)
Ogni povero è necessariamente povero.
2∀x (P (x ) ⊃ P (x ))
∀x (P (x ) ⊃ 2P (x ))
(2)
(a)
(b)
Alcune teorie devono essere errate.
2∃x (T (x ) ∧ E (x ))
∃x (T (x ) ∧ 2E (x ))
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
18
La formula Barcan
I Nelle formule (a), l’operatore di necessità è il connettivo principale e il
quantificatore è nell’ambito dell’operatore.
I
I Nelle formule (b), l’operatore di necessità non è il connettivo principale e
Considerate ora la frase (3) di LQS5:
il quantificatore è fuori dall’ambito dell’operatore modale.
(1)
(a)
(b)
Ogni povero è necessariamente povero.
2∀x (P (x ) ⊃ P (x ))
∀x (P (x ) ⊃ 2P (x ))
(2)
(a)
(b)
Alcune teorie devono essere errate.
2∃x (T (x ) ∧ E (x ))
∃x (T (x ) ∧ 2E (x ))
(3)
I
Questa frase è un esempio dello schema di formula in BF
detto formula Barcan:
BF.
I Una formula modale che contiene dei quantificatori è detta de re se tutti i
∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x )
∀x2ϕ ⊃ 2∀xϕ
I
Tutte le istanze della formula Barcan sono valide in LQS5.
I
Vediamo una prova di (3) come caso particolare.
suoi quantificatori sono fuori dall’ambito degli operatori modali.
I Una formula modale che contiene dei quantificatori è detta de dicto se
tutti i suoi quantificatori sono nell’ambito degli operatori modali.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
19
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
20
Prova: ∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x )
1.
2.
∀x2F (x )
3.
3∀x2F (x )
Ass
3∀x2F (x )
5.
2I
R,3
Prova: ∀xF (x )
6.
∼ ∀xF (x )
Ass
8.
∃x ∼ F (x )
QN
9.
∼ F (a )
∃E
3 ∼ F (a )
11.
3∀x2F (x )
Prova: 2 ∼ ∀x2F (x )
Un modo possibile di intenderla è questo: se ogni oggetto che
esiste è tale che in ogni mondo possibile ϕ è soddisfatta,
allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è tale
che ϕ è soddisfatta.
I
Secondo questo modo di leggere la formula Barcan, l’istanza
(3) afferma: se ogni oggetto che esiste è F in ogni mondo
possibile, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che
esiste è F.
R, 3
2 I,10
13.
3 ∼ F (a )
14.
∼ 2F (a)
15.
∃x ∼ 2F (x )
∃ I,14
16.
∼ ∀x2F (x )
QN,15
17.
∼ 3∀x2F (x )
MN,112
R,10
MN,13
(3)
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
21
La conversa della formula Barcan
1.
Prova: 2∀xF (x ) ⊃ ∀x2F (x )
2∀xF (x )
Considerate ora la frase (4) di LQS5:
3.
Prova: ∀x2F (x )
2∀xF (x ) ⊃ ∀x2F (x )
4.
Prova: 2F (a)
(4)
I
∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x )
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
2.
I
∀x2ϕ ⊃ 2∀xϕ
I
3I
10.
Come possiamo leggere la formula Barcan? Quale principio
esprime?
BF.
∼I
7.
12.
I
3 I, 2
Prova: 2∀xF (x )
4.
Leggere la formula Barcan
⊃I
Questa frase è un esempio dello schema di formula CBF detto
conversa della formula Barcan:
CBF.
2∀xϕ ⊃ ∀x2ϕ
I
Tutte le istanze della conversa della formula Barcan sono
valide in LQS5.
I
Vediamo una prova di (4) come caso particolare.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
22
21
⊃I
Ass
∀I
2I,2
5.
2∀xF (x )
R,2
6.
∀xF (x )
2E
7.
F (a )
∀E
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
23
Leggere la conversa della formula Barcan
I
Come possiamo leggere la conversa della formula Barcan?
Quale principio esprime?
CBF.
I
I
Formulazioni equivalenti
I
2∀xϕ ⊃ ∀x2ϕ
I
I
2∀xF (x ) ⊃ ∀x2F (x )
23
Obiezioni alla formula Barcan
I
I
I
I
I
∀x2ϕ(x ) ⊃ 2∀xϕ(x )
24
Anche la conversa della formula Barcan è un principio controverso:
CBF.
I
∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x )
I
I
I
I
25
2∀xϕ(x ) ⊃ ∀x2ϕ(x )
Considerate l’istanza seguente di CBF:
(5)
La formula (3) dice: se ogni oggetto che esiste è F in ogni mondo
possibile, allora in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è F.
Un’obiezione che viene sollevata è questa: anche se ogni oggetto che
esiste è F in ogni mondo, potrebbero esistere dei mondi in cui esistono
degli individui che non sono F.
Per esempio, supponiamo che gli oggetti che esistono siano a, b, e c e che
in tutti i mondi a, b, e c siano F. Questo non esclude che ci sia un mondo
in cui esiste un altro individuo d che non è F. Ma la formula Barcan nega
che questo possa accadere.
(Anche se ritenete che, da un punto di vista metafisico, sia preferibile non
ammettere la possibilità che negli altri mondi esistano individui che non
esistono nel mondo reale, non è ovvio che questa possibilità debba essere
esclusa semplicemente su base logica).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
È possibile formulare BF come BF’ in quanto, data un’istanza
di BF è possibile derivare l’istanza corrispondente di BF’
usando semplicemente le regole di contrapposizione, negazione
modale e negazione dei quantificatori (Fitting e Mendelsohn
1998:109). E viceversa. Lo stesso vale per CBF e CBF’.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
I
Consideriamo di nuovo l’istanza (3) di BF:
(3)
∃x3ϕ(x ) ⊃ 3∃xϕ(x )
Obiezioni alla conversa della formula Barcan
La formula Barcan è un principio controverso:
BF.
Il principio espresso da CBF a volte viene formulato cosı̀:
CBF’.
Secondo questo modo di leggere la conversa della formula
Barcan, l’istanza (4) afferma: se in ogni mondo possibile ogni
oggetto che esiste è F, allora ogni oggetto che esiste è F in
ogni mondo possibile.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
3∃xϕ ⊃ ∃x3ϕ
BF’.
Se seguiamo il modo adottato per BF, intenderemo CBF cosı̀:
se in ogni mondo possibile ogni oggetto che esiste è tale che
ϕ è soddisfatta, allora ogni oggetto che esiste è tale che in
ogni mondo possibile ϕ è soddisfatta.
(4)
Il principio espresso dalla formula Barcan a volte viene
formulato cosı̀:
2∀x∃y x = y ⊃ ∀x2∃y x = y
La formula (5) asserisce questo: se in ogni mondo, per ogni individuo che
esiste, qualcuno è identico a quell’individuo, allora ogni individuo che esiste
è tale che in ogni mondo possibile esiste un individuo identico ad esso.
Chiaramente, in ogni mondo, per ogni individuo che esiste, qualcuno è
identico a quell’individuo, e cioè quell’individuo stesso.
Dunque, se accettiamo la conversa della formula Barcan, e quindi
accettiamo (5), dobbiamo accettare che ogni individuo che esiste è tale
che in ogni mondo possibile esiste un individuo identico ad esso. Ma
questo vuol dire che ogni individuo che esiste esiste in ogni mondo
possibile!
L’affermazione precedente è evidentemente falsa. Se i miei genitori non si
fossero mai incontrati, io non sarei mai esistito.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
26
Che fare?
I
La formula Barcan e la sua conversa sono principi controversi.
I
Dobbiamo, dunque modificare la semantica di LQS5 per
evitare di rendere valide la formula Barcan e la sua conversa?
I
Non necessariamente.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
Rileggere la formula Barcan
I Nel leggere la formula Barcan abbiamo assunto che il quantificatore “∀”
quantificasse su individui che esistono a un mondo.
I Per esempio, abbiamo assunto che (3) fosse vera a un mondo w se e solo se è
soddisfatta questa condizione: se ogni oggetto che esiste in w è F in ogni mondo
possibile, allora in ogni mondo possibile w 0 ogni oggetto che esiste in w 0 è F:
(3)
∀x2F (x ) ⊃ 2∀xF (x )
I Se la leggiamo cosı̀, (3) esclude la possibilità (6), che, almeno su base logica,
vorremmo mantenere aperta:
(6)
tutti gli individui che esistono in w sono F in ogni mondo possibile, ma
esiste un individuo in un mondo w 0 che non è F.
I Tuttavia, il problema si dissolve se intendiamo “∀” come un quantificatore su
individui possibili invece che su individui che esistono ad un mondo.
I In questo caso, (3) è vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa
condizione: se ogni individuo possibile è F in ogni mondo, allora in ogni mondo
ogni individuo possibile è F.
I In questa interpretazione, (3) non esclude (6). Infatti, l’antecedente di (3) è ora
inteso come un’affermazione su tutti gli individui possibili e non sugli individui
che esistono a un mondo. Se si verifica la possibilità in (6), è chiaro che non
tutti gli individui possibili sono F in ogni mondo. Dunque, l’antecedente del
condizionale in (3) è falso, e il condizionale è vero.
27
Rileggere la conversa della formula Barcan
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
28
Modelli a dominio unico
I Nel leggere CBF, abbiamo assunto che i quantificatori “∀” e “∃”
quantifichino su individui che esistono a un mondo.
I In questo caso, (5) è vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa
I
I
I
I
condizione: se in ogni mondo w 0 , per ogni individuo che esiste in w 0 ,
qualcuno è identico a quell’individuo, allora ogni individuo che esiste in w
esiste in ogni mondo possibile.
(5)
2∀x∃y x = y ⊃ ∀x2∃y x = y
Cosı̀ intesa, (5) esclude la possibilità che un individuo esista solo
contingentemente.
Il problema scompare se assumiamo che “∀” e “∃” quantifichino su
individui possibili.
In questo caso, (5) è vera a un mondo w se e solo se è soddisfatta questa
condizione: se in ogni mondo w 0 , per ogni individuo possibile, qualche
individuo possibile è identico a quell’individuo, allora ogni individuo
possibile in ogni mondo è identico a un individuo possibile.
Intesa cosı̀, (5) lascia aperta la possibilità che un individuo a esista in un
mondo w e non in un altro mondo w 0 : infatti, anche in questo caso, in
w 0 l’individuo possibile a è identico a un individuo possibile.
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
29
I
La difesa precedente della formula Barcan e della sua conversa
assume che “∀” e “∃” quantifichino su individui possibili.
I
Se assumiamo questa interpretazione “possibilista” dei
quantificatori, i problemi sollevati per BF e CBF si dissolvono
e possiamo mantenere la formulazione della semantica di
LQS5 che rende valide BF e CBF.
I
In questa semantica, il dominio del modello è inteso come
l’insieme di tutti gli individui possibili (e i quantificatori
quantificano su questo dominio).
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
30
Il predicato di esistenza
Modelli con domini variabili
I La difesa possibilista della semantica a dominio unico lascia aperta una
questione.
I I quantificatori dell’italiano possono quantificare su individui esistenti a un
mondo. Per esempio, (7) afferma che esistono tre miliardi di bambini nel
mondo più simile al nostro in cui la pillola non è stata inventata:
se la pillola anticoncezionale non fosse stata inventata,
esisterebbero tre miliardi di bambini.
I Se i quantificatori di LQS5 quantificano su individui possibili, come
facciamo a esprimere in LQS5 quantificatori come quello in (7)?
I Il possibilista può rappresentare i quantificatori sugli individui esistenti a
un mondo introducendo un predicato di esistenza “” che a ogni mondo
denota gli individui che esistono a quel mondo.
I Gli enunciati che quantificano su individui esistenti a un mondo possono
ora essere rappresentati cosı̀ (Hughes and Cresswell 1996, Fitting e
Mendelsohn 1998):
∀x ((x ) ⊃ ϕ)
∃x ((x ) ∧ ϕ)
I
Un modo più diretto di rappresentare la quantificazione su
individui esistenti consiste nel modificare la semantica del
linguaggio predicativo modale introducendo la possibilità che
il dominio dei quantificatori “∀” ed “∃” vari da mondo a
mondo.
I
Vediamo come fare.
(7)
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
31
S. Zucchi: Metodi formali per filosofi – Logica predicativa modale
Il linguaggio LQS5f
Il linguaggio LQS5f
simboli e frasi
modelli
32
Un modello per LQS5f è una quadrupla M=<D, W , δ, F >, dove
I
I
I
Se cambia la semantica dei quantificatori, cambia il linguaggio
(anche se la rappresentazione grafica dei quantificatori rimane
uguale, hanno un significato diverso).
Il linguaggio predicativo modale con domini variabili lo
chiamiamo LQS5f .
D è un insieme non vuoto di individui,
I
W è un insieme non vuoto di mondi possibili,
I
δ è una funzione che, a ogni mondo w in W , assegna un
sottoinsieme di D (ovvero, δ(w ) ⊆ D),
I
F è una funzione (detta interpretazione) tale che
c c
I simboli e la definizione di frase sono gli stessi di LQS5.
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I
(a) per ogni costante individuale , F ( ,) è un elemento di D,
(b) per ogni mondo w e per ogni predicato P n , F (P n , w ) è un
insieme di n-uple di elementi di D.
33
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34
c -varianti per domini variabili
Commenti alla definizione di modello
I
I
I
I
La novità è la funzione δ, che a ogni mondo w del modello
associa un sottoinsieme degli individui del dominio.
I
Da un punto di vista intuitivo, possiamo pensare agli individui
nell’insieme associato a un mondo w come gli individui che
esistono in w .
I
Per far sı̀ che i quantificatori quantifichino sul dominio
associato a un mondo, dobbiamo modificare la definizione di
-variante di un modello.
La nozione di
• una -variante di un modello M relativa a un mondo w in W
è un modello M’ uguale M eccetto per il fatto che in M’ la
funzione interpretazione assegna alla costante un individuo
in δ(w ).
• (Se la funzione interpretazione di M assegna già a un
individuo in δ(w ), allora M stesso è una -variante di M
relativamente a w ).
c
Notate che la denotazione delle constanti individuali e
predicative in un modello di LQS5f è definita come per LQS5:
un costante individuale denota un individuo in D, e una
costante predicativa denota a un mondo un sottoinsieme di D
(non necessariamente di δ(w )).
c
35
Denotazione delle frasi di LQS5f e validità
Nel linguaggio predicativo LQ, la formula seguente è valida:
(8)
v
cv
v
c -variante
11. [[∃ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per qualche
M 0 di M relativa a w ; altrimenti [[∃ ϕ]]M,w = 0.
I
I
La definizione di denotazione di una frase di
è la stessa
assunta per LQS5, eccetto per le formule quantificate, la cui
denotazione è ora specificata cosı̀:
cv
v
2∃x x = a
I
In LQS5f , tuttavia, i quantificatori “∀” e “∃” quantificano sugli
individui che esistono a un mondo, mentre le costanti denotano
individui che non sono necessariamente nel dominio del mondo su
cui il quantificatore quantifica. Dunque, (9) non è valida in LQS5f ,
in quanto potrebbe esserci un mondo tale che l’individuo denotato
dalla costante a non esiste in quel mondo.
I
Le regole di deduzione naturale di LQS5f devono pertanto riflettere
il fatto che, dato un mondo w , una costante può denotare un
individuo che non esiste a w .
I
Le logiche libere da questo impegno esistenziale sono dette “logiche
libere”.
M0
c -variante
37
∃x x = a
In LQS5 la formula seguente è valida:
(9)
La definizione di validità è la stessa di LQS5.
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Logica libera
LQS5f
v
c
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I
10. [[∀ ϕ]]M,w = 1 se [[ϕ( / )]]M 0 ,w = 1 per ogni
di M relativa a w ; altrimenti [[∀ ϕ]]M,w = 0;
c -variante di un modello è ora definita cosı̀:
c
Si noti che, secondo la definizione, il dominio di un mondo
può essere l’insieme vuoto (essendo l’insieme vuoto un
sottoinsieme di qualunque insieme).
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I
c
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38
Deduzione naturale per LQS5f
I
Introduciamo ora un sistema di deduzione naturale per il
linguaggio LQS5f , che chiamiamo QS5f (NAT).
I
Il sistema LQS5f (NAT) consiste in queste regole: tutte le
regole di S5(NAT) + le regole specifiche di LQS5f + le regole
di introduzione ed eliminazione dell’identità di Q(NAT).
Regole di inferenza specifiche di LQS5f
c
[ϕ( ) è un’istanza di ∀
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Regole di inscatolamento e cancellazione di LQS5f
v ϕ(v ) e ∃v ϕ(v ).]
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Tableaux per LQS5f
C’è una sola regola di inscatolamento e cancellazione specifica di
LQS5f :
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I
Per LQS5f introduciamo il sistema di tableaux QS5f (TAB).
I
Le regole di QS5f (TAB) sono le le regole S5(TAB) + le regole
per l’identità di QS5(TAB) + le regole specifiche di
QS5f (TAB).
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Regole specifiche di QS5f (TAB)
Le regole specifiche di QS5f (TAB) sono le seguenti:
c
[ϕ( ) è un’istanza di ∀
v ϕ(v ) e ∃v ϕ(v ).]
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