Elementi di Matematica discreta

Università di Torino
QUADERNI DIDATTICI
del
Dipartimento di Matematica
DANIELA ROMAGNOLI
Elementi di Matematica discreta
Quaderno # 23 – Gennaio 2004
PREFAZIONE
In questo quaderno didattico è contenuta la traccia delle lezioni del laboratorio di
matematica discreta per il corso di laurea in Matematica di Torino (anno accademico
2003-2004). Le lezioni si propongono sia di richiamare i prerequisiti necessari che di
introdurre strumenti nuovi per la presentazione di alcune tematiche del calcolo
combinatorio e più in generale della matematica discreta .
Filo conduttore del laboratorio è l'uso del concetto di funzione nel contare gli elementi
di un insieme, il suo scopo è quello di elaborare il materiale presentato nelle lezioni ,
integrandolo con osservazioni ed esercizi. Per una più vasta trattazione dei temi
presentati si rimanda alla bibliografia che riporta i testi consigliati ed usati dai
frequentanti il laboratorio per la stesura di tesine attinenti gli argomenti presentati .
INDICE
Capitolo1 – IL PRINCIPIO DI INDUZIONE MATEMATICA E IL METODO
DELLE SCELTE ……………… …………………………………p.1
Capitolo 2 – CORRISPONDENZE E FUNZIONI
2.1 Corrispondenze tra insiemi …. ………………………………….…p.5
2.2 Funzioni tra insiemi finiti ………………………………………….p.7
Capitolo 3 – SUCCESSIONI E RELAZIONI RICORSIVE
3.1 Definizioni ed esempi……………….…….…………………………p.19
3.2 Successioni aritmetiche e geometriche…....…………………………p.23
3.3 La successione di Fibonacci……………………………………….p.26
3.4 Relazioni ricorsive lineari………………………………………….p.31
Capitolo 4 – FUNZIONI ARITMETICHE E FUNZIONI INTERE
4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative……………….. .……………...p.39
4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius . …………………..p.40
4.3 Funzioni intere……………………………………………………..p.50
.
D.Romagnoli – Elementi di matematica discreta
CAPITOLO 1
Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte
Alla base del contare vi sono l’insieme N dei numeri naturali, a tutti ben noto fin
dalle scuole elementari, e le sue proprietà.
L’insieme N dei numeri naturali viene formalmente determinato dai cinque assiomi
seguenti, dovuti al matematico Giuseppe Peano ( 1858-1931):
i) 0 è un numero naturale
ii) ad ogni numero naturale n corrisponde un altro numero naturale, unico, detto
successore di n
iii) due numeri naturali distinti hanno due successori distinti
iv) 0 non è il successore di nessun numero naturale
v) qualunque sottoinsieme A di N avente le due proprietà
a) 0∈A
b) per tutti gli n ∈N, n∈A ⇒ il successore di n ∈A
deve essere l’insieme N.
L’assioma v) viene detto principio di induzione matematica .
Invece di n∈A si può dire "n ha la proprietà P". Con questa terminologia il principio
di induzione matematica diventa l’assioma seguente:
v’) qualsiasi proprietà dei numeri naturali valida per 0 e valida per il successore di n
ogniqualvolta valga per n vale per tutti i numeri naturali .
Dagli assiomi di Peano si può dedurre formalmente tutta l’aritmetica; il primo passo
consiste nell' introdurre l’operazione di somma di numeri naturali, in base alla quale,
indicato con 1 il successore di 0, si trova subito che il successore di n è n+1,
l’operazione di moltiplicazione e nel dimostrarne le proprietà . Non ci inoltriamo in
queste definizioni, accenniamo solo al fatto che, a partire dagli assiomi di Peano è
possibile dotare N di un ordinamento totale, il consueto ordinamento secondo
grandezza, definito come la relazione ≤ seguente :
dati m, n ∈ N ,
m ≤ n ⇔ ∃ x ∈ N tale che m+x = n .
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Capitolo 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte
Si può provare che tale relazione è una relazione di ordine totale verificante la
seguente proprietà :
v") dato comunque un sottoinsieme non vuoto A di N, A possiede un primo
elemento, cioè un elemento m tale che
m ≤ a , ∀a ∈ A .
Diciamo allora che la relazione data è un buon ordinamento e che l’insieme N è bene
ordinato .
La proprietà v" può venire assunta come quinto assioma al posto del principio di
induzione matematica . In tal caso è semplice dimostrare la validità del principio di
induzione : assumiamo quindi che N sia un insieme bene ordinato e dimostriamo il
Principio di induzione matematica ( 1a forma )
Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che
i)
P(0) (P(n 0 )) è vera
ii)
La verità di P(k) implica la verità di P(k + 1 ) , k ≥ 0 (n 0 ) (ipotesi induttiva)
( base dell’induzione )
Allora P(n) è vera, ∀n ≥ 0 (n 0 ) .
Dimostrazione . Sia S = {x > 0 (n0) | P(x) è falsa }. Supponiamo, per assurdo, che S
non sia vuoto. Per l’assioma del buon ordinamento di N, S ha un primo elemento,
che indichiamo con m. Consideriamo ora la proposizione P(m) : poiché m∈S, P(m) è
falsa; inoltre, poiché m è il primo elemento di S, m – 1 ∉ S (e m – 1 ≥ 0 (n0)), quindi
la proposizione P(m-1) è vera e la ii) ci dice allora che P(m) è vera . Abbiamo una
contraddizione, dunque S è vuoto .
In modo del tutto analogo si dimostra il
Principio di induzione matematica ( 2a forma ) .
Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che
i)
P(0) (P(n 0 )) è vera
( base dell’induzione )
ii)
La verità di P(k), ∀ 0 (n 0 ) ≤ k < m, implica la verità di P(m) (ipotesi
induttiva)
Allora P(n) è vera, ∀n ≥0 (n 0 ) .
Il principio di induzione matematica si rivela molto utile per dimostrare proposizioni
il cui enunciato dipenda da n ∈ N . Vediamone negli esempi l’uso corretto .
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Esempi 1.1
1) Si provi la validità della formula di Gauss : 1 + 2 + …+ n =
n (n + 1)
.
2
Soluzione : in questo caso P(n) è l’affermazione : la somma dei primi n naturali è
n (n + 1)
.
2
Base dell’induzione : 1 =
1. 2
, quindi P(1) è vera
2
Ipotesi induttiva : P(k) è vera , cioè 1 + 2 +…+ k =
k (k + 1)
2
Proviamo la verità di P(k + 1) :
1 + 2 +…+ k + (k + 1) =
k (k + 1)
(k + 1)(k + 2)
+ (k + 1) =
2
2
Il principio di induzione matematica (1° forma) ci permette di concludere che P(n) è
vera ∀n≥1.
Dalla formula di Gauss segue subito la formula che ci dà la somma dei primi n
termini di una successione aritmetica di termine iniziale a e di ragione d
a + (a + d) + (a + 2d) + …+ (a + (n-1)d) =
n (2a + (n − 1)d)
,
2
che naturalmente può essere dimostrata indipendentemente per induzione su n .
Lasciamo per esercizio la verifica della formula che dà la somma dei primi n termini
di una successione geometrica di termine iniziale a e ragione q ≠1 :
a + aq + aq2 + … + aqn-1 =
a − aq n
.
1− q
2) Come esempio di applicazione del principio di induzione matematica nella 2a
forma , dimostriamo la nota proposizione P(n) : ogni numero naturale n > 1 può
essere fattorizzato in un prodotto di numeri primi .
Base dell’induzione . P(2) è vera : infatti 2 è un numero primo ed è lui la sua
fattorizzazione.
Ipotesi induttiva : vale P(k), ∀ 2 ≤ k < m
Proviamo P(m) . Abbiamo due casi :
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Capitolo 1 Il principio di induzione matematica e il metodo delle scelte
i) m è primo ed è lui la sua fattorizzazione
ii) m non è primo, allora m = m1m2 , con 2 ≤ m1,m2 <m . Per l’ipotesi induttiva m1 e
m2 fattorizzano in numeri primi e così avviene quindi per m .
Il metodo delle scelte
Il metodo delle scelte è basato sul " principio di moltiplicazione delle scelte " :
Se una scelta può essere compiuta in n modi diversi e , per ciascuno di essi ,una
seconda scelta può essere compiuta in m modi diversi , allora la successione delle
due scelte può essere effettuata in nm modi distinti
ed è motivato dalla nota
Proposizione 1.1 Siano A e B due insiemi finiti di ordine n e m rispettivamente
Allora
A x B = A.B= nm .
Il "principio di moltiplicazione delle scelte" (anche nella sua forma estesa a più di
due scelte) ci permette di risolvere molti problemi combinatorici .
Esempi 1.2
1) Usiamo il metodo delle scelte per dimostrare la
Proposizione 1.2 Sia I un insieme finito di ordine n . Allora P(I) ha 2n elementi .
Dimostrazione . Sia I = {a1,…,an} . Vogliamo contare i modi per costruire un
sottoinsieme A di I . Ogni elemento di I può appartenere o non appartenere ad A ,
cioè abbiamo due possibilità di scelta per ogni ai , i = 1,…,n . Vi sono quindi
2.2.….2 = 2n modi per costruire A da cui la tesi .
2) Contiamo le diagonali di un poligono convesso di n lati .
Osserviamo che ognuno degli n vertici può essere scelto come primo punto di una
diagonale , mentre dobbiamo escludere come scelta per il secondo punto il vertice in
questione e i due a lui adiacenti . Abbiamo dunque n scelte per il primo punto di ogni
diagonale ed n – 3 scelte per il secondo punto .Il prodotto delle scelte deve poi essere
n (n − 3)
.
diviso per due . Dunque le diagonali di un n-gono sono
2
3) Quanti numeri di sei cifre hanno almeno una cifra pari ?
Abbiamo dieci cifre ( 0,1,…,9 ) : di queste ve ne sono cinque pari ( 0,2,4,6,8 ) e
cinque dispari ( 1,3,5,7,9 ) . Vi sono 9 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 900000 numeri con sei
cifre (per la prima cifra devo escludere lo 0 e quindi ho 9 scelte anziché 10) e15625
numeri con sei cifre tutte dispari. I numeri di sei cifre aventi almeno una cifra pari
sono quindi 900000 – 15625 = 884375 .
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CAPITOLO 2
Corrispondenze e funzioni
2.1 Corrispondenze tra insiemi
2.2 Funzioni tra insiemi finiti
2.1 Corrispondenze tra insiemi
Definizione 2.1.1 Si definisce corrispondenza dell’insieme I nell’insieme I’ un
sottoinsieme F del prodotto cartesiano I x I’.
F esprime un "legame" tra gli elementi di I e gli elementi di I’ : precisamente dice
che l’elemento x di I è legato all’elemento x’ di I’ se e solo se la coppia ordinata
(x,x’) appartiene a F. Diciamo allora che x’ è una immagine di x nella
corrispondenza F e che x è una controimmagine di x’nella corrispondenza F .
I è detto dominio della corrispondenza.
I’ è detto codominio della corrispondenza.
Esempio 2.1.1 Dati I ={a,b,c} e I’ = {1,2,3} è una corrispondenza di I in I’ l’insieme
F = {(a,2),(c,3), (c,2)}.
Definizione 2.1.2 Una corrispondenza è detta :
funzionale se ogni x di I ha al più una immagine
ovunque definita se ogni x di I ha almeno una immagine
iniettiva se ogni elemento di I’ ha al più una controimmagine ( o equivalentemente
se elementi distinti hanno immagini distinte )
suriettiva se ogni elemento di I’ ha almeno una controimmagine .
La corrispondenza dell’esempio 2.1.1 non ha nessuna di queste proprietà .
Le corrispondenze più importanti sono quelle ovunque definite e funzionali : esse
sono dette funzioni e sono i sottoinsiemi F di I x I’ in cui ogni elemento x di I è
primo elemento di una e una sola coppia .
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Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
Il concetto di funzione è basilare in matematica ; ne diamo un’altra definizione
equivalente alla precedente .
Definizione 2.1.3 Dato un insieme I (detto dominio) e un insieme I’ (detto
codominio ) , una funzione f di I in I’ è una legge che associa ad ogni elemento di I
uno ed un solo elemento di I’ . Scriveremo
f : I→ I’
e per indicare che x viene mandato in x’scriveremo x → x’ oppure
f(x) = x’.
x’ è detto l’ immagine di x ; x è detta una controimmagine di x’ .
La legge f sopra definita, come sottoinsieme di I x I’, è l’insieme
F = {(x,x’) x’ = f(x)}.
F viene in tal caso detto grafo (o grafico) di f . Nel caso di funzioni reali di variabile
reale l’insieme F è l’insieme dei punti appartenenti al grafico della funzione nel
piano cartesiano .
Osservazione 2.1.1 In qualche caso una funzione può essere identificata con la
sequenza delle immagini degli elementi del dominio : è il caso , per esempio, delle
successioni ( o progressioni ), su cui torneremo nel seguito .
Richiamiamo ancora la composizione di funzioni :
Definizione 2.1.4 Date due funzioni f : I → I’ e g : I’ →I" si dice funzione
composizione (o funzione composta) di f e di g la funzione g ° f di I in I” così definita
(g ° f )(x) = g(f(x)) .
In termini di grafo , indicati con F e G i grafi di f e g rispettivamente e con H il grafo
della loro composizione , abbiamo
H = { ( x,x”) ∈I x I” ∃ x’∈ I’ , (x,x’)∈ F e (x’,x”)∈G } .
E’ immediato verificare che la composizione di due funzioni è una operazione
associativa e che la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva , di due
suriettive è suriettiva . Da ciò segue che la composizione di due biiezioni è ancora
una biiezione .
Data una biiezione f , la sua funzione inversa secondo la
Definizione 2.1.5 Se f : I → I’ è una biiezione , si definisce inversa di f la funzione
f - 1 : I’ → I che associa ad ogni x’ di I’ l’unico x tale che f(x) = x’
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è ancora una biiezione .
Sono esempi di biiezioni le permutazioni di n oggetti che tratteremo in seguito .
2.2 Funzioni tra insiemi finiti
Ogni insieme finito con n elementi A = {a1, … ,an } è in corrispondenza biunivoca
con l’insieme In = { 1 ,2 , … , n }( suo insieme di indici ) , quindi è sufficiente
ragionare con tali insiemi .
Enunciamo alcune proprietà di tipo combinatorico .
Proposizione 2.2.1 Le corrispondenze tra In e Im sono 2nm .
Dimostrazione . Le corrispondenze sono tante quante i sottoinsiemi del prodotto In x
Im , che sono 2nm .
Proposizione 2.2.2 Le funzioni di In in Im sono mn .
1° dimostrazione . Con l’induzione su n .
Se n=1, si hanno m = m1 funzioni di I1 in Im , poiché una singola funzione è
assegnata dando l’immagine di 1 .
Supponiamo vera la proprietà per n e proviamola per n + 1 .
Una funzione f di In+1 in Im si ottiene dando una funzione g di In in Im ed una
immagine ad n + 1 .
Poichè le g, per l’ipotesi induttiva, sono mn ne segue che vi sono mn funzioni che
mandano n + 1 in 1 , mn funzioni che mandano n + 1 in 2 , … , mn funzioni che
mandano n + 1 in m cioè m . mn = mn+1 funzioni di In+1 in Im .
2° dimostrazione . Con il metodo delle scelte .
Dare una funzione di In in Im significa dare f(1) ,f(2),…,f(n) . Per f(1) ho m scelte ,
tante quanti sono gli elementi del codominio , per f(2) ho ancora m scelte ,…, così
per f(n) . In totale avrò m m ...m = mn scelte .
Osservazione 2.2.1 Diamo la traccia di un'altra dimostrazione della proposizione
1.2
I= n ⇒P(I)=2n
che usa quanto sopra dimostrato .
Per ogni sottoinsieme A di I , sia ϕA : I→{0,1} la funzione così definita :
ϕA(x) = 0 , se x∉A
ϕA(x) = 1 , se x∈A .
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Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
ϕA è detta la funzione caratteristica di A .
Sia f : P(I) →{ funzioni di I in {0,1}} la funzione così definita : f(A) = ϕA .
Si prova che f è una biiezione e da questo segue che l’ordine di P(I) è pari all’ordine
dell’insieme delle funzioni di un insieme con n elementi in un insieme con 2
elementi , che abbiamo provato essere 2n .
Osservazione 2.2.2 Una funzione di un insieme con n elementi in un insieme di m
elementi può essere vista come una n-pla ordinata di elementi scelti tra m , con
possibilità di ripetizioni . Per questo motivo tali funzioni sono anche dette
disposizioni con ripetizione : per quanto provato sopra il numero delle disposizioni
con ripetizione di m elementi a n a n è mn .
Esempio 2.2.1 Le funzioni di I3 in I2 sono identificabili con le 8 terne
(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2) , (2,1,1) , (2,1,2) , (2,2,1) , (2,2,2) . La prima è la
funzione costante di valore 1 , la seconda è la funzione che manda 1 in 1, 2 in 1,3 in
2 , … , l’ultima è la funzione costante di valore 2 .
Esempio 2.2.2 Vogliamo calcolare il numero delle colonne tra loro diverse che si
possono giocare al totocalcio . Come è noto , il gioco consiste nell’assegnare uno dei
tre simboli 1 , x , 2 ad ognuna delle 13 partite . Ogni colonna può essere identificata
con una sequenza ordinata di elementi scelti tra 1,x,2 e quindi con una funzione di un
insieme con 13 elementi (le tredici partite) in un insieme con 3 elementi (i tre
simboli citati) . Le colonne possibili sono quindi 313 = 1594323 .Giocando tutte
queste colonne si ha la certezza del tredici (purtroppo con una spesa superiore alla
vincita !!) .
Proposizione 2.2.3 Sia f una funzione di In in Im .
i)
ii)
iii)
Se f è iniettiva , n ≤ m
Se f è suriettiva , n ≥ m
Se n = m , f è biiettiva se e soltanto se f è iniettiva o suriettiva .
Tralasciamo la dimostrazione della proprietà 2.2.3 , intuitiva ma non banale .
Osserviamo che la proposizione contrapposta di i) (ad essa logicamente equivalente):
se n > m ,allora f non è iniettiva è detta principio dei cassetti (o principio delle
gabbie dei piccioni ) e può venire così riformulata (chiamando oggetti gli elementi di
In e cassetti le loro immagini ) :
se in m cassetti (gabbie) ho n > m oggetti (piccioni) , qualche cassetto (gabbia)
contiene almeno 2 oggetti(piccioni).
La proprietà iii) ci dice anche che non possono esistere biiezioni tra insiemi finiti di
ordini diversi , quindi , in particolare, tra un insieme finito e un suo sottoinsieme
proprio .
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Al contrario , un insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con
un suo sottoinsieme proprio : per esempio la funzione f : Z → 2Z , f(x) = 2x è
una corrispondenza biunivoca tra l’insieme Z dei numeri interi relativi e il suo
sottoinsieme proprio 2Z (insieme dei numeri relativi pari).
Osservazione 2.2.3 Il principio dei cassetti può essere esteso , diventando il
Principio generale dei cassetti ( o delle gabbie dei piccioni ) :
Se ho nk + 1 oggetti da riporre in n cassetti , qualche cassetto contiene almeno k + 1
oggetti.
Per k = 1 , si ritrova il principio enunciato prima ( se ho n + 1 oggetti in n cassetti ,
qualche cassetto ne contiene almeno 2 ) .
La dimostrazione per assurdo di questa proposizione è la seguente : se ogni cassetto
contenesse al più k oggetti , avremmo al più nk oggetti , contro l’ipotesi .
Esempio 2.2.3 Dobbiamo riporre 25 mele in 3 ceste : 25 = 3.8 + 1 . Usando il
principio generale dei piccioni con n = 3 e k = 8 , avremo che qualche cesta contiene
almeno 8 + 1 = 9 mele
Proposizione 2.2.4 Siano A e B due insiemi finiti dello stesso ordine n . Le biiezioni
tra di essi sono n! .
1° dimostrazione . Con l’induzione .
Sia n = 1 ( base dell’induzione ) . Se A e B hanno un elemento ciascuno l’unica
biiezione è quella che li fa corrispondere ( e 1 = 1! )
Ipotesi induttiva : supponiamo di sapere che tra due insiemi di ordine n-1 vi sono (n1)! biiezioni . Sia ora A di ordine n : una biiezione di A in B (anch’esso di ordine n )
si ottiene dando una biiezione su n-1 elementi e dando l’immagine dell’elemento
rimasto : si hanno così (n-1)! biiezioni con la stessa immagine per il primo elemento
di A , (n-1)! con la stessa immagine per il secondo elemento di A ,…, (n-1)! con la
stessa immagine per l’n-simo elemento di A .
In totale le biiezioni cercate sono n . (n-1)! = n ! .
2°dimostrazione . Con il metodo delle scelte .
Per individuare una biiezione , noti il dominio e il codominio , basta assegnare le n
immagini degli n elementi del dominio . Ora , per l’immagine del primo elemento di
A abbiamo n scelte (qualunque elemento di B) , per l’immagine del secondo
elemento di A abbiamo n-1 scelte ( per l’iniettività ) , … , per l’immagine dell’nsimo elemento di A la scelta è unica . Si possono dunque effettuare n! scelte : ad
ognuna corrisponde una diversa biiezione di A in B .
Nel caso in cui i due insiemi A e B coincidano , le biiezioni di A in se stesso
vengono dette permutazioni di A . Abbiamo così il
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Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
Corollario 2.2.1 Le permutazioni di un insieme di ordine n sono n!
Per comodità di scrittura poniamo , nel seguito , A = In ( identifichiamo in pratica gli
elementi dell’insieme con i loro indici ) e facciamo alcune considerazioni .
Ricordiamo che è notazione standard indicare con
2 . . . n 
 1


f
(
1
)
f
(
2
)
.
.
.
f
(
n
)


la biiezione f che manda 1 in f(1) , 2 in f(2), … , n in f(n) .
Così , per esempio , per n = 4 , la scrittura
 1 2 3 4


 4 1 2 3
rappresenta la biiezione che manda 1 in 4 , 2 in 1 , 3 in 2 e 4 in 3 .
Con questa notazione diventa semplice comporre due permutazioni e trovare
l’inversa di una permutazione . Vediamolo su un esempio .
Esempio 2.2.4 Sia n = 4 e siano f la permutazione precedente e g la seguente :
 1 2 3 4


 2 1 4 3
g ° f è la permutazione che otteniamo applicando i due fattori successivamente (prima
f poi g): possiamo pensare di scrivere su tre righe , omettendo poi il passaggio
intermedio :
 1 2 3 4


 4 1 2 3
 3 2 1 4


da cui troviamo la composizione cercata :
1 2 3 4


3 2 1 4
L’inversa di una permutazione si ottiene scambiando le due righe e riordinando poi le
colonne in modo che la prima riga diventi la riga 1 2 3 4 .
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Scambiando le righe di f , abbiamo :
.
 4 1 2 3


 1 2 3 4
e, riordinando le colonne , abbiamo f -1 :
 1 2 3 4


2 3 4 1
Ricordando che la composizione di funzioni è un operazione associativa e non
commutativa , si ha la
Proposizione 2.2.5. L’insieme di tutte le permutazioni di un insieme di ordine n ,
rispetto all’operazione di composizione , è un gruppo non abeliano .
Tale gruppo , che ha un’ importanza fondamentale all’interno della teoria dei gruppi ,
si indica solitamente con il simbolo Sn e si chiama gruppo simmetrico(totale) :
abbiamo provato che esso ha ordine n! .
Se scriviamo le n! permutazioni dei numeri da 1 a n , vediamo che nella seconda riga
delle tabelline abbiamo scritto gli n numeri in tutti gli ordini possibili esattamente
una volta : abbiamo ordinato (allineato ) in tutti i modi possibili i nostri elementi .
Possiamo dedurre che n oggetti distinti possono essere ordinati in n! modi possibili .
Si dice quindi, per estensione, permutazione di n oggetti distinti un qualunque loro
ordinamento o allineamento . Questi ordinamenti si ottengono uno dall’altro
permutando gli n oggetti e la teoria svolta ci dice che ne otteniamo in totale n!
(corrispondenti alle seconde righe delle tabelline precedenti ) . Si scrive anche
Pn = n!
per indicare il numero totale delle permutazioni di n oggetti distinti .
Esempio 2.2.5 Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioni di 3 palline di colore B
(bianco), R (rosso), V (verde) .
Abbiamo due allineamenti che mettono la pallina B al primo posto , altrettanti per R
e V (stiamo usando il procedimento induttivo usato nella dimostrazione della
proposizione 2.2.4)
BRV BVR RVB RBV VBR VRB.
Esercizio 2.2.1 Quanti sono gli anagrammi della parola madre ? E della parola
mamma ?
Osserviamo che si definisce alfabeto un insieme finito di simboli e, dato un certo
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Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
alfabeto (qui si tratta dell’alfabeto latino di 26 lettere), si definisce parola un
qualunque allineamento dei suoi simboli . Il numero di simboli è detto lunghezza
della parola. Se n è l’ordine dell’alfabeto, le parole di lunghezza m sono in totale nm .
Non è richiesto quindi che la parola che si ottiene anagrammando madre abbia un
significato nella lingua italiana , né che ne segua le regole grammaticali .
Dobbiamo quindi contare in quanti modi si possono allineare le cinque lettere
m,a,d,r,e . I modi sono tanti quante le permutazioni di 5 oggetti , cioè 5! = 120 .
Osserviamo che , in generale , gli anagrammi di una parola con n lettere distinte sono
n!
Nella parola mamma vi sono invece delle lettere ripetute , due a e tre m : gli
5!
. Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che
anagrammi saranno
2!3!
ha due lettere ripetute ) a mamme ( che ha una sola lettera ripetuta ) e da mamme a
madre (che ha tutte lettere distinte) . Gli anagrammi di mamme sono la sesta parte di
quelli di madre : da ogni anagramma di mamme ne ottengo 6 = 3! di madre
sostituendo nelle posizioni delle tre m i 3! anagrammi della parola mdr . A loro volta
gli anagrammi di mamme sono il doppio (2 = 2!) di quelli di mamma ( ogni
anagramma di mamma ci dà due anagrammi di mamme sostituendo al posto delle
due a i due anagrammi di ae ) .
Osservazione 2.2.4 Si chiama permutazione con ripetizione di n oggetti a1, a2 ,…, an
di cui a1 preso r1 volte , a2 preso r2 volte , … , an preso rn volte ogni (r1 + r2 +…+ rn ) –
upla in cui a1 compare r1 volte , a2 compare r2 volte , …, an compare rn volte .
Il numero totale di questi allineamenti è
(r1 + r 2 + ...rn )!
r1! r 2!...rn!
Osserviamo che tale numero ci dà il numero delle funzioni suriettive di un insieme
di ordine r1 + r2 +…+ rn nell’ insieme di ordine n {a1, a2 ,…, an } aventi la proprietà
che r1 elementi hanno immagine a1, r2 elementi hanno immagine a2 , … , rn elementi
hanno immagine an . Da qui si ottiene che l'ordine dell'insieme J delle suriezioni di Im
(m = r1 + r2 +…+rn) in In è dato da
∑
(r1 + r 2 + ...rn )!
r1! r 2!...rn!
dove la somma è fatta su tutte le n-ple di interi non negativi (r1 , r2 ,…,rn) con r1 + r2
+…+rn = m .
Il numero
(r1 + r 2 + ...rn )!
r1! r 2!...rn!
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13
viene anche indicato con il simbolo


 r1


rn 
m
r2
.
.
.
e viene detto coefficiente multinomiale .
Osserviamo che, per n = 2 , si trovano i coefficienti binomiali :


 r1
m

=
r2 
m m
  =  
 r1   r2 
Quindi
J  =
∑


 r1
m
r2
.
.
.

.
rn 
I coefficienti multinomiali sono legati ai numeri di Stirling di secondo tipo, indicati
generalmente con il simbolo S(n,k) e definiti ricorsivamente nel modo seguente :
S(n,1) =1 , S(n,n) = 1
(2≤ k ≤ n-1) .
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k)
Si prova infatti che , con le notazioni precedenti,
J  =
∑


 r1
r2
m
.
.
.

 = n!S(m,n) .
rn 
I numeri di Stirling si possono rappresentare mediante una tabella infinita detta
triangolo di Stirling avente come riga n-esima
S(n,1) S(n,2) … S(n-1,n) S(n,n) .
Tutti i numeri che appartengono alla prima o all'n-esima colonna valgono 1, mentre
l'elemento dell'n-esima riga e della k-esima colonna , 2≤ k ≤ n-1, è dato dalla formula
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
Indichiamo le prime 7 righe del triangolo di Stirling
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14
Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
1
11
131
1 7 6 1
1 15 25 10 1
1 31 90 65 15 1
1 63 301 350 140 21 1 .
Osservazione 2.2.5 A partire dai numeri di Stirling si definiscono altri numeri
famosi : i numeri di Bell.
Definizione 2.2.1 Si definisce n-esimo numero di Bell il numero
B(n) =
n
∑ S(n, k)
k =1
L'n-esimo numero di Bell è quindi la somma di tutti gli elementi della riga n-esima
del triangolo di Stirling.
Ecco i primi 7 numeri di Bell (basta sommare i numeri delle 7 righe del triangolo
riportato sopra)
B(1) = 1
B(2) = 2
B(3) = 5
B(4) = 15
B(5) = 52
B(6) = 203
B(7) = 877 .
Osservazione 2.2.6 Il numero di Stirling S(n,k) è , per definizione, il numero delle
partizioni di un insieme di ordine n in k blocchi . Partendo dalla definizione , non è
difficile provarne la formula ricorsiva e il legame con il numero di suriezioni da un
insieme di ordine n in un insieme di ordine k (cfr [3]) . Quindi l'n-esimo numero di
Bell B(n) dà il numero di tutte le possibili partizioni di un insieme di ordine n .
Daremo la formula ricorsiva di questi numeri nel paragrafo 4.4 del quarto capitolo .
Proposizione 2.2.6 Sia A un insieme di ordine k e B un insieme di ordine n . Vi
sono
Dn,k = n(n-1)…(n-k+1) =
n!
(n − k )!
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15
funzioni iniettive di A in B .
1° dimostrazione . Per induzione su k .
Base dell’induzione . Sia k = 1. Se l’insieme A ha un solo elemento , si hanno
evidentemente n funzioni iniettive di A in B e Dn,1 = n .
Ipotesi induttiva . Supponiamo di sapere che se A ha k elementi vi sono Dn,k funzioni
iniettive di A in B .
Sia ora A di ordine k+1 . Abbiamo aggiunto ad A un elemento : per ognuna delle
funzioni iniettive già considerate ne otteniamo n-k di A in B perché k elementi di B
sono già immagini di elementi di A (per l’iniettività elementi distinti devono avere
immagini distinte) , quindi abbiamo la relazione
Dn,k+1 = Dn,k . (n-k) = n.(n-1).….(n-k+1)(n-k) =
n!
(n − k − 1)!
2° dimostrazione. Con il metodo delle scelte.
Sia A = {a1, … , ak }. Contiamo in quanti modi si può costruire una funzione iniettiva
f:A→B.
Per f(a1) si hanno n scelte (f(a1) può essere uno qualunque degli elementi di B), per
f(a2) si hanno n-1 scelte (f(a2) deve essere diversa da f(a1) per l’iniettività) , … , per
f(ak) si hanno n-k+1 scelte . Si hanno quindi n(n-1) … (n-k+1) = n!/(n-k)! modi di
costruire una funzione iniettiva di A in B e , quindi ci sono Dn,k funzioni iniettive di
A in B .
Osservazione 2.2.7 Se A = B ( e quindi n = k) ogni funzione iniettiva di A in A è
una biiezione e Dn,n = n!/0! = n! = Pn diventa il numero delle permutazioni di n
oggetti distinti .
Osservazione 2.2.8 Il numero Dn,k può essere visto come il numero di modi in cui si
possono allineare (ordinare,disporre) k oggetti presi in un insieme di n : possiamo
pensare al dominio A come a un insieme di k caselle e far corrispondere a ciascuna
di esse l’oggetto che la occupa , oggetto preso dall’insieme B . Così , per esempio, se
B è l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) le
disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 3!/1!=6 , e precisamente,
sono gli allineamenti
VR,RV,VN,NV,RN,NR
che corrispondono alle sei funzioni iniettive di A = {a1, a2 } in B = {V, R, N }
seguenti :
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16
Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
f(a1) = V, f(a2) = R
f(a1) = R, f(a2) = V
f(a1) = V, f(a2) = N
f(a1) = N, f(a2) = V
f(a1) = R, f(a2) = N
f(a1) = N, f(a2) = R .
Definizione 2.2.2 Si dice disposizione ( di n oggetti a k a k ) una funzione iniettiva
di un insieme di ordine k in un insieme di ordine n .
Abbiamo provato che il numero totale delle disposizioni di n oggetti a k a k è
Dn,k =
n!
(n − k )!
Terminiamo ricordando un altro argomento importante del calcolo combinatorio ,
quello relativo alle combinazioni di n oggetti a k a k , e il suo legame con le
disposizioni .
Definizione 2.2.3 Sia A un insieme di ordine n . Si dice combinazione di n oggetti a
k a k ( o di classe k ) ogni sottoinsieme di ordine k di A .
Il numero delle combinazioni di n oggetti a k a k si indica con la notazione Cn,k . Dato
un insieme di ordine n , esso possiede Cn,k sottoinsiemi con k elementi .
Osservazione 2.2.9 Il numero Cn,k si ottiene dal numero Dn,k delle disposizioni
semplici di n oggetti a k a k e dal numero Pk delle permutazioni di k elementi
mediante le seguenti considerazioni : il numero delle disposizioni semplici di n
oggetti a k a k ci dà il numero di tutte le k-ple (ordinate) di tali oggetti , mentre Pk ci
dà il numero degli ordinamenti degli oggetti di ciascuna di esse . Un sottoinsieme di
ordine k si ottiene quindi da k ! k-ple di oggetti , per cui vale la relazione :
C n ,k =
D n ,k
Pk
=
n
n!
=  
(n − k )!k!  k 
Esempio 2.2.6 Se B è l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R),
nero (N) le disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 3!/1!= 6 ,e,
precisamente, sono gli allineamenti
VR,RV,VN,NV,RN,NR
Le combinazioni di queste tre palline a due a due sono tre : corrispondono ai tre
sottoinsiemi seguenti ( che scriviamo senza parentesi e virgola )
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17
VR,VN,RN .
Usando la definizione di combinazione e l’uguaglianza
n
Cn,k =  
k
si dimostrano senza calcoli le proprietà dei coefficienti binomiali .
n
n
  =   = 1 può essere motivata osservando che ci sono
0
n
solo un sottoinsieme con 0 elementi (l’insieme vuoto ) e uno con n (tutto l’insieme) .
n  n 
 basta osservare che quando scegliamo k elementi
Per dimostrare che   = 
k n − k
tra n, isoliamo automaticamente i restanti n-k . La formula di Stifel
Così la proprietà
n
  =
k
 n − 1  n − 1

 + 
 1 ≤ k ≤ n-1
 k   k − 1
 n − 1
 sottoinsiemi
si ottiene osservando che , fissato un elemento tra gli n , vi sono 
 k 
 n − 1
 che lo contengono ( quest’ultimo
di ordine k che non lo contengono e 
 k − 1
numero si calcola escludendo l’elemento fissato e contando il numero dei
sottoinsiemi di k-1 elementi che si possono formare con gli n-1 elementi rimasti ) .
Su tale formula è basato lo schema che permette di calcolare ricorsivamente i
coefficienti binomiali , il triangolo di Tartaglia :
1
1
1
1
1
…
...
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4
…
1
6
…
…
1
3
4
…
n
  …
1
1=  
…
2
3
...
n
0
1
…
1
…
...
n
  …
k
...
…
n
  =1
n
…
…
18
Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
Sempre per il significato combinatorico dei coefficienti binomiali , nel triangolo di
Tartaglia la somma dei numeri della riga n-sima ci dà l’ordine dell’insieme delle
parti di un insieme di ordine n , 2n (proposizione 1.2) .
Anche la formula del binomio di Newton
(a+b)n =
n
∑
o
 n  n-k k
  a b
k
può essere ottenuta con considerazioni di tipo combinatorico : svolgendo i conti in
(a+b)n = (a+b)(a+b)…(a+b)
si ottiene una somma di n+1 addendi , ognuno dei quali è un prodotto di n copie di a
o di b in cui se a compare n- k volte , b compare k volte . Il coefficiente di an-kbk è
dato dal numero dei fattori in cui ci sono n-k a , e quindi k b (ricordiamo che vale la
n
proprietà commutativa del prodotto) : questo numero è   , in quanto è il numero di
k
modi in cui possiamo scegliere k binomi (a+b) tra gli n totali .
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19
CAPITOLO 3
Successioni e relazioni ricorsive
3.1 Definizioni ed esempi
3.2 Successioni aritmetiche e geometriche
3.3 La successione di Fibonacci
3.4 Relazioni ricorsive lineari
3.1 Definizioni ed esempi
Definizione 3.1.1 Si dice successione a valori in un insieme C una funzione a avente
come dominio l’insieme N (o N - {0})
Si scrive :
a(0), a(1), …, a(n), …
o, come è più abituale,
a0, a1, …, an, …
Negli esempi più usati il codominio C è l'insieme R dei numeri reali .
Esempi 3.1.1
1) La successione
1,2,22,23,…,2n,…
è il modo usuale per rappresentare la funzione f : N → R , f(n) = 2n . f è iniettiva e
non suriettiva .
2) La funzione f : N → R , f(n) = 2n individua la successione dei numeri pari
0,2,4,6,…
Una successione a0 ,a1,…,an,… può essere individuata anche mediante una relazione
che lega an ad alcuni suoi predecessori a0 ,a1,…,an-1( detta relazione ricorsiva ) e da
una o più condizioni iniziali .
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20
Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
Esempi 3.1.2
1) La successione 1) degli esempi 3.1.1 è data ricorsivamente dalla relazione an =
2an-1 e dalla condizione iniziale a0 = 1 . La successione 2) è invece individuata
dalla relazione ricorsiva an = an-1+2 e dalla condizione iniziale a0 = 0 .
2) La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n>2, unitamente alle condizioni iniziali F1 =
F2 = 1 individua la nota successione 1,1,2,3,5,8,13,… di Fibonacci , su cui torneremo.
3) La successione di numeri 1,3,7,15,31,63,… ci dà le immmagini della funzione f(n)
= 2n - 1, di dominio N - {0} . La stessa successione è individuata ricorsivamente
dalla relazione mn = 2mn-1 + 1 e dalla condizione iniziale m1 = 1 ed è la risposta del
problema della torre di Hanoi :
il gioco della torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese E.Lucas nel 1883 e
da allora è venduto come giocattolo . Il gioco consiste in un supporto piano dotato di
tre pioli A,B,C e di n dischi ( 8 nella versione " classica " in figura) di diverso
diametro infilati in uno di questi pioli e aventi diametro decrescente dal basso verso
l'alto . Si chiede di trasferire gli n dischi , nello stesso ordine , ad uno qualunque dei
due pioli liberi secondo le seguenti regole :
a) i dischi devono essere mossi uno per volta , usando uno dei due pioli liberi come
"intermediario"
b) un disco non può mai trovarsi su uno di diametro minore .
Ci chiediamo qual è il numero minimo mn di mosse necessarie per terminare il gioco
E' ovvio che nel caso di un unico disco occorra una sola mossa , cioè m1= 1 .
Per capire il meccanismo ricorsivo , osserviamo che se abbiamo due dischi sul piolo
A possiamo risolvere il gioco spostando il disco piccolo sul piolo B , il disco grande
sul piolo C e infine il disco piccolo sul piolo C , cioè m2 = 3 = 2m1 + 1 .
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21
Se abbiamo n dischi , con mn-1 mosse muoviamo n-1 dischi su un piolo libero , con
una mossa spostiamo il disco base sull'altro piolo, e con mn-1 mosse riposizioniamo
su di esso la torre degli n-1 dischi , ottenendo così la relazione ricorsiva
mn = 2mn-1 + 1 .
Per ottenere una formula esplicita per mn , procediamo per iterazione :
mn = 2mn-1 + 1 =
= 2 ( 2mn-2 + 1) + 1 =
= 22mn-2 + 2 + 1 =
= 22 ( 2mn-3 + 1) + 2 + 1 =
= 23 mn-3 + 22 + 2 + 1 =
…………………………….
= 2n-1 mn-(n-1) + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 =
= 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 =
= 2n - 1 .
L'ultima uguaglianza segue dalla formula della somma dei primi n termini di una
successione geometrica (vedi l' esempio 1.1 del Capitolo 1 ) .
Al gioco della torre di Hanoi è associata la leggenda seguente : nella città indiana di
Benares i sacerdoti del tempio di Brahma devono spostare con le regole dette i 64
dischi d'oro della torre di Brahma . Il mondo terminerà alla fine del lavoro dei
sacerdoti . Dai conti fatti occorrono m64 = 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615
mosse e , calcolando una mossa per microsecondo ( 10-6secondo) , oltre 5000 secoli
per spostare la torre!
4) Ricordiamo che, dato un insieme I di ordine n, abbiamo indicato con B(n) il
numero di tutte le sue possibili partizioni (cap 2. Osservazione 2.2.6 ). B(n) è detto
l'n-esimo numero di Bell dell'insieme I . Partendo da questa definizione dei numeri di
Bell, proviamo la relazione ricorsiva che li lega .
Proposizione 3.1.1 Siano B(n-i) e B(n) l'(n-i)-esimo e l'n-esimo numero di Bell
dell'insieme I di ordine n ≥ 1 . Si ha
B(n) =
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n
 n − 1
1

∑  i − 1  B(n-i) .

Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
22
Dimostrazione . Sia I di ordine n . Data una sua partizione P , l'elemento a di I
appartiene ad uno e uno solo dei sottoinsiemi A di P . Ciò significa che ogni
partizione di I è determinata univocamente dal sottoinsieme A che contiene a e da
una partizione di I - A . Notiamo che l'ordine i dell'insieme A è compreso tra 1 e n (i
 n − 1
 modi (tanti sono infatti i
≠ 0 perché A ≠ ∅) . A può essere scelto in 
 i −1 
sottoinsiemi di I che contengono a ) , mentre le partizioni di I - A , che ha ordine n - i
sono B(n-i) . Dunque , per ogni i , 1≤ i ≤ n , vi sono esattamente
 n − 1

 B(n-i)
 i −1 
partizioni di I nelle quali a appartiene ad un elemento A di ordine i . Ne segue che le
partizioni distinte di I sono
B(n) =
n
 n − 1
1

∑  i − 1  B(n-i) .

 2
 2
 2
Calcoliamo, per esempio, B(3) . B(3) =   B(0) +   B(1) +   B(2) = 1 + 2 + 2
0
1
 2
= 5 (osserviamo che B(0) vale 1, in quanto l'insieme vuoto ha una partizione, quella
avente come insieme se stesso).
Osserviamo che negli esempi 1 e 3 è possibile calcolare il termine n-simo usando
soltanto il termine precedente , mentre nell'esempio 2 il termine n-simo si calcola a
partire dai due termini che lo precedono : le relazioni ricorsive del primo tipo sono
dette del primo ordine, quella dell'esempio 2 è detta del secondo ordine . Per
calcolare invece B(n) (esempio 4) occorre conoscere gli n numeri di Bell
B(0),B(1),…,B(n-1) .In tal caso si dice che la relazione non ha ordine finito .
Osservazione 3.1.1 Si prova che una relazione ricorsiva di ordine r è univocamente
determinata da r condizioni iniziali per r valori consecutivi , oltre che dalla formula
di ricorrenza .La sola relazione ricorsiva non è sufficiente a determinare l'unicità
della soluzione .
Infatti , per esempio, la relazione di grado due
an = 5an-1 + 6an-2
ha soluzione
an = C12n + C23n , ∀ C1, C2 .
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23
Così sono insufficienti le sole condizioni iniziali : per esempio le condizioni
a0 = a 1 = 0
sono verificate dalle due successioni
an = n(n-1) e an = n2(n-1) .
Ancora, sono insufficienti per l'unicità meno condizioni iniziali del grado : per
esempio le ipotesi
a0 = 0
an = 5an-1 + 6an-2
sono soddisfatte da
a n = 2n
e da
a n = 3n .
Infine , non sono sufficienti r condizioni iniziali non consecutive : la successione
an = 4an-2
a0 = 0 , a2 = 8
ha le soluzioni
an = 2n+1 e an = 2n + (-2)n .
3. 2 Successioni aritmetiche e geometriche
Definizione 3.2.1 . Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale
a0 e ragione d ( d ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :
a(n) = an = a0 + nd .
Esplicitandone le immagini , si ha :
a0 , a0 + d , a0 + 2d ,…, a0 + nd , …
Esempio 3.2.1 La successione dei numeri pari 0,2,4,6,… è la successione aritmetica
di termine iniziale 0 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n . Ne abbiamo già
data la definizione in forma ricorsiva an = an-1 + 2 (n≥1) , a0 = 0 .
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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
24
La successione aritmetica della definizione 3.2.1 si esprime facilmente in forma
ricorsiva ponendo an = an-1 + d (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale .
Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n termini di una tale
successione (dimostrata negli esempi 1.1 del capitolo 1) :
n −1
∑a
i
= na0 +
0
n (n − 1)
d
2
Definizione 3.2.2 Si dice successione (o progressione) geometrica di termine
iniziale a0 e ragione q ( q ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :
a(n) = an = a0qn .
Esplicitandone le immagini , si ha :
a0 , a0q , a0q2 ,…, a0qn, …
Esempio 3.2.2 La successione delle potenze di 2 : 1,2,4,8,16,… è la successione
geometrica di termine iniziale 1 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n . Ne
abbiamo già data la definizione in forma ricorsiva an = 2an-1 (n≥1) , a0 = 1 .
La successione geometrica della definizione 3.2.2 si esprime facilmente in forma
ricorsiva ponendo an = an-1q , (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale .
La formula che dà la somma dei primi n termini di una tale successione (vedi gli
esempi 1.1 del capitolo 1) è :
n −1
∑ a i = a0 .
0
1− qn
.
1− q
Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi
problemi di tipo economico,biologico,medico .
Esempi 3.2.3
1) Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo
n anni, sapendone il valore iniziale s0 e supponendone un aumento annuale pari al 2%
di s0.
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Procedendo ricorsivamente, abbiamo
s(0) = s0
s(1) = s0 +
2
s0
100
…
s(n) = s0 + n
2
s0 .
100
Il problema è descritto da una successione aritmetica di termine iniziale s0 e ragione
2
s0
100
2) Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo .
Alcune sostanze decadono nel tempo , trasformandosi in altre sostanze ; si dice
tempo di dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi . Assumendo
come unità di misura dei tempi T e indicando con Q il numero degli atomi presenti
inizialmente si ha :
Q(0) = Q
Q(1) =
1
Q
2
Q(2) =
1
Q
22
…
Q(n) =
1
Q
2n
Il processo è descritto da una successione geometrica di termine iniziale Q e ragione
1
.
2
3.3 La successione di Fibonacci
La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n ≥ 3, unitamente alle condizioni iniziali F1 =
F2 = 1 individua la nota successione di Fibonacci :
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25
Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
26
1,1,2,3,5,8,13,…
Si tratta del primo esempio conosciuto di relazione ricorsiva : i primi dodici termini
di essa si trovano nel Liber Abbaci (1202) di Leonardo Pisano detto Fibonacci (1170
- 1250) come risposta al seguente problema : quot paria coniculorum in uno anno ex
uno pario germinentur .
Si suppone che una coppia di conigli adulti generi ogni mese una coppia di piccoli
e che questi si riproducano , generando anch'essi una coppia di conigli, a partire dal
secondo mese di vita . Partendo da una coppia di coniglietti, quante coppie ci saranno
nel mese n ? Indichiamo questo numero con F(n) o Fn . Dunque, per le ipotesi fatte
F(1) = 1 ( inizialmente abbiamo una coppia non adulta)
F(2) = 1 (dopo un mese abbiamo ancora una sola coppia)
F(3) = 1 + 1 = F(1) + F(2) (nel 3° mese abbiamo la coppia di partenza, che è
diventata adulta, e la coppia di coniglietti da essa generata)
F(4) = 2 + 1 = F(3) + F(2) (si hanno 2 coppie, quella iniziale e la loro progenie
mensile più la coppia del mese precedente diventata adulta)
.
.
.
F(n) = F(n-1) + F(n-2) ( nel mese n-simo, n >2 , vi sono tutte le coppie del mese
precedente, cioè F(n-1), più le coppie dei piccoli, che sono esattamente tante quante
erano le coppie due mesi prima ,cioè F(n-2)) .
I numeri di Fibonacci sono i valori della successione descritta : i primi dodici sono
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… .
Si pone generalmente F0 = 0, affinchè la relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 sia valida
anche per n = 2 .
Nel disegno che segue è illustrata la situazione fino al quinto mese :
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I numeri di Fibonacci si ritrovano in molte situazioni e compaiono spesso in natura.
Per esempio in molte piante il numero di rami in cui il fusto si ramifica segue uno
schema del tipo seguente
Così i numeri delle spirali dei semi del girasole, dei petali della margherita, delle
foglie del cavolfiore, delle scaglie dell'ananas sono spesso numeri di Fibonacci .
Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
27
Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
28
La letteratura matematica sulle proprietà dei numeri di Fibonacci è molto vasta . Ci
limitiamo ad indicarne alcune proprietà e a darne la formula generale, che
ricaveremo nel prossimo paragrafo .
Proposizione 3.3.1 Per ogni n ≥ 1 , vale l'identità (di Cassini)
Fn+1Fn-1 - Fn2 = (-1)n
Dimostrazione . Per induzione su n . Per n = 1 , si ha F2F0 - F12 = -1 .
Supponiamo che Fn+1Fn-1 - Fn2 = (-1)n e proviamo che Fn+2Fn - F 2n +1 = (-1)n+1 (*).
Da Fn+1 = Fn + Fn-1 , ricaviamo Fn-1 = Fn+1 - Fn e , sostituendo in Fn+1Fn-1 - Fn2 = (-1)n,
troviamo Fn+1( Fn+1 - Fn ) - Fn2 = (-1)n , cioè F 2n +1 - Fn+1Fn - Fn2 = (-1)n =
= F 2n +1 - Fn (Fn+1 + Fn) = F 2n +1 - Fn Fn+2 , che è la (*) cambiata di segno .
Sempre usando l'induzione si possono dimostrare le seguenti formule :
i)
F1 + F2 + F3 + … + Fn = Fn+2 - 1
ii)
F1 + F3 + F5 + … + F2n-1 = F2n
iii)
F2 + F4 + F6 + … + F2n = F2n+1 - 1 .
iv)
Fn =
 n − k − 1
 (cioè, disponendo i coefficienti binomiali del triangolo di
k 
k ≥0 
∑
Tartaglia nel modo seguente
n
0
1
2
3
4
5
6
. . .
n
 
0
1
1
1
1
1
1
. .
. . .
n
 
1
n
 
 2
1
2
1
3
3
4
6
5 10
. . . .
. . . . . .
n
 
 3
1
4
10
. .
. . .
n
 
 4
n
  …
5
1
5
1
. . . . .
. . . . . . . .
si ottengono i numeri di Fibonacci sommando "in diagonale" ).
Proviamo una interessante proprietà combinatorica dei numeri di Fibonacci , che da
taluni autori viene data come definizione (cfr [4]) .
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29
Proposizione 3.3.2 Sia In = {1,2,3,…,n} ⊂ N . Il numero dei sottoinsiemi di In che
non contengono due suoi numeri consecutivi è dato da Fn+2 .
Dimostrazione . Identifichiamo un sottoinsieme A di In con una stringa di lunghezza
n formata con le due cifre 1 e 0 . La cifra 1 indica l'appartenenza di un elemento di In
ad A , la cifra 0 la non appartenenza . Per esempio, per n = 4, la stringa 1010 indica il
sottoinsieme {1,3} dell' insieme I4 = {1,2,3,4} . I sottoinsiemi di In che non
contengono due suoi numeri consecutivi sono dati dalle stringhe che non hanno mai
due cifre 1 consecutive . Consideriamo tra questi quelli di ordine k : la stringa che li
rappresenta contiene k volte la cifra 1 . Per contarli tutti , partiamo da n-k cifre tutte
uguali a 0
0 0 0 ... 0
1442443
n −k
e contiamo in quanti modi possiamo inserire k cifre 1 in modo che due di esse non
siano mai adiacenti . Essendo i posti vuoti disponibili n - k + 1 , le k cifre 1 si
possono inserire in
 n − k + 1

Cn-k+1,k = 
k


modi . Quindi i sottoinsiemi cercati sono
∑
k ≥0
Per la proprietà iv) , Fn =
 n − k + 1

 .
 k 
 n − k − 1
 , il numero cercato è proprio l'(n+2)-simo
k 
k ≥0 
∑
numero di Fibonacci .
La formula generale , che ci permette di determinare il termine n-simo di una
successione in funzione di n , è , nel caso della successione di Fibonacci (vedi
paragrafo 3.4) ,
n
n
1  1 + 5   1 − 5  
 
 −

Fn =
5  2   2  


Ricordiamo che il numero
con la lettera Φ .
1+ 5
è dettorapporto aureo(o sezione aurea) e indicato
2
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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
30
Il numero Φ è un numero molto famoso e molto usato in architettura (prende il nome
dalla lettera iniziale dello scultore greco Fidia), pittura, anatomia e botanica . Fu
introdotto dai pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono
regolare ( o come rapporto tra il lato del pentagono stellato o pentagramma ,simbolo
dei pitagorici, e il lato del pentagono regolare con gli stessi vertici ) :
Il rapporto aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che
a a+b
=
.
b
a
Risolvendo la proporzione, si hanno le due radici
1+ 5
a
a
1
= Φ =
==
e
b
2
b
Φ
1− 5
.
2
Nella figura che segue riportiamo la costruzione geometrica del rapporto aureo :
Si costruisca un quadrato il cui lato AB ha lunghezza a e punto medio M . La
5a
, interseca la retta AB nel punto C.
circonferenza disegnata,di centro M e raggio
2
a
a+b
Il segmento BC ha lunghezza b e = Φ =
.
b
a
Anche le diagonali del pentagono di lato a + b si intersecano in segmenti che danno
luogo alla sezione aurea e generano un pentagono regolare di lato b e diagonali di
lunghezza a (ancora il rapporto aureo) e così all'infinito :
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Dalla forma generale dei numeri di Fibonacci , osservando che quando n è grande Fn
1− 5
Φn
1
1
=
=
si avvicina molto a
perché
< 1 e quindi ( Φ
2
Φ
5
F
1− 5 n
)
diventa esponenzialmente piccolo , si ha che il rapporto n ha come
2
Fn −1
limite (per n → ∞) proprio il numero Φ .
3.4 Relazioni ricorsive lineari
Abbiamo visto nel paragrafo 3.1 che una successione di termine generale an può
essere individuata anche mediante una relazione ricorsiva che lega an ad alcuni suoi
predecessori a0 ,a1,…,an-1 e da una o più condizioni iniziali .
Definizione 3.4.1 Una relazione ricorsiva si dice lineare se esistono funzioni bi(n) ( i =
0, 1,…, n-1 ) e c(n) tali che
an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … + b0(n)a0 + c(n) .
Osservazione 3.4.1 L'aggettivo lineare (di primo grado) si riferisce agli elementi ai
della successione e non ai loro coefficienti .
Definizione 3.4.2 Una relazione ricorsiva lineare an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … +
b0(n)a0 + c(n) si dice omogenea se c(n) = 0 .
Definizione 3.4.3 Una relazione ricorsiva lineare an = bn-1(n)an-1 + bn-2(n)an-2 + … +
b0(n)a0 + c(n) si dice a coefficienti costanti se tutti i coefficienti bi(n) ( i = 0, 1,…,n-1)
sono costanti .
Esempio 3.4.1
1) La relazione ricorsiva an = 2an-1 è lineare , del primo ordine, omogenea e a
coefficienti costanti .
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31
Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
32
2) La relazione ricorsiva an = an-1 + 2 è lineare , del primo ordine, non omogenea e a
coefficienti costanti .
3) La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 è lineare , del secondo ordine, omogenea e a
coefficienti costanti .
4) La relazione ricorsiva an = a n −1 + 2 non è lineare , è del primo ordine , non è
omogenea ed è a coefficienti costanti .
5) Un importante esempio di relazione ricorsiva non lineare è quella che definisce i
numeri di Catalan . Questi numeri, indicati con la notazione C(i) (o Ci), furono
introdotti dallo stesso Catalan nel 1838, per risolvere il seguente problema (già
affrontato da Eulero): in quanti modi diversi si può suddividere in triangoli un
poligono convesso di n +1 lati tracciandone diagonali che non si intersecano? In
figura abbiamo le 5 triangolazioni diverse di un pentagono convesso.Il quesito
posto è equivalente al "problema delle parentesi di Catalan" : in quanti modi è
possibile eseguire un'operazione non associativa su n fattori ai di un insieme A ?
Osserviamo che in presenza di un'operazione non associativa non possiamo
scrivere il prodotto a1a2…an , ma dobbiamo inserire le parentesi . In quanti modi
possiamo farlo ? Per esempio , se moltiplichiamo tre elementi abbiamo le due
possibilità (e quindi al massimo due risultati ) seguenti : (a1a2)a3 e a1(a2a3) , se ne
moltiplichiamo quattro i possibili prodotti sono i seguenti cinque :
(a1a2)(a3a4) , (a1 (a2a3 )a4) , ( (a1a2)a3 )a4 , a1 ((a2a3 )a4) , a1 (a2(a3a4) ) .
Sempre in figura è rappresentata la corrispondenza tra questi due problemi per n =
4.
(a1a2)(a3a4)
a3
a4
((a1a2)a3)a4
(a1(a2a3))a4
a1((a2a3)a4)
a1(a2(a3a4))
a2
a1
Dunque C3 = 2 , C4 = 5 e ovviamente C1 = C2 = 1 .
Per calcolare l'n-simo numero di Catalan, cioè il numero di modi in cui è possibile
scrivere il prodotto non associativo a1a2…an , osserviamo che esso si scrive in
modo unico nella forma pp', dove p è uno dei possibili prodotti a1a2…ai e q è uno
dei possibili prodotti ai+1ai+2…an ( pp' = (a1a2…ai )( ai+1ai+2…an) , 1 ≤ i ≤ n-1 ). Per
ogni i , esistono Ci differenti p e Cn-i differenti p' , quindi Ci Cn-i differenti prodotti
pp' . Abbiamo dunque trovato la relazione ricorsiva non lineare seguente :
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Cn =
33
n −1
∑
Ci Cn-i
, n≥2 .
1
Risolvere una relazione (o equazione) ricorsiva significa trovare una formula che
esprima il termine generale an in funzione di n .
Non esiste un unico metodo per risolvere le equazioni ricorsive (vedi gli esempi 3.4.4).
In molti casi si tratta di un problema ancora aperto . Ci limiteremo ad enunciare i
Teoremi generali relativi alle relazioni ricorsive lineari di grado finito viste negli
esempi .
Teorema 3.4.1 La relazione ricorsiva lineare, del primo ordine, omogenea e a
coefficienti costanti
an = bn-1an-1 , n>m
am = k
ha come soluzione
an = kb nn −−1m , n≥m
Esempio 3.4.2 La relazione ricorsiva an = an-1q , a0 = k ha come soluzione a(n) = an =
kqn , n≥0 ed è la successione geometrica di ragione q e termine iniziale k .
Teorema 3.4.2 La relazione ricorsiva lineare, del primo ordine, non omogenea e a
coefficienti costanti
an = bn-1an-1 + c(n) , n>m
am = k
ha come soluzione
an = b
n −m
n −1
n


 k + ∑ c(i + m)b −n i−1  , n≥m
1


Esempio 3.4.3 La relazione ricorsiva an = an-1 + d, a0 = k ha bn-1 = 1, c(i) = d per ogni i
Come già sappiamo ha soluzione a(n) = an = k + d +…+ d = k + nd, n≥0 ed è la
successione aritmetica di ragione d e termine iniziale k .
Esempi 3.4.4
1) Nel problema della torre di Hanoi, abbiamo risolto direttamente la relazione
ricorsiva an = 2an-1 + 1 ( lineare , del primo ordine , non omogenea e a coefficienti
costanti) , trovando la formula generale
an = 2n - 1 .
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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
34
Tale formula si ritrova ponendo bn-1 = 2 , m = 1, k = 1 , c(i +1) = 1 per ogni i : infatti
n
1 1
1


an =2n-1 1 + ∑ 2 −i  = 2n-1 ( 1 + + + ... + n ) = 2n-1 + 2n-2 + … + 1 = 2n - 1 .
2 4
2
1


2) Vogliamo risolvere la ricorrenza an = an-1 + n , n ≥ 1 , a0 = 1.
Esplicitando i valori abbiamo :
a0 = 1
a1 = a 0 + 1 = 1 + 1
a2 = a 1 + 2 = 1 + 1 + 2
a3 = a 2 + 3 = 1 + 1 + 2 + 3
.
.
.
an = an-1 + n = 1 + 1 + 2 + 3 + … + n .
n (n + 1)
.
2
Allo stesso risultato si arriva ponendo, nella formula risolutiva del Teorema 3.4.2, m =
0 , bn-1 = 1, k = 1, c(i) = i , i = 1, … , n .
e , ricordando la formula di Gauss , an = 1 +
3) Consideriamo la relazione ricorsiva
an = 2an-1 + 2n , n≥1
a0 = 1.
Essa dà luogo alla successione
1, 4, 12, 32, 80,…
In questo esempio abbiamo bn-1 = 2 , c(i) = 2i, k = 1 . Sostituendo in
n


an = b nn −1  k + ∑ c(i)b −n i−1  ,
1


troviamo come soluzione
n


an = 2n 1 + ∑ 2 i 2 −i  = 2n (1 + n) .
1


Questa è la formula generale della successione 1, 4, 12, 32, 80,…, 2n (1 + n),…
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35
Consideriamo ora la relazione ricorsiva che genera i numeri di Fibonacci . In base alle
definizioni precedenti notiamo che si tratta di una relazione ricorsiva lineare, del
secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti. Per questo tipo di relazioni
valgono i seguenti teoremi :
Teorema 3.4.3 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare,del secondo
ordine, omogenea e a coefficienti costanti .
an = rn , r ∈R
ne è una soluzione non identicamente nulla se e solo r è una radice del polinomio
x2 - bn-1x - bn-2
Dimostrazione . Se an = rn è una soluzione non nulla , allora r ≠0, e per ogni n si
ha rn = bn-1rn-1+ bn-2 rn-2 . Dividendo per rn-2 , si trova r2 = bn-1r+ bn-2 .
Viceversa, se r2 = bn-1r + bn-2 , moltiplicando per rn-2 si ha che rn = bn-1rn-1+ bn-2 rn-2 ,
cioè che rn è una soluzione
Definizione 3.4.4 Il polinomio x2 - bn-1x - bn-2 è detto polinomio caratteristico della
relazione ricorsiva an = bn-1an-1+ bn-2an-2 .
Per risolvere la relazione an = bn-1an-1+ bn-2an-2 occorre dunque trovare le radici del suo
polinomio caratteristico . Non abbiamo però menzionato le condizioni iniziali della
relazione ricorsiva . Può succedere che esse non vengano verificate dalle soluzioni
indicate nel teorema , come vediamo nell'esempio che segue .
Esempio 3.4.5 Consideriamo la relazione di ricorrenza
an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3
a1 = 14 a2 = 52
Il suo polinomio caratteristico è x2 - 6x + 8 . Le sue radici sono x = 2 e x = 4 , ma le
soluzioni an = 2n e an = 4n non soddisfano le condizioni iniziali .
Dobbiamo trovare allora altre soluzioni che soddisfino le condizioni iniziali . Vale il
Teorema 3.4.4 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare,del secondo
ordine,omogenea e a coefficienti costanti e ne siano an e a'n due soluzioni . Allora ,
per ogni scelta di numeri C1 e C2 la successione
a"n = C1 an + C2 a'n
ne è una soluzione .
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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
36
Dimostrazione . Basta sostituire l'espressione data nella relazione e verificare che si
ottiene un'identità . Si ha :
a"n - bn-1a"n-1- bn-2a"n-2 = (C1 an + C2 a'n) - bn-1(C1 an-1 + C2 a'n-1) - bn-2(C1 an-2 + C2 a'n-2)
= C1(an - bn-1an-1- bn-2an-2) + C2(a'n - bn-1a'n-1- bn-2a'n-2) = 0 .
Osservazione 3.4.2 Il teorema precedente si generalizza ad equazioni lineari ,
omogenee, a coefficienti costanti di ordine qualunque .
Riprendiamo allora l' esempio 3) degli esempi 3.4.4 : an = 2n e a'n = 4n sono due
soluzioni della relazione ricorsiva an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3 . Il teorema 3.4.4 ci dice che
per ogni scelta di C1 e C2 anche
a"n = C12n + C2 4n
è una soluzione . Abbiamo dunque infinite soluzioni della relazione iniziale e tra
queste cerchiamo l'unica che soddisfi le condizioni iniziali a"1 = 14 a"2 = 52 . Si
ottiene il sistema
C1 + 2C2 = 7
C1 + 4C2 = 13
che ha soluzione C1 = 1,C2 = 3 . Dunque l'unica soluzione della relazione di ricorrenza
an = 6an-1 - 8an-2 , n ≥ 3
a1 = 14 a2 = 52
è an = 2n + 3 . 4n .
Esempio 3.4.6 Consideriamo la relazione di ricorrenza
an = 4an-1 - 4an-2 , n ≥ 3
a1 = a 2 = 1
Il suo polinomio caratteristico , x2 - 4x + 4 = (x - 2)2 , ha la sola radice x = 2 . Il
teorema 3.4.4 ci dice che a"n = C2n è una soluzione per ogni scelta di C , ma non
possiamo scegliere C in modo che sia a1 = 2C = a2 = 4C = 1 . Dobbiamo trovare
un'altra soluzione , indipendente da 2n, per poter avere due costanti C1 e C2 .
Teorema 3.4.5 Sia an = bn-1an-1+ bn-2an-2 una relazione ricorsiva lineare, del secondo
ordine ,omogenea, a coefficienti costanti e tale che il suo polinomio caratteristico
abbia una sola radice r , di molteplicità due . Allora
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37
an = rn
e
a'n = nrn
ne sono due soluzioni .
Dimostrazione . Il teorema 3.4.3 ci assicura che an = rn è una soluzione .
Per provare che anche a'n = nrn è una soluzione , si effettua una semplice verifica ,
basata sul fatto che x2 - bn-1x - bn-2 = 0 ha una radice doppia r se e solo se x2 - bn-1x bn-2 =(x - r )2 , da cui bn-1 = 2r e bn-2 = - r2 . Abbiamo infatti
nrn - bn-1(n -1) rn-1- bn-2(n -2) rn-2 = nrn - 2r(n -1) rn-1 + r2(n -2) rn-2 =
= nrn - 2nrn + 2rn + nrn - 2rn = 0 .
In base a questo teorema , la successione dell' esempio 3.4.6 ha le infinite soluzioni
an = C12n + C2n2n .
Per trovare l'unica che soddisfa le condizioni iniziali , risolviamo il sistema
2C1 + 2C2 = 1
4C1 + 8C2 = 1
trovando C1 =
3
1
e C2 = − e quindi la formula generale , valida per n ≥ 1,
4
4
an =
3 n 1
2 − n2n = (3 - n)2n-2 .
4
4
Abbiamo così trovato un metodo generale per risolvere tutte le relazioni ricorsive di
ordine due, lineari, omogenee e a coefficienti costanti , che si riduce a trovare le radici
del suo polinomio caratteristico, distinguendo il caso in cui vi siano due radici distinte
(reali o complesse) oppure due radici coincidenti, e ad applicare i teoremi precedenti .
Applichiamo tale metodo per scrivere in forma generale la relazione ricorsiva di
Fibonacci :
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(0) = 0 F(1) = 1 .
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Capitolo 3 - Successioni e relazioni ricorsive
38
Il suo polinomio caratteristico è
x2 - x - 1
le cui radici sono
1+ 5
1− 5
e
.
2
2
Dobbiamo dunque determinare C1 e C2 affinchè
n
1+ 5 
1− 5 
 + C2 

F(n) = C1 
 2 

 2 


n
soddisfi le condizioni iniziali.
Otteniamo il sistema
C1 + C2 = 0
1+ 5 
1− 5 
 + C2 

C1 

 2  =1
2




avente soluzione C1 =
1
5
e C2 = -
1
5
.
Dunque la formula generale dei numeri di Fibonacci è la seguente :
n
n
1  1 + 5   1 − 5  
  .
 -

F(n) =
5  2   2  


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39
CAPITOLO 4
Funzioni aritmetiche e funzioni intere
4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative
4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius
4.3 Funzioni intere
4.1 Funzioni aritmetiche moltiplicative
Definizione 4.1.1 Si dice funzione aritmetica una funzione f : N - {0} → Z .
Definizione 4.1.2 Si dice che una funzione aritmetica f è moltiplicativa se :
M.C.D(n,m) = 1 ⇒ f(nm) = f(n)f(m).
Proposizione 4.1.1 Sia f una funzione aritmetica moltiplicativa
p1e1 p e22 …p ehh la decomposizione di n in fattori primi . Si ha
e sia n =
f(n) = f( p1e1 )f(p e22 )…f(p ehh ) .
Dimostrazione . Immediata dalla definizione , usando il principio di induzione .
Esempio 4.1.1 La funzione costante di valore 1 (f(n) = 1 , ∀n ∈ N - {0} ) e l'identità
di N (f(n) = n , ∀n ∈ N - {0}) sono funzioni aritmetiche moltiplicative .
Esempio 4.1.2 Sia n ∈ N - {0} . Indichiamo con τ(n ) , σ (n) , π (n) il numero totale ,
la somma e il prodotto di tutti i divisori d di n ( compresi 1 e n ) . In simboli :
τ(n ) =
∑1
= |{d | d/n }|
σ (n) =
∑d
d/n
d/n
π (n) = Π d .
d/n
τ , σ e π sono funzioni aritmetiche .
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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
40
Si ha , per esempio τ(1) = σ (1) = π (1) = 1 , τ(2) = 2 , σ (2) = 3 , π (2) = 2 ,
τ(3) = 2 , σ (3)= 4 , π (3) = 3 , …, τ(6) = 4, σ (6) = 12 , π (6) = 36 ( da qui
concludiamo che la funzione aritmetica π non è moltiplicativa ) . Proveremo che τ e
σ sono entrambe moltiplicative . A tal fine proviamo la
Proposizione 4.1.2 Sia f una funzione aritmetica e sia F così definita : F(n) =
∑ f (d) . Se f è moltiplicativa , anche F è una funzione moltiplicativa (detta la
d/n
trasformata di Moebius di f) .
Dimostrazione . La nostra tesi è che F(nm) = F(n)F(m) , se n ed m sono coprimi .
Proviamo prima che, poiché M.C.D(n,m) = 1, ogni divisore d di nm si fattorizza in
modo unico nel prodotto ab , con a divisore di n e b di m e con a e b coprimi . Se,
infatti, n = p1e1 p e22 …p ehh e m = q 1l1 q l22 …q lkk si ha nm = p1e1 p e22 …p ehh q 1l1 q l22 …q lkk e d
= p1a1 p a22 …p ahh q 1b q b2 2 …q bk k , 0<ai≤ei , 0<bi≤ li . Ponendo a = p1a1 p a22 …p ahh e b =
b
b
q 1b q 2 2 …q k k , si ha d = ab , con a e b unici .
Si ha allora :
1
1
F(nm) =
∑ f (d) = ∑ f (ab) = ∑ f (a )f (b) = ∑ f (a ) ∑ f (b) = F(n)F(m) .
d / nm
a / n ,b / m
a / n ,b / m
a/n
b/m
La proposizione precedente permette di provare che le funzioni τ e σ sono
moltiplicative , in quanto trasformate di Moebius della funzione costante 1 e
dell'identità rispettivamente .
Queste funzioni hanno interessanti proprietà : ricordiamo solo che τ (n) = 2 se e solo
se n è un numero primo, che, se n>1, σ (n) ≥n+1 e che σ (n) = n+1 se e solo se n è
primo . La funzione σ caratterizza i numeri perfetti : un numero n non nullo si dice
perfetto se e solo se σ (n) = 2n . I primi cinque numeri perfetti sono 6 , 28 , 496 ,
8128 , 33550336 . Non ne sono conosciuti di dispari e non è noto se i numeri perfetti
siano infiniti .
4.2 La funzione di Eulero e la funzione di Moebius
Definizione 4.2.1 Si dice funzione di Eulero ( o indicatore di Eulero ) la funzione
aritmetica ϕ che associa ad ogni naturale non nullo n il numero di interi positivi
minori di n e coprimi con n . In simboli , se C(n) = {1 ≤ a ≤ n / M.C.D(a,n) = 1 } , si
pone
ϕ (n) = |C(n)| .
Per esempio : ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (3) = 2, ϕ (4) = 2, ϕ (5) = 4, ϕ (6) = 2, …
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D.Romagnoli – Elementi di Matematica discreta
41
Poiché un numero p è primo se e solo se è relativamente primo con tutti i numeri che
lo precedono , abbiamo la
Proposizione 4.2.1 ϕ (p) = p - 1 ⇔ p è un numero primo
La funzione di Eulero ha molte proprietà. Le più importanti sono enunciate nella
proposizione seguente, per la cui dimostrazione rimandiamo a un qualunque testo di
matematica discreta .
Proposizione 4.2.2
i) M.C.D(n,m) = 1 ⇒ ϕ (nm) = ϕ (n) ϕ (m) ( ϕ è moltiplicativa )
ii) se p è un numero primo, allora ϕ (p h ) = p h - p h −1 = p h −1 (p - 1 )
iii) ϕ (n) = n Π ( 1 p/n
1
).
p
iv) se M.C.D (n,m) = d , allora ϕ (nm) = ϕ (n) ϕ (m)
d
ϕ(d )
Osservazione 4.2.1 La i) e la ii) della proposizione ci permette il calcolo di ϕ (n)
quando sia nota la decomposizione di n . Infatti , se n = p1e1 p e22 …p ehh , si ha ϕ (n) =
ϕ ( p1e1 ) ϕ (p e22 )… ϕ (p ehh ) = p 1e1 −1 p e22 −1 … p ehh −1 ( p 1 - 1)( p 2 - 1)… (ph- 1) .
Così , ϕ (600) = ϕ (23 .3 .52) = 22 . 30 . 5 . 2 . 4 = 160 . Ci sono 160 numeri interi tra 1
e 600 coprimi con 600 .
1
La iii) (che si ottiene da i) e ii) osservando che ϕ (p h ) = p h (1 - ) ) ci dà
p
un'espressione di ϕ (n) che dipende solo dai divisori primi di n e non dalle potenze
con cui essi compaiono nella fattorizzazione di n . Per esempio , se i divisori primi di
1
1
8
1
n
n sono 2, 3 e 5 ( come per 600) , abbiamo ϕ (n) = n (1 - )(1 - )(1 - ) =
2
3
5
30
( per ogni n = 2a . 3b . 5c) .
Così, ϕ (600) =
ϕ (150) =
8
8
8
600 = 8 . 20 = 160 , ϕ (60) =
60 = 16 , ϕ (30) =
30 = 8 ,
30
30
30
8
150 = 40 …
30
Usando la moltiplicatività di ϕ e la sua trasformata di Moebius , possiamo provare il
seguente
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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
42
Teorema 4.2.1 (Gauss) . La somma dei valori ϕ (d) , per tutti i divisori d di n , è
uguale a n :
n
∑ ϕ(d) = n = ∑ ϕ( d )
d/n
d/n
Dimostrazione . La tesi è ovvia per n =1 . Sia dunque n >1 e sia F(n) =
∑ ϕ(d) la
d/n
trasformata di Moebius di ϕ . F è moltiplicativa ( proposizione 4.1.2 ), quindi , se n =
p1e1 p e22 …p ehh , F(n) = F( p1e1 )F(p e22 )…F(p ehh ) . Poiché F(p iei ) = ∑ ϕ(d ) = ϕ (1) +
d / p ie i
ϕ (pi) + ϕ (p i2 ) + … + ϕ (p iei ) = = 1 + (pi - 1) + ( p i2 - pi ) + … + ( p iei - p iei −1 ) = p iei , si
ha F(n) = p1e1 p e22 …p ehh = n . La seconda uguaglianza segue dal fatto che, quando d
n
percorre l'insieme dei divisori di n , lo stesso fa .
d
Osservazione 4.2.2 Le funzioni τ, σ, ϕ ci permettono di enunciare un criterio di
primalità : condizione necessaria e sufficiente affinchè n sia un numero primo è che :
ϕ(n ) + σ(n ) = nτ(n )
La condizione necessaria è immediata ( ϕ(p) = p − 1, σ(p) = p + 1, τ(p) = 2) , per la
condizione sufficiente si veda [14] ).
Innumerevoli sono le applicazioni della funzione di Eulero , in particolare in
aritmetica modulare e in crittografia . Di importanza fondamentale per tali
applicazioni è il teorema di Eulero, che estende il piccolo teorema di Fermat .
Prima di enunciare e dimostrare il teorema di Eulero dobbiamo fare qualche
richiamo sulla relazione di congruenza modulo n , così definita in Z
a ≡ b (mod n) ⇔ a - b = kn per qualche k ∈ Z .
La congruenza mod n è una relazione di equivalenza con quoziente l'insieme delle
classi di resto modulo n ( ogni intero è congruo al suo resto nella divisione per n e i
resti possibili sono 0, 1, … , n-1)
Zn = { 0 , 1 , … , n − 1 } .
In Zn si definiscono le operazioni di somma e di prodotto seguenti , rispetto alle
quali si ottiene un anello commutativo con unità e, se n è primo, un campo :
a+b = a+b
a b = ab .
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43
Definizione 4.2.2 a ∈ Z è detto invertibile modulo n se esiste b ∈ Z tale che
ab ≡ 1 (mod n) .
b è detto inverso di a modulo n .
Proposizione 4.2.3 Tra i numeri 0, 1, … , n-1 vi sono esattamente ϕ (n) interi
invertibili modulo n .
Dimostrazione . Abbiamo posto, per definizione, ϕ (n) = |C(n)| ,con C(n) = {1 ≤ a ≤
n / M.C.D(a,n) = 1 } . Quindi la nostra tesi è equivalente a :
a ∈ {0,1,…,n-1} è invertibile modulo n ⇔ MCD(a,n) = 1
Supponiamo dunque a invertibile mod n : esiste b tale che ab ≡ 1 (mod n) . Questo
significa che esiste k tale che ab - 1 = kn , cioè 1 = ab - kn , che ci dice che
MCD(a,n) = 1 .
Se, viceversa, MCD(a,n) = 1 allora, per l'algoritmo euclideo delle divisioni
successive, esistono due interi b e c tali che ab + cn = 1 (identità di Bézout) , da cui
ab = 1 - cn , cioè ab ≡ 1 (mod n) .
Proposizione 4.2.4 Sia b inverso di a mod n . Allora
c ≡ b (mod n) ⇔ c è inverso di a mod n
Dimostrazione . c ≡ b (mod n) ⇒ c = b + hn ⇒ ac = ab + ahn = 1 + kn + ahn ≡ 1
(mod n) .
Viceversa, ac ≡ 1 (mod n) ⇒ c ≡ 1c ≡ (ba)c ≡ b(ac) ≡ b1 ≡ b(mod n) .
Abbiamo provato dunque che gli interi invertibili mod n si ripartiscono in ϕ (n)
classi di resto aventi come rappresentanti i ϕ (n) interi compresi tra 1 e n e coprimi
con n . Si dice anche classe invertibile mod n una classe di resto rappresentata da un
elemento invertibile mod n .
L'insieme C(n) è detto un sistema completo di rappresentanti degli invertibili mod n .
Esempio 4.2.1 n = 5 , ϕ (5) = 4 = C(5) = {1,2,3,4}. Gli elementi di C(5) sono i
rappresentanti delle classi invertibili di Z5 .
Notiamo che, se p è un numero primo , Zp ha p-1 classi invertibili .
Esempio 4.2.2 n = 30 , ϕ (30) = 8 = C(30) = {1,7,11,13,17,19,23,29}. Le classi
invertibili di Z30 sono quelle rappresentate dai numeri di C(30) e sono quelle
rappresentate rispettivamente dai numeri 1,13,11,7,23,19,27,29 . Per trovare l'inversa
di una classe occorre scrivere l'identità di Bézout relativa al rappresentante e a 30 e
ridurre mod n . Così ,
1 = 4.30 - 17.7
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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
44
e, passando alle classi , poiché 30 = 0 e − 17 = 13 , si ha 1 = 13 . 7 .
Proposizione 4.2.5 Sia a invertibile mod n . Allora vale la legge di semplificazione
:
ab ≡ ac (mod n) ⇒ b ≡ c (mod n) , ∀b, c ∈ Z .
Dimostrazione . E' sufficiente moltiplicare per l'inverso di a .
Teorema 4.2.2 (Eulero) . Se (a,n) = 1 , allora
a ϕ( n ) ≡ 1 (mod n) .
Dimostrazione. Sia C(n) = {b1, b2, … , b ϕ( n ) } il sistema completo dei rappresentanti
degli invertibili modulo n . Osserviamo che l'insieme {ab1, ab2, … ,a b ϕ( n ) }, ridotto
modulo n , coincide con C(n) . Infatti ogni abi (mod n) appartiene a C(n) , in quanto
il prodotto di due elementi invertibili è a sua volta invertibile, e la moltiplicazione
per a è biiettiva ( bi ≠ bj ⇒ abi (mod n) ≠ abj (mod n) per la proposizione 4.2.5).
Questo prova l'iniettività della moltiplicazione per a , ma è sufficiente per provare
che si tratta di una biiezione perché C(n) è finito ). Dunque
ab1(mod n), ab2(mod n), … ,a b ϕ( n ) (mod n)
è una permutazione di
b1, b2, … , b ϕ( n )
e quindi si ha la seguente relazione tra i loro prodotti :
b1 b2 … b ϕ( n ) ≡ ab1(mod n)ab2(mod n) … a b ϕ( n ) (mod n) .
Ne segue che
b1 b2 … b ϕ( n ) ≡ a ϕ( n ) b1b2 … b ϕ( n ) .
L'elemento b = b1 b2 … b ϕ( n ) è invertibile e quindi , semplificando si ottiene la tesi .
Dal teorema di Eulero segue come corollario il
Teorema 4.2.3 (piccolo teorema di Fermat) . Sia p un numero primo e a un numero
intero. Allora , se p non divide a ,
ap-1≡ 1 (mod p) .
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45
Dimostrazione . Poiché p non divide a ed è primo , MCD(a,p) = 1 . Inoltre ϕ (p) =
p-1 . La tesi segue allora direttamente dal teorema di Eulero .
Corollario 4.2.1 Sia p un numero primo e a un intero qualunque. Allora
ap ≡ a (mod p) .
Dimostrazione . Se p non divide a , a è invertibile mod p , e ap ≡ a (mod p) è
equivalente a ap-1≡ 1 (mod p) per la proposizione 4.2.5.
Se invece p è un divisore di a , a ≡ 0 (mod p) e anche ap ≡ 0 (mod p) .
Osservazione 4.2.3 Il piccolo teorema di Fermat dà una condizione necessaria ma
non sufficiente per la primalità : per esempio 414≡ 1 (mod 15) , poiché 414 = 167 ≡ 17
(mod 15) , ma 15 non è primo . Si può dimostrare che, fissato un intero a ≥ 2,
esistono infiniti numeri composti m tali che am-1≡ 1 (mod m) . Questi numeri m sono
detti pseudoprimi in base a .
Vi sono anche interi k che non sono primi ma per i quali ak-1≡ 1 (mod k) per ogni a
∈ Z tale che (a,k) = 1 . Questi k sono detti numeri di Carmichael ed è stato
recentemente dimostrato che sono infiniti . I primi numeri di Carmichael sono 561,
1105, 1729 .
Negli esempi che seguono vedremo qualche applicazione della funzione di Eulero e
dei teoremi di Eulero e di Fermat .
Esempio 4.2.3 Vogliamo calcolare il resto della divisione per 28 del numero 131232 .
Abbiamo ϕ (28) = ϕ (4). ϕ (7) = 2 . 6 = 12 e 1232 = 102.12 + 8 . Usiamo le
proprietà delle potenze e il teorema di Eulero .
131232 = (1312)102 . 138 ≡ 1102 . 138 (mod 28) ≡ 138 (mod 28) .
138 = (132)4 = (169)4 . Ora , 169 = 6 . 28 +1 ≡ 1 (mod 28) , quindi
131232 ≡ 138 (mod 28) ≡ 1 (mod 28) .
Osserviamo che il teorema di Eulero consente di semplificare il calcolo delle potenze
modulo n soltanto se la base è un numero primo con n . Vi sono altri metodi che
valgono anche se la base non è un numero primo con n (vedi [5] ) .
Esempio 4.2.4 Osserviamo il seguente disegno :
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46
Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
E' una stella a cinque punte ottenuta collegando cinque punti equidistanti tra loro,
posti su una circonferenza, mediante cinque segmenti che collegano ogni punto con
uno dei due punti ad esso non adiacente . Se generalizziamo la costruzione e
immaginiamo di disegnare con le stesse regole una stella a n punte 1, 2, …, n ,
troviamo che il numero di stelle diverse che si ottengono per ogni n è dato dal
ϕ(n ) − 2
( vedi [21] ) .
numero
2
Esempio 4.2.5 Supponiamo di avere delle perline di n colori diversi e di voler
formare delle collane circolari di lunghezza m . Sia N(m,n) il loro numero:
osserviamo che le rotazioni non danno collane diverse, mentre sono considerate
diverse due collane che sono l'una il riflesso dell'altra. Così, nel caso di collane di
lunghezza 6 formate con perline di due colori differenti le collane seguenti sono
diverse :
Nel disegno che segue elenchiamo tutte le collane differenti di lunghezza 4 costruite
avendo a disposizione perline di due colori diversi :
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47
Quindi N(4,2) = 6 . E' stato dimostrato da A.MacMahon, nel 1892, che
N(m,n) =
1
m
∑n
d/m
d
ϕ(
m
)
d
(per la dimostrazione si veda [13] ) .
Naturalmente, si ritrova N(4,2) =
1
1
( ϕ(1) 24 + ϕ(2) 22 + ϕ(4) 2 ) = (16 + 4 + 4 ) = 6,
4
4
mentre
N(6,2) =
1
1
( ϕ(1) .26 + ϕ(2) .23 + ϕ(3) .22 + ϕ (6).2 ) = (64 + 8 + 8 + 4) = 14 .
6
6
Definiamo ora un'altra importante funzione moltiplicativa , introdotta dal matematico
tedesco A.F.Moebius nel 1832 per studiare la distribuzione dei numeri primi .
Definizione 4.2.3 Si dice funzione di Moebius la funzione aritmetica µ così definita :
µ (n) =
1 se n = 1
(-1)r se n è il prodotto di r primi distinti
0 se pe/ n , per un primo p ed e > 1 .
Quindi , per ogni n positivo , µ (n) vale 0 , 1 oppure -1 .
Per esempio . µ (2) = -1 = µ (3) , µ (4) = 0 = µ (8) , µ (6) = µ (2.3) = ( -1)2 = 1 =
µ (10) …
Proposizione 4.2.6 M.C.D(n,m) = 1 ⇒ µ (nm) = µ (n) µ (m) ( µ è moltiplicativa) .
Dimostrazione . Se n oppure m valgono 1 , la tesi vale poiché µ (1) = 1 . Se n oppure
m hanno almeno un fattore al quadrato , anche nm ha un fattore al quadrato, e da µ (n)
= 0 oppure µ (m) = 0 segue che µ (nm) = 0 . Se n ed m hanno rispettivamente r ed s
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Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
48
fattori primi non ripetuti , nm ne ha r + s non ripetuti (n ed m sono coprimi) , quindi
µ (nm) = (-1)r+s = (-1)r(-1)s = µ (n) µ (m) .
Osservazione 4.2.5 Per la proposizione 4.1.2 anche la funzione F(n) =
∑ µ (d )
è
d/n
moltiplicativa .
Proposizione 4.2.7 F(1) = 1 e, se n > 1 , F(n) =
∑ µ (d ) = 0 .
d/n
Dimostrazione. Poiché F è moltiplicativa, basta calcolare F(pe) , p primo ed e∈ N . Si
ha :
F(pe) = µ (1) + µ (p) + µ (p2) + … + µ (pe) = 1 - 1 = 0 .
Proposizione 4.2.8 (Formula di inversione di Moebius) . Sia f una funzione aritmetica.
Posto
F(n) =
∑ f (d) , per ogni n ≥1
d/n
si ha
f(n) =
n
n
∑ µ(d) F( d ) = ∑ µ( e ) F(e) .
d/n
e/n
n
n
( e = ), se d esaurisce
e
d
i divisori di n , altrettanto fa e , per cui le due somme coincidono . Ora, data una
funzione aritmetica f , si ha :
Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che, ponendo d =
n
∑ µ(d) F( d ) = ∑ µ(d) ( ∑ f (e) ) = ∑ ( ∑ µ(d)f (e) ) = (cambiando l'ordine della
d/n
d/n
e /( n / d )
d / n e /( n / d )
somma e osservando che se e/(n/d) , allora ed/n e quindi d/(n/e) ) =
∑ ( ∑ µ(d)f (e) )
e / n d /( n / e )
=
∑ ( ∑ µ(d))f (e) .
e / n d /( n / e )
Ora ,
∑ µ(d) = 0 tranne per
d /( n / e )
n
= 1 , cioè per n = e , quindi l'ultimo termine si riduce
e
a f(n) .
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49
Osservazione 4.2.6 In modo analogo si dimostra che se F è una funzione aritmetica e f
n
è tale che per ogni n ≥ 1, f(n) = ∑ µ(d) F( ) , allora F è la trasformata di Moebius di
d
d/n
f , cioè F(n) = ∑ f (d) , per ogni n ≥1 .
d/n
Esempio 4.2.6 Come applicazione della funzione di Moebius e della proposizione
4.2.8 riportiamo la formula che ci fornisce il numero dei polinomi irriducibili di grado
d a coefficienti nel campo Zp delle classi di resto mod p (p primo) , numero che
indichiamo con N pn (per la dimostrazione si veda [7] )
N pn =
1
n
n
∑ µ( d ) pd .
d/n
Per esempio , se p = 3 e n = 2 , i polinomi irriducibili di Z3[x] sono N 32 =
1
µ(2)3 +
2
1
3
9
= 3 . Infatti , essi sono : x2 + 1 , 2x2 + 2 , 2x2 + x + 1 ( ricordiamo
µ(1)3 2 = - +
2
2
2
che nel caso di grado 2 l'irriducibilità equivale al non avere radici) .
Terminiamo il capitolo dimostrando una relazione tra la funzione di Eulero e quella di
Moebius .
Proposizione 4.2.9 Per ogni intero positivo n si ha :
µ(d )
=
d
d/n
ϕ(n ) = n ∑
Dimostrazione . Per il Teorema di Gauss ,
n
∑ µ ( d )d .
d/n
∑ ϕ(d) = n
, e , detta F(n) =
d/n
d/n
trasformata di Moebius di ϕ , la formula di inversione di Moebius ci dà :
ϕ (n) =
n
d/n
Sostituendo poi d con
n
∑ µ(d) F( d ) = ∑ µ(d) d
d/n
=n
µ(d )
.
d
d/n
∑
n
otteniamo la seconda uguaglianza .
d
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∑ ϕ(d)
la
Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
50
4.3 Funzioni intere
Indichiamo con questo nome le funzioni di dominio l'insieme R e codominio l'insieme
Z.
Esempio 4.3.1 . Sia f : R → Z la funzione che associa al numero reale x il minimo
intero maggiore o uguale a x . Si scrive anche f(x) =  x  . Così , per esempio,
f(2) =  2  = 2 , f(2,5) = 2,5  = 3 , f(e) =  e  = 3 , f(-e) = -e  = -2 ) .
Tale funzione è anche chiamata funzione soffitto . Il suo grafico forma un cammino a
scala sopra la bisettrice y = x ( dalla definizione si ha  x  ≥ x ,  x  = x se e solo se
x è un intero e  x  = n se e solo se n - 1 < x ≤ n (n intero).
Definizione 4.3.1 Sia x un numero reale e sia x  ( oppure [x] ) il massimo intero
minore o uguale a x . La funzione f : R→ Z , f(x) = x  è detta funzione di Gauss , o
funzione parte intera o funzione pavimento .
Naturalmente tale funzione è una funzione intera , più nota della funzione soffitto con
la quale ha molte analogie . Ci limitiamo a descriverne alcune proprietà e applicazioni
in questioni di divisibilità . Per ulteriori applicazioni rimandiamo a [13] e [14] .
Il grafico della funzione pavimento è un cammino a scala sotto la bisettrice y = x
( dalla definizione si ha x  ≤ x , x  = x se e solo se x è un intero e x  = n se e
solo se n ≤ x < n +1 ( n intero ) ) . Le funzioni pavimento e soffitto coincidono
applicate a numeri interi , per i numeri non interi differiscono di 1 (  e  = 2 ,  e  =
3 ,  -e  = -3 , -e  = -2 , …), e sono legate dalle relazione
-x  = -  x  e -x  = - x  .
Valgono in modo evidente le relazioni x = x  + r, 0 ≤ r < 1 e x  ≤ x < x  + 1 ,
da cui segue la
Proposizione 4.3.1. x  + y  ≤ x +y ≤ x  + y  +1
Dimostrazione . Da x = x  + r, 0 ≤ r < 1 e y = y  + s, 0 ≤ s < 1 si ha
x + y = x  + y  + r + s .
Poiché 0 ≤ r + s < 2 , r + s = 0 oppure r + s = 1 , da cui
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51
x +y = x  + y  oppure x +y ≤ x  + y  +1 .
Altre proprietà di non difficile dimostrazione sono le seguenti :
 x 
Proposizione 4.3.2. Se x è un numero reale e n un intero positivo , allora     =
 n 
x
 n  .
Proposizione 4.3.3. (Identità di Hermite) Se x è un numero reale e n un intero
positivo , allora
x  + x +
1
2
n −1
 + x +  + … + x +
 = nx  .
n
n
n
Dimostriamo invece i seguenti teoremi :
Teorema 4.3.1. Siano x un numero reale ed n un intero positivo . Il numero dei
x
multipli di n compresi tra gli interi da 1 a x è pari a   .
n
Dimostrazione . Da
x x x
 n  ≤ n ≤  n  + 1
si ha
x
x
x
 n  n ≤ n n = x ≤ (  n  + 1)n .
x
Perciò tra gli interi da 1 a x i multipli di n sono   , precisamente n, 2n, …,
n 
Teorema 4.3.2 . La massima potenza di p (p primo) che compare in n! è
n   n 
p(n!) =   +  2  + … +
p p 
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 n 
m
m+1
 m  , con p ≤ n < p .
p 
x
 n  n .
Capitolo 4 – Funzioni aritmetiche e funzioni intere
52
Dimostrazione. Se p divide n!, p divide uno dei suoi fattori . Tra gli interi da 1 a n , i
n 
n 
multipli di p sono   e sono, precisamente, p, 2p, …,   p .
p
p
n 
n 
In n! la più alta potenza di p sarà quindi p(n!) = p 2p …   p =  ! . p
p
p
.
.
.
n
 
p !
.
Analogamente ,
n 
n 
 
 
p
p
n 
p(  !) =     + p (     !) =
 p 
 p 
p








n 
n 
 2  + p (  2  !) .
p 
p 
Sostituendo ,
n 
n   n 
p(n!) =   +  2  + p (  2  !) .
p p 
p 
 n 
Iterando il procedimento , poiché pm+1 > n , si ha  m +1  = 0 , da cui
p 
 n 
n   n 
p(n!) =   +  2  + … +  m  .
p p 
p 
Esempio 4.3.2 Sia p = 2 e n = 8 = 23 . La più alta potenza di 2 che compare in 8! è
8
8
8
2(8!) =   +  2  +  3  = 4 + 2 + 1 = 1 + 2 + 2 2 = 7 . In questo caso è
2
2 
2 
. . . 2. . . . . 3
immediato da 8! = 1 2 3 2 5 2 3 7 2 .
In generale , se n = pr , si ha p(n!) = pr-1 + pr-2 + … + 1 =
pr −1
.
p −1
Esempio 4.3.3 Vogliamo il numero dei multipli di 7 positivi e compresi tra 300 e 500 .
 500 
 299 
= 71 multipli di 7 tra 1 e 500 e 
=
Il Teorema 4.3.1 ci dice che ci sono 

 7 
 7 
42 multipli di 7 tra 1 e 299 .
Il numero cercato è dunque 71 - 42 = 29 .
Università di Torino
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