1 I numeri naturali ei numeri interi

CAPITOLO
1
I numeri naturali
e i numeri interi
MODULO A
I Numeri
Autoverifica dei prerequisiti
◗
1. I numeri naturali: numeri primi e numeri composti
1. Scrivi in lettere il numero 12 071.
12. Scrivi una frazione corrispondente al numero 4,35.
2. Scrivi in forma decimale il numero centotrentami-
13. Scrivi il numero decimale corrispondente alla fra-
lasettecentoventiquattro.
zione
Unità di apprendimento
12
.
5
2. Massimo Comune Divisore e minimo comune
multiplo di due numeri naturali
3. Elevamento a potenza dei numeri naturali
4. Sistemi di numerazione e scrittura polinomiale
di un numero
5. Tavole di addizione e di moltiplicazione
3. Sottolinea la cifra delle decine di migliaia nel nume-
14. Scrivi una frazione corrispondente al numero de-
ro 3 461 095.
6. Congetture, controesempi e dimostrazioni
cimale periodico 0, 3 .
7. I numeri interi relativi
4. Scrivi il numero che è uguale alla metà della somma
321 + 795.
15. Scrivi la percentuale corrispondente alla frazione 1 .
8
8. Operazioni con i numeri interi
9. Il calcolo mentale rapido
5. Inserisci il numero che rende vera l’uguaglianza:
564 + .......... = 1175.
Intersezioni
q
6. Calcola quoziente e resto della divisione 407 : 31.
2,4
435 o un’altra frazione equivalente come, per esempio, 87
20
100
12.
48%
11.
1
24
10.
100,1
9.
7,11
8.
Dodicimilasettantuno
Qual è la percentuale di femmine sul totale?
A4
INTERDISCIPLINARI
Matematica e... astronomia:
Le dimensioni dell’Universo
Competenze specifiche
R Utilizzare strumenti e tecniche di calcolo
R Applicare le proprietà delle operazioni al calcolo
mentale rapido
R Effettuare una stima del risultato di un calcolo
numerico
1.
11. Una classe è composta da 12 femmine e 13 maschi.
2.
3.
4.
5.
6.
130724
6
558
611
Quoziente: 13; Resto: 4
4
; 3,2; 11
3
0,7; 1, 2;
10. Quale frazione dell’ora sono due minuti e mezzo?
COLLEGAMENTI
o
PER LA MATEMATICA
Ma c’è qualche motivo per cui + − = − ?
7.
6,5.
13.
9. Calcola il prodotto del doppio di 15,4 con la metà di
LOGICA
o
8. Calcola la somma della metà di 12,53 con 0,845.
1
3
4
3
14.
1, 2
12,5%
3, 2
15.
0, 7
NELLA STORIA DELLA MATEMATICA
Il crivello di Eratostene
q
11
PER LA MATEMATICA
La dimostrazione dell’infinità dei numeri primi
MOMENTI
SOLUZIONI
7. Ordina in senso crescente i seguenti numeri:
LOGICA
A5
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
1
I numeri naturali:
numeri primi e numeri composti
Scomposizione in fattori primi
I numeri naturali sono i numeri utilizzati per contare,
per esempio: 1, 2, 3, ..., 25, ..., 890.
In genere, l’insieme dei numeri naturali si rappresenta con
il simbolo . Nei tuoi studi precedenti hai imparato a usare tali numeri e le operazioni tra essi per risolvere vari
problemi.
In questa prima unità di apprendimento vogliamo farti riflettere su un’importante proprietà che caratterizza i numeri naturali, nota come teorema fondamentale dell’aritmetica.
Allo scopo richiamiamo preliminarmente alcune nozioni
sui numeri primi e sui numeri composti.
Quanti sono i numeri primi? Circa 2300 anni fa il matematico greco Euclide affrontò la questione e dimostrò
che i numeri primi sono infiniti.
Il teorema dell’infinità dei numeri primi, di cui diamo una
dimostrazione in una delle Intersezioni Logica per la matematica, è considerato uno dei risultati più eleganti della
storia della matematica.
Anche i numeri composti sono infiniti, ma i numeri primi
sono molto più interessanti. Vale infatti il seguente risultato: ogni numero naturale maggiore di 1 è primo oppure è
esprimibile come prodotto di numeri primi. Per esempio, il
numero 14, che non è primo, è esprimibile come prodotto
di 2 7, che sono primi.
Analogamente:
Numeri primi e numeri composti
12 = 2 2 3
Ricordiamo che un numero a si dice divisibile per un
numero b se la divisione a : b dà come resto 0; in tal caso
si dice anche che b è un divisore di a, oppure che b divide a. Per esempio, 24 è divisibile per 6, perché 24 : 6 = 4
con resto 0; si dice anche che 6 è un divisore di 24, oppure che 6 divide 24.
Ogni numero naturale è divisibile per 1 e per se stesso.
Quindi, dato un numero n diverso da 0, esso ha sempre
tra i suoi divisori 1 e n stesso: ogni numero che divide n,
ma che è diverso sia da 1 sia dal numero n, è detto divisore proprio di n. Per esempio, 2, 3, 4, 6, 8, 12 sono i divisori propri di 24; invece 17 non ha divisori propri.
I numeri naturali maggiori di 1 possono essere divisi in
due grandi classi: i numeri primi, che non hanno divisori
propri, e i numeri composti, che hanno divisori propri e
che possono sempre essere espressi come prodotto di almeno due numeri, ciascuno dei quali maggiore di 1. Per
esempio, 11 è primo, perché non ha divisori propri; invece
12, che può essere espresso come 4 3, è un numero composto.
Il numero 1 non è né primo, né composto.
Inoltre, due numeri si dicono primi fra loro se e solo se
non hanno alcun divisore primo in comune. Due numeri
primi fra loro sono, per esempio, 4 e 9.
Osserviamo che se due numeri sono primi fra loro non necessariamente essi sono numeri primi: 4 e 9 sono numeri
composti, ma risultano primi fra loro perché non hanno
alcun divisore in comune.
90 = 2 3 3 5
L’operazione che consente di scrivere un numero naturale
composto come prodotto di numeri primi si chiama scomposizione in fattori primi (ricordiamo che i termini di
una moltiplicazione sono detti fattori). È possibile dimostrare che, se non consideriamo l’ordine in cui compaiono
i fattori, la scomposizione in fattori primi è unica. Questo
vuol dire per esempio che 14 si può scomporre in fattori
primi solo come 7 2 oppure come 2 7: le due scomposizioni differiscono solo per l’ordine in cui compaiono i fattori primi 2 e 7.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica
Quanto visto finora può essere sintetizzato mediante
il seguente teorema:
TEOREMA
Ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo, oppure può scriversi in uno e un solo modo (a meno dell’ordine con cui compaiono i fattori) come prodotto
di numeri primi.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica dà ai numeri primi
un ruolo fondante: poiché essi sono sufficienti a rappresentare un qualunque numero naturale, si può dire che
costituiscono i veri e propri mattoni dell’edificio dell’aritmetica.
A6
È vero che comunque si prendano due numeri naturali consecutivi, essi sono primi fra
loro?
RAPPRESENTARE
I numeri naturali
Scomposizione in fattori primi
Fornisci diverse rappresentazioni del numero
45.
Si può pensare a un numero naturale in tanti modi. Per esempio, 45 può essere pensato come
il successivo di 44, oppure come il precedente di
46, oppure come il prodotto 5 32 o, ancora, come
4 10 + 5...
Per scomporre in fattori un numero possono risultare utili i criteri di divisibilità che hai imparato
nei tuoi studi precedenti. Richiamiamone alcuni.
Un numero è divisibile:
• per 2, se l’ultima sua cifra è un numero pari;
• per 3, se il numero dato dalla somma delle sue
cifre è divisibile per 3;
• per 4, se il numero che si ottiene prendendo le ultime due cifre del numero dato è divisibile per 4;
• per 5, se l’ultima sua cifra è 0 oppure 5;
• per 8, se il numero che si ottiene prendendo le
ultime tre cifre del numero dato è divisibile
per 8;
• per 9, se la somma delle sue cifre è divisibile
per 9;
• per 11, se la differenza fra la somma delle sue
cifre di posto pari e la somma delle sue cifre di
posto dispari è divisibile per 11.
APPLICARE
Numeri primi e numeri composti
1. Scrivi i primi 11 numeri primi.
2,
......,
5,
......,
......,
17,
......,
......,
29,
......
13,
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
I numeri naturali
Problema
APPLICARE
2. Scrivi come prodotto di due numeri naturali ciascuno dei seguenti numeri composti:
24, 60, 150.
Scomponi in fattori primi il numero 84.
84
42
21
17
11
24 = 2 12 = ...... 8
60 = 2 30 = 3 ...... = ...... 15 = 5 ...... = 6 ......
150 = 3 50 = 5 ...... = ...... 25 = ...... ......
2
2
3
7
Quindi:
84 = 2 2 3 7 = 22 3 7
Risoluzione del problema
Ricordiamo che due numeri si dicono consecutivi se la differenza fra il maggiore e il minore è uguale a 1; per esempio, 6 e 7 sono
due numeri consecutivi. In generale, possiamo indicare due numeri consecutivi con n e
con n + 1.
Il problema ci chiede dunque di stabilire se n
e n + 1 possono o non possono avere divisori
primi in comune. Proviamo a esplorare la situazione esaminando qualche caso particolare. Consideriamo i numeri consecutivi 24 e
25. I divisori primi di 24 sono 2 e 3; invece 25
ha solo 5 come divisore primo. Quindi 24 e
25, non avendo divisori primi in comune, sono primi fra loro. Questo non è un caso: infatti, aggiungendo 1 a un numero, cambiano tutti i suoi divisori. (Prova a verificare questo
fatto con altre coppie di numeri consecutivi).
Naturalmente, quanto ora affermato deve essere dimostrato. Per farlo, conviene utilizzare
il teorema fondamentale dell’aritmetica;
sappiamo che un numero n maggiore di 1 o è
primo, e allora non può avere divisori primi in
comune con n + 1, oppure è composto, e allora lo si può scrivere come prodotto di numeri
primi. Il numero n + 1 potrà essere scritto come somma di 1 con il prodotto dei numeri
primi in cui si scompone n. Dividendo, quindi, n + 1 per qualunque numero primo che
compare nella scomposizione di n si ottiene
come resto 1. Quindi n + 1 non ha divisori
primi in comune con n.
In simboli, abbiamo:
n = p1 p2 ... pk
n + 1 = p1 p2 ... pk + 1
Come puoi notare, se si divide n + 1 per p1,
oppure per p 2, ..., oppure per p k, si ottiene
sempre come resto 1 (che è diverso da 0).
Quindi n e n + 1 non hanno divisori primi in
comune e, pertanto, sono primi tra loro.
A7
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 30
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
q
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
Logica per la matematica
Momenti nella storia della matematica
La dimostrazione dell’infinità
dei numeri primi
Il crivello di Eratostene
Si deve a Euclide l’asserzione che i numeri primi sono infiniti.
La dimostrazione di questo teorema è sempre stata considerata di un’eleganza e di una
profondità sorprendenti. Ecco il ragionamento di Euclide.
La dimostrazione di Euclide
Un esempio per seguire meglio la dimostrazione
Supponiamo che i numeri primi siano in numero finito
(n). In tal caso essi possono essere elencati; per esempio possiamo nominarli uno per uno e dire che sono
p1, p2, p3, ..., pn.
Per esempio, possiamo immaginare che esistano solo i
tre seguenti numeri primi: 2, 3, 5.
Consideriamo ora il numero dato dalla somma di 1 con
il prodotto di tutti i numeri primi p1, p2, p3, ..., pn, che
abbiamo a disposizione; ossia consideriamo il numero
k = p1 p2 p3 ... pn + 1. Questo numero non è divisibile per p1, infatti se diviso per p1 dà come resto 1; ma
non è divisibile nemmeno per p2, poiché anche se lo dividiamo per p2 dà come resto 1; analogamente, dividendolo per p3 e per tutti gli altri numeri primi che abbiamo a disposizione, si ottiene come resto 1.
Consideriamo il numero k dato dalla somma di 1 con il
prodotto 2 3 5 dei numeri primi che abbiamo a disposizione.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica afferma che
ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo o è
scomponibile nel prodotto di numeri primi. Possiamo
quindi concludere, in base a questo teorema, che k o è
primo o è scomponibile in un prodotto di numeri primi
diversi da p1, p2, p3, ..., pn (infatti non è divisibile per
alcuno di essi).
Possiamo quindi concludere che 31 o è primo o è scomponibile nel prodotto di numeri primi diversi da 2, 3 e
5 (infatti non è divisibile per alcuno di essi). In effetti
31 è un numero primo.
La nostra conclusione è però in contraddizione con l’ipotesi da cui siamo partiti, e cioè che i numeri primi
fossero solo p1, p2, p3, ..., pn. Poiché in matematica non
si accettano contraddizioni, tale ipotesi deve essere rifiutata.
Non è vero, quindi, che esistono solo i numeri primi 2,
3, 5; la nostra ipotesi è stata contraddetta dalla costruzione di un nuovo numero primo: 31.
Possiamo quindi dire che, comunque si consideri un insieme finito di numeri primi p1, p2, p3, ..., pn, addizionare 1 al prodotto di questi numeri “genera” almeno un
altro numero primo. Nota, però, che il numero k potrebbe anche non essere egli stesso primo: quello di cui
siamo certi è che o k è egli stesso primo, oppure nella
sua scomposizione in fattori compaiono altri numeri
primi diversi da p1, p2, p3, ..., pn. Per chiarire quanto
ora affermato, considera il seguente esempio:
“Partiamo dai numeri primi 2, 3, 5, 7, 11, 13 e costruiamo il numero k = 2 3 5 7 11 13 + 1 = 30 031.
Ebbene, 30 031 non è primo, ma si scompone nel prodotto dei due numeri primi 59 e 509 che sono diversi
da 2, 3, 5, 7, 11 e 13”.
k=235+1
Puoi verificare che dividendo k, ossia 31, per 2, per 3 e
per 5 si ottiene sempre come resto 1. Quindi k, ossia
31, non è divisibile per alcuno dei numeri primi che abbiamo a disposizione.
Una delle caratteristiche più interessanti dei numeri primi è...
che sono imprevedibili.
Questa imprevedibilità ha stimolato nel corso dei secoli
una intensa attività di ricerca matematica, che ha svelato
proprietà sempre nuove dei numeri primi.
Un problema risolto... con un setaccio
Ancora oggi non conosciamo una formula che consenta di
determinare il ventesimo, il cinquantacinquesimo, l’n-esimo numero primo o tutti i numeri primi minori di un numero naturale assegnato. Possiamo però risolvere il problema
di generare tutti i numeri primi minori di un numero natura2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Se cancelliamo tutti i numeri pari maggiori di 2, nel setaccio rimangono il numero 2 e tutti i numeri minori di n che
non hanno 2 come divisore:
2
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
Il primo numero che segue 2, cioè 3, è primo: infatti non è divisibile per l’unico numero primo più piccolo di se stesso. Rimuovendo dal setaccio tutti i multipli di 3 maggiori di 3, il primo numero che segue 3, cioè 5, è primo:
2
41
3
5
23
25
43
7
29
47
3
5
A8
13
31
49
17
35
53
7
23
Il metodo sopra esposto dà quindi la possibilità di generare sempre nuovi numeri primi, a partire da un insieme finito di essi. Possiamo quindi concludere che i numeri primi sono infiniti.
11
19
37
55
59
Se rimuoviamo tutti i multipli di 5 maggiori di 5, il primo numero dopo il 5, cioè 7, è un numero primo:
2
Conclusioni
le n utilizzando un metodo noto come crivello (cioè setaccio) di Eratostene, dal nome del matematico greco vissuto
attorno al 200 a.C. che lo propose. L’idea del metodo è semplice: si scrivono i numeri naturali in ordine crescente da 2
a n (nel seguito, scegliamo n = 60):
41
11
29
43
47
13
31
49
17
19
37
53
59
Ripetiamo questo procedimento fino a quando siamo giunti all’ultimo numero della lista. Nel setaccio sono rimasti
tutti e soli i numeri primi che non superano n. Concludiamo il nostro esempio affermando che i numeri primi minori
di 60 sono:
2
3
5
7
23
41
43
11
29
13
31
47
19
37
53
A9
17
59
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
2
Massimo Comune Divisore e minimo comune
multiplo di due numeri naturali
Problema
Ogni mattina, alle ore 6 e 30, tre mezzi
pubblici partono per la loro prima corsa
dalla Stazione Centrale di una città per effettuare il servizio di trasporto pubblico.
Sapendo che il primo autobus ritorna alla
Stazione Centrale ogni 30 minuti, il secondo ogni 40 minuti e il terzo ogni 45, a che
ora della giornata i tre autobus ritorneranno insieme, per la prima volta, alla Stazione Centrale?
APPLICARE
Divisori di un numero naturale
DEFINIZIONE
Il numero naturale m è il minimo comune multiplo
dei numeri naturali a e b se valgono le due condizioni
seguenti:
• m è multiplo sia di a sia di b;
• se m′ è un altro multiplo comune di a e di b, allora
m′ è un multiplo di m.
Come abbiamo visto nella precedente Unità, ogni numero naturale n diverso da 0 ha almeno due divisori: 1 e
n. Inoltre, se n è composto, ha anche altri divisori. L’insieme dei divisori di un numero naturale diverso da 0 è quindi costituito da almeno due elementi. Per esempio, l’insieme dei divisori del numero primo 19 è {1, 19}, mentre
quello del numero composto 24 è {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Vediamo per esempio come sia possibile calcolare il minimo
comune multiplo dei due numeri 18 e 24 a partire dalla prima
definizione data. I più piccoli multipli non nulli di 18 sono 18,
36, 54, 72, 90, 108, 126, 144..., mentre quelli di 24 sono 24, 48,
72, 96, 120, 144...: il minimo comune multiplo è quindi 72.
Multipli di un numero naturale
Scomposizioni e calcolo di MCD e mcm
In alcuni casi può essere utile calcolare il Massimo
Comune Divisore o il minimo comune multiplo di due numeri ricorrendo alla loro scomposizione in fattori. Si tratta
di un procedimento che hai già affrontato nei tuoi studi
precedenti e che qui ricordiamo mediante un esempio.
Siano assegnati i numeri 350 e 660; le loro scomposizioni
in fattori sono:
Massimo Comune Divisore di due
numeri naturali
Vi sono problemi in cui è necessario individuare il più
grande fra i divisori comuni di due numeri naturali a e b.
Tale numero viene detto Massimo Comune Divisore di a
e b ed è indicato come MCD(a, b) . Determiniamo, per
esempio, il MCD(18, 24). I divisori di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9,
18, mentre quelli di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. I divisori comuni sono perciò 1, 2, 3, 6: il Massimo Comune Divisore di 18 e 24 è quindi 6. La definizione formale di Massimo Comune Divisore è la seguente:
350
175
035
007
001
2
5
5
7
660
330
165
055
011
001
350 = 2 5 7
2
2
2
3
5
11
Divisori di un numero naturale
Multipli di un numero naturale
Determina tutti i divisori dei numeri 18 e 30
e individua, fra essi, i fattori primi.
Determina i primi 5 multipli del numero 7.
• Divisori di 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Fattori primi di 18: 2, 3
07=0
17=7
2 7 = 14
I primi 5 multipli di 7 sono:
• Divisori di 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Fattori primi di 30: 2, 3, 5
3 7 = 21
4 7 = 28
OSSERVARE E SCOPRIRE
Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo di due numeri naturali
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
Dato un numero naturale n, si dice multiplo di n ogni
numero naturale a per il quale esiste un numero naturale k
tale che a = k n. Per esempio, 84 è un multiplo di 21 perché 84 = 4 21. Osserviamo che 0 è multiplo di qualsiasi
numero naturale, essendo 0 = 0 n qualunque sia n.
L’insieme dei multipli di un numero n diverso da 0 contiene infiniti elementi: 0, n, 2n, 3n, 4n, 5n... Sapresti dire
quanti elementi contiene l’insieme dei multipli di 0?
APPLICARE
Completa la seguente tabella, osserva attentamente i risultati e cerca di scoprire che relazione esiste
tra il MCD, il mcm e il prodotto dei due numeri naturali.
MCD(a, b) mcm(a, b) MCD(a, b) mcm(a, b)
a
b
3
5
1
15
15
8
12
4
24
96
27
12
15
30
18
24
Quanto hai scoperto può esserti utile
per calcolare rapidamente il mcm fra
due numeri: basta dividere il prodotto
dei due numeri per il loro Massimo Comune Divisore.
324
Risoluzione del problema
660 = 2 3 5 11
2
Puoi risolvere il problema anche per tentativi, per esempio compilando una tabella come la seguente:
REGOLA
DEFINIZIONE
Il Massimo Comune Divisore di due numeri è il prodotto dei loro fattori comuni, calcolato prendendo
ciascun fattore una sola volta con l’esponente più
piccolo con cui compare nelle singole scomposizioni.
Il numero naturale d è Massimo Comune Divisore dei
numeri naturali a e b se valgono le due condizioni seguenti:
• d è divisore sia di a sia di b;
• se d′ è un altro divisore comune di a e b, allora d′ è
un divisore di d.
Nel nostro caso, MCD(350, 660) = 2 5 = 10.
Autobus 1
Autobus 2
Autobus 3
Primo rientro alla Stazione Centrale
7 : 30
7 : 10
7 : 15
Secondo rientro alla Stazione Centrale
7 : 30
7 : 50
8 : 00
Terzo rientro alla Stazione Centrale
8 : 00
8 : 30
8 : 45
...
...
...
...
FARE PER
COMPRENDERE
REGOLA
Il minimo comune multiplo di due numeri è il prodotto dei loro fattori comuni e non comuni, calcolato
prendendo ciascun fattore una sola volta con l’esponente più grande con cui compare nelle singole scomposizioni.
Minimo comune multiplo di due numeri
naturali
Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a
e b è il più piccolo dei loro multipli comuni diversi da 0 e
viene indicato come mcm(a, b). In termini più formali possiamo dire che:
C’è però un modo più veloce di arrivare alla soluzione: i tre autobus si trovano insieme alla Stazione Centrale ogni volta che è trascorso dalle 6 : 30 un numero di minuti multiplo sia di 30, sia
di 40, sia di 45. Basta quindi cercare il minimo comune multiplo di 30, 40, 45, ossia 360. Gli autobus si incontreranno nuovamente (per la prima volta) dopo 360 minuti, cioè dopo 6 ore, rispettivamente al dodicesimo, al nono e all’ottavo rientro (12, 9 e 8 sono rispettivamente il quoziente della divisione di 360 per 30, per 40 e per 45). Controlla questa soluzione completando
(nel caso tu non lo abbia già fatto) la tabella sopra riportata.
Nel nostro caso, mcm(350, 660) = 22 3 52 7 11 = 23100.
A 10
A 11
Esercizi
di base
pag. A 30
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
3
Elevamento a potenza dei numeri naturali
Potenza di un numero naturale
Osserviamo che il quoziente fra due potenze, nell’insieme
dei numeri naturali, esiste solo se l’esponente del dividendo è maggiore o uguale a quello del divisore.
52 = 5 5 = 25
71 = 7
54 : 53 = 54 − 3 = 51 = 5
11 : 11 = 11
6
2
mentre l’operazione 3 : 3 non può essere eseguita con i
numeri naturali, essendo 4 7.
34
(2 ) = 2
3 4
(15 ) = 15
2 5
=2
25
12
= 1510
Elevamento a potenza di un prodotto: la potenza di
un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei
singoli fattori.
In simboli:
103 = 10 10 10 = 1000
40 = 1
(a b)n = an bn
(2 3) = 2 3
4
4
4
(7 5)2 = 72 52
L’applicazione delle proprietà viste può semplificare notevolmente il calcolo di espressioni con potenze. Per esempio, calcoliamo il valore di [(57 54) : 56]2 : (54)2. Applicando le proprietà delle potenze, abbiamo:
[(57 54) : 56]2 : (54)2 = (511 : 56)2 : 58 = (55)2 : 58 = 510 : 58 =
2 2 =2
=2
12 12 = 12
2
3
2+3
= 12
5
= 5 = 25
2
Divisione di potenze di uguale base: il quoziente di
due potenze che hanno la stessa base è una potenza
di quella stessa base avente come esponente la differenza tra l’esponente del dividendo e l’esponente del
divisore, se tale differenza esiste. In simboli:
an : am = an − m
con
Proprietà delle potenze
1. Calcola le seguenti potenze: 23, 32, 25, 54.
1. Verifica, utilizzando la definizione di potenza, che 32 34 = 36.
Effettuando le moltiplicazioni, ottieni:
Ricordando la definizione di potenza di un numero naturale, puoi scrivere i due fattori 32 e 34 come 32 = 3 3 e 34 = 3 3 3 3.
Quindi 32 34 = (3 3) (3 3 3 3). Ma il prodotto di 6 fattori uguali a 3 è 36, quindi hai verificato l’uguaglianza proposta.
23 = 2 2 2 = 8
32 = 3 3 = 9
25 = 2 2 2 2 2 = 32
54 = 5 5 5 5 = 625
Se invece calcoliamo prima il valore di ciascuna potenza e
poi effettuiamo i calcoli, otteniamo:
[(78 125 625) : 15 625]2 : 6252 =
= (48 828 125 : 15 625)2 : 390 625 = 31252 : 390 625 =
nm
= 9 765 625 : 390 625 = 25
A 12
2. Verifica, utilizzando la definizione di potenza, che 45 : 42 = 43.
Dopo aver scritto le due potenze come
45 = 4 4 4 4 4 e 42 = 4 4
puoi calcolare il quoziente
45 : 42 = (4 4 4 4 4) : (4 4) =
= (4 4 4) (4 4) : (4 4) = 4 4 4 ossia 43.
128 = 2 64 = 2 2 32 = 2 2 2 16 =
128 = 2 2 2 2 8 = 2 2 2 2 2 4 =
128 = 2 2 2 2 2 2 2 = 27
Risoluzione del problema
Uno per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza, otto per la quarta e così via,
raddoppiando fino alla sessantaquattresima casella... Quindi il numero di chicchi di grano è dato dalla seguente addizione:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + ...
Per esempio:
7
Potenza di un numero naturale
2. Scrivi sotto forma di potenza il numero
128.
Per esempio:
an am = an + m
3+4
VERIFICARE
(an)m = an m
Moltiplicazione di potenze di uguale base: il prodotto di due potenze che hanno la stessa base è una potenza di quella stessa base, avente come esponente la
somma degli esponenti dei due fattori. In simboli:
4
APPLICARE
7
Elevamento a potenza di una potenza: la potenza di
una potenza è una potenza avente la stessa base ed
esponente uguale al prodotto degli esponenti.
In simboli:
Nell’insieme dei numeri naturali, l’elevamento a potenza gode delle seguenti proprietà:
Per esempio:
4
4
Proprietà delle potenze
3
via, raddoppiando, fino alla sessantaquattresima casella”. Il sovrano, colpito per la modestia di questa richiesta, diede subito ordine di esaudire il desiderio,
ma presto si rese conto che sarebbe stato difficile accontentare Sissa a causa del numero eccessivamente
alto di chicchi di grano richiesti. Sai stimare il numero di chicchi di grano che sarebbero stati necessari?
Quindi, per esempio:
• a0 = 1 per ogni a diverso da 0;
• a1 = a per ogni a;
• se l’esponente n è maggiore di 1, an è il risultato della
moltiplicazione che ha tanti fattori uguali alla base
quanti ne indica l’esponente.
Per esempio:
Secondo un’antica leggenda, fu un bramino, Sissa, a
inventare il gioco degli scacchi. Quando il suo sovrano lo chiamò per chiedergli che cosa desiderasse per
quella meravigliosa invenzione, Sissa rispose: “Mio signore, non domando che qualche chicco di grano:
uno per la prima casella della scacchiera, due per la
seconda, quattro per la terza, otto per la quarta e così
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
Con l’espressione “elevamento a potenza” si indica
una moltiplicazione di più fattori fra loro uguali. Per esempio, il prodotto 3 3 3 3 è una potenza di base 3 ed
esponente 4; la si indica più brevemente con la scrittura
34. Dunque il numero 3, ossia il fattore che compare nella
moltiplicazione, si dice base, mentre il numero 4, ossia il
numero che indica quanti sono i fattori che compaiono
nella moltiplicazione, si dice esponente. Nei casi in cui l’esponente sia 2 oppure 3 si usa parlare, rispettivamente, di
elevamento al quadrato e di elevamento al cubo; il motivo di ciò è da ricercarsi nelle formule che danno, rispettivamente, l’area di un quadrato e il volume di un cubo: nel
primo caso si moltiplica la misura l del lato per se stessa,
ossia si esegue la potenza l2; nel secondo caso si esegue la
potenza l3, essendo l la misura dello spigolo del cubo.
L’elevamento a potenza di un numero naturale è un’operazione binaria che associa a ogni coppia ordinata di numeri
naturali (a, n) (non entrambi nulli) il numero an, detto potenza di base a ed esponente n (o, più semplicemente,
potenza ennesima di a). Il numero an viene così definito:
Problema
Siamo appena arrivati alla tredicesima casella: ne mancano ancora cinquantuno! Facciamoci
aiutare dalle potenze e scriviamo la precedente addizione nel seguente modo:
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 + 211 + 212 + ... + 263
Ovviamente al posto dei puntini vanno scritte e calcolate tutte le potenze di base 2 e con esponenti che vanno da 13 a 62. Si tratta di un numero enorme: sicuramente maggiore di 263, che
vale poco più di 9 miliardi di miliardi, come tu stesso puoi controllare utilizzando la tua calcolatrice tascabile (devi impostare l’operazione di elevamento a potenza precisando che 2 è la
base e 63 l’esponente: in molte calcolatrici ciò può essere fatto digitando in successione “2”,
“y x ”, “63”, “=”). Per avere il risultato esatto, senza eseguire l’addizione dei sessantaquattro addendi, bisogna fare qualche conto in più. Iniziamo con l’osservare che:
20 + 21 + 22 + ... + 262 + 263 = 1 + 2(1 + 21 + 22 + ... + 262)
Denotiamo ora con x la somma (1 + 2 1 + 2 2 + ... + 2 62). L’uguaglianza precedente diventa
x + 263 = 1 + 2x, dalla quale si ricava x = 263 − 1. Quindi il numero di chicchi di grano è dato da
1 + 2(263 − 1) = 264 − 1, che puoi calcolare utilizzando la tua calcolatrice. Pensa che la quantità
di grano costituita da questo numero di chicchi è immensamente superiore alla attuale produzione mondiale... La richiesta di Sissa era tutt’altro che modesta!
A 13
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 30
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
MODULO A_I NUMERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
4
Sistemi di numerazione
e scrittura polinomiale di un numero
Scrittura polinomiale
I sistemi di numerazione, sia orali, sia scritti, sono antichi quanto la civiltà: ogni popolo ha trovato il modo di
rappresentare i numeri, dando vita a sistemi di numerazione assai diversi fra loro. Alcuni sistemi erano di tipo additivo: in essi i simboli utilizzati avevano sempre lo stesso
valore, indipendentemente dalla posizione occupata nella
scrittura del numero; quest’ultimo si otteneva addizionando i valori delle singole cifre. Per gli antichi Romani che,
come gli Egiziani, utilizzavano un sistema di numerazione
additivo, XXXI rappresentava il numero trentuno, ossia
dieci più dieci più dieci più uno (il simbolo X sta per il numero dieci e il simbolo I sta per il numero uno).
In altri sistemi di numerazione, più evoluti, come per
esempio quelli indiano e arabo, il valore di una cifra che
compare nella scrittura di un numero dipende dalla posizione occupata da quella cifra. Per esempio, nella scrittura
545, il primo 5 (leggendo il numero da sinistra a destra)
rappresenta cinque centinaia, mentre il secondo 5 rappresenta cinque unità. Sistemi di questo tipo vengono detti
posizionali.
Le considerazioni che ora effettuiamo per la base dieci valgono per ogni base maggiore di 1. Ci poniamo il problema, fissata la base, di scrivere un qualunque numero.
Notiamo subito che se il numero è minore di dieci, ossia
minore della base, allora è sufficiente scrivere la cifra corrispondente al numero. Tutti gli altri numeri, compresa la
base, dovranno essere scritti utilizzando una combinazione delle cifre utilizzate nel sistema (delle dieci cifre 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nel sistema decimale). Immaginiamo,
per un momento, di non sapere come si scrive la base; indichiamola con X.
I primi undici numeri, nel sistema decimale, verranno
quindi indicati con 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, con X che
rappresenta il dieci, ossia la base. E dopo? È naturale scrivere il successivo di dieci come X + 1, continuando con
X + 2, X + 3, ..., fino a X + X = 2X che rappresenta il venti.
Continuando avremo 2X + 1 che rappresenta ventuno, ...
3X che rappresenta trenta, ... 9X + 9 che rappresenta novantanove. E come possiamo rappresentare cento, ossia il
successivo di novantanove?
9X + X = (9 + 1) X = X X = X 2
10
10
10
11
X X X I
+
+
+
=
31
Analogamente, mille si esprimerà come X 3, diecimila come
X 4. Si tratta solo di dare al dieci, ossia alla base, l’usuale
simbolo. Nei sistemi di numerazione posizionale, alla base
si associa sempre il simbolo 10. Possiamo quindi concludere che ogni numero naturale può essere rappresentato nel
sistema di numerazione decimale come combinazione delle cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e successive potenze di 10.
Per esempio:
Sistema additivo
79 055 = 7 104 + 9 103 + 0 102 + 5 101 + 5 100
5 4 5
5 unità
4 decine
5 centinaia
5 +
40 +
500 =
545
Una scrittura di questo tipo è detta scrittura polinomiale.
In generale, in una qualunque base X un numero N ha una
rappresentazione polinomiale del tipo:
N = an X n + an − 1 X n − 1 + ... + a1 X 1 + a0 X 0
Sistema posizionale
dove i coefficienti
I sistemi posizionali si distinguono sia per i simboli utilizzati sia, soprattutto, per il numero di cifre impiegate, che
individua la base del sistema stesso. Noi utilizziamo un sistema di numerazione decimale posizionale: si tratta di
un sistema inventato in India circa quindici secoli fa, utilizzato in seguito dagli Arabi e introdotto nell’Europa Occidentale dai mercanti italiani che lo appresero dagli Arabi.
an, an − 1, ..., a1, a0
variano nell’insieme delle cifre del sistema posizionale
scelto e X è la sua base.
Per esempio, nel sistema posizionale a base due, il numero
1011 corrisponde al numero 11 in base dieci:
Problema
I criteri di divisibilità e la proprietà di essere un numero primo dipendono dalla base nella quale sono espressi i numeri?
VERIFICARE
Sistemi di numerazione
In base dieci ogni numero che finisce per 0 è pari. Verifica che ciò non accade in base tre.
Basta pensare a 10 (in base tre), che è dispari (infatti non può ottenersi come somma di due numeri
uguali). Verifica che anche 120 (in base tre) è dispari. Nota che non tutti i numeri che finiscono con 0 (in
base tre) sono dispari. Per esempio, 110 (in base tre)
è pari, così come 220.
Nota anche che, sapendo che 10 (in base tre) è dispari, possiamo subito concludere che 20 (in base 3)
è pari. Infatti, si può dimostrare che, in qualunque
base, la somma di due numeri pari o di due numeri
dispari è pari, mentre la somma di un pari e di un
dispari è dispari.
Che cosa puoi dire di 100 (ossia della somma tra 10 e
20) in base tre?
Scrittura polinomiale
APPLICARE
1. A quale numero in base dieci corrisponde il numero 321 in base quattro?
Risolviamo il problema scrivendo il numero in forma polinomiale:
321(quattro) = 3 42 + 2 41 + 1 40 = 3 16 + 2 4 + 1 = 57(dieci)
2. Nell’informatica viene spesso usato un sistema di numerazione esadecimale, cioè in base sedici.
Le cifre sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, con la convenzione che:
la cifra
A B C D E F
corrisponde in base dieci a
10 11 12 13 14 15
Converti il numero esadecimale ABC in base dieci.
Si tratta di scrivere il numero in forma polinomiale, avendo presenti le convenzioni sul valore del numero indicato dalle cifre A, B e C:
ABC(sedici) = 10 162 + 11 161 + 12 160 = 2560 + 176 + 12 = 2748(dieci)
RAPPRESENTARE
Rappresenta in scrittura posizionale il più grande numero di tre cifre in base due e il più grande numero di tre cifre in base sedici.
Il numero più grande che ha il numero di cifre assegnato è quello in cui ciascuna cifra che lo compone rappresenta il numero maggiore: quindi in base due è 111 mentre in base sedici è...
Risoluzione del problema
Nei criteri di divisibilità si considerano le cifre
che compaiono nella scrittura del numero.
Poiché tali cifre dipendono dalla base scelta,
possiamo concludere che i criteri di divisibilità dipendono dalla base scelta. Per esempio,
il numero tredici, che in base tre si esprime
con la scrittura 111 (1 32 + 1 31 + 1 30),
non è divisibile per 3, nonostante la somma
delle sue cifre (1 + 1 + 1) sia divisibile per 3.
Invece la scrittura di un numero in una data
base non interviene nella definizione di numero primo. Per tale motivo, la proprietà “essere primo” non dipende dalla base scelta per
rappresentare il numero.
Per esempio, il numero tredici è primo, indipendentemente dalla base in cui viene rappresentato: 13 (in base dieci), 111 (in base
tre), 1101 (in base due).
1011(due) = 1 23 + 0 22 + 1 21 + 1 20 = 8 + 2 + 1 = 11(dieci)
A 14
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
Sistemi di numerazione
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
A 15
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 31
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
5
Tavole di addizione e di moltiplicazione
Le tavole dell’addizione
e della moltiplicazione in base dieci
ste. Per esempio, la differenza fra i quadrati di due numeri
successivi è uguale alla differenza tra il doppio del numero
maggiore e 1, ossia, per esempio:
Fin dai primi anni dei tuoi studi hai imparato a eseguire operazioni basandoti, più o meno consapevolmente,
sulla seguente tavola dell’addizione, relativa ai numeri
che in base dieci si scrivono con una sola cifra:
22 − 1 = 2 2 − 1 = 3
32 − 22 = 5
42 − 32 = 7
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0
0
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
1
12
13
14
15
16
17
18
19
10
2
2
13
14
15
16
17
18
19
10
11
3
3
14
15
16
17
18
19
10
11
12
4
4
15
16
17
18
19
10
11
12
13
5
5
16
17
18
19
10
11
12
13
14
6
6
17
18
19
10
11
12
13
14
15
7
7
18
19
10
11
12
13
14
15
16
8
8
19
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
APPLICARE
Le tavole dell’addizione e della moltiplicazione in base dieci
Nota anche che le tavole dell’addizione e della moltiplicazione consentono di risolvere problemi del tipo seguente:
“Determinare, se esiste, il numero x tale che 8 x = 24”.
Infatti, è sufficiente andare a guardare la riga dell’8 e vedere se in essa si trova il numero 24. Poiché tale numero si
trova in corrispondenza del 3, abbiamo x = 3.
Analogamente, possiamo dire che il numero x tale che
9 x = 72 è 8; invece non esiste un numero naturale x tale
che 6 x = 15. Naturalmente tale metodo ha successo solo
se il numero a destra del segno di uguaglianza è presente
nella tavola della moltiplicazione.
La risposta è affermativa. Infatti il numero 8 all’interno della tavola è presente nella riga del 3, come puoi vedere nella porzione di tabella qui riportata. Ciò significa che esiste un numero
che, addizionato a 3, dà 8. Puoi leggere il numero cercato, 5, in
testa alla colonna cui appartiene la casella contenente il numero 8.
+
0
1
2
3
4
5
16
0
0
1
2
3
4
5
16
1
1
2
3
4
5
6
17
2
2
3
4
5
6
7
18
3
3
4
5
6
7
8
19
4
4
5
6
7
8
9
10
RAPPRESENTARE
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
0
Quante caselle contiene la tavola dell’addizione in base X relativa ai numeri che, in base
X, si scrivono con una sola cifra? E quella della moltiplicazione?
Utilizzando la tavola dell’addizione, puoi determinare il risultato della sottrazione 8 − 3?
In generale, possiamo scrivere che:
n2 − (n − 1)2 = 2 n − 1
+
Problema
Addizione e moltiplicazione in base qualunque
Scrivi le tavole dell’addizione e della moltiplicazione in base due.
e sulla seguente tavola della moltiplicazione, anch’essa
relativa ai numeri naturali che in base dieci si scrivono con
una sola cifra (ricordi le famose tabelline?):
•
0
1
12
13
14
15
16
17
18
19
0
0
0
10
10
10
10
10
10
10
10
1
0
1
12
13
14
15
16
17
18
19
2
0
2
14
16
18
10
12
14
16
18
3
0
3
16
19
12
15
18
21
24
27
4
0
4
18
12
16
20
24
28
32
36
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
7
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
8
0
8
16
24
32
40
48
56
64
72
9
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
Addizione e moltiplicazione
in base qualunque
Poiché le cifre sono 0 e 1, le addizioni in cui gli addendi sono numeri a una cifra sono quattro, e precisamente:
Le proprietà dell’aritmetica non dipendono dalla particolare base scelta per rappresentare i numeri: per effettuare operazioni in una base X diversa da dieci è quindi
sufficiente scrivere le tavole dell’addizione e della moltiplicazione in base X e operare con esse nel modo consueto.
Supponiamo, per esempio, di voler effettuare operazioni
con numeri in base tre; le nuove tavole sono le seguenti:
+
0
1
2
0
1
2
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
2
10
1
0
1
2
2
2
10
11
2
0
2
11
Utilizzando le solite procedure di calcolo, facendo però riferimento alle tavole precedenti, possiamo eseguire in base tre 12 + 201 e 21 12:
Se osservi attentamente le tavole dell’addizione e della
moltiplicazione, puoi scoprire alcune regolarità. Proviamo
a guardare la tavola della moltiplicazione: innanzitutto notiamo che in ogni riga e in ogni colonna compaiono i multipli dei numeri naturali di riferimento di quella riga o colonna. Inoltre la tavola è simmetrica rispetto alla diagonale
principale, in grigio; questo vuol dire che a b = b a, ossia che vale la proprietà commutativa della moltiplicazione. È poi possibile scoprire alcune regolarità più... nasco-
12 +
201 =
220
21
12
112
212
=
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Analogamente, le moltiplicazioni sono:
00=0
01=0
10=0
11=1
Le tavole sono quindi:
+
0
11
0
1
0
0
11
0
0
0
1
1
10
1
0
1
Risoluzione del problema
L’addizione è un’operazione binaria, in quanto
richiede due addendi, a e b.
Per scrivere la tavola dell’addizione bisogna
contemplare tutti i casi possibili che si presentano scegliendo come addendi a e b due numeri a una cifra.
Nel sistema a base X vi sono X cifre, quindi
ciascun addendo può essere scelto in X modi
diversi. D’altra parte, per ogni scelta di a sono
possibili X scelte di b: concludiamo quindi che
il numero complessivo di casi possibili, e quindi di caselle nella tavola, è X X = X 2.
Nel caso del familiare sistema a base dieci, la
tavola dell’addizione contiene 102 = 100 caselle.
Quanto abbiamo visto vale anche nel caso della moltiplicazione in quanto essa, come l’addizione, è un’operazione binaria.
1022
A 16
A 17
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 32
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
6
Congetture, controesempi
e dimostrazioni
Problema
Supponi di avere un certo insieme A
di numeri naturali e di aggiungere 1 a tutti
gli elementi di tale insieme, ottenendo un
altro insieme B.
VERIFICARE
Congetture
1+3=4
3+5=8
5 + 7 = 12
Se, per esempio, avessimo osservato solo i seguenti casi
particolari:
Congetture
Controesempi e dimostrazioni
3+5=8
7 + 9 = 16
Di’ se la seguente congettura è vera
o falsa: “Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è
primo”.
Quale proprietà è comune a tutti i numeri che sono
somma di due numeri primi maggiori di 2?
11 + 13 = 24
15 + 17 = 32
avremmo ottenuto tutti numeri che sono divisibili per 8 e
forse saremmo stati indotti a produrre la congettura: la
somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile
per 8.
Questa congettura sarebbe stata falsificata da uno dei tanti controesempi possibili, come 1 + 3, oppure 5 + 7, somme che non sono divisibili per 8.
Il fatto di non riuscire a trovare un controesempio non garantisce che una congettura relativa a un’infinità di casi
possibili sia corretta. Se, per esempio, proviamo a valutare
la congettura la somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4, non riusciamo a trovare controesempi: ciò, però, non dimostra la correttezza della
congettura.
Una dimostrazione è un ragionamento che i matematici
utilizzano per precisare se e come le congetture che producono nel loro lavoro derivano da alcune proposizioni
che sono già state dimostrate (teoremi) o da proposizioni
che i matematici stessi hanno scelto di porre a fondamento di teorie già sistemate (assiomi).
Quindi, se vogliamo dimostrare che la somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4, dobbiamo
precisare se e come tale proposizione deriva dalle conoscenze che abbiamo posto a fondamento dell’aritmetica.
La dimostrazione può essere condotta utilizzando le seguenti proposizioni:
7 + 9 = 16
9 + 11 = 20
11 + 13 = 24
per giungere a osservare che le somme ottenute sono termini della “tabellina del quattro”. A questo punto potremmo chiederci se la nostra osservazione dipende dai particolari esempi scelti o è una caratteristica generale della somma di due numeri dispari consecutivi: potremmo essere indotti a scommettere che la proprietà osservata sui casi particolari abbia validità generale.
In tal caso avremmo prodotto una congettura, ossia una
proposizione che non è ancora stata dimostrata, ma che,
per alcuni motivi, riteniamo plausibile.
In riferimento al problema qui preso in esame, esprimiamo
la seguente congettura: la somma di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4.
a) tra due numeri dispari consecutivi esiste uno e un solo
numero pari;
b) la somma di due numeri dispari consecutivi è uguale al
doppio del numero pari che è compreso fra i due numeri dispari;
c) il doppio di un numero pari è divisibile per 4.
Controesempi e dimostrazioni
Il passo seguente può essere quello di provare a verificare la validità della congettura su altri esempi particolari, alla ricerca di un eventuale controesempio, ossia di un
caso in cui la congettura si rivela falsa.
Nel nostro esempio, potremmo cercare una coppia di numeri dispari consecutivi la cui somma non sia divisibile per
4. La ricerca del controesempio non è, in genere, semplice: può essere fatta a caso, ma allora nessuno garantisce
che dia risultati utili, oppure può essere mirata, ma allora
si devono già avere idee precise sull’affidabilità della congettura.
Dalle tre precedenti proposizioni discende che la somma
di due numeri dispari consecutivi è divisibile per 4, che è
quello che volevamo dimostrare.
Facendo ricorso al calcolo letterale, la dimostrazione è
immediata. Infatti, indicati con 2n − 1 e 2n + 1 due
generici numeri dispari consecutivi, la loro somma è
2n − 1 + 2n + 1 = 4n, che è un numero multiplo di 4.
A 18
CONGETTURARE
Iniziamo a provare con qualche esempio (dobbiamo scegliere numeri che
terminano con 7 e che non sono divisibili per 3): 7 è primo; 17 è primo; 37 è
primo...
I primi tre numeri naturali che finiscono
per 7 e non sono divisibili per 3 sono
primi: la congettura fino a ora regge.
Cerchiamo di costruire un controesempio: dobbiamo costruire un numero
composto non divisibile per 3 che finisca per 7.
È sufficiente scegliere un numero maggiore di 1, che finisca per 1 e non contenga 3 fra i suoi divisori, e moltiplicarlo per 7. Il numero:
11 7 = 77
non è divisibile per 3, termina con 7 e
non è primo.
La congettura è quindi falsa, perché
abbiamo trovato un controesempio.
Iniziamo con la fase di esplorazione:
3+5=8
13 + 7 = 20
7 + 11 = 18
7 + 23 = 30 ...
Si tratta di numeri che sono tutti pari.
Congettura: la somma di due numeri primi maggiori
di 2 è pari.
Dimostrazione: un numero primo maggiore di 2 non può
essere pari, altrimenti conterrebbe 2 fra i suoi fattori e non
sarebbe primo. Quindi qualunque numero primo maggiore
di 2 è un numero dispari. Poiché la somma di due numeri
dispari è un numero pari, concludiamo che la somma di
due numeri primi maggiori di 2 è pari, che è ciò che
volevamo dimostrare.
I matematici si stanno scontrando da molti anni con la seguente congettura, nota con il nome di congettura di
Goldbach, dal nome del matematico che, nel 1742, la formulò: ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi. Ebbene, a tutt’oggi non è stato trovato alcun controesempio a questa congettura, ma nemmeno si è riusciti a dimostrarla. La matematica, e in particolare l’aritmetica, sono ricche di problemi non ancora risolti!
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
Quando si affronta un problema nuovo, del quale non
si conoscono le strategie di risoluzione, si è portati a prendere in esame e a osservare casi particolari, allo scopo di
ottenere dalla loro analisi indicazioni e suggerimenti sui
modi in cui impostare la ricerca di eventuali soluzioni.
Supponiamo per esempio che ci venga posto il seguente
problema: determinare se la somma di due numeri dispari
consecutivi è sempre divisibile per uno stesso numero naturale.
È assai difficile riuscire subito a rispondere che tale somma è sempre divisibile per 4. Più probabilmente, cominceremmo a esplorare il problema studiandone casi particolari, come:
Che relazioni esistono tra le proprietà di
cui godono gli elementi dell’insieme A e le
proprietà di cui godono gli elementi dell’insieme B?
Risoluzione del problema
Il problema proposto è un tipico problema
aperto: esso ammette cioè molte risposte possibili, poiché esse dipendono dall’insieme A
che si sceglie. Fra le risposte che non dipendono dalla scelta di A, scriviamo le seguenti:
• tutti i numeri pari vengono trasformati in
numeri dispari e, viceversa, tutti i numeri
dispari vengono trasformati in pari;
• per ogni elemento a dell’insieme A esiste
un elemento b dell’insieme B tale che b è il
successivo di a nella successione dei numeri naturali;
• tutti i numeri primi maggiori di 2 presenti in A vengono trasformati in numeri non
primi (infatti tutti i numeri primi maggiori
di 2 sono dispari e aggiungendo 1 a un numero dispari si ottiene un numero pari,
ossia divisibile per 2 e, quindi, non primo);
• cambiano tutti i divisori dei numeri che
sono elementi di A (per spiegare perché,
ricorda la risposta al problema che chiedeva di dire se n e n + 1 sono primi fra
loro).
A 19
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 32
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
Problema
7
I numeri interi relativi
I numeri con segno e il concetto di opposto
L’introduzione dei numeri negativi, insieme alla seguente
definizione:
U′
O
U
P
−3
−1
0
1
3
a − b = − (b − a)
Il concetto di opposto di un numero intero a (ossia
quel numero che addizionato ad a dà come somma 0) consente di rendere sempre risolvibile in il problema di determinare il numero x tale che a + x = b, quali che siano i
numeri a e b.
b − a
se
Infatti x = 
−( a − b) se
b a
b a
Dare
03/05
Avere
55
Descrizione
Accredito
07/05
− 23
Pagamento con tessera
13/05
− 71
Assegno n. 88782
20/05
68
Versamento
23/05
38
Versamento
27/05
44
Accredito
− 34
21/05
Pagamento rata
Saldi:
• al 30/04 → 235 euro
• al 31/05 → 312 euro
DEFINIZIONE
rende la sottrazione sempre possibile con i numeri interi
relativi. Per esempio:
7−5=2
5 − 7 = − (7 − 5) = − 2
Data
VERIFICARE
I numeri con segno e il concetto di opposto
Verifica che 3 − 7 = − 4.
Per definizione, 3 − 7 = − (7 − 3) = − 4. Nota che nella
scrittura 3 − 7 = − 4 il segno “−” compare con due diversi significati: a sinistra dell’uguale rappresenta l’operatore di sottrazione; a destra dell’uguale rappresenta l’operatore di opposto, ossia indica che stiamo
prendendo in considerazione l’opposto di 4. Alcune
calcolatrici usano due simboli diversi per indicare l’operazione di sottrazione e quella di opposto di un numero: anche se ciò è corretto e apprezzabile, il fatto
che la sottrazione tra due numeri a e b sia definita
come l’addizione tra a e l’opposto di b ha portato all’uso di uno stesso segno per l’operazione di sottrazione e per quella di opposto.
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
Nel corso dei tuoi studi precedenti hai già imparato
che nell’insieme dei numeri naturali si possono sempre
eseguire le operazioni di addizione e di moltiplicazione:
comunque siano dati due numeri naturali a e b esiste uno
e un solo numero naturale s tale che a + b = s ed esiste
uno e un solo numero naturale p tale che a b = p.
Questo fatto si esprime anche dicendo che addizione e
moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme dei
numeri naturali. Invece la sottrazione e la divisione non
sono operazioni interne nei numeri naturali: in alcuni casi,
infatti, esse non sono definite. Per esempio, nei numeri
naturali non è possibile eseguire sottrazioni in cui il minuendo è minore del sottraendo (per esempio 7 − 9).
Per rendere anche la sottrazione un’operazione interna è
necessario ampliare i numeri naturali. Ciò viene fatto con
l’introduzione dei numeri − 1, − 2, − 3, − 4, ..., ossia con la
successione dei numeri interi negativi. L’insieme numerico formato dall’unione dell’insieme dei numeri naturali
con l’insieme dei numeri interi negativi è detto insieme
dei numeri interi relativi o, sinteticamente, insieme dei
numeri interi; è indicato con il simbolo .
I numeri interi negativi vengono spesso utilizzati nella vita
quotidiana: per esempio quando si devono rappresentare
valori di grandezze che stanno sotto un livello di riferimento che spesso si denota con lo 0, come le temperature
negative espresse in gradi centigradi o i debiti in un conto
corrente.
Possiamo visualizzare i numeri interi negativi come punti
su una retta: fissate su di essa un’origine e un’unità di misura, i punti che corrispondono ai numeri naturali possono
essere individuati semplicemente riportando, a partire dal
punto origine, e verso destra, tante volte l’unità di misura
quanto è il numero che si vuole rappresentare.
Su questa retta, per ogni punto P che sta alla destra del
punto origine O e che rappresenta un numero intero positivo n è possibile individuare un punto P′ simmetrico di
P rispetto a O, che rappresenta il numero intero negativo
− n, cioè il numero opposto del numero n rappresentato
da P.
Per esempio, l’opposto di 3 è − 3.
P′
La Banca della Solidarietà invia a Laura
una volta al mese l’estratto conto, cioè un
prospetto in cui sono registrati tutti i movimenti di denaro che sono avvenuti nel
conto corrente di Laura durante l’ultimo
mese. L’estratto conto relativo al mese di
maggio è riportato nella tabella a fianco.
In quale giorno si registra la variazione
maggiore?
Confronto fra numeri interi
Introduciamo adesso una nozione importante, quella
di valore assoluto di un numero.
DEFINIZIONE
Dato un numero intero a, si dice valore assoluto di a,
e si indica con la scrittura a , il numero a se a è
non negativo e il numero − a se a è negativo. In simboli:
a
se
a =
− a se
a0
a0
Chiamando concordi due numeri con lo stesso segno e
discordi due numeri di segno diverso, siamo in grado di
enunciare un criterio per confrontare fra loro due numeri
interi relativi a e b:
APPLICARE
Confronto fra numeri interi
Stabilisci quali delle seguenti disuguaglianze sono vere:
−3−2
8 − 12
− 3 − 2
− 7 − 1
• − 3 − 2 è falsa, infatti i due numeri sono concordi e negativi, per cui il maggiore è quello che ha minor valore assoluto;
• − 3 − 2 è vera, infatti − 3 = 3 e − 2 = 2 e 3 ... 2;
• − 7 − 1 è vera, infatti il numero − 7 è positivo, mentre il numero − 1 è ...;
• 8 − 12 è falsa, perché entrambi i numeri sono positivi, ma − 12 = 12, quindi 8 ... − 12.
CRITERIO
• a e b sono uguali se e solo se sono concordi e hanno lo stesso valore assoluto;
• se a e b sono discordi, il maggiore dei due è quello
positivo;
• se a e b sono concordi e positivi, il maggiore dei
due è quello con il maggior valore assoluto;
• se a e b sono concordi e negativi, il maggiore dei
due è quello con il minor valore assoluto.
A 20
Risoluzione del problema
Nella colonna del dare sono registrate le cifre
di denaro che escono dal conto di Laura per effetto di pagamenti vari: il segno − indica che
tali numeri sono crediti negativi, ossia debiti.
Fra questi, quello che corrisponde alla maggiore variazione è − 71: il 13 maggio la cifra posseduta da Laura diminuisce, e quindi varia, di 71
euro. I numeri riportati nella colonna dell’avere sono al contrario cifre di denaro di cui Laura
entra in possesso. In questo caso la maggior
variazione è quella del giorno 20, in cui i depositi di Laura aumentano di 68 euro. Nel corso
del mese la variazione di maggiore entità è
quella del 13 maggio, poiché − 7168.
A 21
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 33
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
8
Operazioni con i numeri interi
• se a e b sono discordi, il loro prodotto è il numero intero negativo avente come valore assoluto il
prodotto dei loro valori assoluti.
Le operazioni nell’insieme dei numeri interi sono definite
in modo tale da rispettare le seguenti condizioni:
• operando con numeri non negativi, che sono identificati
con i numeri naturali, si devono ottenere gli stessi risultati che forniscono le corrispondenti operazioni in ;
• le operazioni con i numeri interi devono godere delle
stesse proprietà che caratterizzano le corrispondenti
operazioni in ;
• le operazioni devono permettere di affrontare e risolvere
problemi in cui sono coinvolte quantità con segno.
Per esempio:
− 2 (− 3) = 6
5 (− 4) = − 20
(− 11) 2 = − 22
Da quanto detto discende la regola dei segni:
REGOLA DEI SEGNI
++=+
+−=−
−+=−
−−=+
Addizione e sottrazione con i numeri interi
La somma di due numeri interi a e b è così determinata:
Per convenzione, davanti ai numeri positivi si omette il segno +. La regola dei segni vale anche nel caso in cui si debba eseguire la divisione di due numeri interi a e b. Infatti:
• se a e b sono concordi e b è diverso da zero, il loro quoziente è il numero intero positivo avente
come valore assoluto il quoziente dei loro valori
assoluti;
Per esempio:
3 + 7 = 10
− 2 + (− 4) = − 6
11 + (− 5) = 6
1 + (− 9) = − 8
Il calcolo della differenza fra due numeri interi a e b, ossia
il risultato della sottrazione di b da a, può essere ricondotto al calcolo di una somma. Infatti:
• se a e b sono discordi e b è diverso da zero, il loro quoziente è il numero intero negativo avente
come valore assoluto il quoziente dei loro valori
assoluti.
Osserviamo che il quoziente fra a e b esiste quando esiste
il quoziente fra i numeri a e b. Per esempio:
− 200 : 50 = − 4
− 36 : (− 3) = 12
42 : (− 7) = − 6
Grazie alla regola dei segni, la moltiplicazione gode delle proprietà di cui gode l’analoga operazione con i numeri naturali.
La differenza fra due numeri interi è uguale alla
somma del primo (il minuendo) con l’opposto del
− b).
secondo (il sottraendo), ossia a − b = a + (−
Per esempio:
9 − 13 = 9 + (− 13) = − 4
5 − (− 3) = 5 + 3 = 8
Le operazioni di addizione e di sottrazione con i numeri interi godono delle stesse proprietà delle corrispondenti operazioni con i numeri naturali; inoltre, nell’insieme dei numeri interi, la sottrazione è un’operazione interna e, per ogni
numero intero a, esiste un numero intero x, detto opposto
di a, tale che a + x = 0. Tale numero si indica con − a.
Elevamento a potenza dei numeri interi
Il calcolo della potenza di un numero intero può essere ricondotto all’esecuzione di più moltiplicazioni; dalla regola dei segni deriva quindi che:
• la potenza di un numero intero positivo è sempre
un numero intero positivo;
• la potenza di un numero intero negativo è un numero positivo se l’esponente è un numero pari,
mentre è un numero negativo se l’esponente è un
numero dispari.
Inoltre, a1 = a per ogni intero a, a0 = 1 per ogni numero
intero a diverso da zero, mentre 00 è un’espressione priva
di significato. Per esempio:
(− 3)2 = (− 3) (− 3) = 9
(− 2)3 = (− 2) (− 2) (− 2) = − 8
Moltiplicazione e divisione
con i numeri interi
Il prodotto di due numeri interi a e b può essere così
calcolato:
• se a e b sono concordi, il loro prodotto è il numero intero positivo avente come valore assoluto il
prodotto dei loro valori assoluti;
A 22
Sul conto corrente bancario di Laura gli ultimi sei movimenti sono stati quelli evidenziati nella tabella a
fianco.
Sapendo che il saldo iniziale, cioè la cifra presente nel
conto corrente all’inizio del periodo esaminato, era di
135 euro, determinare i giorni in cui il conto è stato
“scoperto”, cioè non segnava crediti ma soltanto debiti, e il saldo finale.
APPLICARE
Data
Dare
11/06
− 125
12/06
Avere
Descrizione
Pagamento con tessera
85
Versamento
14/06
− 70
Assegno n. 88782
19/06
− 60
Pagamento rata
23/06
38
Versamento
27/06
50
Versamento
APPLICARE
Addizione e sottrazione con i numeri
interi
Moltiplicazione e divisione
con i numeri interi
Calcola la somma 4 + (− 7) + (− 1).
Calcola il valore della seguente espressione:
− 5 (− 2 + 6).
La somma dei primi due addendi è:
4 + (− 7) = ..........; addizionando a essa il terzo
addendo ottieni: .......... + (− 1) = ..........
Puoi conseguire lo stesso risultato calcolando la
somma degli ultimi due addendi:
(− 7) + (− 1) = .......... e aggiungendo a essa il primo addendo: .......... + (− 8) = − 4.
Avrai certo riconosciuto un’applicazione della
proprietà associativa dell’addizione fra numeri
naturali. Essa vale anche per i numeri interi e
stabilisce che (a + b) + c = a + (b + c) comunque
si scelgano i numeri interi a, b e c.
Determinando prima la somma all’interno delle
parentesi e quindi calcolando il prodotto di essa
con il fattore − 5 ottieni:
− 5 (− 2 + 6) = − 5 4 = − 20
Puoi conseguire lo stesso risultato scrivendo:
− 5 (− 2 + 6) = − 5 (− 2) + (− 5) 6 =
= 10 − 30 = − 20
Nei numeri interi vale infatti la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, a
te già nota nel caso dei numeri naturali, secondo la
quale a (b + c) = a b + a c comunque siano
scelti i numeri interi a, b e c.
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
• se a e b sono concordi, la loro somma è il numero
intero concorde con essi che ha il valore assoluto
uguale alla somma dei loro valori assoluti;
• se a e b sono discordi, la loro somma è il numero
intero concorde con l’addendo che ha il maggior
valore assoluto e di valore assoluto uguale alla
differenza dei loro valori assoluti.
Problema
VERIFICARE
Elevamento a potenza dei numeri interi
Eseguendo le moltiplicazioni, verifica che (− 2)5 = − 32.
Applicando la definizione di potenza, scrivi (− 2)5 come (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) (− 2). Esegui adesso le moltiplicazioni: (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) = 4 (− 2) (− 2) (− 2) = − 8 (− 2) (− 2) = 16 (− 2) = − 32.
Risoluzione del problema
Calcoliamo i saldi nei giorni in cui sono state registrate le operazioni:
• saldo 11/06: 135 + (− 125) = 135 − 125 = 10
• saldo 12/06: 10 + 85 = 95
• saldo 14/06: 95 + (− 70) = 95 − 70 = 25
• saldo 19/06: 25 + (− 60) = 25 − 60 = − 35
• saldo 23/06: − 35 + 38 = 3
• saldo 27/06: 3 + 50 = 53
Nei giorni dal 19 al 23 giugno il conto registra uno scoperto di 35 euro; il saldo finale è 53 euro.
Per determinarlo in modo più diretto possiamo addizionare al saldo iniziale la somma dei debiti e la somma dei crediti totalizzati nel complesso dei movimenti:
• debiti:
(− 125) + (− 70) + (− 60) = − 125 − 70 − 60 = − 255
• crediti:
85 + 38 + 50 = 173
• saldo finale: 135 + (− 255) + 173 = − 120 + 173 = 53
A 23
FARE PER
COMPRENDERE
Esercizi
di base
pag. A 34
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
q
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
Logica per la matematica
Ma c’è qualche motivo per cui + − = − ?
La regola dei segni di un prodotto appare a molti studenti piuttosto misteriosa:
eppure, dietro alle regole che si stabiliscono e si usano nella matematica ci sono
sempre delle ragioni ben precise.
Il principio di permanenza delle proprietà formali
Si sente dire che le regole della matematica sono convenzioni, che bisogna imparare a ricordare e ad applicare: ciò
non è scorretto, ma è bene sapere che queste convenzioni
raramente sono del tutto arbitrarie. Spesso esse sono dettate da esigenze specifiche: la regola dei segni di un prodotto è giustificata dall’opportunità che, nei numeri interi,
la moltiplicazione goda di tutte le proprietà di cui gode nei
numeri naturali. Questa esigenza è nota come principio di
permanenza delle proprietà formali, ed è un principio
che guida i matematici quando estendono operazioni valide
in un certo insieme numerico A a un altro insieme numerico
B di cui A può essere considerato un sottoinsieme: in altri
termini, si fa in modo che le operazioni definite in B godano, se possibile, di tutte le proprietà di cui godevano le
corrispondenti operazioni definite in A.
Proprio in quanto si tratta di un principio non legato a un
particolare insieme e a una specifica operazione, possiamo
considerarlo un principio di carattere logico.
In linea di principio, le possibili regole dei segni sono 16:
ciascuna di esse corrisponde a una colonna della tabella
seguente:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
+
+
+
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
Ciascuna di esse impone che, per esempio, 3 3 = − 9: se
accettassimo ciò, non potremmo far corrispondere al numero intero positivo il numero naturale 3, poiché il risultato della moltiplicazione del numero naturale 3 per se
stesso sarebbe diverso dal risultato della moltiplicazione
del numero intero + 3 per se stesso.
Infatti 3 3 = 9 e (+ 3) (+ 3) = − 9.
Dobbiamo quindi escludere le configurazioni dalla 9 alla
16 da quelle possibili, e la tabella si riduce alla seguente:
Le regole proibite
Se vogliamo che continuino a valere anche per i numeri interi
le stesse proprietà di cui godono i numeri naturali, ci accorgiamo che tutte le 16 configurazioni indicate nella tabella
precedente, eccetto quella della colonna 7, sono “proibite”.
Cominciamo a osservare che le configurazioni dalla 9 alla
16 non consentono di identificare i numeri interi non negativi con i numeri naturali: infatti, ciascuna di esse associa al prodotto di due numeri positivi un numero negativo.
1
2
3
4
5
6
7
e 2 (− 2) + 2 1
facendo ricorso alle regole dei segni stabilite dalle configurazioni 1 e 2.
Per la prima otteniamo:
2 (− 2 + 1) = 2 (− 1) = 2
essendo il prodotto di un numero positivo per un numero negativo un numero positivo; analogamente, per la seconda:
2 (− 2) + 2 1 = 4 + 2 = 6
Poiché abbiamo trovato che 2 (− 2 + 1) ≠ 2 (− 2) + 2 1,
concludiamo che le configurazioni 1 e 2 non permetterebbero
di conservare la validità della proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione che, al contrario, impone
2 (− 2 + 1) = 2 (− 2) + 2 1
Se vogliamo che la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione continui a essere valida, passando dai numeri naturali ai numeri interi, le scelte possibili per la regola dei segni sembrano ridursi a due:
+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
−
−
−
−
−
+
+
+
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
1
2
7
8
7
− 3 (− 2 + 1)
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
−
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
−
+
−
perché il prodotto di due numeri negativi è un numero negativo; analogamente per la seconda:
− 3 (− 2) + (− 3) 1 = − 6 − 3 = − 9
Abbiamo dunque verificato che:
− 3 (− 2 + 1) ≠ − 3 (− 2) + (− 3) 1
Possiamo dedurne che anche la regola stabilita dalla configurazione 8 impedirebbe di conservare la validità della
proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, secondo la quale le due espressioni devono essere
uguali.
L’unica regola possibile
Per poter mantenere, nel passaggio dai numeri naturali ai
numeri interi, tutte le proprietà delle operazioni valide nei
numeri naturali, abbiamo via via eliminato 15 delle 16 regole possibili, e l’unica regola che rimane è quella rappresentata nella colonna 7:
7
8
+
+
+
+
−
−
−
+
−
−
−
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
In realtà anche la configurazione 8 non consente di estendere la validità della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione passando dai naturali agli
interi. Vediamo perché considerando le due espressioni
+
A 24
2 (− 2 + 1)
8
+
Osserviamo adesso che le configurazioni 3, 4, 5 e 6 priverebbero la moltiplicazione nei numeri interi della proprietà
commutativa. Infatti, per ciascuna di esse il segno previsto per + − è diverso da quello previsto per il caso − +:
per esempio, il prodotto 1 (− 2) ha segno opposto al
prodotto − 2 1 e quindi non vale la proprietà commutativa, essendo 1 (− 2) ≠ − 2 1.
Se, passando dai numeri naturali ai numeri interi, si vuole
mantenere la proprietà commutativa della moltiplicazione,
le possibili configurazioni si riducono a quelle indicate
nella tabella a fianco.
Supponiamo ora di voler calcolare le due espressioni:
e − 3 (− 2) + (− 3) 1
Calcoliamole ricorrendo alla regola dei segni definita nella
configurazione 8. La prima è uguale a:
− 3 (− 2 + 1) = − 3 (− 1) = − 3
Essa, come avrai riconosciuto, è l’usuale regola dei segni.
È possibile dimostrare, anche se noi non lo faremo, che
questa regola consente di estendere alla moltiplicazione
fra numeri interi tutte le proprietà valide nella moltiplicazione fra numeri naturali. Proprio grazie al fatto che con
la consueta regola dei segni la moltiplicazione fra numeri
interi gode delle stesse proprietà di cui gode la moltiplicazione fra numeri naturali e che un numero intero non negativo può essere identificato con un numero naturale,
possiamo identificare la moltiplicazione fra numeri naturali con quella fra numeri interi non negativi.
A 25
MODULO A_I NUMERI
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
UNITÀ DI APPRENDIMENTO
9
Il calcolo mentale rapido
Il calcolo mentale
Per moltiplicare un numero per 5 può essere utile, a volte,
moltiplicarlo per 10 e poi dividere il risultato per 2. Per
esempio:
783 5 = (783 10) : 2 = 7830 : 2 = 3915
Analogamente, invece di moltiplicare un numero per 50 si
può moltiplicarlo per 100 e poi dividere il risultato per 2.
Per esempio:
421 50 = (421 100) : 2 = 42 100 : 2 = 21050
Se si deve moltiplicare un numero per 25 è possibile moltiplicarlo per 100 e poi dividere il risultato per 4.
Per esempio:
123 25 = (123 100) : 4 = 12 300 : 4 = 3075
Regole analoghe a quelle ora date per eseguire moltiplicazioni possono essere anche utilizzate per eseguire le divisioni. Per esempio, quando si deve dividere per 25 è possibile moltiplicare per 4 il dividendo e poi dividere il numero
ottenuto per 100, come illustra l’esempio seguente:
Il calcolo mentale esatto con “piccoli”
numeri
Forniamo alcuni esempi che suggeriscono regole di calcolo utili a eseguire operazioni mentalmente.
Vogliamo eseguire la sottrazione 347 − 58; conviene aggiungere 11 al minuendo e calcolare 358 − 58 = 300.
A questo punto sottraiamo 11, che prima avevamo addizionato, e otteniamo 289.
Eseguiamo ora la moltiplicazione
421 9 = 421 (10 − 1) = 4210 − 421 = 3789
La tecnica utilizzata nella moltiplicazione per 11 e in quella per 9 può essere estesa, come suggeriscono i seguenti
esempi:
230 111 = 230 (100 + 10 + 1) = 23 000 + 2300 + 230 =
= 25 300 + 230 = 25 530
124 99 = 124 (100 − 1) = 12 400 − 124 = 12 276
34 19 = 34 (20 − 1) = 680 − 34 = 646
18 51 = 18 (50 + 1) = 900 + 18 = 918
APPLICARE
Il calcolo mentale per valutazioni
approssimate
1. Calcola 1301 5.
Il Sole dista dalla Terra circa 149 milioni di
chilometri. Calcola quanto impiega la luce solare a giungere sulla Terra, sapendo che essa
si propaga alla fantastica velocità di 300 000
km al secondo.
Puoi moltiplicare per 10 e dividere il risultato per
2:
(1301 10) : 2 = 13 010 : 2 = 6505
Scrivi il prodotto nella forma:
2 400 000 000 000 000 : 2000 =
= (2 400 000 000 000 000 : 2) : 1000 =
= 1 200 000 000 000 000 : 1000 =
= 1 200 000 000 000
Perché questo metodo funziona?
Il calcolo mentale esatto con “piccoli”
numeri
Invece di dividere per 50 è possibile moltiplicare per 2 il
dividendo e poi dividere il numero così ottenuto per 100.
Per esempio:
Per effettuare valutazioni approssimate può esser utile
imparare a stimare “quanto grande” è il risultato di un calcolo, ossia a esprimerlo come il prodotto di un fattore numerico per una potenza di 10.
Supponiamo per esempio di voler valutare in euro il debito
pubblico italiano, stimato in 2 400 000 miliardi di lire nell’anno 2001. Il cambio fra l’euro e la vecchia moneta italiana, la
lira, è 1 euro = 1936,27 lire: se non siamo interessati a ottenere il valore esatto del debito, ma ci basta una ragionevole
stima, possiamo assumere un cambio approssimato di 2000
lire per ogni euro. Ciò semplifica notevolmente i calcoli; il
debito approssimato risulta:
c) se la somma s è maggiore o uguale a
dieci, il prodotto di a per 11 è il numero
che si scrive con le seguenti cifre (a partire da sinistra verso destra): la cifra delle
decine di a aumentata di 1, la cifra delle
unità della somma s, la cifra delle unità
di a.
Per esempio:
35 11 = 385
48 11 = 528
11 99 = 1089 11 55 = 605
APPLICARE
2. Calcola 39 41.
Il calcolo mentale per valutazioni
approssimate
Abbiamo applicato la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e abbiamo utilizzato la regola
della moltiplicazione per 10.
Tutte le volte che devi eseguire una moltiplicazione per
11, conviene scrivere il numero 11 come somma 10 + 1 e
applicare la proprietà distributiva.
Nella moltiplicazione per 9, possiamo scrivere il 9 come
10 − 1. Per esempio,
a) addizionare fra loro la cifra delle unità
e quella delle decine del numero a ottenendo il numero s;
b) se la somma s è minore di dieci, il prodotto di a per 11 è il numero che ha come
cifra delle centinaia la cifra delle decine
di a; come cifra delle decine, la somma s;
come cifra delle unità la cifra delle unità
di a;
425 : 25 = (425 4) : (25 4) = 1700 : 100 = 17
18 500 : 50 = (18 500 2) : (50 2) = 37 000 : 100 = 370
410 11 = 410 (10 + 1) = 4100 + 410 = 4510
Per moltiplicare un numero a di due cifre
per 11 è sufficiente eseguire le seguenti
operazioni:
Ogni secondo la luce percorre 300 000 chilometri:
quindi, per coprire l’intera distanza Sole-Terra
essa impiega 149 000 000 : 300 000 secondi. Se
approssimi ragionevolmente la distanza a 150 milioni di chilometri, puoi scrivere:
150 000 000 : 300 000 =
= (150 000 000 : 3) : 100 000 =
= 50 000 000 : 100 000 = 500
La luce impiega 500 secondi per giungere a noi
dal Sole: quindi il Sole che tu vedi in un dato
istante è il Sole “più giovane” di circa 8 minuti.
(40 − 1) (40 + 1) = 402 − 40 + 40 − 1 =
= 1600 − 1 = 1599
3. Calcola 1025 : 25.
Moltiplicando dividendo e divisore per 4, ottieni:
(1025 4) : (25 4) = 4100 : 100 = 41
Risoluzione del problema
Dobbiamo spiegare perché il metodo funziona, ossia dobbiamo produrre una dimostrazione
della sua correttezza. Un numero a di due cifre può essere scritto come 10 x + y dove x e y
sono, rispettivamente, la cifra delle decine e quella delle unità. Consideriamo il prodotto:
FARE PER
COMPRENDERE
(10 x + y) 11 = (10 x + y) (10 + 1)
Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, abbiamo:
100 x + 10 x + 10 y + y = 100 x + 10 (x + y) + y
Ecco quindi che il prodotto di a per 11 ha come cifra delle unità y; le altre cifre dipendono invece dalla somma (x + y). Se essa è minore di dieci, allora la cifra delle decine è proprio x + y e
quella delle centinaia è x (ossia la cifra delle decine di a). Se, invece, x + y è maggiore o uguale a
dieci, allora è necessario tenere conto dei riporti, ottenendo proprio quanto si voleva dimostrare.
ossia 1200 miliardi di euro.
A 26
Strumenti e attività
Lo spazio della teoria
Fino a qualche tempo fa non era semplice poter disporre di una calcolatrice: proprio per questo si sentiva la necessità di conoscere regole che consentissero di diminuire i
tempi di calcolo e di rendere più sicure le verifiche. Al giorno d’oggi le tecniche di calcolo mentale sono molto meno
sviluppate: nonostante ciò, la padronanza di tecniche di calcolo mentale rapido può rivelarsi utile quando si debba operare con numeri piccoli, tali da non giustificare l’uso della
calcolatrice, oppure quando si tratti di stimare il risultato di
un’operazione, per avere un controllo sulla correttezza delle operazioni di digitazione.
Poiché le tecniche di calcolo mentale non possono
prescindere dalla conoscenza delle proprietà delle operazioni, esse possono essere considerate un buon mezzo per
consolidare, attraverso il loro uso, la conoscenza di tali
proprietà.
Problema
A 27
Esercizi
di base
pag. A 34
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
o
MODULO A_I NUMERI
Collegamenti interdisciplinari/MATEMATICA E... ASTRONOMIA
o Le dimensioni dell’Universo
Nel corso dei secoli, gli astronomi hanno determinato le dimensioni dell’Universo a partire dai
corpi celesti a noi più vicini, quelli del Sistema Solare. Queste dimensioni, espresse mediante
un sistema di unità di misura, sono rappresentate da numeri su cui possiamo effettuare confronti
e calcoli che ci aiutano nel comprendere l’immensa vastità dell’Universo.
Figura 1. La Terra vista dallo spazio.
Numeri solari
Il Sole ha un diametro che è circa 110
volte quello della Terra: possiamo approssimarlo a 106 km (1 milione di chilometri). La parte di superficie solare
visibile nella fotografia di Figura 2 ha
quindi un’area di oltre 3000 miliardi di
chilometri quadrati, ossia è circa 12 000
volte maggiore di quella della Terra. Se
le due fotografie delle Figure 1 e 2 fossero nella stessa scala, la Terra dovrebbe essere grande come il punto alla fine
di questa frase. Sulla superficie del Sole
appaiono ciclicamente delle macchie di
colore scuro, chiamate appunto macchie solari, come quelle evidenti nella
fotografia a fianco, scattata il 30/31
marzo 2001. Il colore scuro delle macchie è dovuto alla loro “bassa” temperatura: infatti, rispetto alla superficie
brillante del Sole, che ha una temperatura di circa 6000 °C (gradi centigradi),
la temperatura dell’interno di una macchia è di “soli” 4500 °C!
Alcune di queste macchie sono così
grandi che il nostro pianeta scomparirebbe dentro una di esse!
Il Sole dista dalla Terra circa 150 milioni di chilometri, ossia circa 104 diametri terrestri. Questo significa che, se
la Terra fosse una sfera di 1 m di diametro, il Sole si troverebbe a 104 m di
distanza, cioè 10 km. In questa scala,
quale sarebbe il diametro del Sole?
Numeri stellari
La stella più vicina al Sole, Alfa Centauri, è distante 40 000 000 000 000 km
circa, ossia quarantamila miliardi di
chilometri. Un’astronave che viaggiasse
a una velocità di 40 000 km/h, la tipica velocità delle sonde spaziali attuali,
impiegherebbe ben un miliardo di ore,
cioè più di 100 000 anni per raggiungerla!
Nel corso del viaggio, le generazioni di
astronauti che si avvicendassero alla
guida della nave spaziale trarrebbero
ben poco conforto dall’osservare dai finestrini lo scenario assolutamente monotono di uno spazio completamente
vuoto, a temperatura di − 270 °C e
quasi totalmente buio.
Numeri terrestri
Nel Sistema Internazionale l’unità di
misura di lunghezza è il metro; originariamente, il metro era definito in
modo tale che la lunghezza dell’equatore terrestre fosse 40 milioni di metri.
Il pianeta Terra ha quindi un diametro
di circa 12 700 000 metri, ossia 12 700
km. La parte della superficie terrestre
visibile nella fotografia di Figura 1 ha
quindi un’area di circa 255 milioni di
chilometri quadrati.
Se tutti gli italiani si disponessero sull’equatore a distanza di un metro l’uno
dall’altro, essi formerebbero una fila di
circa 60 000 000 m, ossia di 60 000 km:
una volta e mezzo la lunghezza dell’equatore!
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
Figura 3. La sonda spaziale Pioneer 10 fu lanciata nello spazio il 2 marzo 1972.
Numeri galattici ed extragalattici
Per il nostro viaggio di fantasia potremmo scegliere un mezzo più veloce
dell’astronave: la luce. Muovendosi alla
fantastica velocità di 300 000 km/s,
essa impiega infatti 100 000 anni per
uscire dal piano della Galassia, l’immenso agglomerato in cui sono contenuti il Sole e tutte le stelle che popolano il cielo notturno.
E fuori della Galassia che cosa ci aspetterebbe? Ancora una immensa voragine
di spazio vuoto e altre sorprese. Ma
giunti al limite per ora fermiamoci ad
ammirare i suoi 100 miliardi di stelle e
a pensare che là in mezzo c’è casa nostra!
Figura 4. La galassia a spirale NGC 1232, molto simile alla nostra Galassia.
Figura 2. Fotografia del Sole con in evidenza le macchie solari (30/31 marzo 2001).
A 28
A 29
◗
Unità 1.
1.2
I numeri naturali: numeri primi e numeri composti
Numeri primi e numeri composti
5. Determina un criterio di divisibilità per 6.
6. Determina un criterio di divisibilità per 10.
7. Determina un criterio di divisibilità per 12.
1. Riconosci, fra i seguenti numeri naturali, quelli primi:
79
63
81
113
168
223
2. Determina i divisori propri di ciascuno dei
seguenti numeri naturali:
22
35
39
102
209
8. Dati due numeri naturali a e b, è vero che se 10
a) 32, 15 b) 52, 25 c) 46, 82 d) 72, 35
e) 120, 185
La scomposizione in fattori primi.
Il teorema fondamentale dell’aritmetica
4. Scomponi in fattori primi i seguenti numeri naturali:
325
1560
214
612
4202
5000
◗
122
divide il prodotto a ⋅ b e non divide a, allora
divide b?
9. Se n è un numero primo, n2 risulta primo?
Giustifica la risposta.
10. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
V F
a) Se a è divisibile per b, allora b è divisibile per a. ■ ■
b) Un numero che termina per 8 è sempre divisibile per 8.
■ ■
c) Un numero che termina per 5 è divisibile per 0. ■ ■
loro:
Unità 2.
2.8
guenti numeri naturali:
5
7
9
Massimo Comune Divisore e minimo comune
multiplo di due numeri naturali
5. Determina, a partire dalla definizione, il MCD
11
e il mcm delle seguenti coppie di numeri:
2. Determina almeno tre multipli comuni agli elementi
a) 12, 32
delle seguenti coppie di numeri naturali:
b) 5, 20
c)10, 24
d) 28, 16
seguenti gruppi di numeri:
b) 24, 78
c) 38, 28, 48
c) 12, 54
d) 15, 25
e) 14, 21
a) 35, 56 b) 396, 324 c) 48, 160 d) 122, 11 e) 18, 54
7. È vero che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi
9.
◗
Esercizi di base
8.
è divisibile per 6? Giustifica la risposta.
È vero che se due numeri naturali a e b sono primi
fra loro, anche a + b e a b sono primi fra loro?
Due navi partono dallo stesso porto, una ogni 21 giorni e
l’altra ogni 18 giorni. Se il 12 ottobre sono partite insieme,
in che giorno ripartiranno insieme?
Elevamento a potenza dei numeri naturali
Potenza di un numero naturale
2. Esprimi le seguenti potenze come prodotti: 5 ; 3 ; 8 .
6
1. Esprimi i seguenti prodotti come elevamento a potenza,
3. Calcola il valore delle seguenti potenze:
individuando in ciascuno di essi base ed esponente:
777777
99999
11 11 11 11 11 11
4
3
A 30
5
2
11
2
1035
0
3412
1
7
3
10
Aiuti
Ricorda che un divisore di un numero si dice
proprio se divide il numero ma è diverso da 1 e
dal numero stesso. Gli unici divisori propri di
1486 sono dunque 2 e 743.
numero naturale n che la renda vera:
2n = 32
a) 53 55
Dopo aver scritto l’insieme dei divisori di ciascun numero, si prendono solo quelli comuni.
2.5
Ricorda che il Massimo Comune Divisore è, fra
tutti i divisori comuni a due numeri naturali, il
più grande. Pertanto, dopo aver determinato
tutti i divisori di ciascun numero della coppia,
devi cercare il più grande di quelli comuni.
3.7
a) Basta osservare che 32 = 25 e 16 = …
c) Basta osservare che 12 = 22 3
3n = 81
n1 = 9
b) 23 53
c)(33)2 32 33
6. Determina, per ciascuna delle seguenti uguaglianze, il
numero naturale n che la rende vera:
a) 32 3n = 37
d) (53)n = 1
b) 22+n = 16
e) 85 : 8n = 83
c) 42 4n = 1024
f) 3n : 3 5 = 32
7. Scrivi sotto forma di un’unica potenza le seguenti
espressioni numeriche:
a) 32 23 : 16
b) 25 53 5
c)127 : 125 22 34
QUESITI
8. È vero che, per ogni numero naturale n, (n2)2 = n2+ 2?
Giustifica la risposta.
9. È vero che, per ogni numero naturale n, (3 n) 2 = 9 n?
Consideriamo un divisore primo di a b; esso è
un divisore di a o di b, ma non di a + b. Infatti,
per dividere a + b dovrebbe dividere sia a sia b,
mentre a e b sono primi fra loro.
Suggerimenti
I criteri di divisibilità presenti nella pagina Strumenti e attività possono essere combinati fra loro per ottenerne altri. In generale si può dimostrare che se un numero n è divisibile sia per un
fattore a, sia per un fattore b, con a e b primi fra
loro, allora n è divisibile per il prodotto a b.
n3 = 27
Proprietà delle potenze
5. Scrivi sotto forma di un’unica potenza i seguenti prodotti:
Poiché 360 = 23 32 5, esso è divisibile per tutte
le potenze di 2 fino all’esponente 3, cioè per 2, 22,
2 3, e lo è inoltre per tutti i possibili prodotti di
queste potenze di 2 per le potenze di 3 fino all’esponente 2 (2 3, 22 3, 2 32), e ancora per tutti i
prodotti di questi numeri per 5. Inoltre, siccome
tutti i fattori che risultano dalla scomposizione in
fattori primi del numero 24 sono presenti – con
un esponente maggiore o uguale – anche nella
scomposizione di 360, possiamo dire che i divisori di 360 includono tutti i divisori di 24 e che lo
stesso 360 è multiplo di 24.
2.3
4. Determina, per ciascuna delle seguenti uguaglianze, un
Consideriamo a b = 100 che, come richiesto dal
testo, è divisibile per 10; il numero 100 è dato dal
prodotto di 25 e 4 che non sono divisibili per 10,
quindi non è vero che se 10 divide il prodotto a b
e non divide a, allora divide b.
No, perché oltre ad avere come divisori i numeri 1 e n2 ha anche...
1.3
4
DEL TUTOR
1.9
QUESITI
4. Osserva le scomposizioni in fattori primi dei numeri 24
Unità 3.
1.5
meri, utilizzando la scomposizione in fattori primi:
d) 205, 65, 325
e 360. Puoi dire che 24 è un divisore di 360?
360 è divisibile per 22? E per 23? E per 24?
Il numero 22 3 è un divisore di 360? E di 24?
b) 8, 18
6. Determina il MCD e il mcm delle seguenti coppie di nu-
e) 36, 30
3. Determina i divisori comuni agli elementi dei
a) 11, 33
2.4
Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo di due numeri naturali
Divisori e multipli di un numero naturale
1. Determina almeno cinque multipli di ciascuno dei se-
a) 11, 3
1.8
QUESITI
1486
3. Individua le coppie formate da numeri primi fra
143
LO SPAZIO
Esercizi di base
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
Giustifica la risposta.
10. È vero che qualsiasi numero elevato a zero è uguale a zero?
11. Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere o false:
V F
a) 42 + 52 = 92
■ ■
b) 23 25 = 215
■ ■
c) 35 55 = (3 5)5
■ ■
6
3
3
d) 11 : 11 = 11
■ ■
◗
MODULO A_I NUMERI
Unità 4.
Sistemi di numerazione
e scrittura polinomiale
di un numero
Sistemi di numerazione
1. Nella scrittura dei numeri, gli antichi Babilonesi indicavano il numero 2 con il simbolo , e il numero 10 con
). In quali modi avrebbero potuto scrivere il numero
12, tenendo conto che essi non sfruttavano la posizione
di questi simboli?
2. Il numero 555 ha tre cifre uguali. Spiega che cosa permette di distinguere il loro significato.
Scrittura polinomiale
3. Scrivi nella forma polinomiale i numeri corrispondenti a:
CONSIGLI
Non confondere i numeri “primi fra loro” con i
numeri primi!
3 decine e 4 unità; 5 centinaia e 2 decine; 3 centinaia e 1
unità.
A 31
LO SPAZIO
QUESITI
4. Rappresenta nella forma posizionale i seguenti numeri,
6. Come avrebbero scritto i Romani il numero 555?
espressi in forma polinomiale:
a) 3 103 + 8 102 + 1 10 + 5 1
b) 2 102 + 1
c) 1 104 + 1 102
5. Scrivi nella forma polinomiale il numero 107 e il
suo doppio.
7.
8.
Spiega la differenza tra la nostra scrittura e la loro.
Per quale motivo pensi che sia stato utile
introdurre nel sistema posizionale la cifra 0 ?
Pensi che uno stesso numero abbia più cifre se rappresentato in base otto oppure in base tre? Giustifica
la risposta.
4.5
◗
5.3
Unità 5.
Tavole di addizione e di moltiplicazione
Addizione e moltiplicazione in base qualunque
5. Svolgi le seguenti operazioni in base due, dopo aver co-
Le tavole dell’addizione
e della moltiplicazione in base dieci
1. Guardando la tavola additiva dei primi dieci numeri na-
struito sia la tavola additiva, sia quella moltiplicativa:
turali in base dieci, di’ se sono vere le seguenti affermazioni, giustificando la risposta:
a) La somma di due numeri a e b è tale che a + b = b + a.
b) In ogni riga compare il numero zero.
c) Si può determinare un numero x tale che 7 + x = 2.
a) 110 + 10
b) 111 + 101
c) 11 10
6. Costruisci la tavola dell’addizione in base
quattro.
d) 11 101
a) 223(quattro) + 123(quattro)
possibile, il numero naturale x che la rende vera:
a) 6 + x =13
b) x + 2 = 11
c) 9 + x = 17
6.1
b) 31(cinque) 11(cinque)
QUESITI
3. Osserva la tavola moltiplicativa in base dieci: i numeri
8. È possibile che 28 387 sia un numero espresso in base
inseriti in dieci righe e dieci colonne sono cento. Nella
seconda riga ci sono i primi dieci numeri naturali, nella
terza i primi dieci numeri naturali moltiplicati per 2,…
nella sesta i primi dieci numeri naturali moltiplicati per 5
e così via fino alla decima riga. Qual è la somma di tutti i
numeri di questa tavola pitagorica?
9.
4. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, determina, se
nove?
Giustifica la risposta.
Stabilisci quali fra le seguenti uguaglianze sono vere e
quali false:
V F
a) 1000(due) = 13(cinque)
■ ■
b) 202(tre) = 10100(due)
■ ■
c) 101(due) = 12(quattro)
■ ■
d) 13(cinque) = 102(tre)
■ ■
Esercizi di base
◗
esiste, il numero naturale x che la rende vera:
a) 3 x = 21
b) x 6 = 48
c) 4 x = 25
Congetture, controesempi e dimostrazioni
1. Se n è un generico numero naturale, può essere pari o
Controesempi e dimostrazioni
4. Sono assegnati tre numeri naturali consecutivi. Dimo-
2. Rappresenta con simboli letterali un generico numero
5.
A 32
stra che la loro somma è un multiplo di 3.
Trova un controesempio per la seguente proposizione:
“La somma di due numeri primi è un numero pari”.
Come potresti riformulare tale affermazione per ottenere un enunciato vero?
6. Il prodotto di due numeri multipli di 3 è ancora multiplo
di 3. Puoi affermare che anche la loro somma è un multiplo di 3? Prova ad analizzare il problema ragionando sul
significato di multiplo anche per la somma.
Aiuti
107 = 1 102 + 7 100. Quindi per raddoppiarlo
è necessario moltiplicare per 2 ciascuno dei
prodotti per le potenze di 10, in questo modo:
2 107 = 2 (1 102 + 7 100) =
= 2 102 + 14 100 =
= 2 102 + 1 101 + 4 100
7. Quali previsioni puoi fare, rispetto alla divisibilità, per
Basta addizionare le righe:
(1 + 2 + 3 +… + 10) + 2 (1 + 2 + 3 + ... + 10)+
+ 3 (1 + 2 + 3 + ... + 10) + ... + 10 (1 + 2 + 3 +
+ ... + 10) = (1 + 2 + 3 + ... + 10) (1 + 2 + 3 +
+ ... + 10) = (1 + 2 + 3 + ... + 10)2 = 552 = 3025
Suggerimenti
Pensa a come gli antichi Romani indicavano il
10, il 100, il 1000 ecc.: avevano bisogno, ogni
volta che si giungeva a una nuova decina, e ogni
volta che si superava la lunghezza di 3 simboli
uguali consecutivi, di “inventare” nuovi simboli.
L’uso della cifra 0 ha consentito di rappresentare in maniera sintetica i multipli e le potenze di
10, quindi...
QUESITI
8.
un numero che risulti somma di due numeri primi? Giustifica la risposta.
Quali previsioni puoi fare, rispetto alla divisibilità, per
due numeri che siano primi tra loro?
Unità 7.
I numeri interi relativi
I numeri con segno e il concetto di opposto
1. Di’ in quali delle seguenti operazioni il risultato è un numero positivo e in quali è invece un numero negativo:
a) 15 − 7
b) 8 − 11
c) 25 − 12
d) 25 −72
e) 40 − 8
2. Scrivi qual è la condizione che non fa perdere di signifi-
Quando scriviamo 2n per indicare un numero
mediante simbolo letterale, rappresentiamo
senz’altro un multiplo di 2, comunque risulti n.
Quindi il generico numero pari si rappresenta
con il simbolo 2n. Poiché il consecutivo di un
pari è certamente un dispari, il generico numero dispari si potrà indicare con… Il prodotto tra
un pari e un dispari è senz’altro un numero pari,
visto che contiene almeno un fattore 2.
cato alla sottrazione nell’insieme dei numeri naturali.
Inizia facendo almeno tre esempi numerici e poi
generalizza.
3. Stabilisci qual è l’opposto di ciascuno dei seguenti numeri interi:
+ 2, − 3, + 25, − 12, − 23, + 7, + 2, − 3, − 2, + 5.
Un multiplo di 3 si può esprimere come prodotto di 3 per un altro intero m, ossia nella forma
3m. Pertanto il suo doppio si potrà rappresentare con… e il triplo con…
Confronto fra numeri interi
4. Ordina in modo crescente i seguenti numeri interi:
6.5
Ricorda che non tutti i numeri primi sono dispari: fa eccezione il numero 2. Pertanto, la proposizione si potrebbe riformulare nel modo
seguente:…
5 . Stabilisci quali delle seguenti disuguaglianze e ugua-
6.6
affermare che la loro somma è anch’essa multipla di 2?
Giustifica la risposta.
dispari. Rappresenta con simboli letterali un generico
numero pari e un generico numero dispari e
prova a formulare una previsione sul loro
prodotto: è pari o dispari?
DEL TUTOR
6.2
3. Se due numeri naturali sono entrambi multipli di 2, puoi
Congetture
che sia multiplo di 3. Come pensi che potrebbe
essere, rispetto alla divisibilità, il suo doppio?
E il suo triplo?
4.7
7. Utilizzando le tavole dei due esercizi precedenti, calcola:
2. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, determina, se
Unità 6.
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
◗
MODULO A_I NUMERI
5.6
7.2
− 5, + 7, − 18, − 2, + 9, 0, − 12, + 12, + 5
glianze sono vere e quali false:
V F
Due numeri, entrambi multipli di 3, sono tali da
potersi esprimere come prodotto di 3 per un altro
intero. Applicando la proprietà distributiva, si
può esprimere la loro somma come prodotto di 3
per un intero, ottenuto addizionando… Quindi
anche la loro somma è un multiplo di 3.
a) − 5 − 3
b) − 12 1
c) |− 7| |−9|
d) −1 |−1|
e) |−13| = 13
CONSIGLI
Per costruire la tavola basta osservare che:
4(dieci) = 10(quattro) e 5(dieci) = 11(quattro) ,
e così via...
■
■
■
■
■
■
■
■
■
■
QUESITI
6. Le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono
Attento! la sottrazione fra due numeri naturali
si può fare solo se il minuendo è maggiore del
sottraendo, altrimenti…
7.
A 33
operazioni interne all’insieme dei numeri naturali? E all’insieme dei numeri interi? Giustifica la risposta.
Sotto quale condizione il risultato della divisione fra due
numeri interi è ancora un numero intero?
CAPITOLO A1_I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI
MODULO A_I NUMERI
◗
Autoverifica
Unità 8.
delle competenze specifiche di capitolo
Operazioni con i numeri interi
Addizione e sottrazione con i numeri interi
Elevamento a potenza dei numeri interi
1. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, metti al posto
5. Svolgi i seguenti calcoli applicando opportunamente le
dei puntini il numero intero che la rende vera:
proprietà delle potenze:
a) ( ..........) + (− 7) = +13
c) ( ..........) + (+12) = −2
a) (− 2)3
b) (−12) + ( ..........) = − 10
d) (− 5) + ( ..........) = − 12
b) (− 3)4
c) (− 5) 3 22
d) 40 (− 4)2
6. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, metti al posto
dei puntini il numero intero che la rende vera:
2. Calcola:
a) (..........) : (− 3)2 = − 27
b) (− 2)2 (..........) = − 32
c) (..........) (− 9)5 : (− 9)2 = (− 9)6
a) − 3 − (− 2 + 5 − 7)
b) (−2 + 3 − 5) − (4 − 3 +2)
c) − (3 − 8 + 2) − (− 7 + 4 − 2)
9.
parentesi fa cambiare il segno del numero che si ottiene
svolgendo i calcoli entro la parentesi stessa? Giustifica
la risposta.
In ciascuna delle seguenti uguaglianze determina, se
possibile, il numero intero che bisogna sostituire a x per
renderla vera:
a) x + 3 = 0
b) −5 + x = 0
c) −7 + x = −2
d) x − 4 = 3
e) −12 + x = 7
◗
a) (−5) (+ 3) (− 4)
b) (+3) (− 2) (− 7)
c) (−5 − 7 + 3) (+7 − 5) (− 2)
siano anche divisibili per 3.
9. Calcola mentalmente il valore dell’espressione
85 : 83 − 8.
4. Individua la scomposizione in fattori primi dei
numeri 90, 54, 120, nonché i loro divisori comuni,
primi e composti.
10. Di’ se la seguente uguaglianza è vera:
MCD(35, MCD(42, 14)) = MCD(42, MCD(35, 14))
5. Perché un numero divisibile per 80 è divisibile anche
11. Calcola mentalmente quanto costano al chilogram-
per 4?
mo i biscotti Cric se una confezione da 400 g costa
€ 2.
Il calcolo mentale rapido
Il calcolo mentale
1. Moltiplica mentalmente:
81 12
12 31
58 22
a) Per moltiplicare rapidamente un numero per 11 è opportuno scrivere 11 come 10 + 1 e applicare la proprietà
distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione.
50 55
Quali proprietà delle operazioni aritmetiche hai applicato? Indica il procedimento seguito.
b) Per moltiplicare rapidamente un numero per 25 è opportuno moltiplicare il numero per 100 e poi dividere il
risultato ottenuto per 4.
2. Addiziona mentalmente:
524 + 66
1258 + 312
Esercizi di base
2931
anni (puoi assumere in media 75 battiti al minuto).
6. Se la benzina, presso un distributore, costa 1,15 euro al
mente e mentalmente i seguenti prodotti:
286 51
12. Stima il numero di battiti che il tuo cuore effettua in 3
a) 35 3n = 38
b) 58 : 5n = 56
c) (2n)4 = 1
secondo (senza scatto alla risposta). Una conversazione
della durata di 5 minuti costerà più o meno di 5 euro?
3. Applica le varie regole suggerite per calcolare rapida540 99
un numero naturale n che la renda vera:
5. Una telefonata con il mio telefonino costa 0,03 euro al
Il calcolo mentale esatto con “piccoli” numeri
208 9
6. Determina, per ciascuna delle seguenti uguaglianze,
Il calcolo mentale per valutazioni
approssimate
2024 + 3056
Indica in ciascun caso la procedura utilizzata.
54 11
8. Esiste un numero che ha un solo divisore?
8. È vero che il segno di operazione “meno” davanti a una
b) (..........) (+12) = − 96
d) (..........) : (−10) = + 6
4. Calcola:
358 + 12
2. Trova i fattori primi del numero 64.
3. Scrivi l’insieme dei multipli di 9 minori di 54, che
QUESITI
dei puntini il numero intero che la rende vera:
90 400
Autoverifica dei prerequisiti
[− 48 + (5 2 − 4)2 + (1 − 2) (32 − 5)] : 24
3. Per ciascuna delle seguenti uguaglianze, metti al posto
Unità 9.
X 3 + 3X 2 + X, dove X è la base del sistema numerico adottato. Scrivi in cifre i numeri corrispondenti
in base dieci e in base cinque. Addiziona i due
numeri ottenuti in base dieci e i due numeri ottenuti in base cinque.
pur essendo questi numeri composti dalle stesse
cifre?
7. Calcola il valore della seguente espressione:
Moltiplicazione e divisione con i numeri
interi
a) (..........) (−7) = + 35
c) (− 25) : (..........) = − 5
7. Considera le scritture polinomiali 2X 3 + 4X 2 + 2 e
1. Per quale motivo 3122 è diverso da 1322 o da 2132,
litro, il costo di un pieno di 60 litri supererà o no i 50 euro?
25 16
QUESITI
Illustra in ogni caso la procedura seguita.
7. Se un numero naturale è composto da 12 cifre, è maggio-
4. Discuti ciascuna delle seguenti affermazioni valutando
8.
se si tratta di indicazioni utili a eseguire velocemente
calcoli mentali.
A 34
re o minore del quadrato di 106?
Se un numero naturale si può ottenere come somma di
due numeri, entrambi di 8 cifre, può essere minore di 108?
A 35
MODULO_A_I NUMERI
CAPITOLO
Recupero
Risposte alle domande
della scheda di autoverifica
2
L’insieme dei numeri razionali
Indicazioni
per il recupero
◗
11. La posizione differente delle cifre, anche se le cifre in sé sono le stesse, determi- Esercizi pag. A 87
na numeri diversi. Per esempio, la cifra 3 nel primo numero indica le migliaia, nel
secondo le centinaia e nel terzo le decine.
Unità di apprendimento
1. I numeri razionali assoluti
12. Il numero 64 è uguale a 26, e l’unico numero primo divisore di 64 è 2.
Esercizi pag. A 76
2. Addizione e sottrazione di due numeri razionali
assoluti in forma di frazioni
13. Tutti i numeri multipli di 9 minori di 54 sono 0, 9, 18, 27, 36, 45. I multipli di Unità di apprendimento 2
9 sono anche multipli di 3, infatti 9 è multiplo di 3.
Esercizi pag. A 80
14. Dalle scomposizioni in fattori primi si ha:
90 = 2 32 5 54 = 2 33 120 = 23 3 5
I numeri primi, divisori comuni ai tre numeri assegnati, sono quindi 2 e 3.
L’unico divisore composto comune è 6 = 2 3.
3. Moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza
dei numeri razionali assoluti
Esercizi pag. A 76
4. I numeri razionali relativi
5. Confronto e operazioni con i numeri razionali
6. Potenze ed espressioni con i numeri razionali
15. 80 è multiplo di 4, pertanto se un numero è multiplo di 80, e quindi è divisi- Esercizi pag. A 80
7. Introduzione intuitiva ai numeri reali
bile per 80, lo è anche di 4.
16. a. n = 3
Esercizi pag. A 83
8. Approssimazioni di un numero reale.
Ordini di grandezza
Esercizi pag. A 87
Intersezioni
b. n = 2
c. n = 0
17. 2 103 + 4 102 + 2 = 2402(dieci)
10 + 3 10 + 10 = 1310(dieci)
2 53 + 4 52 + 2 = 2402(cinque)
53 + 3 52 + 5 = 1310(cinque)
2
Allora:
2402(dieci) + 1310(dieci) = 3712(dieci)
2402(cinque) + 1310(cinque) = 4212(cinque)
18. Il numero 1.
Unità di apprendimento 1
19. 56
Esercizi pag. A 98
10. L’uguaglianza è vera. Infatti MCD (42, 14) = 14; MCD (35, 14) = 7;
Esercizi pag. A 80
COLLEGAMENTI
INTERDISCIPLINARI
o
Frazioni e percentuali nella vita quotidiana
q
o
3
LOGICA
!
INFORMATICA
PER LA MATEMATICA
Le regole di buona formazione delle espressioni
PER LA MATEMATICA
Il calcolo delle espressioni numeriche con Derive
Competenze specifiche
R Rappresentare un numero razionale in diversi modi
MCD (35, 14) = MCD (42, 7)
R Interpretare i dati riportati da un quotidiano sotto
11. Costano € 5.
Esercizi pag. A 98
12. Circa 120 000 000.
Esercizi pag. A 98
forma di percentuali o di frazioni o di rapporti
o di numeri decimali
R Eseguire operazioni fra numeri razionali dati sotto
forma di frazioni
R Risolvere problemi in cui intervengono proporzioni
e percentuali
Consolidamento
A 36
Esercizi di
applicazione
pag. A 75
R
R Stimare l’errore assoluto commesso
in un’approssimazione
R Determinare l’ordine di grandezza di un numero
A 37