Arrotondando

ARROTONDANDO…
Cosa succede ad accostare figure identiche una all’altra? Le figure ottenute che proprietà
presentano? Posso trovare un qualche tipo di legge generale? Per rispondere a questa ed altre
domande ci si occupa del caso di tessere a forma di triangolo equilatero e si cerca per ogni
configurazione quella che presenta perimetro minimo.
FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI
Problema: trovare la figura che presenta il minor perimetro utilizzando di volta in volta un numero
crescente di tessere a forma di triangolo equilatero.
Si costruiscano varie figure utilizzando di volta in volta un numero di tessere crescente. Si conti il
perimetro delle figure così ottenute. In questa ricostruzione per ogni numero di tessere sono
presentati solo alcuni esempi.
1 tessera
Con una tessera la configurazione è obbligatorio a ha un perimetro minimo pari a 3.
2 tessere
Con due tessere vi è ancora un’unica configurazione che ovviamente presenta il perimetro
minimo pari a 4.
3 tessere
Ancora con tre tessere vi è un’unica configurazione con perimetro pari a 5.
4 tessere
Quando si hanno a disposizione le configurazioni possibili sono molteplici,
tuttavia tutte hanno un perimetro pari a 6.
5 tessere
Con cinque tessere si ritrova le stesse considerazioni fatte nel caso
precedente. In questa situazione però il perimetro è sempre pari a 7.
6 tessere
Nel caso di sei tessere le caratteristiche iniziano a mutare. Ora si
possono
trovare
configurazioni
che
presentano
un
perimetro pari a otto e una configurazione di minimo con
perimetro pari a 6. tale configurazione è l’esagono regolare.
7 tessere
Qui vengono proposti alcuni esempi. Anche in questo caso si scopre
che vi è una configurazione di minimo con perimetro
pari a 7. Tutte le altre configurazioni hanno un
perimetro pari ad un numero dispari.
8 tessere
Con otto tessere vi sono molte configurazioni che
presentano tutte un perimetro pari. Tuttavia a
differenza degli altri casi, vi sono ben quattro
configurazioni di minimo perimetro pari a 8.
9 tessere
Questo caso è simile al precedente. Vi sono
moltissime configurazioni che presentano
perimetro dispari e vi sono più configurazioni
che minimizzano il perimetro che in questo
caso è pari a 9.
10 tessere
Con dieci tessere si hanno molte configurazioni che
presentano un perimetro pari, ma a differenza dei due casi
visti in precedenza qui vi è un’unica configurazione di
minimo pari ad 8.
Ora si potrebbe continuare aumentano di volta in volta il numero di tessere, ma già con questi dieci
casi si possono fare utili considerazioni. Innanzitutto si osservi che con un numero dispari di
triangoli si ottiene sempre un perimetro di valore dispari, mentre con un numero pari di tessere tale
perimetro è pari. Altra considerazione importante che viene evidenziata dal quarto caso in poi è
come la configurazione di minimo perimetro sia riconducibile alla figura dell’esagono regolare.
Infatti tutte le configurazioni di minimo o devono completare un esagono regolare o presentano
tessere che lo circondano sul suo perimetro esterno. Questo è facilmente osservabile nel caso a dieci
tessere dove la configurazione di minimo sono due esagoni regolari sovrapposti. Inoltre si osservi
come non tutte le configurazioni di minimo perimetro siano simmetriche. Nonostante sia difficile
identificare una regola che vada bene per un numero qualsiasi di tessere, si intuisce che conviene
raggruppare le tessere a formare esagoni regolari e cercare il più possibile le simmetrie sistema.
Ultima annotazione è il fatto che il problema poteva essere espresso in un’altra forma e cioè trovare
tra tutte le figure formate da triangoli equilateri e di medesima area quella di perimetro minimo.
Ora però ci si può interrogare in un’altra maniera. Avendo provato varie configurazioni con celle
elementari di varia forma, ci si potrebbe chiedere quale è la figura piana che presenta il minor
perimetro a parità di area? Tuttavia appare chiaro che una dimostrazione per esempi è alquanto
difficoltosa e laboriosa. Si può però osservare come considerando solo una categoria di figure la
risposta sia alquanto semplice da dimostrare. Ad esempio tra tutti i triangoli di stessa area quello
equilatero possiede il perimetro minimo. Tra i quadrilateri è il quadrato, tra i pentagoni è quello
regolare. In generale tra tutti i poligoni con fissato numero di lati e area assegnata, quello regolare
ha perimetro minore. Ma allora, tra tutti i poligoni regolari qual è quello con perimetro minimo?
PERIMETRO DI UN POLIGONO REGOLARE
Problema: trovare il perimetro di un poligono regolare conoscendo
il numero di lati e l’area totale.
Si consideri un poligono regolare qualsiasi, dove si ha:
n = numero di lati ( n ∈ `, n ≥ 3)
p = lunghezza perimetro
l = lunghezza lato.
È immediata la relazione tra le tre grandezze
p = n ⋅l
Si evidenzi il centro del poligono regolare e lo si unisca con i
vertici del poligono.
Con questa operazione si costruiscono tanti
triangoli isosceli quanti sono i lati del poligono in
questione.
Si osserva che l’angolo al vertice α di ognuno di
questi triangoli così ottenuti è pari a
α=
2π
n
α
Si tracci l’altezza relativa al lato (la base del triangolo) e la indico con h. Sapendo che
la base del triangolo è pari al lato e misura l, utilizzando semplici formule
trigonometriche posso ricavare la relazione tra l ed h:
l
α
= h tan
2
2
Con semplici passaggi si ricava: h =
l
⎛π ⎞
2 tan ⎜ ⎟
⎝n⎠
L’area del triangolo ATRI ottenuto è: ATRI =
l ⋅h
=
2
l2
⎛π ⎞
4 tan ⎜ ⎟
⎝n⎠
L’area del poligono regolare A è n volte quella del singolo triangolo: A = n ⋅ ATRI =
Ma so che l =
p
e dunque: A =
n
n ⋅l2
⎛π ⎞
4 tan ⎜ ⎟
⎝n⎠
p2
⎛π ⎞
4n tan ⎜ ⎟
⎝n⎠
Da cui ottengo
⎛π ⎞
p = 2 n ⋅ A tan ⎜ ⎟
⎝n⎠
Si consideri di aumentare il numero di lati all’infinito ( n → ∞ ) . In questa situazione il poligono
⎛π ⎞
regolare si confonde col cerchio. Ricordando che lim n tan ⎜ ⎟ = π si ottiene
n →∞
⎝n⎠
p=2 π⋅A
Si dimostra facilmente la precedente formula, ricordando che p = 2 ⋅ π ⋅ r e A = π ⋅ r 2 dove r
rappresenta il raggio del cerchio:
2 ⋅π ⋅ r = p = 2 π ⋅ A = 2 π 2 ⋅ r 2 = 2 ⋅π ⋅ r
⎛π ⎞
Si osservi che la funzione p ( n ) = 2 n ⋅ A tan ⎜ ⎟ è decrescente e convergente al valore 2 π ⋅ A ,
⎝n⎠
come già osservato. Per dimostrare questa proprietà è possibile disegnare la funzione e osservare il
suo comportamento.
4,6
4,5
4,4
4,3
perimetro
4,2
4,1
4
3,9
3,8
3,7
3,6
3,5
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
numero lati
Avendo intuito che i poligoni regolari sono speciali rispetto agli altri, tra di essi ne esistono alcuni
che presentano delle caratteristiche uniche che non sono proprie di tutti? Ci si potrebbe chiedere
qual è o quali sono i poligoni regolari che permettono di ricoprire perfettamente un pavimento
facendo in modo che tra una tessera e l’altra non vi siano buchi?
PAVIMENTAZIONI REGOLARI
Problema: trovare con quali poligoni regolari è possibile formare pavimentazioni regolari.
Considero poligoni regolari di n lati ( n ∈ `, n ≥ 3) .
Attorno ad ogni vertice si raggruppano m poligoni regolari
α
α α
( m ∈ `, m ≥ 3 ) .
Valuto ora il valore dell’angolo alla circonferenza α. Si
evidenzi il centro del poligono regolare e lo si unisca
con i vertici del poligono. Con questa operazione si costruiscono tanti triangoli isosceli quanti sono
i lati del poligono in questione. La somma degli angoli di ogni triangolo è pari a π. La somma degli
angoli interni di un poligono regolare è pari a quella dei triangoli di cui è composto meno l’angolo
giro formato dagli angoli al vertice di ogni triangolo. In formule: n ⋅ α = n ⋅ π − 2π , da cui si ottiene:
α=
n−2
π
n
In ogni vertice si raggruppano m di questi angoli e si ottiene un angolo giro: m ⋅ α = 2π
m
p−2
π = 2π
p
⎛ 2⎞
m ⎜1 − ⎟ = 2
⎝ n⎠
⎛1 1⎞
m⎜ − ⎟ =1
⎝2 n⎠
Da cui
1 1 1
+ =
n m 2
Quella precedente è la relazione (*) che deve essere verificata per avere pavimentazioni regolari. Si
verifichi ora quali sono i poligoni, dunque i valori di n (e di m) per i quali essa è verificata. Per fare
ciò si utilizzi inizialmente una dimostrazione numerica. Si osservi che la relazione è simmetrica.
Se n = 3 da (*) si ottiene m = 6. Poiché si ottiene un numero naturale il triangolo equilatero è
soluzione del problema. Avendo osservato che la relazione (*) è simmetrica si ha come soluzione
anche con n = 6 e m = 3, che rappresenta un esagono regolare.
Se n = 4 da (*) si ottiene m = 4. Poiché si ottiene come prima un numero naturale il quadrato è
soluzione del problema.
Se n = 5 da (*) si ottiene m =
10
. Poiché non si ottiene un numero naturale il pentagono regolare
3
non è soluzione del problema.
Se n = 7 da (*) si ottiene m =
14
. Poiché come prima non si ottiene un numero naturale l’ettagono
5
regolare non è soluzione del problema.
Si potrebbe continuare tale dimostrazione sempre nel seguente modo affrontando un numero
infinito di casi. Si utilizzi ora una dimostrazione alternativa per n > 7 . Voglio trovare il valore
minimo di n per il quale vale la seguente relazione
1 1 1
> +
2 n 3
Si è posto m = 3 in quanto il suo inverso è il valore maggiore che si può ottenere al variare di m. Si
osservi che per n = 8 si ha
1 1 1 11
> + =
2 8 3 24
Dato che si ha
1
1
si dimostra che per n > 7 non vi sono soluzioni.
>
n n +1
Riassumendo: gli unici poligoni regolari che permettono di ottenere una pavimentazione regolare
sono il triangolo equilatero, il quadrato e l’esagono regolare.