Università Degli Studi di Palermo
Master in : Didattica delle scienze per insegnanti di scuola
primaria e medie
LABORATORIO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Prof.
Benigno Giovanna
Filippo Spagnolo
Melis Barbara
Benedetto Di Paola
Rinaldi Rosalia
Paola Brigaglia
INDICE
•
QUADRO STORICO
•
ANALISI EPISTEMOLOGICA
•
ANALISI DEI PROGRAMMI
79/85 E INDICAZIONI NAZIONALI
•
CONCETTO DI PROBABILITA’ IN MATEMATICA
•
ANALISI CRITICA DEI TESTI
•
RACCORDI INTERDISCIPLINARI
Il linguaggio della probabilità
Nella vita quotidiana di ciascuno di noi si verificano eventi per i quali si usano le
espressioni “è sicuro, è impossibile,è probabile”, esempio:
• Oggi pioverà o non pioverà?
• L’esame mi andrà bene?
In questo caso, i termini utilizzati hanno un valore qualitativo.
Oppure ci si trova di fonte a problemi di carattere probabilistico; esempio:
• Mescolando 5 volte un mazzo di 40 carte, quante sono le probabiltà che si trovino
nell’ordine giusto?
• Giocando 2 schedine quante sono le probabilità di fare un tredici?
Nel secondo esempio “La probabilità di un evento” non è altro che l'espressione
quantitativa
della
frequenza
con
cui
esso
si
verifica.
Il concetto di probabilità viene introdotto a partire dal ‘600 e lo si può individuare
nei libri “De aleae ludo” (Il gioco dei dadi) di Girolamo Cardano e “Sulla scoperta
dei dadi” di Galileo Galilei nei quali i due autori ottengono degli elenchi di numeri
facendo ricorso alle permutazioni.
La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a due grandi
scienziati quali Blaise Pascal e Pierre Fermat, in particolar modo nella
corrispondenza che si scambiavano discutendo di un problema legato al gioco
d'azzardo: Se si lanciano più volte due dadi, quanti lanci sono necessari affinché
si
possa
scommettere
con
vantaggio
che
esca
il
doppio
sei?
I due matematici francesi avevano quindi discusso su un fenomeno che in
matematica era completamente nuovo.
Una permutazione è un modo di combinare n oggetti distinti scambiandoli
di posizione, come nell'anagrammare una parola.
In termini matematici una permutazione di un insieme X si definisce come
una funzione biiettiva
L'inizio della teoria della probabilità, chiamata all'epoca la “dottrina della
sorte”, nasce come risposta a due classi di problemi, legate rispettivamente
ai giochi d'azzardo e alle assicurazioni.
Nel primo caso si trattava di valutare la probabilità di vincere scommettendo
sul verificarsi di un certo evento, ad esempio la faccia con su inciso il numero
6 nel lancio di un dado.
Nel secondo caso si rendeva necessaria per le banche la stima della
probabilità di morte di un individuo di una certa età, ovvero la probabilità che
egli potesse sopravvivere un determinato numero di anni dalla stipula del
contratto.
Questi due differenti contesti hanno dato luogo a diverse teorie per valutare
la probabilità:
• la teoria classica
• la teoria frequentista
• la teoria soggettiva
La teoria classica o oggettiva (Pierre Simon de Laplace )
Si applica ad esperimenti casuali i cui eventi elementari sono ritenibili
equiprobabili. La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi
favorevoli e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano
ugualmente possibili.
Ad esempio nel caso di una puntata sul colore rosso alla roulette: la
probabilità di vincere è pari a 18/37, circa il 49% (infatti i numeri rossi sono
18 su un totale di 37, essendoci oltre ai 18 numeri neri, anche lo zero che
è verde).
La teoria frequentista o empirica (Robert Von Mises)
Poggia su quella che è definita legge (o postulato) empirica del caso ovvero
legge dei grandi numeri: in una successione di prove fatte nelle stesse
condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell'evento
stesso, e l'approssimazione tende a migliorare con l'aumentare delle prove. Si
applica ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non sono ritenibili
ugualmente possibili, ma l'esperimento è ripetibile più volte sotto le stesse
condizioni. La probabilità di un evento è associata alla frequenza relativa del
verificarsi dell'evento stesso, su un elevato numero di prove (tendenti
all'infinito).
La teoria Soggettivista (Bruno De Finetti)
Si applica a esperimenti casuali i cui eventi elementari non sono ritenibili
ugualmente possibili e l'esperimento non è ripetibile più volte sotto le stesse
condizioni. La probabilità di un evento è fornita secondo l'esperienza personale
e le informazioni disponibili.
Immaginiamo che ci sia una partita di calcio e che lo spazio dei tre eventi siano
la vittoria della squadra di casa, la vittoria della squadra ospite e il pareggio.
Vediamo cosa accade con i tre approcci:
•secondo la teoria classica esiste 1 probabilità su 3 che avvenga il primo
evento
•secondo la teoria frequentista ci si può dotare di un almanacco e controllare
tutte le partite precedenti e calcolare la frequenza di un evento
•oppure, secondo la teoria soggettiva, ci si può documentare sullo stato di
forma dei calciatori, sul terreno di gioco e così via fino ad emettere una
probabilità soggettiva.
Analisi epistemologica sui concetti
probabilistici
“Se si vuole che la scuola rimanga un’esperienza vissuta in modo
consapevole nella
vita di uno studente, riconoscendogli così un ruolo di soggetto, è
necessario rivolgersi
alla Didattica della Matematica non per risolvere un problema di
insegnamento, ma
per indagare sull’epistemologia dell’apprendimento” (D’Amore)
Importanza dell’analisi epistemologica
•
La pratica didattica non può venire prima della conoscenza
del bambino in termini di sviluppo cognitivo, emotivo-affettivo,
sociale e morale;
• L’analisi epistemologica diviene quindi guida per scelte
operative che vengono sottoposte continuamente a critica e
dubbio in un processo costante di “ricerca-azione”;
• Essa rappresenta, pertanto, indispensabile riferimento per
insegnare ai bambini a pensare e usare correttamente la propria
mente;
L’evoluzione dei misconcetti
probabilistici fondati intuitivamente,
con l’età”
Relazione sull’articolo
di Efraim Fischbein
e Ditza Schnarch
L’articolo indaga sullo sviluppo dei concetti
probabilistici e in particolare sull’evoluzione dei
misconcetti fondati intuitivamente e relativi alle
previsioni o alle stime di probabilità circa il
verificarsi di un evento.
Ipotesi iniziale
I misconcetti legati alle
intuizioni probabilistiche
rimangono stabili col
passare degli anni, a
partire dal periodo delle
operazioni formali (12
anni).
Campione
5 gruppi di studenti:
• n. 20 classe 5° (10-11 anni)
• n. 20 classe 7° (12-13 anni)
• n. 20 classe 9° (14-15 anni)
• n. 20 classe 11° (16-17 anni)
• n. 18 università (18 anni)
Tutti gli studenti non avevano mai ricevuto insegnamenti
relativi alla probabilità
Strumento utilizzato
E’ stato elaborato un test comprendente 7 items, ognuno
legato a un misconcetto probabilistico e in particolare:
1. Rappresentatività
2. Effetti negativi e positivi dello stato recente
3. Eventi semplici e composti
4. L’errore dell’unione
5. Effetto del valore dell’esempio
6. L’euristica della disponibilità
7. L’effetto asse del tempo (il fenomeno Falk)
Risultati
Misconcetti che decrescevano con l’età:
• item 1 (rappresentazione);
• Item 2 (effetti positivi e negativi dello stato recente);
• Item 4 (errore dell’unione);
Misconcetti che crescevano con l’età:
• Item 5 (effetto del valore dell’esempio);
• Item 6 (euristica della disponibilità);
• Item 7 (effetto asse del tempo);
Misconcetti che si mantengono stabili con l’età:
• Item 3 (eventi semplici e composti)
Conclusioni
L’ipotesi iniziale circa la stabilità dei misconcetti legati alle
intuizioni probabilistiche, è stata confutata
Considerazioni degli autori:
L’evoluzione dei misconcetti probabilistici dipende dall’interazione
tra gli schemi cognitivi del soggetto e dai vincoli specifici che un
problema pone. Quando i vincoli sono abbastanza semplici e gli
schemi generali sono adeguati per tali vincoli, le frequenze dei
misconcetti rispettivi diminuiscono all’aumentare dell’età dei
soggetti. Viceversa, se gli schemi sono inadeguati per quel
determinato vincolo del problema, i misconcetti aumentano con l’età
dei soggetti.
Le diverse modalità di
ragionamento
a) Forme estensionali di pensiero:
-pensiero paradigmatico (o ipotetico-deduttivo)
b) Forme intensionali di pensiero:
-pensiero narrativo;
-pensiero divergente;
-euristiche (della disponibilità; della rappresentatività; della
simulazione; dell’ancoraggio e aggiustamento);
Entrambe rispondono all’esigenza di mettere ordine e dare un
senso agli eventi
Se le euristiche sono utilizzate prevalentemente
in situazioni che richiedono delle previsioni di
probabilità di un evento e se esse rappresentano
una diversa modalità di ragionamento, quali
considerazioni didattiche possiamo trarne?
Conoscere i diversi processi di ragionamento
sottesi allo studio della probabilità
La probabilità non consiste di semplici informazioni tecniche e
procedure conducenti a soluzioni. Piuttosto richiede un modo di
pensare che è differente da quello richiesto dalla matematica
scolastica. Nell’apprendere la probabilità gli studenti devono creare
nuove intuizioni. Esse servono per migliorare l’interpretazione
corretta degli eventi e della realtà.
Insegnare la probabilità significa allora conoscere i processi
sottostanti per creare quei conflitti cognitivi necessari per una
ristrutturazione degli schemi in strutture flessibili, coerenti ed
efficienti.
Nella pratica didattica si dovrà migliorare
la relazione tra processi automatici e processi
controllati.
I processi automatici e inconsapevoli come le euristiche sono
inconsapevoli, si attivano senza l’intenzione della persona (e anzi
sfuggono al suo controllo), e quindi possono portare a diversi
bias. Infatti, se ci si basa troppo sui propri criteri e non si tiene
conto di altre informazioni, spesso si sbaglia, soprattutto nel
giudicare i casi di singole persone e non nel rispondere su base
probabilistica. Fornire un’ adeguata disponibilità di risorse
cognitive può permettere la correzione di certi bias.
Conoscere le euristiche e i biases per partire
dall’errore
E’ utile fare congetture e stime con gli alunni prima di affrontare
risoluzioni "rigorose”; far riflettere gli alunni sui pregiudizi da cui
sono spesso affette le nostre valutazioni, le immagini mentali con cui
interpretiamo/ricostruiamo/registriamo ciò che vediamo
Mettere a fuoco la natura e i limiti dei modelli
matematici
E’ importante far osservare che affrontando un problema (non
deterministico) non sempre è sufficiente il ricorso alla statistica e alla
probabilità.
Sviluppare nuovi schemi cognitivi
Se ciascuno studente, in base ai propri stili cognitivi seleziona
particolari registri e li utilizza per affrontare con successo semplici
problemi, sarà incoraggiato successivamente a confrontarsi con
situazioni in cui questi registri sono insufficienti.
In tal senso Gianfranco Arrigo parla di sviluppo di competenza, in
quanto non vi sono contenuti specifici ma abitudini mentali da
acquisire, trasversali a diverse discipline. La metodologia, prendendo
spunto dall’idea soggettiva di probabilità, presente nei bambini nelle
situazioni di gioco o di scommessa, deve portare l’allievo a
oggettivare maggiormente la stima dei valori di probabilità.
Motivare all’apprendimento
I legami con situazioni reali forniscono occasioni per ragionamenti
"contestualizzati",
valutazioni
"intuitive",
favorendo
la
partecipazione anche degli studenti con più lacune tecniche iniziali
senza essere noiosa per i "bravi“.
I temi della statistica e della probabilità, che offrono una grande
varietà di attività di modellizzazione significative e realizzabili con
tecniche matematiche elementari, possono avere un ruolo importante
nell'educazione matematica, nell'esplorazione delle abilità di
matematizzazione degli alunni, nel recupero di motivazioni alla
"matematica",
Il ragionamento logico-paradigmatico
Il ragionamento ipotetico-deduttivo utilizza strategie ideali che
rispondono ai criteri di massima razionalità e della logica formale
(es. modello piagettiano)
Esso può risultare la modalità più efficace di ragionamento solo se è
possibile conoscere il peso relativo delle variabili in gioco e delle
loro influenze reciproche.
Se si considera tale modello come normativo, le euristiche vengono
considerate come errori logici o ragionamenti imperfetti.
Il pensiero divergente
Procede dalle informazioni verso soluzioni molto diverse
fra loro, ma del tutto funzionali per l’individuo all’interno
di uno specifico contesto.
All’interno di un processo creativo entrano in gioco diverse
variabili, non tutte di origine cognitiva: la motivazione, la
curiosità, la capacità di porsi problemi nuovi, la flessibilità
delle strategie utilizzate.
Forme intensionali di pensiero:
Le forme intensionali di ragionamento rappresentano delle scorciatoie
o ragionamenti economici che ci permettono di prendere delle
decisioni in tempi brevi evitando i lunghi e complessi processi di
calcolo propri del ragionamento paradigmatico; ovvero per affrontare
adeguatamente le diverse situazioni della vita quotidiana che
difficilmente risultano prevedibili. Esse nascono per uno scopo
diverso e risultano adeguate nell’interesse della specificità e nello
studio del caso singolo a discapito delle leggi generali (es.
nell’insegnamento).
La flessibilità del pensiero
Secondo Bruner (1986) le forme intensionali di pensiero non sono
errori logici, né si collocano ad un gradino inferiore rispetto alle
forme estensionali, ma si accompagnano ad esse rispondendo ad una
logica diversa da quella formale. In tal senso le forme intensionali di
pensiero non possono considerarsi errori logici. Ciò è confermato
dalla presenza di tali strategie di ragionamento anche in soggetti
adulti che sanno utilizzare correttamente il pensiero ipoteticodeduttivo.
Le Euristiche
Le Euristiche (Tversky e Kahneman) sono delle strategie di
ragionamento che si attivano in particolari situazioni sociali
concrete in cui è richiesta una previsione o una stima probabilistica
del verificarsi o meno di un evento o dell’appartenenza di un
oggetto ad una categoria (inclusione e classificazione).
L’euristica della rappresentatività
L’euristica della rappresentatività rappresenta uno dei possibili modi
di categorizzare un evento.
Essa si basa sul criterio di somiglianza tra un evento e il gruppo
considerato: più l’evento è simile o rappresentativo di un certo
gruppo o categoria, maggiore è la stima che esso appartenga a quel
determinato gruppo o categoria. Essa porta ad ignorare diversi altri
tipi di informazioni che sarebbero necessarie per formulare giudizi
probabilistici corretti.
Effetto negativo dello stato recente
Questa credenza è anche chiamata “errore del giocatore
d’azzardo” ed è legata all’euristica della rappresentazione:
intuitivamente l’alternanza delle uscite sembra rappresenti
meglio una sequenza random.
Per questo motivo uno che lancia una moneta tre volte e
ottiene testa può allora credere che la quarta volta sia più
probabile che esca croce.
Eventi semplici e composti
Per esempio, se due dadi sono lanciati
contemporaneamente, la tendenza è di dire che ottenere
due sei è più probabile che ottenere un cinque e un sei.
L’errore dell’unione
Anche questo errore è in relazione all’euristica della
rappresentatività per cui il criterio basilare è la somiglianza tra un
evento e il gruppo considerato.
Così, ad esempio, chiedendo se al mare ci sono più donne
abbronzate o più donne, dal punto della logica formale, la categoria
“donne” è più estesa ma la categoria “donne abbronzate”, sebbene
più intensionale, è più rappresentativa della realtà delle spiagge.
Effetto del valore dell’esempio
Gli individui tendono a trascurare l’influenza
dell’importanza di un esempio quando si valutano le
probabilità.
La credenza fondamentale è basata sull’idea che un
rapporto sia rappresentativo di un numero indefinito di
coppie di numeri.
L’euristica della disponibilità
Per stimare la probabilità di un evento ci si basa sugli esempi
che ci vengono in mente secondo la loro frequenza, salienza e
accessibilità.
Si utilizzano, cioè come criteri, gli stereotipi e i prototipi a
disposizione.
I prototipi, infatti, sono esemplari che condividono il maggior
numero di attributi con gli altri elementi della categoria cui
appartengono e il minor numero di attributi con gli elementi
delle altre categorie.
L’effetto asse del tempo
Le persone tendono a leggere e interpretare gli eventi
secondo lo schema causa
effetto e sul principio
quindi che un evento non può agire retroattivamente
sulle cause, in quanto costituirebbe un inversione
dell’asse tempo. Tale intuizione basata sulla
sequenza di eventi costituisce un errore di
ragionamento qualora nasconda la struttura
stocastica del problema.
Cos’è uno schema cognitivo?
Tra le varie definizioni dei diversi autori (Piaget,
Vygotsskij, ecc) ho scelto quella di Bruner, secondo il
quale gli schemi cognitivi, più che strutture mentali, sono
schemi di codifica delle informazioni, strategie che
guidano l’attività di ragionamento e possono essere di tipo
diverso, a seconda del compito.
Non esiste dunque un unico modo di ragionamento.
Fino ad allora, infatti, ad opera principalmente di Galileo Galilei e Isaac Newton dominava un
modo di vedere la realtà, detto determinismo meccanicistico secondo il quale, ogni fenomeno
fisico nel mondo reale doveva seguire leggi matematiche e che non ci si poteva fermare alla
descrizione di come era fatto il mondo, ma si doveva capire anche come funzionava. Nasceva
così la convinzione che poche leggi governavano i fenomeni del mondo fisico e permettevano di
prevedere ogni evoluzione futura dell'universo. Possiamo schematizzare il successo del determinismo meccanicistico con la seguente affermazione:
(Dati) + (Leggi) = (Conoscenza)
Ciò significa essere in grado ,per esempio,di prevedere in quale istante e in quale luogo un
corpo lanciato toccherà terra. Ma per Pascal e Fermat il meccanicismo deterministico non
riusciva a risolvere tutti i problemi che la ricerca poneva: certi fenomeni non si verificavano con
certezza ma avevano una evoluzione casuale non univocamente prevedibile. Per essi quindi
vale la seguente affermazione: (Dati)+(Leggi)=(Conoscenza non completa).
Né Pascal né Fermat diedero una stesura sistematica ai loro risultati, ma nel 1657 Huygens
pubblicò un trattato, De ratiociniis in ludo aleae (Sui ragionamenti nel gioco dei dadi), che era
stato ispirato dalla corrispondenza dei due francesi.
La soluzione di questo problema diede origine alla teoria della probabilità.
ANALISI CRITICA DEI LIBRI DI TESTO
MATMAT
1.
Notizie sul
testo
Titolo, autore,
anno di
pubblicazione,
livello ( grado)
scolastico di
pertinenza,
numero di
pagine.
2. Organizzazione
degl’argomenti
Struttura e
scansione degli
argomenti
(moduli,
unità di
apprendimento,
unità didattiche,
etc).
Germana Girotti;
Anno Pub.1998;
II Primaria;
pag.156
Indicatori:
1:
Riconoscere,
rappresentare
e
risolvere problemi;
2:Padroneggiare
abilità di calcolo orale
e scritto;
3: Operare con figure
geometriche
grandezze e misure;
4: Utilizzare semplici
linguaggi
logici
e
procedure
informatiche;
5:
Riconoscere
e
descrivere fenomeni
fondamentali
del
mondo
fisico,
biologico
e
tecnologico
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI 3
Pasquale
Sgambati;
Anno Pub 2002;
III Primaria;
pag. 192
Aritmetica;
Geometria;
Logica, Probabilità
Statistica,
Informatica;
Scienze
AMICO SOLE
Gilda Flaccavento
Romano;
V.
Gervasoni;
N.
Tinelli; R. Kohler;
Anno Pub. 2005;
IV Primaria;
pag. 288
UDA:
1: Il numero;
2: La geometria;
3: La misura;
4:
Il
pensiero
razionale;
5: Dati e previsioni
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
Pasquale
Sgambati;
Anno Pub. 2002;
V Primaria;
pag. 216
Aritmetica;
Geometria;
Logica, Probabilità
Statistica,
Informatica;
Scienze
REALTA’
E
MODELLI
PROGETTO
MODULARE DI
ALGEBRA
Gilda Flaccavento
Romano;
Anno Pub. 2004;
II media,
pag. 337
Roberto Vacca,
Bruno Artuso,
Francesco
Barreca,
Anno Pub. 2001;
III media,
Edizione Atlas
Pag. 541
UDA: Prima parte
Il numero
1: L’insieme Q+
2:
Una
nuova
operazione;
3: Problemi e tecniche
risolutive;
4: I numeri interi
relativi;
5:
Rapporti
e
proporzioni;
6: La probabilità;
UDA: Seconda parte
Dati e previsioni
1:
Elaborazioni
statistiche;
2: Il calcolo della
probabilità
Moduli, Unità e
sottounità
Modulo1: I numeri
relativi;
Modulo
2:
Il
calcolo letterale;
Modulo 3: La
geometria
analitica;
Modulo 4: La
matematica
del
certo
e
del
possibile;
Modulo 5: Logica
e strutture
algebriche
MATMAT
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI 3
AMICO SOLE
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
REALTA’
E
MODELLI
PROGETTO
MODULARE DI
ALGEBRA
Dati e previsioni
La matematica
del certo e del
probabile:
Unità 1: elementi
di statistica;
Unità 2: Elementi
del calcolo della
probabilità;
Prerequisiti esplicitati
ma non trattati
ampiamente ma
tramite semplici
definizioni o esempi.
Essi riguardano il
concetto di:
Previsione, Certo,
Possibile, Impossibile,
Rapporto,
Proporzione e
Percentuale
Prerequisiti
esplicitati ma non
definiti, solamente
nella prima unità.
Riguardano:
- Conoscere e
sapere costruire
tabelle a doppia
entrata e grafici;
- Conoscere e
sapere calcolare
rapporti e
proporzoni
3.
Metodologia
didattica riferita
al concetto
indagato
3.1 Contesto di
riferimento e
primo
approccio
3.2 Prerequisiti
richiesti dal
testo:
a) sono
esplicitati;
b) in che modo
vengono
presentati;
c) quali sono:
3.1 Utilizzare semplici
linguaggi
logici
e
procedure
informatiche
LogicaProbabilitàStatisticaInformatica
3.2 Il testo esplicita i
seguenti
concetti
Certo-PossibileImpossibile attraverso
degli esempi tratti
dalla vita quotidiana
Il testo esplicita i
seguenti concetti
Certo-PossibileImpossibile
attraverso
degli
esempi tratti dalla
vita quotidiana
Dati e previsioni
I prerequisiti sono
esplicitati
attraverso:
definizioni, grafici e
tabelle, esercizi.
I prerequisiti sono:
l’indagine statistica,
il concetto di dato,
popolazione,
frequenza, moda,
certo, probabile e
impossibile. I grafici
presento
sono:
ortogrammi
e
ideogrammi.
LogicaProbabilitàStatisticaInformatica
I
prerequisiti
sono esplicitati e
sono:
Certo,
Probabile
e
impossibile.
Vengono
presentati
attraverso
semplici
definizioni
MATMAT
3.
Metodologia
didattica riferita
al concetto
indagato
3.3 Metodologia
di presentazione
(tramite
attività/giochi,
presentazione
teorica, esempi
concreti,
linguaggio
formalizzato,
definizioni etc.)
3.4 Qualità di
presentazione:
a)
Immagini:
quantità,
tipologia,
pertinenza;
b) Attività/giochi:
quantità,
tipologia,
pertinenza;
c) Esempi:
quantità,
tipologia
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
3
AMICO SOLE
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
REALTA’
E
MODELLI
PROGETTO
MODULARE DI
ALGEBRA
3.3 Esempi concreti
tratti da esperienze di
vita quotidiana
Esempi concreti
accompagnati
da
semplici
attività costituite
da tabelle con i
tre
concetti
chiave che i
bambini devono
compilare
Esempi
concreti
accompagnati da
semplici
attività
costituite da tabelle
con i tre concetti
chiave
che
i
bambini
devono
compilare
Esempi concreti
accompagnati da
semplici attività
costituite
da
tabelle con i tre
concetti chiave
che i bambini
devono
compilare
Presentazione teorica.
Spiegazione tramite
linguaggio
formalizzato.
definizioni
Linguaggio
formalizzato.
Presentazione
teorica.
Poche definizioni
riferite ai concetti
chiave
3.4 Il testo è ricco di
immagini costituite da
semplici
disegni
pertinenti
all’argomento oggetto
d’indagine.
Sono
presenti delle tabelle
legate agli esempi che
i bambini dovranno
completare
Sono
presenti
molte immagini
semplici
e
pertinenti
associate
ad
attività
da
svolgere
Sono
presenti
molte
immagini
semplici
e
pertinenti associate
ad
attività
da
svolgere
Non sono
presenti molte
immagini perché
le pagine
dedicate
all’argomento
sono solo due
però sono
presenti attività
ed esercizi
Poche immagini con
disegni semplici. È
presente un esempio
pertinente per ogni
argomento il quale è
descritto utilizzando un
linguaggio
formalizzato
Sono
solo
presenti
due
immagini in 70
pagine.
Gli
esempi
sono
pertinenti
ma
pochi e collegati
all’utilizzo
di
tabelle
MATMAT
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
3
3.
Metodologia
didattica riferita al
concetto indagato
3.5 pertinenza:
d)
Linguaggio
teoricoformalizzato;
e) Definizioni e
proprietà
3.5 Non è presente
un linguaggio teorico
o formalizzato e
nessuna definizione
Non è presente
un
linguaggio
teorico
o
formalizzato
e
nessuna
definizione
3.6
Nessun
riferimento
interdisciplinare
e
viene utilizzato un
linguaggio quotidiano
Nessun
riferimento
interdisciplinare
e viene utilizzato
un
linguaggio
quotidiano
3.6 Trasversalità
e linguaggio:
a)
riferimenti
interdisciplinari;
b)
linguaggio
quotidiano
AMICO SOLE
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
REALTA’
E
MODELLI
PROGETTO
MODULARE DI
ALGEBRA
Per tutti gli argomenti è
utilizzato un linguaggio
teorico/formalizzato.
Sono presenti
definizioni chiare,
evidenziate e
accompagnate
dall’utilizzo di formule.
Le proprietà sono
esplicitate attraverso
tabelle
Non
è
presente
nessuna delle due
variabili
Viene
utilizzato
un
linguaggio
teorico/formalizza
to. Le definizioni
sono poche ed
evidenziate.
Le
proprietà
sono
esplicitate
attraverso grafici
e tabelle
Linguaggio teoricoformalizzato
adottato
prevalentemente
per
tutto
l’argomento.
Definizioni presenti
concise,
evidenziate
e
chiare
Sono
presenti
riferimenti
interdisciplinari alla:
Geografia.
Presente
il
linguaggio
quotidiano
attraverso immagini
ed esempi
Non è presente
un
linguaggio
teorico
o
formalizzato
e
nessuna
definizione
L’argomento
viene collegato
con la geometria
perché ci sono
attività
da
svolgere
(Es.: tracciando
una diagonale il
quadrato
si
trasforma in due
triangoli? V F)
È presente il
linguaggio
quotidiano
ma
solo in alcuni
esempi
MATMAT
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
3
AMICO SOLE
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
I concetti chiave
sono evidenziati
in
neretto
e
corsivo,
esprimono nodi
concettuali
attraverso attività
da svolgere. Non
sono
ambigue
perché
sono
esplicitate
con
chiarezza
e
semplicità
Le parole chiave
sono evidenziate in
grassetto nero e
rosso. Esprimono
nodi
concettuali
attraverso
le
definizioni.
Non
sono ambigue al
contrario chiare e
concise.
Non
possono risultare
da
ostacoli
all’apprendimento
perché l’argomento
è presentato con
immagini
ed
esempi
Le parole chiave
sono evidenziate
in grassetto nero
e in corsivo.
Esprimono nodi
concettuali
attraverso
immagini. Non
risultano
ambigue ne da
ostacoli
all’apprendimento
REALTA’
E
MODELLI
PROGETTO
MODULARE DI
ALGEBRA
Le parole chiave sono
evidenziate in
grassetto nero. Per
quanto concerne il
punto b si evidenzia
solo in alcuni paragrafi
in compenso non
risultano ambigue e
l’argomento è trattato
in modo chiaro
Le parole chiave
sono evidenziate
in grassetto nero.
Esprimono nodi
concettuali e non
possono risultare
ambigue perché
sono
accompagnate da
spiegazioni
esaurienti
4.
“Correttezza”
del testo per il
concetto indagato
4.1 Parole chiave
relative
al
concetto:
a)
Sono
evidenziate
(grassetto,
corsivo,
maiuscoletto etc.);
b) Esprimono nodi
concettuali
fondamentali per
l’apprendimento
consapevole del
concetto trattato;
c)
Possono
risultare ambigue;
d) Possono
risultare ostacoli
all’apprendimento
del concetto
Le parole chiave
sono:
Certo,
Possibile,
Impossibile.
Sono
evidenziate
ed
esprimono
nodi
concettuali
fondamentali
MATMAT
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
3
4.
“Correttezza”
del testo per il
concetto indagato
4.2
Giudizio
soggettivo
in
relazione all’analisi
effettuata
Linguaggio
(iconico,verbale…);
Uso
del
simbolismo;
- Esercizi ed attività
AMICO SOLE
NUOVO GIOCO
CON I NUMERI
REALTA’
E
MODELLI
PROGETTO
MODULARE DI
ALGEBRA
L’argomento
è
trattato attraverso
un
linguaggio
iconico e verbale
ma
non
sono
presenti giochi e
attività pratiche da
svolgere.
Il
simbolismo
è
presente
tramite
grafici formalizzati
L’argomento non
è trattato in
modo esaustivo
e mancano i
giochi
È’ presente un
linguaggio verbale e
formalizzato, sono
presenti molte
immagini e formule,
giochi e attività da
volgere. Il simbolismo
è espresso attraverso
tabelle e schemi. Gli
esercizi, però sono
nella maggiore a
risposta multipla
È’ presente un
linguaggio verbale
formalizzato e vi è
alto uso del
simbolismo
espresso
attraverso tabelle,
grafici e
diagrammi. Alla
fine di ogni unità
sono presenti
numerosi esercizi
distinti in esercizi
di riepilogo e di
consolidamento
È
presente
un
linguaggio iconico
accompagnato da
immagini e tabelle
ma
non
sono
presenti dei giochi
o
attività
da
svolgere in classe
È ricco di attività
ed
esercizi
riepilogativi.
Anche in questo
testo mancano
giochi ed attività.
Il linguaggio è
prettamente
iconico
Legge dei grandi numeri
La Legge dei grandi numeri detta pure legge empirica del caso oppure
teorema di Bernoulli (in quanto la sua prima formulazione è dovuta a Jakob
Bernoulli) afferma che la frequenza relativa di un evento tende a stabilizzarsi
all'aumentare del numero delle prove.
Aumentando il numero di volte che un esperimento viene ripetuto, la stima
della probabilità di un evento si avvicina alla probabilità reale.
CASI FAVOREVOLI
EVENTI CHE DI VOLTA IN VOLTA SI POSSONO
VERIFICARE
SPAZIO DEGLI EVENTI
DEI CASI POSSIBILI NUMERO
Certi
Impossibili
Eventi che in seguito ad un
esperimento
deve
obbligatoriamente verificarsi.
Tale evento costituisce l'unita
di misura per la probabilità: si
attribuisce, cioè, all'evento
certo
probabilità
uguale
all'unità. Di conseguenza tutti
gli altri eventi, probabili ma
non
certi,
saranno
caratterizzati da probabilità
minori all'unità.
Eventi che non possono
accadere nella prova in
questione.
All'evento
impossibile è associata una
probabilità uguale a zero.
Possibili
Eventi che possono
accadere nella prova
in
questione.
All'evento possibile è
associata
una
probabilità uguale a
uno.
Obiettivi posti dai Programmi del 1979
- Semplici spazi di probabilità: eventi aleatori, eventi disgiunti e 'regola
della somma‘
- Probabilità condizionata, probabilità composta. Eventi indipendenti e
regola del prodotto'.
- Elementi di statistica descrittiva: rilevazione di dati, valori di sintesi, indici
di variabilità.
Obiettivi posti dalle Indicazioni Nazionali del 2004
Dati e previsioni
Classe 1
Rappresentazioni
iconiche o grafiche di
semplici dati, ordinate
per modalità
1 Biennio
Popolazione
(o
collettivo)statistico;
Unità statistiche
Modalità qualitative e
quantitative;
Tabelle di frequenze
Rappresentazioni
grafiche
Moda
2 Biennio
Analisi e confronto di
raccolte
di
dati
mediante gli indici
Moda,
Mediana,
Media
aritmetica,
Intervallo
di
variazione;
Ricerca
di
informazioni desunte
da statistiche ufficiali
(ISTAT)
Qualificazione e prima
qualificazione
delle
situazioni incerte
Obiettivi posti dalle Indicazioni Nazionali del 2004
Scuola media
1° - 2° - 3° anno
Caratteri derivanti da misurazioni
Classificazione di dati con intervalli di ampiezza uguale o diversa
Istogramma di frequenze
Calcolo di frequenze relative e percentuali, e loro confronti
Campione estratto da una popolazione: esempi di campioni rappresentativi e non
Probabilità di un evento; valutazione della probabilità di semplici eventi
Media aritmetica e valore atteso
Aspetti storici connessi: questioni probabilistiche nel passato (ad esempio : I primi
giochi con i dadi nella Francia del 1600)
Nucleo: I Dati e le previsioni
Costruzione delle seguenti competenze
1.
Organizzare una ricerca.
2.
Interpretare dati usando i metodi statistici.
3.
Effettuare valutazioni di probabilità di eventi.
4.
Risolvere semplici situazioni problematiche che riguardano eventi.
5.
Sviluppare e valutare inferenze, previsioni ed argomentazioni basate su dati
Concetto di probabilità in matematica
La probabilità è un numero sempre compreso tra 0 e 1. In matematica con il
calcolo delle probabilità si studiano gli eventi casuali probabili, cioè quegli eventi che
possono o non possono verificarsi e che dipendono unicamente dal caso. Tale studio
permette di assegnare agli eventi casuali o aleatori un valore numerico al fine di poter
confrontare oggettivamente tali eventi e decidere quale tra essi ha maggiore
probabilità di verificarsi. La probabilità matematica di un evento casuale è uguale al
rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero degli casi possibili ammettendo
che tutti i casi abbiano la stessa possibilità di verificarsi. Quando non è noto il numero
dei casi favorevoli o il numero dei casi possibili o sono ignoti entrambi per un evento
casuale è evidente che non si può calcolare la sua probabilità matematica. Si ricorre
in questo caso alla probabilità statistica determinata osservando un modello naturale
o artificiale dell'evento casuale da studiare. Se il campione è abbastanza grande, la
legge dei grandi numeri dice che è lecito considerare la frequenza dell'evento uguale
alla sua probabilità statistica.
Dalla nascita della teoria della probabilità, si è spesso cercato di dare una
definizione del significato del concetto di probabilità. Nel 1933 A. N. Kolmogorov
diede
un'impostazione
assiomatica
alla
teoria
della
probabilità.
Questa
impostazione è tuttora in uso. Con i suoi Fondamenti della teoria della probabilità ,
Kolmogorov riteneva che non fosse importante definire il significato filosofico del
concetto, bensì quello matematico.
Kolmogorov definì pertanto tre assiomi:
1. 1. Ad ogni evento casuale a corrisponde un certo numero P(a), chiamato
"probabilità di a", che soddisfa la disuguaglianza 0 <= P(a) <= 1.
2. 2. La probabilità dell'evento certo è 1.
3. 3. La probabilità dell'unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi
mutuamente esclusivi è pari alla somma delle probabilità di questi eventi.
A partire da questi tre assiomi, sono stati in seguito formulati vari teoremi e varie
leggi che costituiscono la base della moderna teoria della probabilità.
Raccordi Interdisciplinari scuola primaria
Classe prima
Classi quarte
Scienze: Analisi dei fenomeni della realtà
circostante.
Tecnologia
e
informatica:
Nascita dell’informatica.
Italiano: Strutturazione di frasi con significato
logico.
Geografia: Lettura e utilizzo di
grafici,
carte
tematiche,
cartogrammi.
Classi seconda e terza
Scienze: Rappresentazione grafico-simbolica
dell’andamento di semplici fenomeni;
Classi quinte
Formulazione
di
ipotesi
(previsione
sull’andamento di un fenomeno), verifica
attraverso la sperimentazione.
Geografia: Interpretazione dei grafici.
Italiano: Analisi del significato di proposizioni,
strutturazione di frasi con significato logico.
Laboratorio di informatica:
Costruzione di tabelle della
probabilità al computer.
Geografia: Rappresentazioni
tabellari e grafiche relative a
dati geografici.
In matematica tappe rilevanti della diffusione della probabilità sono state
l'invenzione del calcolo stocastico, la rappresentazione probabilistica delle
soluzioni delle equazioni paraboliche, la teoria dei sistemi dinamici, la
dimostrazione probabilistica di teoremi di topologia. Più recentemente il
legame tra probabilita e problemi di logica come la teoria degli algoritmi, la
teoria della complessità e, a livello di fondamenti della matematica, l'ipotesi
del continuo, testimonia il progressivo ampliamento della sua influenza
concettuale.
Inoltre gli eventi si dicono mutuamente escludentesi o incompatibili
quando fanno riferimento a quegli eventi aleatori che non possono
verificarsi simultaneamente in una data prova. Ad esempio l'apparizione
simultanea di testa e di croce nel lancio di una moneta.
Nel tema Dati e previsioni si cerca di dare maggiore visibilità ad argomenti
quali la Statistica e la Probabilità. Tali temi non sono proposti in maniera
teorica, ma invitano a costruire un questionario, ad esaminare le diverse fasi di
un'indagine statistica, ad individuare un campione rappresentativo di una certa
popolazione. La cosa è sostanzialmente positiva, visto che la Statistica e la
Probabilità sono alla base di molti modelli fisici, biologici e non servono
solamente per le ricerche di mercato, per le indagini di opinione o per
prevedere
gli
esiti
elettorali.
I programmi del 1979 sono innovativi, come contenuti e come modalità di
presentazione, moderni ma con equilibrio. Sono indicati dapprima gli obiettivi
ed i suggerimenti metodologici dell’insegnamento scientifico nel suo
complesso, a sottolineare l’unitarietà del sapere anche con altre discipline, poi
separatamente obiettivi, metodologie e contenuti per la matematica e per le
scienze sperimentali.
I contenuti sono presentati in sette grandi temi :
2.
La geometria prima presentazione del mondo fisico;
3.
I sistemi numerici;
4.
Matematica del certo e matematica del probabile;
5.
Problemi equazioni;
6.
Il metodo delle coordinate;
7.
Trasformazioni geometriche;
8.
Corrispondenze – analogie strutturali.
Contenuti riferiti al tema - Matematica del certo e del probabile:
• Affermazioni del tipo vero/falso e affermazioni di tipo probabilistico. Uso
corretto di connettivi logici (e, no, non): loro interpretazione come operazioni
su insiemi e applicazioni sui circuiti elettrici.
• Rilevamenti statistici e loro rappresentazione grafica (istogrammi,
aerogrammi---) frequenza/media.
• Avvenimenti causali; nozioni di probabilità e sue applicazioni.
I Programmi del 1985
Nei programmi del 1985 sono presenti la statistica e la probabilità. Per la
prima volta si sottolineava l’importanza formativa della matematica
dell’incerto e l’importanza della raccolta, organizzazione ed elaborazione
dei dati. L’introduzione dei primi elementi di probabilità si trova alla fine del
corso elementare e ha lo scopo di preparare nel fanciullo un terreno
intuitivo su cui si possa in una fase successiva, fondare l’analisi razionale
delle situazioni di incertezza. La matematica nei Programmi del 1985 si
suddivide in cinque temi:
1.
Problemi
4. Logica
2.
Aritmetica
5. Probabilità, statistica, informatica
3.
Geometria e misura
Obiettivi posti dai Programmi del 1985
- Iniziazione informale al pensiero probabilistico
- Pensiero in situazione di incertezza
- Elaborazione di giudizi e di previsioni in situazioni di incertezza ovvero
- Analisi razionale delle situazioni di incertezza
Indicazioni Nazionali 2004
Nelle Indicazioni Nazionali, la matematica è organizzata per nuclei, dei quali
quattro definiti tematici, con specifici contenuti, ed altri tre, detti di processo,
che non hanno contenuti propri, perché trasversali ai primi quattro.
I nuclei tematici sono:
1. Il numero,
2. 2. Lo spazio e le figure,
3. 3. Le relazioni,
4. 4. I dati e le previsioni Quelli di processo sono:
8.
Argomentare e congetturare,
9.
Misurare,
10. Porsi e risolvere problemi
