Il problema dei cinque Marinai e delle Noci di cocco.
Palermo, 1° Aprile 2011
Testo del problema. (Vedi Foglio adiacente).
Molti siti Internet riferiscono che il minimo numero di Noci raccolte dai Marinai subito dopo lo sbarco nell'isola è,
N =
3.121
noci ;
Con tale ipotesi, in occasione della spartizione finale, ognuno dei cinque Marinai riceve una quantità di noci pari a,
n =
204
noci ;
Il problema, come pure ampiamente trattato negli stessi siti, prevede in prima istanza la risoluzione di un elementare
sistema di semplici equazioni, di cui qui non si riferisce per brevità, che piuttosto facilmente, determina l'equazione
finale,
15.625 n + 8.404
1
N è il numero delle Noci della raccolta primitiva.
N =
;
1.024
alla quale corrisponde la formula inversa,
n=
1.024 • N - 8.404
15.625
;
2
n è il numero delle Noci della spartizione finale.
Per il nostro lavoro, noi adesso adotteremo la formula ( 1 ) e le indicazioni N ed n riferite alle Noci raccolte e suddivise.
Di fronte a tale equazione, che presenta due incognite o due variabili, sembrerebbe inevitabile il ricorso alle equazioni
diofantee , branca dell'algebra, almeno per noi, piuttosto problematica, peraltro pure oggetto d'una certa trattazione in
Internet per il problema in esame.
Ci riproponiamo di farne a meno di tale dottrina e di usare la seguente diversa Strategia:
La formula ( 1 ), con successivi passaggi, è così elaborata:
N
=
15.625
1.024
8.404
+
10
5 • 53
2 10
n
= 15,2587890625 • n + 8,20703125 = (15 + 0,2587890625) • n + (8 + 0,2073125) =
1.024
2.587.890.625
= (15 n + 8) +
= (15 n + 8) +
n
10
+
n
53 • 4
28 • 4
20.703.125
+
10
= (15 n + 8) +
8
= (15 n + 8) + 53 •
(
5•n
2 10
+
4
2 10
5 11 • 53
2
10
)
•5
10
n
+
= (15 n + 8) + 53 •
5 8 • 53
28 • 5 8
5n+4
1.024
=
;
La formula ( 1 ), così trasformata, assume un nuovo aspetto e noi la chiameremo ( 3 ).
N = ( 15 n + 8 ) + 53 •
5n+4
;
1.024
3
In questa formula, N e n in ogni frangente sono, e devono essere, numeri interi e positivi, (a dispetto di chi, in passato,
ha proposto di utilizzare un numero di noci intero negativo!).
Nel rispetto di tale caposaldo, il fattore n, presente anche nel numeratore della frazione, deve essere opportunamente
dimensionato in modo che l'espressione (5 n + 4), per ogni n scelto, assuma un valore k volte multiplo del denominatore
o anche uguale a 1.024, allo scopo di elidere la frazione ed ottenere al suo posto un numero intero non decimale. Tale
fattore, di contro, andrà benissimo inserito nel binomio ( 15 n + 8 ) che in ogni caso ci fornirà un valore intero.
Dovrà quindi essere:
5 n + 4 = k • 1.024 :
e quindi,
n = k • 204,8 - 0,8 ;
In questa espressione, apparentemente problematica perché dispone di numeri decimali, sono posti a confronto, in una
elementare sottrazione, un minuendo, dipendente dal fattore k sopra già citato (e su cui stiamo indagando), ed un
sottraendo, sempre uguale a 0,8 (otto decimi).
Adesso, se proviamo a sostituire a k i valori interi 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., otterremo un minuendo decimale la cui parte
decimale (perdonate la ripetizione) è sempre uguale a 0,8 (otto decimi).
decimale (perdonate la ripetizione) è sempre uguale a 0,8 (otto decimi).
Questa condizione è la nostra fortuna ed il nostro "Eureka!". Infatti, adoperando detti valori, a sottrazione completata,
otterremo sempre un numero n intero!
Questi valori di k che "finiscono per 1 o per 6", fanno parte della serie,
k = 1, 6, 11, 16, 21, 26, …, (5 s - 4) ;
nella quale il nuovo fattore s, sul quale non dobbiamo
indagare, è la serie dei numeri interi naturali positivi.
Abbiamo finito! Ora, dopo avere raggiunto il vertice della nostra parabola, dobbiamo scendere dall'altra parte!
In discesa! Di corsa!
La formula ( 4 ) diventa quindi
n = (5 s - 4) • 204,8 - 0,8 ;
n = 1.024 s - 820 ;
Dalla formula ( 3 ) ricaviamo,
5n+4
1.024
= (5 s - 4) ;
La formula ( 3 ) diventa quindi
N = 15•(1.024s - 820)+ 8 + 53•(5 s - 4) ;
Ovvero,
N =
15.625 s - 12.504 ;
Questa formula finale restituisce tutti gli infiniti valori di N o delle Noci della primitiva raccolta, semplicemente
utilizzando un qualsiasi valore di s, prelevato dalla serie dei numeri interi positivi.
Se si vuole, potremo quindi creare la seguente tabella:
s
1
2
3
4
5
6
…
Noci della 1^ raccolta Noci alla fine ripartite prima della spartizione
N
n
5•n
3.121
18.746
34.371
49.996
65.621
81.246
…
204
1.228
2.252
3.276
4.300
5.324
…
1.020
6.140
11.260
16.380
21.500
26.620
…
Ricapitolando.
Il problema dei cinque Marinai e delle Noci di cocco è governato dalle formule qui riportate,
N =
15.625 n + 8.404
1.024
;
n=
1.024 • N - 8.404
15.625
;
n=
1.024 s - 820 ;
N =
15.625 s - 12.504 ;
che lega i due valori di N ed n.
la formula inversa alla precedente.
la formula lega il valore n alla serie s dei numeri naturali.
la formula lega il valore N alla serie s dei numeri naturali.
La trattazione finisce qui.
I risultati riportati dalla tabellina, ad una semplice verifica con un piccola calcolatrice tascabile, risultano corretti. Ciò
presuppone che anche le formule finali debbano per forza di cose (diciamo, per logica?) pure essere corrette, come pure
la strategia, il metodo e tutte l'altre cose. Non ci rimane che aspettare fiduciosi il "parere dell'oste", con il quale, sin
dall'inizio, abbiamo prudentemente e coscienziosamente deliberato di "fare i conti".
A cura di Nino Giacalone (quello dei Cannoli siciliani).
