Caos e Determinismo
Massimo Blasone
DMI, Università di Salerno
&
Istituto Nazionale di Fisica Nucleare
7 ottobre 2010
1
Sommario
• Determinismo in Fisica Classica
• Crisi del determinismo classico
–
–
–
–
Meccanica Quantistica
Relatività
Caos deterministico
La geometria del caos: i frattali
• Sviluppi recenti
• Conclusioni
2
Motivazioni
• Gli scienziati spesso operano, con i metodi propri della Scienza, all’interno
di concezioni del mondo che hanno natura non scientifica, o perlomeno
non sono dimostrabili in modo definitivo. Esempi tipici sono il
determinismo e il riduzionismo o la loro negazione.
• Seguire lo sviluppo del dibattito sul determinismo in ambito scientifico,
permette di cogliere bene la logica di alcune fondamentali scoperte.
3
Determinismo
• Determinismo: concezione secondo cui in natura nulla avviene a caso ma
tutto è determinato secondo una catena causale di eventi precedenti,
escludendo qualsiasi forma di casualità nelle cose. Nella sua forma più
estrema, il determinismo nega la possibilità del libero arbitrio.
• Democrito: realtà consiste del vuoto infinito e degli atomi (immutabili,
eterni, in moto incessante tra di loro). Le proprietà dei corpi sono
determinate dal modo in cui gli atomi si aggregano.
• Epicuro e poi Lucrezio riprendono le idee di Democrito e Leucippo
introducendo un nuovo ingrediente: il “clinamen”, la possibilità per gli
atomi di deviare talvolta dalla loro traettoria. Si salvava così il libero
arbitrio.
• Dante parla di Democrito come colui ``che il mondo a caso pone’’
(Inferno, IV).
4
Determinismo classico
• « La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io
dico l'universo), ma non si può intendere se prima
non s'impara a intender la lingua, e conoscer i
caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua
matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed
altre figure geometriche, senza i quali mezzi è
impossibile a intenderne umanamente parola; senza
questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro
laberinto. » (Il Saggiatore).
Galileo Galilei
(1564 – 1642)
Determinismo classico
• Dalla pubblicazione dei Principia di Newton (1697), la
meccanica newtoniana diventa il punto di riferimento
per tutte le teorie scientifiche, e la base della visione
filosofica del mondo, il meccanicismo.
F ma
Isaac Newton
(1642-1727)
Equazioni differenziali evoluzione dinamica del sistema
Condizioni iniziali stato iniziale del sistema
6
Determinismo classico
Pierre Simon de Laplace
(1749-1827)
“Noi dobbiamo considerare lo stato presente
dell’universo come l’effetto di un dato stato
anteriore e come le causa di ciò che sarà in
avvenire. Una intelligenza che, in un dato
istante, conoscesse tutte le forze che animano
la natura e la rispettiva posizione degli esseri
che la costituiscono, e che fosse abbastanza
vasta per sottoporre tutti i dati alla sua analisi,
abbraccerebbe in un’unica formula i movimenti
dei più grandi corpi dell’universo come quello
dell’atomo più sottile; per una tale intelligenza
tutto sarebbe chiaro e certo e così l’avvenire
come il passato le sarebbero presenti”
(Essai philosophique sur les probabilitès, 1814)
7
Crisi del determinismo classico - 1
• Meccanica Quantistica (Einstein, Planck, Bohr,
Heisenberg, De Broglie, Schroedinger, etc..): dualismo
onda-particella, principio di indeterminazione di
Heisenberg.
A.Einstein: “Dio non gioca a dadi con l’universo”
N.Bohr: “Piantala di dire a Dio che cosa fare con
i suoi dadi”
S.Hawking: “Non solo Dio gioca a dadi, ma li
getta laddove non possiamo vederli”
8
Meccanica Quantistica
Principio di indeterminazione di Heisenberg:
Δx Δp ≥ ħ/2
E’impossibile misurare contemporaneamente con
precisione arbitraria posizione e momento di un oggetto.
W.Heisenberg: ``Nell’ambito della realtà le cui
connessioni sono formulate dalla teoria quantistica, le
leggi naturali non conducono quindi ad un completa
determinazione di ciò che accade nello spazio e nel
tempo; l’accadere … è piuttosto rimesso al gioco del
caso.’’
W. Heisenberg
(1901–1976)
9
Meccanica Quantistica
Effetto fotoelettrico.
Impossibile da spiegare con la fisica
classica. Einstein ipotizzò che la luce
viaggia in pacchetti discreti di
energia, i quanti di luce o fotoni.
L’effetto fotoelettrico è il principio di
base per il funzionamento delle celle
fotovoltaiche, usate per produrre
energia elettrica.
10
Meccanica Quantistica
Dualismo onda particella.
Esperimento di Young con elettroni. Ogni elettrone
passa contemporaneamente in ciascuna delle due
fenditure!
11
Meccanica Quantistica
Nel 1935 Einstein, Podolsky e Rosen proposero un paradosso, detto poi
“Paradosso EPR’’, con l’intento di dimostrare che la meccanica
quantistica non è una teoria fisica completa.
Il principale risultato fu invece quello di evidenziare l’esistenza di stati con
proprietà speciali, gli stati entangled.
Entanglement
12
Qubit
Computer quantistici,
crittografia quantistica.
Teletrasporto quantistico
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Meccanica Quantistica
Logica classica e logica quantistica
Con la meccanica quantistica si passa da una logica
aristotelica o del terzo escluso, ad una eraclitea
(antidialettica) che invece lo include; potendo un quanto
essere e non essere contemporaneamente due
rappresentazioni opposte di una stessa realtà: particella ed
onda. Cosa che poi rappresenta il vero paradosso del
divenire della realtà in generale quando "nello stesso fiume
scendiamo e non scendiamo; siamo e non siamo" (Eraclito).
``Penso si possa tranquillamente
affermare che nessuno capisce la
meccanica quantistica’’
R.P.Feynman
(1918-1988)14
Crisi del determinismo classico - 2
• La teoria della relatività speciale (Einstein, 1905): spazio e tempo non
sono più assoluti come era per Newton, ma hanno proprietà dipendenti
dall’osservatore.
• H.Minkowski (1908): ``Le concezioni di spazio e di tempo
che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica
sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono
fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per se stesso o il
tempo di per se stesso sono condannati a svanire in pure
ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti
conserverà una realtà indipendente.’’
H.Minkowski
(1864-1909)
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Relatività
• La maggior parte dei fisici dell’epoca erano convinti dell’esistenza
dell’etere luminifero, ipotetica sostanza in cui, secondo la visione
meccanicistica, le onde luminose si propagavano.
• Ma gli esperimenti condotti mostravano che la velocità della luce era
la stessa per tutti gli osservatori.
• Per spiegare questi fenomeni, Einstein abbandona il concetto di
spazio e tempo assoluti, come era per Newton.
• Ottiene quindi la celebre formula
E mc
2
che è alla base della energia nucleare (bomba atomica inclusa).
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Relatività
• Applicazioni della relatività:
Global Positioning System
(24 satelliti con orologi
atomici a bordo)
Relatività speciale
Rallentamento tempo dovuto a velocità:
-7 µs/giorno.
Relatività Generale:
Accelerazione tempo dovuta alla gravità:
45 µs/giorno.
Errore spaziale totale: 0.000038 s/giorno
300000 km/s = 11.4 km/giorno !
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Riduzionismo
• La Fisica si occupa dello studio delle leggi che regolano i fenomeni naturali
e le interazioni dei costituenti della materia.
• Generalmente l’approccio di un fisico è quello di rendere il problema il più
semplice possibile, cercando di individuare le caratteristiche fondamentali
del fenomeno in studio e trascurando il resto. Ad esempio: lo studio del
moto di un grave o di un pendolo, trascurando l’attrito.
• Riduzionismo: tentativo di “ridurre il mondo dei fenomeni fisici a un
insieme finito di equazioni fondamentali” (F.Dyson).
• Questo metodo riduzionista ha portato a degli enormi successi, come le
attuali teorie delle interazioni fondamentali, alla base di tutti i fenomeni
che osserviamo.
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Modello Standard
Tutti i fenomeni fisici finora osservati sono descrivibili in termini di 4
interazioni fondamentali e delle (anti-)particelle elementari.
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Sistemi complessi
• I fenomeni naturali sono in generale più complessi di quanto a prima vista
possa spesso sembrare. Alcuni esempi:
•
•
•
•
•
il moto della pallina alla roulette
il moto di una piuma che cade
il tempo che farà fra due settimane
Il gocciolamento di un rubinetto
i terremoti
• Come mai questi e altri fenomeni sembrano essere dominati dal caso e
sfidano la nostra possibilità di previsione, nonostante siano tutti fenomeni
descrivibili con leggi deterministiche?
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Sistemi complessi
• L’idea riduzionista che basta scomporre un oggetto o un fenomeno in
quelle che sono le sue parti fondamentali per spiegarne il suo
comportamento complessivo, non è sempre valida.
• Le singole componenti di un sistema fisico non interagiscono sempre
debolmente, ma sono spesso fortemente accoppiate con termini non
lineari.
• Ad esempio a differenza della semplice forza elastica F kx che
contiene solo un termine lineare, è spesso più realistico considerare dei
termini quadratici o di ordine superiore.
• Il tutto non è sempre la semplice somma delle singole parti.
21
Crisi del determinismo classico - 3
``Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione
determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di
vedere, e allora diciamo che l'effetto è dovuto al caso. Se
conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione
dell'universo
all'istante
iniziale,
potremmo
prevedere
esattamente la situazione dello stesso universo in un istante
successivo.
Henri Poincaré
(1854-1912)
Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun
segreto per noi, anche in tal caso potremmo conoscere la
situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci
permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa
approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che
il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi.
Ma non sempre è così: può accadere che piccole differenze nelle
condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni
finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei
secondi. La previsione diviene impossibile e si ha un fenomeno
fortuito’’. (Science et méthode)
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Il Caos
• Nella mitologia greca, il Caos è lo stato primordiale di vuoto buio anteriore
alla creazione del cosmo da cui emersero gli dei e gli uomini.
• Nella Teogonia, Esiodo racconta che dal Caos si generarono Gea (la Terra),
Tartaro (un luogo infernale situato al di sotto dell'Ade) ed Eros (amore). Dal
Caos poi nacquero Notte (l'oscurità della notte) ed Erebo (le tenebre degli
Inferi). Dal Caos infine nacque Urano, la personificazione del Cielo infinito.
• Nella Fisica moderna, il termine caos ha un significato preciso, legato al
peculiare comportamento di alcuni sistemi che mostrano una forte
dipendenza della loro evoluzione temporale dalle condizioni iniziali.
L’importanza del caos è stata riconosciuta solo di recente (Poincarè (1900)
Kolmogorov (1941), E. Lorenz (1963), B. Mandelbrot (1970), D. Ruelle (1971),
M. Feigenbaum (1980) )
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Caos deterministico
• Un sistema esibisce caos deterministico quando abbiamo una dipendenza
molto sensibile dalle condizioni iniziali
una incertezza iniziale cresce
esponenzialmente col tempo.
• Questo determina una impredicibilità a lungo termine della sua evoluzione
futura.
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• In regime di caos, l’incertezza iniziale ε0 si propaga nel tempo secondo la
legge
t
(t ) 0 e
dove λ si chiama massimo esponente di Lyapunov.
• Supponiamo di non volere un’incertezza maggiore di 1, e indichiamo
questo tempo di previsione massimo con tmax , cioè sia ε(tmax)=1 .
• Allora prendendo i logaritmi di entrambi i membri si ottiene
tmax
1
1
log
0
• Per quanto piccolo possa essere il nostro tasso di crescita esponenziale λ,
se λ>0, per poter raddoppiare il tempo di previsione bisogna diminuire di
molti ordini di grandezza l’incertezza iniziale, raggiungendo
inevitabilmente dei limiti invalicabili.
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Esempi di Caos deterministico
Il biliardo di Sinai
Gli ostacoli sferici per il potere
defocalizzante delle superfici curve
fanno sì che piccole differenze
iniziali vengano amplificate e dopo
pochi rimbalzi due traiettorie
inizialmente simili hanno una
evoluzione completamente diversa.
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Esempi di Caos deterministico
Instabilità nel sistema solare
Già Poincarè si rese conto agli inizi del secolo che il problema dei tre corpi
non ammette una soluzione analitica e un piccolo corpo di prova si muove
in maniera erratica nel campo gravitazionale di due grossi corpi massivi.
Esempi:
- Il moto irregolare di
Iperione un satellite molto
deformato di Saturno
- La distribuzione dei periodi
degli asteroidi, che mostra
dei buchi in corrispondenza
di valori razionali con il
periodo dell’orbita di Giove.
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Il modello di Lorenz
• Il modello di Lorenz (1963) descrive un
fluido in un campo gravitazionale costante
posto tra due piani a temperature fissate.
dx
(
x
y
)
dt
dy
rx y xz
dt
dz
dt xy bz
• Il modello di Lorenz serve a modellare il comportamento dell’atmosfera o
del magma sotto la crosta terrestre.
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L’effetto farfalla
• Nello studiare numericamente il suo modello, Lorenz ripetè
un calcolo inserendo valori iniziali leggermente diversi
rispetto a quelli usati precedentemente. Notò che il risultato
era invece completamente diverso. Lorenz aveva osservato
un fenomeno di forte dipendenza dalle condizioni iniziali.
• Una conferenza tenuta da Lorenz nel 1979 ha come titolo:
Può il battito d’ali di una farfalla in Brasile provocare un
tornado in Texas?
• Fluttuazioni su scale di qualche centimetro, possono
estendersi amplificate su scale di un metro e poi di chilometri
in poche settimane!
• Filastrocca popolare:
Per colpa di un chiodo si perse lo zoccolo
per colpa di uno zoccolo si perse il cavallo
per colpa di un cavallo si perse il cavaliere
per colpa di un cavaliere si perse la battaglia
per colpa di una battaglia si perse il regno!
E.N. Lorenz
(1917-2008)
29
Caos e mescolamento di fluidi
• Il meccanismo dell’allungamento e del ripiegamento (stretch
and fold).
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La turbolenza
• All’aumentare della velocità oltre una certa soglia il moto di un fluido
passa da un regime laminare ad uno turbolento.
• Si formano strutture complesse che variano nello spazio e nel tempo. Si
ha caos spazio-temporale.
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Altri esempi di sistemi caotici
• Biologia: Modello di Volterra (1931) descrivente l’equilibrio di due specie
(erbivori e predatori).
• Chimica: reazioni oscillanti (Zabotinsky, 1961), del tipo
A+B→ C+D e C+D →A+B
• Medicina: frequenza cardiaca (Mackey, Glass, 1977); encefalogramma
(May, 1991); epidemie (May, 1980).
• Politica: il nostro attuale sistema elettorale, denominato Porcellum
(Calderoli, 2005), per quanto riguarda il Senato dove prevede soglie di
sbarramento e premi di maggioranza su base regionale.*
* G.Pontuale, S.Genovese, E.La Nave, A.Petri, Forum di Quaderni Costituzionali, Il
Mulino, 2008.
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La geometria del caos: i frattali
• I sistemi caotici possono avere degli attrattori con particolari
caratteristiche geometriche, gli attrattori strani.
• Gli esponenti di Lyapunov sono correlati con le dimensioni frattali degli
attrattori strani.
L’attrattore di Hénon
L’attrattore di Lorenz
33
I frattali
“Perché la geometria viene spesso descritta come fredda e
arida? Una ragione è l’inabilità di descrivere la forma di
una nuvola o di una montagna, una linea costiera o un
albero. Le nuvole non sono delle sfere, le montagne non
sono dei coni, le linee costiere non sono dei cerchi, il
sughero non è liscio ed i fulmini non si muovono lungo
linee diritte.”
B. Mandelbrot
(1924-)
Insieme di Mandelbrot
• Così Mandelbrot nel suo libro The Fractal
Geometry of Nature descrive l'inadeguatezza
della geometria euclidea nella descrizione della
natura.
34
Cos’è un frattale
Un frattale è un oggetto che
mostra una invarianza di
scala, ovvero ha la stessa
struttura a tutte le scale e
possiede una dimensione
non intera.
35
Frattali: geometria non banale
• Consideriamo la curva di Koch
• Per n=0 la sua lunghezza è L=a
4
• Per n=1 abbiamo L a
3
2
•
Per n=2 abbiamo L 4 a
3
n
• Per n generico
4
L a
3
• Ne segue che
L per n
36
La dimensione frattale
• Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot e ha origine nel termine
latino fractus, poichè la dimensione di un frattale non è intera.
• La dimensione di un oggetto è data dal numero minimo di coordinate
necessarie ad individuare i punti dell’oggetto stesso.
•
•
•
•
per un punto è 0
per una linea è 1
per una superficie è 2
…
• Questa dimensione è detta topologica ed è sempre un numero intero.
37
La dimensione frattale
• La dimensione frattale (o di Hausdorff) è una
generalizzazione della definizione di dimensione euclidea
ln( N ( ))
DF lim
0 ln(1 / )
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La polvere di Cantor
N
ε
1
1
0
2
1/3
1
22
(1/3) 2
2
2n
(1/3) n
n
Iterazione
n
ln(2)
DF lim
0.63..
n
0 ln(3)
39
La curva di Koch
ln 4
DF lim
1.26..
0 ln 3
Con questa definizione di dimensione, la lunghezza della curva di Koch è:
n
L lim N ( )
0
DF
1
lim 4 a
n
3
n
log 4/log3
a
log 4/log 3
40
Il tappeto di Sierpinski
ln 8
DF lim
1.9
0 ln 3
41
Esempi di strutture frattali
42
Esempi di strutture frattali
43
Esempi di strutture frattali
44
Esempi di strutture frattali
Una rete fluviale
45
Frattali in economia
• L’andamento
degli
indici di Borsa ha una
struttura irregolare ed
autosimilare, quindi è
un frattale
46
Frattali nell’arte
Frattali nell’arte
48
Frattali e musica
• H.J.Brothers, ``Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3’’, Fractals
(Vol. 15, No. 1, 2007; pages 89-95)
Abstract: The Bourrée Part I from Johann Sebastian Bach's Cello Suite No.
3 provides a clear example of structural scaling. The recursive form of
this structure can be visualized in the manner of a well known fractal
construction — the Cantor set.
http://www.brotherstechnology.com/math/fractal-music.html
49
Determinismo e Fisica moderna
Problemi aperti in Fisica:
•
•
•
•
Quantizzazione della gravità;
Unificazione delle interazioni fondamentali;
Origine dell’Universo;
Origine dell’asimmetria tra materia e antimateria;
• Interpretazione della Meccanica Quantistica;
• Emersione della dinamica macroscopica (classica) a partire da quella
microscopica (quantistica);
• Fenomeni quantistici in ambito biologico (fotosintesi, memoria,
coscienza..).
51
Determinismo e Fisica moderna
• Recentemente G. ‘t Hooft ha ipotizzato che alla base
della meccanica quantistica ci sia una teoria ancora più
fondamentale, che sarebbe deterministica.
• Visione alternativa rispetto alla teoria delle stringhe.
• Risolve il problema della quantizzazione della gravità
rovesciando il paradigma generalmente accettato
secondo cui tutte le interazioni debbono essere
quantizzate.
G. ‘t Hooft
La Meccanica Quantistica sarebbe, come pensava Einstein, solo una
teoria approssimata. La ``teoria finale’’ sarebbe deterministica, ma solo
alla scala di Planck, cioè a energie finora inaccessibili agli esperimenti.
• Secondo
‘t
Hooft,
la
dinamica
fondamentale ha natura dissipativa e gli
stati quantistici emergono in modo simile
agli attrattori nei sistemi caotici.
Conclusioni
• Dibattito sul determinismo in ambito scientifico ancora
attuale.
• Scoperte scientifiche spesso frutto di processi non prevedibili:
talvolta i pregiudizi dello scienziato sulla natura del mondo gli
impediscono di intepretare correttamente ciò che osserva;
altre volte avviene il contrario…
• Appello (a chi di competenza): finanziare la ricerca di base!
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