SCIENZA IN PRIMO PIANO
ALLA RICERCA DELLE ONDE GRAVITAZIONALI (*)
A. Chiancarini, G. Gemme
INFN, Sezione di Genova, Istituto di Fisica
UniversitaÁ di Genova
E. Picasso
Scuola Normale Superiore, Pisa
1. ± Le onde gravitazionali
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La teoria della gravitazione di Einstein predice che, in certe condizioni dinamiche, le equazioni del campo gravitazionale ammettano soluzioni ondulatorie, cosõÁ come il campo elettromategnico associato a cariche elettriche in
moto accelerato, nella teoria di Maxwell, ammette soluzioni ondulatorie.
La teoria della relativitaÁ generale interpreta il
campo gravitazionale come una curvatura dello
spazio-tempo a quattro dimensioni, tre spaziali e
una temporale. Ogni massa origina attorno a se
stessa uno spazio-tempo curvo e ogni qualvolta
la massa si muove, la curvatura dello spaziotempo deve riadattarsi alla nuova configurazione. Ogni riaggiustamento dello spazio-tempo in
corrispondenza della nuova distribuzione della
materia, sotto determinate condizioni, origina
un'onda gravitazionale che si propaga nello
spazio-tempo alla velocitaÁ della luce. Invero
un'onda gravitazionale eÁ la propagazione della
perturbazione dello spazio-tempo indotta dalla
nuova distribuzione della materia.
La Terra che ruota intorno al Sole, una palla
che rimbalza sul pavimento, un uomo che agita
le braccia, danno origine all'emissione di onde
gravitazionali; queste onde hanno un'intensitaÁ
troppo debole per essere rivelabili. Una sbarra
cilindrica di massa M, che ruota attorno ad un
(*) Conferenza divulgativa (public lecture), tenuta da E.
PICASSO in occasione della V Conferenza «Edoardo Amaldi»,
Pisa, 11 Luglio 2003.
Fig. 1.
asse ad angolo retto, passante per il centro di
gravitaÁ della sbarra, emette onde gravitazionali;
esse trasportano energia e, quindi, la sbarra
perde energia. Einstein dedusse la formula che
permette di calcolare l'energia emessa nell'unitaÁ
di tempo dalla sbarra che ruota attorno ad un
asse perpendicolare. Purtroppo l'energia emessa dalla sbarra e trasportata dall'onda eÁ troppo
piccola per essere rivelata.
Se si confronta l'intensitaÁ delle onde elettromagnetiche (luce, raggi X, onde radio, ecc.)
emesse da un elettrone in moto accelerato con
l'intensitaÁ delle onde gravitazionali emesse dalla
massa associata all'elettrone, queste ultime sono
incredibilmente meno intense. Consideriamo, per
esempio, un elettrone e un positrone e calcoliamo
le forze elettromagnetiche e gravitazionali che si
esercitano tra loro. L'elettrone e il positrone
possiedono sia una massa (la loro massa eÁ
uguale) sia una carica (le loro cariche sono uguali
e di segno opposto). Supponiamo che le due
particelle (elettrone e positrone) siano distanti
l'una dall'altra un centimentro, l'intensitaÁ della
A. CHIANCARINI, G. GEMME, E. PICASSO: ALLA RICERCA DELLE ONDE GRAVITAZIONALI
Fig. 2. ± I rilevatori di onde gravitazionali nello spazio e in laboratorio.
forza gravitazionale che si esercita tra le due
masse eÁ uguale all'intensitaÁ della forza elettrica
che si eserciterebbe tra le due cariche se fossero
separate ra loro circa 600 trilioni di km.
2. ± Le onde elettromagnetiche
Per meglio comprendere il fenomeno della
radiazione gravitazionale, eÁ opportuno considerare un fenomeno a noi piuÁ noto, quello
dell'emissione di onde elettromagnetiche, e
cercare di stabilire analogie tra i due fenomeni.
L'esistenza di onde elettromagnetiche fu prevista da Maxwell nella seconda metaÁ del diciannovesimo secolo. Le equazioni di Maxwell
del campo elettromagnetico implicano che le
variazioni del campo si propaghino sotto forma
di onde che viaggiano nello spazio privo di materia alla velocitaÁ della luce; la luce stessa consiste di onde elettromagnetiche di alta frequenza. Questa fusione dell'ottica con l'elettromagnetismo fu uno dei grandi trionfi della
fisica del XIX secolo.
Le equazioni di Maxwell specificano tutte le
proprietaÁ classiche delle onde elettromagneti-
che; in particolare le onde sono trasversali, cioeÁ
i campi oscillanti elettrico e magnetico sono
perpendicolari tra loro e alla direzione di propagazione e hanno due modi di polarizzazione
indipendenti: polarizzazione circolare destrorsa
e sinistrorsa.
La teoria dei quanti ha mostrato che la luce e
le onde elettromagnetiche possiedono altre
proprietaÁ non contenute nella teoria di Maxwell.
I raggi di luce possono essere interpretati come
fasci di particelle, o fotoni, la cui energia E eÁ
legata alla frequenza secondo la relazione
E h, dove h eÁ la costante di Planck, il cui
valore in unitaÁ c.g.s. eÁ 6:6 10 27 erg s. Ciascun
fotone ruota intorno a un asse che giace lungo la
direzione del suo moto: i due versi possibili di
rotazione corrispondono alle due direzioni di
polarizzazione circolare delle onde nella teoria
di Maxwell. Il momento angolare associato alla
rotazione di ciascun fotone vale 1 in unitaÁ h=2.
EÁ istruttivo discutere anche la relazione che
lega le onde alle loro sorgenti, che sono costituite da particelle cariche che presentano una
accelerazione rispetto a un sistema di riferimento inerziale. In virtuÁ di questa accelerazione,
le cariche producono oltre a un campo Cou-
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IL NUOVO SAGGIATORE
82
lombiano statico che varia come 1=r 2 , un campo
addizionale che decresce inversamente alla
prima potenza della distanza cioeÁ come 1=r. Il
flusso totale di energia attraverso una superfice
sferica di raggio r eÁ indipendente da r.
Un'onda elettromagnetica trasmette l'informazione ad altre cariche elettriche che la distribuzione delle cariche della sorgente eÁ cambiata e che, quindi, anche il campo elettromagnetico si sta addattando alla nuova distribuzione di cariche. Questo cambiamento eÁ
avvertito con un certo ritardo che dipende dalla
velocitaÁ di propagazione dell'informazione Ð
che eÁ la velocitaÁ della luce Ð e dalla distanza.
Questo effetto del ritardo eÁ una proprietaÁ della
relativitaÁ ristretta. Poiche il cambiamento dello
stato interno della sorgente non eÁ dovuto ad una
variazione della carica totale che eÁ conservata,
esso eÁ dovuto al variare del momento della distribuzione della carica elettrica rispetto ad un
punto fisso. Nel caso delle onde elettromagnetiche l'emissione delle onde eÁ dovuta al
momento di dipolo. L'intensitaÁ della radiazione
emessa non eÁ quindi uniformemente distribuita
in tutte le direzioni, essendo il momento di dipolo rappresentato da un vettore.
Se si considera adesso per analogia l'emissione di un'onda gravitazionale dobbiamo
ricordarci che il campo gravitazionale, secondo
la relativitaÁ generale formulata da Einstein, eÁ
descritto da dieci potenziali, il campo elettromagnetico eÁ invece descritto da quattro potenziali. Per di piuÁ bisogna tenere presente che il
campo gravitazionale eÁ esso stesso una sorgente
gravitazionale, per cui le equazioni di Einstein
sono non lineari. Solo quando si considera il
caso in cui il campo gravitazionale eÁ un campo
debole, come nel caso del sistema solare, allora
si possono, in prima approssimazione, trascurare gli effetti dovuti alla non linearitaÁ, e solo
in questo caso, si puoÁ considerare il campo
gravitazionale una generalizzazione del campo
elettromagnetico quando si passa da quattro a
dieci potenziali. Si puoÁ dimostrare che le variazioni del campo gravitazionale si propagano,
sotto forma di onde trasversali, con la velocitaÁ
della luce.
La quantizzazione della teoria debole del
campo gravitazionale suggerisce che le onde
gravitazionali siano costituite da fasci di gravitoni, che sono particelle di massa nulla, per i
quali vale la relazione E h. Ciascun gravitone
ruota o in senso orario o in senso antiorario rispetto alla direzione del moto. A causa del
maggior numero di potenziali, il momento angolare del gravitone eÁ uguale a 2, in unitaÁ h=2,
cioeÁ la radiazione gravitazionale ha una simmetria di quadrupolo.
La radiazione gravitazionale, come la radiazione elettromagnetica, propaga l'informazione
sulla variazione della configurazione della sorgente. Per esempio, a causa dell'azione di certe
forze interne, il momento di quadrupolo della
distribuzione di massa del Sole potrebbe variare
notevolmente e il Sole diventare improvvisamente uno sferoide. Se cioÁ avvenisse l'emissione di radiazione gravitazionale sarebbe, nella
forma piuÁ semplice, una emissione di quadrupolo. In questo ipotetico caso l'orbita della
Terra nel campo generato da uno sferoide sarebbe diversa dall'orbita nel campo di una sfera.
3. ± Emissione delle onde gravitazionali
Come abbiamo giaÁ detto l'intensitaÁ delle onde
gravitazionali eÁ estremamente piuÁ debole dell'intensitaÁ delle onde elettromagnetiche, poicheÂ
le interazioni tra le cariche elettriche sono
molto piuÁ intense che le interazioni tra le masse
a paritaÁ di distanza le une dalle altre.
La ragione per la quale la forza gravitazionale
della Terra supera notevolmente quella elettrica
eÁ dovuta al fatto che mentre le cariche elettriche
positive e negative presenti sulla Terra tendono
ad annullarsi, le forze gravitazionali agiscono
tutte nella stessa direzione essendo le masse
tutte dello stesso segno e, quindi, l'interazione
tra loro eÁ sempre attrattiva: le forze si sommano
vettorialmente. I pianeti del sistema solare
hanno un'accelerazione diretta verso il Sole ed
emettono, quindi, onde gravitazionali. La potenza emessa da tutti i pianeti eÁ circa 450 watt,
dovuta prevalentemente a Giove. La potenza
elettromagnetica emessa dal Sole eÁ ben 1024
volte piuÁ grande.
Onde gravitazionali molto piuÁ intense sono
emesse da una grande massa in collasso catastrofico o associata all'esplosione di una Supernova. La potenza massima viene emessa
prevalentemente quando una stella ha un raggio
prossimo al suo raggio di Schwarzschild. EÁ
difficile calcolare esattamente l'energia emessa
come radiazione gravitazionale nel collasso. Se
la stella mantiene durante il collasso la forma
sferica non si ha emissione alcuna di radiazione,
poiche il momento di quadrupolo non varia. In
pratica eÁ probabile che durante la fase di col-
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lasso la stella non conservi la forma sferica e
possa emettere, quindi, onde gravitazionali. In
questo caso l'emissione delle onde eÁ costituita
da un breve impulso e l'intensitaÁ dell'onda misurata in un laboratorio terrestre eÁ estremamente piccola.
4. ± Come si possono rivelare le onde gravitazionali?
Come si puoÁ estrarre energia da esse in modo
che le onde vengano parzialmente assorbite e
quindi misurate?
Questo eÁ un problema molto piuÁ complicato di
quello elettromagnetico. Per rivelare le onde
gravitazionali occorre misurare accelerazioni
relative tra differenti parti di un rivelatore;
queste accelerazioni traggono origine dalla nonuniformitaÁ del campo gravitazionale dell'onda
stessa. Le maree oceaniche della Terra hanno
anch'esse origine dalla non-uniformitaÁ del campo gravitazionale newtoniano della Luna e del
Sole. Le forze agenti sul rivelatore dalle onde
gravitazionali sono quindi forze di marea, dovute alla non-uniformitaÁ del campo gravitazionale associato all'onda. Quale frazione di energia dell'onda gravitazionale eÁ assorbita dal rivelatore? Ci aspettiamo che questa frazione sia
piccola a causa della debole interazione gravitazionale.
Dyson ha calcolato che se un'onda gravitazionale della frequenza di 1 ciclo al secondo attraversa la Terra, quest'ultima assorbe soltanto
una frazione pari a circa 10 21 dell'energia gravitazionale che la investe. CioÁ indica che la materia eÁ
estremamente «trasparente» alle onde gravitazionali e che eÁ pertanto estremamente difficile costruire un rivelatore che abbia una probabilitaÁ
piccola ma diversa da zero di misurarle.
Pur avendo Einstein scritto il lavoro sull'emissione delle onde gravitazionali nell'anno
1916 per circa quarant'anni nessuno riprese
questo problema anche perche gli effetti associati all'emissione delle onde gravitazionali
erano ritenuti troppo deboli per essere misurabili in laboratorio. Un'altra ragione per aver
abbandonato l'argomento era di natura teorica:
si riteneva infatti che le onde gravitazionali
fossero una conseguenza delle coordinate di riferimento e non fossero pertanto invarianti rispetto al sistema di riferimento; erano, cioeÁ,
onde non reali. Tre fatti nuovi hanno contribuito
negli anni sessanta a richiamare l'attenzione dei
fisici sul problema della radiazione gravitazionale. Il primo fu una scoperta di natura teorica
fatta da H. Bondi e dai suoi collaboratori: essa
dimostra che i calcoli della radiazione gravitazionale sono invarianti rispetto alla trasformazione di coordinate da un sistema di riferimento
a un altro sistema. L'emissione della radiazione
eÁ un fenomeno fisico reale in linea di principio
osservabile. Le onde gravitazionali trasportano
energia e momento angolare e li sottraggono
alla sorgente, la cui massa diminuisce durante
l'emissione. Il secondo fatto fu la decisione di
Joseph Weber dell'UniveritaÁ del Maryland di
costruire un rivelatore di onde gravitazionali.
Weber si pose il seguente quesito: quale eÁ la
natura delle sorgenti che emettono radiazione
gravitazionale e quale eÁ la quantitaÁ di energia
che emessa da sorgenti astronomiche si deposita su un rivelatore costruito in laboratorio?
5. ± Il sistema binario di Hulse e Taylor
Fig. 3.
Il terzo avvenimento importante che contribuõÁ
alla rinascita della teoria della relativitaÁ generale avvenne nell'estate del 1974. Due astronomi, Russel Hulse e Joseph Taylor scoprirono un
sistema binario in cui una Pulsar ruota insieme
ad una stella compagna, non visibile, attorno al
loro baricentro. Questa scoperta fu fatta al radiotelescopio Arecibo di Puerto Rico. Il sistema
binario eÁ noto con la sigla PSR 1913+16 ed eÁ
noto come «binary pulsar». Le orbite del sistema binario sono molto ravvicinate, infatti la
loro separazione eÁ in media pari ad un raggio
solare. Le velocitaÁ orbitali sono circa 300 km/s e il
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IL NUOVO SAGGIATORE
periodo orbitale eÁ di solo otto ore. Queste proprietaÁ fanno sõÁ che gli effetti relativistici siano
molto importanti. La Pulsar eÁ, inoltre, un orologio
estremamente stabile: essa emette impulsi radio
ogni 59 ms e il periodo di emissione varia di
0,25 ns per anno, con una stabilitaÁ pari a 1 : 109
(una parte per miliardo). La Pulsar del sistema
binario eÁ un orologio accurato che si muove su
un'orbita eccentrica con un velocitaÁ v ' 10 3 c,
essendo c la velocitaÁ della luce, e si trova immersa in un campo gravitazionale di forte intensitaÁ variabile lungo l'orbita. Gli impulsi radio sono
misurati con una precisione di 50 ms. Gli autori
hanno potuto determinare il periodo degli impulsi
con notevole precisione: esso eÁ (1 settembre
1974):
0; 059029995271 s ;
la sua variazione eÁ di 0,273 ns per anno, l'eccentricitaÁ dell'orbita eÁ 0,617217 e il periodo orbitale
eÁ 27906,98163 s. Le precisioni raggiunte a tutt'oggi
sono molto migliori di quelle del settembre 1974.
Questa precisione permette di misurare molti
effetti relativistici. Il primo fra tutti eÁ lo spostamento del periastro che eÁ l'analogo dello
spostamento del perielio di Mercurio riferito al
sitema binario: esso eÁ di 4; 2263 gradi per anno e
dipende dai parametri che definiscono le orbite
84
Fig. 4.
della Pulsar e della sua compagna e dalla massa
totale del sistema, che a priori non eÁ nota. Invero l'osservazione dello spostamento del periastro non puoÁ essere usata per verificare la
teoria della relativitaÁ generale poiche la massa
totale del sistema non eÁ nota, ma si puoÁ, dalla
misura dello spostamento e assumendo valida la
teoria della gravitazione di Einstein, determinare la massa totale del sistema che risulta essere uguale a 2; 8275 masse solari. Misure fatte
su altri effetti relativistici hanno portato a concludere che la massa della Pulsar eÁ di
1; 42 0; 03 masse solari e la massa della compagna eÁ di 1; 40 0; 03 masse solari. Per la prima
volta la teoria della relativitaÁ generale eÁ stata
usata per misurare grandezze astronomiche: la
relativitaÁ di Einstein ha permesso di pesare una
Pulsar!
Un altro risultato importante delle misure
fatte sul sitema binario PSR 1913+16 consiste
nel rivelare l'esistenza della radiazione gravitazionale e di stabilire che l'approssimazione di
quadrupolo eÁ una buona approssimazione. La
relativitaÁ generale prevede che l'emissione delle
onde gravitazionali da parte di un sistema di
massa totale M eÁ possibile solo se il sistema ha
un momento di quadrupolo, cioeÁ se la distribuzione delle masse eÁ tale da ammettere che
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la derivata terza rispetto al tempo del momento
di quadrupolo esista e non sia nulla. Il contributo dominante all'emissione della radiazione
gravitazionale eÁ dovuto alla variazione del momento di quadrupolo della distribuzione di
massa del sistema.
Contributi di ordine superiore (ottupolo, ecc.)
esistono ma si possono in generale trascurare.
La variazione dell'energia nell'unitaÁ di tempo e
di angolo solido eÁ data dalla formula seguente:
1
:::
dE
G
Q
2 ;
dt d
45 c5
dove Q rappresenta il tensore di quadrupolo e
d
indica l'angolo solido. I puntini sopra al
tensore indicano la derivata terza del quadrupolo rispetto al tempo. La (1) fu dedotta da
Einstein e corretta da Eddington, poiche la formula di Einstein era sbagliata di un fattore due.
La formulazione corretta da parte di Einstein fu
data nel 1918. La (1) vale per velocitaÁ della
sorgente minore della velocitaÁ della luce
(v=c 1). La formula (1) applicata al sistema
binario mostra che il periodo orbitale decresce
di circa 75 ms per anno o piuÁ precisamente di
2; 403 0; 002 10 12 s s 1 . Calcoli esatti e piuÁ
rigorosi furono fatti da Damour e collaboratori
negli anni ottanta. Questo risultato importante,
cioeÁ l'interpretazione che la variazione del periodo della Pulsar e della sua compagna nel
percorrere la loro orbita eÁ dovuta all'emissione
della radiazione gravitazionale da parte del sistema eÁ una prova della loro esistenza e ha dato
un notevole impulso alla ricerca delle onde
gravitazionali in laboratorio. Data la precisione
oggi raggiunta nel determinare i parametri del
sistema binario, che rende improbabili altre interpretazioni del cambiamento del periodo, eÁ
una prova convincente dell'esistenza della radiazione gravitazionale. Una prova piuÁ diretta
consiste nel poter rivelare le onde gravitazionali
in un laboratorio terrestre.
6. ± Come si possono osservare le onde
gravitazionali in laboratorio?
Le onde gravitazionali si propagano alla velocitaÁ della luce. L'onda ci informa che la geometria della sorgente si eÁ modificata. Essa origina una piccola perturbazione dello spaziotempo che si sovrappone alla curvatura originata dalla materia. Consideriamo un anello disposto perpendicolarmente alla direzione di
Fig. 5.
propagazione delle onde gravitazionali. Al passaggio dell'onda l'anello si distorce assumendo
la forma di un'ellisse i cui due assi, maggiore e
minore, si scambiano continuamente il ruolo.
Questo alternarsi di compressioni e stiramenti
nelle due posizioni ortogonali eÁ il segno caratteristico del passaggio di un'onda gravitazionale. EÁ come se l'anello fosse sottoposto ad una
forza di marea che cambia segno ad ogni ciclo
dell'onda. Per misurare gli effetti dell'onda occorre quindi uno strumento che possa registare
con notevole sensibilitaÁ minuscole variazioni di
distanza. Occorre, cioeÁ, costruire strumenti in
grado di misurare variazioni relative di distanza
di almeno una parte su mille miliardi di miliardi
(1 : 1021 ) ed essere, inoltre, capaci di separare il
segnale prodotto dall'onda da tutti i rumori che
potrebbero far variare le distanze di una uguale
grandezza.
Questo obiettivo costituisce una sfida sperimentale da far scoraggiare chiunque, o come si
suol dire correntemente da far tremare le vene e
i polsi. I primi tentativi, seguendo Weber, furono
fatti costruendo rivelatori a sbarre metalliche.
Furono costruite grosse sbarre alle quali sono
fissati trasduttori che convertono i movimenti
della sbarra in segnali elettrici capaci di misurare le ampiezze di vibrazione della sbarra.
Poiche queste sbarre sono sensibili anche ad
eventi spuri, per individuare l'effetto genuino
della radiazione gravitazionale occorre disporre, nel caso di onde emesse da un collasso
di materia, due o piuÁ rivelatori in posizioni diverse e lontane, opportunamente disposti per
ottimizzare il segnale. Nel caso di onde emesse
da sorgenti periodiche invero una sola sbarra
sarebbe sufficiente. A nessuno sfugge la difficoltaÁ di costruire rivelatori sufficientemente
sensibili da misurare distanze di gran lunga inferiori alle dimensioni atomiche e di separare
85
IL NUOVO SAGGIATORE
Fig. 6.
senza ambiguitaÁ il segnale dai molti rumori casuali che possono falsare l'analisi del segnale
genuino.
Oltre alla tecnica delle vibrazioni indotte in
una sbarra dal passaggio dell'onda, si utilizza
un'altra tecnica forse piuÁ promettente, e che
comunque ha altre caratteristiche di funzionamento, che eÁ basata sull'impiego di fasci laser,
86
Fig. 7. ± DensitaÁ spetrale di Nautilus, misurata il 13 maggio 2001.
A. CHIANCARINI, G. GEMME, E. PICASSO: ALLA RICERCA DELLE ONDE GRAVITAZIONALI
Fig. 8.
cioeÁ di un fascio intenso e coerente di fotoni.
In Italia, vicino a Pisa, una collaborazione tra
Istituti di Ricerca Italiani e Francesi ha progettato e costruito un interferometro laser con
due bracci perpendicolari tra loro e con una linea base di 3 km; negli Stati Uniti sono in costruzione due interferometri laser con una lunghezza di base di 4 km, uno situato nello stato di
87
Fig. 9. ± Alcuni aspetti tecnici dell'interferometro Virgo.
IL NUOVO SAGGIATORE
88
Washington e l'altro nella Lousiana. Altri interferometri di piuÁ modeste dimensioni sono stati
costruiti in Germania e in Giappone. In un interferometro per la rivelazione di onde gravitazionali i fasci laser sono inviati in due direzioni
perpendicolari e vengono riflessi piuÁ volte da
specchi solidali con due masse situate a diversi
kilometri di distanza. L'onda gravitazionale
cambia le distanze dei due bracci: uno si accorcia rispetto all'altro che si allunga e dopo una
lunghezza d'onda avviene il contrario. Si determina il passaggio dell'onda studiando la figura di interferenza dei due fasci laser riflessi
dallo spostamento delle due masse.
La rivelazione delle onde gravitazionali eÁ in
entrambi i casi una sfida tra le piuÁ ardue, infatti
nel metodo sperimentale che utilizza la tecnica
interferometrica, le variazioni della lunghezza
dei due bracci ammontano a meno di un decimo
di miliardesimo della lunghezza d'onda della
luce laser.
I rivelatori terrestri sono sensibili unicamente
alle onde di frequenza superiore a dieci hertz,
cioeÁ dieci oscillazioni al secondo, mentre la
maggior parte delle sorgenti che emettono onde
gravitazionali oscillano a frequenze molto inferiori.
Un nuovo strumento ideato per rivelare
onde a bassa frequenza eÁ LISA (Laser Interferometer Space Antenna), un progetto allo
studio presso l'Agenzia Spaziale Europea in
collaborazione con la NASA. LISA consiste di
tre navicelle disposte in modo da formare un
triangolo equilatero i cui lati hanno una lunghezza di cinque milioni di kilometri. LISA eÁ
un gigantesco interferometro con un terzo
lato aggiunto per misurare le due polarizzazioni della radiazione gravitazionale. La distanza tra le tre navicelle spaziali determina
l'intervallo di frequenza che si puoÁ misurare.
Le variazioni delle posizioni relative delle tre
navicelle causate dal passaggio delle onde
gravitazionali saranno misurate inviando fasci
laser dall'una all'altra navicella e formando
figure di interferenza. Questo dispositivo potrebbe rivelare le fusioni di due buchi neri
che percorrono traiettorie intorno al loro
centro di gravitaÁ. Una coppia di buchi neri eÁ
stata scoperta recentemente in una Galassia
vicina alla nostra. I due buchi neri spiralizzano uno verso l'altro e perdendo energia
emettono onde gravitazionali con frequenza
variabile. La galassia che contiene questo sistema binario eÁ la NCG 6240 che dista dalla
Terra quattro milioni di anni-luce. La scoperta
eÁ stata fatta analizzando i dati raccolti dal
«Chandra X-ray Observatory», lanciato nello
spazio nel 1999.
EÁ opportuno ricordare che poiche la frequenza di un'onda eÁ proporzionale alla radice
quadrata del prodotto G; dove G eÁ la costante
gravitazionale p
e
la densitaÁ di materia della
sorgente
f G; rivelatori sintonizzati a diverse frequenze esplorano densitaÁ di materia
diverse.
Fig. 10.
7. ± Onde gravitazionali e relativitaÁ generale
Gli esperimenti fatti utilizzando i dati raccolti
nello studio del sistema binario della PSR
1913+16 hanno confermato sia l'esistenza delle
onde gravitazionali, sia la coerenza quantitativa
tra la descrizione teorica relativistica della variazione del periodo orbitale e le osservazioni
sperimentali. Non eÁ peroÁ stato ancora raggiunto
l'obiettivo ultimo di rivelare le onde in un laboratorio terrestre. Va notato che se anche rivelassimo le onde gravitazionali non potremmo
comunque utilizzare queste misure per verificare senza ambiguitaÁ la relativitaÁ generale di
Einstein, poiche le possibili sorgenti sono cosõÁ
complesse che risulterebbe difficile distinguere
il contributo della relativitaÁ generale rispetto a
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quello che consegue dal comportamento dinamico della sorgente stessa. Possiamo usare la
teoria della relativitaÁ generale, ammettendone
la sua validitaÁ, per meglio studiare le caratteristiche delle sorgenti. D'altra parte eÁ quello
che avviene quando gli astronomi usano le radiazioni elettromagnetiche quali la radiazione
nel visibile, i raggi X, la radiazione infrarossa e
le microonde. Essi non pensano affatto di verificare la teoria di Maxwell, per altro ben misurata in laboratorio, ma se ne servono per
studiare l'Universo. Va tenuto presente che nel
caso delle equazioni di Maxwell le sorgenti del
campo elettrico e magnetico si possono costruire in laboratorio mentre, purtroppo, come
vedremo piuÁ avanti eÁ estremamente improbabile che si possa costruire una sorgente di
radiazione gravitazionale in laboratorio e poter
controllare, quindi, le condizioni sperimentali a
piacere.
Come abbiamo giaÁ menzionato la deformazione istantanea di un corpo sferico di massa M
produce una variazione del campo gravitazionale
che si propaga nello spazio circostante alla velocitaÁ della luce, e questa variazione puoÁ essere
rivelata da un campo di forze mareale, che eÁ
responsabile dell'attrazione reciproca che si
manifesta tra due particelle distinte in caduta
libera.
Una delle sorgenti piuÁ intense che possiamo
immaginare eÁ una stella rotante nella fase di
collasso e prossima a trasformarsi in un buco
nero, situata all'interno della nostra Galassia.
Essa produrrebbe un campo di forze di marea
tale da cambiare la distanza tra due masse distanti un metro l'una dall'altra di un centesimo
del diametro di un nucleo atomico. Quando
un'onda gravitazionale attraversa, per esempio,
una sbarra cilindirca di alluminio di un metro e
mezzo di diametro e di due metri di lunghezza,
di circa 1,5 tonnellate, perpendicolarmente all'asse della sbarra, la forza di marea avvicina e
allontana periodicamente le estremitaÁ della
sbarra che, a causa della sua rigiditaÁ, si mettono ad oscillare alla frequenza propria della
sbarra. Il massimo di trasferimento si ha, nell'approssimazione di quadrupolo, quando la
frequenza dell'onda eÁ uguale alla frequenza
propria della sbarra. La sbarra continua ad
oscillare fintanto che gli attriti interni non
smorzano il moto oscillatorio. L'obiettivo eÁ
quello di raggiungere sensibilitaÁ almeno diecimila volte maggiori di quella della sbarra costruita da Weber nel 1970. In questo caso la
sbarra metallica potrebbe essere sensibile al
passaggio di un'onda proveniente da un centinaio di galassie della costellazione Virgo, con
una cadenza di un evento al mese.
Va tenuto presente che una qualunque teoria
metrica della gravitazione che incorpori in
qualche modo l'invarianza di Lorentz nelle sue
equazioni di campo predice l'emissione della
radiazione gravitazionale. Pertanto l'esistenza
della radiazione gravitazionale non eÁ una verifica stringente della relativitaÁ generale. PercheÂ
la rivelazione delle onde gravitazionali sia una
verifica della teoria di Einstein occorre misurare alcune proprietaÁ della radiazione emessa.
Nel limite di una approssimazione di campo
debole, di un moto non relativistico della sorgente e in zone lontane dalla sorgente (far-zone) si trova che le diverse teorie metriche differiscono tra di loro e dalla teoria della relativitaÁ generale di Einstein in almeno tre modi:
1. esse predicono una differenza tra la velocitaÁ dell'onda gravitazionale e la velocitaÁ della
luce;
2. esse predicono differenti stati di polarizzazione di una generica onda gravitazionale;
3. esse predicono differenti polaritaÁ (monopolo, dipolo, quadrupolo, ecc.) dell'onda gravitazionale emessa da una sorgente.
Una verifica della relativitaÁ generale richiede, quindi, misure dettagliate delle proprietaÁ sopra menzionate. La relativitaÁ generale
produce due stati di polarizzazione a 45 gradi
tra loro.
8. ± Si possono generare onde gravitazionali
in un laboratorio terrestre?
In principio la produzione della radiazione
gravitazionale eÁ semplice, poiche richiede che
si abbia un cambiamento nel tempo del momento di quadrupolo di una sorgente di massa
M. Due masse uguali unite da una molla fanno
al nostro caso. Consideriamo l'emissione di
energia in un regime lineare. In questo caso si
puoÁ dimostrare che l'emissione dell'energia
nell'unitaÁ di tempo dipende dalla costante gravitazionale G, dalla velocitaÁ della luce c, con la
quale l'energia eÁ emessa dal sistema, e dalla
variazione del momento di quadrupolo Q. Ci si
aspetta che il fenomeno dell'emissione dipenda
anche dalla frequenza angolare ! di vibrazione
delle due masse. Quando sono messe in vibrazione le masse oscillano attorno alla loro
89
IL NUOVO SAGGIATORE
posizione di equilibrio. Sia x la loro separazione
all'istante t e sia L la loro distanza a riposo:
2
x L x0 sin !t ;
dove x0 eÁ l'ampiezza dell'oscillazione sinusoidale, supposta piccola. Sia Q 2MLx0 sin !t il
momento di quadrupolo.
La potenza P emessa in media durante un ciclo eÁ data dalla formula
3
90
P'
M 2 L2 x02 !6
;
c5 =G
dove eÁ una costante adimensionale. Se si utilizza la relativitaÁ generale 1=15. La costante
universale c5 =G ha un significato caratteristico;
essa stessa ha le dimensioni di una potenza e
vale c5 =G 3; 6 1052 J s 1 e rappresenta il caso
in cui tutto il contenuto energetico di una massa, cioeÁ Mc2 , si converta in radiazione gravitazionale in un tempo TG uguale al raggio di
Schwarzschild diviso per c, cioeÁ TG rg =c.
Il termine c5 =G eÁ una colossale potenza e
corrisponde alla conversione di duecentomila
masse solari in energia ogni secondo. La presenza di questo termine nel denominatore della
(3) mostra che a meno che il numeratore non
contenga potenze al quadrato, di proporzioni
astronomiche, la (3) daÁ un'indicazione della
difficoltaÁ a cui va incontro un fisico che voglia
rivelare e/o generare la radiazione gravitazionale. Due masse di 1 kg, distanti 1 m che oscillano con un'ampiezza di un cm alla frequenza di
10 Hz, cioeÁ dieci cicli al secondo, irraggiano
soltanto 5 10 47 J s 1 , che eÁ una potenza troppo piccola per essere misurabile.
Una sorgente di onde gravitazionali piuÁ efficiente dell'esempio precedente eÁ quello, giaÁ
peraltro menzionato, di una sbarra rotante. Sia
M la massa della sbarra, L la sua lunghezza e ! la
velocitaÁ angolare di rotazione, la potenza
emessa in media in un ciclo diventa
4
P
2 M 2 L4 !6
:
45
c5 =G
La sbarra non puoÁ ruotare troppo velocemente
se no si spezzerebbe. In un caso ideale consideriamo una sbarra con M 2000 kg che ruota con
una velocitaÁ angolare ! 2 rad/s e la cui lunghezza sia L 2 m. Essa produrrebbe una
P 5 10 42 W, che eÁ estremamente piccola per
potersi misurare: va ricordato che questa potenza eÁ
emessa in onde gravitazionali e che esse si accoppiano debolmente con il rivelatore (ricordarsi
l'esempio di Dyson). EÁ istruttivo riscrivere la (4) in
funzione della velocitaÁ di rotazione degli estremi
della sbarra:
2
32
P
rg =L
v=c6 c5 =G ;
5
45
dove rg 2GM=c2 eÁ il raggio gravitazionale della
massa M.
Se fosse possibile ottenere rg =L e
v=c dell'ordine dell'unitaÁ allora la potenza emessa in onde
gravitazionali sarebbe
veramente enorme, del
l'ordine di c5 =G 1052 J s 1 . Un cosõÁ grande
effetto potrebbe aver luogo in un sistema che si
muovesse alla velocitaÁ della luce e fosse cosõÁ
compatto da avere le dimensioni uguali al raggio di
Schwartzschild. Come esempio si puoÁ notare che
la Terra ruota attorno al Sole alla velocitaÁ di 10 6 c
e ha un raggio 109 volte il suo raggio gravitazionale; cioeÁ la potenza emessa eÁ ancora troppo piccola per poterla misurare in laboratorio.
La sola speranza che ha il fisico sperimentale
per misurare la radiazione gravitazionale eÁ quella
di rivelare le onde gravitazionali emesse da sorgenti astronomiche. La conclusione momentaneamente raggiunta eÁ che le sorgenti piuÁ potenti di
onde gravitazionali si trovano lontane da noi e per
di piuÁ depositano una piccolissima frazione della
loro potenza sulla Terra. EÁ, cioeÁ, la radiazione piuÁ
innocua per la salute della persona umana.
9. ± Sorgenti astronomiche
Per sperare di misurare gli effetti delle onde
gravitazionali in laboratorio terrestre, dobbiamo
volgere la nostra attenzione a oggetti cosmici.
Le sorgenti possono essere divise in due classi:
le sorgenti periodiche e quelle aperiodiche o
impulsive dovute ad eventi catastrofici. Esempi
di sorgenti periodiche sono le stelle binarie o le
stelle rotanti. Esempi di eventi catastofici sono
le esplosioni di Supernovae e, in generale, il
collasso gravitazionale di sistemi che non hanno
una simmetria sferica. Le potenze emesse dalle
sorgenti periodiche alle frequenze misurabili in
un laboratorio terrestre, sono molto minori di
quelle emesse da eventi catastrofici. Le sorgenti
periodiche emettono per lunghi periodi di tempo; questa proprietaÁ permette di utilizzare rivelatori sintonizzati con la sorgente in modo tale
da ridurre il rumore del sistema di rivelazione.
Il collasso gravitazionale produce un fiotto di
onde che durano dell'ordine del millisecondo. Lo
spettro di frequenza si estende nella regione del
kiloHertz (kHz = 1000 cicli al secondo). Se una
A. CHIANCARINI, G. GEMME, E. PICASSO: ALLA RICERCA DELLE ONDE GRAVITAZIONALI
Fig. 11.
massa uguale alla massa del Sole si trovasse al
centro della nostra Galassia ossia a 8,5 kpc
(1 pc 3 anni-luce) dal nostro laboratorio e tutta
la massa si convertisse interamente in un fiotto
gravitazionale produrrebbe sulla Terra una distorsione della metrica, cioeÁ della distanza tra due
punti di 10 17 rispetto alla distanza che avrebbero i
due punti in assenza della perturbazione introdotta dall'onda: se ` eÁ la distanza tra due punti,
si avrebbe in prima approssimazione j`=`j '
'
1=2jhj essendo h l'ampiezza dell'onda.
Nella nostra Galassia le esplosioni di Supernovae sono eventi rari e possono intercorrere parecchie centinaia di anni prima che
avvenga un'altra esplosione; eÁ pertanto opportuno costruire dei rivelatori che abbiano
una sensibilitaÁ tale da rivelare i collassi gravitazionali che avvengono anche in altre galassie. L'ammasso della Vergine eÁ un insieme
di duecentocinquanta galassie distanti, in
media, 19 Mpc (1 Mpc 106 pc ' 3 106 anniluce). Se una massa solare si convertisse interamente in fiotti gravitazionali, l'effetto
sulla Terra sarebbe di circa h ' 10 20 10 21 .
In questo caso, a causa del piuÁ alto numero di
galassie, si prevedono diversi eventi al mese.
Le Pulsar sono stelle a neutroni che ruotano piuÁ
o meno velocemente. Una delle Pulsar piuÁ veloci
ha un periodo di 1,55780449 ms. Se essa avesse
una simmetria assiale perfetta non emetterebbe
onde gravitazionali, ma se gli assi principali nel
piano orizzontale differissero anche di poco, per
esempio nel caso sopraindicato di soli 50 mm, al-
lora essa emetterebbe onde gravitazionali monocromatiche di una ampiezza pari a h 10 27 che eÁ
un numero estremamente piccolo. Altre sorgenti
di onde gravitazionali monocromatiche sono i sistemi binari come il sistema PSR 1913+16 menzionato prima. Purtroppo la frequenza di emissione delle onde eÁ estremamente bassa, non rivelabile in un laboratorio terrestre.
Oggi si considerano quattro intervalli di frequenza nell'emissione delle onde gravitazionali:
l'intervallo di alta frequenza (HF; f 104 a 1 Hz),
l'intervallo di bassa frequenza (LF; f 1 a
10 4 Hz), l'intervallo di frequenza molto bassa
(VLF; f 10 7 a 10 9 Hz) e l'intervallo di frequenza estremamente bassa (ELF; f 10 9 a
10 18 Hz).
L'intervallo HF eÁ quello che si puoÁ sperare di
rivelare sulla Terra. I rivelatori piuÁ adatti sono gli
interferometri laser e le antenne risonanti meccaniche o elettromeccaniche. L'intervallo LF eÁ il
dominio dei rivelatori in orbita attorno alla Terra o
nei voli interplanetari. Le onde gravitazionali
emesse nell'intervallo VLF sono quelle emesse, per
esempio, dai sistemi binari del tipo giaÁ menzionato. Le onde nella regione ELF potrebbero produrre
anisotropie nella radiazione elettromagnetica
(microonde) che costituisce il fondo cosmico.
10. ± Le onde gravitazionali stocastiche
Un fondo gravitazionale interessante potrebbe
essere stato prodotto durante il periodo del Big
91
IL NUOVO SAGGIATORE
92
Bang. Questo eÁ un fondo di onde stocastiche e si
presenta come un rumore gravitazionale, molto
molto debole, tanto piuÁ debole quanto maggiori
sono le frequenze che si vogliono esplorare. La
radiazione di fondo potrebbe coprire uno spettro
di frequenze da 10 15 a 1011 Hz, con una intensitaÁ,
come ho menzionato prima, che decresce al crescere della frequenza. L'interesse di misurare il
fondo stocastico in funzione della frequenza eÁ
prima di tutto teorico poiche potrebbe contribuire
ad avere una conoscenza piuÁ profonda di quella
che abbiamo adesso, dei primi istanti dell'Universo.
Recentemente Veneziano e collaboratori hanno
proposto un modello basato sulla teoria delle superstringhe. Il modello prevede l'esistenza di uno
spettro stocastico originato da un campo scalare,
il dilatone, che opera in una fase che precede la
fase calda del Big Bang. Nel modello di Veneziano
esiste una fase pre Big Bang in cui l'Universo eÁ
freddo ed evolve verso un Universo ad alte temperature e alte densitaÁ di energia che daÁ luogo al
Big Bang propriamente detto. Poiche questo modello si basa sulla teoria delle superstringhe, una
misura dello spettro della radiazione gravitazionale potrebbe costituire una verifica piuÁ o meno
diretta della teoria. Sfortunatamente, anche in
questo caso le intensitaÁ da misurarsi sono molto
piccole, per esempio ad 1 kHz esse sono dell'ordine di 10 26 , nella banda di frequenza
Hz 1=2
e decrescono come la potenza tre mezzi della
frequenza di vibrazione, 3=2 .
richiedono investimenti costosi e tempi lunghi di
realizzazione. Inoltre la difficoltaÁ e le incertezze
inerenti nel valutare le potenze emesse dalle sorgenti astronomiche puoÁ rendere scettici un certo
numero di fisici sulla necessitaÁ di proseguire o
intraprendere questi studi.
Noi consideriamo, comunque, un fatto meraviglioso che la Persona Umana abbia la possbilitaÁ di esplorare un Universo cosõÁ complesso,
cosõÁ affascinante e misterioso e possa comprendere anche parzialmente il funzionamento
della Natura. Vogliamo terminare con una affermazione di Dyson, fisico teorico inglese:
Quando qualcosa cessa di essere misterioso
non eÁ piuÁ una faccenda interessante per gli
scienziati. Essi sognano quasi solo di cose
misteriose.
E aggiungiamo:
moltissime sono ancora le cose misteriose in
Natura.
E questa affermazione forse giustifica la ricerca sulle onde gravitazionali.
Ringraziamenti
Gli autori desiderano ringraziare il Dott. R.
Parodi per aver discusso insieme molti argomenti riguardanti la rivelazione delle onde gravitazionali.
11. ± Le onde gravitazionali come nuovo
metodo di indagine?
Letture consigliate
Altre tecniche, variazione piuÁ o meno dei due
filoni menzionati piuÁ sopra (interferomentrici e
sbarre metalliche) sono allo studio e in alcuni casi
si stanno sviluppando prototipi per stabilire i limiti
delle sensibilitaÁ che potrebbero raggiungere.
La rivelazione delle onde gravitazionali eÁ giustificata dal fatto che potrebbe aprire una nuova
finestra sull'Universo. Ogni qual volta sono state
sviluppate nuove tecniche per studiare l'Universo
(ottiche, radioonde, miocroonde, infrarosso, raggi
X; neutrini, ecc.) si eÁ scoperto un Universo sempre
piuÁ ricco di forme. Ogni radiazione ha una sua
impronta che permette di esplorare nuovi aspetti
dell'Universo. Quello che ci lascia a volte perplessi
eÁ che lo studio delle onde gravitazionali e i progressi che promette questo metodo di indagine
Ð A. EINSTEIN: Sur les ondes gravitationnelles,
traduzione dal tedesco apparsa in «Albert
Einstein» Vol. 3 (Seul CNRS, 1993).
Ð P.C.W. DAVIES: The Searches for Gravity Waves (Cambridge University Press, 1980).
Ð P.R. SAULSON: Fundamentals of Interferometric Gravitational Waves Detector (World
Scientific, 1994).
Ð G. PIZZELLA: Fisica Sperimentale del Campo Gravitazionale (La Nuova Italia Scientifica, 1993).
Ð C.W. WILL: Theory and Experiment in Gravitational Physics (Cambridge University
Press, revised edition, 1993).
Ð A. GIAZOTTO: Interferometric Detection of
gravitational waves. Phys. Rep., 182 (1989)
365-424.
