GRAVITAZIONE - Liceocopernico.it
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GRAVITAZIONE Un po’ di storia. Da sempre il Sole, le stelle ed i pianeti si muovono su orbite circolari in modo continuo, non come i moti sulla terra che hanno un inizio ed una fine. Ecco perché non ci si interrogava sulle cause di tali moti, sembravano infatti di natura perfetta ed eterna. Ma le orbite dei pianeti in realtà viste dalla Terra non sono poi così perfette, infatti alcuni pianeti, che di solito si spostano lentamente verso est, invertono talvolta il loro moto ed iniziano a spostarsi verso ovest in modo inspiegabile. Questo strano moto è detto moto retrogrado. 1. I Caldei furono i primi a studiare il moto degli astri e le eclissi. Ma i modelli di Universo rimasero molto primitivi. Anche gli Egizi rimasero sullo stesso livello e pensavano che le stelle erano appese come lumi alla volta del cielo immaginato come un soffitto del mondo. 2. I greci ereditarono le osservazioni fatte dai Caldei e cercarono di ordinarle in un sistema logico ed universale di leggi. a. Nel VI secolo a.C. la scuola dei pitagorici sostenne l’ipotesi che la Terra fosse sferica e ruotasse con il Sole e gli altri pianeti intorno al fuoco centrale. b. Secondo Platone l’Universo è fondato su due principi: i. La Terra è immobile al centro dell’universo ii. I cieli sono costituite da sfere concentriche che ruotano con velocità uniforme, la più esterna è la sfera delle stelle fisse che contiene altre sette sfere una per ogni pianeta allora conosciuto. Ovviamente questo modello non poteva spiegare il perché del moto retrogrado. Ma quella di Platone era più metafisica che fisica e trascurava i dettagli sperimentali. c. Il primo tentativo di conciliare i dati sperimentali con la teoria fu compiuto da Eudosso di Cnido suo discepolo. Grandissimo matematico, ideatore del calcolo integrale, riuscì a calcolare le dimensioni della Terra e del Sole. Eudosso introdusse per ogni pianeta un sistema di sfere concentriche. In questo modo era possibile con un totale di ventisei sfere più le stelle fisse “salvare le apparenze” senza rinunciare al principio del moto circolare uniforme. d. Aristotele portò il numero delle sfere a 55. Egli pensava che la Terra, il fuoco, l’acqua e l’aria sono gli elementi che compongono il nostro mondo. I corpi celesti invece, sono composti da una quinta sostanza, immutabile ed incorruttibile detta quinta essenza. Tutti i corpi celesti si dovevano muovere di moto circolare uniforme, che per la sua perfezione era l’unico moto che poteva competere loro come già aveva affermato Platone. Aristotele è certo che la Terra è sferica, ciò è provato dal profilo dell’ombra che essa proietta sulla Luna durante le eclissi. E’ certo anche che essa sia immobile al centro dell’universo infatti, diceva, se la Terra si muovesse un corpo lanciato verso l’alto dovrebbe ricadere lontano dal punto dove è stato lanciato. Inoltre, in conseguenza di questo moto, la posizione delle stelle nel cielo dovrebbe cambiare, ma ciò non accade. e. Nel III secolo a.C. Aristarco di Samo avanzò l’ipotesi, subito rifiutata perché in contrapposizione ad Aristotele, che il Sole e le stelle fossero fissi nell’universo e che la Terra ed i pianeti si muovano attorno al Sole su orbite circolari. Questo sistema detto Eliocentrico spiegava in modo semplice il moto retrogrado dovuto al fatto che il moto dei pianeti è visto da un osservatore a sua volta in movimento, mentre un osservatore posto sul Sole vedrebbe il moto circolare ed uniforme dei pianeti. 3. Con Tolomeo II secolo d.C. l’astronomia antica raggiunse il massimo sviluppo. Nella sua famosa opera Almagesto (il più grande), è elaborata la più completa teoria (tolemaica) di tipo geocentrico, secondo questa teoria i pianeti si muovono su un cerchio detto epiciclo e il centro di questo cerchio si muove a sua volta intorno alla Terra su un altro cerchio detto deferente. Questo sistema riuscì in parte a spiegare anche il moto retrogrado dei pianeti. Il sistema tolemaico e le dottrine Aristoteliche, pressoché dimenticate dall’Occidente cristiano fino all’XI sec., vennero riscoperte con la diffusione della cultura araba. Tommaso d’Aquino riuscì a fondere in un’unica grande sintesi le dottrine di Aristotele con la tradizione teologica biblica cristiana; e poiché gli arabi non avevano dato contributi originali di rilievo, il modello tolemaico venne accettato integralmente e restò per secoli la teoria cosmologica della chiesa. L’astronomo polacco Niklas Kopperlingk, detto Copernico, pubblicò la sua grande opera, il “DE revolutionibus Orbium Celestium”, in Germania nel 1542 contro la sua volontà (forse perché consapevole dei problemi che avrebbe innescato con la chiesa). Copernico era uomo di fede e si prodigò per dimostrare che la sua opera rivelava la perfetta armonia dell’universo. Egli riprendendo la teoria di Aristarco, dimenticata da duemila anni, ideò la seguente teoria basata su tre ipotesi: 1. La Terra compie una rotazione completa intorno al proprio asse da ovest a est in circa 24 ore 2. La Terra compie una rivoluzione intorno al Sole, che è il centro dell’universo, nel corso di un anno. 3. I pianeti ruotano anch’essi intorno al Sole. Sono note le obiezioni opposte all’ipotesi del moto della Terra fin dal tempo di Aristotele. L’opera di Copernico e di Tolomeo descrivevano entrambe con lo stesso grado di accuratezza il moto dei pianeti, ma le teorie di Copernico andavano anche contro il senso comune e ragioni teologiche. L’idea stessa che la Terra (l’uomo) non fosse il centro dell’universo era sgradevole ed inquietante, l’uomo si trovava a perdere una posizione di privilegio. Nel 1572 un altro brillante scienziato Tycho Brahe ebbe la fortuna di studiare per primo un nuovo astro che diventava sempre più luminoso fino ad essere osservabile anche di giorno, e poiché la sua posizione non mutava Tycho concluse che era una stella e non una cometa. Questa brillò per due anni poi si indebolì e scomparve, oggi sappiamo che quella era una supernova. Questo fenomeno destò grande impressione, infatti mostrava che le stelle non erano immutabili, come pensava Aristotele, ma che avessero una propria vita. Questo inizio a mettere in crisi il sistema dominante. Tycho elaborò un proprio sistema di compromesso tra Copernico e Tolomeo, egli pose la Terra al centro con il Sole che gli ruota attorno, mentre Mercurio e Venere ruotano intorno al Sole; Marte Giove e Saturno invece ruotano intorno alla Terra. Questo sistema però venne presto abbandonato, tuttavia furono invece fondamentali i dati e le osservazioni che egli eseguì al suo assistente Johannes Kepler detto Keplero. Keplero matematico e astronomo tedesco fu un convinto sostenitore della teoria copernicana. Analizzando i dati sperimentali raccolti dal maestro , scopri le tre famose leggi sul moto dei pianeti note come leggi di Keplero: 1. Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi; le varie ellissi non giacciono nello stesso piano, ma formano un certo angolo fra loro. 2. Le aree descritte dal segmento rettilineo congiungente il Sole con il pianeta sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle. 3. I quadrati dei tempi di rivoluzione, cioè i tempi che i pianeti impiegano a percorrere le rispettive orbite, sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle rispettive ellissi. In sostanza la seconda legge afferma che la velocità di un pianeta non è costante nel suo moto di rivoluzione, ma sarà minore all’afelio (punto dell’orbita più lontano dal Sole) e maggiore al perielio (punto più vicino). Infatti la velocità aureolare deve rimanere costante. Con la scoperta di queste leggi, Keplero ha risolto il problema a cui gli astronomi avevano pensato per millenni, esse infatti permettono di stabilire la posizione di un pianeta in qualsiasi istante, senza l’ausilio di deferenti, epicicli, eccentrici ed altro ancora. Galilei occupa un posto importante nella storia dell’astronomia grazie alle prime osservazioni col cannocchiale nel 1610. Grazie al cannocchiale, Galilei scoprì i satelliti di Giove, le montagne ed i crateri della Luna, gli anelli di Saturno, le macchie solari ed altro. Di conseguenza capì che non è vero che il mondo astronomico è composto dalla quinta essenza. La Luna non è un corpo perfetto di “cristallo”, i satelliti di Giove ruotano attorno a Giove non attorno alla Terra. C’erano però problemi irrisolti per dimostrare che anche la Terra è in moto. Se osserviamo le stelle, e la Terra realmente si muove, si dovrebbe osservare il noto fenomeno della parallasse. (osservando le stelle da punti diversi le loro direzioni sembrano cambiare). Ed invece nessuno, neppure le accurate misure di Tycho Brahe, riuscì in quel tempo a rilevare questo effetto avvalorando l’ipotesi che la Terra sia ferma. Inoltre se la Terra si muovesse, e supponiamo di lanciare una pietra da una torre di 5 metri, nel secondo che impiega la pietra per arrivare a terra, la torre si sarebbe dovuta spostare verso est di almeno 300 metri. Come mai le mele non cadono a distanza di metri dal tronco dell’albero? Sembra banale ma nessuno era riuscito mai a rispondere. Galilei rispose invece che il sasso e la torre sono legati alla Terra e viaggiano tutti alla stessa velocità. Quando il sasso viene fatto cadere conserva la stessa velocità della torre. Da questi esperimenti capì anche che la velocità di rotazione in cima alla torre è maggiore di quella al suolo, per cui il sasso lasciato cadere dalla cima cadrà un po’ a est rispetto alla verticale della torre. Nonostante i progressi compiuti, i grandi pensatori di allora non seppero rinunciare alle idee metafisiche ( ad esempio l’armonia universale) che cercavano di coniugare con le ultime scoperte compiute. Soltanto con Galilei e subito dopo con Newton la scienza moderna fissa i propri metodi ed obiettivi. Dice Newton – Hypotheses non fingo”-, cioè egli non intende capire il mistero della gravitazione ma solo cercare di descriverla. Ecco come Eulero descrive la prima idea della scoperta della gravitazione di Newton. SI dice che Newton nel 1666 trovandosi in un giardino, si sdraiò sotto un melo, quando un frutto gli cadde sulla testa. Lo scienziato inglese pensò che anche se l’albero fosse stato più alto la mela sarebbe caduta lo stesso. Ma se l’albero fosse stato alto fino alla Luna la mela sarebbe caduta ancora? Si trovò incerto sulla risposta da dare, penso però che non c’erano motivi validi per pensare che la mela non dovesse cadere ancora. Ma allora anche la Luna avrebbe dovuto cadere, pensò che forse la ragione per cui la Luna non cade doveva essere ricercata nel suo moto; come quando un proiettile può passare sopra di noi senza cadere giù verticalmente. Da qui estese il ragionamento a tutti i corpi celesti. Vediamo ora come Newton è arrivato alla formulazione della legge di gravitazione universale con l’ausilio delle leggi di Keplero. Dato che l’eccentricità dei pianeti è molto piccola, Newton considera l’orbita dei pianeti circolare, quindi per la seconda legge di Keplero (le distanze dell’afelio e del perielio coincidono) il pianeta si muove di moto circolare uniforme. La sua accelerazione centripeta sarà: 2 2 2 4 2 a R R R (1) c 2 T T Possiamo calcolare allora l’accelerazione centripeta della Luna nel suo moto intorno alla Terra 2 8 4 π 3,83 10 m 3 2 a = = 2,71 10 m / s c 62 2,36 10 s ovviamente l’accelerazione centripeta deve essere uguale alla accelerazione di gravità per tale distanza. D’altra parte dagli esperimenti sulla caduta dei gravi si ottiene una accelerazione di gravità di 9,8 m/s2. Allora appare chiaro che l’accelerazione (e quindi la forza di attrazione) deve diminuire all’aumentare della distanza dalla Terra, ma con quale legge? Per rispondere occorre considerare la terza legge di Keplero, cioè che il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo della distanza è una costante: T2 R3 Questa legge vale anche per il moto della Luna intorno alla Terra, quindi avremo: 2 4 π 1 2 3 T = γ R sostituend o nella ( 1 ) si ha a = 2 T c γ R T l’accelerazione centripeta risulta quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Per una verifica, possiamo calcolare il T della Terra attraverso il raggio dell’orbita lunare R L ed il suo periodo di rotazione TL e sostituendolo poi nella formula precedente, calcolando la accelerazione centripeta sulla superficie terrestre R=6.380 Km si ottiene: 2 2 6 2 T 2.36 10 s 4 π 12 14 2 3 γ = = = 9.9 10 s / m quind a = = 9. = g T c 3 3 14 2 3 6 2 8 R 9.9 10 s / m 3.83 10 m 6.3 10 m L . Applichiamo ora il secondo principio della dinamica, dal quale segue che la forza che fa muovere la Luna nella sua orbita è pari al prodotto della massa lunare per l’accelerazione centripeta: 2 4 1 F m a m 2 TL L c L T R in modo analogo, utilizzando la costante per il Sole S e la distanza Terra-Sole si ottiene la forza di Attrazione esercitata dal Sole sulla Terra: 4 2 1 F m ST T 2 S R T Per il terzo principio della dinamica questa forza sarà uguale e contraria a quella esercitata dalla Terra sul Sole cioè: 2 4 1 F m 2 (2) ST S T R T m S T m ovvero m m T T S S confrontando le due si ottiene: S T La stessa relazione può essere ottenuta per qualsiasi pianeta sostituendo i rispettivi valori di m e , per cui il prodotto m è una costante universale. Moltiplicando numeratore e denominatore della (2) per mT si ottiene ponendo 2 m m 4 S T G sostituend o si ha F G ST 2 m R T la costante G è detta costante di gravitazione universale. Più in generale per qualsiasi coppia di corpi nell’universo di massa m1 e m2 posti a distanza r si avrà la legge di gravitazione universale: mm FG 12 2 . r Resta il problema di determinare la costante G, che però richiede per essere calcolata il valore della massa della Terra che non abbiamo e che apparentemente non è certo un dato facile da ricavare.
