Alcuni elementi formali della Meccanica Quantistica

Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della
presente opera.
Riassunto:
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
indicazioni
dagli
operale
è richiesto
il permesso
scrittoesperimenti
dell’autore (E. Silva)
fondamentali
SQ
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Fisica Classica
• Punto materiale.
• Principi della dinamica. F = ma
• Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell
Enrico
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
• Onde
elettromagnetiche.
Esperimento chiave:
Non
in particolare,
la riproduzione anchela parziale
• c è= permessa,
costante (relatività
ristretta)
doppia fenditura
della presente opera.
(Young)
Per l’autorizzazione
a
riprodurre
in
parte
o
in
tutto
la
presente
Per il singolo punto materiale:
opera è richiesto
il permesso
scritto dell’autore
determinismo,
reversibilità
temporale (E. Silva)
Misura:
ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti.
Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono
essere rese) indipendenti.
SQ
Energia possibile per un punto materiale:
spettro continuo.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Esperimenti ?
previsioni classiche
*
• Punto materiale.
• Principi della dinamica. F = ma
• Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell
Enrico
Silva
proprietà
intellettuale
non ceduta
• Onde
elettromagnetiche.
Effetto fotoelettrico
• c =la
costante
(relatività ristretta)
Non è permessa, in particolare,
riproduzione
anche parziale
Diffusione di elettroni
Effetto Compton
della presente opera.
Per il singolo punto materiale:
Per l’autorizzazione
a riprodurre in determinismo,
parte o in tutto
la presente
Interferenza
di singoli
reversibilità
temporale
è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
elettroni opera
e fotoni
*
Misura:
ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti.
Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono
essere rese) indipendenti.
Energia possibile per un punto materiale:
spettro continuo.
Spettri atomici
SQ
*
Esperimento chiave: la doppia fenditura
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Crisi dei concetti classici.
De Broglie: ! è una
proprietà generale
• Punto materiale.
• Principi della dinamica. F = ma
• Campi elettrici e magnetici. Equazioni di Maxwell
Planck, Einstein:
Enrico Silva - proprietà
intellettuale
non ceduta
• Onde
elettromagnetiche.
•
c
=
costante
(relatività
quanti
di radiazione
Non
è permessa, in particolare, la riproduzioneristretta)
anche parziale
della presente opera.
Per il singolo punto materiale:
Per
l’autorizzazione
a
riprodurre
in
parte
o in tutto
la presente
determinismo,
reversibilità
temporale
Heisenberg: alcune
opera
è
richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E.
Silva)
grandezze non possono
essere determinate con
precisione simultaneamente
Bohr: stati stazionari con
energia quantizzata
SQ
Misura:
ripetibile, incertezza sperimentale dovuta agli strumenti.
Misure di grandezze fisiche differenti sono (o possono
essere rese) indipendenti.
Energia possibile per un punto materiale:
spettro continuo.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Fondamenti formali
• Definizione e postulato della funzione d’onda (fdo).
• Giustificazione della equazione di Schrödinger per la fdo.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa,
in particolare,
la riproduzione
anchedal
parziale
• Equazione
di Schrödinger
dipendente
e indipendente
tempo
della presente opera.
• Interpretazione
probabilistica:
limitazioni
scelta
della fdo.
Per l’autorizzazione
a riprodurre
in parte onella
in tutto
la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
• Interpretazione probabilistica: il problema della misura.
• Valori di aspettazione.
• Operatori e osservabili.
• Stati stazionari.
(• Un sistema (ir)realistico: la buca di potenziale infinita)
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Il problema fisico
In generale, per conoscere un qualunque sistema è
necessario:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
1– identificare le grandezze che lo descrivono
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
2– determinare le leggi che regolano le relazioni fra le
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
suddette grandezze (ivi compresa l’evoluzione temporale)
L’impostazione “classica”:
1– posizione, momento (quantità di moto), momento angolare
(momento della quantità di moto), energia cinetica e potenziale
2– F = ma, etc.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
In generale, per conoscere un qualunque sistema è necessario:
1– identificare le grandezze che lo descrivono
2– determinare le leggi che regolano le relazioni fra le suddette grandezze
(ivi compresa l’evoluzione temporale)
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
L’approccio
della Meccanica
Quantistica
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione
in parteeoleininterpretazioni
tutto la presente
Secondo
le indicazionia riprodurre
degli esperimenti
date,
opera è richiesto il permesso
scritto dell’autore (E. Silva)
si postula:
Postulato 1
Esiste una funzione "(x,t), detta funzione d’onda, che
contiene tutta l’informazione sul sistema in esame.
Il primo passo è quindi
Determinare le equazioni cui la
funzione d’onda deve sottostare
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
La funzione d’onda e
l’equazione di Schrödinger
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Funzione d’onda
Cerchiamo una grandezza che possa essere usata per descrivere un
sistema fisico.
Supponiamo che tutte le informazioni,
Enrico
Silva
- proprietà
intellettuale
non ceduta
invece che nelle
grandezze
classiche
{posizione,
velocità},
Non
è
permessa,
in
particolare,
la
riproduzione
anche
parziale
siano contenute in una funzione "(x,t) (funzione d’onda).
presente
opera. e quindi deve poter:
Essa deve render contodella
dei dati
sperimentali,
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
• opera
rappresentare
entiil dotati
di lunghezza
d’onda e (E.
frequenza;
è richiesto
permesso
scritto dell’autore
Silva)
• soddisfare una equazione d’onda;
• rappresentare una (densità di) probabilità;
• rappresentare “particelle”.
Fatto questo assunto, si cerca(no) l’equazione (le equazioni) che
descrive (descrivono) l’evoluzione spaziale e temporale della "(x,t).
Le equazioni furono determinate da Schrödinger, 1925.
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Considerazioni sull’equazione delle onde
Fisica classica:
l’onda armonica progressiva
soddisfa l’equazione delle onde
Enrico
Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Notazione:
Non èdipendente
permessa,
particolare,
" indica la funzione
da x ein
t, mentre
# indica la riproduzione anche parziale
la sola dipendenza da x (quando è possibile
separarle)
della presente opera.
però soddisfa
Per l’autorizzazione
anche l’equazione
a riprodurre
del primo
in ordine:
parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Perché questa equazione non è accettabile?
Perché non è soddisfatta dall’onda regressiva
L’equazione non è simmetrica per propagazione in versi opposti,
ovvero non è identica per k e – k.
Perché lo sia, deve contenere la derivata seconda rispetto a x.
Inoltre, la grandezza fisica è la parte reale, Re["]:
perché l’equazione non “mescoli” anche la parte immaginaria,
è necessaria la derivata seconda rispetto a t.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Una giustificazione dell’eq. di Schrödinger
L’equazione si deve applicare a fenomeni simili ai fenomeni ondulatori;
consideriamo come funzione d’onda di prova:
Nota: si tratta di un caso particolare:
non è una dimostrazione.
Enrico Silvadelle
- proprietà
intellettuale
non cedutasia simmetrica
Similmente all’equazione
onde, richiedendo
che l’equazione
particolare,
la riproduzione
parziale
per k Non
e – k,èè permessa,
ragionevolein
scrivere
un termine
con la derivataanche
seconda
rispetto a x.
della presente opera.
De Broglie,
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
non relativistico
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
La derivata prima rispetto al tempo fornisce
si procede
ammettendo che la grandezza di interesse possa essere complessa
(ovvero ammettendo che non sia solo la parte reale Re["] che determina la fisica)
e quindi sfruttando le due equazioni precedenti
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Per procedere: analogia con la fisica classica
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
EnergiaNon
di una
particellain= particolare,
en. cinetica la
+ riproduzione
en. potenzialeanche parziale
è permessa,
della
Attenzione ai simboli: in questo contesto
V presente opera.
con in parte o in tutto la presente
è l’energiaPer
potenziale,
non il potenziale.
l’autorizzazione
a riprodurre
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Sostituendo, la prima equazione fornisce
da cui, usando la seconda:
Ricordiamo che questa equazione è ottenuta per la fdo di prova:
non è ricavata per una fdo qualunque.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Equazione di Schrödinger
Si assume che ogni funzione d’onda debba soddisfare l’equazione:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Equazione di Schrödinger
dal tempo
della presentedipendente
opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera
è richiesto
permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)del
dove
in generale
V =il V(x,t)
è l’energia
potenziale specifica
problema in questione.
La maggior parte dei problemi di Meccanica Quantistica che
verranno trattati consistono nella soluzione dell’equazione di
Schrödinger per un determinato sistema, rappresentato e descritto
dal particolare V(x,t).
L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo è l’equazione da
risolvere per studiare i problemi di moto e di evoluzione temporale.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Equazione di Schrödinger - commenti
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
L’equazione di S. è lineare:
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
se "1 e "2 sono
soluzioni,
della
presenteanche
opera.a"1 + b"2 lo è
(N.B.: a,a briprodurre
sono numeri
complessi).
Per l’autorizzazione
in parte
o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Questo è necessario, poiché il comportamento ondulatorio rivelato
sperimentalmente richiede che valga il principio di sovrapposizione:
Ogni sovrapposizione lineare di una funzione d’onda è a sua volta
una funzione d’onda ammissibile.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Equazione di Schrödinger indipendente da t
Supponiamo quindi che la fdo soddisfi l’equazione di Schrödinger.
Equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Supponiamo che V non dipenda dal tempo:
V=V(x)
della presente opera.
l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
Ipotesi diPer
separazione
delle variabili:
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
dividendo per f#:
funzione solo di x
Funzioni di variabili differenti uguali fra loro
funzione solo di t
Devono essere uguali a una costante.
Chiamiamola E.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Ottengo due equazioni differenziali ordinarie
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
anche
Equazione
di parziale
Schrödinger
della presente opera. indipendente dal tempo.
L’evoluzione
temporalea riprodurre in parte o in tutto la presente
Per l’autorizzazione
#(x) dipende da V(x).
non
dipende
da V, il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
opera
è richiesto
L’equazione di Schrödinger
se V non dipende da t.
indipendente dal tempo è una
––> non dipende dal problema particolare
equazione agli autovalori.
Risolvere l’equazione di Schrödinger equivale a risolvere un problema agli
autovalori, ovvero trovare i valori permessi di E e le corrispondenti #(x).
Questa parte del problema dipende da V.
La fdo complessiva (che include la dinamica) è data poi da:
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interpretazione statistica
Born diede per primo una chiara interpretazione
statistica della funzione d’onda, suggerendo che
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
rappresenti
la probabilità adiriprodurre
trovare al in
tempo
punto
x e il punto
Per l’autorizzazione
partet ofra
in iltutto
la presente
la particella
rappresentata
da "(x,t).(E. Silva)
opera èx+dx
richiesto
il permesso
scritto dell’autore
Pertanto |"(x,t)|2 è una densità di probabilità.
Nota: "(x,t) non è una buona grandezza probabilistica: è complessa!
Invece, "*(x,t)"(x,t)= |"(x,t)|2 è reale
Nota 2: "(x,t) soddisfa a un’equazione delle onde: è detta anche un’onda
di probabilità.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Normalizzazione della funzione d’onda
Se
è una densità di probabilità,
deve valere la proprietà di normalizzazione della probabilità:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Ricordiamoci che la fdo rappresenta
unaopera.
particella: quest’ultima, anche
della presente
sePer
nonl’autorizzazione
completamente alocalizzata,
trovarsi
da qualche
parte.
riprodurre deve
in parte
o in tutto
la presente
opera è richiesto
il permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)
L’interpretazione
probabilistica
(richiesta
dagli esperimenti)
impone
quindi un vincolo sulle possibili fdo:
sono funzioni d’onda fisiche solo le fdo normalizzabili.
Poiché l’equazione di Schrödinger è lineare, se " è soluzione anche
A" è soluzione. Normalizzare la fdo significa scegliere A tale che
A può essere complessa.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Normalizzazione della fdo: conseguenze
Normalizzare la fdo:
Perché la fdo sia normalizzabile, per x–> ±!, " ––> 0 più rapidamente di 1/"|x|
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa,
in particolare,
anchescartate.
parziale
Alcune soluzioni
(inclusa la soluzione
banalela"riproduzione
= 0) devono essere
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto! +∞
la presente
1
dx, c > 0
Richiamo:
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E.
Silva)
x
c
!
c
+∞
1
dx, c > 0
x1+δ
diverge
converge
Osservazione. Mediante separazione di variabili abbiamo ottenuto:
––> la normalizzazione di "(x,t) comporta la normalizzazione di #(x).
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Conservazione della probabilità
Sia data "(x,t), funzione d’onda, che soddisfi l’equazione di Schrödinger.
Essa sia stata normalizzata, p.es., al tempo t = 0.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
L’evoluzione temporale è dettata da:
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
A tempi t > 0, la fdo è ancora normalizzata?
Se non lo è, la teoria diviene inconsistente!
Bisogna verificare che:
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Conservazione della probabilità - dimostrazione
Derivata delEnrico
prodotto
di -funzioni:
Silva
proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Equazione di
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Schrödinger:
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
complessa coniugata:
richiamo:
–i = 1/i
esercizio:
verificare
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Conservazione della probabilità - dimostrazione (2)
Enrico Silva - proprietà
intellettuale non ceduta
allora:
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
dove l’ultimo passaggio deriva dal fatto che le fdo devono
essere normalizzabili, e quindi devono andare a zero
velocemente per x–> ±!.
Quindi, se " è normalizzata a t = 0, resta normalizzata.
QED
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Il flusso
La grandezza:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
è detta flusso,
poiché si
è dimostrato
della epresente
opera.
(Vedi dimostrazione della conservazione della probabilità per l’eq. di Schrödinger)
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Si ha la legge di conservazione per la densità di probabilità:
In 3D:
→
− →
∂
− −
2
−
|Ψ(→
r , t)| + ∇ · j (→
r , t) = 0
∂t
cfr. equazione di continuità
per la corrente
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Probabilità: richiami
$(x) densità di probabilità per la variabile continua x %(–&, +&). Allora:
Probabilità di trovare il valore di x fra x e x+dx.
Probabilità
di trovarenon
x nell’intervallo
[a,b].
Enrico Silva - proprietà
intellettuale
ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Normalizzazione
della
presente opera.della probabilità
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso
scritto
(E. Silva)
Valor medio
di dell’autore
x (“valore aspettato”)
NON è necessariamente il valore più probabile
Valor medio di f(x)
varianza o scarto
quadratico medio
Deviazione standard
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
La varianza
La deviazione media di x dal valor medio è zero. Non è
una misura della larghezza della distribuzione per x.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non cedutavarianza o scarto
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
quadratico medio
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
"
<x> = 3, ! = 0.75
opera
è
richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore (E. Silva)
Distribuzioni gaussiane
<x> = 3, ! = 0.15
Valor medio di x.
con diversi valori medi
e deviazioni standard
<x> = 7, ! = 0.35
<x> = 3, ! = 0.35
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
x
deviazione standard: misura della
larghezza della distribuzione per x.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Postulati della MQ
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
La funzione d’onda
Esiste una funzione d’onda (fdo) " che descrive
l’evoluzione spaziale e temporale di una particella (o di
Enrico
- proprietà
non ceduta
un Silva
sistema,
vedi piùintellettuale
oltre) quantistica.
NonUna
è permessa,
in particolare,
la riproduzione
parziale
fdo del tipo
"(x,t) descrive
un sistema oanche
particella
presente
opera.dalla variabile x)
con un solo gradodella
di libertà
(indicato
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
L’evoluzione è data dall’equazione di
Schroedinger:
Implicazione: l’evoluzione della fdo è deterministica.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Interpretazione probabilistica
La grandezza:
|"(x,t)|2 = "(x,t)*"(x,t)
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
rappresenta la densità di probabilità di una particella (o
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
sistema)
quantistico.
della presente
opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Di conseguenza
opera è richiesto il permesso
scritto dell’autore (E. Silva)
! +∞
Ψ(x, t)∗ Ψ(x, t)dx = 1
−∞
Implicazione: le fdo ammissibili devono essere normalizzabili.
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Continuità
La fdo "(x,t)
Enrico Silva
proprietà
intellettuale
non ceduta
e la derivata spaziale
#"(x,t)/#x
Non è permessa,
in particolare,
anche parziale
sono funzioni
continue la
in riproduzione
un mezzo isotropo.
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Implicazione: le fdo ammissibili devono essere finite nello
spazio delle posizioni.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Osservabili e operatori
Le grandezze misurabili sono rappresentate da
operatori.
Enrico Silva - proprietà
intellettuale non ceduta
Gli operatori
agiscono
sulla fdo "(x,t).
Non è permessa,
in particolare,
la riproduzione
anche parziale
L’operazione di della
misurare
presente
un osservabile
opera.
Q si traduce
Per l’autorizzazione
matematicamente
a riprodurre
nell’applicare
in parte ol’operatore
in tutto la presente
operacorrispondente
è richiesto il permesso
alla fdo escritto
cercarne
dell’autore
l’autovalore:
(E. Silva)
!
QΨ(x,
t) = qΨ(x, t)
I diversi valori di q ammissibili rappresentano i
possibili risultati di una misura.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Valori aspettati
Enrico
Silva - di
proprietà
intellettuale
non Q
ceduta
Il valore
aspettato
una variabile
dinamica
è fornito
Nondalla
è permessa,
in
particolare,
la
riproduzione
anche
operazione del corrispondente operatore sullaparziale
fdo,
della
presente
opera.
mediato su tutto lo spazio:
Per l’autorizzazione a! riprodurre
in parte o in tutto la presente
+∞
" dell’autore
opera è richiesto
!Q" =il permesso
Ψ(x,scritto
t)∗ QΨ(x,
t)dx (E. Silva)
−∞
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Valori d’aspettazione.
Operatori.
Misura.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Valori d’aspettazione: posizione
Sia "(x,t) la fdo di un sistema. Stante il significato probabilistico, il valore
aspettato per la posizione di una particella nello stato "(x,t) è:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
e rappresenta la media di numerose misure
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
o in tutto la presente
effettuate su numerosi sistemi tutti preparati
opera è richiesto il permesso scritto
(E. Silva)
allodell’autore
stesso modo (stesso
stato "). Vedi oltre!
Cosa succede al variare del tempo?
<x> cambia, poiché cambia "(x,t).
Classicamente, cercheremmo la velocità: v=dx/dt.
Cerchiamo d<x>/dt.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Valori d’aspettazione: velocità
Vedi dimostrazione della conservazione
della probabilità per l’eq. di Schrödinger
In questo passaggio
non va introdotto un
termine #x/#t, perché la
variazione di x nel
tempo è data solo dalla
variazione di " !
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Nei vari passaggi si sfrutta:
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
1- " va a zero all’infinito
più rapidamente di 1/x.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
2- l’integrazione per parti:
In definitiva, identificando <v> con d<x>/dt (a questo livello è un
postulato, anche se verosimile), si ha:
Che fornisce la maniera di calcolare v data ".
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Operatore momento
La velocità:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Il momento:
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Questa relazione è scritta in termini di un operatore
che agisce sulla fdo.
Si dice che l’operatore
rappresenta il momento nello stato ".
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Operatori
Il momento:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
La posizione:
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
In
generale,
qualunque
grandezzain
Qparte
può essere
espressa
come
Per l’autorizzazione a riprodurre
o in tutto
la presente
combinazione
di questi
duedell’autore
operatori. (E. Silva)
opera è richiesto
il permesso
scritto
Ad esempio, l’energia cinetica:
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Energia e hamiltoniana
Energia cinetica:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
L’energia
è detta anche
Hamiltoniana.
Pertotale
l’autorizzazione
a riprodurre
in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Equazioni agli autovalori
Dato un operatore
, risolvere l’equazione
significaEnrico
trovareSilva
la particolare
di funzioni
per le quali
- proprietàclasse
intellettuale
non"
ceduta
l’applicazione
dell’operatore
la stessa
funzione,
Non è permessa,
in particolare, lafornisce
riproduzione
anche
parziale
Ψ
moltiplicata per un opportuno
numero
q.
Siano
esse
Q,n
della presente opera.
Per l’autorizzazione
a riprodurre
o in tutto la presente
Le funzioni
per cui in
ciòparte
è possibile
opera è richiesto
il permesso
scrittoodell’autore
si chiamano
autofunzioni
autostati di(E. Silva)
I valori di q si chiamano autovalori di
e possono essere discreti (quantizzazione) o continui,
in numero finito o infinito.
Nella maggior parte dei casi, la conoscenza di un sistema
comporta il calcolo delle autofunzioni e degli autovalori di
determinati operatori.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Equazioni agli autovalori
Esercizio: sia dato l’operatore differenziale (derivata):
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, ladriproduzione anche parziale
!=
Q
della presente
dxopera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto
permesso scritto
(E.del
Silva)
Dimostrare
che leilautofunzioni
sono dell’autore
esponenziali
tipo:
eqx
dove q è l’autovalore
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Operatori lineari.
Siano a e b due numeri (eventualmente complessi).
Un operatore
si dice lineare se:
! [aΨSilva
! 1 (x)non
! 2 (x)
Q
bΨ2 (x)] intellettuale
= aQΨ
+ bQΨ
Enrico
ceduta
1 (x) -+proprietà
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Esempi di operatori lineari:
della presente opera.
derivazioni di ogni ordine
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Esempio di operatore non lineare:
il logaritmo
Gli operatori legati agli osservabili sono lineari.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Operatori hermitiani.
Operatori per cui valga:
!
+∞
−∞
"
ψ Qψdx
=
∗
!
+∞
−∞
" ∗ ψ ∗ dx sono detti hermitiani.
ψQ
!
ψn∗ (x)ψm (x)dx = δn,m
Si dimostra
per operatori
hermitiani:
Enrico
Silva - che,
proprietà
intellettuale
non ceduta
! +∞
! +∞
Non è permessa,
in particolare, la∗riproduzione
anche parziale
∗
1]
" 2 dx =
"
ψ1∗ Qψ
ψ
Q
ψ
dx
1
2
della presente
opera.
−∞
−∞
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
2] gli autovalori
sono reali.
opera
è richiesto ila permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)
3] autofunzioni
corrispondenti
autovalori differenti
sono ortogonali,
e
possono essere prese ortonormali, ovvero:
+∞
−∞
4] l’insieme delle autofunzioni #Q,n di un operatore hermitiano
è completo,
ovvero ogni fdo " può essere espressa come combinazione lineare delle #q,n:
Ψ(x) =
!
cn ψQ,n (x)
n
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Operatori hermitiani (2).
Gli operatori legati agli osservabili sono hermitiani.
Esercizio: dimostrare.
Suggerimento: il valore
aspettato deve essere reale.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Ulteriori proprietà. della presente opera.
Per l’autorizzazione!
a riprodurre in parte o in tutto la presente
Essendo:
Ψ(x)
=
cn ψn (x)scritto dell’autore
ψnSilva)
dove le(E.
sono autofunzioni
opera è richiesto il permesso
n
allora:
cn =
!
n
!
+∞
−∞
2
ψn∗ (x)Ψ(x)dx
|cn | = 1
Esercizio: dimostrare.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Commutazione.
L’applicazione successiva di due operatori
lineari dipende dall’ordine di applicazione.
Esempio: si considerino
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
l’operatore posizione,
x
Non è permessa, in particolare, la– riproduzione
anche parziale
! ∂
della presente
opera.
– l’operatore
momento,
i ∂x
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
! ∂o in tutto la!presente
∂
x dell’autore
Ψ(x) !=(E. Silva)
[xΨ(x)]
opera è richiesto Èil evidente
permessoche:
scritto
i ∂x
i ∂x
Due operatori (lineari) non necessariamente commutano.
! W
" due operatori,
Detti Q,
!
$
" W
# =Q
"W
#−W
#Q
"
la grandezza Q,
! eW
"
è detta commutatore di Q
Esercizio: dimostrare che
[ p! , x
!] =
l’operazione:
!e rappresenta
$
%
&
%
&
"
#
"
#
#
"
Q, W Ψ = Q W Ψ − W QΨ
!
i
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
La misura.
Sia "(x,t) la fdo di un sistema. Stante il significato probabilistico, il valore
aspettato per un osservabile Q nello stato "(x,t) è:
! +∞
Enrico Silva !Q"
- proprietà
intellettuale
non ceduta
"
=
Ψ∗ QΨdx
−∞la riproduzione anche parziale
Non è permessa, in particolare,
della presente opera.
Due misure
Per l’autorizzazione
immediatamentea successive
riprodurre in
sulparte
medesimo
o in tutto
sistema
la presente
devono dare il
medesimo
opera è richiesto
valore,ilperché
permesso
il concetto
scritto dell’autore
di misura abbia
(E. Silva)
senso.
Quindi, la relazione sopra non significa che facendo numerose misure
! +∞
sulla stessa particella il risultato è:
"
!Q" =
Ψ∗ QΨdx
−∞
Piuttosto, esso rappresenta la media di numerose misure effettuate su
numerosi sistemi tutti preparati allo stesso modo (stesso stato ").
“Effettuando una misura, la fdo collassa in un certo stato.”
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
La misura.
Effettuare una misura di Q = applicare l’operatore corrispondente e ottenere
come risultato uno dei possibili valori di q, ovvero un autovalore:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Questo
è possibileinsolo
se la fdolaè riproduzione
un autostato di
per cui:
Non è permessa,
particolare,
anche,parziale
della!presente opera.
QΨQ,n = qΨQ,n
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
dove leil Ψ
le autofunzioni
opera è richiesto
permesso
dell’autoredi(E. Silva)
Q,n sonoscritto
Di conseguenza, una misura di un osservabile proietta la fdo in uno degli
autostati dell’operatore a esso associato.
una misura successiva fornirà nuovamente la misura q.
Effettuando una misura, la fdo collassa in un certo stato.
Esercizio: cercare su Google “paradosso di Zenone quantistico” o “effetto
Zenone quantistico” o “quantum Zeno effect” o “quantum Zeno paradox”