2) Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica di 50 Ohm

Appello di Elettromagnetismo per la trasmissione dell’Informazione, 14 Gennaio 2014
1) Data un’impedenza di carico ZL=10+j10 Ohm, dimensionare un adattatore in singolo stub serie, per
trasformare tale impedenza in 50 Ohm. Si considerino stub in corto circuito.
Soluzione: il carico normalizzato è 0.2+j0.2; lo individuiamo sulla Carta di Smith e tracciamo una
circonferenza che passa attraverso questo carico e interseca la circonferenza a parte reale 1. Abbiamo due
soluzioni possibili (ne basta una): un’intersezione a z1=1+j1.844 ad una distanza d1=0.152 nel quadrante
superiore ed una nel quadrante inferiore: z2=1-j1.844 ad una distanza d2=0.283. Lo stub posto a d1 deve
produrre una reattanza X=-j1.844. Dalla Carta Di Smith, partiamo dal cortocircuito per le impedenze (il
punto -1,0) e ruotiamo verso il generatore (senso orario) fino a leggere -1.844 (quadrante inferiore) per la
reattanza: otteniamo così che la lunghezza dello stub nel primo caso è 0.329. Nel secondo caso invece la
reattanza da produrre è la medesima ma nel quadrante superiore (j1.844). A tal fine occorre una rotazione
di 0.171.
2) Una linea di trasmissione con impedenza caratteristica di 50 Ohm è chiusa su di un carico con
impedenza Zl=150+j150; quanto valgono l'impedenza massima e quella minima lungo tale linea?
soluzione: il modulo del coefficiente di riflessione vale 0.721, e quindi il ROS è 6.168; l'impedenza
massima è Zo ROS=308.56 Ohm, mentre l'impedenza minima è Zo/ROS=8.102 Ohm
3) Su di una linea di trasmissione a 50 Ohm si misura un ROS di 2. Sapendo che un minimo di tensione viene
misurato a 0.125 dal carico, quanto vale l’impedenza di carico?
soluzione: In un punto di minimo di tensione l’impedenza normalizzata vista in tale sezione è
minima e vale 1/ROS=0.5. Basta quindi individuare z1=0.5 sulla carta di Smith, e sapere che il
carico si trova a /8, quindi ruotare di /8 (un quarto di giro) verso il carico (senso antiorario) e
leggere il valore normalizzato: si trova zl=0.8-j0.6, che denormalizzato restituisce 40-j30 Ohm
4) In un sistema di telecomunicazioni quale è la massima frequenza assoluta (taglio primo modo
superiore) a cui possiamo utilizzare un cavo coassiale con diametro esterno 5mm, diametro
interno 1.429mm e riempito con polietilene (er=2.3)?
soluzione: Sappiamo che il kc è approssimativamente 2/(RaggioInterno+RaggioEsterno), quindi
con i diametri, 4/somma dei diametri, circa 622 [rad/m]. Quindi fc  kc /( 2 0 0 r ) =19.58GHz
5) Quanto vale la matrice ABCD del circuito in figura (si tratta del parallelo di due serie di linee,
ciascuna linea lunga un ottavo d’onda)? Quali sarebbero i valori di A,B,C,D nel caso particolare in
cui zo1=50 Ohm e zo2=100 Ohm?
Z0=zo1 Ohm
/8
Z0=zo2 Ohm
/8
PORTA1
PORTA 2
Z0=zo1 Ohm
/8
Z0=zo2 Ohm
/8
soluzione: Conviene sfruttare la simmetria (pari), che consente di dividere la parte superiore e la
parte inferiore del circuito con un muro magnetico (due punti corrispondenti tra la metà superiore
e quella inferiore sono sempre allo stesso potenziale). Quindi possiamo analizzare la matrice ABCD
della sola metà. Tuttavia per avere la matrice ABCD complessiva dobbiamo sapere come
ricombinare i risultati delle due metà: intuitivamente sappiamo che sono circuiti identici in
parallelo, e nel parallelo le impedenze si dimezzano e le ammettenze raddoppiano, così che
potremmo aspettarci un raddoppio della C ed un dimezzamento della B. Verifichiamolo: la
corrente che entra nella porta 1 (o nella porta 2) si divide in parti uguali alla prima biforcazione.
Quindi se I1 è la corrente a sinistra e I2 è la corrente a destra, analizzando solo metà circuito
dovremmo scrivere:
 V1   A B   V2 
 I / 2  C D   I / 2 dove la matrice ABCD è solo quella della metà superiore (o inferiore) ovvero, se
 2 
 1  
esplicitiamo i contributi: V1=AV2+(B/2)I2 e I1=2CV2+DI2, per cui, in modo compatto avremmo che
V1   A
 I   2C
 1 
B / 2 V2 
D   I 2 
Confermando la nostra prima intuizione. A questo punto dobbiamo solo calcolare la matrice ABCD della
metà del circuito , che è una cascata di linee in cui i conti sono semplificati dalla lunghezza elettrica /8, per
cui sia seno che coseno restituiscono
2 / 2:
 2

 2
j 2
 2
 zo1
2  2

2  2
 j 2
2  2
2   zo2
jzo1
2  1
zo1 

2   2 1  zo2 


j 1
1


2   

 2  zo1 zo2 

2

jzo 2
j
zo1  zo2
2

1
zo2  
1 

2
zo1  
Quindi la matrice ABCD totale, considerando quanto detto sopra, sarà:
 1
zo1 
 2 1  zo2 

 
1
1


 j


  zo1 zo2 
j
zo1  zo2
4
 che è il risultato cercato.
1  zo2  
1 

2
zo1  
Nel caso in cui zo1=50 Ohm e zo2=100 Ohm, sostituendo i valori numerici si ha:
A=0.25, B=j37.5 Ohm, C=j0.03 Siemens, D=-0.5. Notate che la struttura è reciproca (il determinante
restituisce sempre 1) ma non simmetrica (A e D sono diversi)