Il nucleo e la radiazione nucleare

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CAPITOLO
Il nucleo
e la radiazione nucleare
Fino a un centinaio di anni fa, l’unico modo che
i medici avevano per esplorare l’interno del corpo
umano era di aprirlo. La scoperta dei raggi X ci ha
fornito la prima tecnica non invasiva, ma a un
prezzo: i raggi X ad alta energia sono
potenzialmente pericolosi per l’organismo.
Utilizzando segnali che provengono
direttamente dai nuclei atomici,
la risonanza magnetica (MRI, dall’inglese
Magnetic Resonance Imaging) apre una finestra
nuova, importante e non nociva,
sull’interno del corpo.
In questo capitolo esploreremo
la composizione del nucleo atomico
e alcuni dei fenomeni
che lo riguardano.
N
el capitolo precedente la
nostra attenzione si è rivolta
quasi esclusivamente agli
elettroni degli atomi. Abbiamo studiato
le loro orbite e le loro energie, i loro
salti da un’orbita a un’altra e i fotoni che
emettono o assorbono. In queste
considerazioni il nucleo giocava un
ruolo molto piccolo: era trattato
fondamentalmente come un oggetto
puntiforme situato nel centro dell’atomo,
il cui ruolo consisteva nel produrre la
forza elettrostatica necessaria per
mantenere unito il sistema.
Il nucleo, invece, è molto di più di
un semplice punto. Quasi tutti i nuclei
contengono diverse particelle che
interagiscono fortemente,
impacchettate strettamente in una
struttura più o meno sferica. Le energie
associate ai cambiamenti all’interno del
nucleo hanno ordini di grandezza
maggiori di quelle che si osservano nelle
reazioni chimiche, nelle quali sono
coinvolti solo gli elettroni. È per questa
ragione che il Sole, che è alimentato da
reazioni nucleari, può bruciare per molti
miliardi di anni: se alla base della sua
energia ci fossero state reazioni
chimiche avrebbe brillato solo per
qualche milione di anni, e sarebbe
ormai spento da tempo.
In questo capitolo analizzeremo la
fisica in gioco all’interno del nucleo,
discuteremo le reazioni nucleari che
avvengono nel Sole e negli impianti
nucleari e descriveremo varie applicazioni
biomediche della fisica nucleare.
Contenuti
1. I costituenti
e la struttura del nucleo
2. La radioattività
1121
1126
3. Il tempo di dimezzamento
e la datazione radioattiva
1132
4. L’energia di legame del nucleo 1138
5. La fissione nucleare
1139
6. La fusione nucleare
1142
7. Le applicazioni pratiche
della fisica nucleare
1144
8. Le particelle elementari
1148
9. L’unificazione delle forze
e la cosmologia
1151
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1. I costituenti e la struttura del nucleo
Il nucleo più semplice è quello dell’atomo di idrogeno. Tale nucleo è formato da un
singolo protone, la cui massa è circa 1836 volte quella dell’elettrone e la cui carica
elettrica è !e.
Tutti gli altri nuclei contengono, oltre ai protoni, uno o più neutroni. Il neutrone è
una particella elettricamente neutra (la sua carica è zero) con una massa leggermente maggiore di quella del protone. All’interno del nucleo non ci sono altre particelle. I protoni e i neutroni sono indicati collettivamente come nucleoni.
I nuclei sono caratterizzati dal numero e dal tipo di nucleoni che contengono. Il numero atomico Z è definito come il numero di protoni presenti nel nucleo. In un atomo elettricamente neutro anche il numero degli elettroni sarà uguale a Z. Il numero di neutroni contenuti nel nucleo è detto numero di neutroni N. Infine, il numero
totale di nucleoni presenti in un nucleo è il numero di massa A.
Queste definizioni sono riassunte nella tabella 1. Naturalmente il numero di massa è la somma nel numero atomico e del numero di neutroni:
A"Z!N
[1]
Per indicare la composizione di un nucleo viene utilizzata una particolare notazione. Consideriamo, ad esempio, una forma instabile ma molto utilizzata del carbonio, il cosiddetto carbonio-14. Il nucleo del carbonio-14 è descritto nel modo seguente:
14
6C
In questa espressione, C rappresenta l’elemento chimico carbonio. Il numero 6 è il
numero atomico del carbonio, Z " 6; il numero 14 è il numero di massa del nucleo, A " 14. Ciò significa che nel nucleo del carbonio-14 ci sono 14 nucleoni. Il numero di neutroni si ottiene risolvendo l’equazione [1] in funzione di N:
N " A # Z " 14 # 6 " 8
Perciò il nucleo del carbonio-14 è formato da 6 protoni e 8 neutroni. La forma più
comune del carbonio è il carbonio-12, il cui nucleo è rappresentato mediante la notazione 126C. Il nucleo del carbonio-12 contiene 6 protoni e 6 neutroni.
In generale, il nucleo di un qualsiasi elemento X con numero atomico Z e numero
di massa A è rappresentato come:
A
ZX
Osserviamo che una volta specificato di quale elemento si tratta, il valore di Z è noto; perciò può capitare che il pedice Z venga omesso.
ESERCIZIO
1 a) Scrivi il simbolo corrispondente a un nucleo di alluminio che contiene 14 neutroni.
b) Il trizio è una sorta di “idrogeno pesante”. Il nucleo del trizio può essere descritto
come 31H. Quanti protoni e quanti neutroni ci sono in un nucleo di trizio?
[a) se cerchiamo l’alluminio nella Tavola Periodica, vediamo che Z " 13. Inoltre sappiamo
che N " 14. Perciò A " N ! Z " 27, e quindi è 27
13Al;
b) il numero di protoni è indicato dal pedice: Z " 1; il numero di neutroni è N " A # Z,
dove A è il valore in apice. Perciò il numero di neutroni del trizio è N " 3 # 1 " 2]
Tutti i nuclei di un dato elemento hanno lo stesso numero di protoni Z. Essi, tuttavia, possono avere diverso numero di neutroni N. I nuclei con lo stesso valore di Z
ma diverso valore di N sono detti isotopi. Ad esempio, 126C e 146C sono due isotopi
del carbonio, di cui 126C è il più comune poiché costituisce circa il 98,89% di tutto il
carbonio esistente in natura. Circa l’1,11% del carbonio naturale è 146C.
Nella tabella sulle proprietà di alcuni isotopi, che troviamo nell’Appendice a fine
volume, possiamo ricavare l’abbondanza relativa di vari isotopi e le loro masse
atomiche.
TABELLA 1 I numeri che caratterizzano
un nucleo
Z
N
A
Numero atomico " numero
di protoni presenti nel nucleo
Numero di neutroni " numero
di neutroni presenti nel nucleo
Numero di massa " numero
di nucleoni presenti nel nucleo
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Queste ultime sono espresse in termini di unità di massa atomica u, definita in
modo tale che la massa del 126C valga esattamente 12 u. Il valore dell’unità di massa
atomica è quindi il seguente:
Definizione di unità di massa atomica, u
1 u = 1,660540 $ 10-27 kg
[2]
Nel SI si misura in kilogrammi (kg).
Il protone ha una massa leggermente maggiore di 1 u e il neutrone ha una massa
leggermente maggiore di quella del protone. Le masse esatte del protone e del neutrone sono riportate nella tabella 2 insieme a quella dell’elettrone.
TABELLA 2
La massa e la carica dei costituenti dell’atomo
Particella
Protone
Neutrone
Elettrone
Massa (kg)
#27
1,672623 $ 10
1,674929 $ 10#27
9,109390 $ 10#31
Massa (MeV/c2)
Massa (u)
Carica (C)
938,28
939,57
0,511
1,007276
1,008665
0,0005485799
!1,6022 $ 10#19
0
#1,6022 $ 10#19
Più avanti, nell’analizzare le reazioni nucleari, sottolineeremo l’importanza dell’equivalenza fra massa ed energia espressa dalla famosa relazione di Einstein E " mc2.
L’energia equivalente a un’unità di massa atomica è:
E = mc2 = 11 u2c2 =
= 11,660540 $ 10-27 kg212,998 $ 108 m/s22 a
= 931,5 MeV
1 eV
1,6022 $ 10-19 J
b =
dove 1 MeV " 106 eV. Se consideriamo che l’energia di ionizzazione dell’idrogeno
è di soli 13,6 eV è evidente che l’energia equivalente dei nucleoni è enorme se paragonata alle tipiche energie atomiche.
In generale, le energie in gioco nel nucleo sono dell’ordine del MeV, mentre le energie associate agli elettroni nell’atomo sono dell’ordine dell’eV. Infine, poiché massa ed energia possono essere trasformate l’una nell’altra, è d’uso frequente esprimere l’unità di massa atomica in termini di energia nel modo seguente:
1 u = 931,5 MeV>c2
[3]
Nella tabella 2 le masse del protone, del neutrone e dell’elettrone sono indicate anche in MeV/c2.
Dimensioni e densità del nucleo
Per ottenere una stima delle dimensioni del nucleo, Rutherford fece un semplice
calcolo basato sulla conservazione dell’energia. Egli considerò il caso di una particella di carica !q e massa m diretta con velocità v verso un nucleo di carica !Ze.
Suppose inoltre che la particella viaggiasse dritta verso il centro del nucleo. Ad una
certa distanza d dal suo obiettivo la particella si ferma improvvisamente e inverte
il suo moto. Se ne deduce che il raggio del nucleo è minore di d.
Nel prossimo esempio svolto troveremo un’espressione formale per la distanza d.
1 . E S E M P I O S V O LT O
Poniamo un limite al raggio del nucleo
Una particella di massa m, carica !q e velocità v punta direttamente verso il centro di un nucleo di carica !Ze.
Determina la distanza minima tra la particella e il centro del nucleo.
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA
La particella si muove lungo una retta che attraversa il centro
del nucleo. Quando è ancora lontana dal nucleo la particella ha
una velocità v. La particella inverte il suo moto (fermandosi
per un istante) a una distanza d dal centro del nucleo.
+q
+Ze
v
m
v=0
d
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S T R AT E G I A
Possiamo determinare la distanza d applicando il principio di conservazione dell’energia. In particolare, l’energia iniziale del sistema è l’energia cinetica della particella, data da 12 mv2 (assumendo che la particella si avvicini al nucleo partendo da una distanza infinita). L’energia finale è l’energia potenziale elettrica, U " kq1q2/r " k(Ze)q/d. Uguagliando le due energie possiamo
ricavare d.
SOLUZIONE
Scriviamo l’energia iniziale del sistema:
Ei = 12 mv2
Scriviamo l’energia finale del sistema:
Ef =
Uguagliamo l’energia iniziale all’energia finale e ricaviamo d:
1
2
2 mv
d =
O S S E R VA Z I O N I
k1Ze2q
d
k1Ze2q
d
kZeq
=
A 12 mv2 B
La distanza minima è inversamente proporzionale all’energia cinetica della particella e direttamente proporzionale alla carica
del nucleo.
P R O VA T U
Calcola la distanza alla quale la velocità della particella è uguale a 12 v.
[
Problemi simili: 6 e 7.
Utilizzando il risultato del precedente esempio svolto, in uno dei suoi esperimenti Rutherford scoprì che una particella alfa che si avvicina a un nucleo d’oro raggiunge una distanza minima di 3,2 $ 10#14 m. Un calcolo analogo per particelle alfa sparate contro atomi di argento fornisce una distanza minima di 2,2 $ 10#14 m.
La dimensione del nucleo, quindi, varia da un elemento all’altro; in particolare,
il nucleo dell’argento è più piccolo di quello dell’oro. Infatti, misure più accurate eseguite dopo quelle di Rutherford hanno stabilito che il raggio medio di un
nucleo con numero di massa A è dato approssimativamente dalla seguente
espressione:
r = 11,2 $ 10-15 m2A1>3
[4]
#15
Osserviamo che la scala delle distanze nucleari è dell’ordine di 10 m, mentre quella delle distanze atomiche è dell’ordine di 10#10 m. Ricordiamo anche che 10#15 m
è il valore del sottomultiplo del metro noto come femtometro (fm). Il femtometro è
spesso chiamato fermi in onore del lavoro pionieristico compiuto da Enrico Fermi
(1901-1954) nel campo della fisica nucleare:
Definizione del fermi, fm
1 fermi " 1 fm " 10#15 m
Nel SI si misura in metri (m).
Utilizziamo ora l’equazione [4] per calcolare il raggio di un nucleo particolare.
ESERCIZIO
2 Calcola il raggio di un nucleo di 146C.
[sostituiamo A " 14 nell’equazione [4]:
r = 11,2 $ 10-15 m211421>3 = 2,9 $ 10-15 m = 2,9 fm]
Il fatto che il raggio di un nucleo dipenda da A1/3 ha interessanti conseguenze sulla densità del nucleo; ce ne occuperemo nel prossimo esempio svolto.
kZeq
3 1
2
4 2 mv
A
B
]
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2 . E S E M P I O S V O LT O
La densità nucleare
Utilizzando l’espressione r " (1,2 $ 10#15 m)A1/3, calcola la densità di un nucleo con numero di massa A.
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA
La figura mostra i neutroni e i protoni racchiusi in un nucleo di
raggio r.
r
S T R AT E G I A
+
Per determinare la densità di un nucleo, dobbiamo dividerne la
massa M per il volume V. Ignorando la piccola differenza fra la
massa di un protone e quella di un neutrone, possiamo esprimere la massa di un nucleo come M " Am, dove m " 1,67 $ 10#27 kg.
Per il volume del nucleo possiamo utilizzare semplicemente il
volume di una sfera di raggio r: V " 34 pr3.
n
n
n
+
+
n +
+
SOLUZIONE
+
n
+
Protone
n
Neutrone
+
n
+
n
Scriviamo l’espressione relativa alla massa del nucleo:
M = Am = A11,67 $ 10-27 kg2
Scriviamo l’espressione relativa al volume del nucleo:
V = 43 pr3 = 43 p[11,2 $ 10-15 m2A1>3]3 =
Per determinare la densità dividiamo la massa per il volume:
= 43 p11,7 $ 10-45 m32A
r =
=
O S S E R VA Z I O N I
M
=
V
Am
4
3 p11,7
$ 10-45 m32A
11,67 $ 10-27 kg2
4
3 p11,7
$ 10-45 m32
=
= 2,3 $ 1017 kg/m3
Abbiamo ottenuto che la densità del nucleo è indipendente dal numero di massa A. Ciò significa che un nucleo può essere pensato come un insieme di nucleoni densamente impacchettati come tante biglie in un sacchetto. I neutroni nel nucleo servono a separare i protoni, riducendone la reciproca repulsione elettrostatica.
La densità di un nucleo è incredibilmente alta. Ad esempio, un cucchiaino da tè di materia nucleare peserebbe all’incirca mille miliardi di tonnellate.
P R O VA T U
Calcola l’area della superficie di un nucleo in funzione del numero di massa A assumendo che sia di forma sferica.
[area " 11,8 $ 10-29 m22A2>3]
Problemi simili: 8 e 9.
La stabilità del nucleo
Sappiamo che cariche dello stesso segno si respingono e che la forza di repulsione
aumenta rapidamente al diminuire della distanza. Ne consegue che in un nucleo i
protoni, che si trovano a una distanza relativa di circa un fermi, devono interagire
con una forza piuttosto intensa. Applicando la legge di Coulomb otteniamo che
per due protoni (carica !e) separati da una distanza di 10#15 m la forza è:
F =
ke 2
r2
= 230 N
L’accelerazione che una forza simile dovrebbe fornire a un protone è a " F/m "
" (230 N)/(1,67 $ 10#27 kg) " 1,4 $ 1029 m/s2, che è circa 1028 volte più grande dell’accelerazione di gravità! Perciò se all’interno del nucleo il protone risentisse solo
della forza elettrostatica il nucleo stesso esploderebbe in un istante. All’interno del
nucleo devono quindi agire anche forze attrattive molto intense.
La forza attrattiva che mantiene unito un nucleo è detta forza nucleare forte e mostra le proprietà seguenti:
• è a corto raggio, poiché agisce solo su distanze inferiori a un paio di fermi.
• è attrattiva e agisce più o meno allo stesso modo fra protone e protone, fra neutrone e neutrone e fra protone e neutrone.
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Inoltre la forza nucleare forte non agisce sugli elettroni, e quindi non ha alcun effetto sulle proprietà chimiche dell’atomo.
È il confronto fra le forze elettrostatiche (repulsive) e le forze nucleari forti (attrattive) che determina se un dato nucleo è stabile. La figura 1 mostra il numero di
neutroni N e il numero atomico Z (numero di protoni) dei nuclei stabili. Osserviamo che i nuclei con basso numero atomico sono più stabili quando il numero di
protoni e di neutroni contenuti nel nucleo è approssimativamente uguale: N " Z.
Ad esempio, 126C e 136C sono entrambi stabili. Man mano che aumenta il numero
atomico, però, vediamo che i punti corrispondenti ai nuclei stabili si allontanano
dalla retta N " Z. I nuclei pesanti stabili contengono un numero di neutroni significativamente maggiore del numero di protoni, come nel caso del 185
75Re. La ragione
è la seguente: dato che tutti i nucleoni sono soggetti alla forza nucleare forte ma
solo i protoni sono soggetti alla forza elettrostatica, i neutroni “diluiscono” la densità di carica nucleare, riducendo l’effetto delle forze repulsive che altrimenti farebbero disintegrare il nucleo.
Aumentando ulteriormente il numero di protoni nel nucleo si raggiunge un punto
in cui le forze nucleari forti non sono più in grado di compensare le forze repulsive tra i protoni. Infatti il massimo numero di protoni in un nucleo stabile è Z " 83,
corrispondente all’elemento bismuto. Nuclei con più di 83 protoni non sono stabili, come si può vedere osservando che tutti gli elementi con Z % 83 elencati nella tabella sulle proprietà di alcuni isotopi, nell’Appendice a fine volume, decadono in
un tempo finito, cioè hanno tempo di dimezzamento finito. Analizzeremo in dettaglio il tempo di dimezzamento dei nuclei instabili nel paragrafo 3. I nuclei di molti
elementi ben noti, come il radon o l’uranio, si disintegrano o decadono in un tempo
finito. Analizzeremo ora i vari modi in cui può decadere un nucleo instabile.
170
160
150
Stabile
Emissione di positroni
o cattura di elettroni
120
115
130
110
110
Emissione beta
125
140
120
Numero di neutroni, N
130
Emissioni alfa
105
100
95
100
90
90
85
80
80
65
70
75
80
70
60
N=Z
50
40
30
20
10
O
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
Numero di protoni, Z
▲ FIGURA 1 N e Z di nuclei stabili e instabili
I nuclei stabili con un numero di protoni minore di 104 sono indicati dai puntini rossi. Si noti
che i nuclei più grandi hanno un numero di neutroni N significativamente maggiore del numero
di protoni Z. Il riquadro mostra i nuclei instabili e i loro modi di decadimento nella zona
compresa fra Z " 65 e Z " 80.