elettricamente come

FISICA
A.A. 2013-2014
Ingegneria Gestionale
13 prova
1. Un condensatore piano è costituito da due armature rettangolari identiche di
spigoli a,L, poste alla distanza d. Il processo di carica avviene per t>0 dopo
la chiusura dell’interruttore del circuito RC descritto in figura. Fra le
armature del condensatore viene anche applicato un vettore induzione
w
magnetica uniforme Bo. Dovendo lanciare un elettrone alla velocità w fra le
-e
armature del condensatore nella direzione parallela al lato L, è necessario
attendere un tempo T prima del lancio in modo da mantenere la traiettoria
L
rettilinea. Determinare il tempo di attesa T [Dati:Bo=0.1 T, w=103 m/s,
R=10M, d=1mm, L=1m, a=1m, f=1V]
2
Per misurare le masse degli ioni, Dempster utilizzò il dispositivo in
C
figura. Nella camera S viene prodotto uno ione di carica +q e di massa m
praticamente in quiete. Lo ione viene quindi accelerato dalla differenza di
potenziale V fino ad entrare, da una fenditura, nella camera C dove è
presente solo un vettore di induzione magnetica Bo , uniforme e diretto
come in figura. Nella camera C lo ione descrive un arco di circonferenza V
fino ad urtare la parete della camera a distanza L dalla fenditura. Note le
quantità q, Bo, L, V, trovare il valore della massa m dello ione.
3. Uno ione di carica +q e di massa m viene lanciato orizzontalmente
alla velocità w ed entra dalla fenditura A in una camera
parallelepipeda dove è presente una induzione magnetica uniforme Bo
ortogonale alla velocità. Lo ione viene quindi deflesso fino ad uscire
dalla fenditura C praticata sulla parete orizzontale. Conoscendo le
posizioni delle fenditure di ingresso ed uscita, la massa e la carica
dello ione, l’intensità dell’induzione magnetica determinare il valore
della velocità di lancio w necessaria per poter uscire dalla camera. (Si
trascurino gli effetti gravitazionali)
R
d
Bo
f
a
+
t=0
q
Bo
L
+
S
c
C
a
A
q
w
X Bo
4. Una molecola elettricamente neutra si trova inizialmente in quiete in una camera a nebbia dove è
applicato un campo magnetico uniforme Bo=2T. A causa della instabilità intrinseca della molecola,
essa si divide, a causa di sole forze interne di impulso I=6∙10-20 kgm/s, in due ioni di massa
m1=2∙10-23kg, m2=6∙10-23kg di carica rispettivamente +e, -e, che partono con versi opposti delle
velocità . A causa della presenza del campo magnetico ortogonale alle velocità entrambe le
traiettorie degli ioni si incurvano. Determinare il raggio di curvatura dei due ioni e se e dopo quanto
tempo i due ioni si incontrano di nuovo. [Si assuma e=1.6∙10-19 C]
5. Una barretta metallica di lunghezza L, di resistenza elettrica R e di massa m
può scorrere mediante contatti striscianti su due guide metalliche verticali
connesse elettricamente fra di loro senza apprezzabile resistenza, definendo così
una maglia rettangolare dove può scorrere corrente. La barretta è lasciata cadere
per gravità lungo l’asse verticale x. Il sistema è soggetto ad un vettore Bo uniforme
orizzontale come riportato in figura. Calcolare l’espressione sia della forza
magnetica frenante agente sulla barretta, sia della velocità di caduta v(t). Nelle
ipotesi di barretta cilindrica (di sezione S e lunghezza L) esprimere i risultati in
funzione della sola resistività elettrica e della densità  della barretta.
L
Bo
R
Bo
v(t)
x(t)
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Ingegneria Gestionale
Soluzioni della 13a prova
1. L’elettrone attraversa una regione di spazio dove sono
simultaneamente non nulli campo elettrico e campo magnetico e
 


 
subisce una forza complessiva F  FE  FL  eE t   ew  Bo
La forza totale si annulla quando E (t )  wBo
Il campo elettrico all’interno del condensatore varia quindi con legge
E t  
Vc
f 1  exp t / RC 

d
d
dove C   o
+
+
FE
-e
w
+
+
Bo
d
E(t)
FL
-
+
-
-
-
-
L
aL
 8.84 nF,   RC  88ms
d
Combinando le equazioni si ottiene il tempo di attesa necessario affinchè l’elettrone percorra una


f
  9.3 ms
traiettoria rettilinea, imponendo E (T )  wBo , da cui T  RC  ln

f
dwB
o 

2. Lo ione prodotto nella camera S ed accelerato dalla differenza di potenziale
V, descrive inizialmente un moto rettilineo acquistando energia cinetica dalla
posizione (1), alla posizione (2) di ingresso alla camera C (fig.a). Applicando la
legge di conservazione dell’energia nelle due posizioni si ottiene
T1  U 1  T2  U 2 dove U=qV è l’energia potenziale dello ione. Essendo la sua
energia cinetica iniziale nulla T1=0, l’equazione diventa T2  q V1  V2   qV
da cui si ricava la velocità di ingresso v 2  2T2 m  2qV m . Una volta

 
entrato nella camera C lo ione subisce una forza di Lorentz FL  qv  B o ,
centripeta, che gli fa descrivere un moto circolare uniforme (fig.b). Applicando il
II principio la forza di Lorentz deve produrre l’accelerazione normale del moto
FL  qvBo  ma n  mv 2 r , da cui si ricava il diametro della circonferenza
L  2r  2mv qBo  . La velocità v all’interno della camera C è in modulo
costante e pari alla velocità di ingresso v2 da cui L 
qBo2 L2
8mV
m
e
.

8V
qBo2
3. Calcolo del raggio della traiettoria circolare dello ione.
All’interno della camera, lo ione tende a percorrere una traiettoria circolare per
effetto della forza di Lorentz (vengono qui trascurati gli effetti gravitazionali)
qwBo  m
w2
R
da cui
R
mw
qBo
Essendo in A la velocità di ingresso orizzontale, il centro di curvatura si trova
nel punto O lungo la verticale alla distanza R dalla fenditura A. Le due fenditure
A, C appartengono inoltre alla circonferenza di raggio R. Applicando Pitagora
quindi
v2
(a)
V
(2)
q
(1)
+
S
(b)
v
q
FL
Bo
O r
L=2r
 R  a 2  c 2  R 2
R
da cui
E combinando le equazioni
a2  c2
2a
qBo
qBo a 2  c 2 
w
R
m
2am
4. La suddivisione della molecola è operata da sole forze interne.
Pertanto in assenza di forze esterne si conserva la quantità di moto
del sistema:


m1v1  m 2 v 2  0 (le due masse partono quindi in senso opposto)
Le forze interne, di natura impulsiva, sono responsabili di due
impulsi uguali ed opposti agenti ciascuno su di una massa.
Il valore assoluto dell’impulso è tale che I  m1v1  m2 v 2
v1
m1
v1
m2
-e
Bo
R
FL2
v2
m2
Una volta in moto la massa carica è soggetta alla forza di Lorentz
(si assumono trascurabili le forze elettriche fra le due cariche)

v12




e
B
v
m
a
m
o
1
1 n1
1
m1 ) 
R1

v2
m2 ) 
e  Bo  v 2  m 2 a n 2  m 2 2

R2
FL1
m1 +e
v2

mv
I
R1  1 1 

m )
eBo
eBo
da cui 1 
mv
I
m2 ) 
R2  2 2 

eBo
eBo
I
 18.7 cm
eBo
Le due masse procedono in senso opposto sulla stessa traiettoria circolare con velocità v  I m
v1  v2   t  2R
ossia
al
tempo
L’urto
avviene
quando
2I eBo
2m1 m2
2R
 294 s
t


v1  v 2 I m1  I m2 eBo m1  m2 
da cui il raggio di curvatura delle due traiettorie coincide R  R1  R2 
5. La barretta chiude il circuito ACDE.
Il vettore induzione magnetica si concatena con tale circuito dando origine
ad un flusso concatenato variabile nel tempo  Bo   Bo Lx t 
dove x(t) è la posizione mobile della barretta.
Il movimento della barretta DE causa quindi una variazione di flusso di Bo
nel circuito ACDE generando una forza elettromotrice indotta
d
dx
fi  
  Bo L
  Bo Lvx
dt
dt
C
A
0
i
E
++
++
FL
Bo
D
--- x(t)
vx
L
(legge di Faraday-Neumann-Lenz)
x
dove il segno negativo indica che la corrente circola ma in senso orario, ossia nel verso opposto a
quello considerato positivo rispetto a Bo (regola mano destra).
L’intensità di questa corrente indotta (facendo a meno del segno di cui abbiamo appena parlato e
f
B Lv
che è viene indicato nel disegno) risulta quindi ii  i  o x
R
R
Una volta che nel circuito viene indotta la corrente ii , i quattro lati del circuito subiranno
 delle

forze attrattive di natura magnetica, in accordo alla seconda formula di Laplace F  ii  dl  B o
In particolare sull’unico lato mobile DE viene generata una forza frenante FL  ii LBo  Bo2 L2vx R
contraria al moto (asse x) e proporzionale alla velocità di caduta. Applicando il II principio della
dinamica lungo l’asse del moto si osserva la competizione fra la forza peso che tende ad accelerare
verso il basso la barretta e la forza frenante di natura magnetica. Tali forze non si equilibrano e
producendo una variazione di velocità
dv
mg  FL  max  m x
dt
Il caso è del tutto analoga al moto di caduta di un paracadutista soggetto alla fora peso ed una
resistenza passiva proporzionale alla prima potenza della velocità. Risolvendo l’equazione
differenziale risultante ed imponendo la velocità della barretta inizialmente nulla si ottiene
vt   vlim 1  exp t  
mR
mgR
, mentre vlim  2 2  g  
2 2
Bo L
Bo L
Se infine assumiamo che la barretta sia cilindrica di sezione S e lunghezza L la sua massa è
esprimibile in funzione della densità  come m  S  L  ,
mentre la sua resistenza elettrica è esprimibile in funzione della resistività come R  L S 

si ottiene l’espressione finale   2 che è indipendente dalle dimensioni S ed L.
Bo
dove  