elettricamente come
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FISICA A.A. 2013-2014 Ingegneria Gestionale 13 prova 1. Un condensatore piano è costituito da due armature rettangolari identiche di spigoli a,L, poste alla distanza d. Il processo di carica avviene per t>0 dopo la chiusura dell’interruttore del circuito RC descritto in figura. Fra le armature del condensatore viene anche applicato un vettore induzione w magnetica uniforme Bo. Dovendo lanciare un elettrone alla velocità w fra le -e armature del condensatore nella direzione parallela al lato L, è necessario attendere un tempo T prima del lancio in modo da mantenere la traiettoria L rettilinea. Determinare il tempo di attesa T [Dati:Bo=0.1 T, w=103 m/s, R=10M, d=1mm, L=1m, a=1m, f=1V] 2 Per misurare le masse degli ioni, Dempster utilizzò il dispositivo in C figura. Nella camera S viene prodotto uno ione di carica +q e di massa m praticamente in quiete. Lo ione viene quindi accelerato dalla differenza di potenziale V fino ad entrare, da una fenditura, nella camera C dove è presente solo un vettore di induzione magnetica Bo , uniforme e diretto come in figura. Nella camera C lo ione descrive un arco di circonferenza V fino ad urtare la parete della camera a distanza L dalla fenditura. Note le quantità q, Bo, L, V, trovare il valore della massa m dello ione. 3. Uno ione di carica +q e di massa m viene lanciato orizzontalmente alla velocità w ed entra dalla fenditura A in una camera parallelepipeda dove è presente una induzione magnetica uniforme Bo ortogonale alla velocità. Lo ione viene quindi deflesso fino ad uscire dalla fenditura C praticata sulla parete orizzontale. Conoscendo le posizioni delle fenditure di ingresso ed uscita, la massa e la carica dello ione, l’intensità dell’induzione magnetica determinare il valore della velocità di lancio w necessaria per poter uscire dalla camera. (Si trascurino gli effetti gravitazionali) R d Bo f a + t=0 q Bo L + S c C a A q w X Bo 4. Una molecola elettricamente neutra si trova inizialmente in quiete in una camera a nebbia dove è applicato un campo magnetico uniforme Bo=2T. A causa della instabilità intrinseca della molecola, essa si divide, a causa di sole forze interne di impulso I=6∙10-20 kgm/s, in due ioni di massa m1=2∙10-23kg, m2=6∙10-23kg di carica rispettivamente +e, -e, che partono con versi opposti delle velocità . A causa della presenza del campo magnetico ortogonale alle velocità entrambe le traiettorie degli ioni si incurvano. Determinare il raggio di curvatura dei due ioni e se e dopo quanto tempo i due ioni si incontrano di nuovo. [Si assuma e=1.6∙10-19 C] 5. Una barretta metallica di lunghezza L, di resistenza elettrica R e di massa m può scorrere mediante contatti striscianti su due guide metalliche verticali connesse elettricamente fra di loro senza apprezzabile resistenza, definendo così una maglia rettangolare dove può scorrere corrente. La barretta è lasciata cadere per gravità lungo l’asse verticale x. Il sistema è soggetto ad un vettore Bo uniforme orizzontale come riportato in figura. Calcolare l’espressione sia della forza magnetica frenante agente sulla barretta, sia della velocità di caduta v(t). Nelle ipotesi di barretta cilindrica (di sezione S e lunghezza L) esprimere i risultati in funzione della sola resistività elettrica e della densità della barretta. L Bo R Bo v(t) x(t) FISICA A.A. 2013-2014 Ingegneria Gestionale Soluzioni della 13a prova 1. L’elettrone attraversa una regione di spazio dove sono simultaneamente non nulli campo elettrico e campo magnetico e subisce una forza complessiva F FE FL eE t ew Bo La forza totale si annulla quando E (t ) wBo Il campo elettrico all’interno del condensatore varia quindi con legge E t Vc f 1 exp t / RC d d dove C o + + FE -e w + + Bo d E(t) FL - + - - - - L aL 8.84 nF, RC 88ms d Combinando le equazioni si ottiene il tempo di attesa necessario affinchè l’elettrone percorra una f 9.3 ms traiettoria rettilinea, imponendo E (T ) wBo , da cui T RC ln f dwB o 2. Lo ione prodotto nella camera S ed accelerato dalla differenza di potenziale V, descrive inizialmente un moto rettilineo acquistando energia cinetica dalla posizione (1), alla posizione (2) di ingresso alla camera C (fig.a). Applicando la legge di conservazione dell’energia nelle due posizioni si ottiene T1 U 1 T2 U 2 dove U=qV è l’energia potenziale dello ione. Essendo la sua energia cinetica iniziale nulla T1=0, l’equazione diventa T2 q V1 V2 qV da cui si ricava la velocità di ingresso v 2 2T2 m 2qV m . Una volta entrato nella camera C lo ione subisce una forza di Lorentz FL qv B o , centripeta, che gli fa descrivere un moto circolare uniforme (fig.b). Applicando il II principio la forza di Lorentz deve produrre l’accelerazione normale del moto FL qvBo ma n mv 2 r , da cui si ricava il diametro della circonferenza L 2r 2mv qBo . La velocità v all’interno della camera C è in modulo costante e pari alla velocità di ingresso v2 da cui L qBo2 L2 8mV m e . 8V qBo2 3. Calcolo del raggio della traiettoria circolare dello ione. All’interno della camera, lo ione tende a percorrere una traiettoria circolare per effetto della forza di Lorentz (vengono qui trascurati gli effetti gravitazionali) qwBo m w2 R da cui R mw qBo Essendo in A la velocità di ingresso orizzontale, il centro di curvatura si trova nel punto O lungo la verticale alla distanza R dalla fenditura A. Le due fenditure A, C appartengono inoltre alla circonferenza di raggio R. Applicando Pitagora quindi v2 (a) V (2) q (1) + S (b) v q FL Bo O r L=2r R a 2 c 2 R 2 R da cui E combinando le equazioni a2 c2 2a qBo qBo a 2 c 2 w R m 2am 4. La suddivisione della molecola è operata da sole forze interne. Pertanto in assenza di forze esterne si conserva la quantità di moto del sistema: m1v1 m 2 v 2 0 (le due masse partono quindi in senso opposto) Le forze interne, di natura impulsiva, sono responsabili di due impulsi uguali ed opposti agenti ciascuno su di una massa. Il valore assoluto dell’impulso è tale che I m1v1 m2 v 2 v1 m1 v1 m2 -e Bo R FL2 v2 m2 Una volta in moto la massa carica è soggetta alla forza di Lorentz (si assumono trascurabili le forze elettriche fra le due cariche) v12 e B v m a m o 1 1 n1 1 m1 ) R1 v2 m2 ) e Bo v 2 m 2 a n 2 m 2 2 R2 FL1 m1 +e v2 mv I R1 1 1 m ) eBo eBo da cui 1 mv I m2 ) R2 2 2 eBo eBo I 18.7 cm eBo Le due masse procedono in senso opposto sulla stessa traiettoria circolare con velocità v I m v1 v2 t 2R ossia al tempo L’urto avviene quando 2I eBo 2m1 m2 2R 294 s t v1 v 2 I m1 I m2 eBo m1 m2 da cui il raggio di curvatura delle due traiettorie coincide R R1 R2 5. La barretta chiude il circuito ACDE. Il vettore induzione magnetica si concatena con tale circuito dando origine ad un flusso concatenato variabile nel tempo Bo Bo Lx t dove x(t) è la posizione mobile della barretta. Il movimento della barretta DE causa quindi una variazione di flusso di Bo nel circuito ACDE generando una forza elettromotrice indotta d dx fi Bo L Bo Lvx dt dt C A 0 i E ++ ++ FL Bo D --- x(t) vx L (legge di Faraday-Neumann-Lenz) x dove il segno negativo indica che la corrente circola ma in senso orario, ossia nel verso opposto a quello considerato positivo rispetto a Bo (regola mano destra). L’intensità di questa corrente indotta (facendo a meno del segno di cui abbiamo appena parlato e f B Lv che è viene indicato nel disegno) risulta quindi ii i o x R R Una volta che nel circuito viene indotta la corrente ii , i quattro lati del circuito subiranno delle forze attrattive di natura magnetica, in accordo alla seconda formula di Laplace F ii dl B o In particolare sull’unico lato mobile DE viene generata una forza frenante FL ii LBo Bo2 L2vx R contraria al moto (asse x) e proporzionale alla velocità di caduta. Applicando il II principio della dinamica lungo l’asse del moto si osserva la competizione fra la forza peso che tende ad accelerare verso il basso la barretta e la forza frenante di natura magnetica. Tali forze non si equilibrano e producendo una variazione di velocità dv mg FL max m x dt Il caso è del tutto analoga al moto di caduta di un paracadutista soggetto alla fora peso ed una resistenza passiva proporzionale alla prima potenza della velocità. Risolvendo l’equazione differenziale risultante ed imponendo la velocità della barretta inizialmente nulla si ottiene vt vlim 1 exp t mR mgR , mentre vlim 2 2 g 2 2 Bo L Bo L Se infine assumiamo che la barretta sia cilindrica di sezione S e lunghezza L la sua massa è esprimibile in funzione della densità come m S L , mentre la sua resistenza elettrica è esprimibile in funzione della resistività come R L S si ottiene l’espressione finale 2 che è indipendente dalle dimensioni S ed L. Bo dove
