ESERCIZIO 1.1 I dati che seguono si riferiscono al periodo di

Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.1
I dati che seguono si riferiscono al periodo di
incubazione espresso in giorni di una certa malattia
5
5
4
2
4
6
4
1
9
5
6
5
6
6
3
7
5
5
4
8
5
7
4
6
5
2
6
2
6
3
3
5
4
6
8
5.
7
7
5
4
a. Realizzare una distribuzione di frequenza (relativa,
percentuale, percentuale cumulata).
b. Rappresentare graficamente la distribuzione delle
frequenze assolute mediante il grafico appropriato.
1
Esercizi di Statistica
a. Distribuzioni di frequenza
Periodo di
incubazione (giorni)
f
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3
3
7
11
8
4
2
1
40
0,025
0,075
0,075
0,175
0,275
0,200
0,100
0,050
0,025
1,000
p
P
2,5
7,5
7,5
17,5
27,5
20,0
10,0
5,0
2,5
100,0
2,5
10,0
17,5
35,0
62,5
82,5
92,5
97,5
100,0
b. Diagramma a colonne separate
12
Frequenza
10
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Periodo di incubazione (giorni)
2
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.2
L’intensità di una cutireazione alla tubercolina può
essere misurata su scala ordinale ( -, +, ++, +++,
++++ ).
La tabella riporta i risultati di 92 test tubercolinici
eseguiti presso un ambulatorio pneumologico.
CUTIREAZIONE n
12
+
18
++
24
+++
32
++++
6
92
a. Calcolare le distribuzioni di frequenza relativa,
percentuale, cumulata relativa e percentuale.
b. Rappresentare le distribuzioni con gli opportuni
diagrammi.
3
Esercizi di Statistica
a. Distribuzioni di frequenza
Intensità
della
cutireazione
+
++
+++
++++
n
12
18
24
32
6
92
f
0,1304
0,1957
0,2609
0,3478
0,0652
1
p
F
13,0%
19,6%
26,1%
34,8%
6,5%
100%
P
0,1304 13,0%
0,3261 32,6%
0,5870 58,7%
0,9348 93,5%
1,0000 100,0%
b. Diagrammi
Intensità della cutireazione
7%
13%
20%
34%
+
++
+++
++++
26%
4
Esercizi di Statistica
Frequenza
Cutireazione alla tubercolina
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
-
+
++
+++
++++
Intensità della reazione
5
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.3
In una scuola elementare fu misurata l’altezza di un
campione di 10 bambini di 10 anni, ottenendo i
seguenti valori espressi in cm:
135
132
115
125
116
130
122
125
120
121
Calcolare le misure di posizione e di dispersione.
6
Esercizi di Statistica
Media
x =
Σ x i 135 + 115 + .... + 130
1241
=
=
= 124 ,1cm
n
10
10
Mediana
Posizione valore mediano:
n +1 11
= = 5,5
2
2
115 116 120 121 122 125 125 130 132 135
122 + 125
= 123,5cm
Mediana =
2
Moda =125 cm
7
Esercizi di Statistica
Range = max. – min. = 135 - 115 =20 cm
Varianza
s2
(x − x )
∑
=
i
n −1
2
=
396,90
= 44,1cm2
9
( xi − x )
115
116
120
121
122
125
125
130
132
135
-9.1
-8.1
-4.1
-3.1
-2.1
0.9
0.9
5.9
7.9
10.9
(xi − x )2
82.81
65.61
16.81
9.61
4.41
0.81
0.81
34.81
62.41
118.81
396.90
Deviazione standard
s=
2
(
)
x
i
−
x
∑
n −1
= 6,6408cm
Coefficiente di variazione
c.v. =
s
6,6408
⋅ 100 =
⋅ 100 = 0,0535 ⋅ 100 = 5 .35 %
x
124 ,1
8
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.4
Frequenza
Ricavare dal seguente grafico la corrispondente
distribuzione di frequenza assoluta e %.
Determinare la frequenza % cumulata.
8
7
6
5
4
3
2
1
0
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Età gestazionale (settimane)
Calcolare la media, la moda, la mediana.
Calcolare il range, la deviazione standard e il
coefficiente di variazione.
9
Esercizi di Statistica
Età gestazionale
(settimane)
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Frequenza
Frequenza cumulata Frequenza Frequenza %
assoluta
assoluta
%
cumulativa
1
1
3,1%
3,1%
3
4
9,4%
12,5%
3
7
9,4%
21,9%
3
10
9,4%
31,3%
5
15
15,6%
46,9%
7
22
21,9%
68,8%
3
25
9,4%
78,1%
3
28
9,4%
87,5%
4
32
12,5%
100,0%
32
100,0%
Media
x=
34 ⋅ 1 + 35 ⋅ 3 + 36 ⋅ 3 + ... + 41 ⋅ 3 + 42 ⋅ 4 1232
=
= 38 .5 settimane
32
32
Mediana
La posizione mediana è data da
(32 + 1) / 2 = 16.5
La mediana è il valore che si trova pertanto tra la 16°
ed la 17° osservazione. Osservando le frequenze
cumulate tale valore è 39. Lo stesso valore è anche la
moda poiché si presenta con maggior frequenza.
10
Esercizi di Statistica
Range
max-min=42-34=8 settimane
Deviazione standard
s=
2
(
)
x
i
−
x
×f
∑
i
n −1
Età
Frequenza
gestazionale assoluta x − x ( x − x ) 2 ( x i − x ) 2 ⋅ f i
i
i
(settimane)
(Fi)
34
1
-4,5
20,25
20,25
35
3
-3,5
12,25
36,75
36
3
-2,5
6,25
18,75
37
3
-1,5
2,25
6,75
38
5
-0,5
0,25
1,25
39
7
0,5
0,25
1,75
40
3
1,5
2,25
6,75
41
3
2,5
6,25
18,75
42
4
3,5
12,25
49
Totale
32
160
160
s=
= 5.16 = 2.27
31
11
Esercizi di Statistica
Coefficiente di variazione
2 .27 settimane
c .v . =
⋅ 100 ≅ 5 .90 %
38 .5 settimane
12
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.5
La seguente tabella riporta la distribuzione del peso in
un campione di femmine normali:
Peso (kg) Frequenza Frequenza
relativa
[40-45)
6
[45-50)
11
[50-55)
32
[55-60)
31
[60-65)
15
[65-70)
4
[70-75)
1
Totale
Frequenza relativa
cumulata
1. Completare la tabella;
2. Rappresentare graficamente mediante istogramma;
3. Calcolare:
a) la media aritmetica ..............................................
b) la classe modale .................................................
c) la classe mediana ................................................
d) la varianza ...........................................................
e) la deviazione standard ........................................
f) il coefficiente di variazione …………………………
13
Esercizi di Statistica
1) Tabella
Peso (kg)
Frequenza
Frequenza
relativa
Frequenza relativa
cumulata
[40-45)
[45-50)
[50-55)
[55-60)
[60-65)
[65-70)
[70-75)
Totale
6
11
32
31
15
4
1
100
0.06
0.11
0.32
0.31
0.15
0.04
0.01
1.00
0.06
0.17
0.49
0.80
0.95
0.99
1.00
2) Istogramma
35
Frequenza
30
25
20
15
10
5
0
[40-45) [45-50) [50-55) [55-60) [60-65) [65-70) [70-75)
Peso (kg)
14
Esercizi di Statistica
3)
x=
a. Media
42,5⋅ 6 + 47,5⋅11+ 52,5⋅ 32+ 57,5⋅ 31+ 62,5⋅15+ 67,5⋅ 4 + 72,5 5520
=
= 55,2Kg
100
100
b. Classe modale
[50
− 55 )Kg
c. Classe mediana
[55
− 60 )Kg
15
Esercizi di Statistica
d. Varianza
classi
[40 − 45 )
[45 − 50 )
[50 − 55 )
[55 − 60 )
[60 − 65 )
[65 − 70 )
[70 − 75 )
xk
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
fk
6
11
32
31
15
4
1
100
(xk − x ) (xk − x )2 (xk − x )2 ⋅ f k
-12,7 161,29
-7,7
59,29
-2,7
7,29
2,3
5,29
7,3
53,29
12,3 151,29
17,3 299,29
967,74
652,19
233,28
163,99
799,35
605,16
299,29
3721
3721
s =
= 37 , 58 kg 2
99
2
e. Deviazione standard
s = 37,5859 = 6,1307kg
f. Coefficiente di variazione
c.v. =
6 ,1307 Kg
⋅ 100 = 11,1064 % ≅ 11,1 % .
55 , 2 Kg
16
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.6
La seguente tabella riporta la distribuzione della
variabile “peso” in un campione di studenti iscrittoti
nello scorso anno accademico al C.d.L. per
Fisioterapisti.
Rappresentare graficamente e calcolare le misure di
tendenza centrale e di dispersione.
Peso (Kg) Frequenza
40-45
2
45-50
4
50-55
6
55-60
7
60-65
4
65-70
6
70-75
4
75-80
4
80-85
3
17
Esercizi di Statistica
80
-8
5
75
-8
0
70
-7
5
65
-7
0
60
-6
5
55
-6
0
50
-5
5
45
-5
0
7
6
5
4
3
2
1
0
40
-4
5
Frequenza
Istogramma
Peso (kg)
Misure di tendenza centrale
Media
42 .5 ⋅ 2 + 47 .5 ⋅ 4 + 52 .5 ⋅ 6 + ...... + 72 .5 ⋅ 4 + 77 .5 ⋅ 4 + 82 .5 ⋅ 3
=
40
2495
=
= 62 .375 kg
40
x=
Classe mediana
[60-65) kg
Classe modale
[55-60) kg
18
Esercizi di Statistica
Misure di dispersione
Varianza
classi
[40 − 45 )
[45 − 50 )
[50 − 55 )
[55 − 60 )
[60 − 65 )
[65 − 70 )
[70 − 75 )
[75 − 80 )
[80 − 85 )
(xk − x ) (xk − x )2 (xk − x )2 ⋅ f k
xk
fk
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
77.5
82.5
2 -19.875 395.02
4 -14.875 221.27
6 -9.875
97.52
7 -4.875
23.77
4
0.125
0.02
6
5.125
26.27
4 10.125 102.52
4 15.125 228.77
3 20.125 405.02
40
(
x − x ) 5124.38
∑
s =
=
= 131.39 kg
790.03
885.06
585.09
166.36
0.06
157.59
410.06
915.06
1215.05
5124.38
2
i
2
n −1
2
39
Deviazione standard
s=
∑ (x − x )
i
n −1
2
= 131.39 = 11.46 kg
Coefficiente di variazione
11 .46
c.v. =
⋅ 100 ≅ 18 .4 %
62 .375
19
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 1.7
Costruire la distribuzione di frequenza relativa e
percentuale del numero di leucociti per ogni µl di
sangue in un soggetto adulto normale.
Leucociti N° di cellule/µl
Neutrofili
3650
Eosinofili
150
Basofili
30
Linfociti
2500
Monociti
430
Rappresentare graficamente la frequenza %.
20
Esercizi di Statistica
Leucociti
Frequenza
Frequenza %
relativa
0,540
54,0%
0,022
2,2%
0,004
0,4%
0,370
37,0%
0,064
6,4%
1
100,0%
N° di cellule/µl
Neutrofili
Eosinofili
Basofili
Linfociti
Monociti
3650
150
30
2500
430
6760
60,0%
54,0%
Frequenza %
50,0%
37,0%
40,0%
30,0%
20,0%
6,4%
10,0%
0,4%
2,2%
Basofili
Eosinofili
0,0%
Monociti
Linfociti
Neutrofili
Leucociti /µ
µl
21
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.1
E’ stato determinato il gruppo sanguigno di 24
soggetti di entrambi i sessi, con i seguenti risultati:
A
A
B
0
0
0
AB A
A 0
0
0
B 0
AB 0
A
A
0
A
A B
0.
A
Costruire una tabella di distribuzione di frequenza.
Tracciare un diagramma di frequenza a colonne.
Distribuzione di frequenza
Gruppo ematico Totale
0
41,7%
A
37,5%
AB
8,3%
B
12,5%
Totale complessivo 100,0%
Diagramma a colonne
FREQUENZA
50,0%
40,0%
30,0%
20,0%
10,0%
0,0%
0
A
AB
B
GRUPPO EMATICO
22
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.2
Un medico misura la frequenza del polso di un
paziente per 10 minuti
Nei primi 6 minuti la frequenza è 60 battiti/min; nei
successivi 3 minuti è 66 battiti/min e nell’ultimo minuto
è 64 battiti/min.
Calcolare la frequenza media.
Battiti al minuto = x
xf
∑
x=
i i
n
Minuti = f i
60
6
66
3
64
1
10
xi f i
60·6 =360
66·3 =198
64·1 = 64
622
622
=
= 62,2battiti / m
10
23
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.3
Durante un’indagine avente lo scopo di accertare la
presenza di gotta sono stati dosati i livelli di acido
urico in 10 maschi e 8 femmine. Sono stati raccolti i
dati seguenti:
maschi
femmine
7,5 7,0 7,9 7,3 7,6 8,3 7,2 8,1 7,1 8,0
4,2 3,1 4,3 3,5 3,8 3,9 4,6 4,4
Calcolare la media aritmetica, la deviazione standard
e il coefficiente di variazione dei due campioni.
Discutere la variabilità campionaria nei due sessi.
Calcolare le stesse statistiche su tutti i soggetti.
24
Esercizi di Statistica
xmaschi =
7,5 + 7 + 7,9 + 7,3 + 7,6 + 8,3 + 7,2 + 8,1 + 7,1 + 8 76
= = 7,6
10
10
xfemm. =
4,2 + 3,1+ 4,3 + 3,5 + 3,8 + 3,9 + 4,6 + 4,4 31,8
=
= 3,975
8
8
( xi − x )
xi
7,0
7,1
7,2
7,3
7,5
7,6
7,9
8,0
8,1
8,3
smaschi =
2
(
)
x
i
−
x
∑
n −1
-0,6
-0,5
-0,4
-0,3
-0,1
0.0
0.3
0,4
0,5
0,7
=
(xi − x )2
0,36
0,25
0,16
0,09
0,01
0.00
0,09
0,16
0,25
0,49
1,86
1,86
= 0,4546
9
25
Esercizi di Statistica
( xi − x )
xi
3,1
3,5
3,8
3,9
4,2
4,3
4,4
4,6
sfemm. =
2
(
)
−
x
i
x
∑
n −1
=
-0,875
-0,475
-0,175
-0,075
0,225
0,325
0,425
0,625
(xi − x )2
0,765625
0,225625
0,030625
0,005625
0,050625
0,105625
0,180625
0,390625
1,7550
1,7550
= 0,5007
7
c.v.maschi =
s
0, 4546
⋅ 100 =
⋅ 100 = 0,05981 ⋅ 100 = 5 .981 % = 6 %
x
7 ,6
c.v. femm . =
s
0,5007
⋅ 100 =
⋅ 100 = 0,1260 ⋅ 100 = 12 ,6 %
x
3,975
x generale =
7 , 5 + 7 + ... + 4 , 6 + 4 , 4
= 5 , 9889
18
sgenerale=1,9100
c.v.generale=31,9%
26
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.4
52 studenti sostengono l’esame di statistica e
informatica.
In un gruppo di 19 studenti la media dei voti è 27. in
un secondo gruppo di 24 studenti la media dei voti è
25. gli studenti restanti hanno una media di 20.
a. Determinare la media dei voti di tutti gli studenti.
b. Calcolare il range e la deviazione standard.
27
Esercizi di Statistica
Media
xi
fi
27
25
20
xi· fi
19
24
9
52
27·19
25·24
20·9
20 ⋅ 9 + 25 ⋅ 24 + 27 ⋅ 19 1293
X =
=
= 24 ,87
52
52
Range = 27-20 = 7
28
Esercizi di Statistica
Deviazione standard
s=
s=
∑ (x − x )
i
2
fi
n −1
( 20 − 24.8654 ) 2 × 9 + ( 25 − 24.8654 ) 2 × 24 + ( 27 − 24.8654 ) 2 × 19
=
52 − 1
=
( −4.8654 ) 2 × 9 + (0.1346) 2 × 24 + ( 2.1346) 2 × 19
=
51
=
23.6721 × 9 + 0.0181 × 24 + 2.1346 × 19
=
51
=
213.0491 + 0.4348 + 86.5738
51
29
Esercizi di Statistica
Tutti i calcoli possono essere riassunti in modo
più ordinato in una tabella
xi
(xi -x)
(xi –x)2
(xi – x)2 · fi
9
-4,8654
23,6721 213,0491
24
0,1346
0,0181
0,4348
19
2,1346
4,5565
86,5738
52
300,0577
fi
20
25
27
DATI
INIZIALI
xi
DATI
ELABORATI
xi − x
fi
20
25
27
9
24
19
52
-4,8654
0,1346
2,1346
∑ (x − x )
2
s=
i
n −1
fi
( xi − x )2 ( xi − x )2 × f i
23,6721
0,0181
4,5565
213,0491
0,4348
86,5738
300,0577
300.0577
=
= 2,4256
51
30
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.5
In 9 individui maschi in cui si sospetta una deficienza
di G-6PDH, responsabile di crisi emolitiche, si
determina l’attività dell’enzima.
Si ottengono i seguenti valori (in µmol/l):
122 136 115 132 101 103 124 137 111
Calcolare la mediana.
Ordino in senso crescente la serie di dati:
101 103 111 115 122 124 132 136 137
Individuo
la
posizione
n + 1 9 + 1 10
=
=
= 5
2
2
2
della
mediana:
101 103 111 115 122 124 132 136 137
Mediana = 122 µmol/l
31
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.6
Qual è la moda del campione seguente formato dai
valori di azotemia (mg/100 ml) di soggetti normali?
16 44 37 51 60 53 39 61 58 45 46 54.
16 44 37 51 60 53 39 61 58 45 46 54
Non è possibile determinare la moda di questo
campione, perché …………..
32
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.7
E’ stato misurato il peso in Kg di un campione di 100
individui:
Peso (kg)
[50-60)
[60-70)
[70-80)
[80-90)
[90-100)
[100-110)
Frequenza
5
17
38
25
11
4
100
Calcolare la media aritmetica, la classe mediana e la
classe modale.
Calcolare la distribuzione delle frequenze relative,
percentuali e percentuali cumulate.
33
Esercizi di Statistica
Peso (kg)
50-60
60-70
70-80
80-90
90-100
100-110
Frequenza
5
17
38
25
11
4
100
55⋅ 5 + 65⋅17 + 75⋅ 38+ 85⋅ 25+ 95⋅11+105⋅ 4 7820
=
= 78,2kg
Media =
100
100
Classe mediana (70-79) kg
Classe modale
(70-79) kg
Peso Frequenza
(kg)
50-60
5
60-70
17
70-80
38
80-90
25
90-100
11
100-110
4
100
f
0,05
0,17
0,38
0,25
0,11
0,04
1
p
P
5%
17%
38%
25%
11%
4%
100%
5%
22%
60%
85%
96%
100%
34
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.8
La tabella seguente riporta la distribuzione dei casi di
carcinoma del pancreas sottoposti ad intervento
chirurgico negli ultimi cinque anni nella Clinica
Chirurgica dell’Università di Pavia, per fasce d’età:
Età (anni) N° di casi
[40-45)
1
[45-50)
11
[50-55)
35
[55-60)
49
[60-65)
25
[65-70)
12
Totale
133
Calcolare la classe mediana e la classe modale.
Classe mediana = [55-60)
Classe modale = [55-60)
35
Esercizi di Statistica
Esercizio 3.1
I seguenti dati rappresentano le età di 48 pazienti che
frequentano un centro di riabilitazione fisioterapica.
32
43
25
17
63
46
23
27
33
61
23
21
57
53
22
24
35
12
21
22
54
13
17
23
38
16
13
61
53
16
30
55
42
31
14
34
51
30
29
42
42
28
16
13
48
28
28
26
Calcolare le opportune misure descrittive
36
Esercizi di Statistica
Media
x=
32 + 63 + 33 + 57 + ... + 13 + 26 1551
=
= 32.3125 anni
48
48
Moda
Non esiste un’unica moda, ma più valori che
presentano frequenza massima (3):
13-16-23-28-42 anni
distribuzione plurimodale
Mediana
Disposte le 48 osservazioni in ordine crescente, la
posizione della mediana è individuabile con la
seguente formula:
(n+1)/2=49/2=24.5
La mediana è data dalla media aritmetica delle
osservazioni che occupano la 24a e la 25a posizione:
12
22
30
51
13
23
31
53
13
23
32
53
13
23
33
54
14
24
34
55
16
25
35
57
16
26
38
61
16
27
42
61
17 17 21 21 22
28 28 28 29 30
42 42 43 46 48
63
(28+29)/2=28.5 mediana
37
Esercizi di Statistica
Varianza
(12 − 32.3125) ⋅1 + (13 − 32.3125) ⋅ 3 + ... + (63 − 32.3125) ⋅1
=
47
= 221.113 anni2
s2 =
Deviazione standard
s=
221 . 113 = 14 . 87 anni
Coefficiente di variazione
14 . 87
c .v . =
⋅ 100 = 46 %
32 . 3125
38
Esercizi di Statistica
Esercizio 3.2
La seguente tabella riporta il peso, l’altezza, lo sport
praticato e il numero di ferite di 18 studenti di una
scuola:
Soggetto
AA
BB
CC
DD
EE
FF
GG
HH
LL
MM
NN
PP
QQ
RR
SS
TT
VV
ZZ
Peso Altezza
Sport
N° di ferite
kg
cm
63
170
BASKET
3
75
180
Basket
2
65
170
Basket
1
75
175
Nuoto
0
75
170
Atletica
0
80
185
Basket
3
70
170
Atletica
0
65
165
Pallavolo
2
79
180
Nuoto
2
80
175
Basket
0
73
173
Basket
0
66
163
Nuoto
0
65
170
Pallavolo
3
70
178
Pallavolo
2
60
172
Atletica
1
77
177
Basket
1
74
169
Pallavolo
1
75
181
Atletica
2
Determinare media, moda e mediana per le 4 variabili.
39
Esercizi di Statistica
PESO
Peso medio = 71.5 kg
63 + 75 + 65 + ... + 74 + 75
x=
= 71.5 kg
18
Moda
75kg
valore più frequente (frequenza=4)
Mediana
Posizione mediana
(n+1)/2=19/2=9.5
La mediana è data dalla media aritmetica della nona e
decima osservazione60 63 65 65 65 66 70 70 73 74 75 75 75
75 77 79 80 80
(73+74)/2=73.5kg mediana
40
Esercizi di Statistica
ALTEZZA
Altezza media = 173.5 cm
x=
170 + 180 + 170 + ... + 169 + 181
= 173.5 cm
18
Moda
170 kg
valore più frequente (frequenza=5)
Mediana
Posizione mediana
(n+1)/2=19/2=9.5
La mediana è data dalla media aritmetica della nona e
decima osservazione163
170
180
165
172
180
169
173
181
(172+173)/2=172.5 cm
170
175
185
170
175
170
177
170
178
mediana
41
Esercizi di Statistica
Sport
Moda sport = Basket
N° di ferite
N° medio di ferite
x=
3 + 2 + 1 + ... + 1 + 2
= 1.28 ≅ 1
18
Moda
0
valore più frequente (frequenza=6)
Mediana
Posizione mediana
(n+1)/2=19/2=9.5
La mediana è data dalla media aritmetica della nona e
decima osservazione.
0
2
0
3
0
3
(1+1)/2=1
0
3
0
0
1
1
1
1
2
2
2
2
mediana
42
Esercizi di Statistica
Esercizio 3.3
Il campione 3 7 1 2 2:
ha media 3?
ha mediana 7?
ha moda 2?
ha range 1?
Media
3 + 7 + 1 + 2 + 2 15
x=
=
=3
5
5
Mediana
Dati disposti in ordine crescente:
1
2
2
3
7
Posizione mediana
(n+1)/2=6/2=3
La mediana è data dalla terza osservazione.
1
2
2
3
7
mediana=2
Moda
2
valore più frequente (frequenza=2)
Range
range=max. – min.=7-1=6
43
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.81 4.3.1
Supponiamo che in una certa popolazione il 52% dei
nati sia maschio.
Se estraiamo a caso cinque record da questa
popolazione, qual è la probabilità che esattamente tre
di questi siano maschi?
P(X=3)=?
P( X = x) =
n=5
P( X = 3) =
p=0.52
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
q= 0.48
5!
⋅ 0.523 ⋅ 0.482 = 10 ⋅ 0.1406⋅ 0.2304 = 0.3240
3!(5 − 3)!
44
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.84 4.3.2
Supponiamo che sia noto che il 30% di una certa
popolazione è immune da una malattia.
Se si estrae un campione casuale di dimensione 10
da questa popolazione, qual è la probabilità che esso
contenga esattamente quattro persone immuni?
P(X=4)=?
P( X = x) =
n=10
p=0.30
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
q= 0.70
10!
P( X = 4) =
⋅ 0.34 ⋅ 0.76 = 210 ⋅ 0.0081⋅ 0.1176 = 0.2001
4!(10 − 4)!
45
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.85 4.3.3
Supponiamo che il 10% di una certa popolazione sia
daltonico. Estraiamo un campione casuale di 25
soggetti da questa popolazione.
Qual è la probabilità che:
a. Un numero di soggetti minore o uguale a 5 sia
daltonico.
b. Un numero di soggetti maggiore o uguale a 6 sia
daltonico.
c. Un numero di soggetti compreso tra 6 e 9, estremi
inclusi, sia daltonico.
46
Esercizi di Statistica
a. Un numero di soggetti minore o uguale a 5 sia
daltonico.
P( X = x) =
n=25
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
p=0.10
q=0.90
P(X≤5)=P(X=0)+……+P(X=5)]
P ( X = 0) =
P ( X = 1) =
P ( X = 2) =
P ( X = 3) =
P ( X = 4) =
P ( X = 5) =
25 !
⋅ 0 . 1 0 ⋅ 0 . 9 25
0 !⋅ 25 !
25 !
⋅ 0 . 1 1 ⋅ 0 . 9 24
1!⋅ 24 !
25 !
⋅ 0 . 1 2 ⋅ 0 . 9 23
2 !⋅ 23 !
25 !
⋅ 0 . 1 3 ⋅ 0 . 9 22
3 !⋅ 22 !
25 !
⋅ 0 . 1 4 ⋅ 0 . 9 21
4 !⋅ 21 !
25 !
⋅ 0 . 1 5 ⋅ 0 . 9 20
5 !⋅ 20 !
= 0 . 0718
= 0 . 1994
= 0 . 2659
= 0 . 2265
= 0 . 1384
= 0 . 0646
P(X≤5)=
=0.0718+0.1994+…+0.1384+0.0646=0.9666
47
Esercizi di Statistica
b. Un numero di soggetti maggiore o uguale a 6
sia daltonico.
P(X≥6) =1−P(X<6)=1-[P(X=0)+……+P(X=5)]
P(X≥6) =1−0.9666=0.0334
c. Un numero di soggetti compreso tra 6 e 9,
estremi inclusi , sia daltonico.
P(6≤X≤9) =P(X=6) +P(X=7)+P(X=8) +P(X=9)
25 !
⋅ 0 .16
6 !⋅ 19 !
25 !
P ( X = 7) =
⋅ 0 .17
7 !⋅ 18 !
25 !
P ( X = 8) =
⋅ 0 .18
8 !⋅ 17 !
25 !
P ( X = 9) =
⋅ 0 .19
9 !⋅ 16 !
P ( X = 6) =
⋅ 0 . 9 19 = 0 . 0239
⋅ 0 . 9 18 = 0 . 0072
⋅ 0 . 9 17 = 0 . 0018
⋅ 0 . 9 16 = 0 . 0004
P(6≤X≤9) =0.0239+……+0.0004=0.0333
48
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.86 4.3.4
In una certa comunità e in una data sera vi è qualcuno
a casa nell’ 85% delle famiglie. Un gruppo di ricerca
ha condotto una indagine telefonica, estraendo un
campione casuale di 12 famiglie.
Trovare la probabilità che:
a. Il gruppo trovi qualcuno a casa esattamente in 7
famiglie.
b. Il gruppo trovi qualcuno a casa in un numero di
famiglie minore o uguale a 5.
c. Il gruppo trovi qualcuno a casa in un numero di
famiglie maggiore o uguale a 8.
49
Esercizi di Statistica
a. Qualcuno a casa esattamente in 7 famiglie;
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
n=12
p=0.85
q=0.15
P(X = 7) =
12 !
⋅ 0 . 85 7 ⋅ 0 . 15
7 !⋅ 5 !
5
= 0 . 0193
b. Qualcuno a casa in un numero di famiglie
minore o uguale a 5;
P(X≤5)=P(X=0)+……+P(X=5)]
12 !
⋅ 0 . 85 0 ⋅ 0 . 15 12 = 0 . 0000
0 !⋅ 12 !
12 !
P ( X = 1) =
⋅ 0 . 85 1 ⋅ 0 . 15 11 = 0 . 0000
1!⋅ 11 !
P ( X = 0) =
P(X=2)=0.0000
P(X=3)=0.0000
12 !
P ( X = 4) =
⋅ 0 . 85 4 ⋅ 0 . 15 8 = 0 . 00006
4 !⋅ 8!
12 !
P ( X = 5) =
⋅ 0 . 85 5 ⋅ 0 . 15 7 = 0 . 0006
5 !⋅ 7 !
P(X≤5)==0.0000+…+0.0006=0.00066=0.0007
50
Esercizi di Statistica
c. Qualcuno a casa in un numero di famiglie
maggiore o uguale a 8.
P(X≥8)=P(X=8)+….+ P(X=12)
oppure
P(X≥8)=1-P(X<8)
P(X≤5) già calcolata =0.0007
P(X=6) da calcolare
P ( X = 6) =
12 !
⋅ 0 . 85
6 !⋅ 6 !
6
⋅ 0 . 15
6
= 0 . 0040
P(X=7) già calcolata =0.0193
P(X≥8)=1-P(X<8)=1(0.0007+0.0040+0.0193)=
=1-0.0240=0.9760
51
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.1
Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è in
sovrappeso.
Si consideri un campione casuale semplice di 20
adulti degli Stati Uniti.
Si trovi la probabilità che il numero di soggetti in
sovrappeso nel campione sia:
a.
b.
c.
d.
Esattamente tre.
Maggiore o uguale a tre.
Minore di tre.
Fra tre e sette, estremi inclusi.
52
Esercizi di Statistica
a. Esattamente tre.
n!
P ( X = x) =
⋅ px ⋅ qn−x
x! (n − x)!
n=20
p=0.26
q=0.74
20 !
P ( X = 3) =
⋅ 0 . 26 3 ⋅ 0 . 74 17 = 0 . 1199
3!⋅ 17 !
b. Maggiore o uguale a tre.
P(X≥3) =1−P(X<3)=
=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]
20 !
P ( X = 0) =
⋅ 0 . 26 0 ⋅ 0 . 74 20 = 0 . 0024
0 !⋅ 20 !
20 !
P ( X = 1) =
⋅ 0 . 26 1 ⋅ 0 . 74 19 = 0 . 0170
1!⋅ 19 !
20 !
P ( X = 2 ) ==
⋅ 0 . 26 2 ⋅ 0 . 74 18 = 0 . 05687
2!⋅ 18 !
P(X≥3) =1-(0.0024+0.0170+0.0569)=0.9237
53
Esercizi di Statistica
c. Minore di tre.
P(X<3) =1-0.9237=0.0763
d. Fra tre e sette, estremi inclusi.
P(3≤X≤7) =
=P(X=3) +P(X=4)+P(X=5) +P(X=6)+P(X=7)
P ( X = 3) =
P ( X = 4) =
P ( X = 5) =
P ( X = 6) =
P ( X = 7) =
20 !
⋅ 0 . 26 3 ⋅ 0 . 74 17
3!⋅ 17 !
20 !
⋅ 0 . 26 4 ⋅ 0 . 74 16
4 !⋅ 16 !
20 !
⋅ 0 . 26 5 ⋅ 0 . 74 15
5!⋅ 15 !
20 !
⋅ 0 . 26 6 ⋅ 0 . 74 14
6 !⋅ 14 !
20 !
⋅ 0 . 26 7 ⋅ 0 . 74 13
7 !⋅ 13 !
= 0 . 1199
= 0 . 1790
= 0 . 2013
= 0 . 1768
= 0 . 1242
P(3≤X≤7) =0.1199+……+0.1242=0.8012
54
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.2
Riferendoti all’esercizio 4.3.1,
4.3.1
Si riferisce che il 26% degli
adulti degli Stati Uniti è in
sovrappeso
quanti adulti in sovrappeso ci si aspetta di trovare in
un campione di 20?
µ=n⋅p
n=20
p=0.26
µ=n⋅p=20⋅0.26=5.2≈5 individui in sovrappeso
55
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.3
Si riferisce che il 26% degli adulti degli Stati Uniti è in
sovrappeso.
Si consideri un campione casuale semplice di 5 adulti
degli Stati Uniti.
Si trovi la probabilità che il numero di soggetti in
sovrappeso nel campione sia:
a.
b.
c.
d.
e.
Zero.
Maggiore di uno.
Fra uno e tre, estremi inclusi.
Minore o uguale a due.
Cinque.
56
Esercizi di Statistica
a. Zero.
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ qn − x
x! (n − x)!
n=5
p=0.26
q=0.74
5!
P ( X = 0) =
⋅ 0 . 26
0 !⋅ 5 !
0
⋅ 0 . 74
5
= 0 . 2219
0
⋅ 0 . 74
5
= 0 . 2219
b. Maggiore di uno.
P(X>1)=1-P(X≤1)
P ( X = 0) =
P ( X = 1) =
5!
⋅ 0 . 26
0 !⋅ 5 !
5!
⋅ 0 . 26 1 ⋅ 0 . 74
1!⋅ 4 !
4
= 0 . 3898
P(X>1)=1-(0.2219+0.3898)=0.3883
57
Esercizi di Statistica
c. Fra uno e tre, estremi inclusi.
P(1≤X≤3) =P(X=1) +P(X=2)+P(X=3)
5!
⋅ 0 . 26 1 ⋅ 0 . 74 4 = 0 . 3898
1!⋅ 4 !
5!
P ( X = 2) =
⋅ 0 . 26 2 ⋅ 0 . 74 3 = 0 . 2739
2 !⋅ 3!
5!
P ( X = 3) =
⋅ 0 . 26 3 ⋅ 0 . 74 2 = 0 . 0962
3!⋅ 2 !
P ( X = 1) =
P(1≤X≤3) =0.3898+0.2739+0.0962=0.7599
d. Minore o uguale a 2.
P(X≤2) =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=
=0.2219+0.3898+0.2739=0.8856
e. Cinque.
5!
P ( X = 5) =
⋅ 0 . 26
5 !⋅ 0 !
5
⋅ 0 . 74
0
= 0 . 0012
58
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89..4.3.4
Un rapporto del National Center for Health Statistics,
basato su dati del 1985, afferma che il 30% degli
adulti americani fuma. Dato un campione casuale
semplice di 15 adulti trova la probabilità che il numero
dei fumatori nel campione sia:
a.
b.
c.
d.
e.
Tre.
Minore di cinque.
Fra cinque e nove, estremi inclusi.
Maggiore di cinque, ma minore di 10.
Maggiore o uguale a sei.
59
Esercizi di Statistica
a. Tre.
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ qn − x
x! (n − x)!
n=15
p=0.30
q=0.70
15 !
P ( X = 3) =
⋅ 0 . 30 3 ⋅ 0 . 70 12 = 0 . 1700
3!⋅ 12 !
b. Minore di cinque.
P(X<5) =P(X=0)+P(X=1)+……+P(X=4)
15 !
⋅ 0 . 30 0 ⋅ 0 . 70 15
0 !⋅ 15 !
15 !
1) =
⋅ 0 . 30 1 ⋅ 0 . 70 14
1!⋅ 14 !
15 !
2) =
⋅ 0 . 30 2 ⋅ 0 . 70 13
2 !⋅ 13 !
15 !
3) =
⋅ 0 . 30 3 ⋅ 0 . 70 12
3!⋅ 12 !
15 !
4) =
⋅ 0 . 30 4 ⋅ 0 . 70 11
4 !⋅ 11 !
P ( X = 0) =
= 0 . 0047
P(X =
= 0 . 0305
P(X =
P(X =
P(X =
= 0 . 0916
= 0 . 1700
= 0 . 2186
P(X<5) =0.0047+0.0305+0.0916+0.1700+0.21
86=
=0.5154
60
Esercizi di Statistica
c. Fra cinque e nove, estremi inclusi.
P(5≤X≤9) =P(X=5) +P(X=6)+….+P(X=9)
P(X =
P(X =
P(X =
P(X =
P(X =
15 !
⋅ 0 . 30 5 ⋅ 0 . 70 10
5) =
5!⋅ 10 !
15 !
6) =
⋅ 0 . 30 6 ⋅ 0 . 70 9
6 !⋅ 9 !
15 !
⋅ 0 . 30 7 ⋅ 0 . 70 8
7) =
7 !⋅ 8 !
15 !
⋅ 0 . 30 8 ⋅ 0 . 70 7
8) =
8 !⋅ 7 !
15 !
9) =
⋅ 0 . 30 9 ⋅ 0 . 70 6
9 !⋅ 6 !
= 0 . 2061
= 0 . 1472
= 0 . 0811
= 0 . 0348
= 0 . 0116
P(5≤X≤9) =0.4808
d. Maggiore di cinque, ma minore di 10.
P(6≤X≤9) =P(X=6) +P(X=7)+….+P(X=9)=
=0.1472+0.0811+0.0348+0.0116=0.2747
e. Maggiore o uguale a sei.
P(X≥6)=1-P(X<6)=1-(P(X<5)+P(X=5))=
=1-[P(X=0)+P(X=1)+…….+P(X=5)]=
=1-(0.0047+0.0305+…..+0.2186+0.2061)=
=1-(0.7215)=0.2785
61
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.5
Con riferimento all’esercizio precedente, trova la
media e la varianza del numero di fumatori.
Un rapporto del National Center for Health
Statistics, basato su dati del 1985, afferma
che il 30% degli adulti americani fuma. Dato
un campione casuale semplice di 15 adulti
…….
µ=np
σ2=np(1-p)
n=15
p=0.30
1-p=0.70
µ=np=15⋅0.30=4.5
σ2=np(1-p)=15⋅0.30⋅0.70=3.15
62
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.6
Con riferimento all’esercizio 4.3.4,
4.34
Un rapporto del National Center for Health
Statistics, basato su dati del 1985, afferma
che il 30% degli adulti americani fuma. Dato
un campione casuale semplice di 15 adulti
…….
supponi
che sia stato preso in campione d 25 adulti e
sia risultato che due soggetti sono fumatori.
Pensi che questi dati possano farti venire il sospetto
che la percentuale di fumatori adulti sia diminuita dal
1985? Motiva la tua risposta.
63
Esercizi di Statistica
La percentuale di fumatori adulti è sicuramente
diminuita dal 1985.
Se, nel 1985, su un campione di 15 unità, troviamo
una media di 4,5,
è impossibile
che, con p invariata, in un campione più numeroso (25
unità) la media sia minore di 4.5.
Questa osservazione è confermata dai seguenti
calcoli:
µ=np
µ=2
n=25
p=?
p= µ/n=2/25=0.08
64
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.7
La probabilità che una persona che soffre di emicrania
possa trovare sollievo con un particolare farmaco è
uguale a 0.9. Il farmaco viene somministrato a tre
soggetti scelti a caso, che soffrono di emicrania.
Calcola la probabilità che il numero di soggetti che
trova sollievo sia:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Esattamente zero.
Esattamente uno.
Maggiore di uno.
Minore o uguale a due.
Due o tre.
Esattamente tre.
65
Esercizi di Statistica
a. Esattamente zero.
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ qn − x
x! (n − x)!
n=3
p=0.9
q=0.1
3!
P ( X = 0) =
⋅ 0 . 9 0 ⋅ 0 . 1 3 = 0 . 0010
0 !⋅ 3 !
b. Esattamente uno.
P ( X = 1) =
3!
⋅ 0 . 9 1 ⋅ 0 . 1 2 = 0 . 0270
1!⋅ 2 !
c. Maggiore di uno.
P(X>1)=1-P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=
=1-(0.0010+0.0270)=1-0.0280=0.9720
66
Esercizi di Statistica
d. Minore o uguale a due.
P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=0) già calcolata
P(X=1) già calcolata
P ( X = 2) =
3!
⋅ 0 . 9 2 ⋅ 0 . 1 1 = 0 . 2430
2 !⋅ 1!
P(X≤2)=0.0010+0.0270+0.2430=0.2710
e. Due o tre.
P(2≤X≤3)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=
=1-(0.0010+0.0270)=1-0.028=0.972
(vedi punto c.)
f.
Esattamente tre.
3!
P ( X = 3) =
⋅ 0 . 9 3 ⋅ 0 . 1 0 = 0 . 729
3 !⋅ 0 !
67
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.89 4.3.8
In una indagine condotta su studenti infermieri, che
stavano per conseguire il diploma universitario, il 75%
ha affermato di aspettarsi una promozione entro un
mese dal conseguimento del diploma.
Se la stessa percentuale è valida per tutta la
popolazione, si trovi, per un campione di 15 soggetti,
la probabilità che il numero di soggetti che si aspetta
una promozione entro un mese dal conseguimento
del titolo sia:
a.
b.
c.
d.
Sei.
Almeno sette.
Non più di cinque.
Fra sei e nove, estremi inclusi.
68
Esercizi di Statistica
a. Sei.
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ qn − x
x! (n − x)!
n=15
p=0.75
P ( X = 6) =
15 !
⋅ 0 . 75
6 !⋅ 9 !
q=0.25
6
⋅ 0 . 25
9
= 0 . 0034
b. Almeno sette.
P(X≥7) =1−P(X<7)=1-[P(X=0)+……+P(X=6)]
P ( X = 0) =
15 !
⋅ 0 . 75 0 ⋅ 0 . 25 15 = 0 . 0000
0 !⋅ 15 !
P(X=1)=0.0000
P(X
P(X
P(X
P(X
P(X=2)=0.0000
15 !
= 3) =
⋅ 0 . 75 3 ⋅ 0 . 25 12 = 0 . 00001
3!⋅ 12 !
15 !
= 4) =
⋅ 0 . 75 4 ⋅ 0 . 25 11 = 0 . 0001
4 !⋅ 11 !
15 !
= 5) =
⋅ 0 . 75 5 ⋅ 0 . 25 10 = 0 . 0007
5!⋅ 10 !
15 !
= 6) =
⋅ 0 . 75 6 ⋅ 0 . 25 9 = 0 . 0034
6 !⋅ 9 !
P(X≥7) =1-(0.0000+……+0.0034)=1-0.0042=
=0.9958
c. Non più di cinque.
69
Esercizi di Statistica
P(X≤5) =P(X=0)+P(X=1)+…….+P(X=5)]=
=0.0000+……+0.0007=0.0008
d. Fra sei e nove, estremi inclusi.
P(6≤X≤9)=P(X=6)+……+P(X=9)
P ( X = 6 ) = 0 . 0034
15 !
P( X = 7) =
⋅ 0 . 75 7 ⋅ 0 . 25 8 = 0 . 0131
7 !⋅ 8 !
15 !
P ( X = 8) =
⋅ 0 . 75 8 ⋅ 0 . 25 7 = 0 . 0393
8 !⋅ 7 !
15 !
P ( X = 9) =
⋅ 0 . 75 9 ⋅ 0 . 25 6 = 0 . 0917
9 !⋅ 6 !
P(6≤X≤9)=0.0034+0.0131+100393+0.0917=
=0.1475
70
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.107 15
Il metodo usuale per insegnare a persone ritardate
una particolare capacità nel prendersi cura di se
stessi è efficace nel 50% dei casi.
Un nuovo metodo è usato con 10 persone.
Se il nuovo metodo non è migliore di quello standard,
qual è la probabilità che un numero di persone
maggiore o uguale a sette impari tale capacità?
71
Esercizi di Statistica
P(X≥7)=P(X=7)+ P(X=8)+ P(X=9)+ P(X=10)
P( X = x) =
n=10
p=0.50
n!
⋅ p x ⋅ qn − x
x! (n − x)!
q=0.50
10 !
⋅ 0 . 5 7 ⋅ 0 . 5 3 = 0 . 1172
7 !⋅ 3 !
10 !
P ( X = 8) =
⋅ 0 . 5 8 ⋅ 0 . 5 2 = 0 . 0439
8 !⋅ 2 !
10 !
P ( X = 9) =
⋅ 0 . 5 9 ⋅ 0 . 5 1 = 0 . 0098
9 !⋅ 1!
10 !
P ( X = 10 ) =
⋅ 0 . 5 10 ⋅ 0 . 5 0 = 0 . 0010
10 !⋅ 0!
P(X = 7) =
P(X≥7)=0.1172+0.0439+0.0098+0.0010=0.1719
72
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.107 16
Le schede del personale di un grande ospedale
mettono in evidenza che il 10% del personale dopo un
anno dall’assunzione lascia il lavoro. Se ora sono stati
assunti 10 nuovi impiegati:
a. Qual è la probabilità che esattamente la metà di
essi lavori ancora dopo un anno?
b. Qual è la probabilità che tutti lavorino ancora dopo
un anno?
c. Qual è la probabilità che 3 di essi smettano di
lavorare prima che l’anno finisca?
73
Esercizi di Statistica
a. Qual è la probabilità che esattamente
la metà di essi lavori ancora dopo un
anno?
P(X=5)=?
Probabilità che 5 smettano di lavorare
P( X = x) =
n=10
P ( X = 5) =
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
p=0.10
10 !
⋅ 0 .1 5 ⋅ 0 .9
5 !⋅ 5 !
q=0.90
5
= 0 . 0015
b. Qual è la probabilità che tutti lavorino
ancora dopo un anno?
P(X=0)=?
P ( X = 10 ) =
Probabilità che 0 smettano di lavorare
10 !
⋅ 0 . 1 0 ⋅ 0 . 9 10 = 0 . 3487
0 !⋅ 10 !
c. Qual è la probabilità che 3 di essi
smettano di lavorare prima che l’anno
finisca?
P(X=3)=?
P ( X = 3) =
Probabilità che 3 smettano di lavorare
10 !
⋅ 0 .1 3 ⋅ 0 .9
3 !⋅ 7 !
7
= 0 . 0574
74
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.107 17
In una certa popolazione in via di sviluppo, il 30% dei
bambini è denutrito. Se prendiamo un campione
casuale di 25 bambini da questa nazione, qual è la
probabilità che il numero di denutriti sia:
a.
b.
c.
d.
e.
Esattamente 10?
Meno di 5?
Maggiore o uguale a 5?
Fra 3 e 5, estremi inclusi?
Minore di 7, ma maggiore di 4?
75
Esercizi di Statistica
a. Esattamente 10?
P( X = x) =
n=25
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
p=0.30
q=0.70
25 !
P ( X = 10 ) =
⋅ 0 . 3 10 ⋅ 0 . 7 15 = 0 . 0916
10 !⋅ 15 !
b. Meno di 5?
P(X<5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
P ( X = 0) =
P ( X = 1) =
P ( X = 2) =
P ( X = 3) =
P ( X = 4) =
25 !
⋅ 0 . 3 0 ⋅ 0 . 7 25
0 !⋅ 25 !
25 !
⋅ 0 . 3 1 ⋅ 0 . 7 24
1!⋅ 24 !
25 !
⋅ 0 . 3 2 ⋅ 0 . 7 23
2 !⋅ 23 !
25 !
⋅ 0 . 3 3 ⋅ 0 . 7 22
3!⋅ 22 !
25 !
⋅ 0 . 3 4 ⋅ 0 . 7 21
4 !⋅ 21 !
= 0 . 0001
= 0 . 0014
= 0 . 0074
= 0 . 0243
= 0 . 0572
P(X<5)=0.0001+0.0014+0.0074+0.0243+0.0572=
0.0905
76
Esercizi di Statistica
c. Maggiore o uguale a 5?
P(X≥5)=1-P(X<5)=1-0.0905=0.9095
d. Fra 3 e 5, estremi inclusi?
P(3≤X≤5)=P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)
P(X=3) e P(X=4) già calcolate
P ( X = 5) =
25 !
⋅ 0 . 3 5 ⋅ 0 . 7 20 = 0 . 1030
5 !⋅ 20 !
P(3≤X≤5)=0.0243+0.0572+0.1030=0.1845
e. Minore di 7, ma maggiore di 4?
P(4<X<7)=P(X=5)+P(X=6)
P(X=5) già calcolata
P ( X = 6) =
25 !
⋅ 0 . 3 6 ⋅ 0 . 7 19 = 0 . 1472
6 !⋅ 19 !
P(4<X<7)=0.1030+0.1472=0.2502
77
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.108 24
Data una variabile binomiale con media 20 e varianza
16, trova n e p.
µ=20
σ2=16
µ=np
σ2=np(1-p)
np=20
np=16/1-p
20=16/1-p
20(1-p)=16
-20p=-4
p=4/20=1/5=0.20
p=0.20
np=20
20-20p=16
n=20/0.20=100
78
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.1
Da uno studio condotto sullo sviluppo di malattie
periodontali in gravidanza è risultato che il 59% delle
donne gravide presenta placca batterica.
Si supponga di visitare 5 donne gravide.
Calcolare la probabilità che:
a. nessuna presenti placca batterica;
b. due presentino placca batterica;
c. almeno due presentino placca batterica.
79
Esercizi di Statistica
a. nessuna presenti placca batterica;
P(X=0)=?
P( X = x) =
n=5
P( X = 0) =
p=0.59
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
q=1-p=0.41
5!
⋅ 0.590 ⋅ 0.415 = 1⋅1⋅ 0.0116 = 0.0116
0!(5 − 0)!
b. due presentino placca batterica;
P(X=2)=?
P( X = 2) =
5!
⋅ 0.592 ⋅ 0.413 = 10⋅ 0.3481⋅ 0.0689 = 0.2399
2!(5 − 2)!
80
Esercizi di Statistica
c. almeno due presentino placca batterica.
P(X≥2)=?
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
già calcolata
P( X = 3) =
5!
⋅ 0.593 ⋅ 0.412 = 10⋅ 0.2054⋅ 0.1681= 0.3452
3!(5 − 3)!
P( X = 4) =
5!
⋅ 0.594 ⋅ 0.411 = 5 ⋅ 0.1212 ⋅ 0.41 = 0.2484
4!(5 − 4)!
P ( X = 5) =
5!
⋅ 0.59 5 ⋅ 0.410 = 1 ⋅ 0.0715 ⋅ 1 = 0.0715
5!(5 − 5)!
P(X≥2)=0.2399+0.3452+0.2484+0.0715=0.905=90.
5%
81
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.2
In un ampio campione di consumatori di tabacco non
da fumo (da annusamento o da masticazione) è
risultato che il 39% presenta leucoplachia orale.
Supponendo di visitare 7 pazienti consumatori di
tabacco non da fumo, si calcoli la probabilità che:
a. tutti e 7 i pazienti abbiano leucoplachia
b. meno di 2 pazienti abbiano leucoplachia
c. più di 5 pazienti abbiano leucoplachia.
82
Esercizi di Statistica
a. tutti e 7 i pazienti abbiano leucoplachia
P(X=7)=?
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
n=7
p=0.39
P( X = 7) =
q=1-p=0.61
7!
⋅ 0.397 ⋅ 0.610 = 1⋅ 0.0014⋅1 = 0.0014
7!(7 − 7)!
b. meno di 2 pazienti abbiano leucoplachia
P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)
P( X = 0) =
P( X = 1) =
7!
⋅ 0.390 ⋅ 0.617 = 1⋅1⋅ 0.0314 = 0.0314
0!(7 − 0)!
7!
⋅ 0.391 ⋅ 0.616 = 7 ⋅ 0.39⋅ 0.0515= 0.1407
1!(7 −1)!
P(X≤1)=0.0314+0.1407=0.1721
83
Esercizi di Statistica
c. più di 5 pazienti abbiano leucoplachia.
P(X>5)=?
P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)
già calcolata
P( X = 6) =
7!
⋅ 0.396 ⋅ 0.611 = 7 ⋅ 0.0035⋅ 0.061= 0.0150
6!(7 − 6)!
P(X>5)=0.0150+0.0014=0.0164
84
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.3
Uno studio condotto su pazienti affetti da “obstructive
sleep apnea syndrome”(OSAS) riferisce che il 22% di
essi
mostra
all’indagine
radiografica
(ortopantomografia) formazioni ateromatose della
carotide extracraniale.
Supponendo di visitare 6 pazienti affetti da OSAS,
qual è la probabilità che presentino ateroma della
carotide extracraniale:
a.
b.
c.
d.
tutti e 6 i pazienti
uno solo dei pazienti
più di 2 pazienti?
Quanti soggetti affetti da ateroma ci si attende di
avere su 150 pazienti?
85
Esercizi di Statistica
a. tutti e 6 i pazienti
P(X=6)=?
n!
P( X = x) =
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
n=6
p=0.22
P( X = 6) =
q= 0.78
6!
⋅ 0.226 ⋅ 0.780 = 1⋅ 0.0001⋅1 = 0.0001
6!(6 − 6)!
b. uno solo dei pazienti
P( X = 1) =
6!
⋅ 0.221 ⋅ 0.785 = 6 ⋅ 0.22 ⋅ 0.2887 = 0.3811
1!(6 −1)!
86
Esercizi di Statistica
c. più di 2 pazienti?
P(X≥2)=P(x=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)
già calcolata
P( X = 2) =
6!
⋅ 0.222 ⋅ 0.784 = 15 ⋅ 0.0484 ⋅ 0.3702 = 0.2687
2!(6 − 2)!
6!
⋅ 0.223 ⋅ 0.783 = 20⋅ 0.0106⋅ 0.4746 = 0.1011
3!(6 − 3)!
6!
P( X = 4) =
⋅ 0.224 ⋅ 0.782 = 15⋅ 0.0023⋅ 0.6084 = 0.0214
4!(6 − 4)!
6!
P( X = 5) =
⋅ 0.225 ⋅ 0.781 = 6 ⋅ 0.0005⋅ 0.78 = 0.0024
5!(6 − 5)!
P( X = 3) =
P(X≥2)=0.2687+0.1011+0.0214+0.0024+0.0
001=0.3937
d. Quanti soggetti affetti da ateroma ci si attende
di avere su 150 pazienti?
22:100=x:150
x=(22·150)/100=33
Su 150 pazienti ci si attende di avere 33 soggetti
affetti da ateroma.
87
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.4
In una popolazione il 24% degli individui ha gruppo
sanguigno B. Estratto un campione casuale di 20
individui, calcolare la probabilità che:
a) esattamente 3 individui abbiano gruppo
sanguigno B;
b) 3 o più individui abbiano gruppo B;
c) meno di 3 individui abbiano gruppo B;
d) esattamente 5 individui abbiano gruppo B.
88
Esercizi di Statistica
a) esattamente
sanguigno B
3
individui
abbiano
gruppo
P(X=3)=?
P( X = x) =
n=20
P( X = 3) =
p=0.24
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
q= 0.76
20!
⋅ 0.243 ⋅ 0.7617 = 1140⋅ 0.0138⋅ 0.0094 = 0.1484
3!(20 − 3)!
89
Esercizi di Statistica
b) 3 o più individui abbiano gruppo B
P(X≥3) =P(X=3) +P(X=4) +...+= P(X=20)
È più conveniente
complementare
considerare
la
probabilità
P(X≥3) =1−P(X<3)=1-[P(X=0)+……+P(X=2)]
20!
P( X = 0) =
⋅ 0.240 ⋅ 0.7620 = 0.0041
0!(20 − 0)!
20!
P( X = 1) =
⋅ 0.241 ⋅ 0.7619 = 0.0261
1!(20 −1)!
20!
P( X = 2) =
⋅ 0.242 ⋅ 0.7618 = 0.0783
2!(20 − 2)!
P(X≥3) =
1−(0.0041+0.0261+0.0783)=
1-0.1085=0.8915=89.15%
90
Esercizi di Statistica
c) meno di 3 individui abbiano gruppo B
P(X<3) è già stata calcolata al punto precedente
P(X<3)=
P(X<0)+ P(X<1)+ P(X<2)
P(X<3)=0.0041+0.0261+0.0783=0.1085=10.85%
d) esattamente 5 individui abbiano gruppo B
20!
P( X = 5) =
⋅ 0.245 ⋅ 0.7615 = 0.2012
5!(20 − 5)!
91
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.5
La percentuale di individui allergici alla penicillina nel
1995 è stata del 5%.
Determinare la probabilità che su 8 assistiti di un
medico di base (scelti a caso) si abbiano:
a.
b.
c.
d.
esattamente 5 assistiti allergici;
al massimo 2 assistiti allergici;
almeno 3 assistiti allergici;
fra 1 e 3 assistiti allergici (inclusi).
Quanti soggetti allergici ti aspetti di trovare su 8
assistiti?
92
Esercizi di Statistica
a. esattamente 5 assistiti allergici
P( X = x) =
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
n=8
p=0.05
q= 0.95
P ( X = 5) =
8!
⋅ 0 .05 5 ⋅ 0 .95 3 = 0 .000015
5!(8 − 5)!
b. al massimo 2 assistiti allergici
Pr(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
8!
⋅ 0.05 0 ⋅ 0.95 8 = 0.6634
0!(8 − 0 )!
8!
P ( X = 1) =
⋅ 0 .05 1 ⋅ 0 .95 7 = 0 .2793
1! (8 − 1)!
8!
P ( X = 2) =
⋅ 0 .05 2 ⋅ 0.95 6 = 0.0515
2!(8 − 2)!
P ( X = 0) =
Pr(X≤2)=0.6634+0.2793+0.0515=0.9942
93
Esercizi di Statistica
c. almeno 3 assistiti allergici
Già calcolata al punto
Pr(X≥3)=P(X=3)+…+P(X=8)=1–P(X≤2)=
=1-0.9942=0.0058
d. fra 1 e 3 assistiti allergici (inclusi)
Già calcolate al punto
P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
P ( X = 3) =
8!
⋅ 0.05 3 ⋅ 0.95 5 = 0.0054
3!(8 − 3)!
P(1≤X≤3)=0.2793+0.0515+0.0054=0.3362
Quanti soggetti allergici ti aspetti di trovare su 8 assistiti?
5:100=x:8
µ=np=8⋅0.05=0.4
x=5⋅8/100=0.4
meno di un assistito
94
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.6
Un produttore farmaceutico asserisce che un
particolare farmaco dà miglioramenti dei sintomi di
angina pectoris nell’80% dei pazienti.Un medico
prescrive tale farmaco a 5 dei suoi pazienti affetti da
angina.
Determinare la probabilità che ottengano giovamento:
a. nessun paziente;
b. almeno 4 pazienti;
c. al massimo 3 pazienti.
95
Esercizi di Statistica
a. nessun paziente
P( X = x) =
n!
⋅ p x ⋅ q n− x
x!(n − x)!
n=5
p=0.80
q= 0.20
P ( X = 0) =
5!
⋅ 0.80 0 ⋅ 0 .20 5 = 0.00032
0! (5 − 0)!
b. almeno 4 pazienti
P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)
5!
P ( X = 4) =
⋅ 0 .80 4 ⋅ 0 .20 1 = 0.4096
4! (5 − 4)!
5!
P ( X = 5) =
⋅ 0.80 5 ⋅ 0.20 0 = 0 .3277
5! (5 − 5)!
P(X≥4)=0.4096+0.3277=0.7373
96
Esercizi di Statistica
c. al massimo 3 pazienti
P(X≤3)=0,2627
P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
oppure
P(X≤3)=1-P(X≥4)=1-0.7373=0.2627
97
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pagg.104/5 4.7.2/3
Supponiamo di conoscere che la statura di una certa
popolazione di individui sia approssimativamente
distribuita come una normale con media di 70 pollici e
deviazione standard di 3 pollici.
Trovare la probabilità che:
a. una persona estratta a caso da questo gruppo sia
alta fra 65 e 74 pollici;
b. una persona estratta a caso da questo gruppo sia
alta fra 77 pollici o più.
c. In una popolazione di 10000 persone, quante ci si
aspetta siano alte 77 pollici o più?
98
Esercizi di Statistica
a. P(65<x<74) = ?
z1 =
z2 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
σ
=
65 − 70
= − 1 , 67
3
=
74 − 70
= 1, 33
3
f (x)
Pr(65<x<74) = ?
x
0
65
70
74
Statura (pollici)
z
-1,67
P(65<x<70)
0
+1,33
= P(-1,67<z<1,33) =
= P(z<1,33) – P(z<-1,67) =
= 0,9082-0,0475 =0,8607=86,07%
99
Esercizi di Statistica
b.P(x>77) = ?
P(x>77) = 1 - P(x<77)
z =
x − µ
σ
=
77 − 70
= 2 , 33
3
f (x)
Pr(x>77) =1 –Pr(x<77) = ?
x
0
70
77
Statura (pollici)
z
0
+2,33
P(x>77)=1-P(x<77)=1–P(z<2,33)
c.
0,99 : 100 = x : 10 000
=1–0,9901=
=0,0099
x = 99
100
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pagg.105 4.7.1
Supponiamo che le età dei pazienti, all’inizio di una
certa malattia, siano approssimativamente distribuite
come una normale con media di 11,5 anni e
deviazione standard di 3 anni.
Un ragazzo si è appena ammalato.
Trovare la probabilità che il ragazzo abbia:
a. una età compresa fra 8 anni e mezzo e 14 anni e
mezzo;
b. più di 10 anni;
c. sotto i 12 anni.
101
Esercizi di Statistica
a. P(8,5<x<14,5) = ?
z1 =
z2 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
σ
=
8 , 5 − 11 , 5
= −1
3
=
14 , 5 − 11 , 5
=1
3
f (x)
Pr(8,5<x<14,5) = ?
x
0
8,5
11,5
14,5
Età (anni)
z
-1
0
+1
P(8,5<x<14,5) =P(-1<z<1)=P(z<1)–P(z<-1)=
= 0,8413-0,1587 =0,6826=68,26%
102
Esercizi di Statistica
b.P(x>10) = ?
P(x>10) = 1 - P(x<10)
z =
x − µ
σ
=
10 − 11 , 5
= − 0 ,5
3
f (x)
Pr(x>10) =1 –Pr(x<10) = ?
x
0
10 11,5
Età (anni)
z
-0,5
0
P(x>10)=1-P(x<10)=1–P(z<-0,5)=
=1–0,3085=0,6915=69,15%
103
Esercizi di Statistica
c. P(x<12) = ?
z =
x − µ
σ
=
12 − 11 , 5
0 ,5
=
= 0 ,17
3
3
f (x)
Pr(x<12) = ?
x
0
11,5 12
Età (anni)
z
0 +0,17
P(x<12)
= P(z<0,17) = 0,5675=56,75%
104
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.105 4.7.3
Se la distribuzione della capacità delle cavità craniche
di una certa popolazione è pressoché normale con
una media di 1400 cc e una deviazione standard di
125 cc. Trovare la probabilità che una persona scelta
a caso da questa popolazione abbia una capacità
cranica:
a. maggiore di 1450 cc;
b. minore di 1350 cc;
c. tra 1300 cc e 1500 cc.
105
Esercizi di Statistica
a. P(x>1450) = ?
P(x>1450) = 1 - P(x<1450)
z =
x − µ
σ
=
1450 − 1400
125
= 0 ,4
f (x)
Pr(x>1450) =1 –Pr(x<1450) = ?
x
0
1400
1450
Capacità cranica (cc)
z
0
0,4
P(x>1450)=1-P(x<1450)=1–P(z<0,4)=1–0,6554=
=0,3446=34,46%
106
Esercizi di Statistica
b.P(x<1350) = ?
z =
x − µ
σ
=
1350 − 1400
125
=
− 50
= − 0 ,4
125
f (x)
Pr(x<1350) = ?
x
0
1350
1400
Capacità cranica (cc)
z
-0,4
0
P(x<1350) = P(z<-0,4) = 0,3446 = 34,46%
107
Esercizi di Statistica
c. P(1300<x<1500) = ?
z1 =
z2 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
σ
=
1300 − 1400
= − 0 ,8
125
=
1500 − 1400
= 0 ,8
125
f (x)
Pr(1300<x<1500) = ?
x
0
1300
1400
1500
Capacità cranica (cc)
z
-0,8
0
+0,8
P(1300<x<1500)=P(-0,8<z<0,8)=
=P(z<0,8)–P(z<-0,8)=
=0,7881-0,2119=0,5762=57,6%
108
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.106 4.7.7
I pesi di femmine adulte giovani in una certa
popolazione si distribuiscono pressoché normalmente
con una media di 60 kg e una deviazione standard di
7 kg.
Trovare la probabilità che un soggetto scelto a caso
da questa popolazione abbia un peso:
a. maggiore di 70 kg;
b. minore di 45 kg;
c. fra 48 e 66 kg.
109
Esercizi di Statistica
a. P(x>70) = ?
P(x>70) = 1 - P(x<70)
z =
x − µ
σ
=
70 − 60
= 1 , 43
7
f (x)
Pr(x>70) =1 –Pr(x<70) = ?
x
0
60
70
Peso (kg)
z
0
1,43
P(x>70)=1-P(x<70) =1–P(z<1,43)=
=1–0,9236=
=0,0764=7,64%
110
Esercizi di Statistica
b.P(x<45) = ?
z =
x − µ
σ
=
45 − 60
− 15
= − 2 ,14
=
7
7
f (x)
Pr(x<45) = ?
x
0
45
60
Peso (kg)
z
-2,14
P(x<45)
0
= P(z<-2,14) = 0,0162 = 1,62%
111
Esercizi di Statistica
c. P(48<x<66) = ?
z1 =
z2 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
σ
=
48 − 60
= − 1 , 71
7
=
66 − 60
= 0 ,86
7
f (x)
Pr(48<x<66) = ?
x
0
48
60
66
Peso (kg)
z
-1,71
P(48<x<66)
0
+0,86
= P(-1,71<z<0,86) =
= P(z<0,86) – P(z<-1,71) =
= 0,8051-0,0436=0,7615=76,15%
112
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.108 21
I quozienti di intelligenza (QI) di individui affetti da un
certo disturbo mentale si distribuiscono pressoché
normalmente con una media di 60 e una deviazione
standard di 10.
a. Trovare la percentuale di individui con QI maggiore
di 75.
b. Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso
abbia un QI compreso tra 55 e 75?
c. Trovare P (50 ≤ X ≤ 70).
113
Esercizi di Statistica
a. P(x>75) = ?
P(x>75) = 1 - P(x<75)
z =
x − µ
σ
=
75 − 60
= 1, 5
10
f (x)
Pr(x>75) =1 –Pr(x<75) = ?
x
0
60
75
Q.I.
z
0
1,5
P(x>75)=1-P(x<75)=1–P(z<1,5)=
=1–0,9332=0,0668=6,68%
114
Esercizi di Statistica
b.P(55<x<75) = ?
z1 =
z2 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
σ
=
55 − 60
= − 0 ,5
10
=
75 − 60
= 1, 5
10
f (x)
Pr(55<x<75) = ?
x
0
55
60
75
Q.I.
z
-0,5
0
+1,5
P(55<x<75) =P(-0,5<z<1,5)=
=P(z<1,5)–P(z<-0,5)=
=0,9332-0,3085=0,6247=62,47%
115
Esercizi di Statistica
c. P(50<x<70) = ?
z1 =
z2 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
σ
=
50 − 60
= −1
10
=
70 − 60
=1
10
f (x)
Pr(50<x<70) = ?
x
0
50
60
70
Q.I.
z
-1
P(50<x<70)
0
+1
= P(-1<z<1) =
= P(z<1) – P(z<-1) =
= 0,8413-0,1587 =0,6826=68,26%
116
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO pag.108 23
Supponiamo che il punteggio ad un test attitudinale
degli studenti del CdL per infermieri sia
approssimativamente distribuito in modo normale con
una media di 500 punti e una varianza di 10000.
Uno studente sta per essere ammesso al test.
Qual è la probabilità che egli ottenga un punteggio
maggiore o uguale a 650?
E un punteggio compreso fra 350 e 675?
117
Esercizi di Statistica
a. P(x≥650) = ?
P(x≥650) = 1 - P(x<650)
σ = 10000 = 100
z =
x − µ
σ
=
650 − 500
= 1, 5
100
f (x)
Pr(x>650) =1 –Pr(x<650) = ?
x
0
500
650
Punteggio
z
0
1,5
P(x≥650) =1-P(x<650)=1–P(z<1,5)=1–0,9332=
= 0,0668 = 6,7%
118
Esercizi di Statistica
b.P(350<x<675) = ?
z1 =
x1 − µ
σ
x2 − µ
z2 =
σ
=
350 − 500
150
= −
= − 1, 5
100
100
=
675 − 500
175
=
= 1, 75
100
100
f (x)
Pr(350<x<675) = ?
x
0
350
500
675
Punteggio
z
-1,5
0
+1,75
P(350<x<675) =P(-1,5<z<1,75)=
=P(z<1,75)–P(z<-1,5)=
=0,9599-0,0668=0,8931=89,3%
119
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.2
Il glaucoma è una malattia dell’occhio caratterizzata
da un’elevata pressione intraoculare.
La distribuzione della pressione intraoculare nella
popolazione generale è approssimativamente normale
con media di 16 mm Hg e deviazione standard di 3
mm Hg.
a. Se il normale range della pressione intraoculare è
considerato essere compreso tra 12 e 20 mm Hg,
quale percentuale della popolazione generale
dovrebbe cadere entro questo range?
b. Qual è la probabilità di trovare un valore di
pressione maggiore di 22 mm Hg?
c. In una popolazione di 10000 individui quanti
soggetti ci si attende abbiano una pressione
intraoculare maggiore di 22 mm Hg?
120
Esercizi di Statistica
a. P(12<x<20) = ?
x −µ
12 − 16
= − 1 . 33
σ
3
x − µ 20 − 16
z2 =
=
= 1 . 33
σ
3
z =
1
1
=
1
P(12<x<20)
= P(-1.33<z<1.33) =
= P(z<1.33) – P(z<-1.33) =
= 0,9082-0,0918 =0,8164=81.64%
Entro questo range dovrebbe cadere l’ 81.64%
della popolazione generale.
b.P(x>22) = ?
z =
1
x −µ
1
σ
=
22 − 16
=2
3
P(x>22)=1-P(x<22)=1-P(z<2)=10.9772=0.0228=2.28%
c. Pressione intraoculare > 22 mm Hg.
Quanti individui su 10000?
2.28:100=x:10000
x=228
228 individui su 10000 dovrebbero avere una
pressione intraoculare > 22 mm Hg.
121
Esercizi di Statistica
ESERCIZIO 2.3
In un ampio gruppo di pazienti coronarici si trovò che i
livelli
di
colesterolo
serico
presentavano
approssimativamente una distribuzione normale.
Inoltre il 10% del gruppo aveva livelli di colesterolo al
di sotto di 182,3 mg/100ml, mentre il 5% aveva valori
superiori a 359 mg/100ml.
Quali sono la media e la deviazione standard della
distribuzione?
122
Esercizi di Statistica
Dati:
P(X<182.3)=10%=0.1000
P(X>359)=5%=0.0500
Sulle
tavole
della
distribuzione
normale
standardizzata ricaviamo i valori di z corrispondenti
ai valori di probabilità noti.
1) Z1= ?
P(X<182.3)=10%=0.1000
Z1=-1.28
2) Z2= ?
P(X>359)=5%=0.0500
P(X>359)=1-P(X<359)=1-5%=0.9500
Z2=1.645
Nella formula z =
− 1.28 =
x−µ
σ
sostituiamo i valori di z1 e di z2
182.3 − µ
σ
1.645 =
359 − µ
σ
123
Esercizi di Statistica
− 1.28 =
182.3 − µ
1.645 =
σ
Ricaviamo µ da entrambe le equazioni
-1.28σ = 182.3-µ
µ = 182.3+1.28σ
359 − µ
σ
1.645σ = 359-µ
µ = 359-1.645σ
Le uguagliamo e ricaviamo σ:
182.3 + 1.28σ = 359-1.645σ
1.28σ +1.645σ = 359-182.3
2.925σ = 176.7
σ =176.7/2.925 = 60.41
Possiamo ricavare µ:
µ =359-1.645σ =
=359-1.645*60.41=
=359-99.375=
=259.6255
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