IL CAMPO ELETTRICO

bellavita01.doc – Studente Adriano Bellavita – Classe 5B - Lezione 2 - 22/09/2000 ore 12.15-13.15 e 20/10/2000 ore
10.00-11.00 Docente prof. Vincenzo Calabrò
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Istituto Superiore "Bertrand Russell" di Roma
Lezione n°2
TITOLO: Introduzione allo studio delle proprietà del campo elettrico
e del campo gravitazionale
Il campo è un concetto, ovvero una grandezza fisica molto importante nello studio della
scienza. Storicamente, per gli scienziati e gli epistemologi, il “campo” viene inteso come
una categoria scientifica in grado di caratterizzare efficacemente alcune proprietà fisiche
essenziali possedute dallo spazio che sono in relazione ai fenomeni ad esso collegati. La
ragione di questa scelta è che esso permette di concretizzare l’idea di modello fisico e di
interpretare con successo una vasta categoria di fenomeni elettrici, gravitazionali,
magnetici e anche nucleari.
La fisica, come è noto, procede nella sua indagine attraverso l’uso massiccio di modelli,
ovvero di schematizzazioni della realtà fenomenica. Il punto materiale è, per esempio, un
classico esempio di modello molto adoperato in meccanica. Esso è infatti un oggetto
reale molto piccolo, cioè rappresenta una schematizzazione modellistica di un oggetto,
che serve per semplificare l’analisi fisica dei fenomeni associati al moto di un corpo. Lo
stesso vale per il campo. Ma che cos'è un campo?
A voler essere sottili, il “campo” è un ente che non esiste nella realtà: è anch’esso un
modello astratto, una costruzione concettuale ovvero uno schema pratico e funzionale
che noi adoperiamo per rendere più semplice ed efficace la descrizione della complessa
fenomenologia fisica.
In termini fisici, il “campo” si manifesta nella regione dello spazio che risente
dell’influenza prodotta da una certa proprietà fisica associata a un corpo (detta sorgente
di campo, come per esempio una carica elettrica o una massa) e in cui un’entità sensibile
a questa grandezza (detta oggetto di prova, come per esempio un’altra carica elettrica o
un’altra massa) subisce dei cambiamenti.
Il "campo", come modello matematico, è una funzione dello spazio tridimensionale, del
tipo CAMPO=f(x,y,z), ovvero una legge matematica che assegna ad ogni punto P dello
spazio un numero (in questo caso si chiama campo scalare) o un vettore (e in tal caso si
chiama campo vettoriale). Esempi di campo sono:
- il "campo elettrico" E generato da una carica puntiforme Q è un campo vettoriale.
Infatti, ad ogni punto P(x,y,z) dello spazio è assegnato un vettore E che ha come modulo
la quantità |E| = ( 1/4πε ) Q/r2, come direzione la retta punto-carica e verso quello caricapunto se Q>0, l'opposto se Q<0;
- il "campo gravitazionale" g generato da una massa puntiforme M è anch'esso un campo
vettoriale, perché ad ogni punto P(x,y,z) dello spazio è assegnato anche qui un vettore g
che ha come modulo |g| = G M/r2, come direzione la retta punto-massa e verso opposto a
quello massa-punto, visto che è sempre M>0.
La pressione atmosferica invece è un campo scalare. Infatti, ad ogni punto dello spazio è
assegnato soltanto un numero (pressione atmosferica) e non anche una direzione e un
verso come nei due casi precedenti.
Il concetto di “campo” deve le sue origini al fisico inglese Michael Faraday. Più di un
secolo prima, Newton, grazie alle sue osservazioni, si era reso conto che sia la mela, che
egli aveva visto cadere accidentalmente da un albero, sia la Luna, erano attratte dalla
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Terra. Individuò nella forza gravitazionale la causa del moto accelerato dei due corpi
osservati. Egli non era a conoscenza di “cosa” attraesse la mela e la Luna alla Terra, ne di
come si realizzasse tale attrazione, ma aveva la certezza che la legge della gravitazione
universale regolasse tali accadimenti.
Nel 1830 Faraday propose, lavorando nel laboratorio di fisica di Via Albermarle a
Londra, il concetto di “campo” come una categoria fisica in grado di aiutarlo a
comprendere meglio l’andamento delle interazioni magnetiche tra fili percorsi da
corrente elettrica (ma anche da magneti). Affermò che, ogni volta che si prendono in
mano due magneti, essi si attraggono (o si respingono a seconda della loro polarità), e,
per il fatto di esistere, formano un campo (grandezza fisica) nello spazio circostante.
Storicamente possiamo parlare di uno scontro tra due teorie contrapposte: entrambe
spiegavano lo stesso fenomeno in maniera diversa secondo i rispettivi modelli. Ci
riferiamo al modello newtoniano di “azione a distanza” e di quello faradaiano di
“campo”.
Alcune proprietà fisiche dello spazio dopo l'inserzione in esso della causa che produce il
campo (una carica, una massa, ecc...) cambiano. In poche parole se prima nello spazio
non è presente una carica o una massa allora le proprietà elettriche e gravitazionali dello
spazio sono assenti. Invece, se vi è presente una carica o una massa ciò vuol dire che lo
spazio ha acquistato delle proprietà elettriche o gravitazionali che prima non aveva. In
questi casi lo spazio rimane come una struttura 'soggiacente' ai campi e acquisisce nuove
proprietà (per esempio, nel caso del campo elettrico o gravitazionale, si noteranno effetti
diversi su una carica o una massa di prova a seconda di dove queste ultime vengono
posizionate). Queste proprietà non sono in realtà da attribuire a una qualche
modificazione intrinseca dello spazio ma sono le manifestazioni della presenza nello
spazio delle cause che producono un fatto del genere.
Matematizzazione del concetto di campo
Nella introduzione a questa lezione, si sono date informazioni generali inerenti alla
grandezza fisica “campo”. Adesso invece si proporrà il concetto fisico di campo più
dettagliato, al fine di matematizzare tale concetto e di renderlo utilizzabile dal punto di
vista applicativo.
Mettendo una carica nel vuoto, tutti i punti dello spazio acquistano una proprietà: in tutti
i punti si deve pensare che esista un campo elettrico e a ogni punto dello spazio si può
associare un vettore, chiamato campo elettrico. E’ importantissimo capire che il campo
preesiste alla forza: affinché un campo esista c’è bisogno di una sola carica, affinché una
forza esista c’è bisogno di due cariche. Se si pone una carica nel vuoto si genera un
campo. A questo punto, per generare una forza, si deve porre una seconda carica dove
esiste già un campo che è prodotto dalla prima.
Il campo elettrico si può misurare in due maniere diverse:
E = F/q
(1)
E = ( 1/4πε ) · ( Q/r2 )μ
(2)
E’ d’obbligo una spiegazione del simbolismo utilizzato. Nella formula (1), E è il vettore
campo elettrico, q è la carica di prova che subisce il campo, che può essere negativa o
positiva, e F è la forza elettrica che subisce la carica di prova. Nella formula (2), ε è la
costante dielettrica assoluta del mezzo, Q è la carica che genera il campo, r è la distanza
tra la carica Q e il punto considerato, e μ è un vettore unitario che determina l’aspetto
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vettoriale di E. Nella formula (1) si prende in considerazione la carica che subisce il
campo, nella formula (2) si prende in considerazione la carica che crea il campo. E’
necessario non confondere il diverso ruolo svolto dalle due cariche elettriche nei
confronti del campo. Essendo il campo il rapporto tra forza (che si misura in newton) e
carica elettrica (che si misura in coulomb), l’unità di misura è uguale a (N/C).
La (2) è autonoma perché dipende dai parametri che definiscono il campo, la (1) dipende
invece dai parametri che subiscono il campo. La (1) serve per calcolare il valore del
campo attraverso caratteristiche che non hanno niente a che vedere con chi produce il
campo ma solo da chi subisce il campo.
Il discorso fatto finora sul campo elettrico vale anche per il campo gravitazionale.
g = F/m
(3)
g = G· (M/r2)· μ
(4)
Il simbolismo utilizzato nelle formule (3) e (4) è molto simile, concettualmente, a quello
utilizzato nelle formule (1) e (2). Nella (3), g è il campo gravitazionale, F è la forza
gravitazionale che subisce la massa di prova, e m è la massa di prova. Nella (4), G è la
costante di gravitazione universale, M è la massa gravitazionale che genera il campo, r è
la distanza tra la massa gravitazionale e il punto P, e μ è lo stesso vettore unitario usato
nella (2) e serve a determinare l’aspetto vettoriale di g. Il campo gravitazionale si misura,
analogamente a quello elettrico, in newton/chilogrammi ( N/kg ).
E’ importantissimo notare che il campo gravitazionale terrestre ha lo stesso valore
numerico dell’accelerazione di gravità ( 9,8 N/kg).
Esiste tuttavia una sostanziale differenza tra l’accelerazione di gravità g e il campo
gravitazionale g: mentre l’accelerazione di gravità è un concetto cinematico, essendo la
variazione di velocità subita da un corpo che cade in un intervallo di tempo, il campo è
un concetto dinamico, essendo causa dell’interazione tra due corpi in cui uno subisce
l’altro viceversa .
Il campo elettrico, come il campo gravitazionale sono esempi di campo vettoriale, in cui
a ogni punto di una zona di spazio si associa uno e un solo vettore.
Le linee di campo
Le linee di campo, o linee di forza, esprimono la posizione, l’andamento e l’intensità del
vettore campo elettrico. Le linee di campo non esistono nella realtà: sono anch’esse una
rappresentazione visiva utilizzata per comprendere come varia il campo in una data
regione dello spazio.
In ogni punto del campo elettrico o gravitazionale è possibile disegnare una sola linea di
campo, ma convenzionalmente, si sceglie di disegnarne solo un numero limitato, in modo
che la loro densità sia proporzionale all’intensità del campo nelle diverse zone.
Le linee di campo del vettore E generato da una carica elettrica puntiforme sono
semirette. Esse escono dal punto dove è posta la carica Q, se questa è positiva, oppure
sono dirette verso Q se questa è negativa.
Se il campo elettrico è generato da due o più cariche elettriche puntiformi, le linee di
campo sono generalmente linee curve.
Il dipolo elettrico è il campo elettrico generato da due cariche elettriche puntiformi uguali
e opposte.
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Il flusso di un campo vettoriale
Prima di parlare del flusso di un campo vettoriale è necessario comprendere a pieno il
concetto di “vettore superficie”. Il “vettore superficie” è utilizzato per dare ad una
superficie aperta una direzione e un verso nello spazio. La direzione del vettore è sempre
perpendicolare alla superficie che si prende in considerazione, mentre il verso è
arbitrario. Se si parla di una superficie aperta, per convenzione si usa scegliere quello
uscente da tale superficie. Chiamiamo quindi n il vettore unitario che dà l’aspetto
vettoriale alla grandezza fisica superficie.
La portata o flusso di un campo vettoriale generico v è data dalla formula:
ΦS(v) = v ∙ n ∙ S = v ∙ S ∙ cosα
(5)
cioè il prodotto scalare tra il vettore superficie nS e la velocità v di un liquido nei pressi
di tale superficie mentre α è l’angolo formato dai vettori v e S.
E’ importante constatare che quest’ultima formula si riferisce alle proprietà di un campo
della velocità di un fluido, ma può essere utilizzata anche nell’ambito di altri campi
vettoriali.
Il flusso del vettore campo elettrico E attraverso una superficie S piana è dato dalla
formula:
ΦS(E) = E ∙ n ∙ S
(6)
Lo stesso discorso vale per il flusso del vettore campo gravitazionale:
ΦS(g) = g ∙ n ∙ S
(7)
Le unità di misura dei flussi dei due campi sono rispettivamente [(N/C) ∙ m ] e [(N/Kg) ∙
m2].
Il flusso di un campo elettrico raggiunge il valore numerico massimo quando l’angolo tra
il vettore superficie e il vettore campo è uguale a zero, essendo il coseno di un angolo
nullo uguale all’unità.
2
Il teorema di Gauss
Il concetto di campo si matematizza con la formula di Gauss (chiamata teorema di Gauss
o prima equazione di Maxwell). Tale formula è applicabile anche su corpi non
puntiformi, al contrario delle leggi di Newton e di Coulomb che sono validi solo in
condizioni di puntiformità: la formula di Gauss è quindi più generale.
Il campo può essere definito anche come la proprietà acquisita dallo spazio nel momento
in cui si inserisce in esso una carica gravitazionale (m), elettrica (q) o magnetica (i).
Inserendo nello spazio un’altra carica gravitazionale, elettrica o magnetica, questa subirà
un’interazione secondo questo schema:
Tabella I: Interazione tra due corpi mediata dal campo
Massa
Carica
Corrente
Campo
Massa
Carica
Corrente
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Per riuscire a dimostrare l’enunciato di Gauss, si deve considerare una carica elettrica
puntiforme q, posta al centro di una superficie per comodità sferica S, di area S e raggio
r. Si suddivide la superficie della sfera in tante piccole parti, tutte con la stessa piccola
area ΔS, e abbastanza piccole da poterle considerare piane. Il flusso ∆Φ attraverso ogni
piccola superficie sarà uguale a :
∆Φ(E) = E ∙ ∆S
(8)
Se si considera l’intera superficie della sfera, il flusso del campo elettrico E di tutta la
superficie sarà uguale alla somma algebrica dei flussi attraverso ciascuna piccola parte
della sfera:
ΦSC(E) = ∑E ∙ ∆S
(9)
La formula (9) può anche essere scritta in questo modo:
ΦSC(E) = E ∙ S
(10)
Sostituendo la formula (2) ad E e 4πr2 ad S si ottiene:
ΦSC (E) = ( 1/4πε ) · ( Q/r2 ) · 4πr2 = Q/ε
(11)
Il flusso attraverso la sfera è proporzionale alla carica presa in considerazione e non
dipende né dal raggio né dalla superficie della sfera.
Il teorema di Gauss per il campo elettrico è quindi dato dall’importantissima formula:
ΦSC(E) =ΣQ / ε
(12)
Essa afferma che il flusso del campo elettrico Φsc(E) attraverso una superficie chiusa è
uguale al rapporto tra la sommatoria delle cariche contenute all’interno della superficie
chiusa e la costante dielettrica assoluta del mezzo che riempie lo spazio.
In presenza di campi stazionari (cioè che non variano nel tempo) gravitazionali o elettrici
il flusso del vettore campo attraverso una superficie chiusa è diversa da zero e la
circuitazione di tale campo è uguale a zero (ΦSC(E) ≠ 0 e C(E) = 0).
Dato che il flusso di un qualsiasi campo elettrico prodotto da una o più cariche non avrà
mai valore numerico uguale a zero, tale campo si dice conservativo, cioè il lavoro
compiuto dalle forze del campo è indipendente dal cammino percorso.
Tabella II: Il concetto di campo viene matematizzato con il teorema di Gauss che è
strettamente collegato con la circuitazione del campo
CAMPO
TEOREMA DI
GAUSS
CIRCUITAZIONE
Nel caso gravitazionale si ottiene che
ΦSC(g) = - 4πGΣM
(13)
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Il campo elettrico generato da una distribuzione piana infinita di cariche
Affrontiamo ora il problema di calcolare il campo elettrico prodotto da infinite cariche in
forme diverse.
Consideriamo una superficie cilindrica R, disposta perpendicolarmente al piano di carica
e con le basi equidistanti da esso. Le aree di base del cilindro hanno area ΔS e sono
descritte dai vettori ΔS1 e ΔS2. I due vettori campo elettrico E1 ed E2 hanno lo stesso
modulo E.
Il teorema di Gauss afferma che:
ΦR(E) =ΔQ / ε
(14)
A questo punto possiamo calcolare tre contributi nella nostra superficie: i due flussi delle
basi, che vengono considerati in modulo (e quindi entrambi positivi) anche se uno dei
due flussi è positivo (quello uscente) e l’altro negativo (quello entrante), e il terzo che è il
flusso del piano di carica. Quest’ultimo ha un valore numerico pari a zero, perché il
vettore superficie è ortogonale al vettore campo elettrico ( il coseno di un angolo di 90
gradi è uguale a zero). Quindi, il flusso della superficie cilindrica presa in considerazione
sarà uguale alla somma dei moduli dei flussi delle basi. Dopo tali considerazioni, la
formula (14) può essere scritta anche in questo modo:
E1· ΔS1 + E2 · ΔS2 = ΔQ / ε
|E| = ΔQ / 2 ε ΔS
(15)
Introduciamo a questo punto il concetto di densità superficiale di carica elettrica: tale
quantità è numericamente uguale alla quantità di carica che si trova su un’area unitaria
della superficie considerata :
σ = ΔQ / ΔS
(16)
A questo punto, la formula (15) si può scrivere anche come:
|E| = σ / 2 ε
(17)
Da notare che nella formula (17) non compare la distanza da una delle due basi del
cilindro al piano di carica: tale distanza è irrilevante, perché il modulo del campo
elettrico è lo stesso in tutti i punti dello spazio in cui si trovano cariche elettriche.
Differenze tra il flusso del campo elettrico e del campo gravitazionale
Dopo aver fornito le informazioni necessarie per riuscire a comprendere a fondo il
concetto di campo, è utile uno schema riassuntivo contenente le principali differenze tra
il flusso del campo gravitazionale e del campo elettrico.
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Tabella III: principali differenze tra il flusso del campo gravitazionale e del
campo elettrico
Massa
Carica elettrica
ΦS(g) = g ∙ n ∙ S
[ΦS(g) ) ] = [(N/Kg) ∙ m2]
ΦS(E) = E ∙ n ∙ S
[ΦS(E) ] = [(N/C) ∙ m2]
ΦSC(g) =Σ ΔΦ1(g) = g ∙ Σ Δ ∙ Si =
g ∙ 4π r2 = - G ∙ m/ r2 ∙ 4π r2 =
- 4πGm
ΦSC(E) =Σ ΔΦ1(E) = E ∙ Σ Δ ∙ Si =
= E ∙ 4πε0 = ( 1/4πε ) · (q ∙ 4π r2/ r2) =
q/ ε
Le masse non possono avere valori negativi Le cariche elettriche possono avere anche
valori negativi
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