Insegnamento
Analisi Numerica
Livello e corso di studio
Corso di Laurea in Ingegneria Industriale (L9)
Settore scientifico
disciplinare (SSD)
MAT/08
Anno di corso
2 (il corso non è attivo per studenti iscritti nell’a.a. 2015/2016)
Numero totale di
crediti
9
Propedeuticità
L'esame prevede le propedeuticità di Analisi I e II.
Docente
Obiettivi formativi
Teresa Botti
Facoltà: Ingegneria
Nickname: botti.teresa
Email: [email protected] (da utilizzare solo per comunicazioni interne e amministrative)
Orario di ricevimento:
Consultare calendario videoconferenze sul sito d’Ateneo.
Scopo del corso è di presentare le metodologie di base per la soluzione di problemi numerici su calcolatori
digitali; tale conoscenza viene presentata con riferimento ai problemi più comuni provenienti dalle applicazioni
ingegneristiche.
I risultati d’apprendimento attesi sono i seguenti:
Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding)
Conoscenza e comprensione dei principali problemi affrontati nel calcolo numerico: la risoluzione di sistemi
lineari mediante metodi diretti o metodi iterativi; la risoluzione di equazioni non lineari; il calcolo di autovalori e
autovettori; l’approssimazione di funzioni; l’integrazione numerica; la risoluzione di equazioni differenziali
ordinarie.
Conoscenze e capacità di comprensione applicate (applying knowledge and understanding)
Conoscenza e capacità di applicare gli algoritmi numerici utilizzati nell’ambito del calcolo numerico per la
soluzione dei principali problemi matematici: sistemi lineari, equazioni non lineari, autovalori e autovettori;
interpolazione polinomiale; integrazione di funzioni; equazioni differenziali ordinarie. Il linguaggio di
programmazione utilizzato nel corso di Analisi Numerica è Octave/Matlab.
Autonomia di giudizio (making judgements)
Capacità di scegliere un metodo per la soluzione di un particolare problema fisico-matematico e di discutere le
caratteristiche della soluzione ottenuta.
Abilità comunicative (communication skills)
Capacità di utilizzare un linguaggio tecnico-scientifico coerente con le tematiche del calcolo numerico.
Capacità di apprendere (learning skills)
Capacità di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi fisico-matematico presenti in
applicazioni ingegneristiche.
Prerequisiti
Conoscenza dei fondamenti dell’Analisi Matematica e di Geometria. È consigliato avere le nozioni fondamentali
di Informatica.
Contenuti del corso
Modulo 1 – Introduzione al corso
La modellazione dei fenomeni fisici; definizione di analisi numerica e buona posizione.
1
Modulo 2 – Metodi numerici per equazioni non lineari
1. Metodi di bisezione, Newton, corde, secanti.
2. Metodo delle iterate per equazioni non lineari; teorema di punto fisso.
3. Condizioni di convergenza globali e locali.
4. Ordine dei metodi iterativi, analisi dell'ordine del metodo di Newton.
Modulo 3 – Elementi di programmazione nel linguaggio Octave/Matlab
Modulo 4 – Aritmetica in precisione finita e analisi degli errori
1. Rappresentazione dei numeri negli elaboratori.
2. Arrotondamento, precisione; proprietà delle operazioni aritmetiche.
3. Analisi dell'errore; numero di condizionamento.
Modulo 5 – Metodi numerici per l'algebra lineare
1. Richiami di algebra lineare.
2. Sistemi lineari, numero di condizionamento; sistemi triangolari.
3. Metodo di Gauss, fattorizzazione LU, LLT.
4. Problemi ai minimi quadrati: fattorizzazione QR.
5. Metodi iterativi per sistemi lineari: metodo di Jacobi e metodo di Gauss-Seidel; il metodo del Gradiente
Coniugato.
6. Teoremi di convergenza e velocità dei metodi iterativi, teorema di Gershgorin.
7. Il calcolo degli autovalori: il metodo delle potenze, il metodo QR.
Modulo 6 – Interpolazione polinomiale
1. Interpolazione ed approssimazione dei dati, formalizzazione del problema ed esempi.
2. Polinomio interpolante nelle forme di Lagrange e Newton, differenze divise.
3. Errore nelle formule di interpolazione, differenze divise e derivate.
4. Interpolazione con spline cubiche.
Modulo 7 – Integrazione numerica
1. Formule di quadratura di tipo interpolatorio: analisi e grado di precisione.
2. Formule di Newton-Cotes e formule composite a schema fisso.
3. Analisi dell'errore.
Modulo 8 – Cenni alla integrazione delle equazioni differenziali ordinarie
1. Introduzione ai metodi per problemi di Cauchy.
2. Errori formule per problemi di Cauchy (propagazione, locale, totale).
3. Formula dei trapezi, cenno ai più semplici metodi Runge-Kutta.
4. Introduzione alla Stiffness: regione di assoluta stabilità, definizione di A-stabilità.
All’interno di ciascun modulo sono mostrati comandi e esempi di algoritmi in Octave/Matlab riferiti agli
argomenti e ai problemi discussi.
Materiali di studio
Materiali didattici a cura del docente.
Testi consigliati: Giuseppe Rodriguez, “Algoritmi Numerici”, Pitagora Editrice.
Metodi didattici
Il corso prevede:
- lezioni preregistrate audio-video sulla base di slide disponibili in piattaforma;
- test di autovalutazione da svolgere al termine di ciascun modulo;
- lezioni in web-conference (realizzate durante il periodo didattico dell’a.a. 2014/2015);
- testi di appelli d’esame precedenti con relativo svolgimento;
- classi virtuali (all’interno del forum presente in piattaforma), dove sono proposti esempi e lo svolgimento di
esercizi sugli argomenti più significativi del corso, e dove gli studenti possono interagire con il docente.
Modalità di verifica
dell’apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta della durata di 90 minuti, contenente domande di teoria e/o esercizi sugli
argomenti del corso. Nello svolgimento della prova è ammesso l'uso di calcolatrice tascabile non programmabile;
non sono ammessi appunti o formulari di alcun tipo.
Criteri per
l’assegnazione
dell’elaborato finale
Non sono accettate richieste di assegnazione della tesi finale.
Programma esteso e materiale didattico di riferimento
Modulo 1 - Lezione 1
Equazioni non lineari. Metodo di bisezione. Definizione di Analisi Numerica e di buona posizione
· Materiali didattici a cura del docente
2
Modulo 2 - Lezione 1
Equazioni non lineari: i polinomi. Procedimenti iterativi: convergenza e criteri di arresto; il metodo di bisezione.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 2 - Lezione 2
Metodo di bisezione. Metodo della regula falsi. Metodo delle secanti. Metodo di Newton.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 2 – Lezione 3
Convergenza (e ordine di convergenza) del metodo di Newton. Metodo di iterazione funzionale. Convergenza del
metodo di iterazione funzionale.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 2 – Lezione 4
Convergenza (e ordine di convergenza) del metodo di iterazione funzionale e del metodo di Newton. Metodi
Quasi-Newton. Metodi ibridi.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 3 – Lezione 1
Elementi di programmazione in Octave/Matlab: costanti numeriche, variabili, operatori; tipi di dato; script e
funzioni; array; vettori.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 3 – Lezione 2
Elementi di programmazione in Octave/Matlab: matrici; istruzioni condizionali e istruzioni iterative.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 3 – Lezione 3
Elementi di programmazione in Octave/Matlab: programmazione di funzioni.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 4 – Lezione 1
Aritmetica dei calcolatori. Aritmetica fixed-point. Aritmetica floating-point, troncamento, arrotondamento.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 4 – Lezione 2
Aritmetica floating-point. Lo standard IEEE 754. Proprietà delle operazioni in aritmetica floating-point.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 4 – Lezione 3
Proprietà delle operazioni in aritmetica floating-point. Overflow.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 4 – Lezione 4
Errori di arrotondamento. Analisi degli errori. Numero di condizionamento. Somma di numeri floating-point e
somma compensata.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 1
Algebra lineare: spazi lineari; matrici. Definizione di algoritmo.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 2
Matrici: determinanti. Autovalori e autovettori. Spazi lineari: norma di un vettore; prodotto scalare. Norme
matriciali.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 3
Metodi diretti per sistemi lineari. Sistemi lineari “semplici”: matrice dei coefficienti diagonale, triangolare,
ortogonale.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 4
Metodi diretti per sistemi lineari: il metodo di Gauss.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 5
Metodi diretti per sistemi lineari: il metodo di Gauss; pivoting.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 6
Condizionamento di un sistema lineare. Il metodo di Gauss e il teorema di Wilkinson.
· Materiali didattici a cura del docente ·
Modulo 5 – Lezione 7
Metodi diretti per sistemi lineari: la fattorizzazione LU.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 8
Sistemi lineari e la fattorizzazione LU: sistemi ripetuti; calcolo dell’inversa; calcolo del determinante. Pivoting:
fattorizzazione PA=LU.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 9
Metodi diretti per sistemi lineari: qualità della soluzione; equilibratura; fattorizzazione LDU; fattorizzazione di
Cholesky.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 10
Metodi diretti per sistemi lineari: problemi ai minimi quadrati; fattorizzazione QR.
· Materiali didattici a cura del docente
3
Modulo 5 – Lezione 11
Fattorizzazione QR: ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 12
Fattorizzazione QR: matrici elementari di Householder; fattorizzazione QR di Householder; fattorizzazione QR di
Givens.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 13
Metodi iterativi per sistemi lineari (del primo ordine): metodo convergente; metodo consistente; metodo lineare e
stazionario del primo ordine; errore; condizioni necessarie e sufficienti alla convergenza globale di un metodo
stazionario; criterio di arresto.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 14
Metodi iterativi per sistemi lineari: metodo di Jacobi; metodo di Gauss-Seidel; convergenza.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 15
Metodi iterativi per sistemi lineari: metodi di rilassamento; precondizionamento; i metodi di Richardson
stazionari. Metodi iterativi per sistemi lineari e matrici sparse.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 16
Metodi iterativi per sistemi lineari: il metodo del gradiente.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 17
Metodi iterativi per sistemi lineari: il metodo del gradiente coniugato; i metodi di Krylov.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 18
Autovalori e autovettori. Localizzazione degli autovalori. Forme canoniche.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 19
Autovalori e autovettori: la forma canonica di Schur; matrici normali; sottospazi invarianti; autovalori e
autovettori di matrici reali; la forma di Schur reale; forma canonica SVD.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 20
Autovalori e autovettori: il metodo delle potenze.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 21
Autovalori e autovettori: calcolo della forma di Schur; l’algoritmo QR.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 5 – Lezione 22
Autovalori e autovettori: il condizionamento del calcolo degli autovalori.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 1
Interpolazione. Interpolazione polinomiale.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 2
Interpolazione polinomiale.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 3
Interpolazione polinomiale: polinomio interpolante di Lagrange.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 4
Interpolazione polinomiale: polinomio interpolante di Newton; le differenze divise.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 5
Interpolazione polinomiale: polinomio interpolante di Newton. Errore di interpolazione.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6– Lezione 6
Interpolazione polinomiale: distribuzione dei nodi; i nodi di Chebychev. Condizionamento della interpolazione.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 6 – Lezione 7
Interpolazione spline. Spline cubiche interpolatorie.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 1
Integrazione numerica. Formule di quadratura: la regola dei trapezi; la regola di Simpson.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 2
Formule di quadratura: grado di precisione. Formule di Newton-Cotes. Errore formule di quadratura.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 3
Errore formule di quadratura e convergenza. Formule composite: formula composita dei trapezi; formula
composita di Simpson; grado di precisione; implementazione.
4
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 4
Formule di quadratura gaussiane. Polinomi ortogonali.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 7 – Lezione 5
Integrazione numerica: esercizi.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 8 – Lezione 1
Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 8 – Lezione 2
Equazioni differenziali ordinarie: metodi alle differenza finite; metodo di Eulero-Cauchy (esplicito); metodo di
Eulero implicito; metodo del punto medio; metodo dei trapezi; metodo di Heun; formule di Runge-Kutta.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 8 – Lezione 3
Formule di Runge-Kutta. Analisi delle formule monostep: errori; metodo consistente; metodo zero-stabile;
convergenza.
· Materiali didattici a cura del docente
Modulo 8 – Lezione 4
Equazioni differenziali ordinarie: passo di integrazione; A-stabilità.
· Materiali didattici a cura del docente
5
