Principio di Landauer: legame tra Teoria
dell’Informazione e termodinamica
Seminario per l’esame di Struttura della Materia I
Lorenzo Stipani
Università di Pisa
13 Giugno 2013
ABSTRACT
Il Principio di Landauer [1] mostra un collegamento tra la Termodinamica e la Teoria dell’Informazione (TI). Già Jaynes [2] aveva fatto notare che la Meccanica Statistica (MS) e quindi le leggi
della termodinamica, adottando un punto di vista soggettivo, si potesse derivare dalla TI. La verifica
sperimentale del Principio è stata realizzata solo 51 anni dopo la sua formulazione [3].
1 La stima della massima entropia
Un’interpretazione soggettiva della statistica consiste nel considerare la probabilità di realizzazione
di un evento come espressione della nostra ignoranza sul fenomeno, quantificata dall’entropia d’informazione. Al contrario di quella oggettiva che
considera la probabilità come la reale frequenza
fenomenologica dell’evento, quella soggettiva non
necessita di assumere vero l’assioma del Teorema
Ergodico per cui una media sul tempo è uguale a
quella statistica fatta su un ensamble. In quest’ottica l’unico assunto ragionevole, non basato sulle
informazioni a disposizione, che può essere fatto è
quello di rendere massima l’entropia e ricavare la
distribuzione di probabilità.
L’entropia di Shannon è definita H(p1 , . . . , pn ) :=
P
−k ni=1 pi ln pi dove pi è la probabilità di realizzazione dell’i-esimo evento. La sua forma è determinata dalla richieste di essere positiva, ovviamente
H(1) = 0, e monotona crescente di n per equiprobabilità, continua e derivabile ed infine additiva
per eventi indipendenti. Si dimostra che questa
definizione di entropia è compatibile con quella
termodinamica S := KB ln W dove W é il numero
di modi di realizzazione del sistema. Ad esempio,
con la sola informazione della conservazione dell’energia media, è possibile ricavare la distribuzione
di Boltzmann della termodinamica dell’ensamble
canonico, proprio risolvendo il problema
2 Il diavoletto di Maxwell
Il diavoletto di Maxwell consiste in un esperimento ideale in cui due recipienti contenenti del gas
sono all’equilibrio termodinamico separati da una
membrana che li rende chiusi tra loro. Un diavoletto potrebbe, senza spendere energia, lasciar passare una particella più veloce, conoscendone quindi impulso e posizione ovvero avendo informazioni
sul moto, da una scatola all’altra e causare così
una differenza di temperatura tra i due recipienti. Questa situazione di non equilibrio può essere
usata per produrre lavoro in apparente violazione
del Secondo Principio della Termodinamica. Bisogna notare che il diavoletto dovrebbe cancellare la sua memoria dopo aver lasciato passare una
particella per immagazzinare l’informazione relativa alla successiva. Un simile diavoletto potrebbe
essere un calcolatore. C’è però da tener presente
che ad oggi i computer lavorano secondo una logica irreversibile, cioè conoscendo gli stati di output
è impossibile avere informazioni su quelli esatti di
input. Nel suo articolo originale Landauer studia
un semplice esempio di questo tipo di logica: una
buca di potenziale bistabile. L’operazione di cancellazione della memoria potrebbe essere un reset
a 1, ovvero indipendentemente dallo stato iniziale
0/1 l’output sarebbe sempre 1.
Inizialmente si ha una situazione simile ad un sistema a due livelli a temperatura diversa da zero,
come nell’orientamento degli spin degli elettroni in
max{H}
P
e−βEi
0
un campo magnetico. Per un array di N bit si
i pi = 1 ⇒ pi = P −βEi
e
P p E = hEi
avrebbero W = 2N combinazioni possibili e, asi
i i i
segnando ovviamente equiprobabilità ad ogni posdove β = 1/KB T quindi dal Primo Principio della sibile array, si ha dall’entropia di Shannon, o da
Termodinamica si identifica k = KB . Questo risul- quella termodinamica:
tato indica che la MS è una semplice applicazione
delle leggi della TI, e quindi nell’ottica soggettiva
2N
X
1
1
H = −k
ln N = N k ln 2
(1)
utilizzando le conoscenze fisiche solo per enumerare
N
2
2
i=1
gli stati possibili del sistema, un semplice esempio
di inferenza statistica.
S = KB ln 2N = N KB ln 2
(2)
quindi le due espressioni, per quanto detto nella
sec.1, sono uguali nell’ambito della termodinamica in quanto k = KB . Nello stato finale di reset
si ha ovviamente un’unica configurazione e quindi
H = S = 0 da cui
∆S = N KB ln 2
(3)
e questo è l’enunciato del Principio di Landauer.
Trattandosi di sistemi fisici a quest’aumento di
entropia è ovviamente associata una dissipazione
di energia ∆E = N KB T ln 2, che rappresenta un
limite inferiore.
3 La verifica sperimentale
La difficoltà di realizzare un esperimento per verificare il P. di Landauer consiste nel manipolare
sistemi di singola particella in regimi di basse dissipazioni. Si è trattato il problema utilizzando una
goccia di silicio del diametro di 2 µm strizzato da
una trappola ottica sul quale con un fascio laser
(λ = 1064 nm) si è creato il potenziale bistabile, in
modo che i due minimi fossero a distanza 1.45 µm.
A questo punto per la transizione 0 → 1 si è abbassata la barriera tra le due buche da 8KT a 2.2KT
in 1 s τcycle , in modo da non produrre effetti dissipativi, e poi con un attrito viscoso si è alzata la
buca dello 0 per portare la particella in quella 1 nel
tempo τcycle . A conclusione del reset si è ristabilita
la forma del potenziale. Nel caso della transizione
1 → 1 ovviamente la particella è rimasta nella buca
ma dopo la prima fase come nella situazione precedente si è dovuto reinizializzare il sistema, ristabilendo la fase iniziale della f.d’o. Dall’analisi del
valor medio della posizione in funzione del tempo si
è potuto calcolare il calore dissipato dall’integrale:
Q=−
Z τcycle
ẋ(t)
0
∂U (x, t)
dt
∂x
(4)
Dai dati sperimentali si è osservato una saturazione al 95% di successo per l’operazione di reset a 1,
e come aspettato dalle leggi della termodinamica
il valore indicato da Landauer ∆S = N KB T ln 2 è
raggiunto asintoticamente per τcycle → ∞.
Riferimenti bibliografici
[1] Landauer R. Irreversibility and heat generation in the computing process. IBM Journal of ReD, 5,
1961.
[2] Jaynes E. Information theory and statistical mechanics. The Physical Review, 106, 4, 1957.
[3] Bérut A. et al.
Experimental verification of landauer principle linking information and
thermodynamics. Nature, 483, 2012.
