Approfondimenti di matematica
Approfondimenti di matematica
Sezione aurea:
http://www.liceoberchet.it/ricerche/sezioneaurea/sez1.htm
DEFINIZIONE GEOMETRICA
A
C
B
Dato un segmento AB si dice sua sezione aurea il segmento AC, con C compreso tra A e B, medio
proporzionale fra il segmento AB e il segmento BC.
AB : AC = AC : BC
Se AB = l , la sua sezione aurea x è soluzione positiva dell’equazione: x 2 = l (l − x) , cioè
x=
5 −1
l ≈ 0,618 l
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RETTANGOLO AUREO
Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla sezione aurea. Il suo nome è
rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo aureo si disegni un quadrato di lato a i cui vertici
chiameremo, a partire dal vertice in alto a sinistra e procedendo in senso orario, AEFD. Quindi dividere
il segmento AE in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e puntando in A'
disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento del segmento AE in B. Con una squadra
disegnare il segmento BC perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel quale
Ab è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:
AE:AB=EB:AE
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al
vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto
nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea.
Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD. E da questo risulta che:
AC:BC=BD:DC e dunque: AC:AD=AD:DC
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al
vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato
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obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura
precedente.
PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce
due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le
proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due
diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte
in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale
e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che
stanno nel rapporto aureo.
SPIRALE AUREA
Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un
quadrato con lato uguale al lato minore del
rettangolo, il rettangolo differenza sarà anch’esso un
rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno
cinque volte al fine di avere un effetto visivo
adeguato. Si punti la punta del compasso sul vertice
del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo e
si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che
formano l'angolo scelto. Si ripete l'operazione per
ogni quadrato disegnato in modo da creare una linea
continua.
I problemi classici della geometria:
http://www.istitutocalvino.it/studenti/siti/mathgreca/introd.htm
I tre problemi più famosi che i greci hanno risolto sono:
I greci, pur essendo riusciti a risolvere questi problemi, non furono soddisfatti del loro lavoro. Infatti
volevano risolverli usando solamente una riga non graduata e un compasso, mentre ci riuscirono solo
usando semplici linee curve.
Questi studi comunque li condussero alla scoperta di molte altre nozioni matematiche.
La dimostrazione di queste soluzioni non viene proposta per la complessità degli argomenti.
IPPOCRATE DI CHIO
Ippocrate nacque probabilmente nel 460 a.c. e morì nel 380
a.c. Esercitò come prima attività quella del mercante poi, in
seguito al trasferimento ad Atene nel 430, si dedicò allo
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studio della geometria e divenne famoso per importanti contributi, tra i quali la quadratura delle lunule e
la produzione del primo libro riguardante la geometria.
Ippocrate inoltre costituì una propria raccolta che anticipò di un secolo gli elementi presi in
considerazione da Euclide. Questo manuale venne perduto, nonostante fosse conosciuto da Aristotele.
Ippocrate scrisse in questo testo il problema sulla quadratura delle lunule che deriva dalla quadratura del
cerchio.
Le lunule sono regioni piane delimitate da archi appartenenti a due differenti circonferenze.
Ippocrate probabilmente pensava che la quadratura delle lunule avrebbe portato alla soluzione del
problema alla quadratura dello stesso cerchio.
Ippocrate dapprima ha dimostrato che, in un triangolo rettangolo con dei semicerchi sui cateti e inscritto
in un altro semicerchio, le lunule formate dal semicerchio che inscrive il triangolo e da quelli costruiti
sui cateti hanno area uguale e che, quindi, ognuna risulta di area uguale a quella di un triangolo che sia
la metà di quello dato. Visto che ogni triangolo può essere “quadrato”, anche queste lunule possono
essere “quadrate”.
ALTRI PROBLEMI DI QUADRATURA
Ippocrate proseguì prendendo in considerazione un trapezio inscritto in una semicirconferenza in modo
tale che la base minore e i lati obliqui siano congruenti. Inoltre considerò anche un’altra
semicirconferenza il cui diametro è congruente ai tre lati uguali del trapezio.
Cominciò dimostrando che l’area dei semicerchi costruiti sui lati congruenti e dell’altra
semicirconferenza sono uguali all’area del semicerchio che inscrive il trapezio.
Successivamente dimostrò che i segmenti circolari costruiti sui tre lati congruenti sono congruenti tra di
loro.
Quindi le lunule che si sono formate più la semicirconferenza a parte sono uguali all’ area del trapezio.
Tuttavia non riuscì a quadrare una delle lunule che avrebbe portato alla quadratura del cerchio completo
perché erano lunule di tipo diverso da quelle precedenti.
Per questo Ippocrate non riuscì a risolvere il problema della quadratura del cerchio.
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
Questo è uno tra i più celebri problemi non risolti della matematica. Sono state date numerosi soluzioni
ma alcune di queste del tutto ridicole.
Il problema è il seguente:
costruire un quadrato di area equivalente a un cerchio dato con l’aiuto di riga e compasso.
Il problema sembra all’apparenza semplicissimo. Questo problema fa parte con la trisezione dell’angolo
e la duplicazione del cubo dei tre problemi classici risalenti all’antica Grecia. Nessuno riuscì a costruire
questo quadrato pur conoscendone benissimo l’esistenza.
Ora si sa che il problema è impossibile da risolvere, almeno con riga e compasso.
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Se si considera un cerchio di raggio r, quindi con area r2∏. Quindi il lato del raggio dipende da r e ∏.
∏ è un numero particolarissimo poiché è irrazionale e non è il risultato di nessuna equazione algebrica
per cui è impossibile disegnare un quadrato di tali dimensioni. Pertanto le dimensioni del quadrato sono
approssimate e non si possono rappresentare solamente con riga e compasso.
Per dimostrare l’impossibilità della quadratura del cerchio si dovette attendere il 1882 quando F.
Lindemann dimostrò la trascendenza di ∏, ovvero che tale numero non è soluzione di una equazione
algebrica a coefficienti razionali.
LA TRISEZIONE DELL'ANGOLO
Il problema della trisezione dell'angolo, come è noto consiste, dato un angolo nel costruirne un altro che
sia la terza parte di quello dato.
I greci, partendo da misure di angoli assegnati, tentarono di costruirne altri che fossero stati la terza
parte.
Questo procedimento era impossibile facendo uso solo della riga e del compasso.
IPPIA E LA SUA CURVA
Ippia è vissuto nel V secolo a.C. e per risolvere il problema della trisezione
dell'angolo ideò la curva che porta il suo nome e che viene così costruita:
nel quadrato ABCD si trasli uniformemente la retta AC verso la retta CD,
contemporaneamente si faccia ruotare la retta AD intorno a D in modo che quando
AD coincide con DC, pure AD coincida con DC.
I punti della curva sono i punti di intersezione delle due rette citate.
Questo problema, non può essere risolto in modo classico cioè con riga e compasso, come cercavano di
fare gli antichi, tuttavia è possibile risolverlo facendo uso di altre curve, come questa curva di Ippia.
Con questo metodo non è solo possibile dividere l'angolo in tre parti ma in un numero qualsiasi di parti
uguali
LA DUPLICAZIONE DEL CUBO
Secondo una leggenda,il re Minosse aveva costruito una tomba di forma cubica per il figlio Glauco, ma
quando venne a sapere che essa misurava solo 100 piedi in ciascuna direzione, pensò che era troppo
piccola.
Egli disse “deve essere raddoppiata nella sua dimensione (in volume)” ed ordinò ai costruttori di
obbedire in fretta al suo ordine raddoppiando i lati della tomba.
I matematici si resero conto che era stato commesso un errore, poiché in quel modo la tomba sarebbe
diventata otto volte maggiore in volume rispetto a quella progettata.
Si misero allora alla ricerca del procedimento per ottenere un volume doppio, ma questo problema si
rivelò tutt’atro che semplice.
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Questo problema venne ricondotto da Ippocrate al problema della costruzione di due segmenti
rettilinei. La scoperta di Ippocrate, tuttavia non risolse il problema della duplicazione del cubo.
Essa serve unicamente per trasformare il problema originale in uno di differente enunciato ma di uguale
difficoltà.
In effetti, nel cercare di risolvere questo problema i greci fecero ricorso all’uso di altre curve o di altri
strumenti diversi dalla riga e dal compasso, trovando diverse soluzioni del problema, la più famosa è la
seguente: la soluzione di Menecmo.
Si ritiene che Menecmo abbia scoperto la parabola e l’iperbole equilatera e che ne fece uso nella
soluzione del problema della duplicazione del cubo.
Numeri irrazionali:
http://www.pacinottiroma.it/STUDIOASSISTITO/MATEMATICA4ALT/numeri%20irrazionali/numeri
%20irrazionali.html
In matematica, un numero irrazionale è ogni numero reale (che esprime una misura) che non è un
numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione a / b con a e b interi, con b diverso da
zero. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espressione decimale non termina mai e
non forma una sequenza periodica(
Alcuni numeri irrazionali sono numeri algebrici come
radice cubica di 5); altri sono numeri trascendenti come
Storia della teoria dei numeri irrazionali
).
(la radice quadrata di due) e
ed e.
(la
La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a Pitagora, o più precisamente al
pitagorico Ippaso di Metaponto, che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni
geometriche) dell'irrazionalità della radice quadrata di 2. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri
irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione. Tuttavia Pitagora
credeva nell'incommensurabilità dei numeri (ogni grandezza poteva essere misurata con unità di
misura prescelte e con i suoi sottomultipli tramite un numero razionale), e non poteva accettare
l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza, ma le sue credenze
non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire
annegato.
Irrazionalità di certi logaritmi
Forse i numeri che più facilmente si dimostra che siano irrazionali sono i logaritmi come log23.
L'argomentazione tramite dimostrazione per assurdo è la seguente:
•
•
•
•
Supponiamo che log23 sia razionale. Allora esistono due interi positivi m e n tali che log23 =
m/n.
Di conseguenza 2m/n = 3.
Allora 2m = 3n.
Ma 2m è pari (perché almeno uno dei suoi fattori primi è 2) e 3n è dispari (perché tutti i suoi
fattori sono uguali a 3), pertanto ciò è impossibile.
Irrazionalità della radice quadrata di 2
Una dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di 2 è la seguente, che procede per assurdo.
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La proposizione è provata assumendo l'opposto e mostrando che è falso, il che implica che la
proposizione iniziale debba essere vera.
•
Assumiamo che
che a / b =
•
•
•
•
•
•
•
•
sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi a e b tali
.
Allora
si può scrivere come una frazione irriducibile a / b tale che a e b sono interi primi tra
loro e (a / b)2 = 2.
Segue che a2 / b2 = 2 ed a2 = 2b2.
Dunque a2 è pari perché è uguale a 2b2 che è ovviamente pari.
Segue che anche a deve essere pari. (Infatti numeri dispari hanno quadrati dispari e numeri pari
hanno quadrati pari.)
Poiché a è pari, esiste un intero k che soddisfa: a = 2k.
Sostituendo otteniamo: 2b2 = (2k)2, cioè b2 = 2k2.
Poiché 2k2 è pari segue che anche b2 è pari e quindi anche b è pari.
In base alla (5) e la (8) a e b sono entrambi pari, che contraddice il fatto che a / b sia irriducibile
come supposto nella (2).
Poiché abbiamo ottenuto una contraddizione con l'assunzione che
sia un numero razionale,
essa deve essere falsa. Dunque abbiamo dimostrato l'opposto, cioè che
è irrazionale. Questa
dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque numero
naturale è un numero naturale o è irrazionale.
Come capire se un numero è irrazionale
Come è stato detto all’inizio i numeri irrazionali sono quei numeri reali la cui espressione decimale non
termina mai e non forma un periodo. A volte però possiamo confonderci e scambiare i numeri periodici
per numeri irrazionali. Onde evitare ciò cerchiamo di trasformare un numero che ci viene dato in
frazione, in modo da capire se questo e realmente un numero irrazionale:
Seguendo le istruzioni della spiegazione illustrata proviamo a calcolare:
3,7162162162162162162…..
•
•
per iniziare scriviamo il numero in forma periodica se è possibile (
)
ora sottraiamo l’intero e antiperiodo all’intero numero (37162-37=37125)
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Approfondimenti di matematica
•
ora mettiamo al denominatore tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono
•
quelle dell’antiperiodo
ora cerchiamo di semplificare per ridurre la frazione il più possibile (per una più veloce
semplificazione si può usare il teorema di Euclide)
Essendo riusciti a scrivere il numero in frazione siamo sicuri che 3,7162162162162…. NON E’
IRRAZIONALE.
La spirale di Teodoro
Una costruzione classica riguardante i numeri irrazionali e nota come Spirale di Teodoro permette di
costruire geometricamente le radici quadrate dei numeri interi a partire da un triangolo rettangolo
isoscele avente cateti di lunghezza unitaria.
Consideriamo il triangolo OAB di figura in cui OA=1:
Costruzione di radice di 2
Per il teorema di Pitagora si ha allora che OB ha lunghezza pari a radice quadrata di 2. Se ora, come in
figura, si costruisce un nuovo triangolo rettangolo, retto in B, con cateti OB e BC, di cui l'ultimo di
lunghezza unitaria;
I solidi platonici:
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Approfondimenti di matematica
www2.dm.unito.it/paginepersonali/ferrarese/.../4.../Solidi%20platonici.pdf
Un poligono avente i lati e gli angoli uguali è detto poligono regolare. Ad esempio sono poligoni
regolari il triangolo equilatero e il quadrato. Chiamiamo, invece, poliedro regolare un solido
convesso, racchiuso da facce regolari tutte tra loro uguali (ovvero da poligoni regolari), dove per
poliedro convesso intendiamo un poliedro tale che ogni coppia di suoi punti interni individui un
segmento interamente costituito da suoi punti interni.
I cinque poliedri regolari convessi sono chiamati anche solidi platonici (o solidi di Platone). Essi
sono: il tetraedro, il cubo (o esaedro), l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro.
Platone nel suo dialogo”Timeo” associa il tetraedro, l'ottaedro, il cubo, e l'icosaedro rispettivamente
a quelli che erano allora ritenuti i quattro elementi fondamentali: fuoco,
aria, terra e acqua.
Il dodecaedro, non realizzabile unendo opportunamente triangoli rettangoli
(come invece avviene per i poliedri citati, si veda la relativa scheda di
approfondimento), veniva invece associato all’immagine del cosmo intero,
realizzando la cosiddetta quintessenza. Questa identificazione suggerisce
un'immagine di perfezione che indubbiamente nasce anche dal fatto che il
dodecaedro, in volume, approssima più degli altri poliedri regolari la sfera.
Nel "Fedone" Socrate, poco prima di bere la cicuta dice: "L'Universo e la
Terra hanno la forma di una palla con dodici facce colorate, di forma
pentagonale e i corpi celesti sono sospesi all'interno".
Per i poliedri esiste un vincolo: la
somma degli angoli che delimitano un
angoloide non può raggiungere 360°,
dove per angoloide si intende la parte di
spazio racchiusa da tre o più piani che
si intersecano lungo spigoli concorrenti
in un vertice. Per scoprire l'origine di
questo
vincolo
possiamo
usare
un'apposita apparecchiatura: una tavoletta di legno, cui sono fissati, in tre
punti non allineati, gli estremi di tre elastici. Legando insieme gli altri tre estremi degli elastici, si trova
il punto V (vedi figura sopra). Sollevando V si può realizzare una piramide con la base fissa e gli
angoloidi variabili.
Ora, man mano che ci allontaniamo dalla base, l'angoloide della piramide in V diminuisce la sua
ampiezza così come la somma dei singoli angoli formati dagli spigoli che concorrono in V. Quando V
sta sul piano di base la somma degli angoli vale esattamente 360° ma non esistono più né l’angoloide né
la piramide, e V non è più il vertice di una figura solida.
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Approfondimenti di matematica
Ora siamo in grado di dimostrare che i
cinque solidi platonici sono i soli poliedri
regolari esistenti. Visto che il poliedro deve
essere costruito con facce regolari prendiamo
in esame i vari poligoni regolari ed
osserviamo che cosa accade. Partiamo dal
triangolo equilatero: ha gli angoli di 60° gradi. Possiamo
accostare 3 triangoli : 3 x 60° = 180° < 360° e costruiamo
così un angoloide. Poiché è possibile chiuderlo con un altro
triangolo uguale ai precedenti, si può costruire un tetraedro;
il tetraedro (da tetra =quattro) infatti è formato in tutto da 4
facce triangolari.
Possiamo accostare 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice: si
avrà 4 x 60° = 240° < 360°. Si può costruire l'angoloide saldando tra
loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8
triangoli equilateri, si ottiene un solido che ha facce ed angoloidi uguali tra loro ed è
quindi un poliedro regolare: un ottaedro.
Possiamo accostare 5 triangoli : 5 x 60° =
300° <360°. Si può costruire l'angoloide
saldando tra loro due lati estremi. Si può
chiudere il poliedro utilizzando in tutto 20
triangoli equilateri uguali: si avrà un icosaedro (da icos = 20).
Accostando invece 6 triangoli equilateri non è più soddisfatta la
condizione che la somma degli angoli deve essere <360°: le
facce si " schiacciano " su un piano. Dunque non possono
esistere altri poliedri regolari con facce triangolari oltre i tre già
trovati. Possiamo ora accostare dei quadrati:con 3 x 90°= 270° <
360°, si ottiene un angoloide che permette poi di costruire un
cubo o esaedro. Già quattro quadrati non vanno più bene, perché
la somma dei quattro angoli che concorrono in un vertice è
uguale a 360°: si rimane così nel piano. Possiamo usare dei
pentagoni: la somma degli angoli interni di un pentagono
regolare è data da (n-2)x180° con n = 5, dunque ogni angolo interno misura 108°, così tre angoli
misurano : 3 x 108° = 324°<360°. Si ottiene un dodecaedro, ma con quattro pentagoni la somma supera
360°. Con tre esagoni la situazione si presenta in questo modo: ogni angolo interno misura 120°.
Accostando tre esagoni si realizza un angolo di 360° e questo non ci permette di uscire dal piano. Non è
possibile nessuna altra costruzione, con nessun altro poligono regolare. Infatti gli angoli interni dei
poligoni regolari con più di 6 lati risulteranno maggiori di 120°. Poiché per costruire un angoloide
occorrono almeno tre di tali poligoni, la somma degli angoli che delimitano l'angoloide sarebbe
maggiore di 360° , mentre la condizione per poter costruire un solido (convesso) è che tale somma sia
minore di 360°. In tutto quindi non si possono avere che cinque poliedri regolari.
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