FORZE MAGNETICHE SU CORRENTI ELETTRICHE

Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
FORZE MAGNETICHE SU CORRENTI ELETTRICHE
D.1. Una spira rettangolare di dimensioni a  10 cm e
b  5 cm, percorsa da una corrente Is  5 A, è collocata in
prossimità di un lungo filo percorso dalla corrente If  100 A,
come indicato nel disegno. La risultante delle forze agenti
sulla spira vale circa:
(A) 0.25 mN
(B) 0.11 mN
(C) 2.6 mN
(D) 3.14 mN
(E) 0.14 mN
a = 10 cm
Is = 5 A
d = 4 cm
b = 5 cm
If = 100 A
SOLUZIONE. Il lato lungo della spira più vicino al filo è attirato verso questo da una forza:
 I
f   aI s Bf (d )  aI s 0 f
2 d
mentre il lato della spira distante dal filo è respinto dalla forza:
0 I f
f   aI s Bf (d  b)  aI s
2 (d  b)
Sui due lati normali al filo agiscono due forze uguali e contrarie dirette parallelamente al filo che
tendono a deformare la spira e hanno risultante nulla. La risultante delle forze agenti sulla spira è
perciò diretta verso il filo e vale
 I 1
1 
ab
10  5
f  f   f   aI s 0 f  
 2(10 7 ) 100  5 
N  0.139 mN
  2  km  I f I s
2  d d  b 
d ( d  b)
49
D.2. Un avvolgimento circolare di raggio R = 7 cm è costituito da N = 300 spire percorse da una
corrente Is =15 A. L’asse dell’avvolgimento, orientato nella direzione che vede la corrente circolare
in senso antiorario, è parallelo al versore i. L’avvolgimento si trova in un campo magnetico
B = 0.3i0.4j+0.5k (valori delle componenti in tesla). L’avvolgimento è sottoposto a una coppia
di circa
(A) 31.4 Nm
(B) 40.4 Nm
(C) 34.6 Nm
(D) 44.4 Nm
(E) ______Nm
SOLUZIONE. L’avvolgimento nella sua posizione iniziale e il sistema di
riferimento cartesiano sono rappresentati in figura. Il momento magnetico
associato all’avvolgimento di spire è mmag  NIS n , dove S è l’area di ogni
spira e n un versore normale all’avvolgimento orientato in accordo con il
verso della corrente; in questo caso è mmag = NIS i . Il momento agente sulla
spira è M  m mag  B e vale
i
M  NIS
j
0
x
Si
z
y
I
k
0   NIS  0.5 j  NIS  0.4 k
 0.3  0.4 0.5
il cui modulo è
M  NIS 0.52  0.42  300 15    (0.07)2 0.52  0.42 Nm  44.36 N  m
D.3. Con riferimento al problema precedente, se l’avvolgimento è libero di orientarsi nel campo B,
passando dall’orientamento iniziale a quello di equilibrio l’energia potenziale dell’avvolgimento
diminuisce di circa
(A) 28.20 J
(B) 14.35 J
(C) 83.62 J
(D) 21.27 J
(E) 69.76 J
1
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
SOLUZIONE. Le forze magnetiche orientano l’avvolgimento dalla posizione iniziale, nella quale
il momento magnetico mmag della spira forma l’angolo i con il campo B, alla posizione di
equilibrio nella quale mmag e B sono paralleli (l’angolo f tra le loro direzioni è nullo), il flusso di B
attraverso la spira è massimo e l’energia potenziale della spira minima. Poiché l’energia potenziale
è data dal prodotto scalare cambiato di segno dei vettori mmag e B, le energie potenziali iniziali e
finali nel nostro caso sono:
EP i  m mag  B  mx Bx   N  I  S  Bx e EP f  m mag  B  mmag  B   N  I  S  B
La diminuzione di energia potenziale è quindi
EPi  EPf   NIS ( Bx  B)  300 15   (0.07)2 (0.3  0.32  0.42  0.52 )  69.76 J
D.4. La spira triangolare della figura AOB giace nel piano xy ed è percorsa da una corrente I  30 A
nel verso indicato mentre è immersa in un campo di
A(0, 0.3)
y
induzione magnetica B  10i (T). Se |OA|  0.3 m e
I

|OB|  0.4 m, la spira è sottoposta a una coppia Mj con
M pari a
B
x
(A) 90 Nm
(B) 18 Nm
(C) 36 Nm
(D) 36 Nm
(E) 180 Nm
O(0, 0)
B(0.4, 0)
SOLUZIONE. La forza sul lato OA ha modulo |OA|IB  (0.3·30·10) N  90 N ed è diretta nel
verso entrante nel foglio. La forza su AB vale in
A(0, 0.3)
modulo |AB|IBsin  |OA|IB  90 N ed esce dal piano
y
del foglio. La forza su BO è nulla perché campo e
I

corrente sono paralleli. Si noti che la risultante delle
B
x forze agenti su una spira chiusa immersa in un campo
magnetico uniforme è sempre nulla. Le forze agenti su
OA e AB si possono pensare applicate ai punti medi di
O(0, 0)
B(0.4, 0)
questi lati, i quali sono distanti |OB|/2  0.2 m. Perciò
il momento della coppia vale in modulo M = (90·0.2) Nm  18 Nm.
In modo più diretto, applicando la regola della mano destra, il momento magnetico Mm della spira è
| | | |
e il vettore momento della coppia è M=
|
||
|
(
)
|
||
|
D.5. Una spira rettangolare è posta su un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale. Un lato
orizzontale della spira è fisso e ha lunghezza l 50 cm; l’altro
z
lato orizzontale è costituito da una barra conduttrice, di massa
B
m  0.1 kg, che può scivolare senza attriti sul piano. Se il circuito
I
è immerso in un campo magnetico B  (0.8T)k , diretto come la
y
verticale discendente, per quale valore della corrente I nella spira
l
la barra mobile resterà ferma?
30°
(A) 1.4 A
(B) 3.2 A
(C) 4.8 A
x
(D) 9.8 A
(E) 31.4 A
SOLUZIONE. La forza magnetica fm sulla barra è diretta come l’asse y e vale in modulo fm  IlB ;
la sua componente lungo il piano inclinato, fm cos30°, deve essere uguale alla componente della
forza di gravità lungo il piano inclinato:
2
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
m  g  sin 30  I  l  B  cos30  I 
mg
0.1  9.8 1
tan30 

A  1.41 A
lB
0.5  0.8 3
D.6. Il modulo del campo magnetico terrestre all’equatore vale circa B  50 T e il campo è diretto
verso il polo Nord geografico, che corrisponde al polo Sud magnetico. Su un tratto di filo lungo
l = 2 m, percorso da una corrente I = 40 A diretta da Est a Ovest, il campo magnetico esercita una
forza di:
(A) 4 mN in giù
(B) 0 N
(C) 2 mN in su
(D) 4 N verso Est (E) 4 mN verso Nord
SOLUZIONE. Le linee di forza del campo
magnetico terrestre escono dal polo sud
geografico (corrispondente al polo nord
magnetico) ed entrano nel polo nord geografico
(corrispondente al polo sud magnetico). Le figure
rappresentano la situazione; l’immagine a destra
rappresenta il piano orizzontale dell’osservatore.
Poiché l << RT (con RT = raggio terrestre), il filo
appartiene a tale piano. Il modulo della forza è:
N
N
BT
BT
E
O
F
I F
I
S
S
F =|IlB| = I l B = 40250106N = 4 mN.
Applicando la regola della mano destra al prodotto vettoriale, si trova che la forza è diretta verso il
basso, cioè verso il centro della Terra.
D.7. La bobina rettangolare del disegno è costituita da
N = 120 spire ed è percorsa da una corrente di intensità I = 18 A
nel verso indicato. Il campo di induzione magnetica esterno è
uniforme e di modulo B = 0.33 T. La bobina è sottoposta a una
coppia pari a (in Nm):
(A) 6.84
(B) 3.42
(C) 10.26
(D) 5.13
(E) ________
b
B
8 cm
L =12 cm
I
a
B
SOLUZIONE. Poiché i lati di lunghezza b della spira sono paralleli a B, su essi non agisce alcuna
forza. Sui lati perpendicolari al campo magnetico, la forza agente è
)
(
Tale forza è entrante nel foglio sul lato sinistro della spira e uscente dal foglio sul lato destro.
Il momento agente sulla spira, che tende a farla ruotare in senso orario, vale
|
|
3
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
D.8. Un avvolgimento quadrato di lato l = 10 cm composto da N = 60 spire e percorso da una
corrente antioraria di intensità Is = 20 A giace in un piano a cui appartiene anche un filo percorso da
una corrente di intensità If = 5 A a una distanza d = 10 cm dal centro dell’avvolgimento e avente la
stessa direzione e verso della corrente nel lato prossimo
Is
dell’avvolgimento. Il momento delle forze magnetiche
L = 10 cm
sull’avvolgimento vale (in N m)
d = 10 cm
(A) 4.8(104)
(B) 2.4(104)
(C) 1.2(104)
(D)0.8(104)
(E) 0
If
SOLUZIONE. Sull’avvolgimento agisce il campo magnetico prodotto dal filo, perpendicolare al
piano del foglio e uscente dal foglio. Le forze agenti sui lati dell’avvolgimento ortogonali al filo AD
e BC sono forze di deformazione (in rosso nel disegno) aventi la stessa direzione (parallele al filo),
verso opposto, e – per simmetria – la stessa retta di applicazione: sono dunque forze con risultante
nulla e con momento risultante nullo. Sul lato AB agisce una forza
attrattiva perpendicolare al filo; sul lato CD agisce una forza repulsiva
perpendicolare al filo, minore in modulo della forza attrattiva. Anche
C
Is D
queste forze (in verde nel disegno) hanno la stessa retta di applicazione,
quindi momento risultante nullo. Il momento totale delle forze magnetiche
A
B
sull’avvolgimento è quindi nullo; la spira viene attratta dal filo con una
If
forza pari in modulo a FABFCD.
D.9. Una spira rettangolare rigida è percorsa da una corrente Is = 1000 A nel
verso indicato ed è complanare a un filo indefinito percorso da una corrente
If = 50 A (vedi figura). La risultante delle forze sulla spira prodotte dal
campo B generato dalla corrente del filo If vale in modulo circa
(A) 2.5 mN
(B) 4 mN
(C) 5 mN
(D) 6 mN
(E) 8 mN
SOLUZIONE. Vedi discussione del problema precedente; le forze sono
rappresentate in figura. In questo caso, la spira è attratta dal filo con una
forza risultante
|
|
(
(
)
20 cm
If
10 cm
20 cm
Is
y
x
D
If
C
Is
A
d1
B
d2
)
D.10. La componente orizzontale del campo magnetico terrestre a Bergamo è Bo = 2(105)T. La
forza che si esercita su un metro di filo verticale, percorso da una corrente I =20 A diretta verso
l’alto (in su), è di:
(A) 0.4 mN verso Est
(B) 0.4 mN verso Ovest
(C) 0.4 mN verso Nord
(D) 0.4 mN verso Sud
(E) 0.4 mN in giù
SOLUZIONE. La situazione per l’osservatore bergamasco è rappresentata in
figura. Il verso della forza si trova applicando la regola della mano destra. La
componente verticale del campo magnetico, peraltro trascurabile, non esercita
alcuna forza sul filo in quanto parallela a esso. Pertanto
N
Bo
O
F
E
I
S
4
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
D.11. Due conduttori lunghi, rettilinei e paralleli sono nel vuoto a una distanza d = 10 cm e sono
percorsi da correnti equiverse, di intensità rispettive I1 = 20 A e I2 = 30 A. La forza per unità di
lunghezza con la quale si attirano vale
(A) 1.4·102 N/m (B) 1.6·103 N/m (C) 1.2·103 N/m (D) 0.4·103 N/m (E) ___
SOLUZIONE. La forza per unità di lunghezza tra due conduttori filiformi e paralleli nel vuoto vale
D.12. In un campo B uniforme di componenti Bx = 5 mT, By = 0 e Bz = 0, vi è un tratto di filo
percorso da una corrente I = 200 A tra i punti P1(1,1,1) e P2(1, 4, 5) (le coordinate sono espresse in
metri). Il modulo della forza agente sul tratto di filo vale:
(A) 0 N
(B) 1.4 N
(C) 3.14 N
(D) 4.4 N
(E) 5.0 N
SOLUZIONE. La forza agente sul tratto di filo vale in modulo
|
|
dove L è il vettore che rappresenta il tratto di filo, quindi
(
)
(
)
(
Pertanto:
|
|

(
)
)
(
)
√
D.13. L’avvolgimento della figura è costitutito da N = 100 spire
percorse da I = 2 mA ed è libero di ruotare attorno all’asse y. Se si ha
un campo uniforme B = Bx i con Bx = 0.05 T e l’area dell’avvolgimento
è S = 700 cm2, il momento della coppia agente sull’avvolgimento
quando questo è nel piano del disegno vale:
(A) 7(104) N m (B) 5(104) N m (C) 4(104) N m
(D) 2(104) N m (E) 1(104) N m
y
B
I
SOLUZIONE. Il momento magnetico dell’avvolgimento vale
dove n è il versore normale alle spire e in questo caso ha verso entrante nel piano del disegno (la
corrente percorre l’avvolgimento in senso orario). Il momento della coppia agente
sull’avvolgimento posto nel piano del disegno vale:
| | |
|
D.14. Un avvolgimento costituito da N = 100 spire circolari di raggio R = 20 cm appartenenti al
piano xy e percorse da una corrente I è immerso in un campo B uniforme di componenti cartesiane
Bx = 0.2 T, By = 0.3 T, Bz= 0.5 T. Se il momento torcente sull’avvolgimento vale in modulo
M = 15 Nm, la corrente I dell’avvolgimento è pari a circa
(A) 1.0 A
(B) 1.5 A
(C) 3.3 A
(D) 4.8 A
(E) ______
SOLUZIONE. Il momento magnetico dell’avvolgimento vale
dove I è la corrente incognita, S è l’area di ogni spira e n è il versore normale alla spira e in questo
|
caso ha la direzione dell’asse z. Il modulo del momento torcente è | | |
Calcoliamo il prodotto vettoriale tra momento magnetico dell’avvolgimento e campo B:
5
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
|
|
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
|
√
|

√

√
D.15. Un avvolgimento rettangolare di area S = (2030) cm2 è costituito da N = 80 spire e giace
inizialmente nel piano zx, dove è percorso da una corrente I antioraria (il verso della corrente
individua il terzo asse y con la regola della mano destra). L’avvolgimento è libero di orientarsi nel
campo magnetico uniforme di componenti cartesiane Bx = 0.7 T, By = 0.3 T, Bz = 0.1 T.
Nel portarsi dalla posizione iniziale a quella di equilibrio, la forza magnetica compie un lavoro
L = 6 J. L’intensità della corrente che percorre l’avvolgimento vale
(A) 0.85A
(B) 1.44 A
(C) 1.87 A
(D) 2.67 A
(E) 18.35 A
SOLUZIONE. L’avvolgimento in posizione iniziale e il sistema cartesiano di riferimento sono
rappresentati in figura. La posizione di equilibrio dell’avvolgimento è quella
che massimizza il flusso positivo del campo magnetico attraverso
y
l’avvolgimento stesso, quindi quella perpendicolare a B. Nella posizione finale
di equilibrio, l’energia potenziale dell’avvolgimento (dipolo magnetico) è
Sj
pertanto:
√
√
z
I
Nella posizione iniziale, invece, il momento magnetico dell’avvolgimento
è diretto lungo la direzione positiva dell’asse y e l’energia
potenziale dell’avvolgimento è
(
) (
)
Il lavoro compiuto dalla forza magnetica è la differenza tra l’energia potenziale iniziale
dell’avvolgimento e quella finale:
(
√
)
(√
)
Dunque deve essere
(√
) 
(√
x
)
D.16. Un tratto di conduttore rettilineo congiunge i punti A(0,0) e C(3m,4m) del piano x,y ed è
percorso da una corrente I = 5 A. In presenza di un campo magnetico giacente nel piano xy,
B = 0.3Ti+0.4Tj , il conduttore è sottoposto a una forza che in modulo vale
(A) 0 N
(B) 2 N
(C) 3.5 N
(D) 12 N
(E) 12.5 N
SOLUZIONE. Conduttore e campo sono rappresentati in figura. Il tratto di
conduttore forma con l’asse x un angolo  tale che
y
C
B
e il campo B forma con l’asse x un angolo  tale che

x
A
Conduttore e campo sono perciò paralleli e il conduttore non subisce alcuna forza.
D.17. Un avvolgimento circolare giace nel piano xy ed è costituito da N =100 spire di raggio
R = 10 cm. L’avvolgimento è posto in un campo magnetico B uniforme di modulo pari a 0.5 T che
6
Fisica generale II, a.a. 2013/2014
ESERCITAZIONE D: FORZE MAGNETICHE SU I
forma un angolo  = 15° con la direzione positiva dell’asse delle z (k). Se la spira è sottoposta a una
coppia di momento |M| =2 Nm, essa è percorsa da una corrente di circa
(A) 4.92 A
(B) 2.55 A
(C) 1.98 A
(D) 1.47 A
(E) 1.32 A
SOLUZIONE. Il momento magnetico dell’avvolgimento vale
z

dove I è la corrente incognita, S è l’area di ogni spira e n è il versore normale alla
spira e in questo caso ha la direzione dell’asse z e verso dipendente dal verso
della corrente nell’avvolgimento. Il modulo del momento torcente è
| | |
( )
( )
| |
| | |
quindi
(
)
(
B
Sk
y
x
I
)
D.18. Un avvolgimento circolare di raggio R = 7 cm è costituito da N =300 spire percorse da una
corrente Is . L’asse dell’avvolgimento, orientato nella direzione che vede la corrente circolare in
senso antiorario, è parallelo al versore k. L’avvolgimento si trova in un campo magnetico
B = 0.5i+0.3j+0.4k (valori delle componenti in tesla) ed è libero di orientarsi nel campo B. Se,
passando dall’orientamento iniziale a quello di equilibrio, l’energia potenziale dell’avvolgimento
diminuisce di circa 21.27 J, l’intensità di corrente circolante nell’avvolgimento è circa pari a
(A) 3.8 A
(B) 22.2 A
(C) 11.3 A
(D) 15 A
(E) _____
SOLUZIONE. L’avvolgimento in posizione iniziale e il sistema cartesiano
di riferimento sono rappresentati in figura. La posizione di equilibrio
dell’avvolgimento è quella che massimizza il flusso positivo del campo
magnetico attraverso l’avvolgimento stesso, quindi quella perpendicolare a
B. Nella posizione finale di equilibrio, l’energia potenziale
dell’avvolgimento (dipolo magnetico) è pertanto:
x
√
√
Nella posizione iniziale, invece, il momento magnetico dell’avvolgimento
diretto lungo la direzione positiva dell’asse z e l’energia potenziale dell’avvolgimento è
(
) (
)
La diminuzione di energia potenziale è
(
√ )
(√
)
Dunque deve essere
(√
z
Sk
y
I
è
)
7