A
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE
Corso di Studi in Ingegneria Informatica
Ricerca Operativa 1 – Primo appello
30 gennaio 2004
Nome:
Cognome:
Barrare la casella corrispondente:
laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
min
− x1 − x 2
x1 + x 2 − x3 = −3
3 x + x ≥ 3
1
2
−
+
x
x
2 ≤3
1
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Esercizio 2
In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 4 nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del
cammino minimo per ogni coppia di nodi applicando l’algoritmo di Floyd e Warshall. In presenza di cicli negativi
arrestate l’algoritmo e mostrate un ciclo negativo. Altrimenti mostrate il cammino dal nodo 3 al nodo 4.
Archi (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (3,2) (4,2)
Costi 5
3
1
-1
10
2
Esercizio 3
Nelle due tabelle sono riportati i 10 archi di una rete di flusso con 6 nodi 1…6 e la domanda ai 6 nodi, con la
convenzione che una domanda negativa è una disponibilità di flusso. Utilizzando la fase 1 del simplesso su reti
determinare se la rete ammette una flusso ammissibile oppure no. Si consiglia di includere nella base iniziale gli archi
(1,3) e (2,6).
Archi (1,2) (1,3) (2,4) (2,6) (3,4) (3,5) (5,1) (5,4) (5,6) (6,4)
Nodi
1
Domanda −6
2
−5
3
0
4
+3
5
+8
6
0
Domanda 4
Illustrare il problema di determinare un albero ricoprente di costo minimo e descrivere gli algoritmi di Prim e Kruskal,
dimostrando le proprietà su cui si basano.
B
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Ricerca Operativa 1 – Primo appello
30 gennaio 2004
laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
max
x1 − x 2 − 9 x 4
3 x1 + 4 x 2 = 12
− x − x + x = 10
1
2
3
+
−
=
x
x
x
4
2
4
1
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x 4 ≥ 0
Esercizio 2
In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con 8 nodi 1…8. Trovare l’albero ricoprente di peso
minimo, a partire dal nodo 1, utilizzando l’algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi
all’albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad 1 i flag dei nodi del grafo).
Archi (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,6) (2,8) (3,4) (3,5) (3,7) (4,5) (4,6) (4,7) (5,6) (6,7) (6,8) (7,8)
Costi
1
2
4
10
6
9
12
1
7
5
5
11
2
2
2
3
Esercizio 3
L’azienda Programmatrix produce software, e deve scegliere come distribuire le ore lavorative della prossima settimana
dei suoi dipendenti sui vari progetti in corso in modo che siano soddisfatte le domande dei clienti e massimizzato il
profitto. Per ogni possibile alternativa viene in seguito indicata il minimo e massimo numero di ore che devono essere
svolte e il profitto per ogni ora di lavoro svolto. Inoltre bisogna tener conto che la Programmatrix ha quattro dipendenti
programmatori e ogni dipendente lavora 40 ore a settimana. Formulare il problema come problema di Programmazione
Lineare, senza risolverlo.
Sviluppo di portali web
Applicativi per le banche
Gestionali per i benzinai
Minimo-Massimo
numero di ore
50-80 ore
30-120 ore
5-80 ore
Profitto per ogni ora
di lavoro svolto
60 euro l’ora
80 euro l’ora
50 euro l’ora
Domanda 4
.
Illustrare il problema di flusso di costo minimo. Dimostrare che una base della matrice dei coefficienti coincide con un
albero ricoprente della rete di flusso.
C
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laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
min
x 2 + 2 x3
x1 + 3 x 2 ≥ 3
x − x + x = 4
2
3
1
−
−
+
x
x
x4 = 1
1
2
x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0
3
4
1
x 2 libera
Esercizio 2
In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo orientato con 8 nodi 1…8. Trovare l’albero dei cammini di peso
minimo, a partire dal nodo 1, utilizzando l’algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono fissati ad 1 i flag dei
nodi del grafo. Evidenziare il cammino minimo dal nodo 1 al nodo 8.
Archi (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,6) (2,8) (3,7) (4,5) (5,3) (5,6) (6,5) (6,7) (6,8) (7,2) (7,6) (7,8)
Costi
1
2
4
10
6
9
7
5
1
2
1
1
2
10
2
3
Esercizio 3
Dovete pianificare un piccolo progetto software. Il progetto consiste in una serie di attività e per ogni attività è nota la
sua durata. Le attività sono le seguenti
(1) Pianificazione, questa è la prima attività che deve essere svolta e terminata prima di tutte le altre, richiede 4 giorni
(2) Sviluppo algoritmo di ottimizzazione, richiede 16 giorni
(3) Sviluppo Database, questa attività richiede 14 giorni
(4) Sviluppo acquisizione dati, questa attività richiede 10 giorni
(5) Test di funzionamento, questi test richiedono 10 giorni e collaudano il funzionamento dei moduli algoritmo,
database e acquisizione dati e quindi possono iniziare solo dopo che quei moduli sono stati implementati
(6) Sviluppo interfaccia grafica, questo modulo richiede 20 giorni e può essere iniziato solo dopo che il modulo di
acquisizione dati viene terminato
(7) Test finali, questa attività richiede 4 giorni e che tutte le attività di programmazione (le attività dalla 2 alla 6)
siano terminate
(8) Stesura dei manuali, questa attività richiede che le attività di programmazione siano terminate (attività 2, 3, 4 e 6)
e richiede 14 giorni.
Rappresentare graficamente il progetto, calcolare il minimo tempo di completamento dello stesso e le attività critiche.
Infine, spiegare che cosa succede se l’attività di test finali richiede 16 giorni invece dei 4 preventivati? Motivare la
risposta.
Domanda 4
Illustrare la definizione di insieme convesso, funzione convessa, problema di programmazione convessa. Dimostrare
che nei problemi di Programmazione Convessa un punto di minimo locale è anche punto di minimo globale.
D
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Cognome:
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laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
max
È dato il problema di PL in figura. Utilizzando
l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2) trovare una
soluzione ottima del problema o dimostrare che il
problema è impossibile o illimitato inferiormente.
Applicare la regola di Bland.
x1 + 2 x 2
− x1 − 2 x 2 + x3 = 2
x + 2 x ≥ 4
1
2
x1 + x 2 ≤ 4
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Esercizio 2
In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso
ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo 1 al nodo 7 con l’algoritmo di Ford e
Fulkerson.
Archi
(1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,7) (4,7) (5,6) (5,7) (6,3) (6,4) (6,7)
Capacità 10
18
3
10
15
6
18
4
12
1
20
Flussi
8
0
3
5
5
3
5
0
5
0
0
Esercizio 3
Dato il problema di PL in figura,
1. impostare il problema duale e risolverlo con il
metodo grafico;
2. dalla soluzione ottima del duale ricavare la
soluzione ottima del primale con le condizioni di
ortogonalità.
min
3x1 − x 2
4 x1 − 2 x 2 + x3 ≥ 6
x1 − x 2 + 3 x3 ≤ 7
x ≥ 0
Domanda 4
Illustrare il problema di Cammino minimo e dimostrare il teorema di Floyd-Warshall.
E
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Corso di Studi in Ingegneria Informatica
Ricerca Operativa 1 – Primo appello
30 gennaio 2004
laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
max
x1 − x 2 − 10 x 4
x1 + x 2 − x 4 = 5
3 x + 5 x = 15
1
2
− x1 − x 2 + x3 = 2
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x 4 ≥ 0
Esercizio 2
In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo orientato con 8 nodi 1…8. Trovare l’albero dei cammini di peso
minimo, a partire dal nodo 1, utilizzando l’algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono fissati ad 1 i flag dei
nodi del grafo. Evidenziare il cammino minimo dal nodo 1 al nodo 8.
Archi (1,2) (1,3) (1,4) (1,6) (2,5) (2,8) (3,7) (4,6) (5,6) (5,7) (5,8) (6,3) (6,5) (7,2) (7,5) (7,8)
Costi
2
4
8
20
12
18
14
10
2
2
4
2
4
20
4
6
Esercizio 3
Dovete pianificare un piccolo progetto software. Il progetto consiste in una serie di attività e per ogni attività è nota la
sua durata. Le attività sono le seguenti
(1) Sviluppo algoritmo di ottimizzazione, richiede 10 giorni
(2) Sviluppo Database, questa attività richiede 17 giorni
(3) Sviluppo acquisizione dati, questa attività richiede 5 giorni
(4) Sviluppo interfaccia grafica, questo modulo richiede 20 giorni e può essere iniziato solo dopo che il modulo di
acquisizione dati viene terminato
(5) Test modulo algoritmo, questi test richiedono 8 giorni e collaudano il funzionamento del modulo algoritmo
(6) Test modulo database, questi test richiedono 4 giorni e collaudano il funzionamento del modulo database
(7) Test modulo acquisizione, questi test richiedono 6 giorni e collaudano il funzionamento del modulo acquisizione
dati
(8) Stesura dei manuali, questa attività richiede che le attività di programmazione siano terminate (attività 2, 3, 4) e
richiede 14 giorni.
Rappresentare graficamente il progetto, calcolare il minimo tempo di completamento dello stesso e le attività critiche.
Infine, spiegare che cosa succede se l’attività di test modulo database richiede 16 giorni invece dei 4 preventivati?
Motivare la risposta.
Domanda 4
Illustrare il problema di Massimo Flusso e dimostrare il teorema di Ford-Fulkerson.
F
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Ricerca Operativa 1 – Primo appello
30 gennaio 2004
Nome:
Cognome:
Barrare la casella corrispondente:
laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
min
2 x1 − 2 x 2
4 x1 + x 2 ≥ 4
x + x − x = −5
1
2
3
−
+
≤
x
x
4
2
1
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Esercizio 2
In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 4 nodi, e sono dati i costi di ogni arco. Risolvere il problema del
cammino minimo per ogni coppia di nodi applicando l’algoritmo di Floyd e Warshall. In presenza di cicli negativi
arrestate l’algoritmo e mostrate un ciclo negativo. Altrimenti mostrate il cammino dal nodo 3 al nodo 4.
Archi (1,4) (2,1) (3,1) (4,1) (4,2) (4,3)
Costi -3
22
6
15
9
3
Esercizio 3
In tabella sono riportati i costi unitari degli archi di una rete di flusso con 6 nodi 1…6 ed un flusso ammissibile iniziale.
A partire dal flusso iniziale, e utilizzando la fase 2 del simplesso su reti, determinare il flusso di costo minimo, o
dimostrare che il problema è illimitato inferiormente.
Archi (1,2) (1,3) (2,4) (2,6) (3,5) (4,3) (4,6) (5,1) (5,4) (6,5)
Costi
-1
2
5
6
1
15
3
3
13
1
0
10
0
0
4
6
4
0
0
Flusso 10
Domanda 4
Illustrare le definizioni di: combinazione convessa, insieme convesso, e problema di programmazione convessa.
Dimostrare che un poliedro è un insieme convesso.
G
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Ricerca Operativa 1 – Primo appello
30 gennaio 2004
Nome:
Cognome:
Barrare la casella corrispondente:
laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
max
x1 + 2 x 2
x1 + 2 x 2 ≥ 6
x + x ≤ 6
1
2
− x1 − 2 x 2 + x3 = 4
x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x3 ≥ 0
Esercizio 2
In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 7 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso
ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo 1 al nodo 7 con l’algoritmo di Ford e
Fulkerson.
Archi
(1,2) (1,3) (1,5) (2,4) (3,6) (4,7) (5,3) (5,4) (5,6) (5,7) (6,7)
Capacità 20
36
20
6
30
12
14
25
36
40
18
Flussi
6
0
10
6
10
6
10
0
0
0
10
Esercizio 3
La fabbrica di materassi Sweet Dreams produce 3 tipologie di materassi e deve scegliere la quantità dei vari materassi
da produrre nel prossimo mese in modo che siano soddisfatte le domande dei clienti e massimizzato il profitto. Per il
prossimo mese ha valutato la domanda dei clienti minima e massima per i tre tipi diversi di materassi. Inoltre bisogna
tener conto che la Sweet Dreams ha cinquanta dipendenti e ogni dipendente può produrre 60 materassi al mese.
Formulare il problema come problema di Programmazione Lineare, trascurando eventuali vincoli di interezza delle
variabili, senza risolverlo.
Dormibene bimbo
Golden dream de luxe
Er Materazzo
Minimo-Massimo
numero di materassi
30-90 materassi
50-120 materassi
70-230 materassi
Profitto per ogni
materasso
30 euro
100 euro
50 euro
Domanda 4
Illustrare teoria della dualità. Dimostrare i teoremi di dualità debole e forte.
H
Nome:
Cognome:
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Ricerca Operativa 1 – Primo appello
30 gennaio 2004
laurea V.O.
Laurea N.O.
Esercizio 1
È dato il problema di PL in figura.
Utilizzando l’algoritmo del simplesso (fase 1 e fase 2)
trovare una soluzione ottima del problema o dimostrare
che il problema è impossibile o illimitato
inferiormente. Applicare la regola di Bland.
min
2 x 2 + x3
− x1 − x3 + x 4 = 3
x + 3x ≥ 3
3
1
+
x
x
1
2 − x3 = 4
x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0
2
4
1
x3 libera
Esercizio 2
In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con 8 nodi 1…8. Trovare l’albero ricoprente di peso
minimo, a partire dal nodo 7, utilizzando l’algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi
all’albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad 1 i flag dei nodi del grafo).
Archi (1,2) (1,3) (1,4) (1,6) (2,5) (2,8) (3,4) (3,6) (3,7) (4,5) (4,6) (4,7) (5,6) (5,7) (5,8) (7,8)
Costi
1
2
4
10
6
9
12
1
7
5
5
11
2
2
2
3
Esercizio 3
Dato il problema di PL in figura,
3. impostare il problema duale e risolverlo con il
metodo grafico;
4. dalla soluzione ottima del duale ricavare la
soluzione ottima del primale con le condizioni di
ortogonalità.
min
x1 + 5 x 2 − x3
2 x1 + x 2 + 2 x 3 ≥ 6
x1 − x 2 + 2 x3 ≤ 4
x ≥ 0
Domanda 4
Illustrare la definizione di vertice e soluzione base ammissibile. Dimostrare che una soluzione ammissibile di un
problema di PL in forma standard è un vertice se e solo se è una soluzione base ammissibile.
