La struttura sub-riemanniana della
corteccia visiva
G. Citti - A. Sarti
http://www.vision.unibo.it
Milano, luglio 2004
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Completamento
modale e amodale
A. Sarti, G. Citti
p 1
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Modelli Fenomenologici
Mumford, Nitzberg, Shiota; Ambrosio,
Masnou; Morel; Bertalmio; Bellettini;
Modelli Neurofisiologici
Grossberg, Mingolla; Julesz;
Field,Heyes,Hess; Singer; Grey ;Lee
Modelli basati sui due approcci
Petitot, Tondut
A. Sarti, G. Citti
p 2
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Elastiche
γ̃ = (x, y) curva regolare
Z
y 00 x0 − x00 y 0
k = 02
(x + y 0 2 )3/2
2
1+k ,
γ̃
Mumford, Nitzberg, Shiota;
De Giorgi; Bellettini, Paolini: approssimazione
nel senso della Γ convergenza.
Modifiche del funzionale:
Z
1 + αφ(k),
γ
Se φ cresce linearmente, i minimi possono
essere continui, o avere spigoli.
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Lifting di curve: Petitot - Tondut
1
0.8
0.6
θ
0.4
(x,y,θ)
0.2
0
−0.4
−0.6
(x,y)
−0.8
θ
−1
x
−1.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y
γ̃(t) = (x(t), y(t))
x0 = cos(θ),
y 0 = sin(θ)
γ(t) = (x(t), y(t), θ(t))
Z q
length(γ) =
θ0 (t) = k
x0 2 + y 0 2 + θ 0 2
Z p
=
1 + k2
Le elastiche sono proiezioni 2D di minimi
vincolati in 3D.
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
L’algebra di rototraslazione
lifting e geometria subriemanniana [C. Sarti]:
γ 0 (t) = (cos(θ), sin(θ), k) = X1 + kX2
dove
X1 = cos(θ)∂x + sin(θ)∂y ,
X2 = ∂θ
X3 = [X2 , X1 ] = − sin(θ)∂x + cos(θ)∂y
Vale la proprieta’ di connettivita’
d((x, y, θ), (x̄, ȳ, θ̄)) = inf{length(γ) :
γ(0) = (x̄, ȳ, θ̄), γ(T ) = (x, y, θ)}
~ 1 + γ2 X
~ 2)
γ 0 (t) = (γ1 X
[Nagel, Stein, Wainger]
Le proiezioni 2D delle geodetiche del gruppo
sono elastiche
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
The Visual Path
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Profili recettori delle cellule
semplici
filtri sensibili all’orentazione, a media nulla, e a
supporto compatto.
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X1
100
X3
y
X
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−
G(x,y,θ) (ξ, η) = X3 (θ)
e
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(x−ξ)2 +(y−η)2
s
s
X3 (θ) = − sin θ∂ξ + cos θ∂η
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
La risposta ad una immagine
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I : M ⊂ R2 → R+
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Z
70
O(x, y, θ) =
X3 (θ)
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G(x,y,θ) (ξ, η)I(ξ, η)dξdη =
e
2 +y 2
−x
s
s
? I = X3 (θ)Is
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Le fibre di cellule semplici
Sopra ogni punto c’e’ una intera fibra di cellule
semplici: The visual cortex is a contact bundle
[Hoffman]
F (x, y) = G(x, y, θ), θ ∈ [0, π]
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La soppressione dei non massimali
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O(x, y, θ̄) = max O(x, y, θ)
θ∈[0,π]
Σ = {(x, y, θ) : ∂θ O = 0, ∂θθ O(x, y, θ) < 0}
L’immagine e’ liftata ad una superficie
∂θ O = ∂θ (X3 Is ) = −X1 Is =
= − < (cos θ, sin θ), ∇Is >= 0
(cos θ, sin θ) e’ ortogonale al gradiente. Ogni
curva di livello e’ liftata come a pag 4.
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Campi di associazione e curve
integrali
100
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500
600
700
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
~ 1 + γ2 X
~ 2)
γ 0 (t) = (γ1 X
γ(0) = (x, y, θ)
~ 1 = (cos(θ), sin(θ), 0)
X
~ 2 = (0, 0, 1)
X
2.5
0.6
2
1.5
0.4
1
0.5
0.2
0
0
−0.5
−1
−0.2
−1.5
1
−2
−0.4
0
−2.5
−1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
A. Sarti, G. Citti
0.7
0.8
0.9
1
−0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Operatori differenziali
1
Gradiente orizzontale: f ∈ CX
(Ω, R)
∇X u = (X1 u, X2 u) inR2 × S 1
1
non esiste X3 u
X3 = [X1 , X2 ]. Se u ∈ CX
Sezioni del tangente orizzontale f ∈ C 1 (Ω, HX)
divX (f1 , f2 ) = X1 f1 + X2 f2
Sublaplaciano
∆X u = X12 u + X22 u
Diffusione lungo le curve integrali dei campi
ut = ∆X u
A. Sarti, G. Citti
p 12
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Bibliografia essenziale
distanza:
[Nagel, Stein, Weinger],
soluzione fondamentale - stime locali:
[Rothshild Stein] [Sanchez Calle]
stime gaussiane in gruppi omogenei:
[Bonfiglioli, Lanconelli, Uguzzoni]
Nonlinear equations
[Citti, Lanconelli, Montanari],
viscosity solutions [Stroffolini, Manfredi]
Teorema di Dini, rettificabilita’
in gruppi omogenei di passo 2
[B.Franchi, R.Serapioni, F.Serra Cassano]
[L.Ambrosio, B.Kirchheim]
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Algebre nilpotenti e non
Ammettono una stratificazione
g = V1 ⊕ V2 ,
V1 = span{X1 , X2 }
V2 = span{X3 }
and[V1 , V2 ] = {0}.
Dilatazioni
δλ (X1 ) = λX1 .
δλ (X3 ) = [λX1j , λX1i ] = λ2 X3
X1 = cos(θ)∂x + sin(θ)∂y
X2 = ∂θ
Non esistono dilatazioni. Se esistessero
X1 = [X3 , X2 ] = −[[X1 , X2 ], X2 ]
δλ (X1 ) = λ3 X1 .
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Riduzione al caso nilpotente
X1ξ̄ = (cos(θ̄) − (θ − θ̄) sin(θ̄))∂x +
+(sin(θ̄) + (θ − θ̄) cos(θ̄))∂y
X2ξ̄ = ∂θ
X3ξ̄ = −[X1ξ̄ , X2ξ̄ ] = − sin(θ̄)∂x + cos(θ̄)∂y
Esiste un cambio di variabile Φξ̄ e vettori
X1H = ∂e1 + e2 ∂e3
X2H = ∂e2 − e1 ∂e3
generatori dell’algebra di Heisenberg, tali che
(Xiξ̄ u) ◦ Φξ̄ = XiH (u ◦ Φξ̄ )
dilatazioni approssimate
Φξ̄ ◦ δλ ◦ Φ−1
ξ̄
A. Sarti, G. Citti
p 15
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Parametrice della soluzione
fondamentale
La soluzione fondamentale di
∂t = ∆ξ̄ = X12ξ̄ + X22ξ̄ e’
Γξ̄ (z, t; ζ, τ ) = ΓH (Φθ̄ (z), t; Φθ̄ (ζ), τ ),
dove ΓH , soluzione fondamentale dell’operatore
del calore per Heisenberg e’ nota
esplicitamente.
Teorema La soluzione fondamentale Γ di
∂t = ∆X soddisfa
|(Γ − Γξ̄ )(z, t; ζ, τ )| ≤ (t − τ )1/2 Γξ̄ (z, t; ζ, τ )
¯ Inoltre
per z, ζ in un intorno di ξ.
d2 (z, ζ) C
0 ≤ Γ(z, t; ζ, τ ) ≤
exp −
Q/2
t−τ
(t − τ )
dove Q = 4, per ogni 0 ≤ t − τ ≤ T , for every
z, ζ.
A. Sarti, G. Citti
p 16
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Superfici regolari in gruppi
omogenei
Σ = {(x, y, θ) : v = 0, ∇X v 6= 0}
vettore normale ∇X v/|∇X v|
Teorema [Franchi Serapioni Serracassano] e’
definita implicitamente una funzione continua
θ. Problema aperto: regolarita di θ
Congettura: θ e’ regolare lungo le proiezioni
delle curve orizzontali che giacciono sulla
superficie
([Ambrosio Serracassano] nel caso omogeneo)
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Teorema di Dini
in gruppi non omogenei
1
Teorema [· - Manfredini]v ∈ CX
(Ω),
Γ = {(x, y, θ) ∈ Ω : v(x, y, θ) = 0, ∂θ v(x, y, θ) > 0}
Allora esiste funzione implicita θ
2.5
0.6
2
1.5
0.4
1
0.5
0.2
0
0
−0.5
−1
−0.2
−1.5
1
−2
−0.4
0
−2.5
−1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Se γ e’ curva integrale di X1 + kX2 di punto
iniziale (x, y, θ(x, y)) e γ̃ e’ la proiezione su R2 ,
allora esiste
X1 f (x, y, θ(x, y))
Xθ (θ(x, y)) = (θ ◦ γ̃) (0) = −
X2 f (x, y, θ(x, y))
0
A. Sarti, G. Citti
p 18
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Curvatura di una superficie
regolare [C. Sarti]
∃!γ̃ :
γ̃ 0 = Xθ (γ̃)
Xθ = cos(θ(x, y))∂x + sin(θ(x, y)).
γ100 γ20 − γ200 γ10
KX (γ) = − 2
(γ1 + γ22 )3/2
Xi vXj v Xi Xj v
KX (Σ) = divX (νX ) = δij −
|DX v|2 |DX v|
Moto per curvatura:
Xi vXj v vt = δij −
Xi Xj v
|DX v|2
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Il modello di completamento
[C. Sarti]
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100
u = O
0
t=0
Σ0 = {(x, y, θ) : ∂θ u0 = 0, ∂θθ u0 < 0}
u(·, 0) = u0 δΣ0
A. Sarti, G. Citti
p 20
struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Il modello di completamento
1) diffusione lungo i campi
∂ u = ∆ u in R2 × S 1 × [0, h]
t
X
u(·, 0) = u0 δΣ
0
2) concentrazione che distrugge la diffusione
normale e genera un moto per curvatura
Σ (h) = {ξ : ∂ u(ξ, h) = 0, ∂ 2 u < 0}
1
νΣ0
ν
√ Σ0
u1 (h) : Σ1 (h) → R u1 (h) = hu(h)
Al tempo t, dopo n passi di lunghezza h = t/n
abbiamo due successioni Σn (t), un (t).
Σn (t) e’ definita come level set.
Σn (t) → Σ(t) moto per curvatura di Σ0
un (t) → u(t) evoluzione di u0
Nel caso euclideo [Bence, Merriman, Osher]
[Evans]
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Idea della prova
Nel gruppo e’ definita un’operazione di somma
⊕ che commuta con le derivazioni
Teorema Sia ξ0 = 0 ∈ Σ0 , ν0 la normale a Σ in
ξ0 . Sia s ∈ R tale che
ξ0 ⊕ stν ∈ Σ1
Allora
s = KX (ξ0 ) + o(1)
as t → 0
dove KX (ξ0 ) e’ la curvatura di Σ0
In altre parole l’incremento ’infinitesimo’ s in
direzione normale e’ pari alla curvatura
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Dim locally Σ1 = {θ = h(x, y) : (x, y) ∈ Q0 },
Z
0 = X2 u(ξ) =
X2 Γ(ζ −1 ⊗ ξ, t)u0 (ζ)dσ(ζ) =
Σ
usando la parametrice
Z
=
X2 Γξ0 (ζ −1 ⊗ ξ, t)u0 (ζ)dσ(ζ) + O(e−t )
Σ∩C
se ν = X2 , ζ = (x, y, θ), ξ = (0, 0, −st)
(ζ −1 ⊗ ξ) = (∗, ∗, θ − st), parametrizzando
Z
p
X2 Γξ0 (x, y, h(x, y)−st, t) 1 + |∇h|2 +O(e−t )
=
Q0
√
usando le dilatazioni approssimate x = tp
y = tq,
Z
p
√
0=
X2 Γξ0 (tp, tq, h( tp, tq)−st) 1 + |∇h|2 +O(e−t )
R2
imponendo l’annullamento dello sviluppo di
Taylor
√
s = K(0) + O( t)
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Macula cieca
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150
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350
400
450
500
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
A. Sarti, G. Citti
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struttura sub-riemanniana della corteccia V1
Direzioni di ricerca
La struttura della corteccia e’ stata descritta
come varieta’ di contatto definita dalla forma
ω = cos(θ)dx + sin(θ)dy
E’ possibile rilevare altre features, per esempio
la scala, ovvero la dimensione dei campi
recettori. L’aggiunta di una variabile ambienta
il problema in una varieta’ simplettica,
descritta dalla forma
d(e−s ω).
A. Sarti, G. Citti
p 28
