Nozioni sull'algebra degli insiemi e sul calcolo dei predicati
1. Insiemi e funzioni logiche.
Quando due oggetti del pensiero a e A sono collegati da una relazione di appartenenza (indicata
usualmente con il simbolo Î, detto "simbolo di Peano")
a è detto elemento dell'insieme A.
L'insieme A può essere individuato in modo estensivo, cioè elencando tra graffe tutti gli elementi
che appartengono ad A.
Esempio:
Nell'esempio si nota che tutti gli elementi di B sono anche elementi di A. Quando si verifica
questa situazione si dice che B è un sottinsieme di A.
Se, come nel caso proposto, c'è almeno un elemento di A che non appartiene a B, si dice che B è
un sottinsieme proprio di A
Ma spesso ci si trova nell'impossibilità pratica o teorica di elencare tutti gli elementi di un insieme
e risulta quindi molto più efficace e generale individuare gli insiemi in modo intensivo,
esplicitando cioè una proprietà che, se posseduta da un elemento, equivale alla dichiarazione di
appartenenza.
Questa proprietà è espressa da una funzione logica p(x), cioè da una proposizione dichiarativa
costituita da un soggetto x (argomento della funzione) e da un predicato p, tale da risultare vera o
falsa a seconda del valore di x.
Dato il predicato p, l'insieme è formato da tutti e soli gli elementi che rendono vera la frase “ x p”.
L'insieme di denota intensivamente in questo modo
che si interpreta : “P è l'insieme di tutte le x tali che p(x) è vera.”
P è detto insieme di verità della funzione p(x).
Esempio:
p(x) = “x è una vocale”.
x, il soggetto della dichiarazione, è l'argomento della funzione logica; “è una vocale” è il
predicato.
Se ad x si attribuisce il valore “i” si ottiene una proposizione vera, mentre se ad x si attribuisce il
valore “s” si ottiene una proposizione falsa.
Se però a x si attribuisce il valore “1” si ottiene una frase senza senso, di cui non si può dire se è
vera o falsa. Il predicato implicitamente definisce l'insieme dei soggetti sensati, che è detto
dominio di p(x). Nell'esempio, il dominio è l'alfabeto.
La p(x) permette quindi di suddividere il dominio in due sottinsiemi: l'insieme di verità P e
l'insieme di falsità o insieme complementare di P.
L'insieme complementare di P, che può essere indicato sopralineando P, è l'insieme di verità della
negazione di p(x), indicata con –p(x), da leggere “Non è vero che…” seguita dall'enunciato p(x).
Nell'esempio proposto, l'insieme di falsità è l'insieme delle consonanti.
La negazione di una verità è falsa.
La negazione di una falsità è vera.
Due negazioni successive si annullano.
Esempio: p(x)=”x è una vocale”.
p(“e”): Vero. p(“s”): Falso. –p(“s”): Vero. –(-p(“a”)): Vero.
Una funzione logica che non è verificata da nessun elemento del dominio ha come insieme di
falsità il dominio stesso. Le si attribuisce come insieme di verità l'insieme vuoto, denotato
solitamente con Æ.
Quindi il complementare del dominio è il vuoto e viceversa.
Esempio.
p(k)=”k è un numero primo pari”.
E` chiaro che il dominio è l'insieme N dei numeri naturali.
Ogni elemento di N falsifica la p(x).
L'insieme di verità di p(k) è Æ.
2. Operatori binari
2.1 Congiunzione e intersezione
Date due funzioni logiche di identico dominio p(x) e q(x) e con insiemi di verità P e Q, la
funzione logica c(x) che è vera solo per gli argomenti che verificano entrambe le funzioni è detta
congiunzione (o anche prodotto logico) di p(x) e q(x). Questa funzione si indica solitamente
interponendo tra le due funzioni il simbolo Ù che si legge “et” alla latina o “and” all'inglese. Sono
in uso anche i simboli & o i simboli di moltiplicazione (compreso il semplice accostamento).
L'operatore binario Ù (o uno dei suoi sinonimi) è detto connettivo di congiunzione.
L'insieme di verità C di c(x) è detto insieme intersezione (o, semplicemente, intersezione) di P e
Q:
Esempio.
Le due funzioni logiche d(k)=”k è pari” e t(k)=”k è multiplo di 3” hanno entrambe come dominio
l'insieme N dei numeri naturali. Detto D l'insieme di verità di d(k) e T l'insieme di verità di t(k),
Se nel dominio nessun elemento verifica la congiunzione, l'intersezione è vuota.
Esempio.
p(k)=”k è pari”; q(k)=”k è primo”
In seguito, quando si connettono due funzioni, si assume implicitamente che abbiano ugual
dominio.
2.2 Disgiunzione e unione
Date due funzioni logiche p(x) e q(x) con insiemi di verità P e Q, la funzione logica d(x) che è
vera solo per gli argomenti che verificano almeno una delle due (eventualmente entrambe) è detta
disgiunzione inclusiva (o anche somma logica) di p(x) e q(x). Questa funzione si indica
interponendo tra le funzioni date il simbolo Ú che si legge “vel” alla latina o “or” all'inglese. Sono
in uso anche i simboli | o +.
L'operatore binario Ú (o uno dei suoi sinonimi) è detto connettivo di disgiunzione.
L'insieme di verità D di d(x) è detto insieme unione (o, semplicemente, unione) di P e Q
Esempio.
Riprendendo le due funzioni d(x) e t(x) dell'esempio precedente e i loro insiemi di verità D e T,
indicando estensivamente alcuni elementi dell'insieme D si ha
2.3 Implicazione materiale e sottinsiemi
Date due funzioni logiche p(x) e q(x) con insiemi di verità P e Q, la funzione logica i(x) che è vera
solo per gli argomenti per cui non è vero che verificano la prima ma non la seconda è detta
implicazione materiale tra p(x) e q(x). Questa funzione si indica interponendo tra le funzioni date
il simbolo ® che si legge “implica”.
L'insieme di verità I di i(x) include Q ma non P. Si scrive
e si legge “Q è sottinsieme di I”, “P non è un sottinsieme di I”.
Esempio.
Riprendendo le due funzioni logiche d(x) e t(x) degli esempi precedentemente proposti e i loro
insiemi di verità D e T, l'insieme I di tutti gli elementi di N che verificano l'implicazione tra d(x) e
t(x) è
Allora
p(1)®q(1) : Vero (“1 è pari implica che 1 è multiplo di 3”: una falsità implica qualunque cosa)
p(2)®q(2) : Falso (“2 è pari non implica che 2 è multiplo di 3”)
Se I coincide con l'universo, P è un sottinsieme di Q.
Esempio.
p(x)=”x è un quadrato”, q(x)=”x è un rettangolo”.
Ovviamente il dominio è l'insieme delle figure geometriche piane.
La congiunzione
risulta vera solo per i quadrati che non sono rettangoli. Tali quadrati non esistono. La
congiunzione è sempre falsa e la sua negazione sempre vera. Quindi PÍQ.
3. Proprietà degli operatori binari
Dati (nello stesso dominio) due insiemi P e Q:
la loro intersezione è un sottinsieme della loro unione. Questo si assume vero anche se
l'intersezione è vuota.
il vuoto è quindi sottinsieme di tutti gli insiemi.
intersezione e unione sono commutative:
l'intersezione è distributiva rispetto all'unione e viceversa:
l'unione di un insieme con un suo sottinsieme dà l'insieme; l'intersezione di un insieme con
un suo sottinsieme dà il sottinsieme (Leggi di assorbimento)
prime leggi di De Morgan
Ad ognuna di queste proprietà degli insiemi corrisponde un'analoga proprietà delle funzioni
logiche che li definiscono.
Ad esempio, le leggi di De Morgan in logica diventano
In lingua:
la negazione di una disgiunzione equivale alla congiunzione delle negazioni;
la negazione di una congiunzione equivale alla disgiunzione delle negazioni;
Si lascia all'esercitazione personale la formulazione logica delle altre proprietà.
Per le leggi di De Morgan l'implicazione materiale può essere definita anche nel seguente modo
4. Quantificatori logici
4.1 Quantificatore universale e implicazioni logiche
Per affermare che una funzione logica p(x) è verificata da tutti gli elementi del dominio X è utile
introdurre il quantificatore universale " che si legge “per ogni”
“Per ogni x, p(x)”.
Traducendo in lingua corrente: “L'affermazione p(x) è sempre vera”.
L'uso del quantificatore universale e dell'implicazione materiale può essere sintetizzato dal
connettivo di implicazione logica Þ (che si legge “se…allora…”)
Esempio.
Se il dominio è l'insieme dei triangoli e se b(x)=”x è equilatero” e a(x)=”x è isoscele”,
l'interpretazione di
è “Se un triangolo è equilatero allora è isoscele”. Nel linguaggio insiemistico: “L'insieme dei
triangoli equilateri è un sottinsieme dell'insieme dei triangoli isosceli”.
Per dire che B, insieme di verità di b(x) è un sottinsieme proprio di A, insieme di verità di a(x)
Esempio.
Con riferimento all'esempio precedente, l'interpretazione di
è “Tutti i triangoli equilateri sono isosceli, ma non tutti i triangoli isosceli sono equilateri”.
In linguaggio insiemistico: “L'insieme dei triangoli equilateri è un sottinsieme dell'insieme dei
triangoli isosceli”.
Per dire che B, insieme di verità di b(x) coincide con A, insieme di verità di a(x), è utile
l'introduzione del connettivo di doppia implicazione logica Û (che si legge “…se e solo se…”)
Esempio.
Se il dominio è l'insieme dei triangoli e a(x)=”x è ha due lati uguali” e b(x)=”x ha due angoli
uguali”, l'interpretazione di
è “Un triangolo ha due angoli uguali se e solo se ha due lati uguali”.
In linguaggio insiemistico: “L'insieme dei triangoli con angoli lati uguali coincide con l'insieme
dei triangoli con due lati uguali”.
4.2 Quantificatore esistenziale
Per affermare che nel dominio X almeno un elemento verifica la p(x) si introduce il
quantificatore esistenziale $, che si legge “Esiste almeno un”
“Esiste almeno un x per cui p(x)”.
Traducendo in lingua corrente: “l'affermazione p(x) è vera almeno in un caso”.
Esempio: per dire che l'intersezione tra due insiemi A e B definiti da a(b) e b(x) non è vuota:
5. Le seconde leggi di De Morgan
Nell''insieme X ={a,b,c,d,…} l'applicazione del quantificatore universale alla funzione logica p(x)
afferma che la p(x) è vera per ogni elemento di X, cioè che è vera la congiunzione logica
La negazione di questa congiunzione, per le prime leggi di De Morgan, equivale alla disgiunzione
delle negazioni
cioè: è vera almeno una delle negazioni.
La negazione di una quantificazione universale equivale ad almeno una negazione.
Esempio: Dire “Non è vero che tutti i programmi TV sono inguardabili” è lo stesso che dire “C'è
almeno un programma TV che non è inguardabile”.
Nell'insieme X ={a,b,c,d,…} l'applicazione del quantificatore esistenziale alla funzione logica
p(x) afferma che la p(x) è vera per almeno un elemento di X, cioè che è vera la disgiunzione
logica
La negazione di questa disgiunzione, per le prime leggi di De Morgan, equivale alla congiunzione
delle negazioni
cioè: sono vere tutte le negazioni.
La negazione di una quantificazione esistenziale equivale all'affermazione di tutte le
negazioni.
Esempio:
Dire “Non è vero che c'è almeno un tipo di sigarette che fa bene” è lo stesso che dire “Tutti i tipi
di sigarette non fanno bene”.
L'uso delle seconde leggi di De Morgan può aiutare a comprendere meglio il senso logico
dell'implicazione materiale
e dell'implicazione logica
Si ha infatti
traducendo l'ultima proposizione: “Non esiste nessuna x che verifichi p(x) ma non q(x)”, cioè
“Tutte le x che verificano p(x) verificano anche q(x)”. In termini insiemistici : “L'insieme di verità
di p(x) è incluso nell'insieme di verità di q(x)”.
6. Matematica, logica e filosofia.
L'esigenza di un'analisi razionale delle questioni umane (scientifiche e morali) produsse nella
Grecia del VI-V secolo a.C. la nascita della filosofia. Un'analisi razionale non può però
prescindere dalla definizione di corrette procedure di deduzione per evitare che nei ragionamenti,
pur partendo da giuste premesse, si giunga a conclusioni errate o insensate.
Ad esempio, Zenone di Elea, per sostenere le proprie tesi, usava spesso lo schema dimostrativo
che oggi viene detto per assurdo e che è usato correntemente in Matematica nella dimostrazione di
molti teoremi.
Questo schema è corretto? Le deduzione che si ottengono dalla sua applicazione sono
convincenti?
La risposta è positiva se si può mostrare che se a(x) è l'ipotesi e b(x) la tesi
Nel più generale ambito della ricerca filosofica si sviluppò ben presto una ricerca specifica sulle
corrette modalità di ragionamento. Questa ricerca fu condotta in modo sistematico soprattutto da
Aristotele in un complesso di opere in seguito collettivamente indicate con il nome di “Organon”.
Anche il vocabolo “Logica” è successivo ad Aristotele (sembra sia dovuto ad Alessandro
d'Afrodisia, un suo commentatore del 200 d.C.).
Nelle opere dell'Organon Aristotele analizza i “giudizi”, cioè sostanzialmente le frasi che qui
sono state chiamate funzioni logiche, e come da particolari schemi di connessione di diversi
giudizi si possa ricavare una sintesi che produce nuova conoscenza. Tali schemi logico furono
detti figure di sillogismo.
I sillogismi consistono in una congiunzione di due proposizioni (premessa maggiore e minore)
aventi un termine in comune (termine medio) e da un conclusione che correla gli altri due termini.
L'importanza dell'analisi aristotelica sta nella affermazione che la validità della conclusione non
dipende da ciò di cui si parla, ma dalla forma del sillogismo.
Prima figura.
Il termine medio è soggetto della premessa maggiore, che è un affermazione universale, e
predicato della premessa minore, che è un'affermazione particolare, “Gli uomini sono
mortali” e “Socrate è un uomo”. Come conclusione si ha un'affermazione particolare
formata attribuendo al soggetto della premessa minore (Socrate) il predicato della
premessa maggiore (mortale): “Socrate è mortale”.
Seconda figura.
Il termine medio è predicato in entrambe le premesse e la prima premessa è una negazione
universale, la seconda un'affermazione universale: “I mammiferi non hanno penne”, “I
merli hanno penne”. Come conclusione si ha una negazione universale formata
attribuendo come predicato al soggetto della premessa minore (merli) il del soggetto della
premessa maggiore (mammiferi) : “I merli non sono mammiferi”.
Terza figura.
Il termine medio è soggetto nelle due premesse, costituite entrambe da affermazioni
universali: “I pipistrelli sono mammiferi”, “I pipistrelli volano”. Come conclusione si haa
una quantificazione esistenziale sui due predicati: “Qualche mammifero vola”.
Può essere un esercizio stimolante tradurre queste figure di sillogismo nel formalismo logico
adottato nei paragrafi precedenti.
Sicuramente la scienza che meglio si prestava ad essere organizzata negli schemi deduttivi
aristotelici era la matematica o meglio il ramo della matematica più approfondito dai greci cioè la
geometria. (In epoca classica, i greci non svilupparono molto aritmetica e algebra anche a causa
di un sistema di notazione numerica complicato e impreciso).
Il frutto finale di questo lavoro furono gli “Elementi” di Euclide, in cui confluirono anche i
risultati conseguiti da molti altri matematici precedenti.
Gli “Elementi”, nella storia della cultura occidentale e non solo (si pensi alla cultura araba),
furono importantissimi non solo per i matematici ma per tutti gli studiosi intenzionati ad
organizzare i risultati delle loro ricerche in schemi chiari e inconfutabili come quelli proposti da
Euclide. Così come la Logica era stata un modello per la Geometria, la Geometria diventò un
modello per la Logica ma in generale per qualunque scienza.
Ciò fu particolarmente vero per personaggi come W. G. Leibniz (sec. XVIII, contemporaneo di I.
Newton) che oltre ad essere importante filosofo fu importante matematico e fisico. Il suo ideale,
per risolvere le dispute politiche e morali che dividevano i suoi contemporanei, era di arrivare a
matematizzare le questioni filosofiche in modo da giungere a risultati universali e inconfutabili
come quelli ottenuti dalla Matematica.
Il programma di Leibniz fu ripreso e largamente attuato per la Logica, nel secolo successivo, dai
britannici A. De Morgan, cui si deve la formulazione delle leggi precedentemente ricordate, G.
Boole, che per primo propose il formalismo oggi universalmente adottato di calcolo logico e
largamente applicato allo hardware e al software dei computer, e J. Venn, che nel calcolo logico
usò ampiamente i diagrammi che oggi ne portano il nome.
Nel XX secolo l'opera di B. Russel fa in un certo senso un percorso inverso a quello di Boole:
dopo che questi ha matematizzato la Logica, Russel, si impegnò nella logicizzazione
dell'Aritmetica e dell'Algebra come unica via per fondarle e svilupparle in modo esente da
contraddizioni. La sua influenza sui pensatori del secolo fu talmente ampia che tutto un gruppo di
filosofi, denominato “Circolo di Vienna” (R. Carnap, O. Neurath e altri) lavorò intensamente alla
logicizzazione di interi campi tradizionalmente appartenenti alla speculazione scientifica o
filosofica.
