corso di laurea in fisica - analisi matematica 1

CORSO DI LAUREA IN FISICA - ANALISI MATEMATICA 1
a.a. 2009/10, proff. Marta Calanchi e Marco Vignati
1) Campo reale e campo complesso
Classi numeriche. Campi ordinati. Estremo superiore. Campo reale: definizione e principali proprietà. Radice
n-esima di un numero reale positivo. Rappresentazione decimale dei numeri reali. Sistema dei numeri reali
estesi. Campo dei numeri complessi: definizione e proprietà. Forma algebrica, trigonometrica ed
esponenziale di un numero complesso. Operazioni sui numeri complessi: Formula di De Moivre. Radice nesima di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'Algebra: enunciato e conseguenze.
2) Elementi di teoria degli insiemi e spazi metrici
Operazioni sugli insiemi. Concetto generale di funzione. Funzioni suriettive, iniettive, biiettive. Funzioni
inverse. Funzioni composte. Insiemi di egual potenza. Insiemi finiti, insiemi numerabili. Potenza del
continuo. Non numerabilità di R. R^n come spazio vettoriale normato. Disuguaglianza di CauchySchwartz. Spazi metrici e topologia: punti interni, esterni, di frontiera, isolati, di accumulazione. Insiemi
aperti, insiemi chiusi: definizione e proprietà. Insiemi limitati. Insiemi compatti: definizione e proprietà.
Caratterizzazione dei compatti di R^n. Insiemi connessi. Caratterizzazione dei connessi di R.
Compattificazione di R.
3) Successioni
Convergenza: definizione, proprietà delle successioni convergenti. Operazioni sui limiti. Successioni estratte.
Classe limite e sue proprietà. Successioni di Cauchy. Insiemi completi. Completezza di R^n e dei compatti.
Successioni monotone. Il numero e. Limiti notevoli. Definizione e proprietà dei simboli di asintotico e di
“o-piccolo”.
4) Serie di numeri reali
Convergenza, divergenza, irregolarità delle serie numeriche. Condizioni necessarie e/o sufficienti di
convergenza. Convergenza assoluta e convergenza semplice. Serie a termini non negativi: criterio del
confronto, del confronto asintotico, della radice, del rapporto. Criterio di condensazione. Serie a termini di
segno alternato: criterio di Leibnitz.
5) Limiti di funzione
Definizione metrica, definizione successionale. Il caso delle funzioni reali di variabile reale: limiti delle
funzioni elementari; esistenza del limite per funzioni monotone; asintoti, loro caratterizzazione.
6) Continuità
Continuità puntuale e globale. Controimmagine di aperti mediante funzioni continue. Continuità e
composizione. Continuità e compattezza: teorema di Weierstrass e conseguenze. Continuità della funzione
inversa. Uniforme continuità: definizione, teoremi relativi. Continuità e connessione: proprietà di Darboux.
Discontinuità per le funzioni reali di variabile reale. Funzioni monotone: teoremi relativi.
7) Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale
Derivabilità: definizione e significato geometrico. Differenziabilità e continuità. Regole di derivazione.
Derivata delle funzioni elementari. Derivate successive. Differenziabilità della funzione composta.
Differenziabilità della funzione inversa. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze.
Teoremi de l'Hospital. Formula di Taylor: resto secondo Peano, resto secondo Lagrange. Formula di MacLaurin per le funzioni elementari. Massimi e minimi relativi. Convessità in un intervallo. Punti di flesso.
Testi consigliati:
W. Rudin. Principi di Analisi Matematica. Mc Graw Hill Libri. Italia
P.M. Soardi. Analisi Matematica. Città Studi.
M. Amar, A.M. Bersani. Esercizi di Analisi matematica. Progetto Leonardo. Bologna
1) The real and complex number systems.
Number systems. Ordered fields. Least upper bound. The real field: definition and main properties. The n-th
root of a positive real number. Decimal expansions. The extended real number system. The complex field:
definition and main properties. Algebraic, trigonometric and exponential forms of a complex number.
Operations with complex numbers. De Moivre’s formula. . The n-th roots of a complex number. The
Fundamental Theorem of Algebra and its consequences.
2) Set theory and metric spaces.
Sets and functions. One-to-one, onto, and bijective functions. Inverse functions. Compositions. Equipotent
sets. Finite, countable and uncountable sets. The normed vector space R^n. Cauchy-Schwartz’ inequality.
Metric spaces and their topology. Open and closed sets, bounded sets, compact sets. Characterization of
compact sets in R^n. Connected sets and their characterization in R. Compactification of R.
3) Sequences.
Definition and properties of convergent sequences. Subsequences. Limit class. Cauchy sequences. Complete
sets. Completeness for R^n and for compact sets. Monotone sequences. The number e. Special limits.
4) Numerical series.
Convergence and divergence of numerical series. Necessary and/or sufficient conditions for convergence.
Absolute convergence. Series of nonnegative terms: comparison test, the root and the ratio test.
Condensation criterion. Alternating series and the Leibnitz criterion.
5) Limits of functions.
Metric and sequential definitions. Real functions of one real variable: limits of elementary functions; limits
for monotonic functions, asymptotic lines.
6) Continuity.
Pointwise and global continuity. Inverse images of open sets. Continuity and compositions. Continuity and
compactness: Weierstrass’ theorem. Continuity of the inverse function. Uniform continuity and related
results. Continuity and connected sets: the Darboux’ property. Discontinuities of real functions. Monotone
functions and related results.
7) Differential calculus for real functions of one real variable.
Differentiability: geometrical meaning and continuity. Differentiation rules. The derivatives of elementary
functions. Higher derivatives. Differentiation and composition. Differentiation and inverse functions. The
theorems of Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange and their consequences. L’Hospital’s theorems. Taylor’s
formula with the Peano and Lagrange forms of the remainder. Mac-Laurin’s formula for elementary
functions. Maxima and minima. Convexity in an interval. Inflection points.