Le equazioni di James Clerk Maxwell 20102011

Consideriamo un filo conduttore i cui estremi sono collegati ai poli di un generatore di tensione. La
∆L
f.e.m. è il rapporto f =
tra il lavoro speso per spostare la carica positiva ∆q dal polo negativo a
∆q
quello positivo e la carica stessa. La f.e.m. è la d.d.p. ai capi del generatore, quindi coincide con la
→
→
→
d.d.p. ai capi del filo conduttore. A compiere tale lavoro è una forza F = ∆q ⋅ E dove E è il campo
→ →
→ →
→ →
∆L ∑ F ⋅ s ∑ ∆q ⋅ E ⋅ s
elettrico all’interno del filo conduttore. Allora è f =
=
=
= ∑ E⋅ s .
∆q
∆q
∆q
Se ora consideriamo un circuito chiuso, privo di generatore, in cui circola una corrente indotta (si
pensi ad una spira) dobbiamo ammettere che a “muovere” le cariche nel circuito è ancora un campo
elettrico che chiameremo campo elettrico indotto. Quindi se il cammino è chiuso la precedente
→ →
formula
diventa
→
f = ∑ E⋅ s = C ( E ) .
Ora
poiché
la
legge
di
Faraday-Neumann
è
→
→
∆Φ B 
∆Φ
 B
→


 
essa può essere riscritta nella forma C  E  = −
f =−
∆t
∆t
 
Le equazioni di James Clerk Maxwell.
I.
→ Q
Φ E  =
  ε0
Legge di Gauss per il campo elettrico
II.
→
Φ B  = 0
 
Legge di Gauss per il campo elettrico
III.
→
circuitazione di B
→
C ( B) = µ 0 ⋅ i
Legge di Ampère
→
IV.
→
circuitazione di E
 
∆Φ B 
 
 
C E  = −
∆
t
 
→
Legge di Faraday
Osservando le quattro equazioni si notano due asimmetrie tra i campi E e B . La prima asimmetria
riguarda la presenza della carica Q nella prima e l’assenza di una analoga carica nella seconda.
Un’altra asimmetria riguarda la presenza di una corrente i nella legge di Ampere e l’assenza di i
nella legge di Faraday. Queste asimmetrie furono spiegate nella impossibilità di isolare i poli
magnetici e quindi l’impossibilità di una corrente “cariche magnetiche”. Un’altra asimmetria
consiste nella presenza del ∆Φ del campo magnetico nella quarta eq. e nella assenza di un termine
contenente il ∆Φ del campo elettrico nella terza. Spieghiamo quest’ultima.
Si osservi la figura. La circuitazione del campo B lungo la linea l è pari al prodotto della corrente i
per la permeabilità magnetica del vuoto µ0. Allora, tale circuitazione è pari a zero se si prende in
considerazione la superficie b passante fra le armature del condensatore, non "bucata" da alcuna
corrente di conduzione, ed è invece pari a µ0 i se si prende in considerazione la superficie a. Siamo
giunti a un paradosso, in quanto la circuitazione di B lungo la medesima linea l non può avere due
valori distinti. Le asimmetrie e l’ambiguità precedenti furono superate da Maxwell che aggiunse
→
∆Φ E 
  e la riformulò pertanto in questi termini
nella terza equazione la quantità µ 0ε 0
∆t

→
∆Φ

E
→
   . Il secondo termine in parentesi ha le dimensioni di una corrente ed

C ( B) = µ 0 ⋅ i + ε 0

∆t 




esso prende il nome di corrente di spostamento
Calcolo della corrente di spostamento.
Le considerazioni che condussero Maxwell a intuire la corrente
di spostamento.
Si consideri una coppia di armature metalliche contenenti un materiale isolante.
E≠0
E= 0
Un tale materiale può
essere rappresentato da un
+
+
+
+ + +
certo numero di molecole
+
+
+
neutre. Tali molecole sono
+ + +
neutre perché il baricentro
+
+
+
+
+
+ + +
della
carica
positiva
+
coincide con quello della
carica
negativa.
Supponiamo di creare una distribuzione di carica positiva e negativa sulle due piastre. Si creerà così
un campo elettrico che solleciterà le cariche, positiva e negativa, di ciascuna molecola,
provocandone l’allungamento. Infatti le cariche positive saranno spinte verso destra, quelle negative
verso sinistra. In tal modo, in un certo intervallo di tempo si assisterà ad uno “spostamento di
cariche” e quindi ad un impulso di corrente, che si manifesterà fino a quando l’allungamento delle
molecole avrà raggiunto il valore massimo.
+
+
+
-
La radiazione elettromagnetica
Riesaminando la terza e la quarta delle eq. di Maxwell si constata che una variazione del flusso di B
concatena un campo elettromotore e che una variazione del flusso di E concatena un campo
magnetico B. In generale un flusso variabile di B (o di E) non genera un campo E (o B) variabile,
ma sotto particolari condizioni ciò accade. Se ad esempio B varia secondo la legge B=C1sen(ωt)
allora il campo elettromotore associato (generato, concatenato) varia secondo la legge E=C2cos(ωt)
e genera un campo B=C3sen(ωt) e cosi continuando: in conclusione questa analisi qualitativa
conduce a prevedere l’esistenza di un campo che prende il nome di campo elettromagnetico
denominato usualmente con il nome radiazione elettromagnetica.
Le sue caratteristiche fondamentali sono le seguenti:
• in un punto prefissato dello spazio (per comodità, l’origine di un sistema di riferimento:
x=0) raggiunto dalla radiazione elettromagnetica, i valori di E di B variano nel tempo, in
fase, secondo le relazioni seguenti E = E 0 sin(ωt ) B = B0 sin(ωt )
• in un prefissato istante (per comodità, t=0), in un punto distante x dalla sorgente della
x
x
radiazione e.m. i valori di E e B sono E = E 0 sin(2π ) e B = B0 sin(2π ) essendo λ la
λ
λ
lunghezza d’onda della perturbazione e.m.
In generale, nel generico punto distante x dall’origine e nel generico istante t, i valori di E e B sono
  t x 
  t x 
E = E 0 sin 2π  −  e B = B0 sin 2π  −  con T periodo della radiazione.
  T λ 
  T λ 
Si può dimostrare che la velocità di propagazione v della radiazione elettromagnetica è legata a E e
B da:
v = E/B.
Una opportuna rielaborazione delle eq. di Maxwell conduce a stabilire che
1
v=
che, nel vuoto, è pari alla velocità della luce nel vuoto c.
µε
1
ε 0 E 2 ; Densità di energia
2
1 B2
1
2
associata a B =
; Densità di energia associata a un campo elettromagnetico = ε 0 E 0 +
2 µ0
2
Ricordiamo alcune grandezze: Densità di energia associata a E =
2
1 E0
1
2
; Irradiamento (energia che attraversa una superficie ∆S nel tempo ∆t) = cε 0 E 0
2 µ0
2
La generazione delle radiazioni elettromagnetiche
Maxwell non tento una verifica sperimentale della sua ipotesi. Questo compito fu assunto da altri
studiosi, tra cui Heinrich Hertz che nel 1885. L’apparecchiatura era costituita da un generatore di
tensione che produce tra due elettrodi una d.d.p. molto elevata, capace di provocare una scarica
elettrica. La teoria permette di dimostrare che una scarica elettrica produce un campo elettrico e un
campo magnetico variabili con estrema rapidità. Dunque quel dispositivo, secondo la teoria, doveva
comportarsi come un generatore di radiazione e.m.. Hertz cercò di verificare questa ipotesi ponendo
nelle vicinanze un secondo circuito (rivelatore) e osservò se quest’ultimo era in grado di
manifestare un qualche effetto fisico come conseguenza della scarica del generatore. In effetti Hertz
constatò che ogni volta che una scarica si innescava tra gli elettrodi del generatore, un’altra veniva
indotta fra gli elettrodi del circuito rivelatore.
rivelatore
generatore
radiazione e.m.
scarica
indotta
scarica
Egli assunse questo esito come la prova che “qualcosa” doveva essersi propagato fra gli elettrodi
del generatore e quelli del rivelatore e dal momento che questo qualcosa produceva forze sulle
cariche elettriche (infatti veniva generata una seconda scarica), ammise che che s idoveva trattare
di un ente di natura elettromagnetica: la radiazione e.m. ipotizzata da maxwell 25 anni prima.