Una nuova
dinamica
Emanuele Pugliese,
Lorenzo Santi – URDF
Udine
I parte
Velocità ed energia cinetica di elettroni
relativistici (W. Bertozzi, 1964)
• Abbiamo visto che dall’ equazione
fondamentale della dinamica classica
inserita nella definizione di lavoro
segue il teorema dell’energia cinetica
• Il lavoro compiuto da un generatore di
Van de Graaf è di tipo elettrico → per
un e- inizialmente a riposo accelerato
da una d.d.p. ∆V ci aspettiamo che
valga la relazione
1 2
2e
2
e ∆V = mv ⇒ v =
∆V
2
m
Velocità, energia cinetica di elettroni relativistici
(W. Bertozzi, 1964)
La previsione classica è un aumento indefinito
della velocità al crescere della ∆V mantenuta nel
Van de Graaf secondo una legge di potenza: v 2 ∝ ∆V
Sperimentalmente si rileva invece che, per quanto
si aumenti la ddp, la velocità non raggiunge (né
supera) mai c.
Velocità, energia cinetica di elettroni relativistici
(W. Bertozzi, 1964)
Perciò non vale v ∝ ∆V , che è conseguenza
diretta della legge fondamentale della
dinamica → l’intera dinamica newtoniana
è invalidata.
2
Misura calorimetrica (W. Bertozzi, 1964)
Con una termocoppia si
misura la variazione di
temperatura ∆T del bersaglio.
Legge
fondamentale
della
calorimetria: ∆Eint = M c ∆T.
Per il principio di conservazione
dell’energia il lavoro compiuto
sull’elettrone deve valere
L = ∆Eint . Poiché il lavoro ha
cambiato lo stato di moto degli
elettroni assumiamo che
L = ∆K = ∆Eint : il teorema dell’
energia cinetica vale anche alle
alte velocità.
Poiché la meccanica newtoniana
non è rispettata, sarà necessario
cambiare
l’espressione
dell’energia cinetica.
P.R. einsteiniano
Le sonde spaziali,
spaziali quando la loro traiettoria è lontana da
masse rilevanti, possono essere considerati SI. La stessa
fisica valida nei laboratori terrestri* funziona anche su di esse.
Questo può essere testimoniato da esperimenti eseguiti dagli
astronauti.
Anche sulla Luna l’acceleraz di gravità non dipende da m.
Stelle: per spiegarne l’evoluzione osservata si è costruito un
modello basato sulla fisica valida in un lab. terrestre. Questo
modello funziona: è in accordo con le osservazioni
astronomiche! Altre osservazioni ci hanno permesso di
trovare che le stelle si muovono a velocità ≥ 100 km/s
rispetto ai lab. sulla Terra. Questo non è scontato: nei SdR
comoventi a tali corpi valgono per ogni intervallo temporale
infinitesimo dt le stesse leggi fisiche che valgono nel SdR del
lab e delle sonde! Gli esperimenti condotti nelle stesse
condizioni danno gli stessi risultati.
Galassie: può essere fatta la stessa assunzione, che è
corroborata da risultati sperimentali (ad es. redshift
cosmologico di linee spettrali di elementi noti).
*Trascurando effetti non-inerziali, che possono a loro volta essere accuratamente spiegati da un
osservatore inerziale esterno.
La velocità limite dev’essere invariante
Immaginiamo di compiere, con lo stesso apparato, l’esperimento di
Bertozzi su un veicolo spaziale, in moto rispetto alla Terra con
velocità v, mantenendo l’asse dell’acceleratore orientato
positivamente nella direzione del moto. Acceleriamo un elettrone
fino alla velocità c – ε (con ε < v).
Con che velocità si muove l’elettrone rispetto alla Terra?
Se valesse la regola classica per la somma dovrebbe raggiungere
c–ε+v>c,
Superando la velocità limite. Qualcosa non va nelle hp formulate.
Non sembra infatti fisicamente e logicamente accettabile che usando
come propellente nell’esperimento di Bertozzi elevate d.d.p. in
grado di raggiungere altissime velocità non si riesca a portare un
elettrone alla velocità c … e utilizzando un propellente chimico per
produrre una piccola accelerazione del catodo emittente si riesca a
fargliela superare !!
Invarianza di c
La conclusione di Einstein: non esiste un sistema di riferimento
privilegiato rispetto al quale, e solo rispetto al quale, la luce si
propaga nel vuoto alla velocità c. Quale che sia lo stato di moto di un
osservatore rispetto a tale ipotetico riferimento inerziale privilegiato
egli ne riscontrerà lo stesso valore..
Non c’è un sistema di riferimento privilegiato, un sistema assoluto.
Tutti i sistemi di riferimento (inerziali) sono equivalenti. Il principio di
relatività valido in meccanica classica non lo era per
l’elettromagnetismo di fine Ottocento.
La teoria einsteiniana ne sanciva la validità anche per
l’elettromagnetismo, in breve per tutti i fenomeni. A questo si deve
il suo nome.
Domanda
• Quali sono i principali risultati
dell’esperimento di Bertozzi? Indicali.
1905, Einstein: la relatività ristretta
C’era qualcosa che non funzionava nella visione ottocentesca
riguardo alla propagazione della luce.
Al proposito, nella sua autobiografia scientifica, pubblicata nel 1984,
Einstein scrisse:
“A poco a poco incominciai a disperare della possibilità di scoprire le
vere leggi attraverso tentativi basati su fatti noti. Quanto più a lungo
e disperatamente provavo, tanto più mi convincevo che solo la
scoperta di un principio formale universale avrebbe potuto portarci
a risultati sicuri.
Dopo dieci anni di riflessione, un siffatto principio risultò da un
paradosso nel quale m’ero imbattuto all’età di 16 anni: se io potessi
seguire un raggio di luce a velocità c (la velocità della luce nel
vuoto), il raggio di luce mi apparirebbe come un campo
elettromagnetico oscillante nello spazio, in stato di quiete. Ma nulla
del genere sembra poter sussistere sulla base dell’esperienza o delle
equazioni […]” dell’elettromagnetismo.
1905, Einstein: la relatività
ristretta
“E` chiaro che in questo paradosso è già contenuto il germe della
relatività particolare.”
Se viaggiassi alla stessa velocità di un’onda piana monocromatica
che si propaga nel vuoto vedrei un profilo sinusoidale statico.
La luce è però radiazione e.m. che necessariamente si propaga a c,
come richiesto dalla teoria e mostrato dalle onde elettromagnetiche
rivelate in laboratorio nel 1887 da Hertz.
Poiché l’ipotesi che esista un SdR in quiete con la luce porta a una
contraddizione con la teoria e l’esperimento, tale ipotesi dev’essere
irrealizzabile: deve essere impossibile (per un qualsiasi corpo
materiale) viaggiare alla velocità della luce nel vuoto.
Questa velocità deve essere dunque una velocità limite.
limite
I due postulati
«L’idea teorica […] non nasce al di fuori ed indipendentemente
dall’esperienza; né può derivare dall’esperienza per puro
procedimento logico. È il prodotto di un atto creativo. Una volta che
l’idea teorica sia acquisita, è bene seguirla finché non si dimostra
insostenibile» [Einstein, Scientific American, 1950]
P.R. teorico: tutte le leggi fisiche hanno la
stessa forma in tutti i sistemi di riferimento
inerziali (SI).
P.R. sperimentale: esperimenti di qualsiasi
natura condotti nelle stesse condizioni in SI
diversi danno gli stessi risultati.
Invarianza della velocità della luce: c non
dipende dal SI in cui è misurata, né dalla
direzione della propagazione della luce.
Se abbiamo in un laboratorio in moto rispetto a noi alla velocità v
qualcosa che viaggia nella stessa direzione e verso alla velocità u’
secondo la fisica di tutti i giorni (fis. classica) la sua velocità u rispetto
a noi sarà
u = v + u'
Allora, se quel qualcosa viaggia alla velocità limite c, dovrebbe
avere velocità u=v+c>c rispetto a noi!
Bisogna cambiare la legge di composizione delle velocità.
Essa, nella cinematica classica, si deriva dalle leggi di trasformazione
delle coordinate:
x = x'+ vt Se vogliamo cambiare la legge di composizione delle
t = t'
velocità in modo da garantire l’invarianza di c
dobbiamo quindi cambiare la forma delle
trasformazioni galileiane. Un esperimento mentale ci
dà al proposito un risultato importante.
Orologio a luce
Consideriamo due osservatori in differenti SI, il primo (A) su un treno
in corsa con velocità uniforme v rispetto alla stazione, il secondo (B)
fermo sul marciapiede. A vedrà sempre l’orologio a luce fermo, B lo
vedrà in moto uniforme con velocità v. Nel SI di B l’orologio a luce
percorrerà quindi una distanza orizzontale ∆x in un intervallo ∆t.
Si pone per
convenzione che il
tempo di percorrenza
della luce in un
percorso “one-way”
valga la metà di quello
(misurabile) di andata
e ritorno.
Calcoliamo quanto dura il percorso di andata e ritorno (valutato da
B)
L’intervallo temporale fra due eventi che avvengono nella
stessa posizione è detto intervallo di tempo proprio ∆τ. Il SI in
cui tali eventi accadono nella stessa posizione è detto
riferimento proprio.
Dilatazione delle durate
• L’istante e la posizione (il tempo e lo spazio
rispettivamente) in cui avvengono i fenomeni,
pur rimanendo distinti, sono uniti fra loro dalla
formulazione di Einstein: viene teorizzata
l’esistenza di uno spaziotempo.
• Dai calcoli svolti nell’esperimento dell’orologio a
luce risulta
2
2
2
( c∆τ )
= ( c∆t ') − ( ∆x ')
• Se gli intervalli temporali (durate) sono misurati
da diversi SI essi variano: danno risultati diversi,
proprio come gli intervalli spaziali (lunghezze).
• Ma qualunque sia il SI considerato, il tempo
proprio, differenza dei quadrati dei due, ha
sempre
lo
stesso
valore
(II
invariante
relativistico).
• Qual è il primo invariante relativistico?
Stimoli per la riflessione
sull’effetto di dilatazione dei tempi
1. Abbiamo dotato l’osservatore sul treno e quello
sulla banchina di due orologi identici.
– I battiti del cuore del secondo osservatore risultano
realmente rallentati secondo il primo?
– Il secondo osservatore sente i propri battiti rallentati?
Spiega.
2. Abbiamo dotato un manovratore di ponti e un
passeggero su un treno di due orologi identici.
– L’intervallo di tempo fra l’apertura e la chiusura di
un ponte mobile è differente per il passeggero del
treno rispetto a chi lo manovra? Spiega.
Teorema energia cinetica…
• Riscrivo il teorema nella forma più generale seguente,
utilizzando la variazione di q.d.m. e la velocità (media e
istantanea)
∆p
∆p
∆x
F=
⇒ L = F ∆x =
∆x = ∆p
= ∆p um
∆t
∆t
∆t
L = ∆p um = ∆K
Passando ai differenziali
∆x
dp lim
= dK
∆t →0 ∆t
u dp = dK
• La matematica suggerisce che occorre modificare
l’espressione di p.
E la quantità di moto?
La conservazione della quantità di moto p
in meccanica classica è fondamentale:
possiamo fare l’ipotesi che abbia un
corrispettivo anche in ambito relativistico.
Di conseguenza la quantità di moto p di un
corpo animato da moto vario, misurata
rispetto al SI del laboratorio, dipenderà
in maniera diversa dalla velocità istantanea
rispetto alla q.d.m. classica: p ≠ mv.
Urti elastici
• Gli urti elastici possono essere
studiati senza conoscere i
dettagli dell’interazione
tramite la conservazione della
q.d.m. e dell’energia cinetica:
a fianco il caso 2-D
• Nel caso proiettile-bersaglio
(v2=0) unidimensionale le
espressioni per le velocità
finali si trovano facilmente
essere quelle a destra.
• Se le masse sono anche uguali
fra loro, il primo oggetto si
ferma e il secondo continua
con la stessa velocità che
aveva il primo
• Se invece l’urto proiettile
bersaglio avviene in 2-D, le
direzioni delle particelle
uscenti formano sempre un
angolo retto fra loro.
m v + m v = m v ' + m v '
2 2x
1 1x
2 2x
1 1x
m1v1 y + m2 v2 y = m1v '1 y + m2 v '2 y
1 m1v 21 + 1 m2 v 2 2 = 1 m1v '21 + 1 m2 v '2 2
2
2
2
2
m1 − m2 )
(
v1
v1 ' =
m
+
m
(
)
v1 ' = 0
1
2
⇒
(m uguali)
v2 ' = v1
v ' = 2m1 v
2 ( m1 + m2 ) 1
In 2-D: riferimento del CM
• Proviamo a studiare l’urto fra due
particelle in un SI solidale al centro di
massa di due particelle di uguale massa.
• In esso si ha sempre p1 = -p2 per def.
p1 + p2 = p '1 + p '2
p '1 = − p '2
p1 = − p2 ;
⇒
K ( p1 ) + K ( p2 ) = K ( p '1 ) + K ( p '2 ) 2 K ( p1 ) = 2 K ( p '1 )
p1 = p2 = p '1 = p '2
Supponendo K funzione biunivoca di p
K ( p1 ) = K ( p2 ) = K ( p '1 ) = K ( p '2 )
• Le velocità e gli impulsi cambiano solo di
direzione, ma non di modulo.
Urto radente
• Supporremo l’urto radente = piccolo angolo
di deflessione
piccola componente di velocità
lungo Y
piccola componente di quantità di moto
lungo Y.
1
Y
X
2
• Se aumentiamo gradualmente la velocità del SI del
lab rispetto al CM (lungo y) le componenti x della
quantità di moto della particella 2 aumenteranno,
mentre quelle della 1 diminuiranno, finché…
• …ci porremo in un SI nel quale la componente x di
v1 è nulla: v1 è tutta lungo y ed è diventata
molto piccola.
Riferimento del lab
1
Y’
X’
2
• Seppur le particelle possano essere anche
relativistiche, in B la q.d.m. di 1 si può scrivere mv1.
• Urto elastico → 1 «rimbalza» lungo direzione
di Y’: p1y = p’1y (p1= p’1).
• Vogliamo trovare l’espressione per la q.d.m.
p’2 della particella relativistica 2 dopo l’urto.
• Allo scopo consideriamo due grandezze
invarianti: gli spostamenti trasversi alla
direzione del moto del SI e il tempo
proprio fra due posizioni della particella
2.
Riferimento CM: simmetria
1
Y
X
2
• Nel rif CM c’è completa simmetria fra 1 e 2
→ le 2 particelle compiranno lo stesso
spostamento trasverso (lungo Y) nello
stesso tempo coordinato ∆t .
• Poiché p1 = p2 = p '1 = p '2 se supponiamo p =
p(u,m) biunivoca avremo per m identiche
u1 = u2 = u '1 = u '2
→ 1, 2 si sposteranno nella direzione y anche nello
stesso tempo proprio ∆τ.
• D’altra parte, la completa simmetria del
sistema fisico ci garantisce che scambiando
1 ↔ 2 non cambia nulla.
Riferimento lab: diversi ∆t’
per lo stesso ∆y’
• Nel sistema del lab gli spostamenti ∆y’ di 1 e
2 avvenuti durante l’intervallo di tempo
proprio ∆τ’ = ∆τ rimangono uguali tra loro
(perché y’ è la dimensione trasversale alla
direzione di moto del lab rispetto CM).
• I tempi coordinati ∆t’ però stavolta non
coincidono, perché le velocità di 1 e 2 dopo
l’urto non sono uguali.
• Poiché 1 è classica abbiamo ∆t1’ ≅ ∆τ. Invece
per 2 è significativa la dilatazione delle
durate: ∆t’2 = ∆τ /(1-(v’2/c)2)1/2.
1
Y’
X’
2
Rapporto fra velocità
1
Y’
• Siamo sempre nel rif del lab…
∆y’ (sopra) = v’1 ∆t’1 = v’1 ∆τ
∆y’ (sotto) = v’2y ∆t2’ = v’2y ∆τ /(1-(v’2/c)2)1/2
X’
2
⇒ v’1 = v’2y / (1 – (v’2/c)2)1/2 [rapporto componenti y
della velocità]
• Rapporto componenti della q.d.m.:
per la conservaz q.d.m. p’2y = p1 = p’1 = m v’1
⇒ p’2y = m v’2y / (1 – (v’2/c)2)1/2
• Infine per una ragione geometrica (similitudine
triangoli) p’2 / p’2y = v’2 / v’2y ⇒ p’2 = (v’2 / v’2y)
mv’2y/(1 - (v’2/c)2)1/2 =
p’2 = m v’2 /(1-(v’2/c)2)1/2
. Quantità di moto e velocità sono infatti collineari
In definitiva, eliminando gli indici
p=mv
1− v / c
2
2
Quesito
• Scrivi una ragione per la quale la
q.d.m. non può essere scritta alle
alte velocità nella forma classica p =
m v.
Seconda parte
Riassunto I parte e
deduzione K relativistica
I due postulati
1. Assumiamo il Principio di Relatività
P.R. (teorico): tutte le leggi fisiche hanno la
stessa forma in tutti i sistemi di riferimento
inerziali (SI).
P.R.
(sperimentale):
esperimenti
di
qualsiasi natura condotti nelle stesse
condizioni in SI diversi danno gli stessi
risultati.
2. P.R. + rilevazione sperimentale
di una
velocità limite ⇒ In ogni SI si misura la
stessa velocità limite…
Invarianza della velocità della luce: c non
dipende dal SI in cui è misurata, né dalla
direzione della propagazione della luce.
… e bisogna cambiare la legge di composizione
delle velocità
L’intervallo temporale fra due eventi che avvengono nella
stessa posizione è detto intervallo di tempo proprio ∆τ. Il SI in
cui tali eventi accadono nella stessa posizione è detto
riferimento solidale.
Dilatazione delle durate
L’istante e la posizione in cui avvengono i fenomeni,
pur rimanendo distinti, sono uniti fra loro dalla
formulazione di Einstein: viene teorizzata l’esistenza di
uno spaziotempo fatto di eventi (= istante + posizione)
Dai calcoli svolti nell’esperimento dell’orologio a luce
risulta
2
2
2
( c∆τ )
= ( c∆t ') − ( ∆x ')
Se gli intervalli temporali (durate) sono misurati da
diversi SI essi danno risultati diversi: variano.
Anche gli intervalli spaziali (lunghezze) misurati da
diversi SI danno risultati diversi…
Ma il tempo proprio ∆τ (differenza tra il quadrato
dell’intervallo temporale e di quello spaziale) misurato
da diversi SI dà sempre lo stesso valore: è un
invariante relativistico.
Teorema dell’energia cinetica
Riscrivo il teorema in una forma più generale, utilizzando la
variazione di q.d.m. e la velocità (media e istantanea)
∆p
∆p
∆x
F=
⇒ L = F ∆x =
∆x = ∆p
= ∆p um
∆t
∆t
∆t
L = ∆p um = ∆K
Passando ai differenziali
∆x
dp lim
= dK
∆t →0 ∆t
u dp = dK
K non ha la forma classica (esp. Bertozzi) → la matematica
suggerisce che occorre modificare anche l’espressione di p
(conservata in relatività).
Urto di due particelle nel
caso relativistico
• Riferimento CM. Le velocità e
gli impulsi cambiano solo di
direzione, non in modulo.
p1 = p2 = p '1 = p '2
1
u1 = u2 = u '1 = u '2
• Riferimento lab. v1 e
v’1 sono lungo y.
1
Y’
Y
X’
X
2
• Hp: (1) la quantità di moto si
conserva negli urti relativistici
analizzati da qualunque SI; (2)
urto radente.
• Simmetria completa tra 1 e 2.
2
• Part. 1 non relativistica:
p1 = m v1; p1’ = m v’1
1
C.M.
Y
1
Y’
X
2
Invarianti:
• spostamenti ortogonali
alla
direzione del moto
del SI lab rispetto al
CM;
(1) intervallo ∆τ fra
due posizioni della
particella 2.
Spazi (lungo y) uguali e
tempi
coordinati
uguali → vy1 = vy2
X’
LAB
2
Tempi propri uguali e
spostamenti (lungo y)
uguali fra 1 e 2, ma
tempi coordinati diversi
per dilatazione tempi →
v’1 = v’2y / (1 – (v’2/c)2)1/2
• Conservazione q.d.m.
+ collinearità tra v e p
→ p’2 = m v’2 /(1-(v’2/c)2)1/2
p=mv
1− v / c
2
2
Quesito
• Scrivi una ragione per la quale la
q.d.m. non può essere scritta alle
alte velocità nella forma classica p =
m v.
Energia cinetica
• Abbiamo ottenuto l’espressione matematica per la q.d.m. a qualunque velocità
2
2
p (u ) = m u
1 − u / c = γ (u )m u
• Assumiamo la validità di u dp = dK
• Quale sarà la forma per la variazione di
K di un corpo che viene portato nel SI
del lab da fermo alla velocità u ?
Energia cinetica
dK = u dp = m u d ( γ u ) = mu {( d γ ) u + γ du} (*)
u2
2 dγ
u
dγ
u
Poiché 2 = 1 − 2 ⇒ − 3
= −2 2 ⇒
=γ3 2
du
c
c
c
γ
γ du
1
u
1 c2
d γ = γ 2 du ⇒ du = 3
d γ posso sostituire il secondo differenziale
γ u
c
3
1 c 2
dγ = m u dγ
(*) dK = mu u d γ + γ 3
γ u
c2
2
u
u
m
c
dγ
+
−
=
u
Se dK = m c 2 d γ allora ∆K = m c 2 ∆γ = m c 2 ( γ (u ) − γ (0) ) = m c 2 ( γ − 1)
L'energia "cinetica" dev'essere nulla per def. quando l'oggetto è fermo :
K (0) ≡ 0.
Quindi ∆K = K (u ) − K (0) = K
K = m c 2 ( γ − 1)
Limite newtoniano di K
Vediamo a che cosa si riduce questa relazione per velocità molto
inferiori a quelle della luce (limite classico). Dobbiamo
approssimare la funzione
γ (u) = 1 / ( 1 – (u/c)2 )1/2
Utilizzeremo a tal fine la formula di approssimazione delle potenze di un
binomio (anche con esponente frazionario)
(1 − X )
N
Nel nostro caso N = -1/2 e quindi
( )
2
= 1 − NX + O X
X <<1
2 −1/2
u
γ = 1 −
c
L’espressione per K diventa
2
1 u
≅2 1 − −
2 c
u
<<
1
c
K = m c2 (γ -1) ≅ m c2 ( 1+ ½ (u/c)2 – 1) = ½ mu2
coincidente con l’espressione classica
Interpolazione dati di W. Bertozzi
Un controllo dell’espressione
ricavata per K si può
fare con i dati
dell’esperimento di
Bertozzi.
Si può facilmente ricavare
l’espressione relativistica
per il quadrato della velocità
in funzione dell’energia cinetica
invertendo la formula trovata
per K:
v2/c2 = 1- [ me c2 / (me c2 + K) ]2
(previsione di Einstein: curva rossa )
Essa riproduce bene
l’andamento dei dati.
K = m c 2 ( γ − 1) è la nuova espressione
per l'energia cinetica
Domande
L’energia cinetica è:
• La quantità espressa dall’equazione K = ½ m v2 ;
• La forma di energia associata allo stato di moto
dell’e-;
• Un termine essenziale per soddisfare il principio
di conservazione dell’energia;
• Una combinazione delle precedenti (precisa
quale)
