Operazioni con i monomi Somma algebrica di monomi

Operazioni con i monomi - 1
Operazioni con i monomi
Polynomials: Combining "Like Terms"
Eléments du calcul littéral
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Somma algebrica di monomi
1.
 4 y 2  5 y 2  15 y 2 
2.
1
a  2b  a - b 
2
3.
7a  3b  5b  12a  4b  6a 
4.
 4a  3b  a  2b  5a  4b 
5.
 10 xy  4 y 2  7 xy  11xy  3 y 2  y 2 
6.
 5x 2 y  6 x 2 y  9 xy 2  3x 2 y  2 xy 2 
7.
6 x 2 y  9 xy 2  3x 2 y  5x 2 y  2 xy 2  9 xy 2 
8.
2 xy 2  6 x 2 y  9 xy 2  3x 2 y  5x 2 y  2 xy 2  9 xy 2 
9.
1
1
7 1
1
19
 2x  y   y  x  
3
3
2 6
4
6
10.
1 2 3
2
7
x y  5x 2 y 3  x 2 y 3  x 2 y 3  5x 3 y 2 
5
3
15
11.
 3x   7a    2 x   5a    8a  
12.
8a b  3ab  b   10ab  5ab  8a b  5b
13.
 2a
2
2
2
2
 
(*)
2
 

 10ab  3a 2 b  8ab  3b 2  3a 2 b 

 5a  3b   3b  2a 2  5a  6 
14.
1  3
2
1  1
1
4 
 1
  cx  bx    ax  bx  cx    bx  cx  ax  
2  7
5
6   10
3
7 
 6
15.
y 2  3x 2  5xy  2 x3  10 xy  3 y 2  2 x3   5xy  10 x3  4 y 2  10 x3 
16.
2 x3 y 3  2  xy 3  6 x 2 y 3  3  xy 3  3x 2 y 3  5  2 x 2 y 3  2 x3 y 3 


 


(*) gentile concessione di stringher.blog.kataweb.it/ - Commissione e-learning IPSSCART B. Stringher – Udine
Copyright© 1987-2008 owned by Ubaldo Pernigo, please contact: [email protected]
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Operazioni con i monomi - 2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Prodotto, divisione e potenze di monomi
17.
aaa 
18.
a2  a2  a2 
19.
 12x y    6x  
20.
 18x
4
2
6
y 4 z   6x 6 y 2 z 
 

21.
 3 3   4 2
  x y     xy  
 4
  7

22.
 3 3 2   9 
  x y z     xy  
 4
  4 
23.
 3 3 2   9 
  x y z     xy  
 4
  4 
24.
 21 2 4   15 2 
 x y z    xy z  
5
 7

25.
 21 2 4   14 2 
 x y z     xy z  
5
  5

26.
4
2
− 𝑥2 ∙ 𝑦 =
3
5
27.
−
15 3 2
5
𝑥 𝑦 𝑧 : − 𝑥𝑦𝑧 =
2
4
28.
5a3b2 :  2ab 
29.
 6a b c   3ab c  
30.
5
3
4 3
3
2
 1 2 3  3 3 2
  ab c  :   ab c  
 2
  2

(*)
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Operazioni con i monomi - 3
Esercizi riassuntivi
31.
x
3
 

y 2  7 x 3 y 2  3x 3 y 2  5 x 2 y  2 x 2 y 
32.
1 6 2  1 2  1 4 2 2 3 2
5 2 3
7 4 
 2 a b    2 ab   4 a b  3 a b  2a b  :   2 a b  




 
33.
 3 2 3   10
5 3  2 2 4 
2
  a bc     abc    a c    b c  
 4
  9
 8
 5




 

3 2
2
3
2
2 4
34. 12 x y :  4 xy  2 xy   3xy  15x y : 3 y   6 x y 
2
(*)
 
35.
 2  4
 1 
2
2 x :   x 3   x 3 y 2 :   xy    2 xy  : xy 2 
 3  3
 3 
36.
2
2

4 2 6 4  1 2 4 4
1 2 3 2  
 1 2  
ab   a b c   :  a    ab c    a bc m :   a c m  
3
2
  
 2
 
 3


37.
 1 2 3 4  6  1 2 3 4  2   1 2 3 4  2  1 2 3 4  3 
1 4 6 8
  x y z     x y z      x y z     x y z    x y z 

 3
   3
  3
 
3
 3
38.
5
2
6

 3 2   3 3 3 2  
  3 2
  xy  :  x y : x y   :   xy  

  4
 

 4
  4
39.
4
3
(*)
5
3
(*)
2
3
−𝑦 2 −
1 2
3
3
2
𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑥 2
2
4
2
3
∙
3
=
5
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Operazioni con i monomi - 4
Soluzioni esercizi di somma algebrica di monomi
 4 y 2  5 y 2  15 y 2 
 1y 2  15 y 2 
 14 y 2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1
a  2b  a - b 
2
1
 a  a  2b - b
2
3
 ab
2
(1/2)a + 2b + a – b =
(1/2)a + 2b + a – b =
(1/2)a + a + 2b – b =
= (3/2)a + b
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
7a  3b  5b  12a  4b  6a 
 7a  12a  6a  3b  5b  4b 
 5a  6a  2b  4b 
 a  6b
7a – 3b + 5b -12a + 4b + 6a =
=7a – 3b + 5b - 12a + 4b + 6a =
=7a - 12a + 6a – 3b + 5b + 4b =
= (7-12+6)a + (–3+5+4)b =
= a + 6b =
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
 4a  3b  a  2b  5a  4b 
 4a  a  5a  4b  3b  2b 
 5a  5a  b  2b 
 3b
-4a + 3b – a – 2b + 5a – 4b =
= -4a + 3b - a - 2b + 5a -4b =
= -4a - a + 5a - 2b -4b + 3b =
= (-4-1+5)a + (-2-4+3)b =
= -3b
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
 10 xy  4 y 2  7 xy  11xy  3 y 2  y 2 
 10 xy  7 xy  11xy  3 y 2  y 2  4 y 2 
 17 xy  11xy  4 y 2  4 y 2 
 6 xy
-10xy+4y2-7xy+11xy-3y2-y2 =
= -10xy+4y2-7xy+11xy-3y2-y2 =
= -10xy-7xy+11xy+4y2-3y2-y2 =
= (-10-7+11)xy+(4-3-1)y2 =
= -6xy
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
 5 x 2 y  6 x 2 y  9 xy 2  3x 2 y  2 xy 2 
 5 x 2 y  6 x 2 y  3x 2 y  2 xy 2  9 xy 2 
 12 y  3x 2 y  11xy 2 
 4 x 2 y  11xy 2
-5x2y+6x2y-9xy2+3x2y-2xy2 =
= -5x2y+6x2y-9xy2+3x2y-2xy2 =
= -5x2y+6x2y+3x2y-2xy2 -9xy2 =
= (-5+6+3) x2y +(-2-9)xy2 =
= 4 x2y – 11 xy2=
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Operazioni con i monomi - 5
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
6 x 2 y  9 xy 2  3x 2 y  5 x 2 y  2 xy 2  9 xy 2 
 6 x 2 y  3x 2 y  5 x 2 y  2 xy 2  9 xy 2  9 xy 2 
 9 x 2 y  5 x 2 y  7 xy 2  9 xy 2 
 4 x 2 y  2 xy 2
6x2y-9xy2+3x2y-5x2y-2xy2 +9xy2=
= 6x2y-9xy2+3x2y-5x2y-2xy2 +9xy2=
= 6x2y+3x2y-5x2y +9xy2-2xy2 -9xy2=
= (6+3-5)x2y+(-9-2+9)xy2 =
= 4 x2y – 2 xy2=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
2 xy 2  6 x 2 y  9 xy 2  3x 2 y  5 x 2 y  2 xy 2  9 xy 2 
 2 xy 2  2 xy 2  9 xy 2  9 xy 2  6 x 2 y  3x 2 y  5 x 2 y 
 9 xy 2  5 xy 2 
 4x 2 y
2xy2 +6x2y+9xy2+3x2y-5x2y-2xy2 -9xy2=
= 2xy2+6x2y-9xy2+3x2y-5x2y-2xy2 +9xy2=
= 6x2y+3x2y-5x2y =
= (6+3-5)x2y =
= 4 x2y =
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1
1
7 1
1
19
 2x  y   y  x  
3
3
2 6
4
6
1
1
1
19 1 7
 2 x  x  y  y    
4
3
6
6 3 2
 8 1
2 1
19  2  21

x
y

4
6
6
7
1
 x y
4
6
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1 2 3
2
7
x y  5x 2 y 3  x 2 y 3  x 2 y 3  5x 3 y 2 
5
3
15
 3  75  10  7 2 3 

x y   5x 3 y 2 
15


5
 7 5 2 3 
  
x y   5 x 3 y 2 
 11 5

 5 x 2 y 3  5 x 3 y 2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Operazioni con i monomi - 6
 3x   7a    2 x   5a    8a  
 3x  7a  2 x  5a  8a 
 3x  2 x  7a  5a  8a 
  3  2x   7  5  8a 
  x  10a
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
8a b  3ab  b   10ab  5ab  8a b  5b
2
2
2
2
 

 10ab  3a 2 b  8ab  3b 2  3a 2 b 
2
2
2
2
2
  ab
  ab
8a 2b  3ab  b 2   10
   5ab  8a b  5b  10
      3a b  8ab  3b   3a b 
 8 a 2 b  3ab  b 2  5ab  8 a 2 b  5b 2  3 a 2 b  8ab  3b 2  3 a 2 b 
 3 ab  5 ab  8 ab  b 2  5b 2  3b 2 
 3b 2
8a b  3ab  b   10ab  5ab  8a b  5b
2
2
2
2
2
2
2
2
 

 10ab  3a 2 b  8ab  3b 2  3a 2 b 
2
2
2
= 8a b +3ab -b +5ab -8a b -5b +3a b -8ab +3b -3a b =
= 8a2b -8a2b +3a2b -3a2b +3ab +5ab -8ab -5b2 +3b2 -b2 =
= -3b2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
 2a
2
 

 5a  3b   3b  2a 2  5a  6 
 2a  5a  3b  3b  2a  5a  6 
2
2
 2a 2  2a 2  5a  5a  3b  3b  6  6
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1  3
2
1  1
1
4 
 1
  cx  bx    ax  bx  cx    bx  cx  ax  
2  7
5
6   10
3
7 
 6
1
1
3
2
1
1
1
4
  cx  bx  ax  bx  cx  bx  cx  ax 
6
2
7
5
6
10
3
7
3
4
1
2
1
1
1
1
  ax  ax  bx  bx  bx  cx  cx  cx 
7
7
2
5
10
6
6
3
34
5  4 1
11 2

ax 
bx 
cx 
7
10
6
1
0
0
1
  ax  bx  cx   ax
7
10
6
7
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=


 
 


y 2  3x 2  5xy  2 x3  10 xy  3 y 2  2 x3   5xy  10 x3  4 y 2  10 x3 
 y 2  3x 2  5 xy  2 x 3  10 xy  3 y 2  2 x 3  5 xy  10 x 3  4 y 2  10 x 3 


 y 2  3x 2  5 xy  2 x 3  10 xy  3 y 2  2 x 3  5 xy  10 x 3  4 y 2  10 x 3 
 10 x 3  10 x 3  2 x 3  2 x 3  3x 2  5 xy  5 xy  10 xy  y 2  3 y 2  4 y 2 
 3x 2  10 xy  10 xy  4 y 2  4 y 2  3x 2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Operazioni con i monomi - 7
2 x3 y 3  2  xy 3  6 x 2 y 3  3  xy 3  3x 2 y 3  5  2 x 2 y 3  2 x3 y 3 
2 x 3 y 3  2  xy 3  6 x 2 y 3  3  xy 3  3x 2 y 3  5  2 x 2 y 3  2 x 3 y 3 
 2 x 3 y 3  2 x 3 y 3  2  3  5  xy 3  xy 3  6 x 2 y 3  3x 2 y 3  2 x 2 y 3 
 6 x 2 y 3  3x 2 y 3  2 x 2 y 3  (6  3  2) x 2 y 3   x 2 y 3
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Soluzioni esercizi su prodotto, divisione e potenze di monomi
a  a  a  a3
a 2  a 2  a 2  a 2 2 2  a 6
 12x y    6x   2x y
 18x y z    6x y z   3 y
4
2
6
4
2
6
2
2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
3 4 3
 3 3   4 2
  x y     xy    x y
7
 4
  7

1 2
 3 3 2   9 
  x y z     xy    x yz
3
 4
  4 
27 4 3
 3 3 2   9 
  x y z     xy    x y z
16
 4
  4 
 21 2 4   15 2 
3 6 2
 x y z    xy z   9 x y z
5
 7

3 2
 21 2 4   14 2 
 x y z     xy z    xy
2
5
  5

4
2
8
− 𝑥2 ∙ 𝑦 = − 𝑥2𝑦
3
5
15
15
5
− 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 : − 𝑥𝑦𝑧 = 6𝑥 2 𝑦
2
4
5
5a 3 b 2 :  2ab    a 2 b
2
 6a b c :  3ab c   2a b
5
3
4 3
3
4

2a 4 
c  oppure   2 
bc 

1  2
2
1 5
 1 2 3  3 3 2  1 3 6 9  9 2 6 4
  ab c  :   ab c     a b c  :   a b c    ac
18
 2
  2
  8
  4

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Operazioni con i monomi - 8
Soluzioni esercizi riassuntivi
x
3

 

y 2  7 x 3 y 2  3x 3 y 2  5 x 2 y  2 x 2 y 
 

  3x3 y 2  3x 2 y 
1
  3    x 3 2 y 2 1   xy
 3
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1 6 2  1 2  1 4 2 2 3 2
5 2 3
7 4 
 2 a b    2 ab   4 a b  3 a b  2a b  :   2 a b  




 
1
 1
  5

   a 7 b 4  a 7 b 4  2 a 7 b 4  :   a 2b 3  
6
 4
  2

  3  2  24 7 4   5 2 3 

a b  : a b  
12

  2

 25
  5

   a 7 b 4  :   a 2b 3  
 12
  2

5
 25   2 
      a 7  2b 4  3   a 5b
6
 12   5 
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
 3 2 3   10
5 3  2 2 4
2
  a bc     abc    a c    b c  
 4
  9
 8
 5

 5 3   2 2 4 
 3 2 3   10
2
  a bc     abc    a c    b c  
 4
  9 3

  5
  4 8
5
1
 10  3 3 2 5
13
  a 3b 2 c 5  a 3b 2 c 5 
a b c   a 3b 2 c 5
6
4
12
12
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=



  
  
12 x 3 y 2 :  4 xy 2  2 xy   3xy 3  15x 2 y : 3 y   6 x 2 y 4 
 12 x 3 y 2 :  4 xy 2  2 xy   3xy 3  15 x 2 y : 3 y   6 x 2 y 4 



 3x  6 x y  5 x  6 x 2 y 4 
2
2
4
2
 3x 2  5 x 2  6 2 y 4  6 x 2 y 4 
 2x 2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
2
 
 2  4
 1 
2
2 x 4 :   x 3   x 3 y 2 :   xy    2 xy  : xy 2 
 3  3
 3 
 3
 4
1

 2 x 4    x  3   x 3 y 2 :  x 2 y 2   4 x 2 y 2 : xy 2 
 2
 3
9

4
9

 3x  x 3 y 2   x  2 y  2   4 x 
3
1

 3x  12 x  4 x 
  3  12  4x  13x

 
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Operazioni con i monomi - 9
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
3
5
2
2

4 2 6 4  1 2 4 4
1 2 3 2  
 1 2  
ab   a b c   :  a    ab c    a bc m :   a c m  
3
2
  
 2
 
 3


3
5

4
1
 
1

 3

 ab   a 4 b 6 c 4  :  a   a 2 b 4 c 2   a 2 bc 6 m 4    a  2 c  4 m  4  
3
4
 
4

 1


3
5
1
  1

  a 5 b 7 c 4  :  a 3 b 4 c 2   4bc 2 
4
  4

1
 
4
3 5



 a 15b 21c12 :  a 15b 20c10  4bc 2 
2


1
     bc 2  4bc 2 
4
 16bc 2  4bc 2  20bc 2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
3
2
 1 2 3 4  6  1 2 3 4  2   1 2 3 4  2  1 2 3 4  3 
1 4 6 8
  x y z     x y z      x y z     x y z    x y z 
3
  3
   3
  3
 
 3
3
2
 1 2 3 4  6 2   1 2 3 4  23 
1
   x y z      x y z    x 4 y 6 z 8 
3
   3
 
 3
3
2
 1 2 3 4  4   1 2 3 4  5 
1
   x y z      x y z    x 4 y 6 z 8 
3
   3
 
 3
12
10
1
 1

 1

  x2 y3z4    x2 y3z 4   x4 y6 z8 
3
 3

 3

2
 1
 1
  x2 y3z4   x4 y6 z8 
3
 3

1
1
1 3 4 6 8
2
 x4 y6 z8  x4 y6 z8 
x y z   x4 y6 z8
9
3
9
9
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
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Operazioni con i monomi - 10
3
5
2
6

 3 2   3 3 3 2  
  3 2
  xy  :  x y : x y   :   xy  

  4
 

 4
  4
 3 2  5
   xy 
 4

 3

:  x 3 2 y 31 
 4

 3 2  5
   xy 
 4

 3

:  xy 2 
 4

2
2
3
  3 2  6
 :   xy  
  4

3
  3 2  6
 :   xy  
  4

3
 3 2  53   3 2  6
   xy   :   xy  
 4
   4

3
2
6
6
6
66
 3
   3

 3
  3

 3

   xy 2   :   xy 2     xy 2  :   xy 2     xy 2   1
 4
   4

 4
  4

 4

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1 2
3
3
2
3
𝑥 − 𝑥 2 − 4𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑥 2
∙ =
2
4
2
3
5
1
3
3
2
3
= −𝑦 2 − 𝑥 2 − 𝑥 2 + 4𝑦 2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑥 2 ∙ =
2
4
2
3
5
6 − 9 + 8 2 −2 − 3
3
= −𝑦 2 −
𝑥 +
𝑥𝑦 + 4𝑦 2 ∙ =
12
2
5
5 2 5
3
= −𝑦 2 −
𝑥 − 𝑥𝑦 + 4𝑦 2 ∙ =
12
2
5
5 2 5
3
= −𝑦 2 −
𝑥 + 𝑥𝑦 − 4𝑦 2 ∙ =
12
2
5
5
5
3
= − 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 5𝑦 2 ∙ =
12
2
5
1
3
= − 𝑥 2 + 𝑥𝑦 − 3𝑦 2
4
2
−𝑦 2 −
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Sitografia utilizzata per alcuni esercizi
stringher.blog.kataweb.it/
E-learning IPSSCART B. Stringher – Udine
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
KEYWORDS
Algebra, calcolo letterale, monomio, polinomio, binomio, trinomio, prodotti
notevoli, esercizi con soluzioni
Algebra, Monomial, Polynomial, binomial, trinomial, perfect square
trinomials, algebraic factoring, exercises with solution
Algebra, Polinomio, monomio, binomio, trinomio, Igualdades notables,
operaciones con polinomios,
Algèbre, Polynôme, Monôme, Polynômes remarquables
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Operazioni con i monomi - 11
Algebra, Polynom, Binom
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