I
12
Prelazione
mento di matematica della University of Colorado, che ha letto una
stesura quasi definitiva del manoscrirto, e dai commenti particolareggiati su una primitiva stesura del manoscritto del mio ex-compagno
di scuola professor Richard Montague del dipartimento di filàsófia
della UCLA. Ad essi vanno i miei ringraziamenti e la mia sratitudine. RingrazioancheMrs. Kathi George,per il suo aiuto nefa revisione delle bozze, Ta mia segretariaMrs. Eloise Pearson, per la pazienz,? dimostrata per la difficoltà del manoscritto, e mia moglie
Marilyn per la comprensione che ha dimostrato mentre scrivèvo
questo libro.
Robert Rogers
Boulder, Colorado, settembre1970
Capitolo primo
La logica enunciativa
L.l Introduzione
Nei primi quattro capitoli di questo !br9 ci occuperemodi -unapresentizione iorm^1. dì vari setiori della logica matematica. Nel presente capitolo prenderemo in esame il piú elementare di questi settori, cioè la làgica enunciatiua o calcolo proposizionale' Esso.ha a
che fare con le"proprietà logiche delle varie forme di composizione
di enunciati, per mezzo delle quali gli enunciati possono esserecombinati in modo da dare come iisultato enunciati composti. In parti
colare, ci occuperemo qui del problema di distinguere, tra gli. enunciati in n.n.."i.. quelli-che sono veri unicamente in virtú delle proprietà lJgich. d"i'connettivi enunciativi,. ossia la cosiddetta classe
delle nuíotogie. sr trarta degli enunciati che sono veri, si dice, <<unicamente in v"irtú del significato degli stessi connettivi enunciativi >>'
Tali enunciati costiruis;ono la clasie piú fondamentale delle verità
logiche.
Il-no.tro approccio alla logica enunciativa - e alle diverse branche
- sarà in
piú avanzaii della logica ónsiderate nei.capitoli II I IY
parte sintattico e in iarte semantico.Nella sintassi ci si occupa solianto di varie caratteìistiche tipografiche, o strutturali, delle espressioni considerate.Non sí presuppongono qui né significati né interpretazioni; simboli ed espìessioniin generale sono considerati non
i.rt.rp..tuii. Nella semanlica, invece, ci si occupa non .solo delle caratteiistíche slutturali delle espressioni,ma anche delle loro interpretazioni. Cosí, nella semantica simboli ed espressionisono interpretati, e alcune espressionisi dicono aere ed altre false, una volta
date certe interpretazioni di esse.
Nel considerare^ciasc.,no dei vari settori della logica, e quindi la
logica enunciativa in particolare, procederemo sviluppando un cefto
,itr*o lormale dl tog)ra (o un intiro gruppo di sistemi formali)' Ciò
sarà fatio in ciascunóaso ,eg.rendoun determinato ordine. In primo
una certa parte della sintassidi
luolo, p...rderemo in consid'erazione
q".i tiJr.-u di logica, caratterizzandoprincipalmente, in modo esatto,
i simboli e le lolnule di quel sistema. In particolare, nel caratterizzareo distinguere come formule alcune espressionidel sistema, non
1 t
IA
Logica matemariro r rrori"(lormalizzate
si fa riferimento a nessuna interpretazione delle espressionistesse.
Il secondo-passo
_nella formulazióne di un sistema di logica consisterà nel fornire la semantica di esso, in primo luogo siecificando
esattamenrecome le espressionidel sistemà devono èrr.È int.rpretate e in secondo luogo definendo un certo numero di importànti
concetti semantici e stabilendo alcuni risultati fondamentali-concernenti tali concetri. Quel che è -logicarnente
piú importante, definiamo qui il concetto {ondamentale di formula
aarida nel sistàma dato.
Nel caso della_logicaenunciativa le formule logicamentevaride sono
le tautologie. Da ultimo, torneremo all'esamesintattico e cercheremo
di carutterizzaresintatticamentequesta classedí formule valide, che
abbiamo appunto definito semaiticamente. Tenteremo di faré ciò
assumendocerte formule come assiomi, cioè come formule accettate
senza dimostrazione. Successivamentespecificheremoalcune regole
di inlerenza e definiremo come teoreù quelle formule del sistEma
che possono esserederivate dagli assiomi-per mezzo delle regole di
infercnza. Lo scopo è fare ciò in modo tale che i teoremi di tir dato
sistema particolare vengano a coincidere con le formule valide deno
stesso sistema. Nel caso_della_logicaenunciativa ciò si rivela possibile; qui la classe delle formule ialide può essere caratterizzata con
successocon mezzi sintattici. Questo rímane vero anche per quella
branca della logica che esamineremonei capitoli II e IIi, clàa lu
Lo.gicade! p,redicati del prinno ordine; -.nt.è non risulta piú possi
bile.per la logica del capitolo IV, cioè la logica dei predicàti ait ,.condo ordine._In questo caso_l'approcciosirtattico-cede il passo a
quello semantico; infatti, la classedelle formule logicamente valide
può essere catattetizzata solo semanticamente.
Elementi di logica enunciativa furono studiati da alcuni dei primi
Stoici. antichi, e un certo numero di contributi minori alla logica
enunciativa viene dal periodo medioevale. Lo studio rieoroso" di
essa' comunque, non inizia ptima della seconda metà del-diciannovesimo secolo. L'aurore piú importante nella storia complessivadi
tale logica è Glottob Eregè1ts+8-1925), che è stato chiamàto il Àag
giore logico dei tempi moderni. La p'ima formulazione deila rosica
enunciativa come sistema formale apparve, nel 1g79, ne| Begifs_
scbrìlt^di_Frege.Altre figure importanti deila storia dí q,r..tu iàgí.u
s^9no-G. Boole (1815-1864), E. Schróder (1841-1902), il logió .
filosofo americanoC. S. Peirce (1839-1914 ed E. posí.t
1.2 Connettiui enunciatiui
Si consideri I'enunciato "Oggi è lunedí e domani sarà martedí',.
È ovvio che tale enunciato iùptica I'enunciato "Oggi è t"".Ji,;ìa
\
15
La logicaen\nciatiua
sensoche è impossibile che il primo di questi due enunciati sia vero
senzache sia vèro il secondo.Possiamo dire che questa implicazione
vale in virtú della natura stessa della congiunzione enunciativa.
La congiunzione di enunciati è uno degli argomenti studiati nella
logica ànunciativa. Ad essa è assegnataun'analisi precisa nel modo
r.!.r.nt., un enunciato composto della forma
A e B
è detto una congiunzione, con A e B come suoi co-ngiunti;I'a congiunzione di A e"B è consideratavera esattamentenel casoche l'enunlirto A e I'enunciato B siano entrambi veri. Tale caso è uno dei
quattro casi complessivamentepossibili: A e B enttambi veri; A
,i..o, B falso; A ialso, B vero; A e B entrambi falsi' Solo nel primo
di questi quattro casi la congiunzione
A e B
è vera. Tutto ciò può esseredetto semplicementefacendo uso delle
torol, 2i uerità, che sono àiagrammi schematici di un
*riaa.,t"
per il connettivo enunciativo
determinato tipo. La tavola di verità"V"
"F"
"e"
stanno per i due
ed
lettere
le
dove
è la..g.rè.rr.,
falso:
e
vero
di
verità,
valori
A
A e B
B
V V I u
V F I
F v l r
F
F
I
F
"Cesare
era fomano,"
Come esempio si considerino gli enunciati
"Beethoven
,,Shakespearlera inglese" e
era italiano". Di questi
"n.,n.irtì, i primi d,i. ,otto veri e il terzo è falso' Quindi la con"Cìsare
era romano e Shakespeareera inglese" è un.enungiunzione
"Cesare
era romano e Beethoven
Eiu,o uaro, mentre la congiunzione
era italiano" è un enunciato falso'
"e"
presenta un ragionevole.accordo
Tale impiego del connetlivo
"
nel discorsoinformale e ggoè
uiata
pur{lu
,"
.o.r il -àdJ in cui la
per il fatto che
principalmente
quell'uso
da
difierisce
Esso
tidiano.
corpossono,essere
nella logica degli enunciati due enunciati qu,alsiasi
I
richtede.che
si
non
relati midiante quel connettivo. In particolare,
ciò
riguard.a
quanto
per
I'altro
l'un
congiunti A e R siano correlati
su Lri essi vertono, cioè per il loro argomento' Ad esempio i due
/
(
16
Logica matematica e teori{ lorrualizzate
"Oggi
enuaciati
è lunedí" e "2+2:4,,
possono.rr.l'..o-birr"ti
cosí da dare I'enunciato composto "Oggi è junedí e 2 # 2: +-; Na
discorso ordinario tale enuniiato foré"non sarebbe grai usato, ial
momento che non vi è nessuna "connessione,,tta gli'atgo-anti d.i
"ri.tiàd.
due congiunti. Ma nella logica enunciativa non si
nessuna
"connessione"
di tale g.rre.à, né qui né nel caso di nessun,ltro connettivo enunciativo. Non richiedendo nessuna "connessione" di tale
sorta, la logica degli enunciati diviene molto piú semplice di quanto
sarebbe altrimenti.
un secondo connettivo - un connettivo singorare, anziché binario
"e" come
è quello per la negazione, cioJ ,,non". La tavola di
verità per tale connettivo è la sesuente:
A
nonA
" | - ;
F
I
V
Cosí la negazione di un enunciato risulta vera quando I'enunciato
stesso è falso, e falsa quando I'enunciato è vero.
Un enunciato composto della forma
A o B
è detto-una disgiunzione, con A e B come disgiunti. Il connettivo
oer la disgiunzione è qui inteso nel cosiddetto ienso inclusiao: una
disgiunzione risulta vera non solo nei casi in cui uno dei dissiunti è
vero e l'altro falso, ma anche nel caso che entrambi i disgiunii siano
veri.
-Una disgiunzione sarà dunque falsa solo quando iessuno dei
suoi disgiunti è vero. Latavola di verità per "o" è quindi la seguente:
A
B
A o B
Per. esempio, la disgiunzione "cesare era romano o shakespeareera
inglese" è un enunciato vero, come lo è la disgiunzione,,C'esareera
romano o Beethoven era italíano." se però prendiamo I'enunciato
"Beethoven
era italiano" come disgiunto riu d..tro che sinistro, otteniamo un enunciato falso, vale a dire "Beethoven era itariano o Beethoven en italiano."
17
La logicaenunciatiaa
Prendiamo ota in considerazioneil connettivo per il condizionale,
"se...
cioè
allota."
Bisogna riconoscere che la definizione logica di questo connettivo è
alquànto particolare e discordante dall'uso o dagli usi ordinari del"e"
"o,"
"se...
neppure
od
allora." Come nel caso di
l'eipressione
qui si richiede che gli enunciati correlati mediante tale connettivo
abbiano qualcosa in comune per quanto riguarda i loro argomenti.
Due enunciati qualsiasipossono esserecorrelati mediante questo connettivo e il risultato sarà sempre un enunciato. In un enunciato della
forma
se A allora B
A è chiamato l'antecedente e B il conseguente.Un enunciato di
questa forma risulta falso solo quando il suo antecedenteè vero e il
suo conseguenteè falso. Cosí tisultano veri gli enunciati seguenti:
"Se
"Se
tre è mínore di qua-ttro, allora cinque è minore di sei";
"Se
cincinque è minore di quattro, allora cinque è minore di sei";
que è minore di quattro, allora Beethoven era italiano." Invece
"Se
cinque è minore di sei, allora Beethoven eraitaliano"
lienunciato
è falso.
"se...
allota" è quindi la seguente:
La tavola di verità per
A
B
se A allora B
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
riesce a dare
Si potrebbe obiettare che questa tavola di verità non "implica
logiI'idèa di ciò che intendiamo di solito con I'espressione
camente." Naturalmente I'obiezione è corretta, e noi non cercheremo
certo di sostenereil contrario. L'analisi dell'implicazione fortnale (o
logica) è certamente uno dei compiti fondamentali della logica dedultiva. Tuttavia tale analisi, che noi prenderemo in considerazione
piú avanti, può esserecompiuta solo dopo che la logica sia stata svilttpput" in una certa misura, e certamente non è data dalla tavola di
"se...
allora"; questoper la ragioneseguente,se non altro:
verità per
quando diciamo che un enunciato ne implica un altro, menzionianto
questi due enunciati e non li usiamo. Ciò che userenumonel dire ciò
non sarebberoquegli enunciali, ma espressioniper riferirci ad essi;
ad esempio, nomi per tali enunciati (quali risultano dal porre "se,..'
-delle
virgolette prima e dopo di essi). I connettivi enunciativi, come
aflóra." stanno invece tra enunciati, non tra nomi di enunciati. Anche
t8
Logica matematica e teorie lormalizzate
so-ttantoper, questo motivo, nella logica enunciativa non potremmo
timpiazzate I'espressione"se... allorat con il termine,,imoiica.,,
Anco.ra, anziché.úmpiazzare semplicemente I'espression. " i.... arot a"
con il termine "implica," si potrèbbe propo*eài di.. che, se un con_
dizionale
se A allora B
è vero, allora I'enunciato.A implica I'enunciato B. Ad esempio, dal
momento che l'enunciato "se la neve è bianca. allora I'erba è^rr.td."
vero, allora I'enunciato "La neve è bianca" implica I'enunciato
i"L'erba
è verde." Ma fare ciò sarebbeusare il t..rnirr.,,implica,'in
un'accezionemolto piú debole di quella in cui esso è abituarmente
usato. In questo libro non useremo afratto il termine ,,imolica', in
tale senso,ma solo in un'accezionenotevolmentepiú forte, cÈe risulta
molto piú aderente a quella usuale dal termine 'iimplica','o ,,implica
"
logicamente. Alcuni lògici comunque usano in quÀto sensodelole
I'espres-sione"implica materialmenîe,,' sostenendi che "La neve è
bi2n9a" implica materialmente "L'erba è verde," benché non implichi logicamente,"L'erba è verde." Qui non seguiremo qrr.rto .rr,r,
dal momento che è fonte di confusionedire, pér esempià,che,,La
neve è. bianca" implica "L'erba è verde" in'qualche sènso del ter"implica."
m^ine_
Diremo invece, semplicementè,che il condizionale
"Se
la neve è bianca, allora l'erba è verde" è vero.
Si deve ammettereche I'uso che i logici fanno dell'espressione,,se...
alloru" rappresentain qualche misura"una deviazion. iirp.tto ail'uso
o agli usi ordinari di essa.Di solito essa non viene usàta in modo
vero-funzionale, mentre.ciò i viene in logica, come glí esempi mostrano chiaramenre. Il logico, rurtavia, nón mira alli maggiér aderenza possibile all'uso ordinario, ma è disposto a scostaril da tale
gso - semprein misura relativa, comunqué- se vi è costrettodall'esigenzadi inrodu*e un concetto che si adatti ai suoi scopi megrio
di qualsiasi concetto o uso già esisrente.fn questo curo .iò .hà ,i
adatta meglio agli_scopidel lógico è l'uso in baseal quale (a) se l,antecedentedel condizionaleè vero, il valore di verità àel condizionale
è identificato con quello del suo conseguente,e (b) se I'antecedente
è falso, il condizionaleè considerato vàro.
Abbiamo infine il connettivo per 1l bicondizionale, cioè ,,se e solo
se." Il bicondizionale
79
La logica enunciatiua
A
B
V
V
F
F
V
F
V
F
AseesoloseB
V
F
F
V
"se...
allota"
Osservazioniin tutto simili a quelle fatte a proposito di
"se
si applicano a
e solo se." Dire che il bicondízionaletra due enunciati è vero non è affatto asserireche questi due enunciati sono logicamente equivalenti. Qui non è in gioco il concetto di equivalenza
logica, concetto che sarà definito solo in uno stadio successivo.
È importante osservare che questi connettivi enunciativi non sono
tutti indipendenti I'uno dall'altro. Una volta scelti alcuni di essi, i
rimanenti porebbero essereintrodotti sulla base dei connettivi"già
"non"
"se...
allora." Volendo, poe
dati. Si considerinoi connettivi
tremmo consideraretutti sli enunciati della forma
A o B
come semplici abbreviazioni per enunciati della forma
se non A allora B;
poiché, come mostrano le tavole di verità per gli enunciati A e B,
un enunciato della prima forma è vero se e solo se anche il corrispondenteenunciato della secondaforma lo è. Similmente potremmo
considerare tutti gli enunciati della forma
A e B
come semplici abbreviazioni per enunciati della forma
non (se A, allora B);
e tutti gli enunciati della forma
AseesoloseB
come abbreviazioni per enunciati della forma
AseesoloseB
se A allora B, e se B allora A.
è, consideratovero quando gli enunciatí A e B hanno lo stessovalore
di verità; falso altrimenti. La sua tavola di verità è dunque la seguente:
Cosí potremmo in via di princlplo o evitare del tutto i connettivi
"se
"r," "e"
e solo se"; oppure consideraregli enunciati che li
e
20
Logica matematica e teolie lormalizzate
La logica enunciatiaa
contengono semplicementecome abbreviazioni definizionali di altri
enunciati. Il procedimento può essererípetuto, analogamente,a par"non"
"e,"
"non"
"o";
tire da
ed
oppure da
ed
ed il lettore, prìma
di proseguire, dovrebbe mostrare che ciò è efiettivament. poriibil..
Anzi, consideriamole due seguenti tavole di verità:
A
B
néAnéB
\/
V
F
F
\/
F
V
F
F
F
F
V
nonentrambiAeB
F
\/
\/
\7
È noto che tutti i nostri connettivi possono essere inuodotti sulla
b a s ed i u n o q u a l u n q u ed i q u e s t id u e c o n n e r t i v(i H . M . S h e f f e r 1
, 913).
Il lettore potrebbe considerarecome si può fare, a partire daile d.fi.
nizioni di
non A
néAnéA
non entrambiA ed A.
ciascuno dei connettivi che abbiamo preso in esarneè tn connettiuct
aero-funzionale,che dà luogo a contesti uero-funzionali.yale a dire,
ogni applicazione di questi connettivi a enunciati dati dà luoso ad un
contesto, o enunciato composto, il cui valore di verità dipenae unicamente dai valori di verità degli enunciati dati. In oartióolare. il vaIore di verità dell'enunciaro.ò'nporto non dipende affarto né dal suo
signifc.ato, né dal significato degli enunciati costituenti. È dunque
possibilesostituirequalunqueenunciatoche occorrein uno qualsiasi
di questi contesri con un qualunque airo enunciato che ubbi, lo
stessovalore di verità, renza m.rtaie il valore di verità di quel contesto. fn termini precisi: per qualsiasiformula A, B, C e b, se D
risulta da C sostituendo una o piú occorrenzedi A in C con occorlenze di B, allora, se A e B haàno Io stessovalore di verità, anche
C e D hanno lo stessovalore di verità. Quesro è iI principio d; Rimpiazzamento per la logica enunciativa. Per esempio, se in un enunclato composto
A e B
sostituiamo B con un qualsiasialtro enunciato che abbia il suo stesso
valore di verità, I'enuniiato risultante avrà lo sressovalore di verità
\
2l
dell'enunciato originale. Il discorso comune contiene non pochi tipi
di contesti enunclativi che non sono vero-funzionali. Per esempio,
"dice
"crede
che...,"-danno luogo entrambe
che..." e
le espressioni
ad eiunciati i cui valori di verità non dipendono in modo vero-funessi dopo
zionaledai valori di verità degli enunciati che occorrono in"Aristotele
"che."
Cosí, per eiempio, benché I'enunciato
la parola
.r.deuu che la terra è rotonda" sia vero, tuttavia quando sostituiamo
"la
terra è rotonda" con I'enunciato vero
il suo sottoenuncíatovero
"\a
teîra non è al centro dell'universo," il risultato è un enunciato
falso; cioè un enunciato il cui valore di verità difierisce da _quello
dell'enunciato di partenza. I contesti di credenzanon sono dunque
contesti vero-funzionali.
talvolta del valore di verità di un enunciato come
I filosofi parlano
'estensione.
Abbiamo appena visto che tutti i contesti nella
della sua
logica enunciativa sono vero-funzionali. Per tale ragione questi conteiti sono spesso detti contesti estensionall,e ci si riferisce al Principio di RiÀpiazzamenro come Principio di estensionalità-per la logica enunciatìva. Inoltre la stessalogica enunciativa è detta logica
Zstensionale,nel senso che tutti i suoi contesti sono estensionali'
D'altra parte, una logica che contenga contesti di_credenza sarebbe,
ín quesio senso, una-logica non estensionale.T,a logica modale, che
rtrrdi" i concetti di necessitàe possibilità, è un altro esempiodi logica
"La
"Duè
piú due è uguale a quattro" e
non estensionale.Benché
neve è bianca," ad esempio, siano entrambí enunciati veri, tuttavia,
"Necesquando sostituiamo il seèondo al primo nell'enunciato vero
ùriamente due piú due è uguale a quattro," otteniamo un enunciato
"Necèssariamente1a neve è bianca."
falso, esattamenie I'enuncia*to
Benciréle logiche non estensionalirivestano spessouna notevole impottanz.- filoiofica, per gli scopi della matematica ortodossa non è
necessariointraprenàere-lo stuàio di tali logiche;.tutti i sistemi di
logica che pr.ni.r.,,'o in considerazionein questo libro sono, in qualche senso opportuno, estensionali.
Come ultimà-osservazionepreliminare, rícordiamo che per la logica
enunciativa, oltre all'interpietazione standard a due valori di verità,
nella quale gli unici due- valori previsti per gli enunciati sono la
verità è la fà-lsità,i logici hanno fornito anche interpretazioni a piú
valori, che prevedono t.. o piú valori per gli enunciativi. Vi è inoltre
f interpretazione intuizionistìca della lògicà enunciativa,.che si difiercnzia dalla logica enunciativa ortodossa per il _fatto di non accettare selza restr"izionila legge del terzo escluso,che assicurache ogni
enunciato è vero o falso. À,iaqui non ci occuperemoulteriormente di
queste alternative alla logica enunciatif,a ortodossa'
(
22
Logicamatematrca
e teorie lormalizTate
L.3 La logica enunciatioa p.
Simboli e lormule
consideriamo ora un- sistema particolare di rogica
enunciativa, che
chiameremo P. specificher..o in p.i.o iuogo i simbori
e le formure
or r- e successlvamente
defrniremo la nozione di tautologia
{i p.
I simboli di P sono i seguenti:
( 1) i connettivi enunciatr.uipg:.negazione,
condizionale, disgiunzione, congiunzione e bicondizionàle
I
V
A
=
useremo quesr-isimboli invece delle famiriari parole
"rìon,,,
itariane
"se...
"o," "9"
allora,"
e _ , , s ea a o l o a a , l ;f h e s o n o s t a t e u s a t ec o m e
connettivi enunciativi nel paragrafo precedente;
(2) parentesi destra e sinistra
(
)
( I ) una lista infinita di lettere enunciative
p q f s p r g r f r s l
I simboli in (1) e (2) sono le cosiddette
costanti togiche di p.
E..dyn? espressione
di p è """ q"ut'iuriìiting" (iit""'iiiri^fiiitut
di simbolidi P.
Una lormula,.dlP è..qydsiasi espressionein p
che sia (a) una lettera
di,P, (b) Ia negazionedi una formula di È,'o (.)
ti .on_
:î_yl:t-lui,
9
drzronale
tra due formure di p, o (d) la disgiunzione di'due
ior,'ur.
di-P,o (e)la congiunzione
p, . flfi',fllàriirildi d"e'forÀ"rc-?r
nale tra due form"uledi p. Cioè:
(a ) ogni letrera enunciativa di p è una
formula di p.
e se A e B sono formule di p, allora:
(b) - A è una formula di p:
(c) (A I B) è una formula di p:
(d) (A V B) è una formula di p:
(e ) (A A B) è una formula di p:
( f ) (A : B) è una formula di p:
(g) le condizioni (a)-(f) esaurisconotutte
le formule\
di P.
In pa,rticolare.unalormula atomica di p è qualsiasi
lettera enuncia_
tiva di P, cioè qualsiasi formula prevista duilu
.ondiri."; (J*^-^"
23
La logicaenunciatiua
Per esempio, la seguenteespressioneè una formula di P:
- ( ( p : q )V ( q A r ) ) '
"f "
"p," "q"
sono formule di P;.quindi,
ed
Poiché,per (a), le lettere
"(q
A r)" è una
per (c),^"(p l q)" è una for-trl" di P e, per (e),
"((p
(q
una formula
(d),
r))"
è
q)
per
I
V
A
ior-"Íu di P; dunque,
di P e, per (b), I'espresiionedi cui sopra è anch'essauna formula.
In seguito, nel fornire esempi di formule di P, tralasceremoabitualment; la maggior parte delle coppie di parentesi, quando ciò non dia
luogo ad ambiguità. Simili omissioni, comunque, non sono.permesse
"
in úna notazione uffrciale," ma solo in contesti informali. Inolúe,
semDre soltanto in notazioni informali, adotteremo normalmente
ancÉeun'ulteriore convenzione,generalmenteaccettataper ridurre il
numero delle parentesi che compaiono in una formula. Tale convenzione è la seguente:
"A";
"V"
"
o
di
(u) " v i n c o l ap i ú s t r e t t a m e n t e
"
V
"
(b) sia
v i n c o l a n op i ú s t r e t t a m e n t ed i
che-"["
,,
)rr;
(.) ":"
di
vincolapiú strettamente
"-."
le formule (in
Cosí,ad esempio,utilizzandoquestedue convenzioni,
notazioneufficiale)
(a) ((p/tq)rr),
( b ) ( ( Pr q ) - r ,
(c) (((prq)V- 9)-(-PAq))'
possonoesserescritte come
( u . )p A q : r ,
( b ' )P l r q - r ,
( c ' ) ( p r qV
) -q--pAq.
Si noti comunqueche, a difierenzadi (a), la formula
(d) (pA(qrr)),
è abbreviatacorrettamentesolo da
( d ' )p A ( q : r ) ,
e non da (a').
È molto impoftanteteneredistintele differentifunzioni svoltedalle
Logica matenatica e teorie lornalizzate
lettere enunciativedi^p..(ilp,'1 "q,', ,,r,, ecc.) da una parte e dalle
"A,',, "8," ,,C,,, ,,y'ir,,
variabili
.aó. d"ll'rltra. Le letterè enunciative
occorrono nel sistema P; al contrario le lettere romane maiuscolein
"
neretto Ai'-"B," "C" ecc. non occorronoin p, -a (n.ll'.ruÀi.rrre
P) solo nel linguaggio nel quale noi pailiamo di p. Èsse sono cioè
me,tauariabill e svolgono .tru funzione molto difierente dà qu"tt"
delle lettere enunciative.Nel linguaggio nel quale noi parliamo di p,
queste variabili variano sulle esoressio* ai p.'La differÉnzatta qu"rr.
metavariabili e le lettere di P- può esserefacirm.rrte rileurt, iorrri
d e r a n d ou n e s e m p i o .L ' e s p r e s s i ò n "e( p : q ) , ' è u n a f o r m u l a i n p .
L'espressione"(A:
B)" d'altra parte non ó.corre in p, ma solo nel
metalinguaggio
P, nel_quale noi esaminiamo p . Éf,. qui-a tu
.di
llngua ltahana.integrata da alcuni simboli tecnici. Le metavariabili
sono usate nel metaling-uaggiodi_ p per parlare in modo generale
delle espressioni di n N.oi-]9 abbiamo upp.n, usare, ad e"sempio,
nello _specificare
le formute di p e le useremotra breve nell'esaminare
tautologie
di P. oltre a conrenereI. ."tuuuriÀrli- ri"t"ìti].e
,,
,,
metalinguaggio di P contiene i simboli ,, n
,,, ) ,,' V ,,,
th:,,,tI
":."
ed
/\
Quesri simboli naturalmenteappaionogià in p come
connettivi enunciativi. Nel metalinguaggiodi Éj com"nì1ue,essi
sono
usati assiemealle metavariabili siniattiche e non con le-letiere enunciative. cosí questi simboli svolgono funzioni completament.
àin.renti in P e nel metalinguaggiodi p. In p sono usati per costruire
formule composte; nel metalingua_ggi9di p per costruirè espressioni
metalinguistiche che consentanó dl-fare rifeìimento ,ll" foi."ià,
.
alle espressioniin generale,di p.
come ulteriore osiervazionesul metalinguaggiodi p, si consideri
I'espressione
metalinguistigu"(A r B).. ful. "rpr.rrione è un esem_
pro dr schema. Questo schema e vari altri sono usati nel
definire la
classedelle formule di P. La nozione di schemapuò esseredefinita
in.generale parallelamente arra nozione di formula. coti,-.irr."nu
delle metavariabili sintatl.ich.e"A,,, ,,F:, ,,C,' .... a uro ;;h.;;
-"r"
ponendo il simbolo " - " davanti ad uno schema ,i .tii*.
schema; ponendo " )" tta due qualsiasi schemi e chiudendo il
risultato tta parentesi si ottiene u.noschema;e similmente per i rimanenti
"V," "
"
.
"
simboli
N e l l o r . . i u . r " d i s e g u i t óJ . g t i , . f r . À i ,
A" ed
adotteremo le convenzioniper I'omissionedi pareníesi .t. i""" ^fpii
cate alle formule.
1.4 Tautologie
ora che abbiamo definito in modo esarto la classedeile formule di p
possiamo prendere in considerazionela semanticadi p. MantenenJJ
Ie tavole di verità del paragrafo precedenre,siamo in grado di stabi-
z)
La logicaenunciotiua
lire in generalesotto quali condizioni una formula di P è vera. Sia A
,rn" ooàlrirri formula ai p. Si considerino tutte le possibili assegnazioni di valori di verità alle lettere enunciative che compaiono in A.
Allora il valore di verità di A stesso,per un'assegnazionedata, è determinato univocamente dalle tavole di verità per i connettivi enunciativi che compaiono in A. Diamone una esemplificazione.sia A la
"p,
per questa
p V q." Costruiamo una tavola di verità
formula
" "
"
per
:r
e Y i'
elementari
di
verità
tavole
formula .,rllu bàt. délle
come segue:
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
Nel costruire questa tavola di verità, dal momento che la formula
"p
I p V q" È un condízionale, determiniamo dapprima..il,.valore
"q"
"p"
siano
e
dèll'rnìecedénte e del conseguentenel caso che
entrambi veri. Poi, sulla base di questi valori, determiniamo il valore
del condizionale per questo t.opo. Dopo di che, ripetiamo il procedimento per ciasCunodegli altri tre casi. Da questo esenfpio partico'
lare dovÀbbe risultare óhir.o .orn" si debbano costruire tavole di
verità per qualsiasi formula A. In generale,se A contiene n lettere
enrrnciative distinte, vi saranno 2" dífrercnti assegnazionipossibili di
valori di verità a quelle lettere. Cosí, la tavola di verità completa
per A contetrà 2n úghe.
'Senza
dubbio qui stiàmo assumendo,senzaargomentaz,ioni,che ogni
formula di P può essereinterpretata in un unico modo, dando cosí
luogo a un'unica tavola di verità. Cosí, ad esempio, se A è-un condizónale B : C, allora non vi è anche un condizionale Br : Cr,
dove Br e Cr sono distinti da B e C rispettivamente; né A è una negazione,disgiunzione ecc. Tale assunziòneè tuttavia suscettibile di
una dimostrazione, che qui omettiamo.
"p
I p V q" mosfta' questa form-ula
Come la tavola di verità per
è vera per tutte le possibili assègnaiionidi valori di verità alle lettere chè vi compaiono. Ora ogni formula di P che è vera per tutte
di valori di verità alle lettere enunciative che
le possibili assepfnazioni
vi compaiono É ,r.tu tautologia e si dice tautologicamente aalida'
"p
I p V q" è-dunque una tautologia e 1o schema
La forÀula
tautologico nel sensoche, per qualunque
B
è
uno-scbema
A:: A V
formula A e B, la formula A : A V B è una tautologia. Di tutte le
formule di tal genere si può mostrare che sono tautologie ricorrendo
alle loro tavole di verità.
26
Logica matematica e teorie
Íormalizzate
P sono quele formute di p che sono vere indipen_
\:.-:::::!:yt: dalla
*i
dentemente
verità o falsità delle lettere enunciative che vi comgaio19. Esse sono, in questo senso,vere in,,tutti i.Àip"*Uìi."
rntultrvamente una tautologia è ogni formula vera
unicamentein
virtú del
enunciativi che ui .*puiono.
.significatodei co.-nnettivi"
La oeflnrzronedata sopra può essereconsideîata
un,analisiesatta,
rispetto a P, di questo concerro intuitivo. ciò sarà
.r..i .rir,ì.o- ai
molti dei concetti che sono a.nniti.ì"ttr.enre
in questo ribro: in
gran parte dei casi, questi concetti rappresentano
analisi esatte. ri_
qualche teoria.o sistema formàie, di .on..tti gil
*iri.*l
I
"
ip.ll.
llvello lntormale o intuitivo. Ad ogni modo, è in quesó
sensoche íl
"rrrr,
nostro interesse sarà qui rivolto u
,ortu' di chi[rifrcazi;;;.
gazione dei concetti.2
Ulteriori esempi di schemi tautologici sono i seguenti:
Legge del terzo escluso
A V -n
Legge di non-contraddizione -(A
A -A) '
Legge della doppia negazioneA - - -[
Uommutatività della
disgiunzione
AVn-BVA
Commutatività della
congiunzione
AAn=BAA
.
Associatività della
disgiunzione
AV(BVC;=(AVB)
.
VC
Associatività della
conglunzrone
A A ( B A C -; ( A A B )A C
Leggi di De Morgan
-(AAB)- -AV -s
Legge di contrapposizione
Leggi di distribuzione
Falsità del condizionare
Legge di separazione
(Modus ponens)
Modus tollens
Sillogismo ipotetico
Sillogismo disgiuntivo
Legge dell'assurdo
-(AVB)=-AA -n
A:B- -B: -A
- (AAB)V(AAC)
4
AA
V (( PB VA qc ))= ( A V B ) n i n V c Í
-(A:B)-AA -B
AA(A:B):B
-BA(A:B): -A
( A : B )A ( B : C ) r ( A : C )
( A V BA
) -A:B
(A:BA -B)r -A
Particolarmente degni di nota sono altri tre schemi
tautolosici:
A:(B:A)
-A:(A:B)
(A:B)V(B:A)
La logica enunciatiaa
27
Ai primi due schemi si fa talvolta riferimento come "paradossi delI'implicazione materiale." Efiettivamente, se dovessiÀo leggere il
"
"
"implica"
simbolo l
(o "implica materialmente"), allora
come
tutti e tre questi schemi apparirebberoparadossali;nel sensoche sarebbeto non contraddittori, ma altamente controintuitivi. Poiché in
tal caso il ptimo sembrerebbe dire che ogni enunciato vero è implicato da qualunque enunciato; il secondo,che un enunciato falso implica qualunque enunciato; ed 1l terzo, che, di due enunciati qualsiasi, almeno uno implica I'alÚo. Questa apparcfizaparadossale,comunque, scomparein larya misura se leggiamo il simbolo " l " non
"implica,"
"se...
come
ma solo come
allora." Allora il primo di questi
schemi esprime semplicementeil fatto che un condizionale è vero
se il suo conseguenteè vero; il secondo,che un condizionaleè vero se
il suo antecedenteè falso ed il tetzo, che, dati due enunciati qualsiasi, almeno uno dei condizionali fra di essi è vero.
Vi sono naturalmente molti altri tipi di taurologie olte a quelle
sopra elencate, anzi ve ne sono infiniii altri. Tuttaiia una lista iagionevolmente completa dei tipi dí tautologie usati piú frequentemente
nel ragionamento ne contenebbe al piú alcune dozzine.
E, chiaro che la costruzione di tavole di verità fornisce un test Derfettamente generaleper determinare se una formula di P è r.r.u iu.rtologia. Per qualunque formula A, A è una tautologia'se riceve il
valore Vero in ogni riga della sua tavola di verità; Aìon è una tautologia se ricevere il valore Falso in almeno una di queste righe.
Parleremo delle tavole di verità come di un test meccanicoo effettioo. Il concetto di test o procedimento efiettivo è un concetto intuitivo suscettibile di un'analisi esatta in contesti matematici; prenderemo in considerazionetale analisi (in termini di funzioni ricoriive)
nel capitolo VIII. Fino ad alTora,useremo solo il concetto intuitivo
di procedimento meccanícoo efiettivo. Per chiarire questo concetto
saranno forse sufficienti alcune esemplificazionie rilievi informali.
La matematica che ci è familiare foinisce numerosi procedimenti
efiettivi: ad esempio il procedimento per determinare 1à somma e il
prodotto di due numeri, quello per estrarre radici quadrate e quello
per risolvere equazioni quadratiche. Tali procedimenti efiettivi sono
spessochiamati algoritrni. Essi sono efiettivi o algoritmici nel senso
che ci forniscono ishuzioni per accertarequesto o quello in maniera
sistematica,passo per passo. Qualsiasi concetto che sia definito in
modo tale che vi sia un procedimento efiettivo per determinare se
quel concetto si applica o meno in ciascun caso particolare è detto
un concetto effettioaraentedefinito. Cosí il concetio di formula di P
o quello di tautologia di P sono concerti efiertivamentedefiniti. Dove
d'altra parte non vi è nessunprocedimento generaleper determinare
I'applicabilità di un concetto, bisogna affidarsi all'invèntiva. D'ora in
28
Logica matematica e teorie lormalizzate
auantt utilizz:remo piú,.di una volta_questiconcetri informali
di pro_
ceolmentoeftetttvo e di concetto effettivamentedefinito.
oltre al concetto di tautologia, altri conceiti semanticipossono
essere
definiti senza difficoltà rispétto a p.
una formula Aè tautologicamenteinconsistentese e soro se
A è falsa
per ogni assegnazionedi valori di verità alle lettere
enunciative che
vi compaiono..Un caso.speciale di formule tautologicam.ni.
i".o"sistenti sono le contraddizioni, cioè formule d.lh f?r-u-e
n _A.
Una formula A implica.taut-ologicamente',na formula B s" e solo
se,
per ogni_assegnazione
di valori di verità alle lettere enunciative in A
e B, se A è vera per un'assegnazionedata, allom "".fr" f !-r.rr'o.,
la stessaassegnazione.
In questo caso diciamo che B è uru ,oirr_
C,lryzo ta-atologicadi.A. Piú_generalmenre,sia f una qualsiasiclasse
di formuledi P ed A una fòrmuradi p.'Alrorarl,ipt"",.ri.r"
gicamente A (ed A è una,consegvenzataurologíca
ai îl ,. " ,"f.
se, per ogni assegnazione
di varori di verità allé lettere enunciarive
che_comparono sia in A che in ognuna delle formule di l,
se tutte
le {ormule di r sono vere per un"'assegnazione
data, allora'anche A
è vera per
Due fortule A e B ;";" ;;r;;l;'e,r,
.qr-'ell'assegnazionì.
rnente equiualenti se e solo se, per ogni assegnazione
di urlor'i di
verità alle lettere enunciative in À e njA e B Jono o entrambe
vere
jutu.
o ertrambe false per un'assegnazion.
ll lettore non dovrebbe trovare difficortà nel comprendere
come i
seguenti risultati seguanosenzadifficoltà
- dafle
'.definizioni i",. tàà*
A e B sono formulà qualsiasidí p):
( 1)
(2)
(l)
(4)
l?ì
(6)
I implica taurologicamenteB se e soro se ir condizionaleA : B
è una tautologia.
A e B sono rautologicamenteequivalenti se e soro se il
bicond i z i o n a l eA - B è u n a t a u t o l o s i a .
Se f è una classedi.tautologie"e A è una conseguenza
tautoIogica di l, allora A è una ta"utolosia.
se a implíca tautologicamenteB à B implica tautologicamente
C,, allora-A implica tautologicamenteC. io.i l,lmfh.;;i;;;-;;rtologica è transitíva.
Pr. qualsiasi taurologie sono raurologicamenteequivalenti.
una tautologia è,implicata tautorogica"m.n,. dà qi,.t.rà".
-;;ól;gì;^ r.rmula ( o classe di formule ); inolúe u.u forÀul.
mente inconsistente implica tautologicamente quarunqrr.'formula.
Mostriamo ora che
( 7 ) una formula è una tautologia se e solo
se è impricata tautologicamente dalla classevuota di formule ( cioè la clasr"
.h. ,o.
La logica enunciatizta
29
contiene nessuna formula ) . La (6 ) ci assicura solo una metà
di (7 ): se A è una tautologia, alTotaè implicata tautologicamente dalla classevuota. Per dimostrate L'altra metà di (7),
supponiamo ora che A sia implicata tautologicamente dalla
classe vuota. Allora ogni assegnazionedi valori di verità alle
lettere enunciative che compaiono in A e nelle formule della
classevuota, che verifica tutie le formule della classevuota, verifica A. Ma dal momento che non vi è nessunaformula nella
classevuota, ogni assegnazioneverifica banalmente tutte quelle
formule. Dunque A è vera per ogni assegnazionedi valori di
verità, e quindi è una tautologia.Cosí (7 ) è dimostrato.
L'implicazione tautologica è un caso specialedi implicazione logica,
cioè una implicazione logica in virtú del significatodei connettivi. Nel
capitolo II definiremo un concetto generale di implicazione logica:
I'implicazione tautologica sarà formalmente sussunta sotto f implicazione logica. Analogamente per I'equivalenza tautologica e l'equivalenza Topica.
Parlandò del simbolo per il condizionale abbiamo rilevato che I'uso
"só...
che il logico fa di
allorc" discorda dall'uso o usi ordinari di
questo connettivo. Questa discordanzaconsisteparzialmentenel fatto
che il condizionale dei losici è vero se o il suo antecedenteè fals<r
o il suo conseguenteè veio. Ricordiamo che a tale caratteristica del
"Daradossi
condizionale si è fatto spessoriferimento come
dell'implicazione materiale." Similmente si è spessoasseriio che il concetto
di implicazionelogica usato dai logici discorda dal concetto o dai
concetti ordinari di implicazione logica. Dal momento che I'implicazione tautologica è un tipo di implicazione logica, dal risultato (6 )
già enunciato segueche, sulla base del concetto di implicazione logica
usato dai logici, una formula tautologicamenteinconsistente implica
qualunque formula e una tautologia è implicata da qualunque formula. Questo è I'analogo ( e il risultato ) del fatto che un condizionale è vero se il suo antecedenteè falso o il suo conseguenteè vero.
"La
Cosí, ad esempio,
neve è bianca e la neve non è bianca" implica
"L'etba
logicamente
è verde" (come si dice spesso,da una conirad"LaTogica
dizione seguequalunque cosa); e
è difficile o la logica non
"Dio
è difficile" è implicato logicamenteda
è morto." A prima vista,
ad ogni modo, questi risultati sembranoopposti alle nostre intuizioni
concernenti I'implicazione logica. Se essi siano in effetti cosí opposti
"paradossi"
e siano
in questo senso è una questione che è stàta a
lungo dibattuta nella letteratura sull'argomento.3La posizione(molto
popolare) che sembra piú plausibile all'autore è quella che riconosce
alcune innegabili discordanze tra il concetto di implicazione logica
usato dai logici e quello ordínario (o quelli ordinari), ma che ritiene
)0
Logicamatematica
e teorie lormalizzate
tali discordanze rclativamenre innocue ed eliminabili (comunque in
misura solo parziale) soltanto al prezzo di complicare considerevolmente la teoria. Questo è semplicèmenreuno déi molti punti in cui
una precisa formulazione conduce ad una deviazione dall'uso informale.
t.5 Schemi di assiomi di P.
Regole di inlerenza e teorerai
Totniamo on aTlasintassi di P e definiamo in primo luogo la classe
degli assiomi di P. Quello che vogliamo fare è individuarJ una classe
di formule di P dalle quali siano derivabili tutre le tautolosie di p
(e nessun'altra formula), mediante I'applicazione di certe régole di
inferenza che specificheremo in seguito-.-Ottenuto ciò, disporrémo di
due modi per mostrare che una daìa formula A è una tauiolosia: sia
medianteil test delle tavole di verità che derivandoA dasli àssiomi
di P. I1 test delle tavole di verità, benché sia sufficiente ín finea di
principio, in pratica diviene prolisso e ingombrante quando in A compaiono numerose lettere enunciative; in questo caso è preferibile il
procedimentodi derivare A dagli assiomidi p.
I1 procedimento che seguiremo è ben noto. consiste nel formulare
diversi schemi, con l'intesa che ciascunadelle infinite formule di p
che abbia la forma di uno qualunque di tali schemi vale come assioma
di P. È facile vedere, conìultando le tavole di verità per " - " ed
"t,"
che ognuno di questi assiomiè una tautologia.I nostri schemi
di assiomi sono i seguenti,adove A, B e C sono formule di p:
( a )A : ( B : A )
( b ) ( A : ( B : C ) ): ( ( A : B ) : ( A I
(c) (-B r -A) r ((-B : A) : B)
C))
Tali schemi di assiomi naturalmente non occorrono in P. ma nel metalinguaggio di P. Secondoil primo di questi schemi, le seguenti formule (in notazione informale) sono esempi di formule di"p:
pr(qrp)
(p:q) :(qr(p:q))
pr(prp)
-p_)((q:p)r
-p)
Lo schema (b) fornisce, per esempio, la formula
(pr((p:q):r))
r((p:(p:q)):(p:r))
Lo schema (c) fornisce, per esempio, la formula
(-( -p:q):
-q):((-( -p:q)rq):
(-prq))
3l
La logica enunciatioa
Si noterà che i soli connettivi enunciativi che occorrono negli schemi
d'assiomi precedenti sono i connettivi per la negazione e per il condizionale. Per quanto riguarda i rimanenti connettivi, dobbiamo
aggiungereulteriori schemi di assiomi nei quali essi compaiono o correlarli in qualche modo con i connettivi per la negazione e per il
condizionale.Adotteremo la secondaalternativa: diremo che una formula A è equiualenteper definizione ad un'altra formula B se e solo
se vi sono formule, A,, Br, Az e Bz tali che A differisce da B al piú
perché contiene un'occorrenza di Ar in qualche posto dove B contiene un'occorreîza di Br, e tali che vale una delle seguenti alternative:
( a ) A r è A z V B z e B r è- A z f B z , o
(b) A, è A z A B z e B r è- ( A z : - B z ) , o
( c ) A r è A z - B z e B r è( 4 2 : B z ) [ ( B : : A z ) .
Cosí, per esempio, mediante (a) le due seguenti formule di P risultano equivalenti per definizione:
p V q
-prq;
come pure le due formule
( p - q )A ( ( q V r ) V p )
( p- q )A ( ( - q : r ) V p ) .
"p
Nel primo di questi esempi, Ar è l'intera formula
V q" e Br è la
" -p
I q," mentre nel secondo esempio Ar è la formula
formula
"(-q:
"(q
r)."
V r)" e Br è la formula
"equivalente
per defini
Va osservatoche la definizione precedentedi
zione" si accorda con I'interpret^zione dei connettivi fornita dalle
tavole di verità. Due qualsiasiformule di P che siano equivalenti per
definizione nel senso suddetto risultano equivalenti medíante il test
delle tavole di verità; vale a díre che le due formule assumonolo
stessovalore di verità, per ogni assegnazionedi valori di verità alle
lettere enunciative che vi compaiono.
Per derivare i teoremi dagli assiomi di P, sono ora necessariealcune
regole di int'erenzache consentono di inferire formule da altre formule. In particolare, per derivare tutte le tautologie di P dagli
assiomi di P, sono necessariedue sole regole di inferenza. In primo
luogo, useremo una tegola di Scambio Definizionale. Tale regola è
la seguente:
( a ) se A e B sono equivalenti per definizione,allora è possibileinfe"equivalente per
derire A da B, e viceversa.Qui I'espressione
,)
I
tl
i
32
Logica matematrca e teorie
formalizzate
La logicaenunciatiua
frnizione" è intesa nel senso specificato
nel paragrafo precedente.
#"ff:.1Í:.*:*",
(b) da A ed A:
useremo
la nota regola
L'a validità di questa regola_è data dar fatto che, date due quarsiasi
tormule
. B, ogni qualvolta A:
B e -B sono vere, anJhe _A
f
ye.*'
stesso
fatro
dipende
unicamenredaile proprietà
:
!.9uesto
Ioglche dei connettívi utilizzati, cioè ,.-,, e,,:.,'
SimilÀenìe ad
tautologico di forma condizionare.ortitponJ. ""u-t.!or"
lffi Inferenza
;chema
ot
valtda.
Benché vi siano numerose regole di infercnza la cui validità è
basata
unicamente su considerazioni vero-funzionari, si deve notare .À.-n.l
nos*o sistema P usiamo solo la regola di scambio Definizionale
e
quella del Modus Ponens.comenostre regore primitr* ii
liliiiza.
Nessun'altra.regolaprimitiva è richiesta nàlra d'erivazionedei t.or.mi
oagll asslomr.
In pratica.comunque è molto conveniente poter introdurre
ulteriori
regole di inÍerenza vali{e, come la regola che ci permette di inferire
- A da A : B e - B. Di tale regola"si può
darÉ ""u aì.ortrlriàn.
effettiva, nel senso che è possibilé mostàre in modo efiettivo
come
sostituire qualunque inferenza in p che ne fa uso con una nella quale
siano usate solo le regole di inÍercnza primitive di p. si conrià.ri
un'inferenza nella quale questa regola è^usata:
di inferenza chiamata
B si può inferireB.
Definiamo ora teorema di p qualsiasi
formul.a che sia derivabile Cagli
assiomi di P mediante un nimero finito
di ,ppli.urìoni J;ii.ì".
t:C91..di inferenza (a) e (b). pi,i "r"tt.-.,
te v,n teorema di p è qual_
siasiformutaA di p che'siat'"i;il;-f;;;rlodi-q;;I.È..à#"ru
finita di formutedi p,..
jaf^ ;;;;;";;
",
{9*_ gsri i".."i,
assioma di P o è ottenibile
dallé formule precedentit.nu ,ù,r..,r,
medianteuna applicazione
deua*s"ú l;f' ;;d"'G;i;
Oi"ia.
sequenzasaràdetta
dimostrazion di e.'
Consideriamo
ora un esempiodi dimosrazionedi un teorema p,
di
precísamente
il teorema,,(p I p)."
1. (p : (n :n))
Schema
d'assiomi
(a)
2. (p - ((p : p) r p))
Schema
a'u.riomi(")
t. ((p: ((p: p) r p)) r ((p : (p r p)) r (pr p)))
4 . ((p :( P - p) i : ( p: p) )
5. (p : p)
::i:T- *' siomi
t, +, relolaibj
1 . 4 : B
2. -B
3. -A
( b)
Questa infercnza di -A da A > B e -B può esseresostituita da
un'inferenza che utilizzi solo regole primitive. Sappiamo.h;;4""l u n q _ u feo r m u l a A .
! , l a f o r m ' u l a( A : B ) : ( - n I - A i è d e r i _
vabile dagli assiomi di P. cosí neila nostra inferenza, a.riuirro-in
primo luogo la formula (A
-A). f.i uglirntìur-o
? q) r (-B r
il passaggio A : B e concludiamo mediante Modus pJn."! .t.
-B:
: -A. Infine aggiungiamoil passaggio-B e concludiamo
medianteModus Ponens-óhe-A.
ogni regola di inferenza che sia stata dimostrata nel senso suddetto
puo essereusata come regola di inlerenza deriaata in p. Le regole
di
inferenza derivate r..uo.ró da scorciatoie: ci permettono di dlrivare
formule da altre formule in un numero di passi minore di quelli
che sarebbero necessari se dovessimo usare'solo rd;i;-p;i-l;;..
Ora, a o€ni- schema tautologico di, forma .ondir;onu"l. .";;iró;.
una regola di inferenza valida. Inoltre è noto che vi a ,n o.i..aimento effettivo per derivare ogni tautologiadi p dagli assiorii Jr n.
r\e segueche ad ogni schemaraurologicodi forma condizionale
corrtsponde una regola di inferenza che può esseredimostrata
come
rego.raderrvata dt p.
ciascuna delle cinque formure di questa
sequenzao è un assiomadi
Po
è ottenibiledarteformule;r#a;riìediante
"r" aiir.^l.g.r.
di inferenza di P. Tale sequenzaè quindi
chiaramente
' una
-'----dimostra_
---'-*-l
zione dell'ultima formul.ì.r_ "rru, .ioa;fp
f p).,,
Una regola di inferenza si dice- aahlar.,'uppli.rt" a formule vere,
permette di inferire solo formule
ver.. conrurrrraÀ i.-i"".i.-di;.rità per i connettivi enunciativi, il lettore
,r.dra .h.-L-;;;;ì"?i
"
(b) sono entrambe..regoredi i"irrr"ii
luiia.. vi sono naturarmenre
:umelgs.e regole di inÍercnza valide; a rigore, ve ne sono infinite.
La validità di alcune di
.queste regole di'infrrr,,idrp;il^;;;,
mente dalle proprietà logiihe
dei cónnettivi vero-funzionrli. Si;;stderr, per esempio,Io schematautologico
( A : B )r ( _ B r _ A ) .
Corrispondente a questo schema, vi è la
regola di inferenzavalió.a
Da A:
33
B e -8, inferire -A.
t
\
)4
e teoùe lormalizzate
Logicamatematica
1.6 Proprietà rnetamatematicbedi P
I logici hanno studiato molto difiusamente la logica enunciativa.
Tuttavia noi siamo qui principalmente interessati non alla logica
enunciativa in se stessa,ma in quanto passo verso una logica piú
comprensiva,cioè la logica dei predicati del primo ordine. Per questa
ragione, passeremoadessoa una considetazioneravvicinata della logica enunciativa, inroducendo tre concetti sintattici molto importanti, sulla base dei quali potremo chiarire alcune caratteristichefondamentali del sistema P. Sia f un qualsiasi insieme (non-vuoto) di
formule di P. Diremo allora che f è cozsistentese e solo se non vi
è nessunaformula A di P tale che sia A che -A è derivabile da f.
Diciamo che f è completo se e solo se ogni tautologia è derivabile
da f. Inoltre f è un insieme di formule decidibite sè e solo se vi è
un procedimento effettivo per determinare di ogni formula A di P
se essa è inclusa in I oppure no.
È molto facile mostrare che I'insieme degli assiomí di P sopra citato
è consistente. In primo luogo, come abbiamo già sottolineato, ciascuno di questi assiomi è una tautologia, come si può tilevare senza
difficoltà dalle tavole di verità oer i connettivi che compaiono nei
vari schemi dí assiomidi P. In iecondo luogo, le due regole primitive di infercnza in P, se applicate a tautologie, consentono di inferire solo tautologie. Anche questo può essereverificato senza difficoltà considerandole tavole di verità per i connettiví enunciativi che
compaiono in queste regole. Cosí, per il Modus Ponens, supponiamo
che sia A che A:
B siano tautologie. Allora anche B deve essere
una tautologia. Poiché, se non lo fosse, ví sarebbe quaiche assegnazione di valori di verità alle lettere enunciative che compaiono in B
che la renderebbe [a7sa; ma, dal momento che A è una tautologia,
per quell'assegnazionedi valori di verità I'antecedente di A:
B
sarebbe vero ed il suo conseguentefalso. Allora per le tavole di verità per íl condizionale,la formula A : B sarebbe falsa, e cosí non
sarebbe una tautologia, contrariamente alla nostra assunzione.Con
un ragionamento simile, si può mostrare che la regola di Scambio
Definizionale se applicata a tautologie ci permette di inferire solo
tautologie. Possiamoquindi concludere che tutti i teoremi di P sono
tautologie..Ma nessunatautologia può esserela negazionedi un'altra
tautologia; poiché, se lo fosse, sarebbefalsa per ogni assegnazione
di
valori di verità alle sue lettere enunciative e ouindi non sarebbeuna
tautologia. Non vi è nessunaformula A di P iale che sia A che -A
siano teoremi di P. Cosí, il nostro insieme di assiomi pet P è consistente.
Come abbiamo precedentementesottolineato, è noto che il nostro
sistemadi assiomi è completo. (Qui ne omettiamo la dimostrazione.)s
La logicaenunciatioa
)5
Da ciò e dal fatto che tutti i teoremi di P sono tautologie, segueche
la classe delle formule che sono teoremi di P è identica alla classe
delle tautologie di P. Ne deriva anche che la classedei teoremi di P
è decidibile: c'è un procedimento meccanicoper determinare se una
qualsiasiformula è un teorema di P oppure no.ó Tutto ciò che dobbiamo fare per determinare se una data formula di P è un teorema
di P è costruirne \a tavola di verità. Se tale tavola mostra che essa
è una tautologia, allon la formula in questione è un teorema di P;
altrimenti non è un teorema di P. Piú in generale,poiché una fo.rmula di P è un teorema di P se e solo se è una tautologia, ne segue
che qualsiasirisultato generalevalga per le tautologie vale anche per
i teoremi. Cosí ad esempio otterremo tutte le asserzionivere se, nella
Iista dei risultati concernenti le tautologie che compare a pagina 28,
"teorema
"tautologia"
dtP."
con l'espressione
rimpiazziamola parola
In particolare, otteniamo l'importante risultato che se I è una classe
di teoremi di P ed A è una conseguenzatautologica di l, allora A è
un teorema di P.
La logica dei predicati del primo ordine: I
Capitolo secondo
La logica dei predicati del primo ordine: I
La logica che stiamo per prendere ín esameè la cosiddettalogica dei
predicati del primo ordine o calcolo lunzionale del primo ordine. Tale
logica contiene la logica enunciativa come parte propria, nel senso
che tutti i ragionamenti che possono essere sviluppati nella logica
enunciativa possono esseresviluppati anche nella logica dei predicati
del primo ordine, ma non viceversa. Quest'ultima consente di presentarela struttura logica delle formule e delle argomentazionimolto
piú dettagliatamentedi quanto non avvenganella logica enunciativa,
nella quale, ad esempio,non si può mostrare in alcun modo la difiercnza di sfuttura logica tra gli enunciati "Sette è maggiore di sei"
"Tutti
gli uomini sono mortali." È chiaro comnnque che qualsiasi
e
sistema di logica che sia soddisfacentedeve metterci in grado di esi
bite tale differenza.Come vedremo, la logica dei predicati del primo
ordine ci consente di farlo. Per quanto riguarda la struttura logica
delle argomentazioni,si consideri la seguenteargomentazione:
Tutti gli uomini sono mortali,
Tutti i greci sono uomíni,
Quindi tutti i greci sono mortali.
Questa argomentazioneè certamente di forma valida. Nei limiti della
logica enunciativa, però, non possiamoesprimere la sua forma diversamente da:
P,
9'
quindi r.
Chiaramente ci è necessariopoter esprimere piú dettagliatamenteia
forma di questa argomentazioàese dobbiamo rendere conto della sua
validità. Se disponiamo della logica dei predicati, possiamo fare ciò
in un modo che soddisfa pienamente 1o scopo di stabilire la validità
di questa argomentazione.In effetti saremo in grado di esprimere in
maniera soddisfacentela forma logica di numerosi enunciati e argomentazíoni.
37
La logica dei predicati del primo ordine fece la sua prima appari
zione come sistemaformale (di fatto, anche se non in modo del tutto
esplicito) nel Begrifsschrilt di Frege (1892). Oltre a Frege, altre
figure di rilievo del primo periodo di sviluppo di tale logica sono
G. Peano (L858-I932), C. S. Peirce, Bertrand Russell e A. N. Withehead (con i Principia Mathematica), T. Skolem, D. Hilbert e
\ù7. Ackermann (con i Grundzùge der theoretiscben Logik, 1928).1
2.1. La logica dei predicati del prino
ordine FI . Simboli, quantificatori ",
e formule
Proprio come vi è piú di un modo per costruire la logica enunciativa, cosí vi è piú di un modo anche per costruire la logica dei predicati del primo ordine. Forniremo ora per tale logica una formula.
zione che chiameremo Ft. Tuttavia "Fr," anzichéessereil nome di
un unico sistemadi logica dei predícati del pdmo ordine, starà ambiguamente per piú di una di tali logiche. Questi difierenti sistemi logici risultano notevolmente simili tra loro e di{Ieriscono solo per i
simboli adottati. Per i nosri scopi possiamo trattarne contemporaneamente e faremo riferimento ad essi globalmente come sistemaFl.
Ogni sistema Fr contiene tra i suoi sirnboli tutti quelli che indicheremo sotto (1) e (2); inoltre un sistema particolare può contenere
o meno alcuni dei simboli sotto (3) e tutti i sistemi Fr contengono
almeno uno dei simboli sotto (4).
( 1) I connettivi di P insieme plle parentesi ed un nuovo simbolo
"
f ." Qui abbiamo dunquè i seguenti simboli:
) V A =
l
Questi simboli sono le costanti logicbe di Ft. Tutte le altre
costanti di F1 sono costanti non logiche.
Una lista infinita di uariabili indiuiduali. cioè
X y Z x r y r Z r x z y 2 Z 2
Ogni volta che dobbiamo parlare della a-esimavariabile individuale di Fr, assumiamocome ordine delle variabili individuali
la disposizione suddetta.
( 3 ) Una lista infinita di costanti individuali, che qui non è necessario specificare.
(4) Pet ogni intero positivo n, una lista infinita di costanti predicatiae n-arie; cioè una lista infinita di costanti predicative unarie
P' Q'R' Pl al Rl
38
Logica matematica e teorie lormalizzate
La logica dei predicati del primo ordine: I
una lista infinita di costanti predicative binarie
39
universali e esistenziali.,Un quantificatoreaniuersaledi Fr è un'espressione della forma (a), dove a è una qualsiasivariabile individuale di
Fr; un quantificatore esistenzialedi F' è un'espressionedella forma
( 3 a), dove a è una qualsiasi variabile individuale di Ft. In Fr vi
sono dunque infiniti,quantificatori universali ed esistenziali.Ad esem"(r)"
"(y)"
pio,
e
sono quantificatoriuniversali,mentre "( lr)" e
"(3
y)" sono quantificatori esistenziali.Il quantificatoreuniversale
ha il seguentesignificato: una formula (a)A è vera se e solo se ogal
entità nel rango della variabile a soddisfa la formula A. La formula
"(x1Pty"
ad esempio è vera se e solo se ogni entità nel rango della
"x"
"Ptx."
variabile
soddisfa la formula
Il quantificatore esisienziale
ha il seguente significato: una formula t I a)A è vera se e solo se
qualche entità nel rango della variabile a soddisfa la formula A. Ma
queste sono solo alcune osservazioniinformali; in seguito forniremo
una interpretazione piú precisa dei quantificatori.
Definiamo ora esa1tamentela classe delle formule di Ft. Come nel
casodi P, procederemoricorsivamenteelencandotutti i casi possibili.
Una lormula di Fl è qualsiasiespressionedi Ft (cioè qualsiasi stringa
di lwghezza finita di simboli di Ft) che è (a) una costanre predica..:
tíva n-aria di Ft seguita da n occonenzedi variabili individùafi e/o
costanti individuali di Fl; oppure (b) la negazionedi una formula di
Fr; oppure (c) il condizionale o la disgiuniione o la congiunzione o
il bicondizionale di due formule qualsiasi di Ft; oppure (d) íl risultato ottenuto ponendo un quantificatore davanti ad una formula di
F'. Cosí:
P2 Q' R' Pî Aî RÌ
e cosí via. (Useremo queste particolari costanti predicative solo
per dare esempi di formule in questo capitolo J nel successivo.
Negli alri capitoli inrrodurremo invecé delle nuove costanti
-predicative.)
In seguito specificheremoesattamente come debbono essere interpretati i simboli di Ft. Per il momenro basti dire semplicementeche
si deve tenere presente che (a) le variabili individuali variano su
qualche dominio arbitrario (non vuoto) di entità; (b) le costanti ìhdividuali stanno per alcuneentità particolari ddlo stessodominio; (c) le
costanti predicative stanno per proprietà e relazioni particolari ra
le entità del dominio. In particolare le costanri predicaiive n-arie devono stare per relazioni n-aúe, cioè relazioni ad n termini.
Numerose teorie matematiche poisono esseresviluppate entro la 1ogica del primo ordine. (Spessoè necessarioaggiungeresimboli per
I'identità e le operazioni; in seguito prenderemo in considerazióne
tali aggiunte.) Una formulazione della losica dei predicati del orimo
ordine che, come la formulazioneFI, nJn contenga variabili predicative viene spesso chiamata logica dei predicati del primo ordine
(PPlicata semplice. Inoltre ogni teoria matematica espressain una
log_icadi tal genere (evenrualmente con l'aggiunta dì simboli per
l'identità e le operazioni) è detta una teoria elementareo teoria ion
formalizzazione standard. Le proprietà generali delle teorie elementari sono state oggetto di svariati studi e ciò ha portato alla scoperta
di numerosi e importanti risultati generali concèrnenti tutte queste
teorie. Nei capitoli successiviprenderemo in considerazionealcune
teoriè matematiche elementari.
Come prima, useremo le lettere romane maiuscole in neretto A, B,
C ecc. come metavariabili che sono ora intese variare sulle esoressioni di Fl. Inoltre includiamo nel metalinguaggiodi Fr una sec o n d a l i s t a i n f i n i t a d i v a r i a b i l i ,c i o è l e l e r t e r er o m a n e m i n u s c o l ei n
neretto:
a b c ar br cr azbz
( a ) s e f è u n a c o s t a n t ep r e d i c a t i v an + i a d i F r e d a r , a 2 . . . a r s o n o
variabili individuali e/o costanti individuali, allora f. at a2 ... an
è una formula di Ft:
( b ) se A è una formula di Fl. allora -A è una formula di Ft:
( c ) se A e B sono formule di Ft, allora ( A : B ) , ( A V B ) ,( A A B )
e (A - B) sono formule di Fl;
( d ) se A è una formula di Ft ed a è una variabile individuale di Ft.
allora (a)A e ( 3 a)A sono formule di Ft.
In particolare una lormula atonzica di Ft è qualsiasi formula di Ft
del tipo (a). Ogni formula della forma (a)A è detta generalizzazione
uniuersalee ogni formula della forma ( f a)A è detta generalizzazione
esistenziale.
A titolo di esemplificazionedei numerosi casi particolari entro questa
definizione, si consideri la seguenteespressione:
che variano sulle costanri e variabili individuali di Ft. Vi includiamo
anchele lettere in neretto "î," "Ír," "f2,"... che variano sulle costanti
predicative di F1.
Il concetto di quantificatore è uno dei concetti centrali della sintassi
della logica dei predicati. Vi sono in Fr due tipi di quantificatori:
( 1 ) ( x r X ( ( r ) P rA
x ( f y ) ( z ) Q ' y z ) :Q ' r r ) .
I
ì,
\
La logica dei predicati del primo ordine: I
Logica matematica e teorie lorrtalizzate
40
"Prx," "Qttr"
"Q2y7"
e
sono formule. Quindi, per (d),
"(z)Q2yz"
"(Jy)(z)Q2yz"
e
sono formule; ancora per (d),
è una formula. Allora per (c)
4l
2.2 Interpretazioni. Verità e ualidità
Pet (a),
"(x)Ptx"
Il concetto di formula di F1 è un concetto sintattico, dal momento
che è stato definito facendo riferimento solo àlla forma delle espressioni e del tutto indipendentemente dal loro significato. Avendo definito il concetto di formula, siamo ora in grado di occuparci della
((x)Plr A (lyXz)Q' yz)
è una formula; di nuovo per (c),
(((x)Plx A ( lyXz)Q212)= Qlxr)
è una formula. Infine, per (d), I'espressione(1) è anche essa una
formula.
D'ora in avanti applicheremodi solito le convenzioni per I'omissione
delle parentesi nelle formule e negli schgmi che abbiamo introdotto
trattando della logica enunciativa. Inoltre omerteremo di aggiungere
gli indici in esponente alle costanti predicative, dal momento che
l'indice richiesto in ciascun caso risulta evidente dal numero delle
variabili o costanti individuali che figurano come argomenti.
"x<3."
Si consideri'oraIa formula algebrica
Questaformula è vera
"x"
per alcuni valori di
e falsa per alri. Diremo che I'occorrenzadi
"
x" in questa formula è un'occorrenzalíberc. Si consideri invece la
"per
qualche x, x 13." Qui vi è una quantificazionesulla
formula
"
"
occorrenza di x" in x < 3," con il risultato che qaesta formula
ha un ben determinàtovalore di verità, cioè il valore'Vero. Diremo
"
"
che I'occonenza di x" in x < 3" in questa formula è una occor"
"per
renza vincolata (come lo è I'occorrenza dí x" in
qualche r").
Distinguiamo ora in modo esatto tra occorrenze libere e legate di
variabili. Una particolare occorrenza di una variqbile a in una formula A è una occorrenzauincolata di a in A se e solo se essaoccorre
in qualche parte di A che è una formula delia forma (a)B o ( f a)B.
Altrimenti è un'occorrenza libera di a in A. Nella formula
"(x)P
"x"
xy AQx," per esempio,le prime due occorrenzedi
sono
occorrenzevincolate, mentre la tetza è una occorrenzalibera, come
"
lo è anche I'unica occorrenzadi y" in tale formula.
Se una formula (a)8, o ( f a)8, occorre in una formula A (oppure è
la stessaformula A), allora I'ambito in A di quella particolare occorrenza del quantificatore (a), o ( f a), è Ia stessa formula (a)B, o
( I a)8. Cosí nella formula "(x)P xt A Q x" I'ambito del quantifi"(r)"
"(x)P
"x"
catore
è la formula
in
xy." L'occorrenzafinale di
questa formula giace fuori dall'ambito del quantificatore.
Infine, un enunciato o formula cbiusa di Ft è qualsiasi formula di Fl
che non contenga nessuna occorrenza libera di variabili. Tutte le
altre formule di Ft si dicono lorrnule alerte.
I
I
I
\'
ai significati di esse è un concetto semantico. Uno dei principali
obiettivi di questo capitolo è definire esattamentei concetti di vali
rispetto alla logica dei predièàli
logic4 e'di implicazione logica
@ità
--r---.!."z
"
,.
ì,,
,.
concetti saranno definiti come concettl
del o-lmo ordine- F lTlli
semantlcl.
Nella semàntica di Ft alle costanti ptedicative unarie (cioè ad un
quel dominio
posto) saranno assegnatecldsi-dì-iidìilduiprdsi.'àà
(non vuoto) di individui sopra il quale uariano le variabili individuali. Per ogni n maggiore di 1, alle costanti predícative n-rie sa'
doniinio.
ranno
relazioni n-rie trl- gliìîdilidui?i--quato
. . - assegnate
' + . Assegneremo clunque îelazlonr blnarte alle costanll preolcatlve Drnarie (cioè a due posti), rclazioni ternarie alle costanti predicative
ternarie (cioè a te posti) e cosí via. Le relazioni binarie ci sono
relazioni, ad
familiari tramite I'algebra'e I'esperienzaq,rofiffiilG
esempio, di esseremaggiore di, minore di, alla sinistta di, padre di.
La geomeui a piana ci fornisce esempi, di alcune relazioni ternarie e
quaternarie (cioè a quattro posti), rispéttivamente il giacere di un
punto .x tra i punti y e z e la relazione per cui il punto x dista dal
punto l, tanto quanto il punto z dista dai punto w. Se ora presupponiamo la nozione di n-upla ordinata, possiamofornire una definizione
molto generale del concetto di relazione n-aria; qg4lglff-Sblse.d1(Nel capitolo VII.vSdleqo
z@@@@@@@@
è:ng
te
\eLaz$:;@,.
cbfrela nozionedi a-upla ordinata può a sua volta esseredefinita ln
termini della nozione di insieme.) Cosí la telazione di esseré-minoredi tra numeri interi Duò essere definiffie
- * - - a - * ' + '
óppiè-6r<fiqate-?rr
i->-TaliTFtted| | y sianointeri ed x sia mi-=---nore di y. La relazionegeometrícadel giaceredi un punto x tîa I
y .?ilil.ssere
definití .o-. la classJdi tutte l. tiiple ordinate
1 x, !, z ) tali che x, y e z sono punti di una linea e x giace tra y
e z. Entrambe queste relazioni, cosí intese, risultano classi con un
numero infinito di a-uple ordinate.
Per àmore di geièraliù, in seguito considereremole classi di individui come relazioni unarie tra individui.
I
I
Logica matematicae teorie lormalizzate
Procediamo ora alle definizioni, esaminandoin primo luogo la definizione del concetto semantico di interpretazione.2Una interoreta-ditntità
zione di Fr consisre approssimativafiîEEiéìfiTn-domi n io
sulle quali variano le variabili individuali di Ft, insieme aii5àiièlnàzione di entità appropriate definite rispetto a quesro dominio per
ogni costante non logica di Fl. Piú esattamenteuna interpretazioneI
d i F r c o n s í s t ei n : .
( a ) un dominio non vuoto D, sul quale variano le variabili individuali di F';
(b) un'assegnazionea ciascuna delle costanti individuali di Ft (se
ve ne sono) di un individuo nel dominio D;
( c ) un'assegnazionea ogni costante predicativa n-úa di Fr di una
relazione n-ria tta gli individui di D.
Si noti che qui non stiamo definendo semplicementeil concetto di
interpretazione di una formula di Fr, ma il concetto di interpretazione di Fl stesso- nella quale ogni formula di Fr riceve naturalmente una interpretazione.
Ci è ora necessarioil concetto di sequenzainfinita atbitraria di indi
vidui in D. Le variabili di Ft sono disposte in una sequenzainfinita.
Ogni sequenraîifl?a di individui in D correladunque un individuo
di D con ciascunadelle variabili di Ft. In particolare, per ogni formula A e per ogni sequenzainfinita di individui J - (br, bz, ...), ciascuna delle variabili libere in A è correlata da S ad un individu<r
in D.
Il simbolo
Ji(a)
indica I'individuo di D che 1 assesnaad a se a è una costante individuale o I'individuo di D che S comela ad a se a è una variabile
individuale.
Definiamo ora cosa si intende dicendo che una sequenzadata S soddisfa una formula A rispetto acl una interpretazione L Utilizzeremo
una definizione ricorsiva, parallela alla definizione generale di formula, definizione che naturalmente procederàin accordo con le interpretazioni assegnateai connettivi enunciativi e ai quantificatori.
Sia A una qualsiasi formula di Fl, I una interpretazione di Ft e S
una sequenzainfinita di individui del dominio D di I.
(a) Se A è una formula atomica f ar...an, alloru S soddisfaA (rispetto ad 1) se e solo se tra glí n individui St(ur)... Si(a")vale la
relazione che I assegnaad f; cioè se e solo se 7a n-upla ordinata
La logicédei predicatidel primo ordine: I
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
43
< Si(ar)...St(u,) ) è un elemento della classedi a-uple ordinate che -I assegnaad f.
Se A è -8, per qualche formula B, allora S soddisfaA se e
solo se S non soddisfa B.
S e A è B : C , p e r q u a l c h eB e C , a l l o r a . l s o d d i s f aA s e e s o l o
se .! non soddisfa B o S soddisfa C.
Se A è B V C, per qualcheB e C, allora S soddisfaA se e solo
se S soddisfaB o C (o entrambi).
Se A è B A C, per qualcheB e C, allora S soddisfaA se e solo
se S soddisfa sia B che C.
Se A è B - C, per qualcheB e C, allora S soddisfaA se e solo
se o .l soddisfa -.ia B che C c -l non soddisfa né B né C.
Prima di aggiungere a questa definizione due clausole finali per la
qrantlfrcazióÀesulle formule, introduciamo la nozione di a-variante
ii ,r.ru sequenzainfinita di S. Una sequenzainfinita di individui di D
è una a-uàriante di tna determinata t.q.t.ttro infinita di individui di
D se e solo se a è una variabile individuale e (a) le due sequenze
sono identiche oppure (b) difieriscono al piú per f individuo che correlano alla variabile a (mentre coincidono sotto ogni alto aspetto).
Come caso speciale ogni sequenza è dunque una a-variante di se
stessa.Aggiungiamo ora.le due ciausole frnali utllizzando appunto
questo concetto dl a-varlante
(g)
" Se A è (a)8, per qualchevaiiabile individuale a e qualcheformula B, allora S toàditfu A se e solo se ogni a-variantedi S soddisfa B.
(h) Se A è (la)B, per qualche variabile individuale a e qualche
formula B, allora S soddisfa A se e solo se qualche a-variantedi
S soddisfa B.
Il lettore apptezzerà,forse alcune esemplificazionidi questa defini"P
x." Supponiamoche una interpretazione. Si consideri la formula
zione I assegnicome rango alle variabili di Ft il dominio dei numeri
"P"
la classedei lumeri primi.
interi positivi e assegnial predicato
"
Allora, dal mon.rento che x" è la prima rtariabile di Fr, per la clausola (a) ogni sequenzaS che abbia come primo termine un numero .
"P
x." Si consideti oru \a formula
orimo soAdisferà la formula
t'(
f r)Prr." Per la clausola (h), una sequenza atbittatia S soddisfa
"
questa formula se e solo se qualche x" -vaîianledi S - cioè qualche
ùq...nru che difierisce da S-al piú per il suo primo termine - sod"P
un
disfa
x." Ora ogni sequenzache contengacome primo termine
"Pr."
p.i il resto coincida con.l soddisferà
numero orimo e.i"
Cosí, dai momento chà esistono sequenzedi tale genere' la stessaS
trbb+-...,
44
/
,,,'
La logica d.ei predicati del pùmo ordine: I
Logicamatenaticae teorie lornalizzate
"(
soddisferà 3r)Px."
Poiché inoltre S è una sequenza atbitraria,
tutte 7e sequenzesoddisferanno "( f x)p x,, (rispeito all'interpretazi.onedata 1). In efietti è facile vedere che, in generale,se una'qualslasl s_equenza
soddisfa, rispetto ad una interpretazione
f data, una
-libera,
formula che non contenga nessuna variabile
allon ogni sequenza soddisfa quella formula rispetto ad I. Rispetto ad una interpretazione data'un enunciato è dunque soddisfatio o da tutte le sequenze o da nessuna.Questo non u.ie, naturalmente, pef le formule
in generale.
Come ulteriore esempio, si consideri la formula "(x)p x." Una se.
quenza.l soddisfa "1x7Px" se e solo se ogni "x"-vatiante di S sod"Prr."
disfa
Se vi è dunque una qualslasj-ux"-variante
di.î che non ,"P
s.o4.disfa *i' allora neppure S"soddisfa "(x)p x.,, Ma qualunque
"
x"-variante che conteng;iome primo termine un qualsiaii ,rrrrné.o
non.sia primo non soddisfeîl "p *.,, euindi ,r.pp.rr. J sodclisfa
9!e
"
(x)P x" ; cioè nessunasequenzasoddisfa " (x)p x" (iiìpetto all'interpretazione1).
utilizzando i concetti che abbiamo ora a disposizione, siamo in grado
di definire numerosi altri concetti semantiii, molti dei quali iorri
spondono in qualche modo ad importanti concerti intuitivi (anzi, in
alcuni casi, eventualmente, a piú di uno di tali concetti). Naturalmente ciascuno dei concetti che definiremo sarà relativizzato alle formule di Ft.
In primo luogo il concetto di verità. Anziché definire semolicemente
un concetto di verità, definiremo un concetto di verità in una interpretazione data. Inoltre definiremo questo concetto e tutti gli altri
concetti semantici non per gli enunciati - cioè formule senla nessuna variabile libera - ma per le formule in eenerale.
La chiusura (uniuersale) di una formula A sia"il risultato otrenuto
ponendo davanti ad A un quantificatore universale per ognuna delle
sue variabili individuali libere. (Queste variabili devìno esserÈprese
in ordine crescente.se A non contiene nessunavariabile libera. allora
A vale come la chiusura di se stessa.)Definiamo la verità in una
interpretazionedata in modo tale che una formula con variabili libere
risulti vera se e solo se la sua chiusura universale 1o è. Ad esemoio
"Px,"
sarà vero in una interpretazionedata se e solo se "(x)prr; è
veta in quella interpretazione.
Premesse_
queste osservazioni,la definizione è quasi ovvia. Una formula A di Fr è oera in una interpretazione 1 se e solo se A è soddisfatta da ogni sequenza infinita i di individui in ,I. Inolre diremo
che una formula A è latsa in una interpretazione I se e solo se A
non è soddisfatta da nessunasequenzadì individui in l.
rl lettore non dovretbe rovare ilfficolta nel rilevare che i sesuenti
risultati sono conseguenzeimmediate delle definizioni date.
45
( 1 ) una formula A è vera in r se e solo se la sua chiusura universale è vera in ,I.
è vera in 1; e simil(2) (a)A è vera in f se e solo se -(la)-A
(
(
a
)
t
r
l
a
)
4
.
e
p
e
r
mente
(3) Se A eà R I B sono entrambe vere in I, alloru B è vera in f'
solo se -A
i;) Ú"; formula A è falsa in una interpretazioner se e
-A
in 1'
falsa
è
se
solo
se
e
I
in
è vera in 1; A è vera
( 5 ) Nessunaformula è sia vera che falsa nella stessainterpretazione.
(6) Se A è un enunciato,allora o A o -A è vero in I; dunque A
è vero o falso in f.
Si noti tuttavia che, se è A una formula qualunque, non sempre si
dà il caso che o A o -A sia vera in 1. Siconsideri nuovamente la
formula apeîta"P x." In qualunque interpretazioneche assumacome
dominio i numeri interi pósitivi É assegnia"P" la classedei numeti
falsa' Ciò-perché.noi
;;tt"t;q,r.rr^ formula uf,..t" .tott è né vera né
e
solo se la sqg..-cliuse
vera
come
apert^
fo.muj,
èo.rriú.ri"-o rr.a
sura universale è vera e come falsa se e solo se la chiusura univerMa né la chiusura universale di"Px"
sale della sua negazioneè vera.
" -Pf "
sono vere in una tale interprédi
né la chiusura u-niversale
tu"ionr, dal momento che non si dà il caso né che tutti i numeri
oositivi interi siano primi né che nessunodi essi sia primoÌnr.od,r.ir-o ora il ion..tto fondamentale di modello. Un rnodello,
di una classedi formule f (o di una formula A) è semplicgmgnte*na
quale tutte l9-follliulg-di :f 1g3l
nella -di
;;;*;terpretaziónè
t' t;Ai Al; aiiora diciamo che
J.nt-"Éril S. f e un--Àodélfo
f (o A) è semanticamenteconche
diremo
Inoltre
r.
in
ffi
,aL
sistente se e solo se I (o A) ha un modèllo.
t.,u io.-,rl a A è ^alida in Fl - o logicamente oalida o una aerità
logi,cain ['r - 5s e solo se A è vera in ogni interpretazione. Abbiamo
alle fopmule di Ft) del famoso-conqu'i,-,rruanalisi precisa (ristretta
"essere
vero in tutti i mgdi possibili"'
èt,o info.-ale ii Leibniz di
formula che è vera in vírtú
è
una
valida
formula
i.rrrri,iur-.nte una
di .onrid.rrzioni logiche soltanto o vera sotto tutte le condizioni
1
I
I
I
I
I
t
logicamente Possibili.
M-or,r.r.-o àegli esempi di formule logicamentevalide in Fr in seg"ia, q"t"ao ire.td..".no in esame gli assiomi ed i teoremi di Fr'
Únu-ioi*rrl" A è ltogicamente) incr,tisistentese e solo se A è falsa
-A è
in ogni interpretazio".. Ci; ovviamente accadràse e solo se
per
se,
solo
e
se
soddislacibile
A
è
formula
Una
valida.
logic"amente
da almeno una sequenza.
alir"no una interpretazione,A è soddisfat_ta
- A non è
òhiu.u*.n,. qualsiasi formula A è valida se e solo se
soddisfacibile.
Una formula A è una conseguenza(togica) di una classedi formule
46
/
Logica matematicae teolie lorrlalizzate
I se e sofo se,-per ogni interpretazionef, ogni sequenzache /oddisfa
tutte le formule in f soddisfaancheA. Diòiamo ih. unn formula B
implica (logicanente) A se e solo se A è una conseguenzalogica della
classeche contiene B come suo unico elemento. óue formile si dicono (logicamente) equiualenti se e solo se si implicano logicamente
ln modo reclDroco.
si può mostràre facilmente che i concetti semantici introdorti a proposito della logica enunciativa risultano casi speciali dei conÉetti
appena delineati e sono facilmente trasferibili aia logica dei predicati. Le taurologie di Fr sono ad esempio un caso .p"iinl. de[L formule logicamenfe valide di Ft e I'impúcazione taurologica è un caso
specialedelf implicazionelogica.come vedremo in segJito,i concettí
semantici della logica dei predicati difieriscono comunque sotto un
importante aspetto dai concetti semantici della loeica enunciariva.
Questí ultimi sono concetti efferrivamentedefiniti (ler ogni formula
A e per ogni classefinita di formule f ), mentre i pii-l n.-onlo sono.
Non vi sono cioè procedimenti efiettivi per determinare in ogni caso
se un concetto semanticoper la logica dei predicati si applica o meno
a.un caso particolare. Per esempio, il concetto di formula valida di
Fr non è efiettivamente definitò, mentre il concetto di iatitologia
di Ft è effettivamente definito. Le tavole di verità ci forniscono ìn
test effettivo per determinare se una qualsiasi formula data A è o
meno una tautologia; mentre non vi è nessuntest effettivo corrisoondente per determinare se A è valida oppure nb. Naturalmenre in mortissimi casi è possibile determinare se A è valida o meno; ma è noro
che non vi è nessun procedimento effettivo per determinare ciò in
ogni caso.
come abbiamo fornito un elenco di alcuni risgltati derivati dai concetti semantici definiti per la logica enunciativa (pagina 2g), diamo
ora il seguentqelenco di risultati generali per le fòrÀule di Fr; pensiamo che il lettore non roverà difficoltà nel rendersi conto di come
essi derivano dalle precedentidefinizioni_deiconcetti semanriciper Fr:
( 1) A implica logicamente B se e solo se il condizionale A : B è
valído.
(2) A e B sono logicamente equivalenti se e solo se il bicondizionaleA-Bèvalido.
(3) Se f è una classedi formule valide e A è una consequenzalogica di l, allora A è valida.
(4) Se A implica B e B implicaC, alToraA implica C; cioè l,implicazione logica è transitiva.
(5) Due fotmule valide qualsiasi sono logicamente equivalenti.
(6) Una formula valida è implicata da qualsiasiformula (o classedi
La logióp dei predicati del primo otdine: I
47
j
formule); inoltre una formula inconsistente implica qualsiasi
forÀula.
(7) A è valida se e solo se A è una conseguenzalogicadella classe
vuota di formule:
Inoltre:
(8)' A è valida se e solo se la sua chiusuraè valida; A ha un modello se e solo se la sua chiusura ha un modello'
f, se A è una
(9
''' ) Per ogni formula A e per ogni classedi formule
.o.tr.!.renza dí 1., allora A vale in ognl modello di f' In parti.ol"r.] per ogni formulu B, se B implica A, allora A vale in
ogni modello di B.
I concetti semantici che abbiamo definito per la logica dei predicati
Ft ,ono del tutto chiari se applicati a enuniiati ma !-er la loro applicarione a formule aperte, che contengono variabili libere, si tichiede
una maggior. utt.niion.. Abbiutno già nottto che in generale-non
ri àa it 1""ro .h. una formula aperta sia o vera o falsa in una inter'
d^* - dal momentò che una formula aperta-A è consi;;.ì;;;
iolo ,. la sua chiusura è vera e falsa solo se la chiusura
i;;;ià-";;"
di -A è vera.
parecchie altre osservazionidi questo tipo meritano di essereespliiitate. Sia A un enunciato. Allora una formula B vale in ogni mojgm.rlla
dello di A se e solo se A implica B. Tuttavia, se A è una "Px"
e
è
A
se
Cosí
aperta questo risultato non vale in generale'
"(rip
A
è
vera
se
cioè
A
di
modello
x," allota B vale in ogni
d a
in una quaích. interpretazione -I, allora B è vera 4ella stessaf
se f assegnacome dominio i,numa B non è implicatà da A. Poiché
"P"
l^ classedei numeri primi, allora
meri interi positivi e assegna^
S che abbia come primo terrnine il numero 3 soddi
;;;i ù;;";a
"(x)Px'" gìindi, in accordo alla nostra defi"É
x," ma non
sf?rà
"ix;Px'
"Px"
non ímplica
nizione di implicazione,
Nel caso deilà fotmule aperte vi è dunque talvolta una discrepanza
in
tra I'essere logicamente implicato da una. formula A e il valere
quanto
generale
in
aale
che
ogni modello éi n. B chiaro comunque
,Jg.r., ,. | è un qualsiasi insieme dì form.,'le e f' è I'insieme delle
,liirrurc di quelle iorln,-tl., allora una formula A vale in tutti i modelli di f se e solo se A è una conseguenzalogica di f'. similmente
I avrà un modello se e solo se I.' è soddisfacibile.se tutte le tormule in I sono già chiuse f' è naturalmente identico a f; in questo
caso A è una conseguenzadi Ia se e solo se A vale in ogni modello
di I e f ha un *od.llo se e solo se f è soddisfacibile'
di
Introduciamo ora un simbolo che è largamente usato negli scritti
//
48
Logica matematicae teorie lorializzate
logica, precisamenreil simbolo " ts " definiro come ,.gue,
f.r
classedi formule f e per ogni formula A,
I
se e solo se A vale in ogni modello di f. Come abbiamo già accennato, nel caso che r sia una classedi formule chiuse ciò eóuivale al
fatto che A sia una conseguenzadi f.
Useremo anche
B = A
per significare che A vale in ogni modello di B;
Atsf
dove A è una classedi formule, per significareche ogni formula in I
vale in ogni modello di A;
T A
per significare che A vale in ogni modello dell'insieme vuoto di formule.
I seguenti risultati sono relativamente ovvi e facilmente formulabili
con I'aiuto della nuova notazione
(1)
(2)
(l)
(4)
(5)
Se A t f e I c A, allora A e A.
Se I = A e ogni formula in f è in A, allora A * A.
Se f ts A e | = A:
B, allora| = B.
Se f É A, allora | ts A', dove A' è la chiusura di A.
Se A è valida e I è una qualsiasiclassedi formule, allora
f=4.
(6) A è valida se e solo se ts A.
Concludiamo questa sezione riesponendo con I'aiuto della nuova
notazione due risultati gíà menzionati:
( 7 ) Per ogni formula A e per ogni classedi formule I, se A è una
conseguenzadi l, allora f e A.
( 8 ) Per ogni formula A e per ogni classedi formule chiuse T, A è
una conseguenzadi I se e solo se f = A.
Vedremo in seguito, una volta definita la nozione di esserederivabile da, che f = A se e solo se A è derivabile da l, per ogni classe
di formule f e per ogni formula A.
I
2.3 Scbemi di assiomi di Fl. Regole di
inlerenza e teoremi. Consistenzadi FI
ogni
f c A
49
La logica dei predicati del primo ordine: I
Torniamo on alla sintassidi Ft e prendiamo in esameun insieme di
schemi di assiomi e regole di infeienza per Fl. Vogliamo formulare
assiomi e regole da cui siano derivabili come teoremi di Ft tutte le
formule va[àe di F1 e nessun'altra formula; e ciò risulta possibile.
usererlo il seguente insieme di schemi di assiomi, che include gli
schemi di assiòmi di P. Siano A, B e C formule di F''
( a )A : ( B : A )
( b ) ( A : ( B : C ) )r ( ( Ar B ) r ( A : C ) )
(c)(-B r -A) r ((-B: A): B)
individuale
iaj i"Xn: B): (A': (a)B),dovea è unavariabile
che non ha nessuna occorrenzalibera in A.
(a)A: B, dove a è una variabile individuale e B difierisceda
(e)
'
A al piú per il fatto di avere delle occorrenzelibere di una variabilè inàividuale (o occorrenzedi una costante individuale) b
dove A ha delle occorrenzelibere di a.
Come esempi di assiomi di Fr abbiamo le seguenti formule:
p?r lo schema (a)
(x)Pr r
( P t l > ( x ) Px ) ;
per lo schema(d)
(xXPy:
Qry) r
(Py I
(x)QxY);
per lo schema(e)
(r)P x :P y, e
( l X Q x y : ( z ) Qy z ) )
(Q xr :
( z ) Qx z ) .
Il lettore dovrebbe esserein grado di mostrafe che questi schemi di
assiomi sono tutti veri in ogni interpretàzione, cioè validi. Le restrizioni sugli schemi di assiomi (d) ed (e) sono comunque necessarie
'i Der evit;re che certi assiomi risultino non veri in alcune interpreta)ioni. Cosí, se eliminassimola restrizione sullo schemadi assiomi(d),
otterremmo come assioma
(xXPx r
Px) :: (Px:
(r)Px).
Consideriamo tuttavia una qualunque interpretazione f che assegli
"P"
la classedi tutte le èntità del dominio' eccetto una qualche
a
entità a. Allora I'antecedentedi questa formula sarebbe vero in I,
