Precorso di Analisi Matematica - II parte

Precorso di Analisi Matematica - II parte
Lezioni del 15-16 Settembre 2011
Antonio Leaci1
1 Universitá
del Salento
Facoltá di Ingegneria
Dipartimento di Matematica “E. De Giorgi”
A.A. 2011/12
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
1 / 74
Outline
1
Equazioni e disequazioni
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
2 / 74
Outline
1
Equazioni e disequazioni
2
Equazioni e disequazioni razionali
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
2 / 74
Outline
1
Equazioni e disequazioni
2
Equazioni e disequazioni razionali
3
Equazioni e disequazioni irrazionali
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
2 / 74
Outline
1
Equazioni e disequazioni
2
Equazioni e disequazioni razionali
3
Equazioni e disequazioni irrazionali
4
Disequazioni con il valore assoluto
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
2 / 74
Outline
1
Equazioni e disequazioni
2
Equazioni e disequazioni razionali
3
Equazioni e disequazioni irrazionali
4
Disequazioni con il valore assoluto
5
Equazioni e disequazioni esponenziali
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
2 / 74
Outline
1
Equazioni e disequazioni
2
Equazioni e disequazioni razionali
3
Equazioni e disequazioni irrazionali
4
Disequazioni con il valore assoluto
5
Equazioni e disequazioni esponenziali
6
Equazioni e disequazioni logaritmiche
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Riferimenti bibliografici
Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte
del seguente materiale:
1
Il corso di Matematica delle scuole superiori.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Riferimenti bibliografici
Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte
del seguente materiale:
1
Il corso di Matematica delle scuole superiori.
2
Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella
pagina Web dei docenti di Analisi
(http://www.dm.unisalento.it/personale).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Riferimenti bibliografici
Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte
del seguente materiale:
1
Il corso di Matematica delle scuole superiori.
2
Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella
pagina Web dei docenti di Analisi
(http://www.dm.unisalento.it/personale).
3
Il materiale disponibile sul sito
http://riesci.ing.unisalento.it
nella sezione Materiale didattico, Analisi Matematica.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Riferimenti bibliografici
Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte
del seguente materiale:
1
Il corso di Matematica delle scuole superiori.
2
Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella
pagina Web dei docenti di Analisi
(http://www.dm.unisalento.it/personale).
3
Il materiale disponibile sul sito
http://riesci.ing.unisalento.it
nella sezione Materiale didattico, Analisi Matematica.
4
Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli,
1994.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Riferimenti bibliografici
Per la preparazione ai test di recupero si consiglia di utilizzare parte
del seguente materiale:
1
Il corso di Matematica delle scuole superiori.
2
Il primo capitolo delle dispense di Analisi Matematica 1 nella
pagina Web dei docenti di Analisi
(http://www.dm.unisalento.it/personale).
3
Il materiale disponibile sul sito
http://riesci.ing.unisalento.it
nella sezione Materiale didattico, Analisi Matematica.
4
Il libro di P.Boieri, G.Chiti: Precorso di Matematica, Zanichelli,
1994.
5
Il libro di A.Esposito, R.Fiorena: Lezioni di Analisi Matematica analisi “zero”, Liguori, Napoli, 1999.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Perché studiare la Matematica?
(P ISA , 1564 – A RCETRI (FI),1642)
La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico
l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a
intendere la lingua, e conoscere i caratteri, ne’ quali è scritto.
Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli,
cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è
impossibile a intenderne umanamente parola; senza questa è
un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.
Galileo Galilei, Il Saggiatore, 1623.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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Perché studiare la Matematica?
(L ECCE , 1928 – P ISA , 1996)
I confini tra matematica pura ed applicata sono labili. Alla
matematica pura si domanda la coerenza interna dei suoi
enunciati, alla matematica applicata la capacità di
rappresentare diverse realtà esterne alla matematica stessa.
La distinzione tra matematica pura ed applicata non risiede
nella diversa qualità dei teoremi che vi si dimostrano, ma nei
diversi criteri di interesse che inizialmente le ispirano.
E. De Giorgi, Riflessioni su Matematica e Sapienza, 1996
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria
Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle
Probabilità e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di
Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in:
Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione
(equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di
massimi/minimi tramite derivate).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria
Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle
Probabilità e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di
Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in:
Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione
(equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di
massimi/minimi tramite derivate).
Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica (Teoria
dell’elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo
di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Esempi di applicazioni della Matematica in Ingegneria
Analisi Matematica I e II, Geometria ed Algebra, Calcolo delle
Probabilità e Ricerca Operativa sono utilizzate, oltre che nei corsi di
Fisica I, II e Meccanica Razionale, ad esempio in:
Ing.Ind.: Teoria dei Circuiti, Meccanica Applicata, Ottimizzazione
(equazioni differenziali, calcolo di integrali, ricerca di
massimi/minimi tramite derivate).
Ing.Civ.: Scienza delle Costruzioni, Fluidodinamica (Teoria
dell’elasticità, equazioni differenziali alle derivate parziali, calcolo
di integrali, metodo degli elementi finiti (FEM)).
Ing.Inf.: Teoria dei Segnali e dei Sistemi, Automatica,
Telecomunicazioni (serie e trasformata di Fourier, trasformata di
Laplace e trasformata Z, Analisi Complessa, equazioni
differenziali alle derivate parziali), Computer Graphics ed
Elaborazione di Audio, Immagini e Video digitali.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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I numeri reali
L’ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri
reali R. Questo insieme sarà l’oggetto delle prime lezioni del corso di
Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l’insieme dei numeri
complessi C.
Diamo per note le definizioni e le proprietà
dei numeri naturali (N = {0, 1, 2, 3, . . .}),
dei numeri interi (Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}),
dei numeri razionali (Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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I numeri reali
L’ambiente in cui si svolgerà la nostra trattazione è quello dei numeri
reali R. Questo insieme sarà l’oggetto delle prime lezioni del corso di
Analisi Matematica I, dove sarà introdotto anche l’insieme dei numeri
complessi C.
Diamo per note le definizioni e le proprietà
dei numeri naturali (N = {0, 1, 2, 3, . . .}),
dei numeri interi (Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}),
dei numeri razionali (Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, q 6= 0}).
Brevemente possiamo dire che i numeri reali ammettono una
rappresentazione decimale finita, illimitata periodica o aperiodica
x = a0 .a1 a2 a3 a4 · · · = a0 +
a3
a4
a2
a1
+
+
+ ··· .
+
10 102 103 104
dove a0 ∈ Z, ak è una cifra decimale e non si ha definitivamente
ak = 9 in quanto, ad esempio, 13.249 = 13.25.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Equazioni e disequazioni
Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di
Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
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Equazioni e disequazioni
Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di
Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.
Funzione crescente o decrescente.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
8 / 74
Equazioni e disequazioni
Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di
Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.
Funzione crescente o decrescente.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
8 / 74
Equazioni e disequazioni
Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di
Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.
Funzione crescente o decrescente.
Ricordiamo che una funzione f : A → B è una relazione tra due insiemi
A , B tale che
∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
8 / 74
Equazioni e disequazioni
Per studiare le equazioni e disequazioni sono fondamentali i concetti di
Funzione iniettiva, surgettiva, bigettiva.
Funzione crescente o decrescente.
Ricordiamo che una funzione f : A → B è una relazione tra due insiemi
A , B tale che
∀ x ∈ A ∃! y ∈ B tale che f (x) = y .
e il suo grafico Gf è l’insieme
Gf = { (x, y ) ∈ A × B : x ∈ A , y = f (x) } .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
8 / 74
Una funzione empirica
18
17
16
15
14
13
Jan
Mar
May
Jul
Sep
Figura: Il valore delle azioni ENI tra Gennaio e Settembre 2011.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
9 / 74
Grafici ammissibili e NON ammissibili
-1
3
3
2
2
1
1
1
2
3
-1
1
2
3
Figura: Un grafico ammissibile e uno non ammissibile.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
10 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x) = y ammette
al più una soluzione.
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
11 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x) = y ammette
al più una soluzione.
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
f è surgettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette almeno una soluzione (cioè f (A) = B).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
11 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x) = y ammette
al più una soluzione.
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
f è surgettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette almeno una soluzione (cioè f (A) = B).
f è bigettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette un’unica soluzione e tale soluzione è x = f −1 (y ) dove
f −1 : B → A è la funzione inversa di f .
Naturalmente risulta f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ A,
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ B.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
11 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x) = y ammette
al più una soluzione.
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
f è surgettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette almeno una soluzione (cioè f (A) = B).
f è bigettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette un’unica soluzione e tale soluzione è x = f −1 (y ) dove
f −1 : B → A è la funzione inversa di f .
Naturalmente risulta f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ A,
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ B.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
11 / 74
Equazioni
Sia f una funzione f : A → B
f è iniettiva se e solo se per y ∈ B l’equazione f (x) = y ammette
al più una soluzione.
x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
f è surgettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette almeno una soluzione (cioè f (A) = B).
f è bigettiva se e solo se per ogni y ∈ B l’equazione f (x) = y
ammette un’unica soluzione e tale soluzione è x = f −1 (y ) dove
f −1 : B → A è la funzione inversa di f .
Naturalmente risulta f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ A,
f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ B.
Le proprietà precedenti dipendono non solo dall’espressione analitica
della funzione ma anche dagli insiemi A e B. Per esempio se f è
iniettiva allora la funzione f : A → f (A) è bigettiva.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
11 / 74
Esempi
8
4
3
2
1
-2 -1
-1
4
1
-2 -1
-4
2
1
2
-8
Figura: Grafici di x 2 , x 3 .
La funzione f (x) = x 2 non è iniettiva, né surgettiva.
La funzione f (x) = x 3 è iniettiva e surgettiva, dunque è bigettiva.
Per avere queste proprietà è fondamentale l’uso dei numeri reali.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
12 / 74
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
=⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
=⇒
f (x1 ) > f (x2 ).
f è decrescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
13 / 74
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
=⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
=⇒
f (x1 ) > f (x2 ).
f è decrescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x) ≤ h(x)
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
se e solo se
Precorso di Analisi Matematica
f (g(x)) ≤ f (h(x)).
A.A. 2011/12
13 / 74
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
=⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
=⇒
f (x1 ) > f (x2 ).
f è decrescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x) ≤ h(x)
se e solo se
g(x) ≤ h(x)
se e solo se
Se f è decrescente allora
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
f (g(x)) ≤ f (h(x)).
f (g(x)) ≥ f (h(x)).
A.A. 2011/12
13 / 74
Disequazioni
Siano A, B ⊂ R e sia f una funzione f : A → B.
f è crescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
=⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
=⇒
f (x1 ) > f (x2 ).
f è decrescente se
∀x1 , x2 ∈ A, x1 < x2
Siano g e h due funzioni g, h : X → A.
Se f è crescente allora
g(x) ≤ h(x)
se e solo se
g(x) ≤ h(x)
se e solo se
Se f è decrescente allora
f (g(x)) ≤ f (h(x)).
f (g(x)) ≥ f (h(x)).
Se f non è crescente, né decrescente la soluzione è più
complicata.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
13 / 74
Esempi
8
6
4
2
-3-2-1
10
5
-2 -1
-5
-10
1 2 3
Figura: Soluzione di x 2 ≥ 4,
1 2
x 3 ≤ 8.
La funzione f (x) = x 2 non è crescente, né decrescente.
x2 ≥ 4
se e solo se
x ≤ −2 ∨ x ≥ 2 .
3
La funzione f (x) = x è crescente.
x3 ≤ 8
se e solo se
x ≤2.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
14 / 74
Esempi
1
Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.
Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo
studiare l’equazione:
5x − 3 = y .
Essa, per ogni y ∈ R, ammette l’unica soluzione
x = y +3
5 .
Dunque esiste la funzione inversa f −1 : R → R data da
f −1 (y ) = y +3
5 .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
15 / 74
Esempi
1
2
Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.
Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo
studiare l’equazione:
5x − 3 = y .
Essa, per ogni y ∈ R, ammette l’unica soluzione
x = y +3
5 .
Dunque esiste la funzione inversa f −1 : R → R data da
f −1 (y ) = y +3
5 .
Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se f è crescente allora anche f −1 è crescente.
Se f è decrescente allora anche f −1 è decrescente.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
15 / 74
Esempi
1
2
3
Sia f : R → R la funzione definita da f (x) = 5x − 3.
Per decidere se è bigettiva e per calcolarne l’inversa, dobbiamo
studiare l’equazione:
5x − 3 = y .
Essa, per ogni y ∈ R, ammette l’unica soluzione
x = y +3
5 .
Dunque esiste la funzione inversa f −1 : R → R data da
f −1 (y ) = y +3
5 .
Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se f è crescente allora anche f −1 è crescente.
Se f è decrescente allora anche f −1 è decrescente.
Sia f : R → R una funzione bigettiva.
Se Gf è il grafico di f allora il grafico di f −1 si ottiene riflettendo Gf
rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, ossia
scambiando i ruoli di x e y .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
15 / 74
Equazioni equivalenti
Definizione
Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della
prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si
definisce l’equivalenza di disequazioni
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
16 / 74
Equazioni equivalenti
Definizione
Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della
prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si
definisce l’equivalenza di disequazioni
Proposizione
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
16 / 74
Equazioni equivalenti
Definizione
Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della
prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si
definisce l’equivalenza di disequazioni
Proposizione
L’equazione f (x) = g(x) si trasforma in una equivalente
sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
16 / 74
Equazioni equivalenti
Definizione
Due equazioni si dicono equivalenti se e solo se ogni soluzione della
prima è soluzione della seconda e viceversa. In modo analogo si
definisce l’equivalenza di disequazioni
Proposizione
L’equazione f (x) = g(x) si trasforma in una equivalente
sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g.
L’equazione f (x) = g(x) si trasforma in una equivalente
moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g e diversa da zero.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
16 / 74
Disequazioni equivalenti
Proposizione
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
17 / 74
Disequazioni equivalenti
Proposizione
La disequazione f (x) < g(x) si trasforma in una equivalente
sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
17 / 74
Disequazioni equivalenti
Proposizione
La disequazione f (x) < g(x) si trasforma in una equivalente
sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g.
La disequazione f (x) < g(x) si trasforma in una equivalente
moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g e strettamente
positiva.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
17 / 74
Disequazioni equivalenti
Proposizione
La disequazione f (x) < g(x) si trasforma in una equivalente
sommando o sottraendo ad ambo i membri una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g.
La disequazione f (x) < g(x) si trasforma in una equivalente
moltiplicando o dividendo ambo i membri per una stessa funzione
definita nell’intersezione dei domini di f e g e strettamente
positiva.
La disequazione f (x) < g(x) si trasforma moltiplicando o
dividendo ambo i membri per una stessa funzione h, definita
nell’intersezione dei domini di f e g e strettamente negativa, nella
disequazione equivalente f (x)h(x) > g(x)h(x).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
17 / 74
Equazioni e disequazioni razionali
Si tratta del caso in cui si considerano polinomi o rapporti di polinomi.
Consideriamo dapprima le potenze fn : R → R, f (x) = x n , n ∈ N.
Distinguiamo tra n dispari ed n pari. I grafici sono i seguenti:
2
1
-1
2
1
1
-1
-1
1
-2
Figura: Alcune potenze dispari e pari.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
18 / 74
Radici di indice dispari
Se n ∈ N è dispari risulta x1 < x2 ⇒ (x1 )n < (x2 )n e l’immagine della
funzione fn (x) = x n è tutto R. Allora si può definire la funzione inversa
fn−1 : R → R data dalla relazione fn−1 (y ) = x ⇔ y = fn (x).
La funzione fn−1 : R → R si chiama radice n-esima e si denota con
√
√
fn−1 (y ) = n y. Dunque x = n y ⇔ y = x n .
Anche fn−1 è bigettiva e strettamente crescente. I grafici sono i
seguenti:
1
-2
-1
1
2
-1
Figura: Alcune radici di indice dispari.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
19 / 74
Radici di indice pari
Se n ∈ N è pari risulta 0 ≤ x1 < x2 ⇒ (x1 )n < (x2 )n e l’immagine della
funzione fn (x) = x n ristretta a [0, +∞) è [0, +∞). Allora si può definire
la funzione inversa fn−1 : [0, +∞) → [0, +∞) data dalla relazione
fn−1 (y ) = x ⇔ y = fn (x). La funzione fn−1 si chiama radice n-esima e
√
si denota con fn−1 (y ) = n y . Essa è bigettiva e strettamente crescente
in [0, +∞). Dunque le radici pari sono sempre positive. I grafici sono i
seguenti:
Alcune radici pari.
1
-1
1
2
-1
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
20 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione
f : R \ {0} → R \ {0}
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
f (x) = x −n =
Precorso di Analisi Matematica
1
xn
.
A.A. 2011/12
21 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione
f : R \ {0} → R \ {0}
Per q =
f (x) = x −n =
1
xn
.
n
con n ∈ Z e m ∈ N con m 6= 0 si definisce la funzione
m
√
f : (0, +∞) → (0, +∞)
f (x) = x q = m x n .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
21 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Per n ∈ N con n > 0 si definisce la funzione
f : R \ {0} → R \ {0}
Per q =
f (x) = x −n =
1
xn
.
n
con n ∈ Z e m ∈ N con m 6= 0 si definisce la funzione
m
√
f : (0, +∞) → (0, +∞)
f (x) = x q = m x n .
Se considerassimo anche le
x < 0 avremmo, ad esempio,
p
6
1/3
2/6
(−8)
= −2 e (−8)
= (−8)2 = 2, dunque la definizione sarebbe
mal posta.
Proprietà:
x p · x q = x p+q ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
xp
xq
= x p−q ,
(x p )q = x p q ,
Precorso di Analisi Matematica
x p · y p = (x · y )p .
A.A. 2011/12
21 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Esempi:
1
1
1
8−2/3 = √
= √
= ,
3
3
4
( 8)2
82
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
22 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Esempi:
1
1
1
8−2/3 = √
= √
= ,
3
3
4
( 8)2
82
1
(3x y · 3y ) x y = 3x y +y
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
1
xy
=3
y (x+1)
xy
=3
x+1
x
Precorso di Analisi Matematica
,
A.A. 2011/12
22 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Esempi:
1
1
1
8−2/3 = √
= √
= ,
3
3
4
( 8)2
82
1
(3x y · 3y ) x y = 3x y +y
1
xy
=3
y (x+1)
xy
=3
x+1
x
,
(2n + 2n+1 )2 = (2n (1 + 2))2 = 4n · 9 ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
22 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Esempi:
1
1
1
8−2/3 = √
= √
= ,
3
3
4
( 8)2
82
1
(3x y · 3y ) x y = 3x y +y
1
xy
=3
y (x+1)
xy
=3
x+1
x
,
(2n + 2n+1 )2 = (2n (1 + 2))2 = 4n · 9 ,
s
81
3
3√
3
4
4
√
2,
= 1/4 = 3/4 =
2
8
2
64
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
22 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Esempi:
1
1
1
8−2/3 = √
= √
= ,
3
3
4
( 8)2
82
1
(3x y · 3y ) x y = 3x y +y
1
xy
=3
y (x+1)
xy
=3
x+1
x
,
(2n + 2n+1 )2 = (2n (1 + 2))2 = 4n · 9 ,
s
81
3
3√
3
4
4
√
2,
= 1/4 = 3/4 =
2
8
2
64
2x+y · 2−y
1
xy
1
= 2y ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
22 / 74
Potenze con esponente negativo o razionale
Esempi:
1
1
1
8−2/3 = √
= √
= ,
3
3
4
( 8)2
82
1
(3x y · 3y ) x y = 3x y +y
1
xy
=3
y (x+1)
xy
=3
x+1
x
,
(2n + 2n+1 )2 = (2n (1 + 2))2 = 4n · 9 ,
s
81
3
3√
3
4
4
√
2,
= 1/4 = 3/4 =
2
8
2
64
2x+y · 2−y
4x
2 −1
=1
1
xy
1
= 2y ,
⇒
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
x = −1 ∨ x = 1 .
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
22 / 74
Equazioni e disequazioni di 1o grado
Un caso molto semplice
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
23 / 74
Equazioni e disequazioni di 1o grado
Un caso molto semplice
ax + b = 0
a 6= 0
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
l’unica soluzione è
Precorso di Analisi Matematica
b
x =− .
a
A.A. 2011/12
23 / 74
Equazioni e disequazioni di 1o grado
Un caso molto semplice
ax + b = 0
a 6= 0
l’unica soluzione è
ax + b > 0
a 6= 0
le soluzioni sono:
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
b
x =− .
a
A.A. 2011/12
23 / 74
Equazioni e disequazioni di 1o grado
Un caso molto semplice
ax + b = 0
a 6= 0
l’unica soluzione è
ax + b > 0
a 6= 0
le soluzioni sono:
◮
Se a > 0
allora
x >−
b
:
a
3x − 2 > 0 ⇔ x >
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
b
x =− .
a
Precorso di Analisi Matematica
2
3
A.A. 2011/12
23 / 74
Equazioni e disequazioni di 1o grado
Un caso molto semplice
ax + b = 0
a 6= 0
l’unica soluzione è
ax + b > 0
a 6= 0
le soluzioni sono:
◮
Se a > 0
allora
x >−
b
:
a
3x − 2 > 0 ⇔ x >
◮
Se a < 0
allora
x <−
2
3
b
:
a
−3x − 2 > 0 ⇔ x < −
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
b
x =− .
a
Precorso di Analisi Matematica
2
3
A.A. 2011/12
23 / 74
Equazioni di 2o grado
L’equazione è ax 2 + bx + c = 0 con a 6= 0.
Per risolverla usiamo il metodo del completamento del quadrato.
b
c
2
2
ax + bx + c = a x + x +
a
a
c
b
b2
b2
2
=a x + x+ 2 + − 2
a
a 4a
4a
#
"
2
4ac − b2
b
= 0,
=a x+
+
2a
4a2
da cui otteniamo:
b 2 b2 − 4ac
∆
x+
=
=
.
2
2a
4a
4a2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
24 / 74
Equazioni di 2o grado
Sono possibili tre casi:
se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
,
x2 =
,
2a
2a
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
25 / 74
Equazioni di 2o grado
Sono possibili tre casi:
se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
,
x2 =
,
2a
2a
se ∆ = 0 esiste un’unica soluzione doppia
x1 = x2 = −
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
b
,
2a
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
25 / 74
Equazioni di 2o grado
Sono possibili tre casi:
se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
,
x2 =
,
2a
2a
se ∆ = 0 esiste un’unica soluzione doppia
x1 = x2 = −
b
,
2a
se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
25 / 74
Equazioni di 2o grado
Sono possibili tre casi:
se ∆ > 0 esistono due soluzioni distinte
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
,
x2 =
,
2a
2a
se ∆ = 0 esiste un’unica soluzione doppia
x1 = x2 = −
b
,
2a
se ∆ < 0 non esistono soluzioni reali.
Osservazione
Per ∆ ≥ 0 risulta x1 + x2 = − ba ,
x1 x2 =
c
a
e vale la fattorizzazione
ax 2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Esempi di completamento del quadrato
3
5
2x + 3x + 5 = 2 x + x +
=
2
2
9
5
9
3
3 2 31
2
+ −
+
2 x +2 x +
=2 x+
4
16 2 16
4
8
2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
2
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26 / 74
Esempi di completamento del quadrato
3
5
2x + 3x + 5 = 2 x + x +
=
2
2
9
5
9
3
3 2 31
2
+ −
+
2 x +2 x +
=2 x+
4
16 2 16
4
8
2
2
−x 2 + 2x − 3 = − x 2 − 2 x + 3 = − x 2 − 2 x + 1 − 1 + 3 =
− (x − 1)2 − 2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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26 / 74
Disequazioni di 2o grado
Studiamo la disequazione ax 2 + bx + c > 0 con a 6= 0 e indichiamo
con S l’insieme delle soluzioni.
Dalla fattorizzazione precedente segue:
se a > 0


∆ > 0
∆=0


∆<0
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
⇒
⇒
⇒
S = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞)
S = R \ { x1 }
S=R
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A.A. 2011/12
27 / 74
Disequazioni di 2o grado
Studiamo la disequazione ax 2 + bx + c > 0 con a 6= 0 e indichiamo
con S l’insieme delle soluzioni.
Dalla fattorizzazione precedente segue:
se a > 0
se a < 0


∆ > 0
∆=0


∆<0
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
⇒
⇒
⇒


∆ > 0
∆=0


∆<0
S = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞)
S = R \ { x1 }
S=R
⇒
⇒
⇒
S = (x1 , x2 )
S=∅
S=∅
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
27 / 74
Interpretazione geometrica
Se consideriamo la funzione f (x) = ax 2 + bx + c , il suo grafico è una
∆
b
, − 4a
parabola con vertice nel punto − 2a
.
a>0,D>0
x1
x2
a>0,D=0
x1 =x2
x1
x2
a<0,D>0
x1 =x2
a<0,D=0
a>0,D<0
a<0,D<0
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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A.A. 2011/12
28 / 74
Esempi
Disequazione polinomiale:
− x 2 + 5x − 4 ≥ 0
x 2 − 5x + 4 ≤ 0
(x − 1) (x − 4) ≤ 0
allora S = [1, 4].
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
29 / 74
Esempi
Disequazione polinomiale:
− x 2 + 5x − 4 ≥ 0
x 2 − 5x + 4 ≤ 0
(x − 1) (x − 4) ≤ 0
allora S = [1, 4].
Disequazione razionale:
2x − 1
x +2
≥
x +1
x −1
(2x − 1) (x − 1) − (x + 2) (x + 1)
≥0
(x + 1) (x − 1)
x 2 − 6x − 1
≥0
(x + 1) (x − 1)
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
29 / 74
Esempi
Le radici del numeratore sono
x1/2 =
6±
√
40
2
=3±
√
10
mentre le radici del denominatore sono ±1. Dalla regola vista sul
segno dei trinomi, e dalla regola dei segni otteniamo:
N
D
Q
-1
x1
1
x2
e dunque la soluzione è S = (−∞, −1) ∪ [3 −
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
√
10, 1) ∪ [3 +
√
10, +∞).
A.A. 2011/12
30 / 74
Esempi
Risolviamo la disequazione
x + 4 2x − 5
x +2
−2
(x 6= ±1)
−
> 2
x +1
x −1
x −1
(x + 4)(x − 1) − (2x − 5)(x + 1) x + 2 − 2(x 2 − 1)
−
>0
x2 − 1
x2 − 1
x 2 + 3x − 4 − 2x 2 + 3x + 5 − x − 2 + 2x 2 − 2
>0
x2 − 1
x 2 + 5x − 3
>0
x2 − 1
√
−5 ± 37
. Le radici del
Le radici del numeratore sono x1/2 =
2
denominatore sono x3/4 = ±1.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
31 / 74
Esempi
Come nel caso precedente usiamo la regola dei segni.
N
D
Q
x1
-1
x2
1
√ √
Dunque S = −∞, − 5+2 37 ∪ −1, 37−5
∪ (1, +∞).
2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
32 / 74
Equazioni biquadratiche e trinomie
Sono equazioni del tipo ax 2n + bx n + c = 0, e si risolvono con la
sostituzione x n = t.
x 4 − 3x 2 − 4 = 0
(x 2 = t)
t 2 − 3t − 4 = 0
(
√
−1
3 ± 25
=
t1/2 =
2
4
Ritornando nella variabile x abbiamo che x 2 = −1 non ha soluzioni
reali, mentre x 2 = 4 ha le due soluzioni x1/2 = ±2. Dunque
S = { −2 , 2 }.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
33 / 74
Equazioni biquadratiche e trinomie
Sono equazioni del tipo ax 2n + bx n + c = 0, e si risolvono con la
sostituzione x n = t.
x 4 − 3x 2 − 4 = 0
(x 2 = t)
t 2 − 3t − 4 = 0
(
√
−1
3 ± 25
=
t1/2 =
2
4
Ritornando nella variabile x abbiamo che x 2 = −1 non ha soluzioni
reali, mentre x 2 = 4 ha le due soluzioni x1/2 = ±2. Dunque
S = { −2 , 2 }.
Per risolvere la disequazione x 4 − 3x 2 − 4 > 0 notiamo che, con la
stessa sostituzione, t 2 − 3t − 4 = (t − 4)(t + 1) = (x 2 − 4)(x 2 + 1) > 0
e allora S = (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
33 / 74
I polinomi
Un polinomio reale di grado n è una funzione Pn : R → R del tipo
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n =
n
X
ah x h ,
h=0
dove gli a0 , . . . , an sono numeri reali dati, con an 6= 0, detti coefficienti
del polinomio.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
34 / 74
I polinomi
Un polinomio reale di grado n è una funzione Pn : R → R del tipo
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n =
n
X
ah x h ,
h=0
dove gli a0 , . . . , an sono numeri reali dati, con an 6= 0, detti coefficienti
del polinomio.
Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna
difficoltà:
(x 3 − x + 2) − (x 2 + 2x − 5) = x 3 − x 2 − 3x + 7
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
34 / 74
I polinomi
Un polinomio reale di grado n è una funzione Pn : R → R del tipo
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n =
n
X
ah x h ,
h=0
dove gli a0 , . . . , an sono numeri reali dati, con an 6= 0, detti coefficienti
del polinomio.
Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna
difficoltà:
(x 3 − x + 2) − (x 2 + 2x − 5) = x 3 − x 2 − 3x + 7
(x − 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 = x3 − 1
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
34 / 74
I polinomi
Un polinomio reale di grado n è una funzione Pn : R → R del tipo
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n =
n
X
ah x h ,
h=0
dove gli a0 , . . . , an sono numeri reali dati, con an 6= 0, detti coefficienti
del polinomio.
Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna
difficoltà:
(x 3 − x + 2) − (x 2 + 2x − 5) = x 3 − x 2 − 3x + 7
(x − 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 = x3 − 1
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
34 / 74
I polinomi
Un polinomio reale di grado n è una funzione Pn : R → R del tipo
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an x n =
n
X
ah x h ,
h=0
dove gli a0 , . . . , an sono numeri reali dati, con an 6= 0, detti coefficienti
del polinomio.
Calcolare la somma e il prodotto di polinomi non presenta alcuna
difficoltà:
(x 3 − x + 2) − (x 2 + 2x − 5) = x 3 − x 2 − 3x + 7
(x − 1)(x 2 + x + 1) = x 2 (x − 1) + x(x − 1) + (x − 1) =
x3 − x2 + x2 − x + x − 1 = x3 − 1
(il prodotto calcolato richiama una nota scomposizione della differenza
di due potenze dispari).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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34 / 74
Funzioni razionali
Il rapporto di due polinomi costituisce una funzione razionale
Pn (x)
il
Sm (x)
cui dominio è l’insieme dei numeri reali per cui Sm (x) 6= 0.
Teorema
Dati due polinomi Pn (x) e Sm (x) con n ≥ m esistono due polinomi
Q(x) e R(x) tali che
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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35 / 74
Funzioni razionali
Il rapporto di due polinomi costituisce una funzione razionale
Pn (x)
il
Sm (x)
cui dominio è l’insieme dei numeri reali per cui Sm (x) 6= 0.
Teorema
Dati due polinomi Pn (x) e Sm (x) con n ≥ m esistono due polinomi
Q(x) e R(x) tali che
il grado di R(x) è strettamente minore di m,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Funzioni razionali
Il rapporto di due polinomi costituisce una funzione razionale
Pn (x)
il
Sm (x)
cui dominio è l’insieme dei numeri reali per cui Sm (x) 6= 0.
Teorema
Dati due polinomi Pn (x) e Sm (x) con n ≥ m esistono due polinomi
Q(x) e R(x) tali che
il grado di R(x) è strettamente minore di m,
vale la relazione
Pn (x) = Sm (x) Q(x) + R(x)
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
⇒
R(x)
Pn (x)
= Q(x) +
Sm (x)
Sm (x)
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Divisione di polinomi
Esempio: dividiamo P(x) = 3x 4 + x 3 − 2x + 5 per
3x 4
−3x 4
+x 3
x3
−x 3
−6x 2
−6x 2
−6x 2
6x 2
−2x
+5
−2x
−2x
−4x
+5
−4x
dunque Q(x) = 3x 2 + x − 6 e
x2
3x 2
S(x) = x 2 + 2
+2
−6
+x
+5
+12
+17
R(x) = −4x + 17 e
4x − 17
3x 4 + x 3 − 2x + 5
= 3x 2 + x − 6 − 2
.
2
x +2
x +2
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Divisione di polinomi
Definizione
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Divisione di polinomi
Definizione
1
Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x).
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Divisione di polinomi
Definizione
1
Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x).
2
Un polinomio P(x) di grado n ≥ 1 si dice irriducibile se non
esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Divisione di polinomi
Definizione
1
Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x).
2
Un polinomio P(x) di grado n ≥ 1 si dice irriducibile se non
esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n.
3
Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Divisione di polinomi
Definizione
1
Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x).
2
Un polinomio P(x) di grado n ≥ 1 si dice irriducibile se non
esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n.
3
Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili.
4
Tutti i polinomi di secondo grado con ∆ < 0 sono irriducibili (in R).
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Divisione di polinomi
Definizione
1
Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x).
2
Un polinomio P(x) di grado n ≥ 1 si dice irriducibile se non
esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n.
3
Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili.
4
Tutti i polinomi di secondo grado con ∆ < 0 sono irriducibili (in R).
5
Un numero c tale che P(c) = 0 si dice radice o zero del polinomio
P(x).
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Divisione di polinomi
Definizione
1
Se R(x) = 0 si dice che P(x) è divisibile per S(x).
2
Un polinomio P(x) di grado n ≥ 1 si dice irriducibile se non
esistono divisori di P(x) di grado 0 < m < n.
3
Tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili.
4
Tutti i polinomi di secondo grado con ∆ < 0 sono irriducibili (in R).
5
Un numero c tale che P(c) = 0 si dice radice o zero del polinomio
P(x).
Teorema (Ruffini)
Il polinomio P(x) è divisibile per (x − c) se e solo se P(c)=0
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Divisione per un polinomio di 10 grado
Esempio: il polinomio P(x) = x 3 + 4x 2 − 7x − 10 è divisibile per x + 5
e si ha:
1
4 −7 −10
−5
−5
5
1 −1 −2
10
0
da cui segue
x 3 + 4x 2 − 7x − 10 = (x + 5) (x 2 − x − 2) = (x + 5) (x + 1) (x − 2).
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Fattorizzazione di un polinomio
Questa fattorizzazione è molto utile per risolvere la disuguaglianza
x 3 + 4x 2 − 7x − 10 > 0. Infatti utilizzando la regola dei segni si ottiene
che la soluzione è
-5
-1
2
S = (−5, −1) ∪ (2, +∞).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Fattorizzazione di un polinomio in R
Teorema
Nell’insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori
irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con
∆ < 0.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Fattorizzazione di un polinomio in R
Teorema
Nell’insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori
irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con
∆ < 0.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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40 / 74
Fattorizzazione di un polinomio in R
Teorema
Nell’insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori
irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con
∆ < 0.
Ogni polinomio P(x) di grado n ammette una fattorizzazione del tipo:
P(x) = an (x − c1 )m1 · · · (x − ch )mh(x 2 + p1 x + q1 )ℓ1 · · · (x 2 + pk x + qk )ℓk .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Fattorizzazione di un polinomio in R
Teorema
Nell’insieme dei polinomi a coefficienti reali ci sono due tipi di fattori
irriducibili: i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado con
∆ < 0.
Ogni polinomio P(x) di grado n ammette una fattorizzazione del tipo:
P(x) = an (x − c1 )m1 · · · (x − ch )mh(x 2 + p1 x + q1 )ℓ1 · · · (x 2 + pk x + qk )ℓk .
I numeri c1 , . . . , ch sono le radici reali distinte di P(x) con molteplicità
m1 , . . . , mh ; i trinomi di secondo grado hanno discriminante negativo e
vale
m1 + . . . + mh + 2ℓ1 + . . . + 2ℓk = n.
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Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio
Teorema
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio
Teorema
1
Le eventuali radici intere di
Pn (x) = x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 ,
dove i coefficienti ah sono numeri interi, vanno cercate tra i
sottomultipli di a0 , compresa l’unità, presi col segno positivo o
negativo.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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41 / 74
Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio
Teorema
1
Le eventuali radici intere di
Pn (x) = x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 ,
dove i coefficienti ah sono numeri interi, vanno cercate tra i
sottomultipli di a0 , compresa l’unità, presi col segno positivo o
negativo.
2
Le eventuali radici razionali di
Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 ,
dove i coefficienti ah sono numeri interi, vanno cercate tra i numeri
razionali della forma ± qp con p sottomultiplo di a0 e q sottomultiplo
di an , compresa l’unità.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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41 / 74
Alcune regole di fattorizzazione di un polinomio
Teorema
1
Le eventuali radici intere di
Pn (x) = x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 ,
dove i coefficienti ah sono numeri interi, vanno cercate tra i
sottomultipli di a0 , compresa l’unità, presi col segno positivo o
negativo.
2
Le eventuali radici razionali di
Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0 ,
dove i coefficienti ah sono numeri interi, vanno cercate tra i numeri
razionali della forma ± qp con p sottomultiplo di a0 e q sottomultiplo
di an , compresa l’unità.
3
Il binomio x n − an è divisibile per (x − a) per ogni n ∈ N; se n è
pari è divisibile anche per (x + a).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
41 / 74
Teorema
Risulta:
x n − an = (x − a)(x n−1 + ax n−2 + . . . + an−2 x + an−1 )
n
pari
= (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . + an−2 x − an−1 ) .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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42 / 74
Teorema
Risulta:
x n − an = (x − a)(x n−1 + ax n−2 + . . . + an−2 x + an−1 )
n
pari
= (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . + an−2 x − an−1 ) .
Il binomio x n + an è divisibile per (x + a) se n è dispari; non è
divisibile per (x + a) né per (x − a) se n è pari. Risulta per n
dispari:
x n + an = (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . − an−2 x + an−1 ).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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42 / 74
Teorema
Risulta:
x n − an = (x − a)(x n−1 + ax n−2 + . . . + an−2 x + an−1 )
n
pari
= (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . + an−2 x − an−1 ) .
Il binomio x n + an è divisibile per (x + a) se n è dispari; non è
divisibile per (x + a) né per (x − a) se n è pari. Risulta per n
dispari:
x n + an = (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . − an−2 x + an−1 ).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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42 / 74
Teorema
Risulta:
x n − an = (x − a)(x n−1 + ax n−2 + . . . + an−2 x + an−1 )
n
pari
= (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . + an−2 x − an−1 ) .
Il binomio x n + an è divisibile per (x + a) se n è dispari; non è
divisibile per (x + a) né per (x − a) se n è pari. Risulta per n
dispari:
x n + an = (x + a)(x n−1 − ax n−2 + . . . − an−2 x + an−1 ).
Esempio:
x 4 − 16 = (x 2 − 4)(x 2 + 4) = (x − 2)(x + 2)(x 2 + 4)
x 3 + 27 = (x + 3)(x 2 − 3x + 9)
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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42 / 74
Equazioni irrazionali
Chiamiamo irrazionali quelle equazioni in cui intervengono radici:
p
p
n
f (x) = m g(x)
n > 1, m ≥ 1 .
(1)
Naturalmente dovremo richiedere che x ∈ dom f ∩ dom g e, se un
indice è pari, che il radicando sia non negativo.
Si può cercare di risolvere l’equazione elevando ambo i membri alla
potenza p = m.c.m.(n, m) ottenendo:
p
p p
p
n
(2)
f (x) = m g(x) .
Le situazioni che si presentano sono completamente differenti se p è
dispari oppure pari.
Se p è dispari le equazioni (1) e (2) sono equivalenti perchè le
potenze dispari sono iniettive.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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43 / 74
Equazioni irrazionali
Chiamiamo irrazionali quelle equazioni in cui intervengono radici:
p
p
n
f (x) = m g(x)
n > 1, m ≥ 1 .
(1)
Naturalmente dovremo richiedere che x ∈ dom f ∩ dom g e, se un
indice è pari, che il radicando sia non negativo.
Si può cercare di risolvere l’equazione elevando ambo i membri alla
potenza p = m.c.m.(n, m) ottenendo:
p
p p
p
n
(2)
f (x) = m g(x) .
Le situazioni che si presentano sono completamente differenti se p è
dispari oppure pari.
Se p è dispari le equazioni (1) e (2) sono equivalenti perchè le
potenze dispari sono iniettive.
Se p è pari l’equazione (2) può avere più soluzioni di (1).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
43 / 74
Esempi
1
√
3
Consideriamo l’equazione √x 3 + 3 − 2 = x (x ∈ R).
3
Isolando la radice abbiamo x 3 + 3 = x + 2 e, elevando al cubo,
otteniamo l’equazione equivalente
x 3 + 3 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8
da cui, riducendo i termini simili,√ricaviamo 6x√2 + 12x + 5 = 0
−12 ± 24
6
le cui radici sono x1/2 =
= −1 ±
, entrambe
12
6
accettabili.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
44 / 74
Esempi
1
√
3
Consideriamo l’equazione √x 3 + 3 − 2 = x (x ∈ R).
3
Isolando la radice abbiamo x 3 + 3 = x + 2 e, elevando al cubo,
otteniamo l’equazione equivalente
x 3 + 3 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8
2
da cui, riducendo i termini simili,√ricaviamo 6x√2 + 12x + 5 = 0
−12 ± 24
6
le cui radici sono x1/2 =
= −1 ±
, entrambe
12
6
accettabili.
√
Consideriamo l’equazione 3x − 2 = x − 2
x ≥ 32 . Elevando
al quadrato, otteniamo 3x − 2 = x 2 − 4x + 4, cioè x 2 − 7x + 6 = 0
le cui radici sono x1 = 1 e x2 = 6, e si verifica che 6 è accettabile
mentre 1 no.
Osserviamo che x − 2 deve essere positivo e x = 1 non verifica
questa condizione.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
44 / 74
Disequazioni irrazionali
Anche in questo caso possiamo usare il metodo di elevamento a
potenza. Come per le equazioni vi sono differenze nel caso in cui la
potenza è dispari oppure pari.
Nel caso n dispari la disequazione
p
n
f (x) > g(x)
ha le stesse soluzioni della disequazione
f (x) > (g(x))n .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
45 / 74
Disequazioni irrazionali
Anche in questo caso possiamo usare il metodo di elevamento a
potenza. Come per le equazioni vi sono differenze nel caso in cui la
potenza è dispari oppure pari.
Nel caso n dispari la disequazione
p
n
f (x) > g(x)
ha le stesse soluzioni della disequazione
f (x) > (g(x))n .
Esempio: Consideriamo la diseguaglianza
p
3
x 3 + 8x 2 + 33x + 22 > x + 3 ,
elevando al cubo e semplificando otteniamo:
x 3 + 8x 2 + 33x + 22 > x 3 + 9x 2 + 27x + 27
−x 2 + 6x − 5 > 0
x 2 − 6x + 5 < 0
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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Disequazioni irrazionali
(x − 1)(x − 5) < 0
per cui la soluzione è S = (1, 5).
Consideriamo ora le disequazioni con radici di indice n pari.
Distinguiamo due casi. Il primo caso è:
p
n
f (x) < g(x) .
(3)
Dobbiamo richiedere f (x) ≥ 0, ed allora anche g(x) > 0. A questo
punto possiamo elevare a potenza ottenendo una disequazione
equivalente. Pertanto (3) è equivalente al sistema:


f (x) ≥ 0
g(x) > 0


f (x) < (g(x))n
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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46 / 74
Esempio
Esempio: Risolvere la diseguaglianza
√
8 − 5x < 5x − 2 .
Questa è equivalente al sistema:


8 − 5x ≥ 0
5x − 2 > 0


8 − 5x < 25x 2 − 20x + 4
cioè
(
2
5
< x ≤ 85
25x 2 − 15x − 4 > 0
Trovando le radici del trinomio abbiamo:
(
√
−1
15 ± 25
15 ± 625
=
= 45
x1/2 =
50
50
5
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47 / 74
Esempio
Dunque dobbiamo fare l’intersezione dei due insiemi
(
2 8
5, 5
−∞, 51 ∪ 45 , +∞
25
15
85
45
e la soluzione è S = 45 , 58 .
(Non confondete questo grafico con quello usato per decidere sul
segno di prodotti o rapporti)
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Disequazioni irrazionali
Esaminiamo ora il secondo caso:
p
n
f (x) > g(x) .
(4)
Come al solito imponiamo f (x) ≥ 0. Se g(x) < 0 la diseguaglianza è
verificata, per cui otteniamo un primo insieme di soluzioni
S1 = { x ∈ dom f ∩ dom g ; f (x) ≥ 0, g(x) < 0 } .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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Disequazioni irrazionali
Esaminiamo ora il secondo caso:
p
n
f (x) > g(x) .
(4)
Come al solito imponiamo f (x) ≥ 0. Se g(x) < 0 la diseguaglianza è
verificata, per cui otteniamo un primo insieme di soluzioni
S1 = { x ∈ dom f ∩ dom g ; f (x) ≥ 0, g(x) < 0 } .
Se g(x) ≥ 0 possiamo elevare ambo i membri alla potenza n
ottenendo il sistema:


f (x) ≥ 0
g(x) ≥ 0


f (x) > (g(x))n
la cui soluzione indichiamo con S2 . Allora la soluzione di (4) è S1 ∪ S2 .
(Notiamo che la terza disuguaglianza rende superflua la prima).
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Esempio
Esempio: Risolvere la diseguaglianza
√
x2 − 4 > x + 7 .
Questa è equivalente ai sistemi:
(
(
x2 − 4 ≥ 0
x +7≥0
x +7<0
x 2 − 4 > x 2 + 14x + 49
cioè
pertanto
(
x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
x < −7
(
x ≥ −7
−53 > 14x
S1 = (−∞, −2] ∪ [2, +∞) ∩ (−∞, −7) = (−∞, −7)
53
53
) = [−7, − )
14
14
53
per cui la soluzione è S = S1 ∪ S2 = −∞, − 14 .
S2 = [−7, +∞) ∩ (−∞, −
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50 / 74
Esempio
Esempio: Risolvere la diseguaglianza
√
x +1+
√
x +3>
√
x +5


x ≥ −1
x ≥ −3


x ≥ −5
⇒
x ≥ −1
Poiché ambo i membri sono positivi, possiamo elevare al quadrato:
p
x + 1 + 2 (x + 1)(x + 3) + x + 3 > x + 5
p
2 x 2 + 4x + 3 > −x + 1
Se −x + 1 < 0 la disequazione è verificata, dunque abbiamo un primo
insieme di soluzioni S1 = (1, +∞).
Se −x + 1 ≥ 0 possiamo elevare al quadrato:
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Esempio
4(x 2 + 4x + 3) > x 2 − 2x + 1
3x 2 + 18x + 11 > 0
√
(
√
√
− 9+43 3
−18 ± 192
−18 ± 8 3
x1/2 =
=
= −9+4√3
6
6
3
così otteniamo un secondo insieme di soluzioni
√ 3
√
−9+4 3
,
+∞
3
∪
e dunque S = S1 ∪ S2 =
S2 =
−∞, − 9+43
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
∩ [−1, 1] =
i
√
−9+4 3
,
1
3
√
−9+4 3
,
+∞
.
3
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
52 / 74
Un argomento “spinoso”
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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53 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
Definizione (Valore assoluto)
Per ogni x ∈ R, si definisce il valore assoluto di x, denotato con |x|, il
numero
x
se x ≥ 0
|x| =
−x
se x < 0
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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54 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
Definizione (Valore assoluto)
Per ogni x ∈ R, si definisce il valore assoluto di x, denotato con |x|, il
numero
x
se x ≥ 0
|x| =
−x
se x < 0
Proposizione (Proprietà del valore assoluto)
Per ogni r > 0 valgono le seguenti equivalenze:
|x| ≤ r
|x| ≥ r
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
⇐⇒ −r ≤ x ≤ r .
⇐⇒ x ≤ −r
∨
Precorso di Analisi Matematica
x ≥ r.
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54 / 74
Il valore assoluto
Proposizione (Proprietà del valore assoluto)
Inoltre, per ogni x, y ∈ R:
|x| ≥ 0,
|x| = | − x|,
|x| = 0 ⇔ x = 0;
|x · y | = |x| · |y |;
|x + y | ≤ |x| + |y |;
|x| − |y | ≤ |x − y |.
Osserviamo che per ogni x ∈ R si ha
√
x 2 = |x| .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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55 / 74
Il valore assoluto
Vediamo come si trasforma il grafico di una funzione f (x) se
consideriamo |f (x)| oppure f (|x|)
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
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56 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
Per risolvere le disequazioni |f (x)| ≤ g(x) bisogna richiedere
g(x) ≥ 0 e poi −g(x) ≤ f (x) ≤ g(x).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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57 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
Per risolvere le disequazioni |f (x)| ≤ g(x) bisogna richiedere
g(x) ≥ 0 e poi −g(x) ≤ f (x) ≤ g(x).
Per risolvere le disequazioni |f (x)| ≥ g(x) bisogna considerare le
x per cui g(x) ≤ 0 e poi aggiungere le soluzioni (in g(x) ≥ 0) di
f (x) ≤ −g(x) e di f (x) ≥ g(x).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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57 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
Risolvere |x 2 + 6x| < 5 . Questa è equivalente al sistema
(
x 2 + 6x − 5 < 0
−5 < x 2 + 6x < 5 ⇔
x 2 + 6x + 5 > 0
la cui soluzione è
S = (−3 −
√
√
14) ∩ (−∞, −5) ∪ (−1, ∞)
√
√
= (−3 − 14, −5) ∪ (−1, −3 + 14) .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
14, −3 +
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58 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
p
Risolvere
|x 2 + x| − x ≥ 0.
p
2
Si ha |x + x| ≥ x.
Se x < 0 la disuguaglianza è verificata.
Se x ≥ 0 possiamo elevare al quadrato e otteniamo
|x 2 + x| ≥ x 2 .
La funzione x 2 + x è negativa se e solo se x ∈ (−1, 0). Ed allora
per x ≥ 0 risulta
!x 2 + x| ≥ x 2
se e solo se
x2 + x ≥ x2
e questa disuguaglianza è verificata perché stiamo considerando
x ≥ 0.
In definitiva, la disuguaglianza vale ∀x ∈ R.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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59 / 74
Disequazioni con il valore assoluto
Risolvere |x 2 − 1| ≥ |x 2 − 4| . Poichè ambo i membri sono positivi
possiamo elevare al quadrato
|x 2 − 1| ≥ |x 2 − 4| ⇐⇒ (x 2 − 1)2 ≥ (x 2 − 4)2 ⇐⇒
(x 2 − 1)2 − (x 2 − 4)2 ≥ 0 ⇐⇒ 3(2x 2 − 5) ≥ 0 ⇐⇒
r
r
5
5
x ≤−
∨ x≥
2
2
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Precorso di Analisi Matematica
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La funzione esponenziale
Si vedrà nel corso di Analisi Matematica I che per a ∈ (0, +∞) , a 6= 1
si può definire la funzione esponenziale fa : R → (0, +∞) data da
fa (x) = ax . Essa ha comportamenti diversi per 0 < a < 1 o a > 1. I
grafici nei due casi sono i seguenti:
5
4
3
2
0<a<1
-2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
-1
1
a>1
1
2
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Proprietà degli esponenziali
1
Se a > 1 allora
Antonio Leaci (Universitá del Salento)

x

se x > 0
a > 1
x
0 < a < 1 se x < 0


x <y ⇒
ax < ay
Precorso di Analisi Matematica
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62 / 74
Proprietà degli esponenziali
1
2
Se a > 1 allora
Se 0 < a < 1 allora

x

se x > 0
a > 1
x
0 < a < 1 se x < 0


x <y ⇒
ax < ay

x

se x < 0
a > 1
x
0 < a < 1 se x > 0


x <y ⇒
ax > ay
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
62 / 74
Proprietà degli esponenziali
1
2
3
Se a > 1 allora
Se 0 < a < 1 allora

x

se x > 0
a > 1
x
0 < a < 1 se x < 0


x <y ⇒
ax < ay
Se 1 < a < b allora

x

se x < 0
a > 1
x
0 < a < 1 se x > 0


x <y ⇒
ax > ay
(
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
b x < ax
ax < b x
se x < 0
se x > 0
Precorso di Analisi Matematica
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Altre proprietà degli esponenziali
Per ogni a > 0 e a 6= 1 risulta
1
fa : R → (0, +∞) definita da fa (x) = ax è bigettiva e strettamente
monotona,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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63 / 74
Altre proprietà degli esponenziali
Per ogni a > 0 e a 6= 1 risulta
1
2
fa : R → (0, +∞) definita da fa (x) = ax è bigettiva e strettamente
monotona,
fa (0) = 1,
fa (x + y ) = fa (x) · fa (y ),
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
63 / 74
Altre proprietà degli esponenziali
Per ogni a > 0 e a 6= 1 risulta
1
2
3
fa : R → (0, +∞) definita da fa (x) = ax è bigettiva e strettamente
monotona,
fa (x + y ) = fa (x) · fa (y ),
1
,
fa (−x) =
fa (x)
fa (0) = 1,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
63 / 74
Altre proprietà degli esponenziali
Per ogni a > 0 e a 6= 1 risulta
1
2
3
4
fa : R → (0, +∞) definita da fa (x) = ax è bigettiva e strettamente
monotona,
fa (x + y ) = fa (x) · fa (y ),
1
,
fa (−x) =
fa (x)
la base a più usata è il numero irrazionale indicato con e e detto
numero di Nepero, definito da
1 n
1 n
= sup 1 +
.
1+
e := lim
n→+∞
n
n
n∈N
fa (0) = 1,
n6=0
Un’approssimazione del numero di Nepero è:
e ≈ 2.7182818284
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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63 / 74
La funzione logaritmo
Poiché per a ∈ (0, +∞) , a 6= 1 la funzione esponenziale
fa : R → (0, +∞) data da fa (x) = ax è bigettiva, è possibile definire la
sua funzione inversa. Tale funzione fa −1 : (0, +∞) → R si chiama
logaritmo in base a, si denota con loga ed è definita da
x = loga y
⇔
ax = y .
Naturalmente, come per ogni coppia di funzioni l’una l’inversa
dell’altra, valgono le proprietà:
aloga y = y
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
∀y > 0 ;
loga (ax ) = x
Precorso di Analisi Matematica
∀x ∈ R .
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64 / 74
La funzione logaritmo
Come per ogni funzione inversa, il grafico di loga x si ottiene per
riflessione rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante del
grafico di ax . Naturalmente dobbiamo distinguere i due casi 0 < a < 1
o a > 1. I grafici nei due casi sono i seguenti:
3
2
a>1
1
1
-1
2
3
4
5
0<a<1
-2
-3
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
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65 / 74
La funzione logaritmo
Se 0 < a < 1 il logaritmo è strettamente decrescente, se a > 1 è
strettamente crescente. Se la base è il numero e la funzione si chiama
logaritmo naturale e in questo caso si omette la base (a volte si indica
con ln x). Se la base è il numero 10 la funzione si indica con Log x.
Esempi di calcolo di logaritmi:
1
log2 32 = 5 infatti
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
25 = 32 ,
Precorso di Analisi Matematica
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66 / 74
La funzione logaritmo
Se 0 < a < 1 il logaritmo è strettamente decrescente, se a > 1 è
strettamente crescente. Se la base è il numero e la funzione si chiama
logaritmo naturale e in questo caso si omette la base (a volte si indica
con ln x). Se la base è il numero 10 la funzione si indica con Log x.
Esempi di calcolo di logaritmi:
1
2
log2 32 = 5 infatti 25 = 32 ,
1
= y deve essere
log√7 √
3
7
cioè
7y /2 = 7−1/3
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
√ y
7 =
1
√
3
7
e quindi y = − 23 ,
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
66 / 74
La funzione logaritmo
Se 0 < a < 1 il logaritmo è strettamente decrescente, se a > 1 è
strettamente crescente. Se la base è il numero e la funzione si chiama
logaritmo naturale e in questo caso si omette la base (a volte si indica
con ln x). Se la base è il numero 10 la funzione si indica con Log x.
Esempi di calcolo di logaritmi:
1
2
log2 32 = 5 infatti 25 = 32 ,
1
= y deve essere
log√7 √
3
7
cioè
3
√ y
7 =
1
√
3
7
e quindi y = − 23 ,
1 −4
infatti
= 24 = 16 .
2
7y /2 = 7−1/3
log1/2 16 = −4
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
66 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
loga a = 1 ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
2
loga a = 1 ,
loga (x y ) = loga x + loga y ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
2
loga (x y ) = loga x + loga y ,
loga yx = loga x − loga y ,
3
loga a = 1 ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
2
loga (x y ) = loga x + loga y ,
loga yx = loga x − loga y ,
3
4
loga a = 1 ,
loga x z = z loga x ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
2
loga (x y ) = loga x + loga y ,
loga yx = loga x − loga y ,
3
4
5
loga a = 1 ,
loga x z = z loga x ,
logb x =
loga x
loga b
,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
2
loga (x y ) = loga x + loga y ,
loga yx = loga x − loga y ,
3
4
loga a = 1 ,
loga x z = z loga x ,
5
logb x =
loga x
loga b
,
6
logb x =
logx x
logx b
=
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
1
logx b
(x 6= 1) ,
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Proprietà dei logaritmi
Siano a , b , x , y numeri reali positivi con a , b 6= 1 , e sia z ∈ R .
Allora:
1
loga 1 = 0
2
loga (x y ) = loga x + loga y ,
loga yx = loga x − loga y ,
3
4
loga a = 1 ,
loga x z = z loga x ,
5
logb x =
6
logb x =
7
log1/a x
loga x
loga b
,
logx x
1
(x
logx b = logx b
log x
= log a 1 = − loga x .
a a
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
6= 1) ,
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
67 / 74
Equazioni e disequazioni esponenziali
1
L’equazione fondamentale ax = k con a > 0 , a 6= 1 , k > 0 ha
l’unica soluzione
x = loga k .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
68 / 74
Equazioni e disequazioni esponenziali
1
2
L’equazione fondamentale ax = k con a > 0 , a 6= 1 , k > 0 ha
l’unica soluzione
x = loga k .
Le equazioni della forma
af (x) = bg(x)
si trasformano in
af (x) = aloga (b
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
g(x)
) = ag(x) loga b =⇒ f (x) = g(x) log b.
a
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
68 / 74
Equazioni e disequazioni esponenziali
1
2
L’equazione fondamentale ax = k con a > 0 , a 6= 1 , k > 0 ha
l’unica soluzione
x = loga k .
Le equazioni della forma
af (x) = bg(x)
si trasformano in
af (x) = aloga (b
3
g(x)
) = ag(x) loga b =⇒ f (x) = g(x) log b.
a
Le equazioni della forma f (ax ) = 0 si risolvono con la
sostituzione ax = t. Se l’equazione f (t) = 0 ha le soluzioni
t1 , . . . , tn , allora le soluzioni dell’equazione di partenza si
ottengono risolvendo le equazioni fondamentali
a x = t 1 , . . . , a x = tn .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
68 / 74
Esempi
Risolviamo l’equazione: 4x + 2x+2 − 5 = 0 . Posto 2x = t,
essendo
x
2
4x = 22 = (2x )
e 2x+2 = 4 · 2x ,
otteniamo t 2 + 4t − 5 = 0 le cui radici sono t1 = 1 e
t2 = −5 . L’equazione 2x = 1 fornisce la soluzione x1 = 0 ,
mentre 2x = −5 non ha soluzioni.
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
69 / 74
Esempi
Risolviamo l’equazione: 4x + 2x+2 − 5 = 0 . Posto 2x = t,
essendo
x
2
4x = 22 = (2x )
e 2x+2 = 4 · 2x ,
otteniamo t 2 + 4t − 5 = 0 le cui radici sono t1 = 1 e
t2 = −5 . L’equazione 2x = 1 fornisce la soluzione x1 = 0 ,
mentre 2x = −5 non ha soluzioni.
Risolviamo l’equazione: 3x+2 + 3x−1 = 5x . Otteniamo
x
1
5
28
x
x
9+
=
3 =5
⇒
3
3
3
e dunque x = log5/3 28
3 . Passando ai logaritmi naturali troviamo
log 28
log 28 − log 3
3
=
x=
.
5
log 5 − log 3
log 3
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
69 / 74
Esempi
Risolviamo la disequazione: 4x − 2x+2 + 2 ≥ 0 . Posto 2x = t,
dobbiamo risolvere t 2 − 4t + 2 ≥ 0 , le cui soluzioni sono
√
√
t ∈ (−∞, 2 − 2] ∪ [2 + 2, +∞).
Allora dobbiamo risolvere
√
2x ≤ 2 − 2
∨
2x ≥ 2 +
√
2,
cioè, componendo con il log2 , otteniamo:
√
√
S = (−∞, log2 (2 − 2)] ∪ [log2 (2 + 2), +∞).
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
70 / 74
Equazioni e disequazioni logaritmiche
1
L’equazione fondamentale loga x = k con a > 0 , a 6= 1 , x > 0
ha l’unica soluzione x = ak .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
71 / 74
Equazioni e disequazioni logaritmiche
1
L’equazione fondamentale loga x = k con a > 0 , a 6= 1 , x > 0
ha l’unica soluzione x = ak .
2
L’equazione logx a = k con a , x > 0 , a , x 6= 1 , si trasforma in
1
=k
loga x
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
e dunque
loga x =
Precorso di Analisi Matematica
1
k
1
⇒ x = ak .
A.A. 2011/12
71 / 74
Equazioni e disequazioni logaritmiche
1
L’equazione fondamentale loga x = k con a > 0 , a 6= 1 , x > 0
ha l’unica soluzione x = ak .
2
L’equazione logx a = k con a , x > 0 , a , x 6= 1 , si trasforma in
1
=k
loga x
3
e dunque
loga x =
1
k
1
⇒ x = ak .
Per risolvere le equazioni della forma
loga f (x) = k
dobbiamo richiedere f (x) > 0 e poi passare a risolvere
l’equazione f (x) = ak .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
71 / 74
Equazioni e disequazioni logaritmiche
1
L’equazione fondamentale loga x = k con a > 0 , a 6= 1 , x > 0
ha l’unica soluzione x = ak .
2
L’equazione logx a = k con a , x > 0 , a , x 6= 1 , si trasforma in
1
=k
loga x
3
e dunque
loga x =
1
k
1
⇒ x = ak .
Per risolvere le equazioni della forma
loga f (x) = k
dobbiamo richiedere f (x) > 0 e poi passare a risolvere
l’equazione f (x) = ak .
4
Le equazioni della forma f (loga x) = 0 si risolvono con la
sostituzione loga x = t. Se l’equazione f (t) = 0 ha le soluzioni
t1 , . . . , tn , allora le soluzioni dell’equazione di partenza sono
x1 = at1 , . . . , xn = atn .
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
Precorso di Analisi Matematica
A.A. 2011/12
71 / 74
Esempi
√
Risolviamo l’equazione: log2 3x − 8 = 4 . Dobbiamo imporre
la condizione 3x − 8 > 0 , cioè x > 83 . Dopo, considerando
l’esponenziale in base 2 di ambo i membri, troviamo
√
3x − 8 = 16 ,
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
3x − 8 = 256 ,
e dunque
Precorso di Analisi Matematica
x=
264
= 88 .
3
A.A. 2011/12
72 / 74
Esempi
√
Risolviamo l’equazione: log2 3x − 8 = 4 . Dobbiamo imporre
la condizione 3x − 8 > 0 , cioè x > 83 . Dopo, considerando
l’esponenziale in base 2 di ambo i membri, troviamo
√
3x − 8 = 16 ,
3x − 8 = 256 ,
e dunque
x=
264
= 88 .
3
Risolviamo la disequazione:
q
q
log2 (x 2 − 4) > log2 (4x + 1) .
Dobbiamo imporre le condizioni


x2 − 4 > 0



log (x 2 − 4) ≥ 0
2

4x
+1>0



log (4x + 1) ≥ 0
2
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
cioè
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(
x2 − 4 ≥ 1
4x + 1 ≥ 1
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Esempi
da cui dobbiamo richiedere che x appartenga a
h√
√ i h√
−∞, − 5 ∪
5, +∞ ∩ [0, +∞) =
5, +∞ .
A questo punto possiamo elevale al quadrato e prendere
l’esponenziale in base 2 di ambo i membri, ottenendo
x 2 − 4 > 4x + 1
x 2 − 4x − 5 > 0
Le radici sono x1 = −1 e x2 = 5 e allora concludiamo
h√
S = ((−∞, −1) ∪ (5, +∞)) ∩
5, +∞ = (5, +∞) .
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Esempi
Risolvere le disuguaglianze −1 < log7 (1 + x) ≤ 0.
Deve essere x > −1 ed allora prendendo l’esponenziale in base
7 otteniamo
6
−1
7 <1+x ≤1
⇒
S = − ,0 .
7
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Esempi
Risolvere le disuguaglianze −1 < log7 (1 + x) ≤ 0.
Deve essere x > −1 ed allora prendendo l’esponenziale in base
7 otteniamo
6
−1
7 <1+x ≤1
⇒
S = − ,0 .
7
Determinare il dominio della funzione log x+1
x−1 . Deve essere
x +1
>0
x −1
Antonio Leaci (Universitá del Salento)
⇔
x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) .
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