Soluzione

Esercizi tratti dalla Ia prova di accertamento in itinere
del corso Fisica II per Ingegneria delle Telecomunicazioni e dell’Automazione
degli anni precedenti
Problema 1.
Un protone (massa mp= 1,67 10-27 kg, carica elettrica e = 1,6 10-19 C) è diretto con
velocità iniziale v0 verso il centro di un disco di raggio R = 0,5 m uniformemente
carico con densità superficiale di carica positiva =2 10-8 C/m2, partendo dal punto P
sull’ asse del disco a distanza xP=2R dal centro (vedi figura). Sapendo che il
potenziale lungo l’ asse del disco è : V(x) = (/20 )[(x2+R2)1/2 -x], determinare:
a) Il valore del potenziale nel centro del disco: V(0) =............
b) il minimo valore della velocità iniziale v0 del protone perchè esso raggiunga il
disco: v0=
c) la forza subita dal protone nel punto iniziale P: F = ........
R
.P

v0
x
mp
Soluzione:
a) V(x) = (/20 )= 565 V
b) Conservazione dell’ energia, ponendo Efk=0 :
Ek= Efk-Eik = -mv02/2 = Uel = e[V(2R)-V(0)]
V(2R) = (/20 )[ (5R2)1/2 -2R ]= 136 V
c) Ex(x) = -dV(x)/dx = (/20 )[1- x /(x2+R2)1/2 ]
Fx(2R) = e Ex(2R) = 1,9 10-17 N
=> v0=2,86 105 m/s
Problema 2
Un dipolo elettrico di momento p costituito da due cariche opposte di valore q = 10-9
C distanti x= 2 mm viene posto a distanza R= 3 m da una carica positiva q0=9 10-8
C, orientato concordemente al campo elettrico E da questa generato (vedi figura).
Determinare:
a) l’ energia potenziale elettrostatica del dipolo: Uel =......
b) la forza che agisce sul dipolo: Fx=........
R
.
q0
p
Soluzione: a ) p = q x = 2 10-12 C m , E(R) = q0/(40 R2) =90 V/m
U = -pE = -pEcos = -pE = -1,8 10-10 J
b) Fx = p dE(x)/dx = p d[q0/(40 x2)]/dx |x=R= -pq0 / (40 R3)= -1,2 10-10 N
Problema 3:
Un condensatore cilindrico di raggio interno R1 = 0,01 m ed esterno R2 = 0,02 m e
lunghezza d = 0,3 m viene caricato alla d.d.p. V = 103 V. Determinare:
a) la capacità del condensatore nel vuoto: C =............
b) la densità di carica elettrica sull’ armature esterna ed il campo elettrico
immediatamente all’ interno di essa: 2=........ E2=.......
c) l ‘ energia elettrostatica del condensatore ed il massimo valore della densità di
energia elettrostatica nel volume del condensatore:
Uel =.......................,
uel MAX=............
d) la capacità del condensatore se esso viene riempito da un dielettrico di costante
dielettrica relativa k=4 e la densita’ di carica di polarizzazione che compare sulla
superficie cilindrica esterna del dielettrico se si mantiene costante V:
C’ = ................... P2 = .............
2
R2
R1
Soluzione: a) C = 20d / ln(R2/R1) = 24 pF
b) q = C V = 2,4 10-8 C, 2 = q/2 = q/(2R2d) = 6,4 10-7 C/m2,
E2 = 2/ 0= 7,2 104 V/m
(alternativamente : E2 = / (20 R2 ) = (q/d ) / (20 R2 ) ]
c) Uel = CV2/2 = 1,2 10-5 J
uelMAX = 0Emax2 / 2 = 0 E12 / 2 = 9,2 10-2 J/m3,
con E1 = / (20 R1 ) = (q/d ) / (20 R1 ) = 14,4 104 V/m
d) C’ = k C = 96 pF ;
la nuova carica elettrica sulle armature e’ : q’ = C’V = k q
 densita' di carica libera : 2’ = k 2= 25,6 10-7 C/m2
 densita’ di polarizzazione: 2P = [(k-1) / k ]2’ = 19,2 10-7 C/m2
Problema 4.
Due cariche elettriche positive di carica Q1=Q= 10-7 C e Q2=4Q rispettivamente sono
tenute fisse alla distanza 4 d, con d= 1m. Una terza carica positiva q0 = 3Q è posta su
una sferetta di massa m=20 g, che viene lasciata inizialmente ferma nel punto
intermedio P0 a distanza 2d da ciascuna delle cariche fisse. Determinare ( si ricordi
che 0=8,85 10-12 C2/Nm2 ) :
a) la forza elettrica (modulo e direzione) sulla carica q in P0 : Fx(P0) = ........
b) l’ energia potenziale elettrostatica in P0 della carica q: U(P0) = .............
c) la velocità raggiunta della carica q nel punto tra Q1 e Q2 a distanza x1 =4d/3
dalla carica Q1:
v1 = …….......
[ facoltativo : dimostrare che in x1 la forza elettrostatica e’ nulla]
P0
q
Q1
Q2
x
2d
4d
Soluzione: a) Fx = [qQ / (40d2)] (1/4-1) = -2,02 10-4 N (diretta verso Q1 )
b) U(P0) = qQ/(402d) + 4Qq/(402d) = 5qQ/ (8 0d ) = 6,74 10-4 J
c) U(x1) = [qQ/(40)] [ 1/x1+4 / (4d-x1)] = 5,93 10-4 J
Wel = Ek = mv12/2 = -Uel = U(P0) - U(x1) = 0,81 10-4 J
=> v1 = [ 2 Wel / m ]1/2 = 0,09 m/s
Problema 5
Le armature di un condensatore cilindrico indefinito hanno raggi R1=0,1 m e R2 =
0,3 m rispettivamente. Nello spazio tra le due armature, a distanza r0=0,2 m dall’ asse
del cilindro e’ posto un dipolo elettrico p=10-11 Cm disposto parallelamente all’ asse
(vedi figura). Il campo elettrico tra le armature e’ E=/20r, con  densita’ lineare di
carica sulle armature ed r distanza dall’ asse. Sapendo che il condensatore e’ caricato
ad una d.d.p. V = 104 V tra le armature, determinare:
a) la densita’ lineare di carica ed il campo elettrico agente sulle cariche del
dipolo:
= .......................
E =.................. .....
b) il momento delle forze elettriche agenti sul dipolo ed il lavoro compiuto da
queste per allineare il dipolo al campo elettrico (si trascuri la variazione del
campo elettrico nella direzione radiale) :
M = ...........
W = ........................
--------p
r0
R2
+++++
R1
Soluzione: a) V = R1 R2 E(r) dr =  (/ 0r )dr = (/ 0 ) ln(R2/R1)
 = 0V/ ln(R2/R1) = 5,06 10-7 C/m
 E (r0) = (/ 0r0 ) = 0,45 105 V/m
b) M = p x E => M = pE = 0,45 10-6 N m
c) W = /2 0 Mz()d = pE cos|0/2 = pE = 0,45 10-6 J
Problema 6
Nel circuito di figura , nella situazione di regime in cui il condensatore e’ stato
caricato e la corrente nella resistenza e’ costante, l’ energia elettrostatica
immagazzinata nel condensatore e’ Uel = 0,5 10-4 J. Il condensatore ha capacita’ C =
10 nF, la resistenza e’ R = 50  e la f.e.m. del generatore e’  = 110 V. Calcolare:
a) la corrente che circola nella resistenza R: i = ..........
b) la resistenza interna del generatore: r = .............
C
R
r

Soluzione: a) Uel = CV2/2 = 0,5 10-4 J = > V = [2 Uel /C ] 1/2= 100 V
i = V/R = 2 A
b) = (R+r) i = > r = ( –Ri) /i = ( – V )/ i = 5 
Problema 7.
Una carica puntiforme q0=10-7 C è posta nel punto P1 sull’ asse x normale ad un
dipolo p a distanza r1=1,5 m dal dipolo (vedi figura). Il dipolo ha modulo p=10-9 Cm.
La carica q0 viene spostata lungo l’ asse x fino a una distanza r2=0.5 m dal dipolo, e
successivamente viene portata nel punto P3 alla stessa distanza r2, posto sull’ asse y
parallelo al dipolo. Si consideri la dimensione del dipolo molto minore di r2.
Determinare:
a) le componenti lungo gli assi x ed y della forza elettrica agente in P1 sulla
carica q0, ed il lavoro per portare la carica da P1 a P2:
Fx =............... Fy =..............
W12 = ..........
b) il lavoro della forza elettrica per portare la carica q0 da P2 a P3 : W23 = ......
y
P3
.
q0
.
p
P2
P1
x
Problema 8:
Le armature di un condensatore piano distanti d= 5 cm e di superficie =4 10-2 m2
sono mantenute ad una d.d.p. V=103 V da un generatore. Tra le armature viene
inserita una lastra conduttrice piana di spessore d/2. Determinare:
a) il campo elettrico tra le armature e la carica elettrica sulle armature prima dell’
inserimento della lastra: E = ......................, Q = ..................
b) il campo elettrico nello spazio vuoto tra le armature dopo l’inserimento della lastra
ed il lavoro fatto dal generatore durante il processo di inserimento della lastra:
E’ =......................., Wgen= ...............
c) la variazione di energia elettrostatica del condensatore: Uel =................
V
Problema 9:
Due barrette cilindriche di grafite (resistività  = 1,4 10-5 m) di raggio r1 = 1 mm a
r2 = 2 mm rispettivamente e lunghezza d1= 10 cm e d2 = 20 cm sono collegate in serie
nel circuito di figura. La f.e.m. del generatore è  = 2 V e la sua resistenza interna è
Ri= 2 . Determinare:
a) la corrente che circola nel circuito: i =.........
e) i campi elettrici E1 ed E2 all’ interno delle due barrette di grafite:
E1=..........,E2=...........
r1
d1
r2
d2

Ri
Soluzione:
a) R1 =  d1/ (r12 ) = 0,44 R2 =  d2/ (r22 ) = 0,22 
 – ri = (R1+R2) i => i = 0,75 A
b) V1 = iR1 = 0,33 V ,
V2 = iR2 = 0, 165 V
E1 = V1/d1 = 3,3 V/m , E2 = V2/d2 = 0,82 V/m
[o anche: E1=  j1 =  i /(r12 ) , E2=  j2 =  i /(r22 ) ]
Problema 10.
Le superfici interna ed esterna di un cilindro cavo di grafite (resistivita’ =1,410-5
m) di raggio r1=1 cm a r2=10 cm rispettivamente, vengono mantenute ad una d.d.p.
V, generando una corrente i=0,5 A che fluisce radialmente dalla superficie interna a
quella esterna (vedi figura). Il cilindro e’ di lunghezza a=0,2 m. Determinare:
c) la densita’ di corrente ed il campo elettrico a distanza r=5 cm dall’ asse del
cilindro:
j =............... E =..............
d) la d.d.p. V e la resistenza totale R del cilindro: V =................. R = .................
R2
R1
i
a
Soluzione: a) j = i/ (2r a) = 8 A/m2
E =  j = 1,12 10-4 V/m
b) V = V1 – V2 = -R2 R2 E(r)dr = R1 R2 i/ (2r a) dr =
= i/ (2a) ln (R2/R1) = 13 10-6 V
R = V / i = 2,6 10-5 
V
Problema 11
Un condensatore piano con armature di area =100 cm2 distanti d =2 cm e’ riempito
per meta’ con un materiale dielettrico di spessore d/2 nella sua parte superiore (vedi
figura). Le armature vengono portate ad una d.d.p. V = 103 V, e si osserva che la
d.d.p. tra la superficie del dielettrico e l’ armatura inferiore e’ V0 = 750 V.
Determinare:
a) il campo elettrico E0 nello spazio vuoto tra le armature e la densita’ superficiale di
carica sulle armature:
E0 =..............,  =...................
b) la costante dielettrica relativa del materiale e la densita’ di carica di polarizzazione
sulla superficie del dielettrico: k =.............. P=.................
a) la capacita’ del condensatore e la energia elettrostatica immagazzinata:
C=................, Uel =.......
+
d/2
d
V
V0
-
Soluzione: a) E0 = 2V0/d = 75 kV/m
 = 0E0 = 6,6 10-7 C/m2
b) la d.d.p. tra le superfici del dielettrico e’ : Vk = V – V0 = 250 V
 il campo elettrico nel dielettrico e’: Ek = 2Vk/d = 25 kV/m = E0/3 = Ek/k
 k=3
 P = [(k-1)/k]  = 4,5 10-7 C/m2
c) C = Q/V = /V = 6,5 10-12 F
[o anche: 1/C = 1/C0+1/Ck, con C0 = 0 / (d/2) e Ck = k0 / (d/2)]
Uel = CV2/2 = 3,3 10-6 J