Esercizi sulla normale

Esercizio 1
Sia la durata di una lampadina una variabile casuale normale con media 2 mesi e varianza 4
mesi2 . Se W ∼ N (2, 4), la probabilità che una lampadina duri almeno 1 mese è
P (W ≥ 1) = P (
W −2
1−2
≥
) = P (Z ≥ −0.5) ≈ 0.7.
2
2
• Considerando 10 lampadine, si consideri la probabilità che 3 di queste durino almeno un
mese. Quindi si considera la variabile X ∼ Bin(10, 0.7), da cui
P (X = 3) =
10!
0.73 ∗ 0.37 = 0.009
3!7!
• Considerando 100 lampadine, calcolare la probabilità che almeno 60 di queste durino
almeno 1 mese. Quindi si considera la variabile X ∼ Bin(100, 0.7) con E(X) = 70
e V (X) = 21 e si deve calcolare P (X ≥ 60). Per il teorema del limite centrale, X ≈
N (70, 21), da cui
P (X ≥ 60) = P (
X − 70
60 − 70
≥
) = P (Z ≥ −2.17) = P (Z ≤ 2.17) = 0.9850
4.6
4.6
• Calcolare la probabilità che su 100 lampadine al massimo 20 durino meno di 1 mese.
Quindi si considera la variabile Y ∼ Bin(100, 0.3) con E(Y ) = 30 e V (Y ) = 21 e si deve
calcolare P (Y ≤ 20). Per il teorema del limite centrale, Y ≈ N (30, 21), da cui
P (Y ≤ 20) = P (
Y − 30
20 − 30
≤
) = P (Z ≤ −2.17) = P (Z ≥ 2.17) = 1−0.9850 = 0.0150
4.6
4.6
Esercizio 2
Sia X ∼ N (10, 9) e Y ∼ N (−3, 25). Calcolare la probabilità che la media delle due variabili sia
maggiore di 5.
10−3
Quindi consideriamo la variabile media M = X+Y
= 3.5 e V (M ) =
2 , che ha E(M ) =
2
9+25
=
8.5.
Da
cui
M
∼
N
(3.5,
8.5),
pertanto
4
P (M ≥ 5) = P (
5 − 3.5
M − 3.5
≥
) = P (Z ≥ 0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015
2.9
2.9
Esercizio 3
Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti tali che X ∼ N (0; 4) e Y ∼ N (0; 9).
3a) Si calcoli P (Y ≤ 0).
3b) Si calcoli P (−1 ≤ X ≤ 1).
3c) Si calcoli P [(X ≤ 0) ∩ (Y ≥ −1)].
3d) Si determini la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria W = 3X + 2Y .
3e) Data la variabile aleatoria W = 3X + 2Y , si calcoli P (W ≥ 0.5).
Soluzione 3
3a) P (Y ≤ 0) = 0.5
3b) P (−1 ≤ X ≤ 1) = P (X ≤ 1) − P (X ≤ −1) = 0.6915 − 0.3085 = 0.3830
1
3c) P [(X ≤ 0) ∩ (Y ≥ −1)] = P (X ≤ 0) ∗ P (Y ≥ −1) = 0.5 ∗ 0.6306 = 0.3153
3d) W ∼ N (0, 72)
3e) P (W ≥ 0.5) = 0.4765
Esercizio 4
Si consideri un negozio che vende film dvd. Il prezzo dei dvd venduti presso il negozio è
una variabile casuale normale di media 12 euro e varianza 4 euro2 . Il prezzo degli stessi dvd
venduti on-line è una variabile casuale normale di media 10 euro e varianza 6 euro2 . Calcolare:
4a) la probabilità che un dvd acquistato in negozio costi più di 8 euro;
4b) la probabilità che un dvd acquistato on-line costi meno di 8 euro;
4c) la probabilità che un dvd acquistato in negozio costi fra i 10 euro e i 12 euro;
4d) la probabilità che acquistando 2 dvd on-line si spenda meno di 24 euro;
4e) la probabilità che, acquistando un dvd on-line piuttosto che in negozio, si risparmi più di
4 euro.
Soluzione 4
4a) X ∼ N (12, 4), da cui P (X ≥ 8) = P (Z ≥
8−12
2 )
= P (Z ≥ −2) = 0.9772;
4b) Y ∼ N (10, 6), da cui P (X ≤ 8) = P (Z ≤
8−10
√ )
6
= P (Z ≤ −0.82) = 1 − 0.7939 = 0.2061;
4c) X ∼ N (12, 4), da cui P (10 ≤ X ≤ 12) = P (−1 ≤ Z ≤ 0) = P (Z ≤ 0) − P (Z ≤ −1) =
0.5 − 1 + 0.8413 = 0.3413;
4d) W = 2 × Y , da cui W ∼ N (20, 24); P (W ≤ 24) = P (Z ≤
4e) G = X − Y , da cui G ∼ N (2, 10); P (G ≥ 4) = P (Z ≥
2
24−20
√
)
24
4−2
√
)
10
= P (Z ≤ 0.82) = 0.7939
= P (Z ≥ 0.63) = 0.2643.