Moto traslatorio
Spostamento lungo la
traiettoria
Velocità
Accelerazione
Legge delle velocità
Legge oraria
Massa
Forza
Moto rotatorio
s
s
t
v
a
t
v f vi a t
v
1
s vi t a t 2
2
m
F
Seconda legge di
Newton
Energia cinetica
traslazionale
Quantità di moto o
momento lineare
Conservazione quantità
di moto
F ma
1 2
mv
2
q mv
Se R 0 qi q f
Spostamento angolare
t
t
f i t
Velocità angolare
Accelerazione angolare
1
2
i t t 2
Momento d’inerzia
Momento torcente o
momento di una forza
(*)
I
M r x F rFsen
M I
Energia cinetica
rotazionale
Momento angolare o
momento della quantità
di moto
Conservazione
momento angolare (**)
1 2
I
2
L I
Se M 0 Li L f
(*) Per modificare la velocità (cioè per fornire un’accelerazione) di un corpo che si muove di MRU
è necessaria una forza. Invece per cambiare la velocità di rotazione (cioè per fornire
un’accelerazione angolare) di un corpo ho bisogno di qualcosa di più completo di una forza nel
senso che devo definire una grandezza chiamata momento torcente M, che tenga conto non solo
dell’intensità ma anche del modo in cui è applicata la forza. Infatti, ad esempio, una forza radiale,
cioè diretta verso l’asse di rotazione del corpo, non causa rotazione.
Per convenzione:
M > 0 se il momento torcente causa un’accelerazione angolare antioraria
M < 0 se il momento torcente causa un’accelerazione angolare antioraria
(**) Negli elicotteri con un solo rotore
principale, l'impianto motore applicando forza
per far girare il rotore, crea nel contempo un
coppia che squilibra il momento angolare
complessivo della massa. Per effetto di questo
fenomeno, la fusoliera dell'elicottero tende a
girare nella direzione opposta del rotore per la
legge di conservazione. Per mantenere il
controllo del velivolo, si adottano vari
accorgimenti, il più comune dei quali è quello dell'installazione di un rotore "anti-coppia" sulla
coda.
Il momento angolare di un corpo
I corpi che si muovo di MRU tendono a mantenere il loro stati di moto, ovvero seguono il principio
di inerzia. Una conseguenza dell’inerzia è, quando il sistema è isolato il principio di conservazione
della quantità di moto dove il centro di massa del sistema o rimane in quiete o si muove di MRU.
Anche i corpi in rotazione tendono a mantenere il loro moto, che in tal caso è rotatorio. Quello che
si conserva è il momento angolare o momento della quantità di moto L, una grandezza analoga
al momento di una forza, definita come:
L r x mv
Quando la velocità è perpendicolare al raggio, come nel caso del moto circolare, il modulo del
vettore momento angolare è uguale a mvr .
La conservazione del momento angolare
Una forza è la causa della variazione della quantità di moto di un corpo; analogamente si può
dimostrare che il momento di una forza è la causa della variazione del momento angolare di un
corpo e precisamente:
M
L
t
E’ ovvio che se M 0 L 0 L cos t
Il momento angolare di un sistema si conserva, in particolare, quando agiscono soltanto forze
centrali, ovvero forze dirette verso il centro di una traiettoria chiusa, come è per esempio la forza
centripeta gravitazionale rispetto al moto dei pianeti.
Es. 1 Determinare il rapporto tra la velocità tangenziale di Mercurio nel suo moto di rivoluzione
attorno al Sole, rispettivamente nel perielio P e nell’afelio A, sapendo che le distanze tra Mercurio e
Sole nei due punti sono rispettivamente 4,6x107 km e 7,0x107 km
.
Nell’afelio e nel perielio il raggio è perpendicolare alla velocità di Mercurio e poiché il momento
angolare si conserva si ha che:
vP rA
1,51
vA rP
Es. 2 Un corpo di massa 1 kg ruota di moto circolare uniforme con velocità di 2 m/s su una
circonferenza di raggio 2 m. Il corpo è legato ad una fune che passa in una guida cilindrica fissata al
centro della traiettoria circolare. Tirando la fune è possibile ridurre il raggio della traiettoria
circolare fino portarlo a 1 m. Determina la velocità tangenziale del corpo in questa nuova
situazione.
LA LP
mM rAvA mM rP vP
rAvA rP vP
Il piano e il verso di rotazione del corpo non cambiano , né cambia la direzione e il verso del
momento angolare che rimane costante poiché la forza di tensione del filo è di tipo centrale.
Avremo quindi:
mr2v2 mr1v1
rv
v1 2 2
r1
m
s 4m
1m
s
2m 2
Es.3 Il ciclone è una regione atmosferica, tipicamente associata a cattivo tempo, in cui la pressione
atmosferica è minore di quella delle regioni circostanti. Per effetto della rotazione terrestre il senso
di rotazione del ciclone è antiorario nell’emisfero Nord e orario in quello Sud.
I cicloni che si sviluppano a basse latitudini sono detti tropicali e sono caratterizzati da violenti
movimenti rotatori di masse d’aria. La zona esterna del ciclone è formata da masse d’aria a bassa
velocità che vengono spinte dalla notevole differenza di pressione verso il centro dell’area ciclonica
e, poiché il raggio diminuisce man mano che ci si avvicina al centro, per la conservazione del
momento angolare, la velocità di rotazione aumenta avvicinandosi all’asse di rotazione: i venti
possono raggiungere velocità di 200 km/h!
Il momento angolare si conserva perché la forza di gravità, unica forza esterna agente sulla massa
d’aria, è diretta verticalmente e ha quindi un momento nullo rispetto all’asse di rotazione.
CORPI ESTESI RIGIDI
Quando un corpo è esteso per studiare la sua rotazione si deve tener conto di come è distribuita la
sua massa rispetto all’asse di rotazione. Il momento di inerzia I svolge tale ruolo e rappresenta
appunto l’inerzia del corpo alla rotazione, cioè quella tendenza a mantenere il suo stato di moto
circolare uniforme attorno all’asse, oppure lo stato di quiete, analoga alla tendenza di un corpo a
mantenere lo stato di MRU. Il momento di inerzia è una grandezza scalare ed è in generale definito
come
I mi ri 2
nel senso che un corpo può essere pensato come somma di piccole masse ognuna con una propria
velocità e una propria distanza dall’asse.
Si può dimostrare che il momento angolare di un corpo rigido è uguale al prodotto del momento di
inerzia del corpo e della velocità angolare con cui esso ruota.
L I
Es 1. Calcola il momento di inerzia e il momento angolare di un anello di raggio 1 m e massa 10 kg
che compie un giro in 2 s intorno al suo asse.
I mR 2 10 kg 1m 2 10 kg m 2
L I 10 kg m 2
2
m2
31, 4 kg
2s
s
Es 2. Un’asta di massa m1= 2,4 kg e lunghezza 2 m può ruotare in un piano verticale attorno ad un
asse orizzontale passante per il suo centro. L’asta è ferma in posizione orizzontale. Un punto
materiale di massa m2=500 g cade verticalmente da un’altezza di 1,27 m e colpisce l’asta a distanza
di 0,8 m dal centro, restandovi conficcato. Se la velocità iniziale del punto è nulla, calcolare la
velocità angolare dell’asta.
Nell’urto si conserva il momento angolare rispetto al centro dell’asta:
I ii I f f
m2 gh
If
m vr
1
m2 vr m1d 2 m2 r 2 2
If
12
1
m2v 2
2
m
s
0,5 5 0,8
rad
1,8
1,12
s
v 2 gh 2 9,8 1, 27 5
1
2, 4 4 0,5 0,82 1,12 kg m 2
12
Es 3. Un’asta di massa 3 kg e di lunghezza 1,5 m può ruotare in un piano verticale attorno al suo
estremo. Viene lasciata cadere, con velocità iniziale nulla, dalla sua posizione orizzontale.
Determinare la sua velocità angolare e la velocità del suo centro di massa quando raggiunge la
posizione verticale.
Per la conservazione dell’energia meccanica si ha che:
1
l
Ein mgl
E fin I 2 mg
2
2
1 2
l
1
Ei E f
I mg mgl
I ml 2
2
2
3
3g
3 9,8
rad
4, 4
l
1,5
s
vCM
l
m
4, 4 0, 75 3,3
2
s
Es 4. Se la sbarra dell’esercizio precedente fosse incernierata all’estremità a un pavimento, lasciata
cadere al suolo dalla posizione verticale in cui si trova inizialmente, con quale velocità angolare e
con quale velocità del suo centro di massa cadrà a terra?
Ein mg
l
2
E fin
Ei E f
1 2
l
I mg
2
2
1 2
I
2
3g
3 9,8
rad
4, 4
l
1,5
s
2
I
1 2
l 1
ml m ml 2
12
2 3
vCM
l
m
4, 4 0, 75 3,3
2
s
Es 5. Attorno a un cilindro fermo di massa m = 4,00 kg, di raggio R = 12,0 cm, imperniato in modo
da ruotare sul suo asse, è avvolta una corda che viene tirata con una forza F = 1,80 N. Determina:
a) il momento d’inerzia del cilindro.
b) l’accelerazione angolare.
c) la velocità angolare dopo 5,0 s.
I
1
mR 2 0,5 4kg 0,122 m 2 0, 03 kg m 2
2
Quando la corda si svolge rimane tangente al cilindro e quindi perpendicolare al raggio. Pertanto il
momento della forza è:
M F R 1,8 N 0,12 m 0, 22 N m
L’accelerazione angolare prodotta dal momento della forza vale:
M
0,12 N m
rad
4
2
I
0, 03 kg m
s
la velocità angolare dopo 4 secondi sarà:
t 4
rad
rad
5s 20
2
s
s
Es 6. Un bicchiere vuoto è posto sopra un disco rotante che compie 2 giri/minuto. Il sistema
bicchiere-disco ha un momento d’inerzia pari a 8x10-4 kgxm2. Viene fatta cadere acqua goccia a
goccia nel bicchiere nella direzione dell’asse di rotazione. Quanto vale la velocità dopo che si sono
versati 300 ml di acqua sapendo che il raggio interno del contenitore è di 3,5 cm?
Poiché l’acqua entra lungo l’asse di rotazione. la forza che esercita non applica alcun momento sul
sistema in rotazione, quindi vale la conservazione del momento angolare. Affinché si conservi il
momento angolare, essendo aumentata la massa e quindi il momento di inerzia del sistema, la
velocità di rotazione dovrà diminuire.
Il momento d’inerzia dell’acqua sarà:
Ia
1
1
mR 2 0,3 kg 0, 0352 m 2 1,8 104 kg m 2
2
2
Iii Ii I a f
f
Ii
giri
i 1,6
min
Ii I a
Es 7. Una turbina a vapore ha massa di 200 kg e momento d’inerzia di 800 kgm 2. Viene chiuso
l’ingresso del vapore quando la turbina sta ruotando di 120 giri/minuto. Se la turbina ci mette 5
minuti a fermarsi, quanto vale il momento della forza di attrito sul volano?
2 f 4 12, 6
rad
s
dopo la chiusura del vapore il moto è uniformemente decelerato:
t
rad
s 0, 042 rad
300 s
s2
12, 6
M I 800 0, 042 33, 6 N m
