Laboratorio di Segnali e Sistemi - a.a. 2015/2016

A
Cognome e Nome
(Scrivere Cognome e Nome su questo foglio e consegnarlo insieme allo svolgimento del compito)
Laboratorio di Segnali e Sistemi - a.a. 2015/2016 - Prova del 14/12/2015
Esercizio 1 (10 punti)
Calcolare l’amplificazione di di tensione,
Av , del circuito in figura.
Valori:
R1 = R2 ;
R3 = R4 = 2R1
Esercizio 2 (10 punti)
Progettare, con un operazionale LM358, in grado quindi di funzionare con alimentazione singola, un
amplificatore con |Av | ≃ 100; il segnale sinusoidale d’ingresso, vs = vm sin(2πf t), ha un’ampiezza
prevista vm < 50 mV e una frequenza f ∼ 1 kHz.
Si hanno a disposizione un solo LM358, resistenze, condensatori e un solo alimentatore positivo con
V = 0 ÷ 15 V .
Esercizio 3 (10 punti)
Determinare l’andamento in frequenza dell’amplificazione di tensione del circuito in figura, disegnando
il diagramma di Bode del modulo con indicati i valori di guadagno nelle varie regioni, le frequenze di
taglio e le eventuali pendenze.
Come si modifica la risposta del circuito se si aggiunge un secondo stadio, identico al primo, in cascata?
Valori:
R1 = 10k R2 = 100k C1 = 800 nF C2 = 80 pF
Soluzioni
Esercizio 1
Possiamo scrivere l’equazione del nodo al morsetto negativo e l’equazione del nodo in cui confluiscono
R2 , R3 e R4 , indicando con vA la sua tensione. Si ha
vs
R1
vo − vA
R4
=
=
vA − vs
R2
vA − vs
vA
+
R2
R3
Con i dati del problema dalla prima equazione si ricava vA = 2vs . Sostituendo nella seconda equazione,
si ricava vo = 6vs .
Quindi l’amplificazione e’ A = 6.
Esercizio 2
Poiche’ l’operazionale ha solo l’alimentazione positiva, VCC , la tensione d’uscita è contenuta nell’intervallo 0 − VCC ; questo significa che il segnale sinusoidale in uscita deve avere un valore medio positivo,
ovvero essere del tipo
v0 = vm + vom sin(2πf t)
Quindi e’ necessario aggiungere al segnale sinusoidale d’ingresso un opportuno livello di continua;
inoltre, per avere la migliore dinamica possibile è opportuno che vm ≃ VCC /2; Infine, poiche’ l’ampiezza
della sinusoide in uscita può arrivare a vom = 5 V si deve avere VCC > 10 V . Possiamo ad esempio
porre VCC = 15 V .
L’amplificatore puo’ essere realizzato sia in forma invertente che in forma non invertente.
Soluzione invertente:
La tensione dell’ingresso positivo e’ data da
v+ =
R2
VCC
R1 + R2
All’ingresso negativo possiamo scrivere
vs − v−
v− − vo
=
R
R′
Unendo le due relazioni (ricordando che v− = v+ ) si ottiene
vo = −
R ′ + R R2
R′
vs +
VCC
R
R R1 + R2
Per soddisfare le richieste di progetto e’ necessario quindi avere
R′
= 100
R
e
R ′ + R R2
1
≃
R R1 + R2
2
Che si puo’ ottenere ponendo R1 = 200R2 .
In definitiva si può ad esempio scegliere R1 = 200k; R2 = 1k R = 1k R′ = 100k.
Infine il condensatore C va scelto in modo che la frequenza di taglio del passa alto formato da C ed
RL sia molto minore di 1 kHz.
Soluzione non invertente:
Scrivendo l’equazione del nodo al morsetto positivo si ha
VCC − v+ vs − v+
+
=0
R1
R2
Da cui si ricava
v+ =
R2
R1
VCC +
vs
R1 + R2
R1 + R2
Dal morsetto negativo si ricava
vo =
R + R′
v−
R
Infine, poiche’ v+ = v− si puo’ ricavare
vo =
R + R ′ R2
R + R ′ R1
VCC +
vs
R R1 + R 2
R R1 + R2
Dobbiamo imporre che l’amplificazione sia circa pari a 100 e che il valore di tensione continua sia
circa VCC /2, ovvero si deve avere
R + R ′ R1
R R1 + R2
R + R ′ R2
R R1 + R2
= 100
=
1
2
Dividendo membro a membro si ricava R1 = 200R2 .
Scegliendo poi per semplicità R′ = 100R si trova
R + R′ R1
R R1 + R2
R + R′ R2
R R1 + R2
200
≃ 100
201
101
1
≃
201
2
= 101 ×
=
Quindi le richieste sono rispettate. In definitiva si può ad esempio scegliere R1 = 200k; R2 = 1k R =
1k R′ = 100k.
Infine il condensatore C va scelto in modo che la frequenza di taglio del passa alto formato da C ed
RL sia molto minore di 1 kHz.
Esercizio 3
Il circuito in esame è un passa-banda con frequenze di taglio
fL =
fH
=
1
≃ 20 Hz
2πR1 C1
1
≃ 20 kHz
2πR2 C2
Per frequenze intermedie, fL << f << fH , l’amplificazione e’ A = −R2 /R1 = −10.
Per frequenze f << fL l’amplificazione varia con pendenza di 20 dB/decade, mentre per frequenze
f >> fH l’amplificazione varia con pendenza −20 dB/decade.
Se si aggiunge un secondo stadio identico al primo, si ha un passa banda con amplificazione al centro
banda di 100 e pendenze di ±40 db/decade.
B
Cognome e Nome
(Scrivere Cognome e Nome su questo foglio e consegnarlo insieme allo svolgimento del compito)
Laboratorio di Segnali e Sistemi - a.a. 2015/2016 - Prova del 14/12/2015
Esercizio 1 (10 punti)
L’uscita dell’amplificatore in figura viene inviata ad un carico RL = 500 Ω. Il segnale d’ingresso è
sinusoidale, vs = vm sin(2πf t), con ampiezza vm = 100 mV e frequenza f = 1 kHz. Calcolare la
tensione massima ai capi del carico e la corrente massima che vi scorre.
Valori:
R1 = 1k R2 = 10k R3 = 1k R4 = 10k
Esercizio 2 (10 punti)
Si vuole costruire con un operazionale un amplificatore con Av = 40 dB, da utilizzare con segnali
d’ingresso sinusoidali vs = vm sin(2πf t), con ampiezza prevista vm < 50 mV e frequenza f fino a
100 kHz.
Quali devono essere le prestazioni dell’operazionale, in termini di prodotto GuadagnoXBanda e Slew
Rate, per soddisfare quelle richieste?
Esercizio 3 (10 punti)
Determinare l’andamento in frequenza dell’amplificazione di tensione del circuito in figura, disegnando
il diagramma di Bode del modulo con indicati i valori di guadagno nelle varie regioni, le frequenze di
taglio e le eventuali pendenze.
Valori:
R1 = 10k R2 = 10k R3 = 1k R4 = 10k R5 = 100k R6 = 100k C1 = 1 µF C2 = 0.8 nF
Soluzioni
Esercizio 1
I due stadi hanno la stessa amplificazione, A1 = A2 = −10. L’amplificazione complessiva e’ quindi
A = A1 × A2 = 100
Pertanto la tensione d’uscita e’ data da vo = Avm sin(2πf t), con un massimo vomax = 10 V . La
corrente massima e’ infine data da vomax /RL = 20 mA.
Esercizio 2
Il prodotto GuadagnoXBanda deve essere almeno 107 Hz.
Il segnale d’uscita e’ dato da vo = vomax sin(2πf t). La sua derivata e’ quindi
dvo
= 2πvomax f cos(2πf t)
dt
con un valore massimo di ∼ 3 × 106 . Pertanto la Slew Rate deve essere maggiore di questo valore.
Esercizio 3
L’inseguitore di tensione finale somma con pari peso le uscite di un amplificatore passa basso e di un
amplificatore passa alto.
Il passa basso ha una frequenza di taglio
fL =
1
≃ 16 Hz
2πR1 C1
e amplificazione pari ad 1 per f << fL . Il passa alto ha una frequenza di taglio
fH =
1
≃ 20 kHz
2πR2 C2
con un’amplificazione pari a 10 per f >> fH . Il risultato complessivo e’ quindi un filtro elimina-banda,
il cui diagramma di Bode e’ riportato in figura.