R - Unicam

Resistenza dei materiali
e
Forme strutturali per il
design
Reazioni vincolari
A.A. 2014-2015
e
prof. Andrea Dall’Asta
Scuola di Architettura e Design,
Università di Camerino
e-mail:[email protected]
Sistemi di corpi rigidi
Cinematica corpo rigido
Cinematica del corpo rigido:
Definizione corpo rigido
Definizione di corpo rigido
def CR : P1 P2  costante t,P1 P2
Cinematica corpo rigido
Cinematica del corpo rigido:
Campo di spostamenti
s P1
Campo di spostamenti
P1
P  sp
sP2
P2
Traslazione
s p  s0
sp
s0
P
O
Cinematica corpo rigido
Cinematica del corpo rigido
(precisazioni e moto infinitesimo)
Rotazione attorno al punto O
versore ortogonale
al piano
e
versore parallelo a OP
OP
a // 
OP
a L  e  a //
s p  OP cos   1a //  OP sin a L
Rotazione infinitesima
  0
s p  OP a L  e  OP
Roto-traslazione infinitesima
s P  s O  e  OP
e  OP
aL
O
a //
P
3 parametri:
2 componenti traslazione
1 angolo di rotazione
Lineare rispetto ai parametri s O , 
(gli spostamenti si sommano)
Cinematica corpo rigido
Cinematica del corpo rigido
(precisazioni e moto infinitesimo)
Roto-traslazione infinitesima
3 parametri:
2 componenti traslazione
1 angolo di rotazione
s P  s O  e  OP
P' '
e  OP
sO
O'
O
P

P'
Vincoli
Vincoli semplici
Classificazione cinematica: eliminano una delle tre possibilità
di movimento
Classificazione dinamica: sono in grado di esprimere un
sistema di reazioni vincolari descritto da un solo parametro
Appoggio semplice o carrello:
r
P
R
Cc: elimina lo spostamento del
punto P lunga la direzione r.
Cd: la reazione ha retta di
applicazione r, l’intensità è il
parametro variabile.
Vincoli
r
Appoggio semplice o carrello:
Spostamento: ortogonale alla linea d’asse
(traslazione+rotazione=rotazione attorno a punto sull’asse)
O
Reazione: forza sulla linea d’asse
P
R
Vincoli
Vincoli semplici
Pantografo:
Cc: elimina la sola rotazione del corpo
Cd: il sistema reagente è una coppia
(risultante nulla), il parametro variabile è
l’intensità
P
M
Vincoli
Vincoli doppi
Classificazione cinematica: eliminano due delle tre possibilità
di movimento
Classificazione dinamica: sono in grado di esprimere un
sistema di reazioni vincolari descritto da due parametri
Possono essere ottenuti dalla combinazione di due vincoli
semplici
r Cerniera:
R2
R
P
R1
Cc: elimina lo spostamento del punto P in
qualunque direzione (lungo due direzioni
indipendenti)
Cd: Il sistema reagente è costituito da una
forza per i punto P, i due parametri sono le
due componenti della forza o, in
alternativa, l’intensità e la direzione.
Vincoli
Vincoli doppi
r
Pattino/manicotto:
Cc: elimina lo spostamento del punto
P lunga una direzione e la rotazione
del corpo
P
R
M
Cd: il sistema reagente è costituito da
una forza con retta di applicazione
assegnata e da una coppia, o due
parametri sono l’intensità della forza e
della coppia
Vincoli
Vincoli doppi
I vincoli doppi possono essere ottenuti
come somma di due vincoli semplici
P r
P
R
r
r
P
P
M
R
M
Vincoli
Vincolo triplo
Classificazione cinematica: elimina tutte le tre
possibilità di movimento
Classificazione dinamica: è in grado di esprimere
un qualunque sistema di vettori applicati
Può essere ottenuto dalla combinazione di tre
vincoli semplici
r
Incastro:
R2
Cc: impedisce la rotazione del corpo e lo
spostamento del punto P, di conseguenza
risulta impedito qualunque spostamento
P
Cd: il vincolo può esprimere qualunque
sistema reagente, i tre parametri sono le
componenti della risultante e la coppia
R1
R
M
Reazioni vincolari
Determinazione reazioni vincolari
Sistema di forze agenti =
Azioni esterne + Reazioni vincolari
Azioni esterne: note e descrivibili mediante 3 parametri (sul
piano): componenti della risultante e momento risultante
Reazioni vincolari: incognite
Grado di vincolo V = numero totale dei parametri necessari a
descrivere le reazioni vincolari = spostamenti impediti
Equazioni disponibili: L = equazioni di equilibrio = parametri
necessari a descrivere il campo di spostamenti
(3 sul piano)
1. Per equilibrare un generico sistema di forze esterne è
necessario un grado di vincolo almeno pari a 3 (V=L)
2. La condizione è necessaria ma non è sufficiente
Reazioni vincolari
Esempi
L/2
Determinazione reazioni per via analitica
F
L
L
F
2F
L/2
L
L
L
Vincoli
Esempi
Determinazione reazioni per via grafica
L
F
L
L
Reazioni vincolari
altri esempi
Determinazione reazioni per via analitica
FL
2F
2F
3FL
L
L
L
L
L/2
L
2F
L
L
L
L
L
Vincoli
Sistemi di corpi rigidi
Sistema di corpi rigidi: confine del sistema
Forze esterne: interazione (azione-reazione) con corpi esterni
Forze interne: interazione (azione-reazione) tra corpi interni
Confine del sistema di corpi rigidi
Corpo B
Forza esterna a distanza
(es. forza peso)
Forza interna (es. vincoli interni)
Corpo A
Forza esterna di
contatto
(es. vincoli esterni)
Vincoli interni
Vincoli interni semplici
Appoggio
Pantografo
Corpo B
Corpo B
Corpo A
Corpo A
Vincoli interni
Vincoli interni doppi
Cerniera
Pattino/Manicotto
Corpo B
Corpo B
Corpo A
Corpo A
Reazioni vincolari
Determinazione reazioni vincolari
Sistema di forze agenti =
Azioni esterne + Reazioni vincolari
Azioni esterne: note e descrivibili mediante 3 parametri (sul
piano): componenti della risultante e momento risultante
Reazioni vincolari: incognite
Grado di vincolo V = numero totale dei parametri necessari a
descrivere le reazioni vincolari = spostamenti impediti
Equazioni disponibili: L = equazioni di equilibrio = parametri
necessari a descrivere il campo di spostamenti
(3 sul piano per ogni corpo)
1. Per equilibrare un generico sistema di forze esterne è
necessario un grado di vincolo almeno pari a 3 x n (V=L)
2. La condizione è necessaria ma non è sufficiente
Vincoli interni
Esempi
Determinazione reazioni per via analitica
L
2F
F
L
L
L
Vincoli interni
Esempi
Determinazione reazioni per via analitica
2F
F
L
FL
L
2F
L
L
L
Vincoli interni
Pendolo
Corpo rigido scarico con 2 vincoli doppi alle estremità
= appoggio con asse congiungente i centri di rotazione
Carichi distribuiti
Carichi distribuiti
QN 
Carico distribuito
F  x, x 
q x   lim
x  0
x
q x N / m
Sistema di vettori applicati
infinitesimi
df  x   q x dx

Risultante
R   q x dx
Lm
Fi  q xi x
R   Fi
Posizione risultante
xr : Rxr   xq x dx
xr : Rxr   xi Fi
xr
R
Carichi distribuiti
Carichi distribuiti
Distribuzione uniforme
qx 
qx   q
x
L

Risultante
R  qL
R
xr  L / 2
Posizione risultante
xr  L / 2
Distribuzione triangolare
q  x   xq / L
Risultante
R  qL / 2
Posizione risultante
xr  2 L / 3
qx 
x
L

xr  2 L / 3
R
Carichi distribuiti
Carichi distribuiti - generalizzazioni
Carichi con direzione variabile
Fs, s 
qs   q1 s a1  q2 s a 2  q3 s a 3  lim
s 0
s
Risultante
R   qs ds
Posizione risultante
q s 
x r : x r  R   xs  qs ds
xs 
s
O
Carichi distribuiti
Carichi distribuiti
Carichi
concentrati
Lineari
e
fili
orientazione
trazione
Carichi distribuiti
Carichi distribuiti
Carichi superficiali
Fx, a 
px   lim
a 0
a
Carichi e membrane
Carico distribuito

px  N / m
3D
2

 
A m2
Tenso strutture (carico trascurabile)
Reazioni vincolari
Esempi
Determinazione reazioni per via analitica
pL
L
p
L
L
L
p
pL
L
L
L
L
Classificazione
Isostatiche – labili - iperstatiche
Vincoli inefficaci = reazioni non univoche (iperstatiche)
Gradi di libertà potenziali (N corpi) = eq. equilibrio
L = 3xN
Parametri di spostamento impediti = vincoli efficaci
Ve = V - Vi
Gradi di libertà effettivi
l = L-Ve
Caratterizzazione sistemi di corpi rigidi
Sistema fisso
l=0 (Ve=L)
Reazioni indeterminate Vi>0 (V>Ve)
Sistema labile
l>0 (Ve<L)
Reazioni determinate
Sistema staticamente determinato L=V e Vi=0
Vi=0 (V=Ve)