Università degli Studi di Milano
Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni
Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna
FISICA
Lezione n. 5 (2 ore)
Gianluca Colò
Carlo Pagani
Dipartimento di Fisica – sede
Dipartimento di Fisica – Laboratorio LASA
Via Celoria 16, 20133 Milano
Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)
web page: http://www.mi.infn.it/~colo
e-mail: [email protected]
web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani
e-mail: [email protected]
Equazione di Newton in 2D e 3D
F=ma
Questa equazione può essere proiettata sulle tre
direzioni indipendenti x, y e z
La forza è
F = Fx i + Fy j + Fy k = Σ (Fi,x) i + Σ (Fi,y) j + Σ (Fi,z) k
e dunque si ha:
Fx = max
Fy = may
Fz = maz
Gianluca Colò & Carlo Pagani
2
Fisica per Informatica 2011
Caduta libera e moto parabolico
Sono questi due moti dovuti all’accelerazione di gravità, g, prodotta
dalla forza di gravità, Fg
y
Come si procede:
1.
2.
3.
4.
Si sceglie il sistema di coordinate
Si ricava l’accelerazione dalle forze
Si ricava l’equazione del moto dall’accelerazione
Si applicano le condizioni iniziali
Esempio del grattacielo:
0
Esempio del proiettile:
-gm
-gm
-gm
-gm
-gm
g
Nota: i risultati non dipendono dalla massa m
Gianluca Colò & Carlo Pagani
3
-gm
Fisica per Informatica 2011
Moto parabolico (seguito)
Le equazioni generali sono:
-gm
-gm
-gm
La traiettoria si ottiene eliminando il tempo:
-gm
-gm
g
-gm
Quelle sopra sono equazioni generali
Formula specifica: gittata R (punto di ritorno
alla quota si partenza)
Altra formula specifica: punto più alto della
traiettoria:
Gianluca Colò & Carlo Pagani
4
Fisica per Informatica 2011
Esercizio sul moto parabolico
In figura è rappresentato un proiettile lanciato verso un terrapieno di altezza h con velocità
iniziale v0 = 42.0 m/s e angolo di lancio θ0 = 60°sopra il piano orizzontale. Il proiettile cade nel
punto A, 5 s dopo il lancio. Calcolare: a) l’altezza del terrapieno, b) la velocità del proiettile
all’impatto, c) la massima altezza, H, che esso ha raggiunto sopra il livello del terreno. Si
trascuri la resistenza dell’aria.
y
I dati del problema sono:
x0 = y0 = 0
tf = 5 s
θ0 = 60°
v0.x= 42.0 cos(θ0) = 21.0 m/s
v
v0.y= 42.0 sin(θ0) = 36.4 m/s
x
y(tf )= h ?
Utilizzando le equazioni di pagina precedente, calcolo i valori di x(t) e y(t) all’istante t = tf
v x (t f ) = v0, x
⇒
x(t f ) = v0, x t f = 21 ⋅ 5[m] = 105 m
1
9.83 2
2
v y (t f ) = a y t f + v0, y = − g t f + v0, y ⇒ y (t f ) = − g t f + v0, y t f = h = −
⋅ 5 + 36.4 ⋅ 5 = 59.1 m
2
2
Per calcolare il valore di H notiamo che il proiettile raggiunge la quota massima quando la
sua velocità verticale si annulla per passare da ascendente (vy > 0) a discendente (vy < 0).
Calcolo quindi il valore di tH al quale vy = 0 e poi sostituisco il valore trovato nella y (t) poiché H
= y (tH)
v0, y 36.4[m s -1 ]
v y (t H ) = − g t H + v0, y = 0 ⇒ t H =
g
=
1
1
H = y (t H ) = − gt 2f + v0, y t f = − ⋅ 9.83 ms − 2
2
2
[
Gianluca Colò & Carlo Pagani
[ ] = 3.70 s ⇒
]⋅ 3.7 [s ]+ 36.4[ms ]⋅ 3.7[s] = 67.4 m
9.83 m s -2
5
2
2
−1
Fisica per Informatica 2011
Il moto armonico
Le oscillazioni sono onnipresenti nella vita quotidiana, dalle vibrazioni alla
musica. Il moto oscillatorio fondamentale è il moto armonico semplice.
Ad esempio, il moto associato ad una forza elastica, cioè proporzionale
allo spostamento con segno opposto, genera un moto armonico!
L’andamento della coordinata di spostamento (x) nel tempo è
rappresentato da una funzione caratteristica, detta sinusoide.
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Fisica per Informatica 2011
Legge oraria del moto armonico
L’equazione caratteristica di un moto periodico o armonico ed i suoi
parametri principali sono:
Grandezza
Unità SI
Frequenza
hertz, Hz
1 Hz = 1 oscillazione al secondo
Periodo
s
Tempo per un’oscillazione completa
T=1
Escursione massima dalla posizione
di equilibrio
xm
Ampiezza
Pulsazione
Simbolo / Relazione
ν
2π
ω=
= 2πν
T
radianti/s
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ν
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Fisica per Informatica 2011
Dinamica del moto armonico
Nota la legge oraria possiamo ricavare le espressioni di velocità ed
accelerazione del moto armonico:
dx d
dv
v(t ) =
= [xm cos(ωt + ϕ )] = −ωxm sin (ωt + ϕ ) a(t ) =
= −ω 2 xm cos(ωt + ϕ )
dt dt
dt
E con queste, applicare il II principio della dinamica:
(
)
F = ma = − mω 2 x = −kx ; k = mω 2
Dunque il classico sistema massa-molla è caratterizzato da un moto
armonico semplice e lineare per cui vale:
k
m
– Pulsazione
ω=
– Periodo
T = 2π
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m
k
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Fisica per Informatica 2011
Il pendolo semplice
L’oscillatore lineare è un valido modello per un grande numero di
sistemi fisici in cui è presente un’oscillazione, ad esempio il pendolo
La scomposizione delle forze per un generico angolo θ permette
di ricavare l’espressione della forza di richiamo:
Fosc = − Fg sin (θ ) = −mg sin (θ )
Non si tratta dunque di una forza di richiamo lineare!
Ma per piccoli angoli vale sempre che:
sin (θ ) ≈ θ
E dunque, solo per piccoli scostamenti, possiamo scrivere:
Fosc = − Fg sin (θ ) = −mg sin (θ ) ≈ −mgθ = −kθ
; k = mg
Otteniamo infatti una legge di moto armonico per la variabile θ:
g
2π
L
(
)
θ = θ 0 sin t = θ 0 sin ωt ; T =
= 2π
L
g
ω
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Fisica per Informatica 2011
Gravitazione
Newton per primo mise in relazione la forza che attira gli oggetti alla superficie
terrestre con la forza che vincola i corpi celesti e formulò qualitativamente la legge
di gravitazione universale:
Ogni corpo dotato di massa esercita una forza attrattiva gravitazionale su
ogni altro oggetto massivo, e a sua volta subisce la stessa attrazione
La legge di gravitazione può essere espressa così:
m1m2
F =G 2
r
m1 ed m2 sono le masse dei corpi, r è la distanza tra loro e
G, la costante di gravitazione universale, ha valore pari a:
G = 6,67 ⋅10−11
N ⋅ m 2 / kg 2
E’ proprio un classico esempio di azione e reazione
secondo la III legge della dinamica
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
Gravitazione - 2
La legge della gravitazione può essere espressa in forma vettoriale nel
seguente modo:
– L’elemento r̂ è detto versore, è un vettore di modulo unitario diretto lungo la
congiungente le due particelle
Una sfera di materiale uniforme da un punto di vista gravitazionale attira
una particella posta al suo esterno come se tutta la massa fosse
concentrata nel suo centro
Se un corpo interagisce per gravitazione con n altri corpi, vale
il principio di sovrapposizione: la forza risultante è data dalla somma
dei singoli effetti
– Questo si applica anche ad un corpo esteso:
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Fisica per Informatica 2011
Le leggi di Keplero ed il moto dei pianeti
Johannes Kepler, astronomo tedesco (1571-1601), arrivò a formulare tre leggi
empiriche che governano i moti dei pianeti. In seguito Newton dimostrò come si
possano tutte derivare dalla legge della gravitazione
• 1° legge o legge delle orbite:
Tutti i pianeti si muovono su orbite ellittiche,
di cui il sole occupa uno dei due fuochi
•2° legge o legge delle aree:
Il segmento che collega un
pianeta al sole descrive
aree uguali in tempi uguali
•3° legge o legge dei periodi:
Il quadrato del periodo di un
pianeta è proporzionale al cubo
del semiasse maggiore della sua orbita
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
3° legge di Keplero per i pianeti
Orbita circolare ⇒
Moto Circolare Uniforme
2
T ∝r
Orbita ellittica
T 2 ∝ Ra
3
3
T 2 ∝ r3
E le cose si fanno molto più complicate
Attraverso il II principio della dinamica e
le leggi del moto circolare possiamo
esprimere la terza legge di Keplero come:
4π 2
T =
GM
2
Gianluca Colò & Carlo Pagani
3
r
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Fisica per Informatica 2011
Il centro di massa - 1
Il centro di massa di un corpo o di un sistema di corpi è il punto che
si muove come se vi fosse concentrata tutta la massa e vi agissero
tutte le forze esterne
Per un sistema costituito da n masse concentrate
mi e dalla massa totale pari a M in uno spazio a tre
dimensioni il centro di massa ha coordinate:
xcdm
1
=
M
n
∑m x
i i
;
i =1
ycdm
1
=
M
n
∑m y
i
i
; zcdm
i =1
1
=
M
n
∑m z
i i
i =1
n
M = ∑ mi
i =1
Le tre equazioni scalari possono essere sostituite
da un’unica equazione vettoriale
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
Il centro di massa - 2
Le coordinate del centro di massa di un sistema di masse concentrate,
dipendono dal sistema di riferimento (ma questo non è vero per la sua
posizione rispetto alle masse stesse)
m1= 1 kg ; m2= 3 kg
d=4m
x1 = 0 ; x2 = d = 4 m
x1= 1.5 ; x2= x1 + d = 5.5 m
n
M = ∑ mi = 1 kg + 3 kg = 4 kg
n
M = ∑ mi = 1 kg + 3 kg = 4 kg
i =1
i =1
xcdm
1
=
M
n
1
mi xi =
(1⋅ 0 + 3 ⋅ 4)[kg m] = 3 m
∑
4 kg
i =1
xcdm =
1
M
n
∑m x
i i
i =1
=
1
(1 ⋅1.5 + 3 ⋅ 5.5)[kg m] = 4.5 m
4 kg
m1= 1 kg ; m2= 1.5 kg ; m3= 2 kg ; M = 4.5 kg ; a = 150 cm
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
La quantità di moto
Definiamo la quantità di moto o momento lineare di un corpo puntiforme
il vettore:
m = massa del corpo
v = velocità del corpo
La formulazione originale del II principio della dinamica è data proprio in funzione
della quantità di moto! Vale infatti l’equazione:
Che non è altro che un’enunciazione perfettamente equivalente della già vista:
“La rapidità di variazione del momento di una particella
è proporzionale alla forza netta che agisce sulla
particella e ha la stessa direzione di quella forza”
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
Conservazione della quantità di moto
Nel caso di un sistema di più corpi dalla massa totale M definiamo la
quantità di moto totale del sistema come:
vcdm è le velocità del centro di massa del sistema
Dalla definizione stessa di quantità di moto segue che, per un sistema di
più particelle che:
• sia isolato: la risultante di tutte le forze esterne è nulla
• sia chiuso: nessuna particella entra o esce dal sistema
vale che:
Frisult . = 0 ⇒
ρ
dP
=0 ⇒
dt
P = costante => Piniziale = Pfinale
E’ il principio di conservazione della quantità di moto.
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
Conservazione quantità di moto - 2
Esempio: Un’astronave che procede alla velocità di 2100 km/h espelle uno stadio esaurito
di massa pari al 20% della massa totale e alla velocità relativa vr = 500 km/h. Determinare
la velocità finale dell’astronave dopo l’espulsione.
Il sistema è chiuso e vale la conservazione
della quantità di moto => Pf = Pi
Pi = M vi = Pf = M [0.8 vf + 0.2 (vf – vr)] =>
=> vf = vi + 0.2 vr = (2100 + 100) = 2200 km/h
Esempio: Un disco esplode al centro in tre pezzi che si muovono senza attrito su un
piano. Determinare la velocità di un pezzo note le direzioni delle velocità, la suddivisione
della massa e una delle velocità delle parti
Dati: MA=0.5M MB=0.2M MC=0.3M
vC = 5 m/s
vB ? vA ?
Il sistema è chiuso e vale la conservazione della quantità di
moto => Pf = Pi = 0.
Px = - MA vA + MC vCcos(80°) + MB vB cos(50°) = 0
Py = 0 + MC vCsin(80°) - MB vB sin(50°) = 0 =>
MB vB = MC vC sin(80°)/sin(50°) => vB = 1.5 vC sin(80°)/sin(50°) =
vB = 9.94 m/s
vA = MC vC cos(80°) + MB vB cos(50°) = 3 m/s
Gianluca Colò & Carlo Pagani
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Fisica per Informatica 2011
Impulso
La quantità di moto rappresenta un potente mezzo per la risoluzione
di problemi legati alla collisione tra due o più corpi.
Durante l’urto una forza rapidamente variabile F(t) agisce per un tempo breve, da
t1 a t2, inducendo una variazione della quantità di moto p di un corpo. Possiamo
scrivere:
variazione di quantità di moto
definizione di impulso
teorema dell’impulso
∆p = <F> ∆t
Gianluca Colò & Carlo Pagani
forza media che agisce
nell’intervallo di tempo ∆t
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Fisica per Informatica 2011
