Cap. 8: Idraulica
In questo capitolo verranno applicate le leggi della meccanica ai liquidi. A differenza di quanto
accade in un corpo solido, le particelle che costituiscono un corpo liquido non esercitano tra loro la
forza di coesione sufficiente per dare al corpo una forma propria. Per aggirare le difficoltà legate al
fatto che i liquidi non hanno forma propria, i concetti di forza e massa sono sostituiti da quelli di
pressione e densità. La tabella seguente illustra la corrispondenza tra alcune grandezze e concetti
usati in meccanica dei solidi ed i corrispondenti concetti introdotti in idraulica.
meccanica dei solidi
forza
massa
attrito dinamico
reazione vincolare
teorema dell’energia cinetica
idraulica
pressione
densità
viscosità
spinta di Archimede
equazione di Bernoulli
Le forze attrattive intermolecolari di un liquido, seppure meno intense di quelle di un solido, sono
comunque sufficienti a dare al corpo un volume ben definito. Questo non succede per i corpi
aeriformi (gas o vapori1). Le forze intermolecolari di un gas sono così piccole che le molecole sono
estremamente distanti tra loro: un gas non ha né forma né volume propri (forma e volume sono
quelli del contenitore). In un liquido invece le molecole sono comunque così vicine tra loro che
spesso è estremamente difficile ridurre il volume di un liquido per compressione. In queste
condizioni si può spesso assumere che i liquidi sono corpi incomprimibili.
In questo capitolo, dopo la definizione di densità e pressione, si illustrano alcuni concetti di statica
dei liquidi, o idrostatica (principio di Archimede, principio dei vasi comunicanti) e di dinamica dei
liquidi, o idrodinamica (moto laminare e turbolento, viscosità, equazione di continuità ed equazione
di Bernoulli).
Densità
La densità ρ è il rapporto tra la massa m di un corpo ed il volume V da esso occupato:
ρ=m/V
Le unità sono quindi [Kg][m]-3.
Densità dell'acqua distillata a 4 C°=
Densità dell'acqua di mare a 15 C°=
Densità del plasma sanguineo a 25 C°=
Densità del sangue intero a 25 C°=
1000 kg/m3;
1025 kg/m3;
1027 kg/m3;
1059 kg/m3.
La densità relativa o peso specifico è invece il rapporto tra la densità del corpo e quella dell'acqua
distillata a 0 C° (numero adimensionale)
1
Gas è un fluido che si trova allo stato aeriforme in condizioni “normali”; vapore un aeriforme che “normalmente” si
trova invece allo stato liquido. Ad esempio, l’ossigeno allo stato aeriforme è considerato un gas perché passa dallo stato
liquido a quello aeriforme a temperature molto basse; l’acqua allo stato aeriforme è considerata un vapore perché in
condizioni “normali” si trova allo stato liquido.
1
Pressione
La pressione P esercitata da una forza F che agisce su una superficie di area A è la componente
della forza perpendicolare alla superficie, FN, divisa per l'area A:
A
F
P = FN /A
FN
La pressione quindi non è un vettore, ma una grandezza scalare (per questo non esiste una
“direzione” della pressione): si esprime in [N][m]-2, unità di misura detta Pascal [Pa].
Sono però ancora molto in uso altre unità di misura della pressione:
1) Il millimetro di mercurio [mmHg], definito come la pressione esercitata dal peso di una
colonna di mercurio alta 1 mm. E' detta anche Torricelli [Torr]. In medicina è usato per misurare la
pressione sanguinea. 1 mmHg=133 Pa
2) Il centimetro d'acqua (cm H2O), definito come la pressione esercitata dal peso di una
colonna d'acqua alta 1 cm. In medicina si usa per misurare la pressione dei gas nei polmoni, e la
pressione intrapleurica. 1 cmH2O= 0.735 mmHg
3) L' atmosfera (atm), definita come pressione atmosferica "media".
1 atm =760 mmHg =1.01x105 [Pa]
Esempio: uno sciatore di 70 kg calza un paio di scarponi. La suola di ogni scarpone ha area
A1=150 cm2, mentre l'area di ogni sci è A2=1540 cm2.
Quale pressione esercita il peso dello sciatore sugli sci?
E quale pressione esercita sulla neve? (trascurare il peso degli sci).
Se lo sciatore scende da una pista con pendenza di 30° rispetto all'orizzontale, quale pressione
esercita sulla neve?
Quando lo sciatore è fermo su un piano orizzontale, la componente del peso perpendicolare agli sci
è l’intero modulo della forza peso:
| P | = 70 x 9.8 = 686 [N]
La pressione esercitata sugli sci è nulla
tranne che nel punto di contatto tra suola e
sci, dove vale:
P1= 686/( 2 A1)=686/0.03=22867 [Pa]
La pressione esercitata dagli sci sulla neve è:
P2= 686/( 2 As)= 686/0.308=2227 [Pa]
La componente perpendicolare alla neve del
peso dello sciatore quando scende sulla pista
è invece:
| P | cos 30°= 70 x9.8 x 0.866= 594 [N]
e la pressione sulla neve vale:
P2= 594/( 2 As)=594/0.308=1929 [Pa]
2
Esempio: esistono sensori elettronici particolarmente sottili (<0.1 mm) per rilevare carichi su aree
molto piccole. Se disposti numerosi su di una griglia flessibile (tipo tappetino) possono fornire una
immagine dettagliata del profilo di pressione.
La definizione precedente permette di calcolare la pressione sulla faccia di un solido (lo strato di
neve, la superficie degli sci, ecc). In idraulica interessa invece la pressione su di un punto in un
liquido.
Per definire la pressione in un liquido, possiamo immaginare che N creature minuscole abbiano
creato una sferetta vuota di raggio r intorno ad un certo punto M. La sferetta vuota è immersa nel
liquido, quindi queste creature dovranno spingere con le mani le molecole di liquido su tutta la
superficie interna della sfera per evitare che questa si richiuda. La i-esima creatura spingerà con la
forza |Fi| perpendicolarmente alla superficie Ai, esercitando quindi la pressione Pi=|Fi|/Ai.
Chiamiamo Pr la media delle pressioni Pi (con i=1, 2, …, N) esercitate da queste creature.
La pressione P nel punto M è definita come il limite raggiunto da Pr quando il raggio r tende a zero.
Pressione Relativa. Spesso interessa misurare non la pressione assoluta, ma la differenza rispetto
alla pressione atmosferica, o più in generale rispetto ad una pressione di riferimento. Ad esempio, la
pressione sanguinea viene misurata come pressione relativa rispetto alla pressione atmosferica e non
come pressione assoluta. Quindi se la pressione sanguinea media è di 100 mmHg, ciò significa che
la pressione assoluta del sangue è in realtà di 100+760=860 mmHg se la pressione atmosferica
durante la misura è di 1 atmosfera.
3
Principio di Archimede
Consideriamo un volume V all'interno di un liquido di densità ρ0 in equilibrio. Indichiamo con -g il
vettore accelerazione di gravità, diretto verso il basso. Il volume V pesa quindi FL = -ρ0 V g.
Dal momento che il liquido è in equilibrio, per il primo principio della statica tutte le particelle che
circondano il volume esercitano una forza complessiva A diretta verso l'alto che compensa
esattamente il peso FL diretto verso il basso. Per cui:
A = ρ0 V g
Questa forza diretta verticalmente in alto è detta forza di sostentamento o spinta di Archimede.
Sostituiamo ora il volume di liquido V con un corpo di uguale volume e forma, ma di densità ρ>ρ0.
Immaginiamo che questo corpo sia appeso ad un cavo che lo mantenga in posizione.
Il peso del corpo è FC = -ρ V g.
In assenza del liquido la tensione T del cavo è opposta al peso
T = - FC
quindi T = ρ V g
Ma se il corpo si trova immerso nel liquido, su questo agirà anche la forza A.
T
A
-g
FC
La tensione nel filo si riduce di un valore pari al peso del fluido spostato.
La tensione nel cavo si riduce al valore:
T = -A -FC
T = (ρ-ρ0)Vg
Quindi è come se, una volta immerso in acqua, il corpo pesasse di meno. In particolare, la riduzione
apparente di peso è pari al peso del liquido spostato dal corpo.
Se la densità del corpo fosse minore della densità del liquido in cui è immerso, allora ρ<ρ0. In tal
caso la componente verticale della tensione T, cioè (ρ-ρ0)Vg, diviene negativa. Ciò implica che la
tensione T sia diretta verso il basso. Ma dal momento che ciò non è possibile (il cavo al cui corpo è
appeso non può spingere verso il basso) la risultante delle forze che agiscono sul corpo, FR=A -FC,
non è più nulla e quindi il corpo non è più in equilibrio. Esso si sposterà allora verso l’alto fino a
raggiungere il pelo libero del liquido, dove finirà col galleggiare.
Quando il corpo galleggia, si trova di nuovo in equilibrio. Sia VS il volume sommerso del corpo che
galleggia. La forza di sostentamento A , ora pari a ρ0VSg, deve pareggiare il peso del corpo -ρVg.
In modulo:
ρ0VSg=ρVg
da cui
VS/V =ρ/ρ0
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Quindi la frazione di volume sommersa di un corpo che galleggia è pari al rapporto tra la densità del
corpo e del liquido.
Esempio. Calcolare la frazione sommersa di un iceberg sapendo che la densità del ghiaccio è
920[Kg][m] -3, quella dell’acqua di mare è 1025 [Kg][m] -3. [soluz= 0.898]
La forza di sostentamento è utilizzata in certe tecniche di riabilitazione in cui il paziente esegue
esercizi in acqua. In questo modo muscoli ed articolazioni sono soggetti a forze minori che in aria,
perché viene sottratta la spinta di Archimede alla forza di gravità. Similmente, gli astronauti si
esercitano in vasche di immersione per simulare una ridotta gravità.
Flusso Laminare e Flusso Turbolento.
Immaginiamo un liquido inizialmente fermo in un tubo chiuso da un rubinetto. Se apriamo
progressivamente il rubinetto, il liquido uscirà dal tubo con velocità sempre maggiore. Potremmo
osservare che inizialmente, a bassa velocità, il liquido scorre in modo molto regolare; poi, superato
un certo valore di velocità, osserveremo fluttuazioni disordinate e casuali. Si dice che il moto del
liquido è passato da un flusso laminare ad uno turbolento.
Flusso laminare e turbolento dell’acqua che esce da un rubinetto (sinistra e centro),
e del fumo che sale da una sigaretta (destra).
Quando il flusso è laminare, il liquido scorre per “straterelli” paralleli (lamine). Le lamine di liquido
vicine alle pareti del condotto scorrono più lentamente di quelle al centro del condotto, ma
comunque tutte le lamine si mantengono parallele durante il moto.
Quando si supera una certa velocità, le lamine cominciano a diventare “instabili”: non si muovono
più parallelamente le une alle altre, ma cominciano a contorcersi e ad aggrovigliarsi tra loro. Se si
aumenta ulteriormente la velocità, la struttura delle lamine scompare ed il moto diventa turbolento.
La velocità di ogni particella è un vettore con direzione e verso che cambia continuamente in
maniera casuale, ma in media è diretto nel verso di uscita del condotto. In termini statistici, ora le
particelle di fluido si muovono con la stessa velocità media lungo tutta la sezione del condotto.
distribuzione della velocità delle particelle di un liquido in una sezione di un condotto per un flusso
laminare (sinistra) e per un flusso turbolento (destra)
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Equazione di continuità
Supponiamo che il fluido sia incomprimibile. Se riempie completamente un condotto (ad esempio,
un tubo), allora a regime la portata che entra da una estremità del tubo, I1, deve essere ad ogni
istante uguale a quella che esce dall'altra estremità, I2:
I1=I2
La portata è il volume che scorre nell’unità di tempo, I=V/∆t. L'uguaglianza delle due portate
implica che il volume che entra nel periodo ∆t, V1, è uguale al volume che esce nello stesso
periodo, V2:
V1=V2
Siano A1 ed A2 le aree delle sezioni all'ingresso ed all’uscita del tubo.
Se il moto è turbolento, le velocità hanno un profilo uniforme sulle due superfici: chiamiamo v1 e v2
queste velocità. Se il moto fosse invece laminare, il profilo di velocità non è uniforme. In questo
caso chiamiamo v1 e v2 le velocità medie del profilo.
In entrambi i casi, lo spazio percorso nel tempo ∆t da una particella di fluido che entra in A1 è
∆x1= v1∆t,
ed il volume di fluido che entra nello stesso istante di tempo è
V1= A1∆x1=
=A1v1∆t
Nello stesso tempo una particella che esce da A2 percorre lo spazio ∆x2= v2∆t ed il volume che esce
da A2 è quindi V2= A2v2∆t. Dalla uguaglianza dei due volumi otteniamo:
A1v1= A2v2
Quindi l’equazione di continuità implica che in ogni punto di un condotto è costante il prodotto tra
la sezione del condotto è la velocità media del liquido. Ad esempio, se una arteria presenta una
stenosi (restringimento), allora la velocità del sangue nel punto di restringimento aumenta in modo
inversamente proporzionale all’ampiezza del lume del vaso:
v2= v1A1/ A2
Similmente, la velocità diminuisce in presenza di un aneurisma.
Andamento della velocità del sangue all’interno di un arteria che presenti una stenosi (sinistra), o
un aneurisma (destra)
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Viscosità
La viscosità è una sorta di "attrito interno dei fluidi" dovuto alla resistenza che incontrano gli strati
di fluido a scorrere gli uni sugli altri. La viscosità generalmente si riduce con la temperatura.
Sperimentalmente si è visto che le forze di attrito viscoso che si creano su di un corpo che si muove
in un fluido, Fd dipendono dalla forma del corpo, dalle caratteristiche del fluido, e sono
proporzionali alla velocità del corpo:
Fd=-ηKv
dove K è un coefficiente che dipende dalla forma del corpo, ed η un coefficiente che dipende dalla
natura del liquido.
η è chiamato coefficiente di viscosità.
E’ possibile misurare η misurando la velocità con cui una sfera affonda nel liquido. Quando la sfera
ha raggiunto la velocità limite (velocità costante di affondamento) la somma delle forze di attrito Fd
e della spinta di Archimede A deve uguagliare la forza peso w. Infatti dato che l’accelerazione della
sfera è nulla quando raggiunge la velocità limite, la risultante delle forze che agiscono sulla sfera
deve essere nulla per la II legge di Newton.
Si è osservato che per una sfera di raggio R che affonda con la velocità limite v, il coefficiente K
vale 6πR. Quindi misurando la velocità limite v e calcolando |Fd|= |w|-|A| si ricava η da:
|Fd|=η(6πR)v
.
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Equazione di Bernoulli.
Proposta nel 1738 da Daniel Bernoulli, esprime il lavoro compiuto su di un fluido in funzione delle
variazioni di energia potenziale e cinetica. Essa è valida se:
1) il fluido è incomprimibile (ciò consente di applicare l'equazione di continuità);
2) il flusso è laminare ed il fluido non è viscoso (si possono quindi trascurare gli attriti interni);
3) il regime è stazionario (la velocità del fluido non cambia nel tempo).
Nel capitolo precedente avevamo visto che:
La = ∆EP+∆EK +Q
dove La =lavoro delle forze applicate ad un corpo;
∆EP= variazione di energia potenziale;
∆EK= variazione di energia cinetica;
Q= energia dissipata dalle forze di attrito.
Immaginiamo che un liquido riempia un condotto di sezione variabile, la cui area sia Aa e Ab sulle
due estremità (vedi figura). Pa e Pb siano le pressioni sulle due facce alle estremità del condotto.
Alle due pressioni corrispondono le forze AaPa e AbPb perpendicolari alle superfici.
La. Se il liquido si sposta di una quantità ∆xa e ∆xb, le due forze compiono il lavoro:
La= AaPa∆xa- AbPb∆xb=
=(Pa- Pb)∆V
dove ∆V è il volume di liquido spostato.
Q. Poiché abbiamo ipotizzato non ci siano attriti, non ci sarà energia dissipata: Q=0.
∆EP. La variazione di energia potenziale del liquido spostato è ∆EP=mgh con m=ρ∆V, cioè:
∆EP=ρ∆Vg(yb-ya).
∆EK. Se le sezioni di entrata ed uscita sono differenti, anche la velocità di entrata, va, è diversa da
quella di uscita vb e dobbiamo considerare la variazione di energia cinetica ∆EK=½mvb2 -½mva2
cioè:
∆EK = ½ρ∆V(vb2 -va2)
Quindi La = ∆EP+∆EK +Q può essere riscritta:
(Pa- Pb)∆V=ρ∆V g(yb-ya)+ ½ρ∆V(vb2 -va2)
o:
Pa+ρg ya +½ρva2=Pb+ρg yb+½ρvb2
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Equazione di Bernoulli nella statica
Se il liquido è in quiete, v=0 e l’equazione diviene:
Pa=Pb+ρ g (yb- ya)
Esempio. Un sommozzatore si immerge ad una profondità h=10 m sotto il livello dell’acqua.
A quale pressione è sottoposto?
Applichiamo l’eq. Pa=Pb+ρgh con:
Pb =Pressione Atmosferica=101000 [Pa]; ρ=1000 [kg][m]-3;
yb= quota del pelo dell’acqua=0 [m]; ya=-10 [m]; h= yb- ya=10
Pa= Pb+ρgh =101000+1000x9.8x10=199000 [Pa].
Quindi a 10 metri di profondità la pressione è praticamente doppia rispetto alla superficie.
Esempio. La pressione media del sangue misurata al braccio di una persona è di 100 mmHg; qual
è la pressione sanguinea nei piedi, se si trovano 130 cm sotto al braccio?
Applichiamo l’eq. Pa=Pb+ρgh con
Pb =100 mmHg=13300 [Pa]; ρ=1059 [kg][m]-3;
yb= quota del braccio=0 [m]; ya=-1.3 [m]; h=yb- ya=1.3
Pa= Pb+ρgh =13300+1059x9.8x1.3=26792 [Pa]= 201 mmHg.
Quindi le arterie dei piedi devono sopportare una pressione sanguinea di oltre 100 mmHg superiore
di quelle che si trovano a livello del cuore.
Vasi comunicanti. Consideriamo due contenitori separati, posti sullo stesso piano e riempiti
parzialmente dello stesso liquido. I livelli del liquido avranno in genere altezze differenti, h1 e h2.
Le pressioni sulla superficie dei due liquidi saranno uguali e pari alla pressione atmosferica, mentre
le pressioni sul fondo dei due contenitore saranno diverse e rispettivamente uguali a:
P1= Patm+ρgh1 e
P2= Patm+ρgh2
Immaginiamo ora di collegare le basi dei due contenitori con un tubo orizzontale. Alle due estremità
del tubo si formerà una differenza di pressione, P2-P1, che compirà un lavoro spostando una quantità
di liquido da un contenitore all’altro. Questo processo si fermerà solo quando P1=P2. Questa
condizione implica che anche h1=h2. Quindi:
la superficie libera di un fluido in quiete in vasi comunicanti
si trova alla stessa altezza in tutti i vasi
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Manometro
L’equazione di Bernoulli ci permette di
capire il funzionamento del manometro
usato nella misurazione della pressione
arteriosa con manicotto gonfiabile al
braccio.
Nella
versione
originale
(modello di Riva-Rocci) il manometro
era costituito da un tubo di vetro
contenente mercurio. Il tubo era aperto ed
a contatto ad una estremità con la
pressione atmosferica, all’altra con la
pressione del manicotto posto sul braccio
del paziente. Con riferimento alla figura,
P è la pressione nel manicotto che si
vuole misurare. Applicando l’equazione
di Bernoulli alla pressione alla base del
tubo ad U otteniamo: a sinistra
PU=P+ρgy1; a destra PU=Patm+ρgy2. Si
ricava:
P= Patm+ρgh
Nota: attualmente si usano manometri in cui il fluido manometrico invece di salire in una canna esercita la pressione su
di una membrana deformabile. La deformazione della membrana viene convertita in un segnale elettrico, poi elaborato e
trasformato in una misura di pressione.
Flussimetro
La velocità di flusso di un liquido può essere misurata con un Tubo di Venturi schematizzato nel
disegno. Applicando l’equazione di Bernoulli ai punti 1 e 2 del tubo abbiamo che:
P1+½ρv12=P2+½ρv22. Per l’equazione di continuità A1v1=A2v2 cioè v2= v1 A1/A2.
Sostituendo abbiamo che: P1- P2 = ½ρv12 [(A1/A2)2-1] La misura della differenza P1- P2 ottenibile
dalla misura di y1-y2 ci permette di ricavare v1.
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Resistenze Idrauliche
Se applichiamo l’equazione La = ∆EP+∆EK+Q ad un fluido viscoso, non possiamo trascurare
l’energia dissipata Q dalle forze di attrito viscose.
Se il tubo è orizzontale, ∆EP=0. Se è a sezione costante, ∆EK=0 (per l’eq. di continuità, va= vb). In
tal caso La=Q cioè
(Pa-Pb)A∆x=Q.
Quindi le forze viscose provocano una caduta di pressione ∆P= Pa-Pb ai capi del tubo. Abbiamo
visto che le forze di attrito viscoso aumentano proporzionalmente alla velocità del fluido, e quindi
alla portata di liquido I nel tubo. Quindi avremo che ∆P è direttamente proporzionale alla portata
del fluido nel tubo:
∆P=R I
Il coefficiente di proporzionalità R (=∆P/I) è detto resistenza idraulica.
Esempio. Calcoliamo la resistenza totale del sistema vascolare.
In un adulto normale, I=0.83x10-4 m3/s;
∆P = caduta di pressione dall’inizio dell’aorta alla fine dei capillari=90 mmHg = 1.2 x 104 [Pa].
Quindi
RTOT = ∆P/I
=1.2 x 104/0.83x10-4
= 1.44x108 [N][s][m] -5.
La resistenza idraulica:
dipende dalla forma della sezione del tubo;
aumenta con la lunghezza L del tubo;
aumenta con la viscosità η del liquido;
diminuisce con l’area A della sezione del tubo.
Per un condotto di sezione circolare di raggio r, come può essere in prima approssimazione un vaso
sanguineo, si ha:
8 L
R =η
π r4
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Resistenza Idraulica Complessiva di due Condotti in Serie.
Se un condotto è composto da due sezioni in serie di resistenza rispettivamente R1 ed R2, la
resistenza complessiva del condotto, R, è data da:
R = R1 + R2
P1
P2
P3
R1
I
R2
Dimostrazione
R =(P1-P3)/I
R =(P1-P2+ P2-P3)/I
R =(P1-P2)/I +(P2-P3)/I
R =R1+R2
Resistenza Idraulica Complessiva di due Condotti in Parallelo.
Se un condotto è composto da due sezioni in parallelo di resistenza rispettivamente R1 ed R2, la
resistenza complessiva del condotto, R, è data dalla formula:
1/R=1/ R1 + 1/R2
Che possiamo anche scrivere come:
R=
R1 R2
R1 + R2
R1
I1
I
R2
I2
Dimostrazione
I=∆P/R
[eq.1]
ma I= I1+ I2 con I1=∆P/R1 e I2=∆P/R2
quindi:
I=I1+I2
=∆P/R1+∆P/R2
=∆P(1/R1+1/R2)
[eq.2]
Uguagliando [eq.1] con [eq.2] si ottiene
∆P/R=∆P(1/R1+1/R2)
e quindi
1/R=1/ R1 + 1/R2
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Esempio. Schema del circuito idraulico del sistema cardiovascolare. E' composto da numerosi
distretti in parallelo (sinistra). La resistenza complessiva di ciascun distretto è composta dalla serie
delle resistenze di condotti (arterie, arteriole, capillari, venule e vene) a loro volta disposti in
parallelo (destra). In condizioni normali, il moto del sangue è laminare in tutto il circuito.
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