L' ACCELERAZIONE DI GRAVITA’
Anita Calcatelli, Alessandro Germak,
I.N.RI.M. (IMGC-CNR)
1. Considerazioni introduttive
Un esempio particolare di accelerazione è rappresentato dall’accelerazione di gravità che, come è noto,
è connessa con l’esistenza di una forza d’attrazione che un corpo esercita su di un altro.
L' accelerazione subita da un corpo per effetto di un altro corpo posto ad una certa distanza dipende in
modo fondamentale dalla massa dei corpi in questione. Per questa ragione sul nostro pianeta si hanno
accelerazioni dovute alla gravità diverse da quelle che si hanno sulla luna o su qualsiasi altro corpo
celeste avente massa diversa.
Sulla superficie terrestre, l’accelerazione di gravità varia di poco, non è però una costante del pianeta, e
non è neppure identica all’interno di una stessa area geografica; infatti, si ha una influenza
determinante della distribuzione della massa, ossia della densità del pianeta Terra che può variare da
luogo a luogo. Nel sottosuolo infatti ci possono essere zone più o meno dense a seconda della
costituzione delle rocce, della presenza di cavità, di falde acquifere, di giacimenti minerari o di
idrocarburi.
Dunque tra due masse M1 ed M2 si esercita una forza di attrazione grazie alla quale, per esempio la
Terra e gli altri pianeti sono obbligati a restare nelle loro orbite intorno al Sole anziché fuggire nello
spazio. Questa forza gravitazionale (F=GxM1xM2/r2) diminuisce rapidamente al crescere della distanza
r tra centri di gravità dei due corpi ed è percepita se almeno una delle masse è molto grande e la
distanza è relativamente piccola essendo la costante di gravitazione G molto piccola (G=6,67x10-11
m3s-2 kg-1).
Ogni corpo, quindi anche il nostro pianeta, crea intorno a sé un campo gravitazionale direttamente
proporzionale alla sua massa ed inversamente proporzionale al quadrato della distanza di un punto
dello spazio dal centro di gravità del corpo in questione; questo campo si esprime come H = -GxM/r2
ed ha le dimensioni di un'accelerazione. Il segno è assunto convenzionalmente negativo indicando con
questo che H è diretta verso il centro della Terra.
Figura 1. Dalla legge di Newton all’accelerazione di gravità g
F
M !m
F =G 2
r
r"R
M
m
F = m !G
F
Unità di misura di g
r
M
raggio Terra
massa Terra
massa corpo
M
F = m!g
R2
m
F
g=G
M
R2
m
F R
M
m/s2
1
Se si attribuiscono alle varie grandezze i valori medi (raggio della Terra r = 6,37x106 m, massa
terrestre M = 5,97 x 1024 kg) si calcola per il campo gravitazionale un valore di 9,81 m/s2 che
indicheremo H0.
Per un oggetto posto sulla Terra, H che prende il nome di accelerazione di gravità terrestre ed è
indicato con la lettera g, esprime l'intensità del campo di attrazione gravitazionale sulla superficie
terrestre, cioè la forza che attrae gli oggetti di massa unitaria verso la superficie terrestre, ossia verso il
basso .
_
La "legge” di gravità F = M " a è una descrizione matematica del modo in cui si attraggono i corpi,
basata su molti esperimenti scientifici ed osservazioni.
E’ la formula più famosa di Newton che dice che la forza (F) necessaria per spostare un oggetto di data
massa (M)!
soggetta da un’accelerazione (a), è uguale al prodotto della massa per l’accelerazione.
La forza di gravità dipende dunque dalla massa degli oggetti in questione ma, poiché la terra è molto
grande, la forza d’attrazione tra la terra e qualsiasi altro oggetto è ben più grande delle altre forze che
esistono intorno a noi.
Per esempio, esiste un’attrazione gravitazionale fra due mele, ma la forza fra ogni mela e la terra è
talmente più elevata che la forza fra le due mele non è rilevante.
Noi siamo immersi nel campo di gravitazione terrestre, tuttavia possiamo dire che l’attrazione
gravitazionale non è indispensabile per fare funzionare il nostro corpo.
Infatti, sappiamo dai voli spaziali, che gli esseri umani possono vivere in assenza di gravità per molti
mesi; inoltre, non sembra esserci un limite al tempo di permanenza in vita senza gravità.
Ma, sappiamo anche che la mancanza di gravità causa alcuni cambiamenti nel corpo umano. Molti
astronauti avvertono la cinetosi (o malattia da movimento), almeno per un istante.
Tutti gli astronauti perdono parte della loro massa ossea e presentano carenze di calcio ed in essi si
osserva un deterioramento graduale dei muscoli perché non vengono utilizzati per contrastare le forze
di gravità.
Nello spazio, o sugli altri pianeti, la disponibilità d’aria, la protezione dalle radiazioni solari e le
temperature estreme sono problemi molto più critici rispetto alla riduzione (o all’aumento) della
gravità.
Comunque, gli effetti sugli organismi viventi o sulla loro riproduzione dovuti alla lunga permanenza in
assenza di gravità, o in situazioni di gravità ridotta, non sono completamente noti.
È possibile che il vivere in ambienti a gravità ridotta possa causare deformità o addirittura la morte
dopo lunghi periodi di esposizione o causare conseguenze genetiche per le generazioni successive.
La massa di un corpo è definita come quantità fisica dal numero di elettroni, di protoni, di molecole,
ecc. del corpo in oggetto.
Il peso è la forza dell'attrazione della massa del corpo da parte di un'altra massa (generalmente la terra).
Un lingotto d’oro ha quindi la stessa massa ovunque, ma il peso che ha sulla terra è differente rispetto a
quello che avrebbe sulla luna o su Marte.
La gravità mantiene la terra nella sua orbita intorno al sole e mantiene in loco l'atmosfera, gli oceani e
fa sì che gli abitanti della terra non vadano alla deriva nello spazio.
2
La gravità attrae la pioggia verso la terra, verso i fiumi e verso il mare. Essa guida lo sviluppo delle
piante ed ha influenza sul modo in cui si sviluppano e funzionano le nostre ossa ed i nostri muscoli;
gestisce il liquido nel nostro orecchio interno, dandoci il senso dell'orientamento e la capacità
d’equilibrio.
Figura 2.
2. Unità in cui esprime l’accelerazione di gravità
Come descritto precedentemente, l'accelerazione è definita come la rapidità di cambiamento della
velocità d'un corpo che è data dalla distanza percorsa da un oggetto in movimento diviso l’intervallo di
tempo impiegato per percorrerla. Quindi, possiamo misurare la velocità di un oggetto osservando il
tempo necessario per percorrere una distanza nota.
Se la velocità dell'oggetto cambia mentre viaggia, la misura del suo cambiamento nel tempo si chiama
accelerazione.
Accelerazione positiva significa che l'oggetto sta movendosi più velocemente nel tempo, mentre
accelerazione negativa significa che l'oggetto sta rallentando.
L'accelerazione di un oggetto può essere misurata determinando la sua velocità in due istanti differenti
e dividendo la differenza di velocità misurata tra le due osservazioni per l’intervallo di tempo in cui le
due osservazioni sono state eseguite.
Di conseguenza, le unità in cui si esprime l’accelerazione (quindi anche quella dovuta alla gravità) sono
la velocità (quindi distanza e tempo) divisa per il tempo; ovvero una distanza diviso il quadrato di un
tempo (m·s-2).
Un’unità molto diffusa è il Gal (ovviamente da Galileo) che è definito come centimetro al secondo
quadrato.
Per indicare piccole variazioni di accelerazione di gravità si usa frequentemente il milligal (mGal,
millesimo di Gal) anche se si consiglia di usare, più propriamente, i sottomultipli del metro, come ad
esempio micrometri o nanometri al secondo quadrato.
3
3. Come si misura l’accelerazione di gravità locale
Le determinazioni dell’accelerazione di gravità locale si basano su vari principi:
•
Caduta libera dei gravi. Di un oggetto lasciato cadere sulla terra si determina direttamente il suo
incremento di velocità nel tempo, appunto l'accelerazione che subisce da misure di distanza e di
intervalli di tempo durante la caduta del corpo
•
Pendolo. In questo tipo di misura, l'accelerazione di gravità è valutata misurando il periodo di
oscillazione di un pendolo
•
Sistema massa-molla. Essenzialmente si misurano variazioni di forza: si sospende una massa su una
molla e si osserva (e si misura) quanto la molla si deforma sotto l’effetto della forza di gravità.
Questo tipo di strumento non fornisce un valore assoluto dell’accelerazione di gravità, ma
essenzialmente esegue una misura relativa tra un punto ed un altro nel campo gravitazionale
terrestre.
I primi due metodi che danno il valore assoluto dell’accelerazione di gravità in uno specifico luogo,
fanno entrambi riferimento a misure di due grandezze fondamentali del Sistema Internazionale di unità
di misura: lunghezza e intervallo di tempo, che sono misurabili in modo diretto con riferimento ai
campioni primari.
Il terzo metodo è utile per misure relative e cioè per evidenziare differenze di g da luogo a luogo.
3.1
Caduta libera dei gravi
Storicamente questo metodo è stato attribuito a Galileo Galilei.
Figura 3.
4
L’importanza dell’esperimento condotto da Galileo, lasciando cadere oggetti dalla torre di Pisa,
consiste nel fatto che esso ha permesso di verificare che l'accelerazione di gravità che un oggetto
subisce è indipendente dalla sua massa.
Con questo esperimento si dice anche che Galileo abbia valutato il valore dell'accelerazione di gravità.
Mentre è sicuro che Galileo abbia fatto queste osservazioni, non è altrettanto sicuro che esse siano
servite per la misura dell’accelerazione di gravità; per questo scopo egli ha piuttosto usato le
misurazioni basate sul moto dei pendoli.
E’ comunemente possibile rivelare variazioni di g inferiori ad 1 parte su 40 milioni, ma, oggi, c’è la
necessità di misurare una variazione di g inferiori a 1 nms-2 (1·10-10 relativo); è evidente che questo tipo
di misure sono difficili da effettuare. È, tuttavia, possibile progettare uno strumento capace di misurare
g con un'accuratezza di misura di quasi 1 parte su 1 miliardo (1·10-9 relativo).
L’IMGC ha costruito il primo strumento di questo tipo trasportabile (gravimetro assoluto trasportabile).
Il gravimetro trasportabile IMGC permette di misurare in modo assoluto l’accelerazione di gravità, o,
meglio, essendo l’accelerazione un vettore, permette di misurare il modulo della componente verticale
dell’accelerazione di gravità in un dato punto (sito).
Essendo l’accelerazione di gravità inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra due corpi,
con la sensibilità data dagli attuali gravimetri (dell’ordine di 1 !Gal) è possibile osservare variazioni di
livello della crosta terrestre di ±3 mm controllando nel tempo le variazioni di accelerazione di gravità.
3.1.a Il gravimetro assoluto realizzato presso l’Istituto di Metrologia G. Colonnetti
In Italia un gravimetro assoluto è stato realizzato presso l’Istituto di Metrologia G. Colonnetti del
Consiglio Nazionale delle Ricerche ed è basato sul principio del moto libero simmetrico; in esso le
misure di spostamento di un grave di forma particolare (triedro avente per superficie degli specchi
speciali) vengono eseguite in varie posizioni lungo la traiettoria mediante interferometria laser ed il
tempo impiegato per passare attraverso le varie stazioni viene misurato con un orologio atomico.
Con questo sistema, che è trasportabile, si raggiungono incertezze di 0,00000004 m/s2 su un valore di
g di 9,80534317 m/s2.
3.1.b Metodo di misura
Viene utilizzato per la misura il metodo della caduta libera di un grave sottoposto alla sola forza di
gravità. Più precisamente viene esaminato il moto di un corpo lungo una traiettoria simmetrica rispetto
alla sommità della stessa.
Questa simmetria del movimento offre alla tecnica di misura importanti vantaggi rispetto alla caduta
semplice di un corpo: fra i principali ricordiamo una minore influenza dell'attrito dell'aria ed una
migliore precisione intrinseca del metodo.
Un corpo viene lanciato in senso verticale e durante il suo volo localizza un numero molto grande di
stazioni equidistanti tra loro.
Il metodo di misura, detto a stazioni multiple, consiste nel misurare gli intervalli di tempo che impiega
il corpo a percorrere le distanze tra due stazioni successive.
Per ogni lancio questi dati vengono memorizzati e quindi un microprocessore provvede alla
elaborazione ed al calcolo del valore di g che meglio adatta le misure effettuate alla legge del moto.
5
3.1.c Descrizione tecnica
Le parti fondamentali dello strumento sono un nuovo interferometro tipo Mach-Zehnder ed un
sismometro a lungo periodo (ca. 25 s).
Sulla massa inerziale del sismometro è posto un riflettore a forma di spigolo di cubo, che costituisce lo
specchio di riferimento dell'interferometro.
La radiazione di un laser all'elio-neo stabilizzato è utilizzata come unità standard di lunghezza.
Il secondo specchio dell'interferometro è costituito da un altro spigolo di cubo analogo al precedente.
Entrambi gli spigoli di cubo sono situati sulla stessa linea verticale. Il secondo riflettore viene lanciato
verticalmente da un dispositivo meccanico a catapulta, che gli fa percorrere una traiettoria dell'ordine di
0,2 m in un cilindro mantenuto sotto vuoto (all'incirca a 0,1 Pa).
Durante il volo dello spigolo di cubo (o triedro) in uscita all'interferometro sfila una serie di frange di
interferenza che vengono rivelate da un fotomoltiplicatore e convertite in un segnale elettrico adatto a
pilotare i circuiti elettronici di misura.
Il sistema non comprende una unità di lunghezza materiale. Pertanto la misura ha inizio ad un istante
predeterminato, ma arbitrario, lungo la traiettoria in salita.
L'equidistanza tra le stazioni è ottenuta da conteggi successivi di un numero intero costante di frange di
interferenza (nel nostro caso 1024), cioè ogni stazione dista dalla precedente e dalla successiva di una
distanza d = 1024 !/2 essendo ! la lunghezza d'onda della radiazione del laser.
Il tempo impiegato dal grave a percorrere queste distanze è misurata con un contatore che ha una
risoluzione dell'ordine di 100 ps. Un orologio atomico al rubidio fornisce a questo contatore la
sufficiente stabilità come campione di tempo.
Come detto prima, l'insieme di queste coppie di dati, distanze d (sempre costanti) e tempi impiegati a
percorrerle, s, sono prima memorizzati e poi elaborati risolvendo l’equazione del moto con una
equazione di tipo polinomiale (in prima approssimazione di secondo grado) con il metodo dei minimi
quadrati. Per ogni lancio si ottiene il valore di g come uno dei coefficienti dell’equazione interpolatrice.
Questo valore è riferito ad un punto localizzato al di sotto della sommità della traiettoria di una distanza
pari a circa 1/6 della lunghezza utile della traiettoria stessa.
z
z
m
z(t) = z0 + v0t !
1 2
gt
2
t
6
Figura 4. Schema del gravimetro assoluto dell’IMGC
7
Figura 5. vista d’insieme
Il gravimetro assoluto dell'IMGC, che viene costantemente migliorato sia per quanto riguarda la
sensibilità sia per quanto riguarda la sua accuratezza, è stato utilizzato per la determinazione
dell'accelerazione di gravità in decine di stazioni in Italia ed in Europa, in 11 stazioni negli Stati Uniti,
in 11 stazioni in Cina ed infine per misure assolute di g nella base italiana in Antartide, apportando
così un notevole contributo ad una migliore conoscenza del pianeta Terra.
8
3.2 Misure con il pendolo
Un altro metodo con cui possiamo misurare l'accelerazione di gravità è l’osservazione dell'oscillazione
di un pendolo, come quelli montati sugli orologi di prima generazione (chiamati appunto orologi a
pendolo).
In un pendolo semplice, costituito da una massa appesa ad un’asta, se si sposta la massa dalla verticale,
il pendolo comincia ad oscillare intorno alla verticale in modo armonico.
Il periodo di oscillazione è il tempo necessario per eseguire un ciclo completo nel suo movimento. Esso
può essere determinato misurando il tempo richiesto dal pendolo per rioccupare una data posizione.
Nell'esempio indicato a sinistra, il periodo di oscillazione del pendolo è di circa due secondi.
Figura 6.
l
l
l
T = 2!
g
m
m
Il pendolo oscilla intorno alla verticale perché, se la massa del pendolo viene spostata, la forza di
gravità “attrae” verso il basso la massa che, essendo vincolata al filo, comincia a scendere descrivendo
un arco di circonferenza.
Quando il pendolo raggiunge la verticale non può arrestarsi istantaneamente ma continua, per inerzia
oltre la verticale ed, essendo sempre vincolato al filo, verso l'alto in senso opposto finché la forza di
gravità non bilancia quella d’inerzia: a quel punto ricomincerà di nuovo a cadere.
Se non esistesse attrito sul vincolo del pendolo e se fosse nulla la resistenza al moto dovuta all’aria,
questo continuerebbe per sempre. Poiché è la forza di gravità che produce l'oscillazione, ci si aspetta
che il periodo di oscillazione cambi al variare dell’accelerazione di gravità.
In particolare, se la forza di gravità è piccola, la forza che “tira” il pendolo verso il basso è minore;
quindi il pendolo si muove più lentamente verso la verticale ed il periodo di oscillazione osservato
diventa più lungo.
Misurando il periodo di oscillazione di un pendolo possiamo quindi valutare la forza o l'accelerazione
di gravità.
Si può dimostrare che il periodo di oscillazione del pendolo, T, è inversamente proporzionale alla
radice quadrata dell'accelerazione di gravità, g.
T = 2!
K
g
La costante di proporzionalità, K, dipende dalle caratteristiche fisiche del pendolo, essenzialmente dalla
sua lunghezza.
9
Come nell'esperimento della caduta libera dei gravi descritto precedentemente, la misura
dell’accelerazione di gravità misurata tramite il periodo di oscillazione del pendolo sembra
relativamente semplice.
Purtroppo, misurare l’accelerazione con sensibilità di 1 parte su 50 milioni, richiede una valutazione
molto accurata dello strumento, soprattutto della costante K ; infatti il limite di questi strumenti è
rappresentato dall’impossibilità di determinare, con sufficiente approssimazione, questa costante.
Tuttavia potremmo misurare il periodo d’oscillazione del pendolo in due posizioni differenti. Anche se
non possiamo valutare K abbastanza correttamente per permettere la determinazione assoluta
dell'accelerazione di gravità in entrambe queste posizioni, poiché abbiamo usato lo stesso pendolo
possiamo valutare abbastanza correttamente la variazione di accelerazione di gravità nelle due
posizioni senza conoscere K.
Le piccole variazioni nel periodo del pendolo possono essere valutate lasciando che il pendolo oscilli a
lungo, contando quindi numero di oscillazioni e dividendo il tempo di oscillazione per il numero di
oscillazioni. Più a lungo si lascia oscillare il pendolo più corretta è la valutazione del suo periodo.
Nel passato le misure con il pendolo sono state utilizzate estesamente per tracciare le mappe di
variazione dell'accelerazione di gravità intorno al globo.
Più recentemente questo tipo di misura è in gran parte stata soppiantata dalle misure con gravimetri che
si basano sul principio “massa-molla”.
4. Misure con sistemi massa-molla
Se si appende una massa ad una molla, la forza di gravità fa allungare la molla di una quantità
proporzionale alla forza gravitazionale.
Può essere dimostrato che la proporzionalità fra l’allungamento della molla e l’accelerazione di gravità
è uguale al valore di massa appesa sulla molla divisa per una costante, K, che descrive la rigidezza della
molla e cioè
x m
=
g K
ÄF = mÄg = kÄx
Äg =
k !x
m
m
Figura 7.
Più è grande K, più rigida è la molla e minore é il suo allungamento per un dato valore di accelerazione
di gravità. Come per le misure con il pendolo, non possiamo determinare K abbastanza correttamente
per valutare il valore assoluto dell’accelerazione di gravità con un’incertezza di 1 parte in 40 milioni.
10
Possiamo, tuttavia, valutare le variazioni nell’accelerazione di gravità da un posto ad un altro con la
suddetta incertezza.
Per poter fare questo, tuttavia, si usa un sistema sofisticato massa-molla in cui si impiega un tipo
speciale di molla conosciuto come una molla di zero-lunghezza e si posiziona la massa con un fascio
luminoso.
Strumenti di questo tipo sono disponibili commercialmente e, nelle realizzazioni più moderne,
consentono di misurare variazioni di accelerazione di gravità sulla terra con risoluzione di 1 parte su
100 milioni.
Tale sensibilità può essere ottenuta soltanto in condizioni ottimali e quando le procedure di misurazione
sono seguite con attenzione.
5. Variazione dell’accelerazione di gravità locale
Che l’accelerazione di gravità vari da luogo a luogo è noto da tempo, ma oggi è necessario conoscere
bene le variazioni anche per la loro influenza diretta sul peso dei corpi. Infatti un corpo conserva la sua
massa da luogo a luogo ma varie il suo peso: una certa quantità in kilogrammi di una certa merce ha un
peso diverso a Trieste e a Messina.
Le attuali bilance elettroniche commerciali sono sensibili al peso dei corpi e quindi alle variazioni di
gravità. Le loro scale vengono costruite in genere in luoghi diversi da quelli di impiego e perciò, per
avere la stessa indicazione, sarà necessario variare la quantità della merce da luogo a luogo.
Inoltre si hanno variazioni anche nel tempo.
5.1 Variazioni nello spazio
L’intensità del campo gravitazionale può essere calcolata in ogni punto nello spazio utilizzando la
relazione vista più sopra che dà H (H = -GxM/r2) con M massa della Terra e cioè l’intensità del campo
gravitazionale terrestre è inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
All’interno della Terra, considerata in prima approssimazione sferica avente una massa in essa
racchiusa pari a Ms, si potrà scrivere che l’intensità del campo sulla superficie sferica vale Hs = -G Ms/r2
che potremo esprimere attraverso la massa volumica terrestre (Mv =M/V, con M =massa media della
Terra e V suo volume) come
'4
$
H s = (% )M V G " ! r
&3
#
sempre in prima approssimazione il termine in parentesi si può considerare costante e pertanto
l’intensità del campo è proporzionale ad r e quindi, muovendoci dal centro della Terra, cresce fino alla
superficie del nostro pianeta e quindi decresce con legge quadratica a mano a mano che ci si allontana
verso lo spazio.
Se si considera uno spostamento di un metro dalla superficie della Terra si ha una variazione di g di
circa 3x 10-6 m/s2.
Gli estremi dei valori di g in Italia sono 9,806 m/s2 e 9,797 m/s2.
Una bilancia elettronica in grado di apprezzare un grammo su un kilogrammo può ancora essere
utilizzata su tutto il territorio nazionale senza apportare correzioni, ma, se invece apprezza il decimo di
grammo l’influenza della variazione dell’accelerazione di gravità non è trascurabile.
11
Per questa ed altre ragioni sono state, e si eseguono, misurazioni di g in varie stazioni in modo da poter
stabilire gli estremi di utilizzabilità di questi strumenti a seconda della loro classe di precisione ed
arrivare quindi alla suddivisione del territorio nazionale in zone d’uso.
Inoltre la terra non è una sfera ma un geoide e cioè può, in prima approssimazione, essere assimilata ad
un ellissoide di rotazione, per cui la distanza dal baricentro non è costante ma aumenta dai poli
all’equatore e conseguentemente diminuisce il valore di g.
Applicando la formula si può calcolare che il valore di g al polo è 9,832 m/s2 che è in accordo con i
risultati sperimentali mentre all’equatore si calcola un valore di 9, 814 m/s2 che è considerevolmente
maggiore del risultato delle misure. Infatti bisogna tenere conto del fatto che sulla superficie della terra
l’attrazione gravitazionale è la risultante di due componenti: la prima è data dalla gravitazione
newtoniana (appunto calcolata con la predetta formula) e la seconda è l’accelerazione centrifuga dovuta
alla rotazione della terra che imprime ad ogni corpo un’accelerazione centrifuga contraria a quella
gravitazionale: tale variazione è nulla ai poli, per i quali passa l’asse di rotazione, e massima
all’equatore dove vale 0,034 m/s2.
Pertanto all’equatore g sarà eguale a (9,814-0,034) m/s2 .
Figura 9.
Sia la distanza dal baricentro, dovuta alla forma dell’ellissoide, sia l’entità dell’accelerazione centrifuga
sono legate alla latitudine del punto della superficie terrestre che si considera.
Note la latitudine e l’altitudine, ci sono formule che permettono di calcolare il valore di g nel luogo
considerato sotto l’ipotesi che la densità della terra sia costante in ogni punto.
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Ad esempio:
-equazione classica
M
g = G 2 # " 2 r cos 2 !
r
-equazione pratica semplificata:
g = 9,7803185 (1 + 0,005278895 sen 2! " 0,000023462 sen 4! )
-equazione pratica:
g = 9,7803185 (1 + 0,0053024 sen 2" # 0,0000058 sen 4" ) # 0.000003085 h
dove _ è la latitudine e h l’altitudine
!
Nel sito IMGC, le differenze relative tra la misura sperimentale e quella calcolata dalle precedenti
equazioni sono rispettivamente di -45·10-5, +8·10-5 e +2·10-5 per la prima, seconda e terza equazione.
Le differenze sono imputabili alla densità della terra che varia dal centro alla superficie, e, sulla
superficie, alle masse vicine che esercitano maggior influenza.
Per esempio la presenza di minerali pesanti nel sottosuolo locale determina un aumento di g e,
viceversa la presenza di liquidi ne fa diminuire il valore.
I valori calcolati di g possono differire sensibilmente da quelli determinati sperimentalmente negli
stessi punti dando luogo alle cosiddette "anomalie" della gravità che sono importantissime per lo studio
della densità locale della Terra.
Se il valore misurato di g è diverso da quello calcolato teoricamente in un determinato punto, nell'
ipotesi della Terra omogenea, se ne deduce che la densità della Terra in quel punto è diversa dalla
media, il che può far presupporre o la presenza di giacimenti minerari o petroliferi. Questo dà un' idea
della grande importanza delle misure gravimetriche in geodesia, in geofisica per lo studio delle
caratteristiche della Terra.
Misure accurate di g consentono di stabilire dei punti di riferimento in varie parti del nostro pianeta;
misurazioni relative consentono di valutare le variazioni di g e le sue perturbazioni. Il confronto del
dato sperimentale con quello calcolato consente di tracciare delle mappe di variazione da punto a
punto, oppure delle linee isogravimetriche.
Esistono mappe della nostra penisola così come esistono mappe di gran parte degli altri Paesi e
addirittura del nostro Pianeta, che mettono in risalto le variazioni di g rispetto al valore calcolato,
ovvero le cosiddette anomalie gravimetriche di Bouguer.
La conoscenza delle linee isoanomale è fondamentale per il calcolo del valore nei vari punti del
territorio nazionale utilizzando formule accettate a livello internazionale.
5.2 Variazioni nel tempo
Un punto posto sulla Terra può essere soggetto a più campi gravitazionali: quello della Terra stessa e
quello di altri corpi celesti (per esempio il Sole, la Luna, ecc) e quindi si hanno variazioni nel tempo
dovute alla posizione reciproca del punto sulla Terra rispetto ad altri corpi.
Sia con i calcoli sia con le misure sperimentali si è trovato che le variazioni relative massime di g
dovute alla Luna (avente una massa quasi un centesimo di quella della Terra) sono pari a 1,12
decimilionesimi mentre quelle dovute al Sole (avente una massa più di 300 volte maggiore di quella
della Terra, ma una distanza molto più grande di quella della Luna ) sono pari a 5,1 centomilionesimi,
mentre Venere, Giove, Saturno ecc danno effetti molto minori.
13
Pertanto soltanto la Luna ed il Sole danno effetti misurabili sperimentalmente con i mezzi oggi
disponibili.
La variazione della gravità sulla Terra per effetto di altri corpi celesti prende il nome di marea
gravimetrica, in analogia con le maree marittime, che hanno la stessa origine.
Considerando l' effetto combinato del Sole e della Luna e le loro posizioni reciproche rispetto alla
Terra si possono costruire delle curve delle variazioni di g nel tempo ossia la rappresentazione
sperimentale delle maree gravimetriche (fig. 10). Questo fenomeno non è che un caso particolare della
perturbazione del valore locale di g provocata da masse estranee; per esempio se si porta ad un metro
dal punto di misura una massa di 1000 kg, inizialmente lontana, essa provoca una variazione relativa
della gravità di 6,8 miliardesimi di g nel punto di misura.
Un altro effetto correlato a quello di marea è la deformazione che la crosta terrestre subisce sotto
l’effetto dell’attrazione luni-solare.
Modelli matematici molto complessi permettono di calcolare, per ogni punto della crosta terrestre (con
risoluzione di 0,5° di latitudine e longitudine), questa deformazione. Essa si tratta poi come una
variazione di altitudine (dell’ordine di qualche centimetro) del punto considerato sommandolo
all’effetto di marea gravimetrica.
Ma se la terra offre parecchia resistenza alla deformazione, altrettanto non si può dire per l’acqua. Gli
effetti di marea degli oceani sono difatti macroscopici e, sotto costa, sono visibili ad occhio umano
(superano anche la decina di metri). Questo spostamento d’acqua deve essere considerato quando si
effettuano misure di g in prossimità delle coste, soprattutto ad elevate altitudini, in quanto la
componente verticale della forza di attrazione della massa d’acqua non può essere trascurata.
E’ possibile calcolare le correzioni da apportare per questo effetto (ocean loading) tramite appositi
software sviluppati su modelli geofisici relativamente complessi.
Figura 10
14
5.3 Variazioni con la pressione atmosferica
Anche la pressione dell’atmosfera influenza le misure di g, anche se in un modo un pò più complesso.
Infatti si può immaginare che un aumento di tale pressione comporti una compressione della superficie
terrestre e quindi la Terra, a causa della sua elasticità, tenderà a schiacciarsi, facendo aumentare il
valore di g (diminuzione del raggio terrestre).
Contemporaneamente però un aumento della pressione atmosferica significa un aumento della massa
della colonna d' aria che sta al di sopra del luogo in cui si eseguono le misure, e pertanto il punto
considerato ne verrà maggiormente attratto, ciò tende a compensare l' effetto precedente.
Globalmente l' influenza della pressione atmosferica si può valutare dell' ordine di 3·10-6 m/s2 per ogni
1000 Pa di variazione della pressione.
15
