Si riportano alcuni suggerimenti ed una bozza di svolgimento degli esercizi proposti a
esercitazione (vedi testo ESERCITAZIONE1).
[ESERCIZIO SVOLTO 1: i vettori] Un uomo si sposta di 4 2 km in direzione Est 45°
Nord e successivamente di 6 3 km in direzione Est 30° Nord. Disegnare il vettore
spostamento risultante e calcolare il modulo del vettore spostamento risultante.
|a| = 4
|b| = 6
2
3
Scomponiamo (proiettiamo) il vettore a lungo l’asse X e lungo l’asse Y.
aX = |a| cos 45° = 4 2 / 2 = 4
aY = |a| sen 45° = 4 2 / 2 = 4
Scomponiamo il vettore b lungo l’asse X e lungo l’asse Y.
bX = |b| cos 30° = 6 3 / (1/2 3 ) = 9
bY = |b| sen 30° = 6 3 / (1/2) = 3 3
Il vettore s risultante dei vettori a + b ha componenti
sX = aX + bX = 13
sY= aY + bY = 4 + 3 3
Il modulo del vettore s si ricava con il teorema di Pitagora:
|s| =
( sX ) 2 + ( sY ) 2 = (13) 2 + (4 + 3 3 ) 2 = 15.9 (km)
** durante l’ESERCITAZIONE abbiamo ripassato quali sono le relazioni fondamentali dei
triangoli rettangoli con gli angoli di 45°, 30° e 6 0° utili per non usare il seno e coseno nella
risoluzione degli esercizi di scomposizione dei vettori.
TRIANGOLO RETTANGOLO 45°:
se l’ipotenusa vale L, i cateti valgono L/ 2 oppure in alternativa se i cateti valgono L
l’ipotenusa vale L 2 . (Si ricorda per facilitare i calcoli che 2 è circa uguale a 1.4).
TRIANGOLI RETTANGOLO 30°,60°
se l’ipotenusa vale L, il cateto vicino all’angolo di 60° vale L/2 (la metà), quello vicino
all’angolo di 30° vale L/2 3 . (Si ricorda per facilitare i calcoli che 3 è circa uguale a 1.7)
[ESERCIZIO SVOLTO 2: moto uniformemente accelerato] Il tempo di reazione di un
comune conducente di automobile è circa di 0,7 secondi (intervallo di tempo tra la
percezione del segnale d’arresto e l’attivazione dei freni). Se un’auto ha una
decelerazione di 6,86 m/s2, calcolare la distanza percorsa prima dell’arresto, dopo la
percezione del segnale, quando la velocità iniziale è di 130km/h.
MOTO RETTILINEO UNIFORME: S = v t
t = 0.7 s
v = 130 km/h = 130 x 1000 m / 3600 s = 36.1 m/s
S = v t = 25.3 m
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Quando il moto è uniformemente accelerato (a positiva, si accelera) o uniformemente decelerato (a
negativa, si frena) devono essere usate le seguenti leggi orarie che descrivono come variano nel
tempo lo spazio percorso S e la velocità v.
S = S 0 + v0 t +
1 2
at
2
v = v0 + at
S0 = 25.3 m
v0 = 36.1 m/s
a = - 6.86 m/s2
t =? l’automobile si ferma quando la sua velocità finale v è uguale a 0
v = v0 + at
0 = v0 + at
t=
− v0
a
t = 5.3 s
Lo spazio si ricava dalla prima equazione scritta per il moto uniformemente accelerato
1
S = S 0 + v0 t + at 2 = 120.3m
2
[ESERCIZIO SVOLTO 3: conservazione energia meccanica, moto uniformemente
accelerato ] Un bambino lascia cadere una palla da un’altezza h. Se la forza di
gravità compie un lavoro meccanico L=20J, la massa della palla è m=100g e le forze
di attrito sono trascurabili, da quale altezza h è caduta la palla?
[a] 20.4 cm
[b] 20.4 m
[c] 5m
[d] 2m
[e]2000 J g
Quanto tempo impiega la palla ad arrivare al suolo? Con che velocità tocca il suolo?
Applichiamo la definizione di lavoro compiuto dalla forza peso e ricordiamo alcune definizioni
L
L = F// ⋅ s = mg ⋅ h → h =
= 20.4m
mg
1
Energia _ cinetica = mv 2
2
Energia _ potenziale = mgh
1
Energia _ meccanica = mv 2 + mgh
2
1 2 1 2
L = mv f − mvi
2
2
L = mghi − mgh f
(se la forza è conservativa)
Applichiamo il teorema di conservazione dell’energia meccanica al punto iniziale in cui si trova la
palla (velocità nulla perché viene lasciata cadere dal bambino energia cinetica iniziale nulla) e al
punto finale in cui si trova la palla (suolo, h=0 energia potenziale nulla )
1
Energia _ meccanica = mv 2 + mgh = COST
2
1 2
1 2
( mv + mgh) in = ( mv + mgh) fin
2
2
1 2
mgh = mv → v = 2 gh = 20m / s
2
moto _ unif _ acc :
s = vot +
1 2 1 2
2s
2h
gt = gt → t =
=
=2
2
2
g
g
t=2s
(il tempo è stato ricavato dalla legge del moto uniformante accelerato, considerando S=h, S0=0
(quasi sempre vero perché solitamente l’origine è messa al punto di partenza) , v0 nulli).
[ESERCIZIO SVOLTO 4: moto circolare uniforme ] Determinare la velocità angolare
del moto di rotazione della Terra intorno al proprio asse e la velocità tangenziale di
un punto dell’equatore, tenendo presente che il raggio della Terra è 6380 km.
S = vt
2π = wT
2π 2 ⋅ 3.14rad
6.28rad
rad
w=
=
=
= 7.310 −5
T
24h
24 ⋅ 3600s
s
(ricordo che 2π = 360° ovvero un giro completo)
S = vt
2πR = vT
2πR 6.28 ⋅ 6380000m
v=
=
= 464m / s
T
24 ⋅ 3600 s
(ricordo che lo spazio percorso è una circonferenza completa: lunghezza circonferenza 2x3.14xR)
In pratica a partire dalla nota legge S = v t, considerando il tempo come periodo T (tempo
necessario per fare un giro completo) si ricava la velocità angolare considerando lo spazio come un
angolo giro e la velocità tangenziale considerando lo spazio come la lunghezza di una
circonferenza.
[ESERCIZIO SVOLTO 5: moto circolare uniforme, forza centripeta ] Una centrifuga di
laboratorio, di diametro 15 cm, ruota compiendo 106 giri al minuto. Calcolare la
forza cui è sottoposto un eritrocita (sferico) di raggio 4 m e massa 1.5 10-13 kg in
una provetta collocata sul bordo della centrifuga.
v2
F = ma = m
R
(rappresenta la forza centripeta responsabile del moto circolare uniforme)
Il problema assegna una frequenza di 106 giri al minuto ovvero 1.77 giri al secondo (dividendo per
60 ). Ricordarsi che la frequenza è l’inverso del periodo T = 1/f
S = vt
2πR = vT
2πR 6.28 ⋅ 0.075m 6.28 ⋅ 0.075m
m
v=
=
=
= 0.83
T
1/ f
(1 / 1.77) s
s
F = 1.4 10-12 N
(nell’esercizio è stato trascurato il dato del raggio dell’eritrocita)
[ESERCIZIO SVOLTO 6: secondo principio dinamica, vettori ] Una cassa di massa
20 kg viene tirata da una forza di 40 N inclinata di 60° rispetto al pavimento
orizzontale su cui è appoggiata. Nell’ipotesi di attrito trascurabile calcolare
l’accelerazione della cassa e la forza verticale agente su di essa.
L’accelerazione della cassa è dovuta alla forza ad essa applicata secondo il secondo principio della
dinamica: F = ma a =F/m
Nel problema la forza responsabile del moto orizzontale è solamente la componente orizzontale
della forza totale ( la forza è inclinata di 60° rispetto l’orizzontale…)
FX = F cos 60° = 40N (1/2) = 20 N
a = F/m = 1m/s2
(non fatto a esercitazione ma da vedere) La forza verticale (verso l’alto) agente su di essa è la
componente verticale della forza in esame
FY= F sen 60° = 40 N (1/2 3 ) = 34.6 N
Inoltre c’è la forza peso della cassa = mg = 196.2 N (forza verticale verso il basso)
La forza risultante totale agente sulla cassa è ( 196.2 – 34.6 ) N = 161.6 N
[ESERCIZIO SVOLTO 7: energia, potenza ] Un locomotore di massa 3 103 kg passa
dalla velocità di 15 m/s alla velocità di 35 m/s in 30 s. Calcolare la potenza
sviluppata dal motore in assenza di resistenze passive.
Una persona di massa m=60 kg sale dal piano terra al sesto piano lungo una rampa
di scale alta 18 m. Calcolare la potenza media sviluppata nell’ipotesi che il tempo
impiegato sia uguale ad un minuto.
[50 kW, 176.4 W]
La potenza [ unità di misura Watt] si calcola a partire dal lavoro, energia compiuto fratto il tempo
necessario a compiere tale lavoro o spendere tale energia [W = J/s ]
W = L/t
Nel primo esercizio il lavoro compiuto è per passare da una velocità ad un’altra:
L = (½ m v 2)finale - (½ m v 2)iniziale = 1500000 J
W = 50 KW
Nel secondo esercizio il lavoro è compiuto contro la forza peso ( forza conservativa) per portare un
oggetto ad una quota prestabilita
L = (mgh)finale - ( mgh)iniziale = 10595 – 0 = 10595 J
W = 176.6 W
[ESERCIZIO SVOLTO 8: modulo di Young ] Determinare per un filo di alluminio (
modulo di Young: 7.0 1010 N/m2 ) di diametro d = 2mm e lunghezza l=1.2m,
l’allungamento per effetto di una sollecitazione a trazione con carico F = 120N. [0.65
mm]
Si ricorda che l’area di una sezione circolare è π R2 (R: raggio della sezione oppure metà del
diametro)
L’esercizio richiede di individuare l’allungamento ΔL.
Bisogna invertire la formula di partenza
ΔL =
F L0
A Y
[ESERCIZIO SVOLTO 9: leve ] Due bambini di peso rispettivamente P1=200N e
P2=350N sono in equilibrio sull’altalena. Sapendo che il primo bambino è seduto a
distanza 1 metro dal fulcro determinare a quale distanza è seduto il secondo
bambino. Determinare inoltre la reazione vincolare del fulcro dell’altalena.
Riporto di seguito un utile schema riassuntivo:
Nel nostro problema abbiamo
Fr = 350 N
Fm = 200 N
bm = 1 m
br = (Fm x bm) / Fr = 0.57 m
La reazione vincolare dell’altalena è data dalla somma delle forze in gioco (P1+P2) come in figura
[ESERCIZIO SVOLTO 10: leve ]
Un operaio pone una leva sotto un sasso di massa 300 kg. Il fulcro della leva si
trova a 0,2m dal baricentro del sasso. Determinare il guadagno della leva sapendo
che viene applicata ad una distanza di 2,5 m dal fulcro. Dire se la leva e’
vantaggiosa.
P = m g = 2943 N (forza resistente)
F bm = P br F = ( P x br )/ bm = 235 N
G = P/F >1 (la leva è vantaggiosa)
La reazione vincolare dell’altalena è data dalla somma delle forze in gioco (P + F)
[ESERCIZIO SVOLTO 11: metabolismo ] Durante un’ escursione in montagna una
persona di 80 kg e superficie corporea di 1,7 m2, risale un dislivello di 800 m in 3
ore. Determinare:
a. il lavoro compiuto e la potenza meccanica media sviluppata
b. la potenza metabolica (MR) durante la salita assumendo un indice metabolico
basale di 40W/m2 ed un efficienza muscolare del 25%
(a)
L = m g h = … = 627200 J = 150 kcal!
Ricordiamo che 1 kcal = 4186J
1kcal : 4186 J = x : 627200 J
1kcal 627200 J
X =
= 150kcal
4186 J
W = L/t = … = 58 W!
(b)
BMR = 68 W ( 40 W/m2 x 1.7 m2)!
MR(attività) = 232 W ( W/η) Si divide per l’efficienza muscolare ( per compiere quel lavoro ho
bisogno di più energia perché una parte metabolizzata viene “persa” ). Cioè se assumo 100 solo 25
viene utilizzata per il mio lavoro oppure in altre parole se ho bisogno di 25 devo consumare 100.
MR(totale) = 300 W !
[ESERCIZIO SVOLTO 12: forza di Archimede ] Per sostenere un corpo di volume
V=1dm3 immerso in acqua occorre esercitare una forza F=20N. Si calcoli la forza che
occorre esercitare per sostenerlo fuori dall’acqua.
[a] 20N
[b] 29.8 N
[c] 10.2 N
[d] 196 N
[e] 20 J
Nella situazione descritta dal problema abbiamo il peso dell’oggetto, la forza di Archimede e la
forza esterna applicata per sostenerlo in equilibrio, in formule:
Fest + Fa = P P = ?!
P = Fest + Fa = 20 N + d V g = … = 29.8 N
(infatti la forza di Archimede è pari a d: densità del liquido in cui l’oggetto è immerso, V volume
oggetto immerso e g)
Bisogna sapere che l’acqua ha densità 1 g/cm3 oppure 1000 kg/m3
Quando l’oggetto è fuori dall’acqua per mantenerlo in equilibrio bisogna esercitare una forza uguale
ma in verso opposto alla forza peso dell’oggetto cioè 29.8 N (la risposta corretta è la b)
[ESERCIZIO SVOLTO 13: pressione ] Un paziente ha pressione arteriosa media di
120 mmHg. Calcolare la pressione al livello dei piedi, assumendo una distanza
cuore-piedi di 1 m, nel caso in cui il paziente si trovi in posizione eretta e nel caso in
cui il paziente sia sdraiato (si assuma per il sangue la medesima densità dell’acqua).
Assumendo una distanza cuore-cervello di 35 cm, calcolare la pressione al livello
del cervello nel caso in cui il paziente sia in posizione eretta e sdraiata.
Si può applicare la legge di Stevino ( utile per trovare la pressione ad una determinata profondità)!
Δp = d g Δh
Δp(caviglie) = 1 103 kg/m3 * 9.8 m/s2 * 1m =9800 Pa = … mmHg = 74 mmHg!
Si ricordi che 1 atm = 760 mmHg = 105 Pa (101300 Pa per l’esattezza)!
760mmHg : 100000 Pa = xmmHg : 9800 Pa
760mmHg 9800 Pa
XmmHg =
= 74mmHg
100000 Pa
Nel caso il paziente sia sdraiato la pressione è uguale in tutti i punti.
[ESERCIZIO SVOLTO 14: teorema di continuità ] Un vaso sanguigno si dirama in
tanti vasi di raggio sei volte minore. Determinare il numero di tali vasi se la velocità
media del sangue in essi è un terzo di quella del vaso più grande.
[a] 18
[b] 108
[c] 12
[d] 54
[e] 34
La portata deve rimanere COSTANTE ( Q = v S = costante )
Q = costante
v1*S1 = v2 * S2 (rimane costante il prodotto tra la velocità del liquido e la sezione, area del
condotto … se uno raddoppia l’altro deve dimezzarsi, sono grandezze inversamente proporzionali)
S1 = π R2
S2 = N * [π (R/6)2] = N [π R2/36]
(il raggio diventa 6 volte più piccolo…)
N indica il numero dei vasi piccoli ( la nostra incognita)
Applichiamo la legge di continuità scritta all’inizio:
v1 * S1 = v2 *
S2
2
(v1)* π R = (v1)/3 * N [π R2/36]
semplificando la v1 e R essendo uguali a primo e secondo membro e isolando l’incognita N
N = … = 108
[ESERCIZIO SVOLTO 15: teorema di continuità, Bernoulli, stenosi ] A causa della
formazione di placche la sezione di un’arteria di raggio r1=0.4cm dove il sangue ha
velocità v1=30cm/s si restringe. Nel restringimento il raggio diminuisce del 50%. Si
calcoli la velocità v2 e la variazione di pressione p2-p1 in corrispondenza della
stenosi, considerando il vaso orizzontale e approssimando il sangue ad un fluido
ideale con la stessa densità dell’acqua.
R2 = 0.2 cm (il raggio diventa la metà di R1) eq. cont:
v(1) * π R(1)2 = v(2) * π R(2)2 v(2) = 120 cm/s = 1.2 m/s
TEOREMA di Bernoulli:
p2-p1= 1/2d ( v(1)2 – v(2)2 ) = -675 Pa
(ricordarsi di trasformare le velocità da cm/s a m/s)
[ESERCIZIO SVOLTO 16: sedimentazione ] In un fluido di viscosità η= 210-3 Pa s e
densità pari a quella dell’acqua vengono introdotte molecole sferiche di raggio r = 2
µm e densità ρ= 1.3 g/cm3. Si calcoli il tempo necessario affinché le molecole
sedimentino 3 mm. Relativamente all’esercizio precedente, si determini la frequenza
di una centrifuga di raggio 0.3 m per ridurre il tempo di sedimentazione di un fattore
108.
velocità di sedimentazione = 1.3 10-6 m/s = 1.3 10-3 mm/s
S = v t per sedimentare 3 mm occorrono circa 38 minuti. ( t = S/v)!
(centrifuga moto circolare uniforme): a = ω2 R = ( 2 π f )2 R
108 g = ( 2 π f )2 R f = 9101 Hz
Cioè per diminuire il tempo di sedimentazione bisogna aumentare la velocità di sedimentazione. Per
aumentare la velocità di sedimentazione bisogna aumentare l’accelerazione e sostituire
l’accelerazione di gravità con un’accelerazione maggiore g 108g.
Osservato questo si passa ad affrontare il problema da un punto di vista dinamico (moto circolare
uniforme). Dato il raggio R e l’accelerazione (108 g) quale è la frequenza necessaria per ottenere
tale moto?
