Teoria delle rappresentazioni e omologia - Marco Centin

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Appunti di
Teoria delle Rappresentazioni e Omologia
marcocentin.altervista.org
4 aprile 2011
Indice
1 Moduli e generalità
1.1 Anelli, algebre e moduli . . . .
1.2 Moduli liberi . . . . . . . . . .
1.3 Categorie e funtori . . . . . . .
1.4 Sequenze esatte corte . . . . . .
1.5 Il lemma del serpente . . . . .
1.6 I funtori HomA (M, ) e HomA (
1.7 Moduli proiettivi e iniettivi . .
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2
4
6
8
11
15
18
2 Complessi di catene di A-moduli
2.1 Il Teorema della sequenza esatta lunga . . . . . .
2.2 Omotopia e risoluzioni proiettive . . . . . . . . .
2.3 Definizione di Ext·A (B, M ) . . . . . . . . . . . .
2.4 La sequenza esatta lunga per Ext·A (B, ) e Ext·A (
2.5 Esempio: coomologia di un gruppo ciclico . . . .
2.6 Il prodotto tensoriale . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Il lemma di Eckmann-Shapiro . . . . . . . . . . .
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, M)
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25
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3 Alcune applicazioni dell’omologia
3.1 Gruppi liberi . . . . . . . . . . .
3.2 Grafi e grafi di Cayley . . . . . .
3.3 Alberi e grafi di Cayley . . . . .
3.4 Il complesso associato a un grafo
3.5 La sequenza di Mayer-Vietoris . .
3.6 La risoluzione barra . . . . . . .
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, M)
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4 Teoria delle rappresentazioni
4.1 Anelli con condizione di minimo . . . . . . .
4.2 Il radicale di un anello . . . . . . . . . . . .
4.3 Anelli semisemplici e moduli completamente
4.4 Struttura di un anello semisemplice . . . . .
4.5 Il Teorema di Wedderburn . . . . . . . . . .
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riducibili
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Moduli e generalità
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Moduli e generalità
1.1
Anelli, algebre e moduli
Sia fissato un anello commutativo con unità R.
(1.1) Definizione. Una R-algebra (associativa) è un R-modulo A con una
mappa† · : A × A → A e un omomorfismo di R-moduli η : R → A tale che
(a) (r1 a1 +r2 a2 )(s1 b1 +s2 b2 )= r1 s1 (a1 b1 )+r1 s2 (a1 b2 )+r2 s1 (a2 b1 )+r2 s2 (a2 b2 ),
per ogni ri , si ∈ R e ai , bi ∈ A, i = 1, 2. In altre parole, · è R-bilineare;
(b) a(bc) = (ab)c, per ogni a, b, c ∈ A;
(c) η(1) = 1A .
Naturalmente un’algebra A ha anche una struttura di anello con unità 1A .
Chiameremo omomorfismo di R-algebre un’applicazione α : A → B R-lineare
che preserva il prodotto e manda 1A in 1B .
(1.2) Osservazione. Si noti che per ogni r ∈ R, η(r) commuta con ogni a ∈ A.
Infatti utilizzando gli assiomi di algebra in (1.1),
(c)
(a)
(c)
(c)
(a)
(c)
η(r)a = (rη(1))a = (r1A )a = r(1A a) = ra = r(a1A ) = a(r1A ) = aη(r).
Possiamo esprimere questo fatto dicendo che η(R) ⊆ Z(A), ove
Z(A) = { x ∈ A | xa = ax, ∀ a ∈ A }
è il centro dell’anello (algebra) A.
(1.3) Esempi. Elenchiamo alcuni importanti esempi di algebre.
(a) Un campo K è una K-algebra in modo naturale ove R = A = K, η = IdK
e · : K × K → K è la moltiplicazione di K come campo;
(b) L’insieme Matn (K) delle matrici n × n a entrate in un campo K forma una
K-algebra ove A = Matn (K), R = K, η : K → A, λ 7→ λIn e il prodotto ·
è l’usuale prodotto di matrici (righe per colonne).
(c) L’insieme dei numeri complessi C è una R-algebra in modo naturale, ove
η : R → C, λ 7→ λ1C e · è l’usuale prodotto tra numeri complessi.
(d) Sia H = R ⊕ Ri ⊕ Rj ⊕ Rk uno spazio vettoriale reale con base (1, i, j, k).
Si può definire un prodotto · : H × H → H estendendo per linearità la
seguente tavola di moltiplicazione degli elementi della base:
·
1
i
j
k
1
i
j
k
1
i
j
k
i
−1
k
−j
j
−k
−1
i
k
j
−i
−1
† Per la quale useremo una notazione moltiplicativa omettendo eventualmente il simbolo di
prodotto. Quando dovremo riferirci all’applicazione A × A → A useremo la notazione · .
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Moduli e generalità
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Lo spazio H con il prodotto cosı̀ definito e la mappa η : R → H, λ 7→ λ1
ha una struttura di R-algebra, detta l’algebra dei quaternioni di Hamilton.
(e) Sia G un gruppo e sia R un anello commutativo. Indichiamo con R[G] lo
R-modulo libero su G. Alternativamente, poniamo
R[G] = { (rg )g∈G | rg ∈ R e quasi tutti gli rg sono nulli } ,
ove si intende che per ogni (rg )g∈G solo un numero finito di coefficienti rg
è diverso da 0R . R[G] ha una struttura naturale di R-modulo ove somma
e prodotto esterno sono definiti dalle equazioni
(rg )g + (sg )g = (rg + sg )g ,
r(rg )g = (rrg )g .
Si vede facilmente che il gruppo G forma una “base” per R[G], ovvero
un sistema libero di generatori. Infatti ogni (rg )g∈G si scrive in un unico
modo come combinazione lineare degli elementi (δgh )h∈G .† Identificando
ciascun (δgh )h con g possiamo scrivere, con un piccolo abuso di notazione,
P
(rg )g∈G = g∈G rg g.
Si noti che in questa espressione solo un numero finito di addendi è non
nullo. Si dà ad R[G] una struttura di R-algebra estendendo per linearità il
prodotto naturale degli elementi della base G. Più precisamente si pone
g · h = (δgk )k · (δhk )k := (δ(gh)k )k e dunque in generale si ricava
P
P
P
g rg g ·
h sh h :=
g,h rg sh gh
P
= g,h rgh−1 sh (gh−1 )h
P P
= g ( h rgh−1 sh )g,
Infatti, se g corre lungo G, anche gh−1 fa lo stesso. Si ha inoltre un’inclusione di R in R[G] realizzata dalla mappa η : R → R[G], r 7→ r1G . R[G] si
dice algebra gruppale di G sull’anello commutativo R.
(f) Sia X un insieme e sia R un anello commutativo (con unità). L’anello
dei polinomi A = R[X] è una R-algebra commutativa, ove η : R → R[X],
r 7→ rX 0 e · : R[X] × R[X] → R[X] è il prodotto di polinomi.
(1.4) Definizione. Sia A una R-algebra. Un A-modulo sinistro è un R-modulo
M sinistro con una mappa · : A × M → M tale che, per ogni a, b ∈ A,
r1 , r2 , s1 , s2 ∈ R, m1 , m2 ∈ M si ha
(a) (r1 a+r2 b)(s1 m1 +s2 m2 ) = r1s1 (am1 )+r1s2 (am2 )+r2 s1 (bm1 )+r2 s2 (bm2 );
(b) (ab)m = a(bm);
(c) 1A m = m.
† Ove con δ
gh si intende il simbolo di Kronecker che vale 1R solo in corrispondenza della
posizione g e 0R altrove.
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Moduli e generalità
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Chiameremo omomorfismo di A-moduli un’applicazione ϕ : M → N che sia
R-lineare e che preservi il prodotto esterno, cioè tale che ϕ(am) = aϕ(m),
∀ a ∈ A, m ∈ M . Denoteremo con HomA (M, N ) l’insieme degli omomorfismi di
A-moduli da M in N (ove M ed N sono A-moduli).
(1.5) Osservazione. Dagli assiomi di A-modulo segue la seguente “compatibilità”
dell’anello R con la struttura di M : ∀ r ∈ R, m ∈ M ,
rm = η(r)m,
ove η è l’omomorfismo R → A assegnato con A, il prodotto nel termine di sinistra
è il prodotto di M come R-modulo e quello a destra è come A-modulo. Infatti
usando in sequenza la definizione di η e gli assiomi di (1.4),
η
(a)
η
(c)
η(r)m = (rη(1))m = (r1A )m = r(1A m) = rm.
Inoltre è opportuno osservare che gli elementi di R si comportano come degli
scalari nel senso che si possono spostare liberamente in un prodotto. Per ogni
r ∈ R, a ∈ A, m ∈ M si ha
r(am) = a(rm).
Infatti per quanto visto e per l’osservazione (1.2),
(b)
(b)
r(am) = η(r)(am) = (η(r)a)m = (aη(r))m = a(η(r)m) = rm.
(1.6) Osservazione. Se A è una R-algebra e M, N sono A-moduli, l’insieme
HomA (M, N ) di tutti gli omomorfismi di A-moduli M → N ha una ovvia
struttura di R-modulo ove, ∀ ϕ, ϕ0 ∈ HomA (M, N ), ∀ r ∈ R,
(ϕ + ϕ0 )(m) = ϕ(m) + ϕ0 (m),
(rϕ)(m) = η(r)ϕ(m).
Tuttavia HomA (M, N ) non ha una naturale struttura di A-modulo.
1.2
Moduli liberi
(1.7) Proposizione. Sia A un anello con unità e sia X un insieme. Allora
esiste un A-modulo sinistro AhXi con una mappa iX : X → AhXi tale che per ogni
mappa φ : X → M (con M A-modulo sinistro) esiste un univoco omomorfismo
di A-moduli sinistri φ0 : AhXi → M tale che φ = φ0 ◦ iX , cioè tale che†
iX
X?
??
?? ?
φ ??
|
M
/ AhXi
φ0
Diremo che (AhXi , iX ) è lo A-modulo libero su X.
† La presenza di un circolino all’interno di un poligono in un diagramma indica che
questo commuta, cioè che due percorsi con lo stesso punto di partenza e arrivo si equivalgono.
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Moduli e generalità
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Dimostrazione. Sia AhXi definito come segue†
AhXi = { (ax )x∈X | ax ∈ A e quasi tutti gli ax sono nulli } ,
sicché per ogni elemento (ax )x ∈ AhXi l’insieme { x ∈ X | ax 6= 0A } è finito.
AhXi ha una naturale struttura di A-modulo sinistro definita ponendo
(ax )x + (bx )x = (ax + bx )x ,
a(ax )x = (aax )x .
Consideriamo la mappa iX : X → AhXi definita ponendo iX (y) = (δxy )x . Dato
un A-modulo sinistro M e una mappa φ : X → M definiamo φ0 : AhXi → M
estendendo per linearità φ. Poniamo quindi
X
φ0 ((ax )x ) =
ax φ(x).
x∈X
Poiché φ0 ((ax )x + (bx )x ) = φ0 ((ax )x ) + φ0 ((bx )x ) e φ0 (a(ax )x ) = aφ0 ((ax )x ), la
mappa φ0 è un omomorfismo
P di A-moduli. Inoltre φ = φ0 ◦ iX . Infatti, per ogni
y ∈ X, si ha φ0 (iX (y)) = x∈X δxy φ(x) = φy .
Sia ora ψ : AhXi → M un altro omomorfismo di A-moduli sinistri tale che
ψ ◦ iX = φ. Allora per ogni y ∈ X, φ(y) = ψ(iX (y)) = ψ((δxy )x ). Sia dunque
(ax )x ∈ AhXi e si ponga Sa = { x ∈ X | ax 6= 0 }. Allora
X
X
X
ψ((ax )x ) = ψ
ay iX (y) =
ay ψ(iX (y)) =
ay φ(y) = φ0 ((ax )x ).
y∈Sa
y∈Sa
y∈Sa
Quindi ψ e φ0 coincidono.
La definizione di A-modulo libero sull’insieme X è giustificata dal fatto che
la proprietà di cui sopra è universale, nel senso precisato dalla seguente.
(1.8) Proposizione. Sia X un insieme e siano (iX , AhXi) e (jX , B) A-moduli
liberi su X, siano cioè soddisfatte le seguenti proprietà, per ogni A-modulo sinistro
M e per ogni mappa φ : X → M :
(i) Esiste un unico morfismo di A-moduli φ0 : AhXi → M t.c. φ = φ0 ◦ iX ;
(ii) Esiste un unico morfismo di A-moduli ψ : B → M t.c. φ = ψ ◦ jX .
Allora esiste un univoco omomorfismo di A-moduli sinistri α : AhXi → B tale
che α ◦ iX = jX , e α è un isomorfismo.
Dimostrazione. Poiché (iX , AhXi) è libero, esiste ed è unico un omomorfismo di
A-moduli α = (jX )0 : AhXi → B tale che jX = α ◦ iX , cioè
iX
X>
>>
>> >
jX >>
}
B
† Può
/ AhXi
α = (jX )0
capitare di trovare anche la notazione di coprodotto AhXi =
5
`
x∈X
A⊂
Q
x∈X
A.
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Moduli e generalità
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Dimostriamo che α è un isomorfismo costruendo l’inversa. Poiché (jX , B) è
libero, esiste (ed è unico) un omomorfismo ψ : B → AhXi tale che iX = ψ ◦ jX :
/B
jX
XD
DD
DD
D iX DD
}
!
AhXi
ψ
Possiamo costruire allore il seguente diagramma.
/ AhXi
XD
DD
z
z
DDjX zz
DD
z
DD
z α
! }zz
iX
B
iX
}
AhXi r
IdAhXi
ψ
Poiché (iX , AhXi) è libero e IdAhXi , ψ ◦ α sono mappe che fanno commutare il
diagramma, deve essere IdAhXi = ψ ◦α. In modo del tutto analogo, poiché (jX , B)
è libero, IdB = α ◦ ψ, sicché α−1 = ψ.
1.3
Categorie e funtori
In questa sezione vogliamo dare un’idea informale della nozione di categoria.
Si consiglia la lettura delle seguenti voci da Wikipedia, l’enciclopedia libera.
• Teoria delle categorie;
• Classe (matematica);
• Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG).
Intuitivamente in questa sezione si pensi alla nozione di classe come ad una
nozione più generale di quella di insieme, e si supponga di aver sviluppato le
nozioni elementari della teoria degli insiemi (coppie ordinate, prodotto cartesiano,
relazioni, applicazioni) con questo nuovo oggetto di partenza.
(1.9) Definizione. Una categoria C consiste di
(a) Una classe ob(C) i cui elementi sono chiamati oggetti ;
(b) Per ogni coppia ordinata di oggetti (A, B) di C, un insieme morC (A, B) i
cui elementi sono chiamati morfismi e denotati con f : A → B.
(c) Per ogni terna di oggetti (A, B, C) di C, una mappa di composizione dei
morfismi che sia associativa con identità, cioè un’applicazione di insiemi
◦ : mor (A, B) × mor (B, C) → mor (A, C) tale che
C
C
C
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Moduli e generalità
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(i) Per ogni oggetto A di C esista un morfismo IdA ∈ morC (A, A) tale
che per ogni f : A → B sia IdB ◦f = f = f ◦ IdA ;
(ii) Per ogni quaterna (A, B, C, D) di oggetti di C e per ogni f : A → B,
g : B → C, h : C → D, sia h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ;
Una categoria C si dice piccola se ob(C) è un insieme.
(1.10) Esempi. Alcuni esempi comuni di categorie
(a) La categoria di tutti gli insiemi, in cui ob(C) è la classe di tutti gli insiemi
e, assegnati due insiemi (A, B), morC (A, B) è l’insieme di tutte le funzioni
da A in B, f : A → B (notazione che abbiamo esteso);
(b) La categoria di tutti i gruppi, in cui ob(C) è la classe di tutti i gruppi
e, assegnati due gruppi (G, H), morC (G, H) = Hom(G, H) è l’insieme di
tutti gli omomorfismi di gruppi da G in H;
(c) La categoria di tutti gli spazi vettoriali su un campo K, in cui ob(C) è la
classe di tutti i K-spazi vettoriali e, assegnati due spazi vettoriali (V, W ),
morC (G, H) = HomK (V, W ) è l’insieme delle applicazioni lineari V → W ;
(d) La categoria di tutti gli A-moduli su un’algebra A, in cui ob(C) è la classe
di tutti gli A-moduli e, assegnati due A-moduli (M, N ), morC (M, N ) =
HomA (M, N ) è l’insieme dei morfismi di A-moduli M → N .
Il lettore non avrà difficoltà a formulare nuovi esempi considerando ad esempio
spazi topologici e funzioni continue, spazi misurabili e funzioni misurabili, etc.
(1.11) Definizione. Un funtore F tra due categorie C e D consiste di
(a) Una mappa di classi F : ob(C) → ob(D);
(b) Per ogni coppia ordinata di oggetti (A, B) di C, una funzione di insiemi
morC (A, B) → morD (F (A), F (B)) (che denoteremo ancora con F ) t.c.
morC (B, C)
F
×
morC (A, B)
F
morD (F (B), F (C)) × morD (F (A), F (B))
◦
◦
/
morC (A, C)
F
/ morD (F (A), F (C))
In altre parole, tale che per ogni terna di oggetti (A, B, C) di C e per
ogni morfismo f : A → B e g : B → C sia F (f ◦ g) = F (f ) ◦ F (g). Si usa
esprimere questa proprietà dicendo che F è covariante.†
† Con il termine funtore intenderemo sempre funtore covariante. I funtori controvarianti
sono definiti in modo duale con assegnamenti morC (A, B) → morD (F (B), F (A)) e con la
regola di composizione rovesciata: F (f ◦ g) = F (g) ◦ F (f ).
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Moduli e generalità
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(1.12) Osservazione. Consideriamo la categoria C degli insiemi e quella D
degli A-moduli su un’algebra A, descritte negli esempi (1.10). Quanto descritto
nelle precedenti sezioni ci permette di definire un funtore Ah i tra C e D che
assegna ad ogni insieme X lo A-modulo libero AhXi. Assegnata un’applicazione
tra insiemi φ : X → Y, per le proprietà dei moduli liberi resta assegnato un unico
omomorfismo di A-moduli φ0 : AhXi → AhYi come segue.
φ
/ AhXi
iX
XA
AA
A
Y F
FF
"
iY
AhYi
φ0
Inoltre possiamo anche definire un funtore di D nella categoria degli insiemi C
semplicemente assegnando a ciascun A-modulo se stesso, come insieme, privato
della struttura di modulo (e analogamente leggendo i morfismi di A-moduli
come semplici applicazioni di insiemi). Chiamiamo tale funtore Forget. Allora
per ogni insieme X e per ogni A-modulo M , morfismi di morC (X, Forget(M ))
corrispondono a morfismi di morD (AhXi , M ) = HomA (AhXi , M ) e viceversa.
1.4
Sequenze esatte corte
Sia R un anello commutativo, A una R-algebra ed M, N due A-moduli sinistri.
Per semplicità in seguito dicendo che φ : X → Y è un omomorfismo di A-moduli
intenderemo implicitamente assegnati degli A-moduli sinistri X ed Y .
(1.13) Definizione. Sia φ : M → N un omomorfismo di A-moduli. Un omomorfismo di A-moduli α : K → M si dice nucleo di φ se per ogni omomorfismo
di A-moduli ψ : B → M tale che φ ◦ ψ = 0 (i.e. Im ψ ⊆ Ker φ) esiste un unico
omomorfismo di A-moduli ψ0 : B → K tale che α ◦ ψ0 = ψ, cioè tale che
B
ψ0
/M
C
α
K
ψ
φ
/N
(1.14) Esempio. La mappa di inclusione i : Ker φ ,→ M è un esempio di nucleo.
Infatti Ker φ = { m ∈ M | φ(m) = 0M } è un A-sottomodulo di M ,† e data
ψ : B → M t.c. Im ψ ⊆ Ker φ, ψ0 si ottiene restringendo il codominio di ψ.
(1.15) Definizione. Sia φ : M → N un omomorfismo di A-moduli. Un omomorfismo di A-moduli β : N → C si dice conucleo di φ se per ogni omomorfismo
di A-moduli γ : N → D tale che γ ◦ φ = 0 (i.e. Im φ ⊆ Ker γ) esiste un unico
† È
un gruppo abeliano e, per m ∈ M , a ∈ A, si ha φ(am) = aφ(m) = a0M = 0M .
8
1
Moduli e generalità
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omomorfismo di A-moduli γ0 : C → D tale che γ0 ◦ β = γ, cioè tale che
γ
/N
66
66 β 66
C
φ
M
/D
D
γ0
(1.16) Esempio. Se ψ : M → N è un omomorfismo di A-moduli, la proiezione
canonica π : N N/ Im φ è un conucleo di ψ. Infatti ogni morfismo γ : N → D
tale che Ker γ ⊇ Im φ passa al quozente per il teorema d’omomorfismo.
(1.17) Definizione. Una sequenza di morfismi di A-moduli
0
/M
/N
α
β
/0
/Q
si dice sequenza esatta corta se α è iniettivo, β è suriettivo e Im α = Ker β.
(1.18) Osservazione. Assegnata una sequenza esatta corta come in (1.17) si
possono fare le seguenti osservazioni.
/M
B
0
ψ
B
ψ0
α
/N
N
(a) 0 → M è un nucleo di α.
ψ
B
ψ0
M
/N
A
α
β
β
/Q
γ
777 0
/D
C
γ0
(b) Q → 0 è un conucleo di β.
/Q
M
α
(c) M → N è un nucleo di β.
α
/N γ /D
99
B
9 γ
0
β Q
β
(d) N → R è un conucleo di α.
(1.19) Esempi. Alcuni esempi di sequenze esatte corte
(a) Se R = A = Z e n ∈ N, n 6= 1 allora
i
π
0 → Z → Z → Z/nZ → 0,
con i(z) = nz e π(z) = z + nZ, è una sequenza esatta corta;
(b) Se K è un campo e R = A = K, si consideri lo spazio vettoriale V = K m,
m ≥ 2, e sia w ∈ V r 0. Allora se W = Kw è lo spazio generato da w,
i
π
0 → W → V → V /W → 0,
con i immersione e π(v) = v + W , è una sequenza esatta corta. Osserviamo
anche che esiste una una sezione, cioè un omomorfismo σ : V /W → V tale
che π ◦ σ = IdV /W . Infatti V /W = K(v + W ) e basta porre σ(v + W ) = v.
9
1
Moduli e generalità
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(1.20) Definizione. Una sequenza esatta corta di A-moduli sinistri
/M
0
α
/N
f
/Q
β
/0
σ
si dice spezzante se esiste σ : R → N omomorfismo di A-moduli t.c. β ◦ σ = IdQ .
(1.21) Proposizione. Sia
/M
f
0
α
/N
f
/Q
β
τ
/0
σ
una sequenza (esatta corta) spezzante. Allora esiste un morfismo di A-moduli
τ : N → M tale che τ ◦ α = IdM e σ ◦ β + α ◦ τ = IdN .
Dimostrazione. Sia π : N → N/ Im σ la proiezione canonica e si consideri l’omomorfismo π ◦ α : M → N/ Im σ come mostrato nel seguente diagramma.
/M
_
0
/N h
α
π◦α
(π◦α)−1
/0
/Q
β
σ
π
N/ Im σ
Proveremo che π ◦ α è un isomorfismo, cosı̀ da poter definire τ : N → M ponendo
τ = (π ◦ α)−1 ◦ π. Poi dimostreremo che τ soddisfa l’enunciato.
π ◦ α è iniettivo. Sia infatti m ∈ Ker(π ◦ α). Allora α(m) ∈ Ker π = Im σ e
quindi esiste q ∈ Q tale che α(m) = σ(q). Dato che per ipotesi β ◦ σ = IdQ e
β ◦ α = 0, applicando β ambo i membri si ottiene 0 = β(α(m)) = β(σ(q)) = q,
da cui α(m) = σ(0) = 0 e, data l’iniettività di α, m = 0.
π ◦ α è suriettivo. Sia infatti n + Im σ ∈ N/ Im σ. Poiché β ◦ σ = IdQ si ha
β( n − σ(β(n)) ) = β(n) − β(n) = 0, cioè n − σ(β(n)) ∈ Ker β = Im α. Dunque
esiste m ∈ M tale che α(m) = n − σ(β(n)) (ed è univocamente determinato,
data l’iniettività di α). Sicché (π ◦ α)(m) = α(m) + Im σ = n + Im σ.
Sia quindi τ = (π ◦ α)−1 ◦ π : N → M . Ovviamente τ ◦ α = IdM (si ha
τ (α(m)) = (π ◦ α)−1 ◦ (π ◦ α)(m) = m, per ogni m ∈ M ). Dimostriamo quindi
che σ ◦ β + α ◦ τ = IdN . Sia n ∈ N e si consideri ancora l’elemento n − σ(β(n)).
Come abbiamo osservato, esiste m ∈ M tale che α(m) = n − σ(β(n)). Allora
n = σ β(n) + α τ (n) ⇐⇒ α(m) = n − σ β(n) = α τ (n) .
D’altra parte si ha
α τ (n) = α((π ◦ α)−1 ◦ π(n)) = α (π ◦ α)−1 (n + Im σ) = α(m) .
(1.22) Definizione. Due sequenze esatte corte
0
/M
α
/N
β
/Q
/ 0,
0
10
/M
η
/X
ξ
/Q
/ 0,
1
Moduli e generalità
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si dicono equivalenti se esiste un omomorfismo di A-moduli ρ : N → X tale che
/M
0
α
β
ρ
η
ξ
/M
0
/N
/X
/Q
/0
/Q
/ 0,
cioè tale che α ◦ ρ = η e ρ ◦ ξ = β.
(1.23) Esempio. Un esempio di sequenza esatta corta spezzante è quella determinata da una somma diretta di A-moduli. Se M, Q sono A-moduli si ha una
naturale sequenza esatta corta spezzante
/M
0
/ M ⊕Q
g
i1
e
/Q
p2
p1
/0
i2
ove i1 : M ,→ M ⊕ Q è l’immersione nella prima componente, p1 : M ⊕ Q M
è la proiezione sulla prima componente e analogamente per i2 e p2 .
L’esempio precedente esaurisce le sequenze spezzanti, ma prima di dimostrarlo
premettiamo una piccola digressione su un risultato classico.
1.5
Il lemma del serpente
(1.24) Definizione. Sia data una sequenza di A-moduli e omomorfismi
M1
α1
/ M2
α2
/ ...
αn−2
/ Mn−1
αn−1
/ Mn .
Diremo che tale sequenza è esatta se Im αi = Ker αi+1 per ogni i = 1, . . . , n − 1.
(1.25) Definizione. Se α : M → X è un omomorfismo di A-moduli chiamiamo
conucleo di α lo A-modulo Coker α = X/ Im α.
(1.26) Lemma. Sia il diagramma seguente commutativo con righe esatte
M
α
0
/X
σ
/N
τ
/Q
β
γ
η
/Y
ξ
/0
/Z
Allora esiste δ : Ker γ → Coker α e morfismi σ0 , τ0 , η, ξ tale che la sequenza
Ker α
σ0
/ Ker β
τ0
/ Ker γ
δ
/ Coker α
è esatta.
11
η
/ Coker β
ξ
/ Coker γ
1
Moduli e generalità
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Dimostrazione. Definiamo anzitutto δ : Ker γ → Coker α = X/ Im α. Sia dato
q ∈ Ker γ. Risaliamo ad un elemento di X con la seguente procedura. Poiché
τ è suriettiva,† esiste nq ∈ N t.c. τ (nq ) = q. Sia ynq = β(nq ). Allora
0 = γ(q) = (γ ◦ τ )(nq ) = (ξ ◦ β)(nq ) e quindi ynq ∈ Ker ξ = Im η. Esiste pertanto
x ∈ X tale che η(x) = ynq . Dimostriamo dunque che l’applicazione
δ(q) = x + Im α
è ben definita. In altre parole proviamo che una diversa scelta della preimmagine
nq di q influenza il valore di x per qualcosa in Im α. Sia dunque n0 ∈ N tale che
τ (n0 ) = q e sia x0 ∈ X tale che η(x0 ) = β(n0 ). Poiché n0 − nq ∈ Ker τ = Im σ,
esiste m ∈ M tale che n0 − nq = σ(m). Quindi
η(x0 − x) = β(n0 ) − β(nq ) = (β ◦ σ)(m) = (η ◦ α)(m) = η(α(m)).
Dato che η è iniettiva†† abbiamo x0 − x = α(m) e δ(x) = δ(x0 ), come voluto.
Consideriamo ora il seguente diagramma di riferimento
Ker α
M
σ0
/ Ker β
τ0
/ Ker γ
σ
/N
τ
/Q
α
wv
pq
rs δ
ut
γ
β
X
η
/Y
ξ
/Z
. Coker α
η
/ Coker β
ξ
/ Coker γ
ove gli omomorfismi messi in verticale del tipo Ker α → M sono inclusioni, quelli
del tipo X → Coker α = X/ Im α sono proiezioni canoniche.
Gli omomorfismi τ0 : Ker β → Ker γ e σ0 : Ker α → Ker β sono definiti
restringendo dominio e codominio di σ e τ . Osserviamo infatti che, se m ∈ M è
tale che α(m) = 0, allora β(σ(m)) = η(α(n)) = η(0) = 0. Dunque risulta ben
definito σ0 che si ottiene restringendo dominio e codominio di σ. Analogamente
è definito τ0 poiché, se n ∈ N è t.c. β(n) = 0, allora γ(τ (n)) = ξ(β(n)) = 0.
L’omomorfismo η : X/ Im α → Y / Im β risulta ben definito ponendo
η(x + Im α) = η(x) + Im β.
Infatti la mappa η̃ : X → Y / Im β, x 7→ η(x) + Im β passa al quoziente dato che,
per α(m) ∈ Im α, si ha η(α(m)) = β(σ(m)) ∈ Im β, e dunque Im α ⊆ Ker η̃. In
modo analogo la mappa ξ : Y / Im β → Z/ Im γ, ξ(y + Im β) = ξ(y) + Im γ è ben
definita poiché, per β(n) ∈ Im β, si ha ξ(β(n)) = γ(τ (n)) ∈ Im γ.
† Per
†† Per
τ
ipotesi la sequenza N → Q → 0 è esatta.
η
ipotesi si ha che la sequenza 0 → X → Y è esatta.
12
1
Moduli e generalità
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Proviamo ora che la sequenza definita è esatta. Cominciamo con il tratto che
parte da σ0 e dimostriamo che Im σ0 = Ker τ0 . Sia n ∈ Ker τ0 . Allora n ∈ Ker β
e τ (n) = τ0 (n) = 0, cioè n ∈ Ker τ = Im σ, ed esiste m ∈ M tale che σ(m) = n.
Per avere che n ∈ Im σ0 basta provare che m ∈ Ker α. Ma poiché η è iniettiva,
η(α(m)) = β(σ(m)) = β(n) = 0 implica α(m) = 0. Quindi Ker τ0 ⊆ Im σ0 .
Inversamente, se n ∈ Im σ0 , allora n = σ(m) per qualche m ∈ Ker α, e quindi
τ0 (n) = τ (σ(m)) = 0 perché τ ◦ σ = 0 per ipotesi.
Proseguiamo con il tratto che parte da τ0 e dimostriamo che Im τ0 = Ker δ.
Sia q ∈ Ker δ, nq ∈ N t.c. τ (nq ) = q, ynq = β(nq ) e x ∈ X t.c. η(x) = ynq .†
Allora δ(q) = 0 implica x ∈ Im α, sicché esiste m ∈ M t.c. α(m) = x. Quindi
ynq = η(x) = η(α(m)) = β(σ(m)), e posto n = σ(m), si ha β(nq ) = ynq = β(n).
Allora n0 = nq − n è una preimmagine di q via τ0 . Infatti si ha n0 ∈ Ker β e
τ0 (n0 ) = τ (nq ) − τ (n) = q − τ (σ(m)) = q, dato che τ ◦ σ = 0 per ipotesi.
Consideriamo ora il tratto che parte da δ e proviamo che Im δ = Ker η. Sia
x + Im α ∈ Ker η. Allora 0 = η(x + Im α) = η(x) + Im β implica η(x) ∈ Im β e
quindi esiste n ∈ N tale che β(n) = η(x). Allora q = τ (n) è una preimmagine di
x + Im α per δ. Infatti γ(q) = (γ ◦ τ )(n) = (ξ ◦ β)(n) = (ξ ◦ η)(x) = 0 implica
q ∈ Ker γ, e δ(q) = x + Im α per definizione. D’altra parte, se x + Im α ∈ Im δ,
esiste q ∈ Ker γ, n ∈ N tale che τ (n) = q, e x ∈ X tale che η(x) = β(n). Dunque
si ha η(δ(q)) = η(x) + Im β = β(n) + Im β = 0, e x + Im α ∈ Ker η.
Osserviamo infine il tratto che parte da η e dimostriamo che Im η = Ker ξ. Sia
y +Im β ∈ Ker ξ. Allora 0 = ξ(y +Im β) = ξ(y)+Im γ implica ξ(y) ∈ Im γ, sicché
esiste q ∈ Q t.c. γ(q) = ξ(y). Poiché τ è suriettivo, esiste n ∈ N tale che τ (n) = q.
Quindi (ξ ◦ β)(n) = (γ ◦ τ )(n) = γ(q) = ξ(y) e y0 = y − β(n) ∈ Ker ξ = Im η.
Sia dunque x0 ∈ X tale che η(x0 ) = y0 . Allora x0 + Im α è una preimmagine
di y + Im β via η. Infatti per definizione η(x0 + Im α) = η(x0 ) + Im β =
(y − β(n)) + Im β = y + Im β. Inversamente, sia x + Im α ∈ Coker α. Allora
ξ(η(x + Im α)) = ξ(η(x) + Im β) = (ξ ◦ η)(x) + Im γ = 0, poiché ξ ◦ γ = 0.
(1.27) Osservazione. Possiamo arricchire il lemma (1.26) osservando che, se
nelle ipotesi aggiungiamo 0 → M alla prima riga, si può aggiungere 0 → Ker α
all’enunciato e se aggiungiamo Z → 0 nelle ipotesi alla seconda riga, allora si può
aggiungere Coker γ → 0 all’enunciato. Infatti, se σ è iniettivo, allora σ0 è ancora
iniettivo e, se ξ è suriettivo, allora per ogni z + Im γ ∈ Coker γ esiste y ∈ Y tale
che ξ(y) = z, sicché ξ(y + Im β) = ξ(y) + Im γ = z + Im γ, e ξ è suriettivo.
Tornando al discorso sulle sequenze esatte corte spezzanti. . .
(1.28) Proposizione. Se la sequenza esatta corta
0
/M
α
/N
β
/Q
/0
è spezzante, allora essa equivale alla sequenza esatta corta
0
/M
i1
/ M ⊕Q
p2
/Q
/0.
Inoltre N è isomorfo come A-modulo alla somma diretta M ⊕ Q.
† Cosı̀
da avere, per definizione di δ, δ(q) = x + Im α.
13
1
Moduli e generalità
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Dimostrazione. Per definizione (1.20) esiste σ : Q → N t.c. β ◦ σ = IdQ . Per la
proposizione (1.21) esiste τ : N → M t.c. τ ◦ α = IdM e σ ◦ β + α ◦ τ = IdN .
Allora il diagramma seguente
/M
0
/N
α
β
/Q
/0
/Q
/ 0,
ρ
/M
0
i1
/ M ⊕Q
p2
ove ρ : N → M ⊕ Q è definito ponendo ρ(n) = (τ (n),
β(n)), è commutativo.
Infatti, per m ∈ M , (ρ ◦ α)(m) = τ (α(m)), β(α(m)) = (m, 0) = i1 (m) e, per
n ∈ N , p2 (ρ(n)) = β(n). Dunque le due sequenze sono equivalenti. Inoltre
applicando il lemma (1.26) del serpente† si vede che ρ è un isomorfismo. Si ha
infatti una sequenza esatta
0
/ Ker ρ
/ 0
δ
/ 0
/ Coker ρ
/0,
da cui Ker ρ = 0 e Coker ρ = 0, cioè ρ è iniettivo e suriettivo.
(1.29) Osservazione. Si noti che anche il diagramma nell’altra direzione, con
l’immersione nella seconda componente e la proiezione nella prima, commuta.
0o
M o
τ
N o
σ
Qo
0
Qo
0.
ρ
M o
0o
p1
M ⊕Q o
i2
Infatti, per q ∈ Q, (ρ ◦ σ)(q) = τ (σ(q)), β(σ(q)) = (0, q) = i2 (q) e, per n ∈ N ,
p1 (ρ(n)) = τ (n). Dunque anche queste sequenze sono equivalenti.
(1.30) Corollario. Per un A-modulo Q sono equivalinti i fatti seguenti.
(i) Q è proiettivo;
(ii) Ogni sequenza esatta corta della forma
0
/M
α
/N
d
β
/Q
/0
σ
è spezzante (i.e. esiste σ tale che β ◦ σ = IdQ );
(iii) Per ogni monomorfismo di A-moduli α : M → N si ha
Q ' N/α(M ) =⇒ N ' M ⊕ Q .
† Con riferimento alle notazioni del lemma, si adoperino le sostituzioni (σ, τ ) := (α, β),
(X, Y, Z) := (M, M ⊕ Q, Q), (η, ξ) := (ii , p2 ) e (α, β, γ) := (IdM , ρ, IdQ ). Nell’enunciato si ha
allora Ker γ = 0, Coker α = 0, Coker γ = 0.
14
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Moduli e generalità
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Dimostrazione. L’equivalenza tra (i) e (ii) è evidente dal diagramma
Q
σ
N
IdQ

β
/Q
/ 0.
L’equivalenza tra (ii) e (iii) segue immediatamente da (1.28). Infatti, se vale
(ii) e si ha un monomorfismo α : M → N e un isomorfismo β : N/α(M ) → Q
allora è definito un epimorfismo β : N → Q con nucleo α(M ), cioè una sequenza
esatta corta come in (ii). Questa è dunque spezzante, sicché, in virtù di (1.28),
si ha N ' M ⊕ Q. Inversamente, se vale (iii) e si dispone di una sequenza esatta
corta come quella in (ii), allora Ker β = α(M ) e quindi Q ' N/α(M ). Dunque
abbiamo un isomorfismo φ : M ⊕ Q → N e si trova immediatamente una sezione
ponendo σ = φ ◦ i2 , ove i2 : Q ,→ M ⊕ Q.
Si veda anche [CR, p. 381].
1.6
I funtori HomA (M, ) e HomA ( , M )
Sia A un’algebra su un anello R e siano M, N due A-moduli sinistri. Ricordiamo che, come spiegato nell’osservazione (1.6), l’insieme degli omomorfismi
HomA (M, N ) ha la struttura di R-modulo.
α
β
(1.31) Proposizione. Sia M un A-modulo sinistro e sia X → Y → Z una
sequenza di A-moduli sinistri e omomorfismi. Allora
α
β
(a) Se la sequenza 0 → X → Y → Z è esatta, posto α∗ = α ◦
la seguente sequenza di R-moduli
0
/ HomA (M, X)
α∗
/ HomA (M, Y )
β∗
e β∗ = β ◦ ,
/ HomA (M, Z)
è esatta;
α
β
(b) Se la sequenza X → Y → Z → 0 è esatta, posto α∗ =
la seguente sequenza di R-moduli
0
/ HomA (Z, M )
β∗
/ HomA (Y, M )
α∗
◦ α e β∗ =
◦ β,
/ HomA (X, M )
è esatta.
Dimostrazione. (a) Sia φ ∈ HomA (M, X) tale che α∗ (φ) = α ◦ φ = 0. Allora,
poiché α è iniettivo, Im φ = 0, φ = 0 e dunque α∗ è iniettivo. Segue l’esattezza
del primo tratto. Poi occorre dimostrare che Im α∗ = Ker β∗ . Ovviamente è
Im α∗ ⊆ Ker β∗ . Infatti, se φ ∈ HomA (M, X), β∗ (α∗ (φ)) = β ◦ α ◦ φ = 0 ◦ φ = 0.
Inversamente, sia ψ ∈ HomA (M, Y ) t.c. β∗ (ψ) = β ◦ ψ = 0. Allora Im ψ ⊆
15
1
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Ker β = Im α, e possiamo dunque restringere il codominio di α e ψ a Im α ⊆ Y
ottenendo due omomorfismi ψ̃ e α̃ come segue
ψ̃
M
/ Im α o
α̃
α̃
6X.
−1
Posto φ = α̃−1 ◦ ψ̃ si ha α∗ (φ)(m) = α(φ(m)) = (α ◦ α̃−1 ◦ ψ̃)(m) = ψ(m).
(b) Anzitutto β ∗ è iniettivo. Infatti, se χ ∈ HomA (Z, M ) è tale che β ∗ (χ) =
χ ◦ β = 0, allora Im β ⊆ Ker χ. Ma β è per ipotesi suriettivo. Poi proviamo che
Im β ∗ = Ker α∗ . Chiaramente Im β ∗ ⊆ Ker α∗ . Infatti, per χ ∈ HomA (Z, M ),
α∗ (β ∗ (χ))(z) = (χ ◦ β ◦ α)(z) = 0. Inversamente, sia η ∈ HomA (Y, M ) tale che
α∗ (η) = η ◦ α = 0. Allora Im α ⊆ Ker η e quindi η induce un omomorfismo
η : Y / Im α → M , η(y) = η(y + Im α) = η(y). Definiamo allora una preimmagine
ϑ ∈ HomA (Z, M ) usando la seguente strategia
Zo
β
β
−1
1 Y / Im α
η
/M ,
ove β è l’omomorfismo indotto da β : Y → Z sul quoziente Y / Im α, ed è suriettivo
per ipotesi e iniettivo dato che Ker β = Im α. Posto ϑ = η ◦ β −1 ,
β ∗ (ϑ)(y) = (ϑ ◦ β)(y) = (η ◦ β
−1
◦ β)(y) = η(y) = η(y) .
Possiamo ora interpretare questo risultato nel linguaggio della teoria delle
categorie attraverso la nozione di esattezza a sinistra di un funtore.
(1.32) Osservazione. Sia A un’algebra su un anello R. Sia C la categoria degli
A-moduli sinistri con i morfismi di A-moduli e D la categoria degli R-moduli
sinistri con i morfismi di R-moduli. Fissato un A-modulo M possiamo definire
due funtori F, G : A-Mod
R-Mod come segue
(a) Il funtore F = HomA (M, ) associa ad ogni A-modulo X l’R-modulo
HomA (M, X) e a ogni morfismo di A-moduli α ∈ Hom(X, Y ) l’omomorfismo di R-moduli α∗ = α ◦ : HomA (M, X) → HomA (M, Y ). Questo
β
α
funtore è covariante poiché, per morfismi di A-moduli X → Y → Z, si ha
F (β ◦ α)(φ) = (β ◦ α)∗ (φ) = (β ◦ α) ◦ φ = β ◦ (α ◦ φ) = F (β) ◦ F (α)(φ).
(b) Il funtore G = HomA ( , M ) associa ad ogni A-modulo X l’R-modulo
HomA (X, M ) e a ogni morfismo di A-moduli α ∈ Hom(X, Y ) l’omomorfismo di R-moduli α∗ = ◦ α : HomA (Y, M ) → HomA (X, M ). Questo
β
α
funtore è controvariante poiché, per morfismi di A-moduli X → Y → Z, è
G(β ◦ α)(ψ) = (β ◦ α)∗ (ψ) = ψ ◦ (β ◦ α) = (ψ ◦ β) ◦ α = G(α) ◦ G(β)(ψ).
(1.33) Definizione. Una categoria C si dice additiva se
(a) morX (A, B) è un gruppo abeliano (additivo) per ogni A, B ∈ ob(C);
16
1
Moduli e generalità
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(b) Per ogni coppia di oggetti (A, B) di C esiste un oggetto A ⊕ B ∈ ob(C) con
delle mappe
τ
q σ
u
A
5 B
3A ⊕ B
α
β
t.c. β ◦ σ = IdB , τ ◦ α = IdA , β ◦ α = 0, τ ◦ σ = 0 e σ ◦ β + α ◦ τ = IdA⊕B ;
(c) Per ogni A, B, C ∈ ob(C), f, f 0 ∈ morC (A, B), g ∈ morC (B, C) vale la
proprietà distributiva g ◦ (f + f 0 ) = g ◦ f + g ◦ f 0 .
(1.34) Definizione. Siano C e D categorie additive. Un funtore F : C
D si
dice additivo se per ogni A, B ∈ ob(C), FA,B : morC (A, B) → morD (F (A), F (B))
è un omomorfismo di gruppi abeliani (additivi).
(1.35) Osservazione. Sia F : C
D un funtore additivo tra categorie additive.
Dati due oggetti A, B ∈ ob(C) si ha un nuovo oggetto dato dalla somma diretta
A ⊕ B ∈ ob(C) (e analogamente nella categoria D). Allora si ha un isomorfismo
naturale (nel senso di morfismo bijettivo) F (A ⊕ B) ' F (A) ⊕ F (B).
(1.36) Definizione. Sia F : C
D un funtore additivo tra categorie abeliane.
α
β
(a) F si dice mezzo esatto se per ogni s.e.c. 0 → A → B → C → 0 la seguente
sequenza è esatta
F (α)
F (A)
F (β)
/ F (B)
/ F (C);
α
β
(b) F si dice esatto a sinistra se per ogni s.e.c. 0 → A → B → C → 0 la
seguente sequenza è esatta
0
/ F (A)
F (α)
/ F (B)
F (β)
/ F (C);
α
β
(c) F si dice esatto a destra se per ogni s.e.c. 0 → A → B → C → 0 la
seguente sequenza è esatta
F (A)
F (α)
/ F (B)
F (β)
/ F (C)
/ 0;
(d) F si dice esatto se manda sequenze esatte corte in sequenze esatte corte.
β
α
Per ogni s.e.c. 0 → A → B → C → 0, la seguente sequenza è esatta
0
/ F (A)
F (α)
/ F (B)
F (β)
/ F (C)
/ 0.
(1.37) Osservazione. Ad ogni categoria C si può associare la cosiddetta categoria
opposta C op avente per oggetti ancora la classe ob(C op ) = ob(C) ma, per ogni
coppia A, B ∈ ob(C op ), l’insieme dei morfismi da A in B è per definizione
morC op (A, B) = morC (B, A). In altre parole, visualizzando gli oggetti come dei
punti e i morfismi α come delle frecce, nella categoria C op tutte le frecce hanno il
verso invertito, αop . Questo artificio ci permette ad esempio di vedere un funtore
17
1
Moduli e generalità
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controvariante G : C
D come un funtore covariante Gop : C op
D definito da
op
op
G (α ) = G(α). Infatti, per una sequenza di oggetti e morfismi,
β
α /
/Z,
X Qg
Y
_ m fQ _ m
“αop ”
“β op ”
Gop (αop ◦β op ) = Gop ((β ◦α)op ) = G(β ◦α) = G(α)◦G(β) = Gop (αop )◦Gop (β op ).
Dunque Gop è una copia di G, ma è covariante.†
(1.38) Definizione. Sia G : C
D un funtore controvariante tra categorie o,
equivalentemente, sia assegnato un funtore covariante Gop : C op
D. Diremo
che G è esatto (risp. mezzo esatto, esatto a sinistra, esatto a destra) se Gop è
esatto a destra secondo (1.36). In particolare G è esatto a sinistra se e solo se
β
α
per ogni sequenza esatta A → B → C → 0 la sequenza
0
G(β)
/ G(C)
/ G(B)
G(α)
/ G(A)
è esatta.††
Possiamo dunque dare una nuova facciata alla proposizione (1.31).
(1.39) Corollario. Sia A un’algebra su un anello R e sia M un A-modulo.
Allora i funtori HomA (M, ), HomA ( , M ) : A-Mod
R-Mod descritti nell’osservazione (1.32) sono esatti a sinistra.
1.7
Moduli proiettivi e iniettivi
(1.40) Definizione. Sia A un’algebra su un anello commutativo R.
(a) Un A-modulo sinistro P si dice proiettivo se per ogni morfismo φ : P → Y
e per ogni morfismo suriettivo π : X → Y esiste un morfismo φe : P → Y
e cioè tale che
tale che φ = π ◦ φ,
P
e
φ
X

π
/Y
φ
/ 0;
(b) Un A-modulo sinistro I si dice iniettivo se per ogni morfismo ψ : X → I e
per ogni morfismo iniettivo j : X → Y esiste un morfismo ψe : Y → I tale
che ψ = ψe ◦ j, cioè tale che
IO `
e
ψ
ψ
0
/X
j
/ Y.
† In un delirio di onnipotenza si può pensare a
op : Cat
Cat come a un funtore
covariante che assegna a ogni categoria la sua opposta e a ogni funtore F il funtore F op .
†† Dunque “sinistra” e “destra” sono riferiti alla sequenza finale ottenuta applicando il
funtore e scrivendo il diagramma con le frecce rivolte da sinistra a destra.
18
1
Moduli e generalità
marcocentin.altervista.org
(1.41) Proposizione. Sia A un’algebra su un anello R.
(a) Un A-modulo sinistro P è proiettivo se e solo se per ogni sequenza esatta
η
ξ
corta 0 → X → Y → Z → 0 anche la seguete sequenza
0
/ HomA (P, X)
η∗
/ HomA (P, Y )
ξ∗
/ HomA (P, Z)
/0
è esatta;
(b) Un A-modulo sinistro I è iniettivo se e solo se per ogni sequenza esatta
η
ξ
corta 0 → X → Y → Z → 0 anche la seguete sequenza
0
ξ∗
/ HomA (Z, I)
/ HomA (Y, I)
η∗
/ HomA (X, I)
/0
è esatta;
Dimostrazione. (a) Sia P proiettivo. Allora, per (1.31(a)), basta dimostrare che
ξ∗ = ξ ◦ è suriettivo. Ma questo è immediato. Infatti, se φ ∈ HomA (P, Z),
P
e
φ
Y
φ

ξ
/Z
/0
e Inversamente è chiaro che, se
allora esiste φe : P → Y tale che φ = ξ ◦ φe = ξ∗ (φ).
l’enunciato in (a) è soddisfatto allora ξ∗ è suriettivo.
(b) Sia I iniettivo. Allora, per (1.31(b)), basta dimostrare che η ∗ = ◦ η è
suriettivo. D’altra parte, se ψ ∈ HomA (X, I),
IO `
e
ψ
ψ
0
/X
η
/Y
e
allora esiste ψe : Y → I tale che ψ = ψe ◦ η = η ∗ (ψ).
(1.42) Proposizione. Sia A una R-algebra e sia X un insieme.
(a) Sia Q = AhXi un A-modulo libero su X. Allora Q è proiettivo;
(b) Ogni A-modulo proiettivo P è isomorfo a un addendo diretto di un modulo
libero, cioè esiste un insieme Y e un A-modulo M t.c. P ⊕ M ' AhY i.
Dimostrazione. (a) Sia π : M → N un epimorfismo di A-moduli e sia assegnato
un morfismo φ : AhXi → N . Dobbiamo costruire un morfismo φ̃ : AhXi → M
tale che φ = π ◦ φ̃. Poiché π è suriettivo, per l’assioma della scelta, possiamo
definire un’applicazione ψ : X → M tale che π ◦ ψ = φ ◦ i,
19
1
Moduli e generalità
X
ψ
M
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/ AhXi
i
π
ψ
φ
/N
ψ0
|
M
/ 0,
/ AhXi
i
X
π
φ
/N
/ 0.
Poi, dato che AhXi è libero, possiamo estendere ψ per linearità ottenendo un
omomorfismo ψ0 : AhXi → M tale che ψ = ψ0 ◦ i, come mostrano i diagrammi.
Dimostriamo che ψ0 = φ̃ è l’omomorfismo cercato verificando che anche il
triangolo inferiore del diagramma commuta, cioè, che φ = π ◦ ψ0 . Poiché AhXi
è libero generato da i(X), basta verificare tale relazione sui generatori i(X).†
Per ogni x ∈ X si ha π ψ0 (i(x)) = π(ψ(x)) = φ(i(x)), da cui la tesi.
(b) Poiché P è proiettivo, esiste σ : P → AhP i t.c. π ◦ σ = IdP .
P
σ
}
AhP i
π
/P
IdP
/ 0;
Abbiamo allora una sequenza esatta corta spezzante
0
/ Ker π
i
/ AhP i
τ
k
π
/P
/ 0.
σ
Per (1.21), esiste τ : AhP i → Ker π t.c. τ ◦ i = IdKer π e i ◦ σ + σ ◦ π = IdAhP i .
Inoltre abbiamo visto nella proposizione (1.28) che si ha AhP i ' P ⊕ Ker π.
Diamo ora un importante esempio di modulo proiettivo e iniettivo. Per
maggiore chiarezza, premettiamo un richiamo sul Lemma di Zorn.
Sia Ω 6= ∅ un insieme parzialmente ordinato †† . Diciamo che Ω è induttivo se
per ogni sottoinsieme S ⊆ Ω totalmente ordinato ††† esiste un maggiorante di S
in Ω. Assumeremo nel seguito il “Lemma di Zorn”, supporremo cioè che ogni
insieme induttivo (Ω, ≤) ammetta un elemento massimale.
(1.43) Esempio. Ogni spazio vettoriale V su un campo K è un K-modulo
proiettivo. In virtù di (1.42(a)), basta dimostrare che ogni spazio vettoriale
ammette una base (sistema libero di generatori). È una immediata applicazione
del Lemma di Zorn. Sia 0 6= V uno spazio vettoriale su K e sia
Ω = { X ⊆ V | X è linearmente indipendente } .
† Infatti ogni elemento di AhXi si scrive in un unico modo come A-combinazione lineare
Pt
t
degli elementi di i(X) [ se x =
i=1 ai xi ∈ AhXi, l’applicazione γ : X → A , xi 7→ ei
si estende per linearitàPad un’unico P
morfismo γ0 : AhXi → At . Quindi, se x = 0, allora
(0, . . . , 0) = γ0 (x) = γ0 ( ti=1 ai xi ) = ti=1 ai γ0 (xi ) = (a1 , . . . , at ) ].
†† Sia cioè definita una relazione “≤”= R ⊆ Ω2 tale che ∀ x, y, z ∈ Ω, (i) xRx, (ii) xRy ∧
yRz ⇒ xRz, (iii) xRy ∧ yRx ⇒ x = y. Si dice anche che Ω è un poset (partially ordered set).
††† Cioè tale che ∀ x, y ∈ Ω, xRy ∨ yRx, dove R =“≤” è l’ordinamento parziale su Ω ⊇ S.
20
1
Moduli e generalità
marcocentin.altervista.org
Ω è parzialmente ordinato rispetto
S alla relazione di inclusione. Sia S ⊆ Ω
totalmente ordinato. Allora XS = Y ∈S Y definisce un maggiorante di S in Ω.
Infatti S ⊆ XS e si verifica facilmente che XS ∈ Ω.† Per il Lemma di Zorn esiste
un elemento massimale B ∈ Ω. Allora B è una base per V . Supponiamo infatti
per assurdo che SpanK B ⊂ V e sia v ∈ V r SpanK B. Allora S = B ∪ { v }
sarebbe un sistema linearmente indipendente maggiore di B,†† assurdo.
(1.44) Esempio. Ogni spazio vettoriale V su un campo K è un K-modulo
iniettivo. Siano N, M due K-spazi vetoriali (K-moduli) e sia j : N → M un
monomorfismo. Rimpiazzando N con j(N ) ' N possiamo supporre che j sia
una semplice inclusione di N come sottospazio di M . Sia ora ψ : N → V una
applicazione lineare (omomorfismo di K-moduli).
VO a
ψ̃
ψ
0
/N
⊆
/ M.
Per dimostrare che esiste ψ̃ : M → V tale che il diagramma commuta basta
dimostrare che esiste un complemento di N in M , cioè un K-sottospazio di M
tale che M = C ⊕ N (“teorema del completamento”), cosı̀ da poter definire ψ̃
semplicemente prolungando a zero ψ sui vettori di una base di C. Sia
Ω = { X ⊆ M | X è linearmente indipendente e BN ⊆ X } ,
ove BN è una base di N . Ω è parzialmente ordinato rispetto all’inclusione.
Procedendo in modo analogo all’esempio precedente si dimostra che Ω è un
insieme induttivo. Per il Lemma di Zorn esiste allora un maggiorante B ∈ Ω.
Si verifica facilmente che B è una base per M (SpanK B = M ) sicché, posto
C =PSpanK (B r BP
poi c ∈ C ∩ N allora si ha
N ) si ha M =
PC + N . Se P
c = BrBN λx x = BN µy y. Da BrBN λx x − BN µy y = 0 segue λx = 0 e
µy = 0 per ogni x ∈ B r BN e y ∈ BN , cioè c = 0.
† Se
P
x∈XS λx x = 0 allora, poiché Z = { x ∈ XS | λx 6= 0 } è un insieme finito, esiste
un numero finito di Yx ∈ S tale che x ∈ Yx e λx 6= 0. Poiché S è totalmente ordinato,
confrontando a coppie tali Yx si perviene a un Y ∈ S tale che Z ⊆ Y . Allora la somma
può essere interpretata come una combinazione lineare di elementi di Y e, data la lineare
indipendenza di
PY , tutti i coefficienti sono nulli, cioè Z = ∅.
†† Sia λv +
x∈B λx x = 0. Se λ = 0 allora
P λx = 0 per ogni x poiché B è linearmente
indipendente. Se invece λ 6= 0 allora v = − (λx /λ)x ∈ SpanK B. E
21
2
2
2.1
Complessi di catene di A-moduli
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Complessi di catene di A-moduli
Il Teorema della sequenza esatta lunga
Sia A un’algebra su un anello commutativo R.
(2.1) Definizione. Una sequenza di A-moduli e omomorfismi (M· , α· )k∈Z ,
/ Mk+1
...
αk+1
/ Mk
/ Mk−1
αk
αk−1
/ ...
si dice complesso di catene se αk−1 ◦ αk = 0, cioè se Im αk ⊆ Ker αk−1 , per ogni
k ∈ Z. Inoltre per una tale sequenza chiamiamo k-esimo modulo di omologia del
complesso di catene (M· , α· ) lo A-modulo
Hk (M· , α· ) =
Ker αk
,
Im αk+1
e chiamiamo omologia di (M· , α· ) la famiglia (Hk (M· , α· ))k∈Z .
(2.2) Osservazione. Dalla definizione precedente risulta chiaro che un complesso
di catene è una sequenza esatta di A-moduli se e solo se ha omologia nulla, cioè
se e solo se Hk (M· , α· ) = 0 per ogni k ∈ Z.
(2.3) Definizione. Siano (M· , ∂·M ), (N· , ∂·N ) complessi di catene di A-moduli.
Una successione (φk )k∈Z di morfismi di A-moduli φ : Mk → Nk si dice omomorfismo di complessi di catene se il diagramma
/ Mk+1
...
φk+1
/ Nk+1
...
M
∂k+1
/ Mk
∂kM
φk
N
∂k+1
/ Nk
/ Mk−1
N
∂k−1
/ ...
φk−1
/ Nk−1
/ ...
commuta (per ogni k ∈ Z).
(2.4) Definizione. Una successione di omomorfismi di complessi di catene
(M· , ∂·M )
φ·
/ (N· , ∂·N )
ψ·
/ (Q· , ∂·Q )
si dice sequenza esatta corta di complessi di catene se la sequenza
0
/ Mk
φk
/ Nk
ψk
/ Qk
/0
è esatta per ogni k ∈ Z.
(2.5) Proposizione. Sia φ· : (M· , ∂·M ) → (N· , ∂·N ) un omomorfismo di complessi di catene di A-moduli. Allora φ· induce canonicamente un omomorfismo
Hk (φ· ) : Hk (M· , ∂·M ) → Hk (N· , ∂·N ) definito ponendo, per m ∈ Ker ∂kM ,
M
N
Hk (φ· )(mk + Im ∂k+1
) = φk (mk ) + Im ∂k+1
.
22
2
Complessi di catene di A-moduli
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N
Dimostrazione. Basta dimostrare che la mappa mk 7→ φk (mk )+Im δk+1
passa al
M
N
quoziente, cioè basta dimostrare che φk (Im ∂k+1
) ⊆ Im ∂k+1
. Sia mk+1 ∈ Mk+1 .
/ Mk+1
...
φk+1
M
∂k+1
/ Nk+1
...
/ Mk
/ ...
φk
N
∂k+1
/ Nk
/ ...
M
N
N
Allora φk ( ∂k+1
(mk+1 )) = ∂k+1
( φk+1 (mk+1 )) ∈ Im ∂k+1
.
(2.6) Teorema (della sequenza esatta lunga). Sia
(M· , ∂·M )
/ (N· , ∂·N )
φ·
ψ·
/ (Q· , ∂·Q )
una sequenza esatta corta di complessi di catene di A-moduli. Allora esistono
morfismi di A-moduli δk : Hk (Q· , ∂·Q ) → Hk−1 (M· , ∂·M ) tali che la sequenza
...
δk+1
GF
@A
Hk (φ· )
/ Hk (M· , ∂·M )
/ Hk (N· , ∂·N )
Hk (ψ· )
/ Hk (Q· , ∂·Q )
δk
BC
ED
/ Hk-1 (M· , ∂·M )Hk-1 (φ·)/ Hk-1 (N· , ∂·N )Hk-1 (ψ·)/ Hk-1 (Q· , ∂·Q )
δk−1
/ ...
sia esatta.
Dimostrazione. Il Teorema è una immediata applicazione del Lemma (1.26) del
serpente. La sequenza esatta corta di complessi di catene determina il seguente
diagramma commutativo a righe esatte.
0
/ Mk+2
φk+2
/ Nk+2
M
∂k+2
0
/ Mk+1
0
/ Mk
φk+1
0
/ Nk+1
ψk+1
/Q
ψk
/Q
φk−1
/0
Q
∂k+1
/0
∂kQ
∂kN
/ Nk−1
/0
Q
∂k+2
N
∂k+1
/ Nk
φk
∂kM
/ Mk−1
/Q
N
∂k+2
M
∂k+1
ψk+2
ψk−1
/Q
/0
Applicando (1.26) e (1.27) alle prime due righe del diagramma, considerati gli
omomorfismi φk+1 e ψ k+1 del Lemma, si ha la sequenza esatta
M
Coker ∂k+2
φk+1
/ Coker ∂ N
k+2
23
ψ k+1
/ Coker ∂ Q
k+2
/ 0.
2
Complessi di catene di A-moduli
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Analogamente, applicando (1.26) e (1.27) alle ultime due righe del diagramma,
considerati gli omomorfismi (φk )0 e (ψk )0 , si ha la sequenza esatta
0
/ Ker ∂ M
(φk )0
/ Ker ∂ N
k
k
(ψk )0
/ Ker ∂ Q .
k
Colleghiamo queste due sequenze attraverso morfismi. Definiamo
M
M
∂ek+1
: Coker ∂k+2
→ Ker ∂kM ,
M
M
mk+1 + Im ∂k+2
7→ ∂k+1
(mk+1 ),
Q
N
e analogamente per ∂ek+1
e ∂ek+1
. Otteniamo in questo modo un diagramma
commutativo a righe esatte
M
Coker ∂k+2
eM
∂
k+1
0
/ Ker ∂ M
k
φk+1
(φk )0
/ Coker ∂ N
k+2
eN
∂
k+1
/ Ker ∂ N
k
ψ k+1
(ψk )0
/ Coker ∂ Q
k+2
/0
eQ
∂
k+1
/ Ker ∂ Q
k
Infatti per definizione, per mk+1 ∈ Mk+1 ,
M
M
M
N
(φk )0 ∂ek+1
(mk+1 + Im ∂k+2
) = φk ∂k+1
(mk+1 ) = ∂k+1
φk+1 (mk+1 ) .
Possiamo dunque applicare (1.26) a queste due righe ottenendo un omomorfismo
δk+1 che determina una sequenza esatta
M
Coker ∂k+2
k+1
φk+1
eM
∂
k+1
xy
~
Ker ∂kM
/ Coker ∂eM
k+1
/ Ker ∂eQ
k+1
/ Ker ∂eN
M
Ker ∂ek+1
/ Coker ∂ N
k+2
ψ k+1
eQ
∂
k+1
eN
∂
k+1
(φk )0
/ Ker ∂ N
k
/ Coker ∂eN
k+1
z{ δk+1
}|
/ Coker ∂ Q
k+2
(ψk )0
/ Ker ∂ Q
k
/ Coker ∂eQ
k+1
Osserviamo infine che
M
M
M
Ker ∂ek+1
= Ker ∂k+1
/ Im ∂k+2
= Hk+1 (M· , ∂·M ),
M
M
Coker ∂ek+1
= Ker ∂kM / Im ∂k+1
= Hk (M· , ∂·M ),
e analogamente per N e Q. Sicché, per commutatività, anche i morfismi orizzontali che collegano i gruppi di omologia sono proprio gli omomorfismi indotti di
(2.5): Hk+1 (φ· ), Hk+1 (ψ· ) nella prima riga e Hk (φ· ), Hk (ψ· ) nell’ultima.
24
2
Complessi di catene di A-moduli
2.2
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Omotopia e risoluzioni proiettive
Sia A un’algebra su un anello commutativo R.
(2.7) Definizione. Siano (M· , ∂· ), (N· , ∂· ) complessi di catene di A-moduli e
siano φ· , ψ· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ) morfismi di complessi di catene. Si dice che φ· è
omotopicamente equivalente a ψ· (e scriviamo φ· ∼ ψ· ) se esiste una successione
N
di morfismi di A-moduli sk : Mk → Nk+1 t.c. φk − ψk = ∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kM .
In altre parole, nel diagramma
Mk+1
M
∂k+1
/ Mk
∂kM
/ Mk−1
φk −ψk
|
Nk+1
sk
N
∂k+1
{
/ Nk
sk−1
∂kN
/ Nk−1 ,
andare da Mk a Nk mediante φk − ψk equivale a sommare i risultati ottenuti
N
percorrendo le due strade alternative ∂k+1
◦ sk e sk−1 ◦ ∂kM .†
(2.8) Definizione. Un morfismo φ· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ) di complessi di catene
di A-moduli sinistri si dice 0-omotopo se φ· ∼ 0. Un complesso di catene di
A-moduli sinistri (M· , ∂· ) si dice 0-omotopo se Id(M· ,∂· ) ∼ 0.
(2.9) Osservazioni. Alcune osservazioni sulla relazione di omotopia.
(a) È una relazione di equivalenza tra i morfismi di complessi di catene di
A-moduli. Anzitutto è riflessiva: se φ· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ) si ha φk −φk = 0
e dunque basta porre sk = 0 per ogni k. Per dimostrare la simmetria,
sia ψ· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ) un altro morfismo di complessi di catene e sia
N
φ· ∼ ψ· . Allora si ha φk − ψk = ∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kM per opportuni
morfismi sk , sicché
N
ψk − φk = ∂k+1
◦ (−sk ) + (−sk−1 ) ◦ ∂kM .
N
Infine la transitività. Se ψ· ∼ χ· e ψk − χk = ∂k+1
◦ tk + tk ◦ ∂kM allora
N
φk − χk = φk − ψk + ψk − χk = ∂k+1
(sk + tk ) + (sk−1 + tk−1 ) ◦ ∂kM ;
(b) È compatibile con la somma di morfismi di complessi di catene. Assegnati
morfismi di c.d.c. φ· , ψ· , α· , β· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ),
φ· ∼ ψ· ,
α· ∼ β·
=⇒
φ· + α· ∼ ψ· + β· ,
come è immediato verificare;
† Attenzione:
il diagramma raffigurato non è quindi in generale commutativo.
25
2
Complessi di catene di A-moduli
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(c) Si comporta bene rispetto alla composizione di morfismi di complessi di
catene: se φ· , ψ· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ) e α· , β· : (N· , ∂· ) → (Q· , ∂· ) allora
φ· ∼ ψ· ,
α· ∼ β·
α· ◦ φ· ∼ β· ◦ ψ· .
=⇒
Per provarlo basta sfruttare la transitività e mostrare che α· ◦ φ· ∼ β· ◦ φ· e
N
β· ◦ φ· ∼ β· ◦ ψ· . Sia infatti φk − ψk = ∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kM per opportuni
Q
morfismi sk , e αk − βk = ∂k+1
◦ tk + tk−1 ◦ ∂kN per certi tk . Poiché
φk
Mk
∂kM
Mk−1
φk−1
/ Nk
N
∂k
/ Nk−1 ,
si ha che
Q
(αk − βk ) ◦ φk = ∂k+1
◦ (tk ◦ φk ) + tk−1 ◦ (∂kN ◦ φk )
Q
= ∂k+1
◦ (tk ◦ φk ) + (tk−1 ◦ φk−1 ) ◦ ∂kM .
In modo analogo si verifica che β· ◦ φ· ∼ β· ◦ ψ· .
L’importanza dell’equivalenza omotopica è che morfismi di complessi di catene
omotopicamente equivalenti sono indistinguibili nell’omologia.
(2.10) Proposizione. Siano φ· , ψ· : (M· , ∂· ) → (N· , ∂· ) omomorfismi di complessi di catene di A-moduli tali che φ· ∼ ψ· . Allora, detti Hk (φ· ) e Hk (ψ· ) gli
omomorfismi indotti in omologia definiti in (2.5),† si ha Hk (φ· ) = Hk (ψ· ).
N
Dimostrazione. Sia φk − ψk = ∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kM per opportuni morfismi
sk : Mk → Nk . Allora, per ogni mk ∈ Ker ∂kM , si ha
M
N
(Hk (φ· ) − Hk (ψ· ))(mk + Im ∂k+1
) = (φk − ψk )(mk ) + Im ∂k+1
N
N
N
= (∂k+1
◦ sk )(mk ) + Im ∂k+1
+ (sk−1 ◦ ∂kM )(mk ) + Im ∂k+1
N
= 0 + Im ∂k+1
,
sicché Hk (φ· ) = Hk (ψ· ).
(2.11) Osservazione. Sia data una sequenza esatta corta di A-moduli
/ M2
0
/ M1
∂2
∂1
/ M0
/ 0.
Possiamo interpretare questa come un particolare complesso di catene di Amoduli tale che Mk = 0 per k 6= 0, 1, 2 e Hk (M· , ∂· ) = 0 per ogni k ∈ Z. Allora
si vede che (M· , ∂· ) è 0-omotopo se e solo se è spezzante. Infatti,
/ M2
0
0
{
s2
/ M2
{
∂2
s1
∂2
/ M1
/ M1
† Sono
{
∂1
s0
∂1
/ M0
/ M0
|
/0
s−1
/ 0,
gli omomorfismi Hk (M· , ∂· ) → Hk (N· , ∂· ) defniti ponendo, per ogni mk ∈ Ker ∂kM ,
M ) = φ (m ) + Im ∂ N , H (ψ )(m + Im ∂ M ) = ψ (m ) + Im ∂ N .
Hk (φ· )(mk + Im ∂k+1
k
k
k ·
k
k
k
k+1
k+1
k+1
26
2
Complessi di catene di A-moduli
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se (M· , ∂· ) è 0-omotopo allora esistono morfismi s1 , s0 tali che
IdM2 = s1 ◦ ∂2 ,
IdM1 = ∂2 ◦ s1 + s0 ◦ ∂1 ,
IdM0 = ∂1 ◦ s0 .
Ma queste sono esattamente le proprietà della definizione (1.20).
(2.12) Definizione. Sia M un A-modulo sinistro.
(a) Chiamiamo rivestimento proiettivo di M un omomorfismo suriettivo di
A-moduli ε : P → M ove P è un A-modulo proiettivo (def. (1.40));
(b) Sia M un A-modulo sinistro. Si dice risoluzione proiettiva di M un
complesso di catene di A-moduli proiettivi (P· , ∂· ) ove Pk = 0, ∀k < 0, con
un rivestimento proiettivo ε : P0 → M tale che la sequenza
/ P2
...
∂2P
/ P1
∂1P
/ P0
ε
/M
/0
sia esatta.
(2.13) Osservazione. Sia M un A-modulo sinistro.
(a) M ammette un rivestimento proiettivo. Basta considerare il modulo libero
AhM i e l’epimorfismo ε : AhM i → M . Per (1.42), AhM i è proiettivo;
(b) M ammette una risoluzione proiettiva. Infatti esiste un rivestimento
proiettivo di M , ε : P0 → M . Poi si considera il nucleo Ker ε e si prende
un rivestimento proiettivo ∂1P : P1 → Ker ε. Proseguedo in questo modo si
trova un rivestimento proiettivo ∂2P : P2 → Ker ∂1P di Ker ∂1P . In generale,
P
dato ∂kP , esiste un rivestimento proiettivo ∂k+1
: Pk+1 → Ker ∂kP . Si
perviene in questo modo ad una risoluzione proiettiva (P· , ∂·P, ε).
(2.14) Osservazione. Sia (P· , ∂·P, ε) una risoluzione proiettiva di un A-modulo
sinistro M . Indichiamo con (MJ0K, 0) il complesso di catene di A-moduli tale
che MJ0K0 = M e MJ0Kk = 0 per k 6= 0. Allora possiamo interpretare ε come
un morfismo di complessi di catene ε· : (P· , ∂· ) → (MJ0K· , 0) ponendo ε0 = ε e
εk = 0 per k 6= 0. Otteniamo il diagramma seguente
...
...
∂3P
/ P2
∂2P
/0
/ P1
∂1P
/ P0
/0
ε
/M
/0
/ 0.
(2.15) Definizione. Un complesso di catene di A-moduli sinistri (M· , α· )k∈Z ,
...
/ Mk+1
αk+1
/ Mk
αk
/ Mk−1
αk−1
/ ...
si dice aciclico se Mk = 0 per k < 0 e Hk (M· , α· ) = 0 per k 6= 0.
27
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.16) Osservazione. Una risoluzione proiettiva (P· , ∂·P, ε) di un A-modulo M
forma un complesso di catene aciclico. Infatti abbiamo che la sequenza
/ P2
...
∂2P
/ P1
∂1P
/ P0
/0
/M
ε
/ ...
è esatta.
(2.17) Teorema (di paragone). Sia (P· , ∂·P ) un complesso di catene di Amoduli proiettivi concentrato in gradi non negativi (i.e. Pk = 0 per k < 0), sia
(N· , ∂·N ) un complesso di catene aciclico e sia φ : H0 (P· , ∂·P ) → H0 (N· , ∂·N ) un
omomorfismo tra i primi moduli di omologia dei due complessi. Allora:
(a) Esiste un morfismo di complessi φ· : (P· , ∂·P ) → (N· , ∂·N ) t.c. H0 (φ· ) = φ;
(b) Sia ψ· : (P· , ∂·P ) → (N· , ∂·N ) un altro morfismo di complessi di catene tale
che H0 (ψ· ) = φ. Allora φ· e ψ· sono omotopicamente equivalenti.
Dimostrazione. (a) Per provare la tesi dobbiamo costruire degli omomorfismi φk
tale che seguente diagramma risulti commutativo
...
/ P2
φ2
...
/ N2
∂2P
/ P1
∂1P
/ P0
φ1
φ0
∂2N
∂1N
/ N1
/ N0
/ P0 / Im ∂1P
πP
πN
/0
φ
/ N0 / Im ∂1N
/ 0.
Infatti in questo modo si ha un omomorfismo di complessi di catene e inoltre,
per p0 ∈ Ker ∂0P , H0 (φ· )(p0 + Im ∂1P ) = φ0 (p0 ) + Im ∂1N = φ(p0 + Im ∂1P ).
Consideriamo la composizione δ0 = φ ◦ π P . Poiché P0 è proiettivo
P0
φ0
N0
δ0 = φ◦π P
/ N0 / Im ∂1N
z
πN
/ 0,
esiste φ0 : P0 → N0 tale che φ ◦ π P = δ0 = π N ◦ φ0 . Abbiamo ora il diagramma
P1
∂1P
δ1
N1
∂1N
/ P0
φ0
/ N0
/ P0 / Im ∂1P
πP
πN
/0
φ
/ N0 / Im ∂1N
/ 0.
In modo analogo consideriamo la composizione δ1 = φ0 ◦ ∂1P . Non possiamo
immediatamente usare la proiettività di P1 poiché in generale ∂1N non è suriettivo.
Tuttavia si verifica facilmente che Im δ1 ⊆ Ker π N. Infatti, per p1 ∈ P1 , si ha
π N δ1 (p1 ) = (π N ◦ φ0 ) ◦ ∂1P (p1 ) = φ ◦ (π P ◦ ∂1P ) (p1 ) = 0.
28
2
Complessi di catene di A-moduli
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Possiamo dunque restringere il codominio di ∂1N ottenendo un morfismo suriettivo
N
∂N
1 : N1 → Ker π . Ora, poiché P1 è proiettivo
P1
φ1
N1
δ1 = φ0 ◦∂1P
/ Ker π N
{
∂N
1
/ 0,
πN
N
esiste φ1 : P1 → N1 tale che φ0 ◦ ∂1P = δ1 = ∂ N
1 ◦ φ1 = ∂1 ◦ φ1 . Procediamo
dunque per induzione e supponiamo di avere il diagramma commutativo
Pk+1
P
∂k+1
δk+1
Nk+1
N
∂k+1
∂kP
/ Pk
∂kN
/ P0
/ Nk−1
∂1P
/ ...
φk−1
φk
/ Nk
P
∂k−1
/ Pk−1
N
∂k−1
φ0
/ ...
∂1N
/ N0
/ P0 / Im ∂1P
πP
πN
/0
φ
/ N0 / Im ∂1N
/ 0,
P
P
e consideriamo δk+1 = φk ◦ ∂k+1
. Poiché Im ∂k+1
⊆ Ker ∂kP , per pk+1 ∈ Pk+1 ,
P
P
∂kN δk+1 (pk+1 ) = (∂kN ◦ φk ) ◦ ∂k+1
(pk+1 ) = φk−1 ◦ (∂kP ◦ ∂k+1
) (pk+1 ) = 0,
N
sicché Im δk+1 ⊆ Ker ∂kN . Essendo (N· , ∂·N ) aciclico e k > 1, Ker ∂kN = Im ∂k+1
.
N
N
N
Restringendo il codominio di ∂k+1 si ha un morfismo ∂ k+1 : Nk+1 → Ker ∂k .
Pk+1
φk+1
z
Nk+1
P
δk+1 = φk ◦ ∂k+1
/ Ker ∂ N
k
∂N
k+1
∂kN
/ 0.
Poiché Pk+1 è proiettivo, concludiamo che esiste φk+1 : Pk+1 → Nk+1 tale che
N
P
φk+1 ◦ ∂k+1
= φk+1 ◦ ∂ N
k+1 = δk+1 = φk ◦ ∂k+1 , da cui la tesi.
(b) Siano φ· , ψ· morfismi di complessi di catene tali che H0 (φ· ) = H0 (ψ· ) = φ
e sia ρ· = φ· − ψ· . Per provare la tesi dobbiamo costruire, per k ≥ 0, degli
omomorfismi sk : Pk → Nk+1 tali che nel diagramma seguente
...
/ P2
ρ2
...
~
/ N2
∂2P
s1
∂2N
/ P1
ρ1
~
/ N1
∂1P
s0
∂1N
/ P0
/ P0 / Im ∂1P
uu
0 uu
ρ0
u
H0 (ρ· )=0
uu
zuuu
/ N0
/ N0 / Im ∂1N
N
πP
/0
/ 0,
π
N
sia ρk = ∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kP per ogni k ≥ 0. Poiché H0 (φ· ) = H0 (ψ· ) si ha
H0 (ρ· ) = 0, ove H0 (ρ· ) è l’omomorfismo p0 + Im ∂1P 7→ ρ0 (p0 ) + Im ∂1N . Quindi
29
2
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Im ρ0 ⊆ Im ∂1N = Ker π N. Procedendo come solito, poiché P0 è proiettivo
P0
s0
{
N1
∂N
1
p0
/ Ker π N
πN
/ 0,
esiste s0 : P0 → N1 tale che ρ0 = ∂1N ◦ s0 . Per induzione, assumiamo che esistano
N
morfismi s1 , . . . , sk tali che ρi = ∂i+1
◦ si + si−1 ◦ ∂iP per i = 1, . . . , k,
Pk+2
P
∂k+2
sk+1
ρk+2
{
Nk+2
P
∂k+1
P
P
∂k−1
∂k+1
∂k
N
∂k−1
/ Pk ∂k / Pk−1
y
sk−1 yy
sk yy
yy
yy ρk
ρk+1
y
yy ρk−1
y
y
|y
|y
/ Nk+1
/ Nk
/ Nk−1
N
N
N
∂k+2
/ Pk+1
/ ...
/0
/ ...
/ 0.
N
P
Costruiamo sk+1 t.c. ρk+1 = ∂k+2
◦ sk+1 + sk ◦ ∂k+1
. Ancora una volta vogliamo
P
sfruttare la proiettività di Pk+1 e quindi poniamo χk+1 = ρk+1 − sk ◦ ∂k+1
e
N
verifichiamo che Im χk+1 ⊆ Ker ∂k+1 . Per pk+1 ∈ Pk+1 si ha
N
N
N
P
∂k+1
χk+1 (pk+1 ) = ∂k+1
◦ ρk+1 (pk+1 ) − (∂k+1
◦ sk ) ◦ ∂k+1
(pk+1 )
P
P
P
= ρk ◦ ∂k+1 (pk+1 ) − (ρk − sk−1 ◦ ∂k ) ◦ ∂k+1 (pk+1 )
P
= sk−1 ◦ (∂kP ◦ ∂k+1
) (pk+1 ) = 0.
N
N
Poiché (N· , ∂·N ) è aciclico, possiamo restringere il codominio di ∂k+2
a Ker ∂k+1
ottenendo un morfismo suriettivo. Per la proiettività di Pk+1 ,
Pk+1
sk+1
z
Nk+2
χk+1
/ Ker ∂ N
k+1
∂N
k+2
N
∂k+1
/ 0,
P
N
esiste sk+1 : Pk+1 → Nk+2 tale che ρk+1 − sk ◦ ∂k+1
= χk+1 = ∂k+2
◦ sk+1 .
(2.18) Definizione. Siano (M· , ∂·M ), (N· , ∂·N ) complessi di catene di A-moduli
e sia φ· : (M· , ∂·M ) → (N· , ∂·N ) un morfismo di complessi di catene. Diciamo che
φ· è un’ equivalenza omotopica (e che i complessi (M· , ∂·M ) ed (N· , ∂·N ) sono
omotopicamente equivalenti ) se esiste un morfismo ψ· : (N· , ∂·N ) → (M· , ∂·M ) tale
che ψ· ◦ φ· ∼ Id(M· ,∂·M ) e φ· ◦ ψ· ∼ Id(N· ,∂·N ) .
(2.19) Osservazione. Facciamo due utili osservazioni.
(a) Complessi omotopicamente equivalenti hanno la stessa omologia. Se infatti
φ· : (M· , ∂·M ) → (N· , ∂·N ) è un’equivalenza omotopica e ψ· è un’inversa
come in (2.18), allora per ogni k, φk : Hk (M· , ∂·M ) → Hk (N· , ∂·N ) è un
isomorfismo con inverso ψk : Hk (N· , ∂·N ) → Hk (M· , ∂·M );
30
2
Complessi di catene di A-moduli
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(b) Un complesso è 0-omotopo se e solo se è omotopicamente equivalente al
complesso nullo. Infatti in questi casi le relazioni φ· ◦ ψ· ∼ Id e ψ· ◦ φ· ∼ Id
si traducono nella sola richiesta Id(M· ,∂·M ) ∼ 0.
(2.20) Corollario. Sia M un A-modulo e siano (P· , ∂·P , ε· ), (Q· , ∂·Q , η· ) risoluzioni proiettive di M . Allora i complessi (P· , ∂·P ) e (Q· , ∂·Q ) sono omotopicamente
equivalenti nel senso della definizione (2.18).
Dimostrazione. Consideriamo il rivestimento proiettivo ε : P0 → M . Quo∼
zientando per Ker ε = Im ∂1P otteniamo un isomorfismo ε̃ : P0 / Im ∂1P → M .
∼
Analogamente abbiamo un isomorfismo η̃ : Q0 / Im ∂1Q → M .
P0 / Im ∂1P
T
φ
ε̃
/M
ψ
Q0 / Im ∂1Q
η̃
/ M.
Definiamo allora φ : H0 (P· , ∂·P ) → H0 (Q· , ∂·Q ) ponendo φ = η̃ −1 ◦ ε̃ e analogamente poniamo ψ = ε̃−1 ◦ η̃. Applicando (2.17(a)) a φ otteniamo un morfismo
di complessi di catene φ· : (P· , ∂·P ) → (Q· , ∂·Q ) t.c. H0 (φ· ) = φ e similmente,
applicando (2.17(a)) a ψ, troviamo ψ· : (Q· , ∂·Q ) → (P· , ∂·P ) tale che H0 (ψ· ) = ψ.
Allora ψ· ◦ φ· : (P· , ∂·P ) → (P· , ∂·P ) soddisfa
H0 (ψ· ◦ φ· ) = H0 (ψ· ) ◦ H0 (φ· ) = φ ◦ ψ = IdH0 (P· ,∂·P ) .
Ma anche l’identità ha la stessa proprietà sicché, per (2.17(b)), concludiamo che
ψ· ◦ ψ· ∼ Id(P· ,∂·P ) . In modo del tutto analogo si vede che ψ· ◦ φ· ∼ Id(Q· ,∂·Q ) .
Quindi φ· è un’equivalenza omotopica tra (P· , ∂·P ) e (Q· , ∂·Q ).
(2.21) Osservazione. Sia (C· , ∂·C ) un complesso di catene di A-moduli sinistri
concentrato in gradi non negativi
...
∂3C
/ C2
∂2C
/ C1
∂1C
/ 0,
/ C0
e sia M un A-modulo sinistro. Allora possiamo definire un complesso di catene
di R-moduli ( HomA (C· , M ), δ·C ) ponendo, per ogni k ≥ 0,
HomA (C· , M )k = HomA (Ck , M )
C
C
C
δ−k
= (∂k+1
)∗ = ◦ ∂k+1
: HomA (C· , M )−k → HomA (C· , M )−(k+1) .
Otteniamo in questo modo una sequenza
0
0
“δ1C ”
/ HomA (C0 , M )
◦∂1C
δ0C
/ HomA (C1 , M )
◦∂2C
C
δ−1
/ HomA (C2 , M )
C
C
che è un complesso di catene poiché δ−(k+1)
◦ δ−k
= 0.
31
◦∂3C
C
δ−2
/ ...
2
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(2.22) Proposizione. Sia φ· : (C· , ∂·C ) → (D· , ∂·D ) una equivalenza omotopica
di complessi di catene di A-moduli concentrati in gradi non-negativi. Allora
φ·∗ : ( HomA (D· , M ), δ·D ) → ( HomA (C· , M ), δ·C ) è una equivalenza omotopica.
Dimostrazione. Per definizione, φ∗−k : HomA (Dk , M ) → HomA (Ck , M ) è dato
da φ∗−k (αk ) = αk ◦ φk . Verifichiamo anzitutto che φ·∗ è una mappa di complessi
di catene. In altre parole proviamo che il diagramma
HomA (Dk , M )
D
δ−k
/ HomA (Dk+1 , M )
φ∗
−(k+1)
φ∗
−k
HomA (Ck , M )
/ HomA (Ck+1 , M )
C
δ−k
commuta. Sia αk ∈ HomA (Dk , M ). Allora
D
D
D
φ∗−(k+1) δ−k
(αk ) = φ∗−(k+1) (αk ◦ ∂k+1
) = αk ◦ (∂k+1
◦ φk+1 )
C
C
C
= αk ◦ (φk ◦ ∂k+1
) = δ−k
(αk ◦ φk ) = δ−k
φ∗−k (αk ) .
Siano ora φ· : (C· , ∂·C ) → (D· , ∂·D ) e ψ· : (D· , ∂·D ) → (C· , ∂·C ) morfismi di
complessi di catene tali che ψ· ◦ φ· ∼ Id(C· ,∂·C ) e φ· ◦ ψ· ∼ Id(D· ,∂·D ) . Dimostriamo
che φ·∗ ◦ ψ·∗ ∼ Id(HomA (C· ,M ),δ·C ) e ψ·∗ ◦ φ·∗ ∼ Id(HomA (D· ,M ),δ·D ) . Sia χ· = ψ· ◦ φ· .
Poiché χ·∗ = (ψ· ◦ φ· )∗ = ◦ ψ· ◦ φ· = φ·∗ ◦ ψ·∗ , ci basta provare che, se ξ· è un
morfismo di complessi tale che ξ· ∼ 0, allora ξ·∗ ∼ 0.† Sia sk : Ck → Dk+1
Ck+1
C
∂k+1
/ Ck
∂kC
/ Ck−1
ξk
|
Dk+1
sk
D
∂k+1
|
/ Dk
sk−1
∂kD
/ Dk−1 ,
D
tale che ξk = ∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kC . Per ogni k ≥ 0 si ha un morfismo
S−(k+1) : HomA (Dk , M ) → HomA (Ck , M ), S−(k+1) (αk+1 ) = αk+1 ◦ sk .
HomA (Dk−1 , M )
u
HomA (Ck−1 , M )
D
δ−(k−1)
S−k
C
δ−(k−1)
/ HomA (Dk , M )
∗
ξ−k
u
/ HomA (Ck , M )
D
δ−k
/ HomA (Dk+1 , M )
S−(k+1)
C
δ−k
/ HomA (Ck+1 , M ) .
Per αk ∈ HomA (Dk , M ) si ha
∗
D
ξ−k
(αk ) = αk ◦ ξk = αk ◦ (∂k+1
◦ sk + sk−1 ◦ ∂kC )
D
= (αk ◦ ∂k+1
) ◦ sk + (αk ◦ sk−1 ) ◦ ∂kC
D
C
= S−(k+1) (αk ◦ ∂k+1
) + δ−(k−1)
(αk ◦ sk−1 )
D
C
= S−(k+1) δ−k (αk ) + δ−(k−1) S−k (αk ) .
† Cosı̀
da poter applicare questo fatto con ξ· = ψ· ◦ φ· − Id e ξ· = φ· ◦ ψ· − Id.
32
2
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∗
D
C
Da cui si evince che ξ−k
= S−(k+1) ◦ δ−k
+ δ−(k−1)
◦ S−k .
Definizione di Ext·A (B, M )
2.3
Sia A un’algebra su un anello commmutativo R.
(2.23) Definizione. Siano B e M A-moduli sinistri e sia (P· , ∂·P , ε) una risoluzione proiettiva di B. Consideriamo il complesso di catene
/ P2
...
∂2P
∂1P
/ P1
/ P0
∂0P
/ 0.
Per ogni k ≥ 0 indichiamo con ExtkA (B, M ) l’omologia k-esima del complesso
che si ottiene applicando il funtore controvariante HomA ( , M ),
0
(∂0P )∗
P ∗
P ∗
/ HomA (P0 , M ) (∂1 ) / HomA (P1 , M ) (∂2 ) / HomA (P2 , M )
/ ...
In altre parole

0
P ∗
P ∗

 ExtA (B, M ) = Ker(∂1 ) / Im(∂0 )

 Ext1 (B, M ) = Ker(∂ P )∗ / Im(∂ P )∗
A
2
1

...


 Extk (B, M ) = Ker(∂ P )∗ / Im(∂ P )∗
A
k+1
k
La definizione precedente è ben posta poiché non dipende dalla scelta della
risoluzione proiettiva (P· , ∂·P , ε) di B. Più precisamente si ha la seguente.
(2.24) Proposizione. Siano M e B due A-moduli sinistri e siano (P· , ∂·P , ε) e
(Q· , ∂·Q , η) risoluzioni proiettive di B. Allora esiste un isomorfismo canonico
H−k HomA (Q· , M ), δ·Q ' H−k HomA (P· , M ), δ·P .
Dimostrazione. Come in (2.20), abbiamo il digramma
ε̃
P0 / Im ∂1P
K
ψ
/ B
φ
Q0 / Im ∂1Q
η̃
/ B,
ove φ : H0 (P· , ∂·P ) → H0 (N· , ∂·N ), φ = η̃ −1 ◦ ε̃ e ψ = ε̃−1 ◦ η̃. Per (2.17(a))
possiamo trovare un morfimo di complessi di catene φ· : (P· , ∂·P ) → (Q· , ∂·Q ) che
è un’equivalenza omotopica con inversa ψ· .
...
/ P2
φ2
...
/ Q2
∂2P
∂2Q
/ P1
∂1P
φ1 / Q1
∂1Q
33
/ P0
ε
/B
/0
/B
/ 0.
φ0 / Q0
η
2
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Per (2.22), il morfismo φ·∗ : (HomA (Q· , M ), δ·Q ) → (HomA (P· , M ), δ·P ) definito
da φ∗−k (αk ) = αk ◦ φk è un’equivalenza omotopica con inversa ψ·∗ .
0
/ HomA (Q0 , M )
φ∗
0
0
/ HomA (P0 , M )
δ0Q
δ0P
/ HomA (Q1 , M )
φ∗
−1
/ HomA (P1 , M )
Q
δ−1
P
δ−1
/ HomA (Q2 , M )
φ∗
−2
/ HomA (P2 , M )
Q
δ−2
/ ...
P
δ−2
/ ...
In particolare si ha φ·∗ ◦ ψ·∗ ∼ Id e viceversa. Applicando H−k ( ) e (2.10)
otteniamo H−k (φ·∗ ) ◦ H−k (ψ·∗ ) = H−k (φ·∗ ◦ ψ·∗ ) = Id e analogamente H−k (ψ·∗ ) ◦
H−k (φ·∗ ) = Id, sicché χk = H−k (φ·∗ ) è l’isomorfismo desiderato.
Se poi ξ· : (P· , ∂·P ) → (Q· , ∂·Q ) è un altro morfismo di complessi di catene tale
che H0 (ξ· ) = φ allora per (2.17(b)) si ha ξ· ∼ φ· e quindi per (2.22) è ξ·∗ ∼ φ·∗ ,
sicché H−k (ξ·∗ ) = H−k (φ·∗ ) e l’isomorfismo χ· è canonico.
Dunque la scelta della risoluzione proiettiva non influisce sulla definizione di
ExtkA (B, M ). Si osservi tuttavia che nella precedente proposizione i rivestimenti
proiettivi ε e η hanno un ruolo nel determinare l’isomorfismo χk .
(2.25) Proposizione. Siano B e M A-moduli sinistri e sia (P· , ∂·P , ε) una
risoluzione proiettiva di B. Allora ε induce un isomorfismo
∼
ε∗ : HomA (B, M ) → Ext0A (B, M ).
Dimostrazione. Dato che l’omomorfismo ε : P0 → B è suriettivo, il morfismo
ε∗ : HomA (B, M ) → HomA (P0 , M ) definito ponendo ε∗ (φ) = φ ◦ ε è iniettivo.
Quindi restringendo il codominio di ε∗ otteniamo un isomorfismo. D’altra parte
per la definizione (2.23) abbiamo Im ε∗ = Ker(∂1P )∗ = Ext0A (B, M ).
(2.26) Proposizione. Siano M e P due A-moduli. Se P è proiettivo,
HomA (P, M ), k = 0
ExtkA (P, M ) '
.
0,
k 6= 0
Dimostrazione. Con le notazioni di (2.14), abbiamo una risoluzione proiettiva
(PJ0K, 0, Id) di P . Applicando HomA ( , M ) alla sequenza
...
/0
/P
/ 0,
otteniamo la sequenza
0
/ HomA (P, M )
/0
/ ...
che ha ovviamente l’omologia descritta nell’enunciato
Computare ExtkA (B, M ) in generale è invece un problema complesso.
34
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.27) Esempio. Se A = K è un campo allora come sappiamo tutti i K-moduli
(spazi vettoriali) sono proiettivi e quindi tutti gli Ext sono banali del tipo
descritto dalla proposizione (2.26). Mettiamoci in una situazione più generale.
Sia A = D un dominio a ideali principali. Siano p, q ideali primi di D generati
da p e q rispettivamente (p = Dp, q = Dq con p, q ∈ D). Allora
/D
0
/D
p·
ε
/ D/p
/ 0,
ove ε è la proiezione canonica, è una risoluzione proiettiva di D/p (la moltiplicazione per p è iniettiva in quanto D non ha divisori dello zero).
La sequenza esatta lunga per Ext·A (B, ) e Ext·A ( , M )
2.4
Sia R un anello commutativo e A una R-algebra.
(2.28) Proposizione. Sia B un A-modulo sinistro e sia data una sequenza
esatta corta di A-moduli sinistri.
0
/M
/N
σ
τ
/Q
/ 0.
Allora esiste una sequenza esatta lunga
0
GF
@A
GF
@A
/ HomA (B, M )
e0 (σ)
/ HomA (B, N )
e0 (τ )
/ HomA (B, Q)
BC
ED
e1 (τ )
/ Ext1A (B, Q)
ED
BC
e2 (τ )
/ Ext2A (B, Q)
d0
/ Ext1A (B, M )
e1 (σ)
/ Ext1A (B, N )
d1
/ Ext2A (B, M )
e2 (σ)
/ Ext2A (B, N )
d2
/ ...
Dimostrazione. Il risultato segue direttamente dal teorema (2.6). Consideriamo
infatti il morfismo di A-moduli sinistri σ : M → N e sia fissata una risoluzione proiettiva (P· , ∂·P , ε) di B (primo argomento di Ext). Abbiamo allora un morfismo di
complessi di catene di R-moduli (σ∗ )· : (HomA (P· , M ), δ·M ) → (HomA (P· , N ), δ·N )
definito ponendo, per φk ∈ HomA (Pk , M ), (σ∗ )k (φk ) = σ ◦ φk . Infatti per
associatività si ha, ∀ k,
HomA (Pk , M )
σ◦
HomA (Pk , N )
P
◦∂k+1
P
◦∂k+1
35
/ HomA (Pk+1 , M )
σ◦
/ HomA (Pk+1 , N ).
2
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Analogo discorso di applica al morfismo τ : N → Q. Poiché i moduli Pk sono
proiettivi, (1.41(a)) garantisce che il seguente diagramma ha colonne esatte
0
0
0
/ HomA (P0 , M )
0
/ HomA (P0 , N )
0
/ HomA (P0 , Q)
(∂1P )∗
σ∗
/ HomA (P1 , M )
(∂2P )∗
σ∗
τ∗
0
τ∗
(∂1P )
0
/ ...
σ∗
/ HomA (P1 , N )
/ HomA (P1 , Q)
∗
/ HomA (P2 , M )
/ HomA (P2 , N )
/ ...
τ∗
/ HomA (P2 , Q)
∗
(∂2P )
0
/ ...
0
In altre parole, la nostra sequenza esatta corta determina una sequenza esatta
corta di complessi di catene di R-moduli sinistri
0
/ (HomA (P· , M ), δ·M )
σ∗
/ (HomA (P· , N ), δ·N )
τ∗
/ (HomA (P· , Q), δ·Q )
/ 0.
Per il teorema (2.6) della sequenza esatta lunga in omologia, posto
k
e (σ) = H−k (σ∗ ) : ExtkA (B, M ) → ExtkA (B, N )
,
ek (τ ) = H−k (τ∗ ) : ExtkA (B, N ) → ExtkA (B, Q)
esistono morfismi di R-moduli dk : ExtkA (B, Q) → Extk+1
A (B, M ) tali che la
sequenza presente nell’enunciato sia esatta.
(2.29) Lemma (Horseshoe lemma). Sia data una sequenza esatta di A-moduli
/M
0
σ
/N
τ
/T
/ 0,
e siano ε : P → M e η : Q → T rivestimenti proiettivi. Allora esiste un morfismo
di A-moduli ξ : P ⊕ Q → N suriettivo tale che il diagramma
0
0
/M
O
σ
/N
O
τ
/T
O
ε
ξ
η
/P
/ P ⊕Q
i1
p2
/Q
sia commutativo.
Dimostrazione. Poichè Q è proiettivo
Q
ϑ
N
η

τ
/T
36
/ 0,
/0
/ 0,
2
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esiste ϑ : Q → N tale che τ ◦ ϑ = η. Sia inoltre β : P → N , β = σ ◦ ε. Definiamo
ξ : P ⊕ Q → N ponendo, per ogni p ∈ P, q ∈ Q,
ξ(p + q) = β(p) + ϑ(q).
È immediato verificare che ξ fa commutare il diagramma. Infatti si ha
τ (ξ(p + q)) = τ (β(p) + ϑ(q)) = (τ ◦ σ ◦ ε)(p) + η(q) = η(q) = η(p2 (p + q)),
σ(ε(p)) = β(p) = ξ(p),
per ogni p ∈ P e q ∈ Q. Per mostrare la suriettività di ξ possiamo sfruttare il
lemma (1.26). Poiché ε è suriettivo si ha Coker ε = M/ Im ε = 0 e analogamente
Coker η = 0. Dunque per (1.26) abbiamo una sequenza esatta
0
/ Ker ε
i1
/ Ker ξ
p2
/ Ker η
/0
/ Coker ξ
/ 0.
In particolare si ha Coker ξ = 0, e ξ è suriettivo.
(2.30) Lemma. Sia data una sequenza esatta di A-moduli
/B
0
σ
/C
τ
/D
/ 0,
e sia (P· , ∂·P , ε) una risoluzione proiettiva di B e (Q· , ∂·Q , η) una risoluzione
proiettiva di D. Allora esiste un morfismo ξ : P0 ⊕ Q0 → C suriettivo e morfismi
δi : Pi ⊕ Qi → Pi−1 ⊕ Qi−1 tali che il diagramma
0
...
/ P2
...
/ P2 ⊕ Q2
...
/ Q2
0
0
∂2P
δ2
∂2Q
0
/ P1
∂1P
/ P1 ⊕ Q1
/ Q1
δ1
∂1Q
0
/ P0
0
ε
/ P0 ⊕ Q0
/ Q0
0
ξ
η
/B
/ 0
/C
/ 0
/D
/ 0
0
sia commutativo con righe esatte. In particolare, posto Tk = Pk ⊕ Qk , si ha che
(T· , δ· , ξ) determina una risoluzione proiettiva per C.
Dimostrazione. Per il lemma precedente esiste ξ : P0 ⊕ Q0 → C tale che il
diagramma commuta al grado 0. Consideriamo ora il grado 1 e troviamo il
morfismo δ1 . Sia ∂ P
1 l’omomorfismo che si ottiene restringendo il codominio di
37
2
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∂1P a Ker ε = Im ∂1P e analogamente sia definito ∂ Q
1 . Abbiamo il diagramma
0
P1
P1 ⊕ Q1
Q1
0
P
∂1
δ1
Q
∂1
/ Ker ε
/0
/ Ker ξ
/0
/ Ker η
/0
0
0
Ancora per il lemma (2.29), esiste δ 1 tale che il il diagramma sia commutativo.
Definiamo dunque δ1 semplicemente ampliando il codominio a tutto P0 ⊕ Q0 .
Poiché δ 1 è suriettivo si ha Im δ1 = Ker ξ. Dunque la sequenza
P1 ⊕ Q1
δ1
/C
ξ
/ 0,
è esatta. Procediamo dunque per induzione supponendo che esistano δ1 , . . . , δk
che il diagramma commuti fino all’ordine k. Consideriamo il diagramma
0
Pk+1
Pk+1 ⊕ Qk+1
Qk+1
0
P
∂ k+1
δ k+1
Q
∂ k+1
/ Ker ∂ P
k
/0
/ Ker δk
/0
/ Ker ∂ Q
k
/0
0
0
Q
Q
P
ove ∂ P
k+1 e ∂ k+1 sono definiti restringendo il codominio di ∂ k+1 e ∂ k+1 . Per il
lemma (2.29) esiste δ k+1 suriettivo che fa commutare il diagramma, sicché è
definito il morfismo δk+1 : Pk+1 ⊕ Qk+1 → Pk ⊕ Qk e la sequenza
Pk+1 ⊕ Qk+1
δk+1
/ Pk ⊕ Qk
δk
/ ...
è esatta.
38
δ2
/ P1 ⊕ Q1
δ1
/C
ξ
/0
2
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Segue il teorema della sequenza esatta lunga per Ext·A ( , M ).
(2.31) Proposizione. Sia M un A-modulo sinistro e sia data una sequenza
esatta corta di A-moduli sinistri.
/B
0
/C
σ
τ
/ 0.
/D
Allora esiste una sequenza esatta lunga
/ HomA (D, M )
0
GF
@A
GF
@A
e0 (τ )
/ HomA (C, M )
e0 (σ)
/ HomA (B, M )
BC
ED
e1 (σ)
/ Ext1A (B, M )
ED
BC
e2 (σ)
/ Ext2A (B, M )
d0
/ Ext1A (D, M )
e1 (τ )
/ Ext1A (C, M )
d1
/ Ext2A (D, M )
e2 (τ )
/ Ext2A (C, M )
d2
/ ...
Dimostrazione. Sia (P· , ∂ D , ε) una risoluzione proiettiva di B e (Q· , ∂ Q , η) una
risoluzione proiettiva di D. Applicando il funtore controvariante HomA ( , M ) al
diagramma restituito dal lemma (2.30) otteniamo il diagramma commutativo
0
0
HomA (Q0 , M )
(∂1Q )∗
/ HomA (Q1 , M )
p∗
2
HomA(P0 ⊕ Q0 , M )
/ ...
δ2∗
/ ...
(∂2P )∗
/ ...
p∗
2
δ1∗
/ HomA(P1 ⊕ Q1 , M )
(∂1P )∗
/ HomA (P1 , M )
i∗
1
HomA (P0 , M )
(∂2Q )∗
i∗
1
0
0
le cui colonne sono esatte perché HomA ( , M ) è esatto a sinistra e i∗1 è la
restrizione a P0 . In altre parole, interpretando ogni riga come un complesso di
catene di R-moduli sinistri, abbiamo una sequenza esatta corta di complessi di
catene. Per il teorema (2.6) della sequenza esatta lunga in omologia esistono
morfismi dk tale che si ha la sequenza esatta dell’enunciato. Osserviamo infatti
che, poiché la sequenza delle somme dirette determina una risoluzione proiettiva
per C, l’omologia del complesso centrale è esattamente Ext·A (C, M ).
2.5
Esempio: coomologia di un gruppo ciclico
Sia R = Z l’anello degli interi, sia G = C un gruppo
finito ciclico
e sia
A = Z[C] l’algebra gruppale di C su Z. Si ponga C = 1, g, . . . , g n−1 per un
39
2
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opportuno generatore g ∈ C e n ∈ N, e si supponga |C| = n ≥ 2. Definiamo
Pn−1
un’applicazione ε : Z[C] → Z ponendo, per ogni i=0 ri g i ∈ Z[C], ri ∈ Z,
ε
Pn−1
i=0
Pn−1
ri g i = i=0 ri .
È immediato verificare che ε è un epimorfismo di Z-algebre. Infatti per ogni z ∈ Z
si ha sempre una preimmagine per ε (ad esempio z1G ). Possiamo dunque dare a
Z la struttura di Z[C]-modulo ponendo, per ogni u ∈ Z[C], z ∈ Z, uz = ε(u)z.
Consideriamo la seguente sequenza di Z[C]-moduli
/Z
0
ove NC =
Pn−1
i=0
/ Z[C]
NC
(g−1)·
/ Z[C]
ε
/Z
/ 0,
(2.32.1)
g i . Si ha
(2.32) Lemma. La sequenza (2.32.1) è esatta.
Dimostrazione. Si ha (g − 1)Z[C] ⊆ Ker ε. Infatti ε((g − 1)u) = ε(g − 1)ε(u).
Pn−1
Pn−1
Sia ora u = i=0 ri g i ∈ Ker ε. Allora i=0 ri = 0. Posto
v = r0 1 + (r0 + r1 )g + (r0 + r1 + r2 )g 2 + . . . + (r0 + . . . + rn−1 )g n−1 ,†
verifichiamo che (1 − g)v = u. Per n = 2, r0 + r1 = 0 e
(1 − g)v = (1 − g) r0 1 + (r0 + r1 )g
= r0 1 + (
r0 + r1 )g − r0
g − (X
r0 X
+
r1 )g 2
X
X
= r0 1 + r1 g = u.
In modo analogo si ha, per n arbitrario,
Pn−1 Pi
i
(1 − g)v = (1 − g)
i=0 (
j=0 rj )g
(
n−1
r0 (
+(
. .(
. +(r(
= r0 1 + (
r0 + r1 )g + . . . + ((
n−2 + rn−1 )g
(( n−1
hhhh
(()g n
(r(
−
r0
g − . . . −(
(r0(+(. (
.. +
− ((
r0 (
+(
. .(
. +(
hrh
n−2 )g
n−1
h
= r0 1 + r1 g + r2 g 2 + . . . + rn−1 g n−1 = u.
Quindi si ha (g − 1)Z[C] = Ker ε. Proviamo poi che Ker(g − 1) = ZNC . Si ha
Pn−1
P
P
(g − 1)NC = (g − 1) i=0 g i = h∈C h − h∈C h = 0.
D’altro canto, se u =
0 = (g − 1)u =
Pn
Pn−1
i=0
i=1 ri−1 g
r1 g i soddisfa (g − 1)u = 0 allora
i
−
Pn−1
i=0
ri g i =
Pn−1
i=1
(ri−1 − ri )g i + (rn−1 − r0 )1.
Poiché ovviamente Z[C] è libero su C, segue che tutti i coefficienti devono essere
nulli, cioè r0 = r1 = . . . = rn−1 . Concludiamo che u = r0 NC .
† Osserviamo che in realtà la somma arriva fino a n − 2 poiché l’ultimo termine è nullo.
Teniamo questo termine per agevolare i conti successivamente.
40
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.33) Corollario. La seguente sequenza di Z[C]-moduli
...
∂g
∂NC
/ Z[C]
∂g
/ Z[C]
/ Z[C]
ε
/Z
/0,
ove ∂g (u) = (g − 1)u e ∂NC (u) = ε(u)NC , è esatta. In particolare essa definisce
una risoluzione proiettiva per lo Z[C]-modulo banale Z.
Dimostrazione. Sappiamo che ε è suriettivo, Ker ε = Im ∂g e si ha
Ker ∂g = ZNC = ε(Z[C])NC = Im ∂NC ,
Ker ∂NC = Ker ε = Im ∂g .
Posto A = Z[C] e fissato un A-modulo sinistro M possiamo dunque calcolare Ext·A (Z, M ) attraverso tale risoluzione proiettiva. Applicando il funtore
controvariante HomA ( , M ) otteniamo
/ HomA (A, M ) (g−1)· / HomA (A, M )
0
NC
/ HomA (A, M ) (g−1)· / . . .
Osserviamo che HomA (A, M ) ' M in modo naturale (infatti la valutazione in 1,
V1 : HomA (A, M ) → M è un isomorfismo). Abbiamo quindi
/ HomA (A, M ) (g−1)· / HomA (A, M )
0
o V1
/ M
0
(g−1)·
o V1
/ M
NC
/ HomA (A, M ) (g−1)· / . . .
NC
o V1
/ M
(g−1)·
/ ...
Segue che
ExtkA (Z, M )
=
M C /NC M
Ker NC /(g − 1)M
se k è pari positivo
,
se k è dispari
ove M C = { m ∈ M | gm = m } e Ker NC = { m ∈ M | NC m = 0 }.
(2.34) Definizione. Sia G un gruppoP
e sia M uno Z[G]-modulo sinistro.
P Sia Z lo
Z[G]-modulo definito ponendo ∀ u = g∈G rg g ∈ Z[G], z ∈ Z, uz = ( g∈G rg )z.
Chiamiamo coomologia di G a coefficienti in M lo Z-modulo
H k (G, M ) = ExtkZ[G] (Z, M ).
(2.35) Corollario. Sia G = C un gruppo ciclico
P generato da g ∈ G e sia M
uno Z[C]-modulo sinistro. Allora, posto NC = g∈C g si ha
C
M /NC M
se k è pari positivo
H k (G, M ) =
,
Ker NC /(g − 1)M se k è dispari
ove M C = { m ∈ M | gm = m } e Ker NC = { m ∈ M | NC m = 0 }.
La ciclicità di un gruppo finito si esprime nella “periodicità” dell’omologia.
41
2
2.6
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Il prodotto tensoriale
In questa sezione vogliamo definire il prodotto tensoriale di moduli. Si
consultino [CR1, pp. 23-27] e [CR, pp. 59-76] per maggiori dettagli.
Sia R un anello commutativo con unità e sia A una R-algebra. Indichiamo
con Aop l’algebra che si ottiene dando ad A il prodotto ? : A×A → A, a ?b = b·a,
ove · indica il prodotto di A.† 1A è un isomorfismo di R-algebre A ' Aop .
(2.36) Proposizione. Sia M un A-modulo sinistro.
Allora M è canonicamente isomorfo a un Aop -modulo destro.
Dimostrazione. Basta considerare M con il prodotto a destra definito ponendo
m · a := am. Ovviamente · : M × A → M è R-bilineare, m · 1 = 1m = m e
m · (a ? b) = (a ? b)m = (ba)m = b(am) = (am) · b = (m · a) · b.
Abbiamo ovviamente uno stretto legame tra la struttura di M come A-modulo
sinistro e quella di M come Aop -modulo destro (un “isomorfismo”).
(2.37) Definizione. Sia M un A-modulo destro e sia X un A-modulo sinistro.
Il prodotto tensoriale M ⊗A X è un R-modulo sinistro munito di una mappa
i : M × X → M ⊗A X soddisfacente ∀ m, m1 , m2 ∈ M , ∀ x, x1 , x2 ∈ X, ∀r ∈ R,
i(ma, x) = i(m, ax),
i(mr, x) = ri(mx),
i(m1 + m2 , x) = i(m1 , x) + i(m2 , x),
i(m, x1 + x2 ) = i(m, x1 ) + i(m, x2 ),
tale che (M ⊗A X, i) soddisfa la seguente proprietà universale: per ogni fissato
R-modulo sinistro B e per ogni mappa φ : M × X → B tale che
φ(ma, x) = φ(m, ax),
φ(mr, x) = rφ(m, x),
φ(m1 + m2 , x) = φ(m1 , x) + φ(m2 , x),
φ(m, x1 + x2 ) = φ(m, x1 ) + φ(m, x2 ),
esiste un unico omomorfismo di R-moduli φ tale che il diagramma
M ×X
GG
GG φ
GG
i
GG
GG
#
/B
M ⊗A X
φ
sia commutativo.
(2.38) Proposizione. Sia M un A-modulo destro e X un A-modulo sinistro.
Se il prodotto tensoriale M ⊗A X esiste, allora esso è unico modulo un unico
isomorfismo. Più precisamente, se (M ~A X, j) è un altro R-modulo che soddisfa
† Naturalmente si ottiene ancora un prodotto R-bilineare, 1 funge da unità anche in Aop
A
e il prodotto ? è associativo: (a ? b) ? c = c(ba) = (cb)a = a ? (b ? c).
42
2
Complessi di catene di A-moduli
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la proprietà universale (2.37) del prodotto tensoriale, allora esiste un unico
isomorfismo β : M ⊗A X → M ~A X tale che il diagramma
i
/ M ⊗A X
M × XK
KKK
KKK β
KKK
j
K% M ~A X
sia commutativo.
Dimostrazione. Per la proprietà universale di M ⊗A X, esiste un unico omomorfismo di R-moduli j : M ⊗A X → M ~A X tale che j = j ◦i. Per la proprietà universale di M ~A X esiste un unico omomorfismo di R-moduli i : M ~A X → M ⊗A X
tale che i = i ◦ j. Consideriamo dunque il diagramma seguente.
/ M ⊗A X
M × 9X S
99 SSSSS
SSS j
99
SSS
99
j
SSS
SSS
99
SS)
99i
j
99
M
~
AX
99
99
i
99
9
{
j
M ~A X o
M ⊗A X
i
Abbiamo che i = (i ◦ j) ◦ i e j = (j ◦ i) ◦ j. Per la proprietà universale di M ⊗A X,
la prima relazione implica i ◦ j = IdM⊗AX (l’unico omomorfismo che soddisfa la
relazione non può che essere l’identità). Analogamente, per la proprietà universale
di M ~A X, la seconda relazione implica j ◦ i = IdM ~A X . Concludiamo che
β = j è l’unico isomorfismo dell’enunciato.
(2.39) Proposizione. Sia M un A-modulo destro e X un A-modulo sinistro.
Allora il prodotto tensoriale M ⊗A X esiste. Più precisamente, si consideri lo
R-modulo libero (RhM × Xi , j), ove j = iM ×X : M × X → RhM × Xi e sia K
il sottomodulo di RhM × Xi generato dai seguenti elementi
j(ma, x) − j(m, ax), j(m1 + m2 , x) − j(m1 , x) − j(m2 , x),
K=
.
j(mr, x) − rj(m, x), j(m, x1 + x2 ) − j(m, x1 ) − j(m, x2 )
R
Detto S = RhM × Xi/K il modulo quoziente e i : M × X → S la mappa
i(m, x) = j(m, x) + K, si ha che (S, i) soddisfa la proprietà universale (2.37).
Dimostrazione. Osserviamo che se π : RhM × Xi → S è la proiezione canonica
si ha i = π ◦ j. Sia B un R-modulo sinistro e sia φ : M × X → B come in (2.37).
Allora, poiché RhM × Xi è libero, esiste φ0 : RhM × Xi → B t.c. φ = φ0 ◦ i.
j
/ RhM × Xi
M × XM
MMM
MMM φ0
MMM
φ
MM& x
B
43
π
φ
/ M ⊗A X
2
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Ci basta dunque provare che la mappa φ0 passa al quoziente (cioè che K ⊆ Ker φ0 )
e che la mappa risultante φ è univocamente determinata. Si ha
φ0 (j(ma, x)−j(m, ax)) = φ(ma, x)−φ(m, ax)
φ0 (j(mr, x)−rj(m, x)) = φ(mr, x)−rφ(m, x)
φ0 (j(m1 +m2 , x)−j(m1 , x)−j(m2 , x)) = φ(m1 +m2 , x)−φ(m1 , x)−φ(m2 , x)
φ0 j(m, x1 +x2 )−j(m, x1 )−j(m, x2 )) = φ(m, x1 +x2 )−φ(m, x1 )−φ(m, x2 ),
e tali quantità sono tutte nulle per le ipotesi su φ. Dunque φ0 |K = 0 e φ è ben
definita. Sia ora ψ : M ⊗A X → B un’altra mappa t.c. ψ ◦ π = φ0 = φ ◦ π. Allora,
poiché π è suriettiva (i.e. ha inversa destra), si conclude che ψ = φ.
Ha dunque senso parlare del prodotto tensoriale M ⊗A X di un A-modulo
destro M con un A-modulo sinistro X. Nella definizione (2.37) abbiamo richiesto
anche la presenza dell’applicazione i : M ×X → M ⊗AX. Nel seguito raramente si
menzionerà esplicitamente questa mappa poiché preferiremo adottare la notazione
di prodotto tensoriale scrivendo m ⊗ x per i(m, x). Con questa convenzione, le
proprietà di i si traducono nella forma seguente
(ma) ⊗ x = m ⊗ (ax),
(mr) ⊗ x = r(m ⊗ x),
(m1 + m2 ) ⊗ x = m1 ⊗ x + m2 ⊗ x,
m ⊗ (x1 + x2 ) = m ⊗ x1 + m ⊗ x2 .
(2.40) Esempio. Sia R = A = K un campo e siano V e W due K-spazi vettoriali.
Sia { vi | i ∈ I } una base di V e { wj | j ∈ J } una base di W . Possiamo allora
definire l’insieme formale dei tensori
T := { vi ⊗ wj | i ∈ I, j ∈ J } .
Posto T = SpanK (T ) abbiamo una mappa i : V × W → T definita ponendo
P
P
P
i
i∈I λi vi ,
j∈J µj wj :=
ij (λi µj ) vi ⊗ wj .
Allora si ha che T = V ⊗K W . Infatti i è bilineare e se φ : V × W → B è una
mappa bilineare (proprietà di (2.37)) allora si definisce una mappa φ : T → B
ponendo φ(vi ⊗ wj ) := φ(vi , wj ).
i
/ V ⊗K W
V × WL
LLL
LLL
φ
φ LLL
L& B
Un’altra mappa ψ : T → B che faccia commutare il diagramma non può che
coincidere con φ, dovendo valere φ(vi , wj ) sui tensori vi ⊗ wj . Si noti che, se V
e W hanno dimensione finita allora anche V ⊗K W ha dimensione finita e la sua
dimensione è pari al prodotto delle dimensioni.
44
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.41) Osservazione. In un prodotto tensoriale si può anche cancellare tutto.
Possiamo avere moduli non nulli tali che il loro prodotto tensoriale è nullo. Ad
esempio consideriamo R = A = Z e vediamo Z/2Z come uno Z-modulo destro e
Z/3Z come uno Z-modulo sinistro. È facile verificare che
Z/2Z ⊗Z Z/3Z = 0.
Infatti, indicando con k la classe resto di k † si ha
0=2⊗ 1=1⊗ 1+1⊗ 1
0 = 1 ⊗ 3 = 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 1,
da cui si evince che 1 ⊗ 1 = 0, cioè l’unità è uguale allo zero.
(2.42) Proposizione. Sia φ : M → N un omomorfismo di A-moduli destri
e ψ : X → Y un omomorfismo di A-moduli sinistri. Allora esiste un unico
omomorfismo di R-moduli φ ⊗ ψ : M ⊗A X → N ⊗A Y tale che il diagramma
M ×X
φ×ψ
⊗
M ⊗A X
φ⊗ ψ
/ N ×Y
⊗
/ N ⊗A Y ,
sia commutativo.
Dimostrazione. Sia χ : M × X → N ⊗A Y , χ(m, x) = φ(m) ⊗ ψ(x) la composizione. Per la proprietà universale di M ⊗A X basta verificare che χ soddisfa le
proprietà in (2.37). Per ogni m ∈ M , ∀ x ∈ X, ∀a ∈ A si ha
χ(m, ax) = φ(m) ⊗ ψ(ax) = φ(m) ⊗ aψ(x)
= φ(m)a ⊗ ψ(x) = φ(ma) ⊗ ψ(x) = χ(ma, x).
In maniera del tutto analoga si verificano le altre proprietà.
Possiamo dimostrare ora l’esattezza a destra del funtore covariante M ⊗A .
Per avere una referenza si veda ad esempio [RT, p. 84].
(2.43) Proposizione. Sia una sequenza esatta corta di A-moduli sinistri
0
/X
α
/Y
β
/Z
/ 0,
e sia M un A-modulo destro. Allora la sequenza di R-moduli
M ⊗A X
Id ⊗ α
/ M ⊗A Y
Id ⊗ β
/ M ⊗A Z
/ 0,
è esatta corta.
† Rispetto
a quale modulo risulta chiaro dalla posizione di k rispetto al simbolo ⊗.
45
2
Complessi di catene di A-moduli
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P
Dimostrazione. Ovviamente Id ⊗β è suriettivo. Infatti per i mi ⊗ zP
i ∈ M ⊗A Z,
basta prendere yi ∈ Y tali che β(yi ) = zi per avere una preimmagine i mi ⊗ yi .
Resta quindi da dimostrare che Ker(Id ⊗β) = Im(Id ⊗α). Si verifica facilmente che Im(Id ⊗α) ⊆ Ker(Id ⊗β) Infatti
(Id ⊗β) ◦ (Id ⊗α) = Id ⊗(α ◦ β) = Id ⊗0 = 0.
Per provare l’uguaglianza poniamo E = Im(Id ⊗α) e definiamo un isomorfismo
∼
βb : Coker(Id ⊗α) = (M ⊗A Y )/E → M ⊗A Z tale che
π
M ⊗A Y
GG
GG
GG Id ⊗ β GG#
y
M ⊗A Z .
/ (M ⊗A Y )/E
b
β
In questo modo infatti si ha
Ker(Id ⊗β) = Ker(βb ◦ π) = Ker π = E = Im(Id ⊗α).
L’omomorfismo βb è indotto da Id ×β sul quoziente ponendo
βb (m ⊗ y) + E = m ⊗ β(y).
Proviamo che è un isomorfismo costruendo l’inverso. Poiché β è suriettivo, per
ogni z ∈ Z possiamo scegliere y ∈ Y tale che β(y) = z. Definiamo allora una
mappa γ : M × Z → (M ⊗A Y )/E ponendo
γ(m, z) = (m ⊗ y) + E.
La mappa è ben definita in quanto, se y1 , y2 ∈ Y sono tali che β(y1 ) = β(y2 ) = z
allora (m ⊗ y1 ) − (m ⊗ y2 ) = m ⊗ (y1 − y2 ) e y1 − y2 ∈ Ker β = Im α. Inoltre
è immediato verificare che γ soddisfa le proprietà in (2.37). Per la proprietà
universale di M ⊗A Z, esiste un unico omomorfismo di R-moduli γ
b : M ⊗A Z →
(M ⊗AY )/E tale che γ(m, z) = γ
b(m⊗ z) per ogni (m, z) ∈ M ×Z. Evidentemente
βb ◦ γ
b = Id e γ
b ◦ βb = Id, come si verifica facilmente sui tensori.
Un argomento simile prova che anche il funtore nel primo argomento è esatto
a destra. In generale invece il funtore M ⊗ non è esatto a sinistra. Per un
controesempio si veda [RT, p. 86].
2.7
Il lemma di Eckmann-Shapiro
(2.44) Lemma. Sia A una R-algebra e sia B ⊆ A una R-sottoalgebra. Allora si
ha un isomorfismo di A-moduli sinistri A ⊗B B ' A.
Dimostrazione. Il risultato si intuisce facilmente poiché, per a ∈ A, b ∈ B,
a ⊗ b = a ⊗ (b · 1) = (ab) ⊗ 1.
46
2
Complessi di catene di A-moduli
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Cosideriamo la moltiplicazione µ : A × B → A, µ(a, b) = ab. Chiaramente µ
soddisfa le proprietà in (2.37). Per la proprietà universale di A ⊗B B esiste un
unico omomorfismo di R-moduli µ : A ⊗B B → A tale che
µ(a ⊗ b) = µ(a, b) = ab,
per ogni a ∈ A, b ∈ B. µ è un morfismo di A-moduli. Infatti
µ(a0 a ⊗ b) = (a0 a)b = a0 (ab) = a0 µ(a ⊗ b).
µ è un isomorfismo perché ha come inverso il morfismo ϑ : A → A ⊗B B,
ϑ(a) = a ⊗ 1.
Infatti ϑ ◦ µ(a ⊗ b) = (ab) ⊗ 1 = a ⊗ b e µ ◦ ϑ(a) = µ(a ⊗ 1) = a.
(2.45) Esempio. Sia G un gruppo finito e sia H un suo sottogruppo. Allora
Z[G] ⊗Z[H] Z[H] ' Z[G],
ove si considera Z[G] come uno Z[H]-modulo destro, Z[H] come Z[H]-modulo
sinistro e il prodotto tensoriale dei due come uno Z[G]-modulo sinistro.
(2.46) Osservazione. Sia H un sottogruppo normale di un gruppo finito G.
Vediamo Z come uno Z[H]-modulo banale. Allora si ha
indG
H Z := Z[G] ⊗Z[H] Z ' Z[G/H],
ove Z[G/H] è naturalmente visto come Z[G]-modulo sinistro. Per dimostrarlo
procediamo in modo simile al lemma (2.44). Osserviamo che, per g ∈ G, h ∈ H,
gh ⊗ r = g ⊗ hr = g ⊗ r.
Le relazioni ϕ(g, r) = rg + H definiscono un’applicazione ϕ : Z[G] × Z → Z[G/H]
che soddisfa banalmente le proprietà in (2.37). Per la proprietà universale di
Z[G] ⊗Z[H] Z esiste allora un unico ϕ : Z ⊗Z[H] Z → Z[G/H] tale che
ϕ(g ⊗ r) = ϕ(g, r) = rg + H.
ϕ è un omomorfismo di Z[G]-moduli ed è chiaramente suriettivo. Per provare
l’iniettività seguiamo una strategia particolare. Sia R un sistema di rappresentanti per le classi laterali di G/H e sia i : R ,→ Z[G/H]. Sappiamo allora che
(Z[G/H], i) è libero su R. Possiamo definire una mappa j : R ,→ Z[G] ⊗Z[H] Z
ponendo j(g) = g ⊗ 1. Se dimostriamo che (Z[G] ⊗Z[H] Z, j) è libero su R allora
per (1.8) esiste un unico omomorfismo di Z-moduli α : Z[G] ⊗Z[H] Z → Z[G/H]
tale che α ◦ i = j e α è un isomorfismo. Poiché ϕ è un omomorfismo di Z-moduli
che soddisfa tale proprietà, otteniamo in particolare l’iniettività desiderata.
Fissiamo uno Z-modulo B e un’applicazione ψ : R → B e proviamo che esiste
un’unico omomorfismo di Z-moduli ψ0 : Z[G] ⊗Z[H] Z → B t.c. ψ = ψ0 ◦ j.
47
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.47) Definizione. Sia A una R-algbera e B una R-sottoalgebra di A.
(a) Sia M un A-modulo sinistro. Chiamiamo restrizione di A su B di M il
modulo res A
B M che si ottiene interpretando M come B-modulo sinistro;
(b) Sia N un B-modulo sinistro. Chiamiamo induzione di B su A di N lo
A-modulo sinistro indA
B N = A ⊗B N , ove a0 · (a ⊗ n) = (a0 a) ⊗ n.
(2.48) Proposizione. Sia B ⊆ A un’estensione di algebre, N un B-modulo e
M uno A-modulo. Allora esiste un isomorfismo canonico di R-moduli
∼
b
A
: HomB (N, res A
B M ) → HomA (indB N, M )
b
tale che, per φ ∈ HomB (N, res A
B M ), φ(a ⊗ n) = aφ(n).
Dimostrazione. Sia φ ∈ HomB (N, res A
B M ). Detta ϕ : A × N → M la mappa
ϕ(a, n) = aφ(n), per la proprietà universale di A ⊗B N esiste φb tale che
A × NH
HH
HHϕ
HH
i
HH
$
/M.
A ⊗B N
b
φ
Si verifica facilmente che φb è un omomorfismo di A-moduli. Infatti, per a0 ∈ A,
b ⊗ n),
φb a0 (a ⊗ n) = φb (a0 a) ⊗ n = a0 aφ(n) = a0 φ(a
b 0 x) = a0 φ(x)
b
da cui φ(a
per ogni x ∈ A ⊗B N . Definiamo una mappa
0:
A
HomA (indA
B N, M ) → HomB (N, res B M )
ponendo, per ψ ∈ HomA (A ⊗B N, M ), ψ0 (n) = ψ(1 ⊗ n). La mappa ψ0 è un
omomorfismo di B-moduli poiché, per b ∈ B, n ∈ N ,
ψ0 (bn) = ψ 1 ⊗ (bn) = ψ(b ⊗ n) = bψ(1 ⊗ n) = bψ0 (1 ⊗ n).
Verifichiamo che ( 0 ) ◦ ( b ) = Id. Per φ ∈ HomB (N, res A
B M ),
b ⊗ n) = φ(n).
(φb )0 (n) = ( 0 )◦( b ) (φ)(n) = ( 0 )(φb )(n) = φ(1
Infine ( b ) ◦ ( 0 ) = Id. Per ψ ∈ HomA (A ⊗B N, M ),
b
b
d
(ψ
0 )(a ⊗ n) = ( )◦( 0 ) (ψ)(n) = ( ) ψ0 (n)
= aψ0 (n) = aψ(1 ⊗ n) = ψ(a ⊗ n),
da cui la tesi.
48
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.49) Definizione. Sia B ⊆ A un’estensione di algebre e sia N un B-modulo.
Chiamiamo modulo coinduzione di B su A di N lo A-modulo sinistro
coind A
B N = HomB (A, N ),
con l’azione definita da (af )(x) = f (xa), per ogni a, x ∈ A, f ∈ HomB (A, N ).†
Verifichiamo che coind A
B N è uno A-modulo. Anzitutto è chiuso rispetto all’azione.
Infatti, per a ∈ A, b ∈ B, f ∈ HomB (A, N ) si ha
(af )(bx) = f (bx)a = bf (xa) = b(af )(x).
La bilinearità è ovvia e, per a1 , a2 ∈ A,
(a1 a2 )f (x) = f x(a1 a2 ) = (a2 f )(xa1 ) = a1 (a2 f ) (x).
(2.50) Proposizione. Sia B ⊆ A un’estensione di algebre, N un B-modulo e
M uno A-modulo. Allora esiste un isomorfismo canonico di R-moduli
∼
e
A
: HomA (M, coind A
B N ) → HomB (res B M, N )
e
tale che, per φ ∈ HomA (M, coind A
B N ), φ(m) = φ(m)(1G ).
A
e
Dimostrazione. Per ogni φ ∈ HomA (M, coind A
B N ) definiamo φ : res B M → N
e
ponendo φ(m)
= φ(m)(1). Si verifica facilmente che φe è un omomorfismo di
B-moduli. Infatti per b0 ∈ B e m ∈ M ,
e 0 m) = φ(b0 m)(1) = b0 φ(m) (1) = φ(m)(b0 ) = b0 φ(m)(1) = b0 φ(m),
e
φ(b
e 0 m) = b0 φ(m).
e
da cui φ(b
Definiamo una mappa
0:
A
HomB (res A
B M, N ) → HomA (M, coind B N )
ponendo, per ψ ∈ HomB (res A
B M, N ), ψ0 (m)(x) = ψ(xm). Abbiamo che ψ0 è un
omomorfismo di A-moduli in quanto, per a ∈ A, m ∈ M , x ∈ A,
ψ0 (am)(x) = ψ(xam) = ψ0 (m)(xa) = aψ0 (m) (x).
Verifichiamo che le mappe e e 0 sono una l’inversa dell’altra, cosı̀ da avere un
isomorfismo. Per φ ∈ HomA (M, coind A
B N ),
e
(φe )0 (m)(x) = ( 0 )◦( e ) (φ)(m)(x) = ( 0 )(φ)(m)(x)
e
= φ(xm)
= φ(xm)(1) = xφ(m) (1) = φ(m)(x).
Per ψ ∈ HomB (res A
B M, N ),
e
e
g
(ψ
0 )(m) = ( )◦( 0 ) (ψ)(m) = ( )(ψ0 )(m) = ψ0 (m)(1) = ψ(m).
Segue la tesi.
† Si
presti attenzione al fatto che a ∈ A agisce moltiplicando a destra l’argomento di f .
49
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.51) Osservazione. Sia G un gruppo e H ≤ G. Vediamo res G
H come un
funtore tra la categoria degli Z[G]-moduli nella categoria degli Z[H]-moduli.
Dato uno Z[G]-modulo M , res G
H M è ancora M , considerato con la sua struttura
di Z[H]-modulo. Analogamente, dato un morfismo di Z[G]-moduli ψ : M1 → M2 ,
res G
H ψ è ancora ψ, visto come omomorfismo di Z[H]-moduli. Fatte queste
considerazioni, si possono facilmente intuire le seguenti proprietà:
(a) res G
H manda Z[G]-moduli liberi in Z[H]-moduli liberi. Infatti
res G
H Z[G]hXi ' Z[H]hR × Xi ,
ove R è un sistema di rappresentanti per G/H;
(b) res G
H manda moduli proiettivi in moduli proiettivi.
(c) res G
H è un funtore esatto;
(2.52) Lemma (Eckmann-Shapiro). Sia G un gruppo, H un suo sottogruppo, M
uno Z[G]-modulo sinistro, N uno Z[H]-modulo sinistro. Allora
k
G
ExtkG (M, coind G
H N ) ' ExtH (res H M, N ).
Dimostrazione. Sia (P· , ∂·P , ε) una risoluzione proiettiva di M . Per (2.51),
P
G
(res G
H P· , ∂· , ε) è una risoluzione proiettiva di res H M . Consideriamo il complesso
G
P
di catene di Z[H]-moduli (res H P· , ∂· ). Applicando HomH ( , N ) otteniamo
0
(∂0P )∗
/ HomH (res G P0 , N )
(∂1P )∗
H
/ HomH (res G P1 , N )
(∂2P )∗
H
/ ...
P
Applicando HomG ( , coind G
H N ) al complesso (P· , δ· ) otteniamo
0
(∂0P )∗
/ HomG (P0 , coind G N )
(∂1P )∗
H
/ HomH (P1 , coind G N )
H
(∂2P )∗
/ ...
Per la proposizione (2.50), per ogni k abbiamo un isomorfismo
∼
e
G
: HomG (Pk , coind G
H N ) → HomH (res H Pk , N ).
Dimostriamo che il diagramma seguente è commutativo.
HomG (Pk−1 , coind G
HN)
f
o
HomH (res G
H Pk−1 , N )
◦∂kP
◦∂kP
/ HomG (Pk , coind G N )
H
o
f
/ HomH (res G Pk , N ) .
H
P
Per φ ∈ HomG (Pk−1 , coind G
H N ) e p ∈ Pk , posto β = ∂k , si ha
^
(φ
◦ β)(p) = (φ ◦ β)(p)(1) = φ β(p) (1) = φe β(p) = (φe ◦ β)(p).
Poiché un isomorfismo di complessi di catene induce ovviamente un isomorfismo
tra le rispettive omologie, si ha la tesi con l’isomorfismo dato da H( e ).
50
2
Complessi di catene di A-moduli
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(2.53) Osservazione. Sia G un gruppo e H ≤ G. Vediamo indG
H come un
funtore tra la categoria degli Z[H]-moduli nella categoria degli Z[G]-moduli.
indG
H manda uno Z[H]-modulo N nello Z[G]-modulo Z[G] ⊗Z[H] N e un morfismo
di Z[H]-moduli φ : N1 → N2 nell’omomorfismo di Z[G]-moduli indG
H φ definito
ponendo (indG
φ)(g
⊗
n)
=
g
⊗
φ(n).
Si
possono
dimostrare
i
seguenti
fatti:
H
(a) indG
H manda Z[H]-moduli liberi in Z[G]-moduli liberi e
indG
H Z[H]hXi ' Z[G]hXi ;
(b) indG
H manda moduli proiettivi in moduli proiettivi;
(c) indG
H è un funtore esatto.
Per questa parte consultare anche [RT, p. 560].
(2.54) Lemma (Eckmann-Shapiro). Sia G un gruppo, H un suo sottogruppo, M
uno Z[G]-modulo sinistro, N uno Z[H]-modulo sinistro. Allora
k
G
ExtkG (indG
H N, M ) ' ExtH (N, res H M ).
Dimostrazione. Sia (Q· , ∂·Q , ε) una risoluzione proiettiva di N . Per (2.53), posto
Q
G
G
δk = indG
H ∂k e η = indH ε, si ha che (indH Q· , δ· , η) è una risoluzione proiettiva
G
per indH N . Applicando HomG ( , M ) al complesso (indG
H Q· , δ· ) si ottiene
0
δ0∗
δ1∗
/ HomG (indG
H Q0 , M )
δ2∗
/ ...
(∂2Q )∗
/ ...
/ HomG (indG
H Q1 , M )
Q
Applicando HomH ( , res G
H M ) al complesso (Q· , δ· ) si ottiene
0
(∂0Q )∗
/ HomH (Q0 , res G M )
H
(∂1Q )∗
/ HomH (Q1 , res G M )
H
Per la proposizione (2.48), per ogni k abbiamo un isomorfismo
b
G
: HomH (Qk , res G
H M ) → HomG (indH Qk , M ).
Dimostriamo che il diagramma seguente è commutativo.
◦∂kQ
HomH (Qk−1 , res G
HM)
c
o
HomG (indG
H Qk−1 , M )
◦δk
/ HomH (Qk , res G M )
H
o
c
/ HomG (indG
H Qk , M ) .
Per φ ∈ HomH (Qk−1 , res G
H M ), q ∈ Qk ,
(φ\
◦ ∂kQ )(a ⊗ q) = a(φ ◦ ∂kQ )(q) = aφ ∂kQ (q)
= φb a ⊗ ∂kQ (q) = (φb ◦ δk )(a ⊗ q).
Poiché un isomorfismo di complessi di catene induce ovviamente un isomorfismo
tra le rispettive omologie, si ha la tesi con l’isomorfismo dato da H( b ).
51
2
Complessi di catene di A-moduli
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Vediamo una applicazione del lemma di Eckmann-Shapiro.
(2.55) Definizione. Sia G un gruppo ed M uno Z[G]-modulo. La dimensione
proiettiva di M è la lunghezza minimale di una risoluzione proiettiva finita di
M e si denota con pdim M . Se non esistono risoluzioni proiettive finite si pone
pdim M = ∞. Si ha la seguente caratterizzazione
(
)
!
per ogni Z[G]-modulo N si ha
pdim M = min
n∈N
∪{∞} .
Extn+k
Z[G] (M, N ) = 0, ∀ k > 0
(2.56) Definizione. Sia G un gruppo. La dimensione coomologica di G è la
dimensione proiettiva dello Z[G]-modulo banale Z e si indica con cd G. Con le
notazioni di (2.34) la dimensione coomologica di G è data da
per ogni Z[G]-modulo N si ha
cd G = min
n∈N
∪{∞} .
H n+k (G, N ) = 0, ∀ k > 0
(2.57) Proposizione. Sia G un gruppo. Allora
(a) Se H ≤ G allora cd H ≤ cd G;
(b) Se G ha torsione† allora cd G = ∞;
(c) cd Z = 1.
Dimostrazione. (a) Infatti per il lemma (2.52), per ogni Z[H]-modulo N si ha
n+k
G
Extn+k
H (Z, N ) ' ExtG (Z, coind H N ),
per ogni n, k ∈ N. Quindi, se N è uno Z[H]-modulo tale che Extn+k
H (Z, N ) 6= 0
n+k
allora M = coind G
N
è
uno
Z[G]-modulo
tale
che
Ext
(Z,
M
)
=
6
0. Segue che,
H
G
se cd H = ∞ allora cd G = ∞, e se cd H = n allora cd G ≥ n.
(b) Se 1 6= G = C è ciclico finito, allora per (2.35),
H 2s (C, Z) = Z/|C|Z 6= 0,
sicché cd C = ∞. Se G è un gruppo con torsione allora esiste un sottogruppo
ciclico finito 1 6= C ≤ G e quindi, per il punto (a), si ha cd G = ∞.
(c) Per C = hgi ' Z, come in (2.32), abbiamo una risoluzione proiettiva
0
/ Z[C]
(g−1)·
/ Z[C]
ε
/Z
Dunque H k+1 (C, M ) = 0 per k > 0 e H 1 (C, Z) ' Z.
† Cioè
se ha elementi di ordine finito (diversi da 1G ).
52
/ 0.
3
Alcune applicazioni dell’omologia
3
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Alcune applicazioni dell’omologia
3.1
Gruppi liberi
In questa sezione vogliamo introdurre brevemente la nozione di gruppo libero
e di presentazione di un gruppo. Si veda ad esempio [RB, p. 44].
(3.1) Definizione. Sia X un unsieme. Un gruppo F con una mappa i : X → F
si dice libero su X se per ogni mappa α : X → G, con G gruppo, esiste un univoco
omomorfismo di gruppi β : F → G t.c. β ◦ i = α, cioè tale che il diagramma
/F
i
X@
@@
@@ α @@

G
β
sia commutativo.
(3.2) Proposizione. Per ogni insieme X esiste un unico gruppo libero (F(X),i)
su X, modulo un unico isomorfismo di gruppi.
Dimostrazione. Indichiamo con X −1 una copia formale di X, e distinguiamo
un elemento x ∈ X dal corrispettivo elemento di X −1 apponendo formalmente
l’esponente x−1 . Chiamiamo alfabeto su X l’insieme
Alf X = X ∪· X −1 .
Gli elementi di Alf X si dicono lettere o simboli. Chiamiamo insieme delle parole
sull’alfabeto l’insieme Par X delle sequenze finite di lettere di Alf X, inclusa la
parola vuota composta da nessuna lettera (che indicheremo con 1). Su Par X è
definita una mappa di giustapposizione · : Par X × Par X → Par X,
(x1 x2 . . . xn ) · (y1 y2 . . . ym ) = x1 . . . xn y1 . . . ym .
L’operazione · è associativa e ha come unità la parola vuota 1. Definiamo una
0
relazione ∼
su Par X ponendo
0
y1 . . . yr xx−1 yr+1 . . . yn ∼
y1 . . . yr yr+1 . . . yn ,
0
y1 . . . yr x−1 xyr+1 . . . yn ∼
y1 . . . yr yr+1 . . . yn ,
cioè consideriamo equivalenti due parole se si possono ottenere una dall’altra
elidendo un singolo accostamento di lettere del tipo xx−1 oppure x−1 x. Vogliamo
0
trasformare ∼
in una relazione di equivalenza compatibile con l’operazione di
giustapposizione. Formalmente si può fare ciò considerando la relazione di
0 †
equivalenza ∼ generata dalla relazione elementare ∼.
Poniamo quindi F (X) = Par X/ ∼. È di routine verificare che F (X) è un
gruppo con l’operazione di giustapposizione · indotta sul quoziente. L’unità
0
punto di vista formale, poiché la relazione I0 =∼
è un sottoinsieme di Par X × Par X,
1
si ottiene una relazione riflessiva ∼ aggiungendo la diagonale, cioè ponendo I1 = I0 ∪ ∆(Par X).
† Dal
53
3
Alcune applicazioni dell’omologia
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di F (X) è [ 1 ]∼ e l’inverso di [ x ]∼ è [ x−1 ]∼ . È definita una ovvia mappa
i : X → F (X), i(x) = [ x ]∼ . Sia G un gruppo e α : X → G un omomorfismo.
L’unico omomorfismo dell’enunciato è β : F (X) → G, definito ponendo
β([ y1 . . . yn ]∼ ) = α(y1 ) . . . α(yn ),
α([ x−1 ]∼ ) = α(x)−1 .
Sia (F 0 , j) un altro gruppo libero su X. Per la proprietà universale di F (X)
esiste un unico j0 : F → F 0 tale che j = j0 ◦ i. Per la proprietà universale di F 0
esiste i0 : F 0 → F (X) tale che i = i0 ◦ j. Per l’unicità invocata dalle proprietà
universali si ha i0 ◦ j0 = IdF (X) e j0 ◦ i0 = IdF 0 . Quindi j0 è un isomorfismo.
(3.3) Proposizione. Sia G un gruppo e sia S ⊆ G un sottoinsieme. Sia
α : S ,→ G l’inclusione di S in G, F (S) il gruppo libero su S e sia β : F (S) → G
l’unico omomorfismo tale che α = β ◦ i.
/ F (S)
i
S@
@@
@@ α @@
|
G.
β
Allora S genera G se e solo se β è suriettivo.
Dimostrazione. Il risultato è ovvio poiché un elemento di G appartiene al sottogruppo generato da S se e solo se è prodotto di un numero finito di elementi di
S ed S −1 , cioè se è nell’immagine di β.
Con queste nozioni si possono definire le presentazioni di alcuni gruppi.
(3.4) Definizione. Sia X un insieme, F (X) il gruppo libero su X e sia R ⊆
F (X). Chiamiamo gruppo generato da X con relatore R il gruppo
hX|R i = F (X)/hR in ,
ove con hRin si indica il sottogruppo normale generato da R.
(3.5) Esempi. Diamo alcuni esempi di presentazioni.
(a) F (X) ' hX | 1i;
(b) Z ' hx | 1i;
(c) D10 = x, y x5 − 1, y 2 − 1, y −1 xy − x−1 ;
1
2
Si può poi simmetrizzare la relazione ∼
considerando la relazione ∼
definita da I2 = I1 ∪ T (I1 ),
ove con T (I1 ) si intende la “trasposizione” di I1 . Infine tale relazione si può rendere transitiva
ponendo p ∼ q se e solo se esistono p1 , . . . , pn−1 tali che
2
p∼
p1 ,
2
p1 ∼
p2 , . . . ,
2
pn−2 ∼
pn−1 ,
2
pn−1 ∼
q.
Nel caso specifico, questo corrisponde a poter elidere più accostamenti del tipo xx−1 o x−1 x
in un passo solo. Ovviamente la relazione ∼ cosı̀ ottenuta resta riflessiva e simmetrica.
54
3
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(d) Z × Z ' x, y xyx−1 y −1 ;
(e) Z × Z × Z ' x, y, z xyx−1 y −1 , xzx−1 z −1 , yzy −1 z −1 ;
−1
(f) Zn = x1 , . . . , xn xi xj x−1
i xj , (1 ≤ i < j ≤ n) ;
3.2
Grafi e grafi di Cayley
Vediamo alcuni risultati sui grafi. Si veda ad esempio [SE, p. 13].
(3.6) Definizione. Un grafo Γ consiste di un insieme di vertici V (Γ) e un
insieme di spigoli E(Γ) con tre mappe
(a) Inversione di uno spigolo : E(Γ) → E(Γ);
(b) Origine dello spigolo o : E(Γ) → V (Γ);
(c) Termine dello spigolo t : E(Γ) → V (Γ);
tali che, per ogni e ∈ E(Γ),
e = e,
e 6= e,
t(e) = o(e),
o(e) = t(e) .
Se la mappa o × t : E(Γ) → V (Γ) × V (Γ) definita ponendo (o × t)(e) = (o(e), t(e))
è iniettiva, Γ si dice grafo combinatorico e, con abuso di notazione, si denotano i
suoi spigoli come coppie di vertici ponendo e = (o(e), t(e)).
Un esempio notevole di grafo è il grafo di Cayley di un gruppo G relativamente
a un sottoinsieme S di G. Si consulti anche la voce “Cayley graph” su Wikipedia.
(3.7) Definizione. Sia G un gruppo e sia S ⊆ G un sottoinsieme tale che 1 6∈ S
e S = S −1 (i.e. se s ∈ S allora s−1 ∈ S). Chiamiamo grafo di Cayley di G
relativamente ad S il grafo Γ = Γ(G, S) definito ponendo

G,

 V (Γ) = 


 E(Γ) = (g, gs) ∈ V (Γ)2 g ∈ G, s ∈ S ,


(g, gs) = (gs, g) = (gs, (gs)s−1 ) ∈ E(Γ),
(3.7.1)



 o(g, gs) = g,




t(g, gs) = gs.
È immediato verificare che il grafo di Cayley è un grafo combinatorico.
(3.8) Definizione. Sia G un gruppo e Γ un grafo. Si dice che G agisce su Γ se
sono definite azioni · : G × V (Γ) → V (Γ) e · : G × E(Γ) → E(Γ) tali che
g · e = g · e,
o(g · e) = g · o(e),
t(g · e) = g · t(e),
Diciamo che G agisce senza inversione di spigoli se
g · e 6= e,
∀ g ∈ G, e ∈ E(Γ) .
55
∀ g ∈ G, e ∈ E(Γ) .
3
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(3.9) Osservazione. Sia G un gruppo, S ⊆ G un sottoinsieme tale che 1 6∈ S
e S = S −1 , Γ = Γ(G, S) il grafo di Cayley di G relativamente a S. Sappiamo
che G agisce su se stesso per moltiplicazione a sinistra. Tale azione può essere
vista come un’azione su Γ. Più precisamente, per ogni h ∈ G e g ∈ V (Γ) si pone
h · g = hg, e dato uno spigolo e = (g, gs) ∈ E(Γ), h · e = (hg, hgs). L’azione di
moltiplicazione a sinistra è regolare (o semplicemente transitiva), cioè è transitiva
e libera (h1 · g = h2 · g =⇒ h1 = h2 ). Questa proprietà caratterizza i grafi di
Cayley, come vedremo nella proposizione (3.14).
(3.10) Proposizione. Sia G un gruppo e sia S ⊆ G un sottoinsieme tale che
1 6∈ S e S = S −1 . Allora G agisce senza inversione di spigoli su Γ(G, S) se e
solo se S non contiene involuzioni.†
Dimostrazione. Anzitutto G agisce su Γ = Γ(G, S). Per g ∈ V (Γ), h ∈ G,
h·g = hg ∈ V (Γ). Per (g, gs) ∈ E(Γ), h·(g, gs) = (hg, hgs) ∈ V (Γ). Ovviamente
l’azione · si comporta bene rispetto a o e t e si ha
h · (g, gs) = (hgs, hg) = h · (g, gs).
Infine, l’azione è priva di inversione di spigoli se e solo se S non ha involuzioni.
Infatti per e = (g, gs) ∈ E(Γ) si ha
h · e = e ⇐⇒ (hg, hgs) = (gs, g) ⇐⇒ gs2 = g.
(3.11) Definizione. Sia Γ un grafo. Un sentiero di Γ è una famiglia
p = (e1 , . . . , en ) ove ei ∈ E(Γ) e t(ei ) = o(ei+1 ) .
Poniamo o(p) = o(e1 ) e t(p) = t(en ) e diciamo che p è un sentiero da o(p) a
t(p) di lunghezza n. Per ogni coppia di vertici x, y ∈ V (Γ) indichiamo con
pathΓ (x, y) l’insieme (eventualmente vuoto) dei sentieri da x a y. Un sentiero
p = (ei )ni=1 si dice ridotto se ei 6= ei+1 per ogni i = 1, . . . , n − 1. Per ogni sentiero
p ∈ pathΓ (x, y) esiste un unico sottosentiero ridotto p0 , ottenuto eliminando
induttivamente tutti i passi consequenziali opposti. Per ogni x ∈ V (Γ) indichiamo
con Ox ∈ pathΓ (x, x) il sentiero costante che resta in x.
(3.12) Definizione. Un grafo Γ si dice connesso se per ogni coppia di vertici
(x, y) ∈ V (Γ) esiste un sentiero p da x a y (cioè path(x, y) 6= ∅).
(3.13) Proposizione. Sia G un gruppo e sia S ⊆ G un sottoinsieme tale che
1 6∈ S e S = S −1 . Allora Γ(G, S) è connesso se e solo se S genera G.
Dimostrazione. Sia S ⊆ G un sistema di generatori. Allora ∀ g ∈ G esistono
s1 , . . . , sn ∈ S tale che g = s1 . . . sn . Sia (x, y) ∈ G2 . Trovare un sentiero da x a
y equivale a trovare un sentiero da 1 a x−1 y. Posto g = x−1 y = s1 . . . sr ,
p = (1, s1 ), (s1 , s1 s2 ), . . . , (s1 . . . sr−1 , g)
† Cioè
elementi di ordine 2.
56
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è un sentiero da 1 a g. Inversamente, sia Γ(G, S) connesso, ∀ g ∈ G esiste
p ∈ path(1, g). Posto p = (e1 , . . . , er ), per definizione di Γ = Γ(G, S) si ha
e1 = (1, s1 ) e2 = (s1 , s1 s2 )
...
er = (s1 . . . sr−1 , s1 . . . sr−1 sr ) .
Concludiamo che g = s1 . . . sr ∈ hSi.
Vediamo ora la caratterizzazione dei grafi di Cayley.
(3.14) Proposizione (Sabidussi). Un grafo combinatorico Γ è (isomorfo a) un
grafo di Cayley di un gruppo G se e solo se ammette un’azione regolare di G.
Dimostrazione. Occorre anzitutto precisare il senso dell’enunciato. Dall’osservazione (3.9) risulta chiaro che un grafo di Cayley ha una naturale G-azione
regolare. Inversamente, supponiamo che su un grafo combinatorico Γ sia definita
un’azione regolare di G, cioè un’azione · come nella definizione (3.8) che agisca
transitivamente sui vertici tale che, per x ∈ V (Γ), g1 , g2 ∈ G,
g1 · x = g2 · x =⇒ g1 = g2 .
Proviamo che esiste S ⊆ G tale che 1 6∈ S e S = S −1 e un isomorfismo di grafi
∼
tra Γ(G, S) e Γ, cioè una mappa biunivoca φ : V (Γ(G, S)) → V (Γ) che preservi
la struttura degli spigoli (come coppie di vertici) e l’azione di G.
Fissiamo x0 ∈ V (Γ) e poniamo
BΓ (x0 ) = { y ∈ V (Γ) | “(x0 , y) ∈ E(Γ)” } .
Poiché l’azione · è regolare, per y ∈ BΓ (x0 ) esiste un unico sy ∈ G tale che
sy · x0 = y. Definiamo il nostro sottoinsieme S ponendo
S = { sy ∈ G | ∀ y ∈ BΓ (x0 ) } .
Chiaramente 1 6∈ S, perché altrimenti sarebbe “(x0 , x0 ) ∈ E(Γ)” e avremmo
uno spigolo e ∈ E(Γ) tale che e = e, che non è consentito dalla definizione (3.6).
Inoltre S = S −1 . Infatti, se sy ∈ S, allora “(x0 , y) ∈ E(Γ)” con y = sy x0 . Dato
che l’azione · preserva gli spigoli, anche
−1
−1
−1
e = s−1
y · (x0 , y) = (sy x0 , sy y) = (sy x0 , x0 )
−1
è uno spigolo di Γ, cosı̀ come e = (x0 , s−1
y x0 ). Concludiamo che sy ∈ S.
Risulta quindi ben definito il grafo di Cayley Γ(G, S). Definiamo una mappa
φ : G → V (Γ) ponendo φ(g) = g · x0 . Ovviamente φ manda vertici in vertici e
preserva gli spigoli. Infatti, per (g, gs) ∈ E(Γ(G, S)), si ha
(φ(g), φ(gs)) = (gx0 , gsx0 ) = g · (x0 , sx0 ) “ ∈ E(Γ)”.
Dunque φ è un morfismo di grafi e commuta con G. Dato che l’azione di G è
regolare, φ è iniettivo. Infatti g1 x0 = φ(g1 ) = φ(g2 ) = g2 x0 implica g1 = g2 .
57
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Verifichiamo che anche la mappa indotta sugli spigoli φE : E(Γ(G, S)) → E(Γ)
è iniettiva. Siano e1 , e2 ∈ E(Γ(G, S)), e1 = (g, gs), e2 = (h, ht) con s, t ∈ S. Se
φE (e1 ) = φE (e2 ) allora g · x0 = h · x0 e gs · x0 = ht · x0 . Segue g = h e s = t.
Infine φE è suriettiva. Infatti se “(x, y) ∈ E(Γ)”, allora, dato che l’azione è
regolare, esiste un unico g ∈ G tale che x = g · x0 . Quindi
g −1 · (x, y) = (x0 , g −1· y) “ ∈ E(Γ)”.
Segue che g −1 · y ∈ BΓ (x0 ). Allora esiste s ∈ S tale che g −1 · y = s · x0 e
φM (g, gs) = (φ(g), φ(gs)) = ( g · x0 , gs · x0 ) = (x, y),
da cui la suriettività.
(3.15) Definizione. Sia Γ un grafo. Un sottografo di Γ è un grafo Ω tale che
V (Ω) ⊆ V (Γ) e E(Ω) ⊆ E(Γ). Un circuito di lunghezza n di Γ è un sottografo
Cn formato da n vertici collegati tra loro circolarmente da singoli spigoli. Si dice
loop un circuito di lunghezza 1.
(3.16) Osservazione. Notiamo che, sulla base della definizione (3.6), un grafo
combinatorico non può avere circuiti di lunghezza 2 perché altrimenti potremmo
trovare due spigoli distinti con gli stessi vertici di partenza e arrivo. Questo è
impossibile dato che in un grafo combinatorico gli spigoli si possono vedere come
coppie ordinate di vertici.
3.3
Alberi e grafi di Cayley
(3.17) Definizione. Un grafo Γ si dice albero se
(i) Γ è connesso;
(ii) Γ non contiene circuiti.
(3.18) Proposizione. Per un grafo Γ sono equivalenti le seguenti affermazioni.
(a) Γ è un albero;
(b) Per ogni x, y ∈ V (Γ) esiste un unico p ∈ pathΓ (x, y) ridotto.
Dimostrazione. (b)⇒(a). Per l’esistenza, Γ è connesso. Per l’unicità, Γ non
contiene circuiti (infatti, se Cn = (e1 , . . . , en ) è un circuito di lunghezza n che
parte e termina in x allora il sentiero costante Ox è un sentiero ridotto in
pathΓ (x, x) diverso da Cn ).
(a)⇒(b) (Intuitiva). Supponiamo che esistano due sentieri p, q ∈ pathΓ (x, y)
ridotti. Allora il sentiero p ∧ q ottenuto giustapponendo p e l’opposto di q è un
circuito, a meno di “ridurre ciclicamente”, cioè a meno di elidere un eventuale
tratto iniziale che viene ripercorso al contrario alla fine. Si veda [SE, p. 18].
(3.19) Proposizione. Sia G un gruppo e sia S ⊆ G tale che 1 6∈ S e S = S −1 .
Supponiamo aggiuntivamente che esista X ⊆ S tale che S = X ∪· X −1 . Allora il
grafo di Cayley Γ(G, S) è un albero se e solo se G è libero su X.
58
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Dimostrazione. Consideriamo il gruppo libero (F (X), i), ove i : X ,→ F (X) e
sia j : X ,→ G. Per la proprietà universale esiste b
j : F (X) → G tale che j = b
j ◦ i.
Per (3.13), Γ(G, S) è connesso se e solo se X è un sistema di generatori per G.
In virtù di (3.3), questo avviene se e solo se b
j è suriettivo.
j è iniettivo se e solo se Γ(G, S) non contiene circuiti. Sia
Proviamo che b
C ⊆ Γ un circuito. Senza perdita di generalità possiamo supporre che 1 ∈ V (C)
(se x ∈ V (C), x−1 C è un circuito che contiene 1). Sia s il primo punto di C
dopo 1 e t l’ultimo punto prima di 1. Allora, poiché (1, s), (t, 1) ∈ E(C) ⊆ E(Γ),
si ha s, t ∈ S. Per (3.16), s 6= t, sicché il circuito ha lunghezza n ≥ 3. Possiamo
scrivere i punti del circuito nella forma seguente
1
s1
s1 s2
···
s1 . . . sn−1
s1 . . . sn = 1,
ove s1 , . . . , sn ∈ S, s1 = s, s1 . . . sn−1 = t. Sappiamo che s1 6= s1 . . . sn−1 = s−1
n .
Più in generale si ha sk =
6 s−1
,
perché
un
circuito
è
ciclicamente
ridotto.
Segue
k+1
che, con le notazioni di (3.2), la parola s1 . . . sn ∈ Par X è ridotta e diversa da 1
in F (X). Tuttavia e
j(s1 . . . sn ) = s1 . . . sn è 1 in G. Quindi e
j non è iniettivo.
Inversamente, sia ω ∈ Ker e
j, ω 6= 1. Mostriamo che Γ(G, S) ha un circuito.
αn
1
Scriviamo ω = xα
1 . . . xn per certi xi ∈ X, αi ∈ Z. Possiamo supporre senza
−1
perdita di generalità che sia x1 6= xn , x−1
n e, in generale xi 6= xi+1 , xi+1 , cioè che
la parola ω sia ciclicamente ridotta (coniugando nel gruppo otteniamo ancora
un elemento non banale in Ker e
j). Poniamo allora
b
j(x ),
αi > 0
si = b i −1
, li = |αi |.
j(xi ) , αi < 0
Allora si ha
j(xn )αn = sl11 . . . slnn .
1G = b
j(ω) = b
j(x1 )α1 . . . b
Possiamo quindi costruire il seguente sentiero chiuso in Γ(G, S)
1
s1
s21
···
sl11
sl11 s2
···
sl11 . . . slnn = 1.
Poiché questo è ciclicamente ridotto, abbiamo trovato un circuito.
3.4
Il complesso associato a un grafo
(3.20) Definizione. Sia Γ un grafo. Definiamo due gruppi abeliani
V (Γ) = ZhV (Γ)i ,
E(Γ) = ZhE(Γ)i / he + e | e ∈ E(Γ)i ,
cosı̀ che ∀ e ∈ E(Γ), e = −e. Definiamo poi una mappa ∂ : E(Γ) → V (Γ)
ponendo ∂(e) = t(e) − o(e). Chiamiamo compesso associato a Γ,
0
/ E(Γ)
∂
/ V (Γ)
ove ε(v) = 1, ∀ v ∈ V (Γ).
59
ε
/Z
/ 0,
(3.20.1)
3
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(3.21) Proposizione. Se Γ è un albero, il complesso (3.20.1) è esatto.
Dimostrazione. Provare che la sequenza è esatta è equivalente a provare che il
complesso ha omologia nulla. Per (2.19) basta provare che è omotopicamente
equivalente al complesso nullo, e per l’osservazione (2.11) basta provare che
(3.20.1) è spezzante. Definiamo quindi due sezioni
0
/ E(Γ)
∂
f
/ V (Γ)
e
ρ
ε
/Z
/ 0.
σ
Fissato x0 ∈ V (Γ), definiamo σ ponendo σ(1) = x0 . Grazie a (3.18), per ogni
y ∈ V (Γ) esiste un unico sentiero ridotto p ∈ pathΓ (x0 , y). Posto p = (ei )ni=1 ,
definiamo ρ : V (Γ) → E(Γ) ponendo
Pn
y 6= x0
i=1 ei
ρ(y) =
0,
y = x0
Ovviamente ε ◦ σ = IdZ . Proviamo che ρ ◦ ∂ = IdE(Γ) mostrando che vale sui
generatori e, per e ∈ E(Γ). Si ha
(ρ ◦ ∂)(e) = ρ t(e) − o(e) = ρ t(e) − ρ o(e) .
Sia (ei )ni=1 = p ∈ pathΓ (x0 , o(e)) l’unico sentiero ridotto. Se il vertice t(e) non
appartiene a p allora il sentiero p ∧ e ottenuto giustapponendo a p il segmento e
è ridotto. In tal caso si conclude che
Pn
Pn
ρ t(e) − ρ o(e) = ρ(p ∧ e) − ρ(p) =
i=1 ei + e −
i=1 ei = e.
Se invece t(e) appartiene a p allora, per ragione di unicità dei percorsi ridotti,
deve essere il penultimo punto di p e l’ultimo tratto di p è e. Segue che
Pn−1
Pn−1
ρ t(e) − ρ o(e) =
i=1 ei −
i=1 ei + e = e .
Infine, per y ∈ V (Γ), dato (ei )ni=1 = p ∈ pathΓ (x0 , y) ridotto,
Pn
(σ ◦ ε)(y) + (∂ ◦ ρ)(y) = x0 + ∂
i=1 ei = x0 + y − x0 = y ,
sicché σ ◦ ε + ∂ ◦ ρ = IdV (Γ) .
Vale anche l’inversa della proposizione precedente, ma non la dimostriamo. Proviamo invece un corollario che si ricollega al discorso sulla dimensione
coomologica di un gruppo (definizione (2.56)).
(3.22) Corollario. Se F è un gruppo libero su X allora cd(F ) ≤ 1.
Dimostrazione. Consideriamo l’alfabeto S = Alf X = X ∪· X −1 e sia Γ = Γ(F, S)
il grafo di Cayley di F relativo a S. Per (3.19), Γ è un albero. Per (3.21) abbiamo
una sequenza esatta corta di Z[F ]-moduli,
0
/ E(Γ)
∂
/ V (Γ)
60
ε
/Z
/ 0.
3
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D’altra parte, poiché i vertici di Γ sono tutti gli elementi di F ,
V (Γ) = ZhV (Γ)i = ZhF i = Z[F ] .
Dato che gli spigoli di Γ sono le coppie della forma (g, gs) per g ∈ F e s ∈ S,
abbiamo un isomorfismo φ : Z[F ]hXi → E(Γ), gx 7→ (g, gx).†
E(Γ) = ZhE(Γ)i / he + e | e ∈ E(Γ)i ' Z[F ]hXi .
Per (1.42(a)) abbiamo una sequenza esatta di moduli proiettivi,
0
/ Z[F ]hXi
∂
/ Z[F ]
/Z
ε
/ 0.
La dimensione comologica di F è la dimensione proiettiva di Z, visto come
Z[F ]-modulo banale, cioè la lunghezza minimale di una sua risoluzione proiettiva
finita. Avendo trovato una risoluzione proiettiva di lunghezza 1 (che, con le
notazioni di (2.12(b)), arriva fino a P1 ), concludiamo cd F ≤ 1.
Si può dimostrare anche l’inverso del precedente corollario.
3.5
La sequenza di Mayer-Vietoris
Vogliamo mostrare un’applicazione del teorema della sequenza esatta lunga e
del teorema di Eckmann-Shapiro nella teoria degli alberi. Si veda [SE, p. 126].
(3.23) Proposizione. Sia Γ un albero, e sia G un gruppo che agisce su Γ senza
inversione di spigoli ( i.e. g · e 6= e, ∀ g ∈ G, e ∈ E(Γ) ). Sia
RV un sistema di rappresentanti per la G-azione su V (Γ);
RE un sistema di rappresentanti per la G-azione su E(Γ) = E(Γ)/he + e i.
Supponiamo che RV e RE siano finiti. Allora per ogni Z[G]-modulo sinistro M
esiste una sequenza esatta lunga di Z-moduli
0
GF
@A
/ H 0 (G, M )
/
a
/
a
H 0 (Gv , M )
v∈RV
/ H 1 (G, M )
/
a
H 0 (Ge , M )
e∈RE
H 1 (Gv , M )
v∈RV
/
a
H 1 (Ge , M )
ED
BC
/ ...
e∈RE
ove con Gv e Ge si indicano gli sabilizzatori di v ed e.
† In
E(Γ) si ha −(g, gx) = (g, gx) = (gx, g) = ((gx), (gx)x−1 ). Quindi E(Γ) è generato in
Z[F ] dalle classi di spigoli della forma (1G , x) al variare di x ∈ X.
61
3
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Dimostrazione. Per (3.21) abbiamo una sequenza esatta corta
/ E(Γ)
0
/ V (Γ)
∂
/Z
ε
/ 0.
Osserviamo che l’insieme dei vertici V (Γ) è unione disgiunta delle G-orbite.
Posto RV = { v1 , . . . , vr } possiamo scrivere V (Γ) = G·v1 ∪· . . . ∪· G·vr . Dunque
si può scrivere V (Γ) = ZhV (Γ)i = ZhG · v1 i ⊕ . . . ⊕ ZhG · vr i. Notiamo poi che,
per l’osservazione (2.46), se v ∈ RV e Gv è lo stabilizzatore di v, si ha
ZhG · vi ' Z[G/Gv ] ' Z[G] ⊗Z[Gv ] Z = indG
Gv Z .
segue che, usando la notazione di coprodotto (p. 5), possiamo scrivere
a
a
V (Γ) '
ZhG · vi '
indG
Gv Z .
v∈RV
v∈RV
In maniera del tutto analoga, considerando che l’insieme E(Γ) è unione disgiunta
delle sue G-orbite, si perviene a un isomorfismo
a
a
E(Γ) '
ZhG · ei '
indG
Ge Z .
e∈RE
e∈RE
Otteniamo la seguente sequenza esatta corta di Z-moduli sinistri
0
/
a
e
∂
indG
Ge Z
e∈RE
/
a
indG
Gv Z
ε
e
/ 0.
/Z
v∈RV
Dato uno Z[G]-modulo sinistro M applichiamo allora il teorema (2.31) della
sequenza esatta lunga per Ext·G ( , M ). Otteniamo una sequenza esatta
a
a
/ Ext0G(Z, M ) / Ext0G
/ Ext0G
0
indG
indG
Gv Z, M
Ge Z, M
ED
BC
v∈R
e∈R
GF
@A
V
/ Ext1G
/ Ext1G(Z, M )
a
E
indG
Gv Z, M
/ Ext1G
v∈RV
a
indG
Ge Z, M
/ ...
e∈RE
Poiché RV e Re sono finiti, il coprodotto può essere visto come somma diretta
esterna. Dato che Ext·G ( , M ) è additivo, possiamo estrarre la somma ottenendo
la sequenza esatta seguente†
a
a
/ Ext0G (Z, M )
/
/
0
Ext0G (indG
Ext0G (indG
Gv Z, M )
Ge Z, M )
BC
ED
v∈R
e∈R
GF
@A
V
/ Ext1G (Z, M )
/
a
E
Ext1G (indG
Gv Z, M )
v∈RV
/
a
Ext1G (indG
Ge Z, M )
/ ...
e∈RE
† Se R
mutuando il coprodotto con
V ed Re sono infiniti si può fare un passaggio analogo
`
`
il prodotto. Infatti sul`secondo argomento
vale Hom( ,
)=
Hom( , ), ma sul primo
Q
argomento si ha Hom(
, ) = Hom( , ).
62
3
Alcune applicazioni dell’omologia
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Infine, applicando il lemma (2.54) di Eckmann-Shapiro e la definizione (2.34),
k
G
k
G
ExtkG (indG
Gv Z, M ) ' ExtGv (Z, res Gv M ) = H (Gv , res GvM ) .
k
Alleggerendo leggermente le notazioni scriviamo ExtkG (indG
Gv Z, M ) ' H (Gv , M ).
G
k
k
In modo del tutto analogo si ha ExtG (indGe Z, M ) ' H (Ge , M ). Otteniamo in
conclusione la sequenza esatta dell’enunciato.
3.6
La risoluzione barra
Sia R un anello commutativo e sia A una R-algebra. Dato un A-modulo
sinistro M vogliamo costruire una sua particolare risoluzione proiettiva. Le
referenze per questa parte sono [CR1, p. 180], [RT, p. 525] e [ML2, p. 114].
(3.24) Definizione. Sia M un A-modulo sinistro. Poniamo†
Bk (A, M ) = A ⊗R . . . ⊗R A ⊗R M .
{z
}
|
(k + 1)-volte
Poniamo inoltre a0 [a1 , . . . , ak |m] = a0 ⊗ . . .⊗ ak ⊗ m per semplicità. Ovviamente
Bk (A, M ) è uno A-modulo sinistro, ove la somma è definita puntualmente e il
prodotto esterno, con le notazioni introdotte, è dato da
a a0 [a1 , . . . , ak |m] = (aa0 )[a1 , . . . , ak |m] .
Definiamo delle mappe ∂k : Bk (A, M ) → Bk−1 (A, M ) ponendo
∂1 (a0 [a1 |m]) = a0 a1 [m] − a0 [a1 m]
∂2 (a0 [a1 a2 |m]) = a0 a1 [a2 |m] − a0 [a1 a2 |m] + a0 [a1 |a2 m]
...
∂k a0 [a1 , . . . , ak |m] = a0 a1 [a2 , . . . , ak |m]+
+
k−1
X
(−1)i a0 [a1 , . . . , (ai ai+1 ), . . . , ak |m]+
i=1
+ (−1)k a0 [a1 , . . . , ak−1 |ak m] ,
Definiamo poi ε : B0 (A, M ) → M ponendo
ε(a0 [m]) = a0 m .
Si verifica facilmente che le mappe ∂k e ε sono omomorfismi di A-moduli. Dunque
abbiamo una sequenza di A-moduli sinistri
...
† Si
∂3
/ B2 (A, M )
∂2
/ B1 (A, M )
∂1
/ B0 (A, M )
ε
/M.
(3.24.1)
noti che, poiché il prodotto tensoriale è associativo [RT, p. 83], la definizione ha senso.
63
3
Alcune applicazioni dell’omologia
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(3.25) Proposizione. La sequenza (3.24.1) è esatta.
Dimostrazione. Proviamo che la sequenza forma un complesso di catene. Verifichiamo cioè che ε ◦ ∂ = 0 e ∂k+1 ◦ ∂k = 0 per ogni k ≥ 1. Osserviamo che basta
verificare tali relazioni sui generatori, della forma a0 [a1 , . . . , ak |m]. Si ha
(ε ◦ ∂1 )(a0 [a1 |m]) = ε(a0 a1 [m] − a0 [a1 m]) = a0 a1 m − a0 a1 m = 0 ,
per ogni a0 , a1 ∈ A, m ∈ M . Poi abbiamo (togliendo a0 per brevità)
(∂1 ◦ ∂2 )([a1 a2 |m]) = ∂1 (a1 [a2 |m]) − ∂1 ([a1 a2 |m]) + ∂1 ([a1 |a2 m])
= (a1 a2 [m] − a1 [a2 m]) − (a1 a2 [m] − [a1 a2 m]) + (a1 [a2 m] − [a1 a2 m]) = 0 .
Con un minimo di lucidità mentale e pazienza, applicando ∂k−1 all’espressione
di ∂k ([a1 , . . . , ak |m]) si può provare che ∂k−1 ◦ ∂k = 0 per k > 2. Proviamo che
il complesso è esatto, cioè che ha omologia nulla. Per (2.19), basta dimostrare
che è omotopicamente equivalente al complesso nullo.
...
...
∂3
∂3
/ B2 (A, M )
x
/ B2 (A, M )
∂2
s1
∂2
/ B1 (A, M )
x
/ B1 (A, M )
∂1
s0
∂1
/ B0 (A, M )
ε
z
/ B0 (A, M )
s−1
ε
/M
/0
/M
/0
Definiamo sk : Bk (A, M ) → Bk+1 (A, M ) e s−1 : M → B0 (A, M ) ponendo
sk a0 [a1 , . . . , ak |m] = [a0 , . . . , ak |m],
s−1 (m) = [m] .
Ovviamente (ε ◦ s−1 )(m) = m. Poi si ha
(s−1 ◦ ε + ∂1 ◦ s0 )(a0 [m]) = [a0 m] + ∂1 ([a0 |m]) = a0 [m] .
Per k ≥ 1 calcoliamo
sk−1 ∂k (a0 [a1 , . . . , ak |m]) = [a0 a1 , a2 , . . . , ak |m] +
(c1 )
Pk−1
+ i=1 (−1)i [a0 , a1 , . . . , ai ai+1 , . . . , ak |m] + (c2 )
+(−1)k [a0 , a1 , . . . , ak−1 |ak m] ,
∂k+1
sk (a0 [a1 , . . . , ak |m]) = a0 [a1 , . . . , ak |m] +
Pk−1
+ i=0 (−1)i+1 [a0 , . . . , ai ai+1 , . . . , ak |m] +
k+1
+(−1)
[a0 , . . . , ak−1 |ak m] .
(c3 )
(c4 )
(c5 )
(c6 )
Si osservi che c6 = −c3 , che il termine 0-esimo della somma in c5 è −c1 e che
la somma rimanente è −c2 . In conclusione si ha sk−1 ◦ ∂k + ∂k+1 ◦ sk = Id −0,
sicché il nostro complesso è 0-omotopo e dunque esatto.
Intendiamo provare che (3.24.1) forma una risoluzione proiettiva per M .
Occorre dunque provare che gli A-moduli Bk (A, M ) sono proiettivi. Questo si
ottiene dalla seguente.
64
3
Alcune applicazioni dell’omologia
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(3.26) Proposizione. Supponiamo che A ed M , visti come R-moduli sinistri,
siano liberi. Allora Bk (A, M ) è uno A-modulo libero. In particolare la sequenza
in (3.24.1) è una risoluzione proiettiva per M .
Dimostrazione. Siano assegnati isomorfismi di R-moduli A ' RhXi, M ' RhY i
per opportuni insiemi X, Y . Allora si hanno isomorfismi di A-moduli
(k + 1)-volte
z
}|
{
Bk (A, M ) = A ⊗R . . . ⊗R A ⊗R M ' A ⊗R RhX k i ⊗R RhY i
' A ⊗R RhX k × Y i ' AhX k × Y i ,
Quindi Bk (A, M ) è libero. Per (1.42(a)), è proiettivo, e per (3.25) la sequenza è
esatta, cioè una risoluzione proiettiva per M .
(3.27) Osservazione. Sia G un gruppo, sia A = Z[G] e sia Z munito della
struttura di Z[G]-modulo banale. Per il lemma (2.44) si ha
Bk (Z[G], Z) = Z[G] ⊗Z . . . ⊗Z Z[G] ⊗Z Z ' Z[G] ⊗Z . . . ⊗Z Z[G] .
|
{z
}
|
{z
}
(k + 1)-volte
(k + 1)-volte
L’isomorfismo identifica il tensore g0 [g1 , . . . , gk |1] con g0 [g1 , . . . , gk ]. Per (3.26),
Z ha una risoluzione proiettiva (B· (Z[G], Z), ∂· , ε). Scriveremo ⊗ al posto di ⊗Z
per semplicità. Consideriamo la sequenza di Z[G]-moduli
...
∂3
/ B2 (Z[G], Z)
∂2
/ B1 (Z[G], Z)
∂1
/ B0 (Z[G], Z)
/ 0,
e sia M uno Z[G]-modulo sinistro. Applicando il funtore HomZ[G] ( , M ) otteniamo un complesso di Z-moduli sinistri
0
/ HomG B0 (Z[G], Z), M
◦∂1
δ
0
/ HomG B1 (Z[G], Z), M
◦∂2
δ1
/ ...
che, per la definizione (2.34), ha omologia H k (G, M ). Per la dimostrazione della
proposizione (2.48), abbiamo un isomorfismo di gruppi abeliani
HomZ[G] Z[G] ⊗ Z[G] ⊗ . . . ⊗ Z[G], M
|
{z
}
k-volte
0
/ HomZ Z[G] ⊗ . . . ⊗ Z[G], M ,
|
{z
}
k-volte
definito ponendo, per ψ ∈ HomZ[G] Bk (Z[G], Z), M ,
ψ0 g0 [g1 , . . . , gk−1 ] = ψ [g0 , g1 , . . . , gk−1 |1] .
Il morfismo inverso è
b,
definito in (2.48) ponendo, per f nel codominio di
fb g0 [g1 , . . . , gk |1] = g0 f g1 [g2 , . . . , gk ] .
65
0,
3
Alcune applicazioni dell’omologia
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Indichiamo con F(Gk , M ) il gruppo abeliano delle funzioni Gk → M . Allora
HomZ Z[G] ⊗ . . . ⊗ Z[G], M = HomZ ZhGk i , M ' F(Gk , M ) ,
|
{z
}
k-volte
0
ove G = { 1 }, G = G × . . . × G e l’isomorfismo si ottiene per restrizione a Gk e
lineare estensione a ZhGk i, identificando (g1 , . . . , gk ) con il tensore g1 [g2 , . . . , gk ].
Vi è quindi un isomorfismo HomZ[G] Bk (Z[G], Z), M ' F(Gk , M ) che determina
un complesso con gli F(Gk , M ) attraverso il diagramma
0
k
/ HomG B0 (Z[G], Z), M
0
0
/
◦∂1
δ0
/ HomG B1 (Z[G], Z), M
F(G0 , M )
γ0
0
/
◦∂2
δ1
/ ...
F(G1 , M )
γ1
/ ...
I morfismi γ i sono definiti ponendo γ i = ( 0 ) ◦ (δ i ) ◦ ( 0 )−1 . Dunque, con le
diverse identificazioni fatte, possiamo calcolare, per f ∈ F(G0 , M ),
γ 0 (f )(g) = ( 0 ) ◦ (δ 0 ) ◦ ( b ) (f )(g) = ( 0 ) fb ◦ ∂1 (g)
= (fb ◦ ∂1 ) [g|1] = fb g[1] − [g · 1] = gf (1) − f (1) .
Poiché nel modulo banale Z si ha g · 1 = 1. Per f ∈ F(G1 , M ) si ha
γ 1 (f )(g1 , g2 ) = ( 0 ) fb ◦ ∂2 (g1 [g2 ]) = (fb ◦ ∂2 ) [g1 , g2 |1]
= fb g1 [g2 |1] − [g1 g2 |1] + [g1 |g2 · 1]
= g1 f (g2 ) − f (g1 g2 ) + f (g1 ) .
Analogamente, per k > 1 e f ∈ F(Gk , M ) si ha
γ k (f )(g1 , . . . ,gk+1 ) = (fb ◦ ∂k+1 ) [g1 , . . . , gk+1 |1]
= + g1 f (g2 , . . . , gk+1 ) +
Pk
+ i=1 (−1)i f (g1 , . . . , gi gi+1 , . . . , gk+1 ) +
+ (−1)k+1 f (g1 , . . . , gk ) .
Dunque i morfismi γ i operano in modo analogo ai ∂i e determinano un complesso
(F(G· , M ), γ· ) con omologia H k (G, M ), coomologia di G a coefficienti in M .
(3.28) Definizione. Sia G un gruppo e sia M uno Z[G]-modulo sinistro. Con
riferimento alle notazioni dell’osservazione (3.27),
(a) Il gruppo abeliano di k-cocicli di G a coefficienti in M è
Z k (G, M ) = Ker γ k = f ∈ F(Gk , M ) γ k (f ) = 0 ;
66
3
Alcune applicazioni dell’omologia
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(b) Il gruppo abeliano di k-cobordi di G a coefficienti in M è
B k (G, M ) = Im γ k−1 = γ k−1 F(Gk , M ) ,
ove si pone convenzionalmente B 0 (G, M ) = 0.
(3.29) Osservazione. Interpretiamo k-cocicli e k-cobordi per k = 1, 2.
(a) Per k = 0 abbiamo B 0(G, M ) = 0 e
Z 0(G, M ) = f ∈ F(G0 , M ) (g − 1)f (1) = γ 0 (f )(g) = 0, ∀g ∈ G
' { m ∈ M | g · m = m, ∀g ∈ G } = M G ,
ove G0 = { 1 } e la valutazione in 1 stabilisce l’isomorfismo. In altre parole,
il gruppo degli 0-cocicli è formato dai punti fissi per la G-azione su M ;
(b) Per k = 1 abbiamo
Z 1(G, M ) =
f ∈ F(G1 , M ) f (g1 g2 ) = g1 f (g2 ) + f (g1 ) .
In altre parole, Z 1(G, M ) è quello che si chiama il gruppo delle derivazioni
di G a coefficienti in M . Per il gruppo degli 1-cobordi si ha
B 1(G, M ) = f ∈ F(G1 , M ) ∃m ∈ M : f (g) = (g − 1) · m, ∀g ∈ G ,
cioè B 1(G, M ) è il gruppo delle derivazioni principali ;
(c) Per k = 2 abbiamo
(
2
Z (G, M ) =
)
g f (g , g ) + f (g , g g ) =
2 3
1 2 3
1
f ∈ F(G , M ) .
= f (g1 g2 , g3 ) + f (g1 , g2 )
2
Mentre chiamiamo 2-cocicli principali i 2-cobordi
esiste t ∈ F(G1 , M ) tale che
B 2(G, M ) = f ∈ F(G2 , M ) .
f (g1 , g2 ) = g1 t(g2 ) − t(g1 g2 ) + t(g1 )
67
4
Teoria delle rappresentazioni
4
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Teoria delle rappresentazioni
4.1
Anelli con condizione di minimo
Sia R un anello con unità. Vogliamo studiare alcuni risultati classici su anelli
con condizione di minimo. Una referenza per questa parte è [CR, p. 159].
(4.1) Definizione. Diciamo che R soddisfa la condizione di minimo (MinC)
se ogni insieme non vuoto Ω di ideali sinistri non nulli di R ammette elementi
minimali, cioè se esiste I ∈ Ω tale che J 6⊆ I per ogni J ∈ Ω.
(4.2) Osservazione. Sono note diverse condizioni sugli ideali di un anello. La
noetherianità equivale alla condizione di catene ascendenti (ACC), che afferma
che ogni catena strettamente ascendente di ideali di R è finita. L’artinianità
equivale alla analoga condizione di catene discendenti (DCC), e costituisce una
proprietà più debole di (MinC). Potremmo poi considerare una condizione di
massimo (MaxC), che però è sempre soddisfatta per il Lemma di Zorn.
(4.3) Osservazione. Si noti che
(a) Se K è un campo e A è una K-algebra finito-dimensionale (e.g. Matn (K))
allora A soddisfa la condizione di minimo (MinC);
(b) R = Z è noetheriano ma non soddisfa (MinC). Ad esempio, l’insieme degli
ideali Ω = { nZ | n ∈ N } non ammette elementi minimali;
(4.4) Lemma. Sia R un anello e sia J un suo ideale sinistro.
Se R soddisfa (MinC) allora R/J soddisfa (MinC).
Dimostrazione. Infatti gli ideali di R/J sono della forma N/J per qualche
ideale N di R. Più precisamente, se M Cl R/J allora M = N/J, ove N =
{ r ∈ R | r + J ∈ M }. Quindi a un insieme Ω0 di ideali non nulli di R/J corrisponde un insieme di ideali di R che contengono propriamente J. Detto N0 il
minimo, M0 = N0 /J è un elemento minimale di Ω0 .
(4.5) Definizione. Sia R anello con unità.
(a) x ∈ R si dice nilpotente se ∃ k ∈ N tale che xk = 0;
(b) x ∈ R si dice idempotente se x2 = x 6= 0;
(c) Un ideale sinistro I Cl R si dice nilpotente se ∃ k ∈ N tale che
n
o
Pm
I k := x ∈ R x = j=1 (u1,j . . . uk,j ), m ∈ N, ui,j ∈ I = 0;
(d) Un ideale sinistro I Cl R si dice nil se ogni x ∈ I è nilpotente.
(4.6) Osservazione. Si vede facilmente che I k = 0 se e solo se, per ogni scelta
di k elementi u1 , . . . , uk ∈ I (distinti o no), si ha u1 . . . uk = 0. In particolare, se
I Cl R è nilpotente, allora I è nil. Infatti, detto k il grado di nilpotenza di I,
per ogni x ∈ I si ha xk ∈ I k = 0. L’implicazione inversa è falsa in generale.
68
4
Teoria delle rappresentazioni
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(4.7) Lemma. Una somma finita di ideali nilpotenti è un ideale nilpotente.
Dimostrazione. Siano I, J Cl R tali che I n = J n = 0 e sia I + J l’ideale somma,
costituito da tutti gli elementi della forma i + j per i ∈ I e j ∈ J.† Allora
(I + J)n+m è costituito da somme, di prodotti di n + m elementi della forma
P
(i1 + j1 ) . . . (in+m + jn+m ) = k (xk,1 . . . xk,m+n ),
ove, per ogni k, almeno n elementi di Xk = { xk,1 , . . . , xk,n+m } stanno in I,
oppure almeno m elementi stanno in J. Nel primo caso, il prodotto degli elementi
di Xk si può scrivere nella forma
(xk,1 . . . xk,l1 )(xk,l1 +1 . . . xk,l2 ) . . . (xk,ls−1 +1 . . . xk,ls ),
ove xk,l1 , . . . , xk,ls ∈ I e s ≥ n. Ciascun fattore in parentesi appartiene a I poiché
I è un ideale sinistro. D’altro canto, per l’osservazione (4.6), ogni prodotto di n
elementi di I è nullo. Analogamente nel secondo caso, si ha un annullamento
perché il prodotto di m elementi in J è zero. Quindi (I + J)n+m è nilpotente e
ha grado di nilpotenza minore o uguale a n + m.
Chiaramente un ideale sinistro contenente un elemento idempotente a non
può essere nilpotente (ak = a 6= 0 per ogni k). Inversamente si ha la seguente.
(4.8) Proposizione. Sia R un anello con condizione (MinC) e 0 6= I Cl R un
suo ideale sinistro. Allora, se I non è nilpotente, esiste x ∈ I idempotente.
Dimostrazione. Se I = R, 1 è idempotente in I. Sia dunque I 6= R.
Passo 1. Supponiamo per un attimo di poter trovare dentro I un elemento
nilpotente n1 e uno non-nilpotente a tali che n1 = a2 − a. Allora possiamo
trovare in I un elemento idempotente attraverso la seguente procedura. Poiché
a è non-nilpotente, a 6= 0. Se fosse a2 − a = 0 avremmo trovato un elemento
idempotente. Possiamo quindi supporre che sia n1 = a2 − a 6= 0. Poniamo
a1 := a + n1 − 2an1 .
Poiché n1 a = (a2 − a)a = a(a2 − a) = an1 , si ha
a21 − a1 = (a2 − a) − 4a2 n1 − 4an21 + 4n1 a + n21 + 4a2 n21 − n1
= 4n21 (a2 − a) + 4n1 (a2 − a) + n21
= n21 (4n1 − 3).
Osserviamo che a1 è non-nilpotente, altrimenti a = a1 − n1 + 2an1 sarebbe
somma di nilpotenti che commutano fra loro, e quindi nilpotente. In particolare
si ha a1 =
6 0. Se fosse a21 − a1 = 0 avremmo un elemento idempotente in I.
Possiamo supporre dunque che sia n2 := a21 − a1 6= 0. Poniamo
a2 := a1 + n2 − 2a1 n2 .
† Nota “per dummies”: l’insieme delle somme { i + j | i ∈ I, j ∈ J } è sempre un ideale,
mentre l’insieme dei prodotti { ij | i ∈ I, j ∈ J } no (non è chiuso rispetto alla somma!).
69
4
Teoria delle rappresentazioni
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Con conti analoghi ai precedenti otteniamo
a22 − a2 = n22 (4n2 − 3) = n41 (4n1 − 3)2 (4n2 − 3).
Analogamente, osserviamo che a2 non è nilpotente, sicché a2 =
6 0. Se a22 − a2 = 0
allora a2 è un elemento idempotente in I, altrimenti si può proseguire iterando
la procedura. Questa deve necessariamente terminare dopo un numero finito di
passi poiché, al passo k-esimo si ha
k
a2k − ak = n2k (4nk − 3) = n4k−1 (4nk−1 − 3)2 (4nk − 3) = . . . = n21 · C .
k
Dato che n1 è nilpotente, deve esistere k tale che n21 = 0, (sicché ak è un
elemento idempotente in I e la procedura termina al passo k).
Passo 2. Proviamo che esistono in I un elemento nilpotente n1 e uno
non-nilpotente a tali che n1 = a2 − a. Poniamo
ΩI = { J Cl R | J 6= 0, J ⊆ I, J non è nilpotente } .
Poiché I ∈ ΩI , ΩI 6= ∅. Per (MinC) esiste I1 ∈ ΩI minimale. Allora I12 6= 0,
I12 ⊆ I1 ⊆ I e I12 non è nilpotente (altrimenti I1 lo sarebbe), sicché I12 ∈ ΩI . Per
la minimalità di I1 , si ha I12 = I1 . Sia
Ω0 = { L Cl R | L 6= 0, L ⊆ I1 , I1 L 6= 0 } .
Poiché I1 ∈ Ω0 , Ω0 =
6 ∅. Per (MinC) esiste un elemento minimale L1 ∈ Ω0 .
Sia x ∈ L1 tale che I1 x 6= 0 (altrimenti I1 L = 0). Dato che I1 x Cl R e x ∈ I1 ,
I1 x ⊆ I1 . Inoltre I1 I1 x = I12 x = I1 x 6= 0. Dunque I1 x ∈ Ω0 e I1 x ⊆ L1 . Per la
minimalità di L1 si ha I1 x = L1 . Poiché x ∈ L1 , esiste a ∈ I1 tale che ax = x
(e dunque ak x = x). a è non-nilpotente, altrimenti sarebbe x = 0 e L1 = 0.
Poniamo n1 = a2 − a e sia
N = Ann(x) ∩ I1 = { n ∈ I1 | nx = 0 } Cl R.
Poiché a2 x = ax = x, n1 ∈ N e 0 6= N ⊆ I. Se N fosse non nilpotente
allora sarebbe un elemento di ΩI più piccolo di I1 (N 6= I1 perché altrimenti
L1 = I1 x = 0), contro la minimalità di I1 . Quindi N deve essere nilpotente. Per
l’osservazione (4.6), concludiamo che n1 è un elemento nilpotente.
4.2
Il radicale di un anello
(4.9) Definizione. Sia R un anello con condizione di minimo (MinC). Chiamiamo radicale di R la somma di tutti gli ideali nilpotenti di R,
P
rad R =
{ I | I Cl R, I nilpotente } .
Diciamo che R è semisemplice se rad R = 0.
(4.10) Teorema. Sia R un anello (MinC). Allora
70
4
Teoria delle rappresentazioni
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(a) rad R è un ideale bilatero di R ed è nilpotente;
(b) rad R contiene ogni ideale nilpotente destro;
(c) L’anello quoziente R/rad R è semisemplice.
Dimostrazione. (a) Poniamo J = rad R per semplicità. Ovviamente J Cl R.
Supponiamo che J sia non-nilpotente. Per (4.8), esiste e ∈ J tale che e2 = e 6= 0.
Per definizione, e deve appartenere a una opportuna somma finita di ideali
nilpotenti. Sia e ∈ I1 + . . . + Ir ove Ii Cl R è nilpotente. Per il lemma (4.7),
I1 + . . . + Ir è un ideale sinistro nilpotente di R, assurdo poiché ek = e 6= 0 per
ogni k. Proviamo che J è anche un ideale destro, cioè che JR ⊆ J. Notiamo che
basta provare che JR è nilpotente. Sia k tale che J k = 0. Allora
(JR)k = (JR)(JR) . . . (JR) = J(RJ)(RJ) . . . (RJ)R ⊆ J k R = 0.
(b) Analogamente, se I Cr R è tale che I s = 0, allora (RI)s ⊆ RI s = 0.
Quindi RI Cl R è nilpotente, e I = RI ⊆ J (R è un anello con unità).
(c) Proviamo che R/J non ha ideali nilpotenti non nulli. Sia M Cl R/J
tale che M m = 0. Sia N = { r ∈ R | r + J ∈ M } Cl R. Poiché N m ⊆ J si ha
N m+k = 0, cioè N è nilpotente. In particolare N ⊆ J e M = N/J = 0. Per il
lemma (4.4), possiamo dire che R/J è semisemplice (rad(R/J) = 0).
4.3
Anelli semisemplici e moduli completamente riducibili
Ricordiamo che per ideale minimale di R si intende un ideale 0 6= L Cl R
che non contiene alcun ideale sinistro di R eccetto 0 ed L. Richiamiamo alcune
nozioni fondamentali nella teoria della rappresentazioni.
(4.11) Definizione. Sia R un anello e sia M uno R-modulo sinistro.
(a) M si dice irriducibile se non ha R-sottomoduli non-banali;
(b) M si dice completamente riducibile se ogni sottomodulo N ≤ M ammette
un complemento, cioè esiste uno R-sottomodulo Q di M tale che
M =N ⊕Q .
Ovviamente un modulo irriducibile è completamente riducibile;
(c) Lo zoccolo di M è la somma (diretta) di tutti i suoi sottomoduli irriducibili,
P
Socle M := { N ≤ M | N è irriducibile } .
P
(4.12) Lemma. Sia R un anello ed M =
α Mα , ove Mα sono A-moduli
irriducibili. Allora M è completamente riducibile.
71
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Dimostrazione. Sia N un sottomodulo di M . Troviamo un complemento per N
applicando il Lemma di Zorn. Poniamo
Ω = { Q ⊆ M | Q è un sottomodulo di M e Q ∩ N = 0 } .
Ovviamente 0 ∈ Ω 6= ∅. Ω è parzialmente ordinato rispetto all’inclusione
ed
S
è induttivo. Infatti, se τ ⊆ Ω totalmente ordinato, allora T = S∈τ S è un
sottomodulo di M , T ∩ N = 0 ed è un maggiorante di τ in Ω. Per il Lemma di
Zorn, possiamo trovare un elemento massimale Q ∈ Ω.
Ci basta provare che M = N + Q. Supponiamo per assurdo che N + Q 6= M ,
e sia m ∈ M r (N + Q). Per definizione, esiste un insieme finito di sottomoduli
k
irriducibili { Mi }i=1 di M tali che m ∈ M1 + . . . + Mk . Posto m = m1 + . . . + mk
con mi ∈ Mi , esiste j tale che mj 6∈ N + Q. Dunque, per irriducibilità,
Mj ∩ (N + Q) 6= Mj =⇒ Mj ∩ (N + Q) = 0.
Segue che, posto Q0 = Q+Mj , si ha N ∩Q0 = 0.† Quindi Q0 sarebbe un elemento
di Ω più grande di Q, contro la minimalità di Q.
(4.13) Proposizione. Sia R (MinC) e L Cl R non-nilpotente minimale. Allora
(a) L = Re per qualche elemento idempotente e;
(b) R = Re ⊕ R(1 − e);
(c) Per ogni I Cl R tale che I ⊇ L si ha I = L ⊕ I 0 per qualche I 0 Cl R.
Dimostrazione. (a) Per la proposizione (4.8), esiste e ∈ L tale che e2 = e 6= 0.
Poiché Re è un ideale sinistro non-nullo di R contenenuto in L ed L è minimale,
si ha L = Re. (N.b. l’elemento e non è in generale univocamente determinato)
(b) Si ponga L0 = R(1 − e). Allora L0 è un ideale sinistro di R e L ∩ L0 = ∅.
Infatti, se x = x1 e = x2 (1 − e) allora x = x1 e2 = xe = x2 (1 − e)e = 0. Segue
R = L ⊕ L0 = Re ⊕ R(1 − e).
(c) Sia L ⊆ I Cl R. Si ponga I 0 = I ∩ L0 . Allora
I = I ∩ R = I ∩ (L ⊕ L0 ) = (I ∩ L) ⊕ (I ∩ L0 ) = L ⊕ (I ∩ L0 ) = L ⊕ I 0 .
(4.14) Proposizione. Sia R un anello (MinC). Allora R è semisemplice se e
solo se il modulo regolare R R è completamente riducibile.
Dimostrazione. Sia R semisemplice e sia L1 Cl R minimale (cioè un sottomodulo
irriducibile di R R). L’esistenza di L1 è garantita da (MinC). Poiché rad R = 0,
R non contiene ideali nilpotenti. Quindi L1 è non-nilpotente e minimale. Per la
proposizione (4.13(b)), possiamo scrivere
R = L1 ⊕ L01 ,
† Infatti, se q 0 = q + m ∈ N con q ∈ Q ed m ∈ M allora m = q 0 − q ∈ N + Q, sicché m = 0
j
e q 0 ∈ N ∩ Q. Da cui q 0 = 0 (Q ∈ Ω).
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per un ideale sinistro L01 di R. Se L01 = 0 abbiamo finito. Altrimenti, in virtù
di (MinC) possiamo trovare L2 Cl R minimale tale che L2 ⊆ L01 . Per (4.13(b)),
applicato con L2 al posto di L1 , possiamo scrivere R = L2 ⊕ L02 per un opportuno
ideale L02 Cl R. Intersecando come in (4.13(c)) otteniamo
e2 ,
L01 = L01 ∩ R = (L01 ∩ L2 ) ⊕ (L02 ∩ L01 ) = L2 ⊕ L
e 2 = L0 ∩ L0 . Se L
e 2 = 0, R R è somma dei moduli irriducibili
ove abbiamo posto L
2
1
L1 , L2 , e dunque è completamente riducibile per il lemma (4.12). Se invece
e 2 6= 0 ripetiamo la procedura considerando L2 Cl R minimale tale che L3 ⊆ L
e2 .
L
e 3 Cl R tale che L
e 2 = L3 ⊕ L
e 3 e cosı̀ via. Occorre però provare che la
Troviamo L
e 1 e consideriamo l’insieme
procedura ha termine.† Poniamo L01 = L
e k | k ∈ N, L
ek =
Ω={L
6 0 }.
e 1 6= 0, Ω è un insieme non vuoto di ideali inscatolati di R, sicché ha un
Se L
e s con s > 1. Allora L
e s+1 = 0 e R = L1 ⊕ . . . ⊕ Ls .
unico elemento minimale L
Inversamente, supponiamo R R completamente riducibile e sia N = rad R.
Allora esiste N 0 Cl R (cioè un sottomodulo di R R) tale che R = N ⊕ N 0 . In
particolare possiamo scrivere 1 = x + x0 per qualche x ∈ N , x0 ∈ N 0 . Allora
x = x · 1 = x2 + xx0 =⇒ x − x2 = xx0 ∈ N ∩ N 0 = 0.
Dunque x è nilpotente e x2 = x. Segue che x = 0, x0 = 1, N 0 = R e N = 0.
(4.15) Osservazione. Sia R un anello (MinC) semisemplice. Per (4.14),
R = L1 ⊕ . . . ⊕ Ls ,
(4.15.1)
ove Li Cl R sono minimali e non-nilpotenti. In particolare 1R = e1 + . . . + es per
opportuni ei ∈ Li . Moltiplicando per ej si ottiene ej = ej e1 + . . . + ej es . Poiché
Lj ∩ Li = 0, si ha ej ei = 0 per i 6= j e e2i = ei per ogni i. Inoltre
R = R1R = Re1 + . . . + Res = Re1 ⊕ . . . ⊕ Res .
(4.15.2)
Confrontando (4.15.2) e (4.15.1) si deduce facilmente che Rei = Li , sicché ei 6= 0.
Diremo che (e1 , . . . , er ) è un sistema completo di idempotenti ortogonali in R.
Abbiamo cosı̀ un rafforzamento di (4.14).
(4.16) Proposizione. Sia R un anello (MinC). Allora R è semisemplice se e
solo se ogni R-modulo M è completamente riducibile.
Dimostrazione. Se ogni R-modulo è completamente riducibile allora anche R R
lo è, sicché per (4.14) R è semisemplice. Inversamente, se R è semisemplice,
procedendo come in (4.15) possiamo trovare un sistema completo di idempotenti
ortogonali (e1 , . . . , es ). Allora si ha
P
P
Ps
M = m∈M Rm = m∈M i=1 Rei m.
† Per A-moduli finito-dimensionali (con A algebra su un campo K) questo passaggio è
gratuito per ovvie questioni di dimensione. Noi ricorreremo ancora a (MinC).
73
4
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Ovviamente Rei m è un sottomodulo di M , ma la somma non è necessariamente
diretta. La mappa xei 7→ xei m stabilisce un omomorfismo di Rei in Rei m.
Poiché Rei = Li è irriducibile, il nucleo di tale mappa è 0 o Li . Dunque Rei m è
nullo, oppure irriducibile in quanto isomorfo a Li . Quindi M è somma di moduli
irriducibili, e per (4.12) è completamente riducibile.
(4.17) Corollario. Ogni modulo su un anello (MinC) semisemplice è proiettivo.
Dimostrazione. Consideriamo l’R-modulo libero su M , RhM i. Per P
(1.42(a)),
RhM i è proiettivo. Consideriamo la mappa τ : RhM i → M , (rm )m 7→ m rm m.
Questa è un omomorfismo di R-moduli e N = Ker τ è un sottomodulo di RhM i.
Per (4.16), esiste un sottomodulo Q di M tale che RhM i = N ⊕ Q. Inoltre τ
induce un isomorfismo tra Q = RhM i /N ed M . Basta dunque osservare che Q
è proiettivo in quanto addendo diretto di un R-modulo libero. Siano dati due
A-moduli X ed Y e un diagramma a righe esatte
Q
φ
X

π
/Y
φ
/ 0,
proviamo che esiste φ che fa commutare il diagramma. Sia p2 : N ⊕ Q Q e
i2 : Q ,→ N ⊕ Q. Allora possiamo costruire un diagramma analogo
N ⊕Q
ψ
X
{
π
/Y
φ◦p2
/ 0.
Poiché N ⊕ Q = RhM i è proiettivo, esiste ψ tale che π ◦ ψ = φ ◦ p2 . Poniamo
allora φ = ψ ◦ i2 . Si ha π ◦ φ = π ◦ ψ ◦ i2 = φ ◦ p2 ◦ i2 = φ, da cui la tesi.
4.4
Struttura di un anello semisemplice
Vogliamo usare i risultati introdotti per ottenere informazioni sulla decomposizione di un anello (MinC) semisemplice come somma diretta di suoi ideali
bilaterali. Cominciamo con la seguente.
(4.18) Proposizione. Sia R un anello semisemplice (MinC) e siano L, L0 Cl R
minimali. Allora sono equivalenti le seguenti affermazioni.
(i) Vi è un isomorfismo di R-moduli L ' L0 ;
(ii) Esiste a0 ∈ L0 tale che L0 = La0 ;
(iii) LL’ = L’;
74
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∼
Dimostrazione. (i)⇔(ii). Sia φ : L → L0 . Per (4.13(a)) esiste e ∈ L idempotente
tale che L = Re. In particolare L = Re2 = Le. Posto a0 = φ(e), si ha L0 =
φ(L) = φ(Le) = Lφ(e) = La0 . Inversamente, se vale (ii), allora · a0 : L → L0 è
un isomorfismo di R-moduli poiché è suriettivo ed L è irriducibile.
(ii)⇔(iii). Ovviamente, se L0 = La0 con a0 ∈ L0 , allora LL0 = L0 . Inversamente, se LL0 = L0 , deve esistere a ∈ L0 tale che La0 6= 0. Allora La0 è un ideale
di R contenuto in L0 . Per la minimalità di L0 si ha L0 = La0 .
(4.19) Corollario. Sia R semisemplice (MinC). Allora
(a) L’insieme Irr R delle classi di isomorfismo di R-moduli irriducibili è finito;
(b) Per ogni [M ] ∈ Irr R esiste L Cl R minimale tale che L ∈ [M ];
(c) Sia (e1 , . . . , es ) un sistema completo di idempotenti ortogonali in R (4.15).
Allora, per ogni [M ] ∈ Irr R esiste i tale che Rei ∈ [M ].
Dimostrazione. Con riferimento alle notazioni di (4.15) si ha
R = L1 ⊕ . . . ⊕ Ls = Re1 ⊕ . . . ⊕ Res ,
ove Li sono ideali minimali di R e Li = Rei . Sia M uno R-modulo irriducibile e
sia 0 6= m ∈ M . Allora la mappa φm : R → M , φm (r) = rm è un epimorfismo
di R-moduli, sicché M ' R/ Ker φm . Poiché R R è completamente riducibile,
R = Ker φm ⊕ L ,
per qualche 0 6= L Cl R minimale (L ' M ). Osserviamo che deve esistere k tale
che Lek 6= 0 (altrimenti L = L1R = 0). Dato che Lek ⊆ Rek ed Rek è minimale,
abbiamo Lek = Rek = Lk . Per (4.18) concludiamo che M ' L ' Lk . Segue che
ogni modulo irriducibile è isomorfo a un Li per qualche i.
(4.20) Definizione. Sia R un anello (MinC) semisemplice e sia
Irr R = { [M1 ], . . . , [Mt ] } .
Chiamiamo componente di Wedderburn (o componente omogenea) di R relativa
a Mi la somma Bi di tutti gli ideali sinistri di R isomorfi a Mi , cioè poniamo
P
Bi = { L Cl R | L minimale, L ' Mi } .
(4.21) Definizione. Sia R un anello (MinC). Diciamo che R è semplice se non
ammette ideali bilaterali non banali (diversi da 0 ed R).
Per (4.10), sappiamo che rad R è un ideale bilatero e nilpotente. In particolare,
dato che 1R non può appartenere a rad R, un anello semplice è semisemplice.
(4.22) Teorema (di struttura). Sia R un anello (MinC) semisemplice, e siano
B1 , . . . , Bt le componenti di Wedderburn di R ( t = |Irr R| ). Allora
(a) Bi Bj = 0 per i 6= j;
75
4
Teoria delle rappresentazioni
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(b) Bi sono ideali bilateri di R;
(c) R = B1 ⊕ . . . ⊕ Bt ;
(d) Bi sono anelli semplici.
Dimostrazione. (a) Se L, L0 Cl R sono minimali tali che L 6' L0 allora, per (4.18),
LL0 6= L0 e LL0 = 0 (irriducibilità). Quindi Bi Bj = 0 per i 6= j.
(b) Naturalmente si ha R = L1 ⊕ . . . ⊕ Ls = B1 + . . . + Bt .† Dunque, per il
primo punto, abbiamo Bi R = Bi Bi ⊆ Bi , cioè Bi è anche un ideale destro.
(c) Proviamo che la somma è diretta. Poniamo C = B1 ∩ (B2 + . . . + Bt ). Per
il punto (a), Bi C = 0 per
P ogni i. Quindi RC = 0 e C = 1C = 0. Analogamente
nel caso generale, Bi ∩ { Bj | j 6= i } = 0.
(d) Poniamo 1R = β1 + . . . + βt . Per (a) abbiamo βi βj = 0 e βi2 = βi 1R = βi .
Più in generale, per ogni b ∈ Bi , βi b = bβi = b, cioè βi = 1Bi . Sia 0 6= I C Bi .
Allora I è anche un ideale sinistro di R, sicché deve contenere un ideale minimale
L Cl R. Poiché L ⊆ Bi , si ha L ' Mi . D’altra parte, poiché I Cr R,
Lx ⊆ I
per ogni x ∈ R. Per (4.18), al variare di x in R, Lx copre tutti gli ideali sinistri di
R isomorfi a Mi . Quindi I = Bi , cioè Bi non ammette ideali bilateri non-banali.
Osserviamo infine che gli ideali sinistri di Bi sono anche ideali sinistri di R,
sicché anche Bi , come anello, soddisfa (MinC).
4.5
Il Teorema di Wedderburn
Per questa parte si veda [CR, p. 175]. Premettiamo un risultato classico.
(4.23) Lemma (Shur). Sia R un anello e sia M un R-modulo irriducibile.
Allora D = HomR (M, M ) è un corpo.
Dimostrazione. Ovviamente D è un anello. Sia 0 6= φ ∈ D. Proviamo che φ è
bijettivo. Poiché Ker φ è un sottomodulo di M , Ker φ = 0. Poiché Im φ è un
sottomodulo di M , Im φ = M . Quindi esiste l’applicazione inversa φ−1 : M → M .
Verifichiamo che φ−1 è un omomorfismo di R-moduli. Per a ∈ R, m ∈ M si ha
m = φ(n) per qualche n ∈ M . Segue che
φ−1 (am) = φ−1 φ(an) = an = aφ−1 (m) .
Quindi φ−1 ∈ D.
(4.24) Osservazione. Sia R un anello e M uno R-modulo sinistro. Poniamo
Rl = { φ ∈ End M | φ(m) = rm, per qualche r ∈ R } ,
anello degli endomorfismi di M dati dalle moltiplicazioni a sinistra. Sia
D = HomR (M, M ),
† In
generale si ha t ≤ s perché si possono avere due Li isomorfi tra loro.
76
4
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insieme degli endomorfismi di M come R-modulo, visto come un anello di
operatori che agiscono da destra su M , cioè, per ψ ∈ D, m ∈ M abbiamo
m · ψ = ψ(m).
In generale si ha l’inclusione Rl ⊆ HomD (M, M ). Infatti gli elementi di D sono
endomorfismi che commutano con le moltiplicazioni a sinistra (i.e. con l’azione
di R). Diremo che (R, M ) ha la proprietà del doppio centralizzante (DCP) se
Rl = HomD (M, M ).
(4.25) Proposizione. Sia R un anello. Allora (R, R R) ha la (DCP).
Dimostrazione. Con le notazioni di (4.24), sia Rl ⊆ End M l’anello delle moltiplicazioni a sinistra, D = EndR R e si interpreti D come un’azione da destra su
R. Sia δ ∈ D e si ponga d = 1R · δ = δ(1R ). Allora, per ogni r ∈ R,
r · δ = (r1R ) · δ = r(1R · δ) = rd .
Quindi δ è la moltiplicazione a destra per d. D’altra parte la proprietà associativa
mostra che ogni moltiplicazione a destra appartiene a D. In altre parole D = Rr ,
ove con Rr indichiamo l’anello delle moltiplicazioni a destra.
Sia ora φ ∈ HomD (R, R) e si ponga c = φ(1R ). Allora, poiché φ commuta
con tutte le moltiplicazioni a destra,
!
φ(r) = φ(1R r) =
φ(1R )r = cr ,
sicché φ è la moltiplicazione a sinistra per c. D’altro canto sappiamo che vale
Rl ⊆ HomD (R, R). Concludiamo che vale Rl = HomD (R, R), cioè la tesi.
(4.26) Lemma. Sia R un anello, M uno R-modulo sinistro e sia
V = M ⊕ . . . ⊕ M ( somma diretta esterna ).
{z
}
|
k-volte
Se (R, V ) ha la (DCP), allora (R, M ) ha la (DCP).
Dimostrazione. Gli elementi di V sono delle k-uple (m1 , . . . , mk ) per mi ∈ M .
Sia D = HomR (M, M ) e sia f ∈ HomD (M, M ). Vogliamo provare che f è una
moltiplicazione a sinistra per un elemento di R. Definiamo f ∗ ∈ End V ,
f ∗ (m1 , . . . , mk ) = (f (m1 ), . . . , f (mk )) .
Se proviamo che f ∗ ∈ HomE (V, V ) ove E = HomR (V, V ) allora, per la (DCP)
di (R, V ), concludiamo che esiste r ∈ R tale che
f (m1 ), . . . , f (mk ) = (rm1 , . . . , rmk ),
da cui la tesi. Sia quindi ϑ ∈ E (da interpretarsi come operatore che agisce da
destra). Vogliamo provare che f ∗ commuta con ϑ. Per ogni v ∈ V , poniamo
v = (mv1 , . . . , mvk ) = v1 + . . . + vk ,
77
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ove vi = (0, . . . , mvi , . . . , 0). Poniamo inoltre
vi · ϑ = (0, . . . , mvi , . . . , 0) · ϑ = mvi · ϑi1 , . . . , mvi · ϑik .
Abbiamo allora delle ben definite mappe additive ϑij : M → M , mvi 7→ mvi · ϑij .
Quindi basta verificare che f ∗ commuta con ϑ sugli elementi vi , al variare di
v ∈ V e per ogni i = 1, . . . , k. Poiché f ∈ HomD (M, M ) e ϑij ∈ D,
f ∗ (vi ) · ϑ = 0, . . . , f (mvi ), . . . , 0 · ϑ = f (mvi ) · ϑi1 , . . . , f (mvi ) · ϑik
= f (mvi · ϑi1 ), . . . , f (mvi · ϑik ) = f ∗ (vi · ϑ) .
Quindi (per additività) f ∗ ∈ HomR (V, V ).
(4.27) Teorema (Wedderburn). Sia R un anello (MinC) semplice.
Allora R ' Matn (D) per qualche corpo D.
Dimostrazione. Si osservi anzitutto che R è anche semisemplice. Sia M = Re
un ideale minimale di R (4.13(a)) e sia Rl l’anello degli endomorfismi di M delle
moltiplicazioni a sinistra per elementi di R (cioè delle applicazioni rl : m 7→ rm,
per r ∈ R). Allora la mappa r 7→ rl è un epimorfismo di R su Rl il cui nucleo è
un ideale bilaterale. Poiché R è semplice, abbiamo un isomorfismo
R ' Rl .
Per il teorema (4.22), R è somma delle sue componenti omogenee. D’altra parte,
poiché queste sono ideali bilateri ed R è semplice, R è deve essere omogeneo,
cioè somma di ideali sinistri minimali isomorfi tra loro. Segue che
RR
' M ⊕ . . . ⊕ M,
{z
}
|
l-volte
ove l è univocamente determinato da R. Poiché (R, R R) ha la (DCP) (4.25), per
(4.26) anche (R,M) ha la (DCP), sicché, posto D = HomR (M, M ),
Rl = HomD (M, M ) .
Per il lemma (4.23) di Shur, sappiamo che D è un corpo. Osserviamo che possiamo considerare M come uno “spazio vettoriale” sul corpo D. Più precisamente,
è possibile ripercorrere alcuni passi dell’algebra lineare senza ricorrere alla commutatività del prodotto, parlando cosı̀ di spazi vettoriali su corpi (skewfields). Si
veda [WA, p. 61] per maggiori dettagli. Cosı̀, in particolare, se M ha dimensione
finita n su D, allora HomD (M, M ) ' Matn (D) [WA, p. 70]. Ora, supponiamo
per assurdo che dimD M = ∞. Allora esiste una successione { mi }i∈N di elementi di M tali che, per ogni k ∈ N, l’insieme { m1 , . . . , mk } sia linearmente
indipendente su D. Poniamo allora, per ogni k,
Ik = { r ∈ R | rm1 = . . . = rmk = 0 } .
78
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Teoria delle rappresentazioni
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Allora Ik sono ideali sinistri di R e si ha
I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ . . .
Osserviamo che le inclusioni sono proprie. Infatti possiamo completare l’insieme
degli mi a una base di M , e assegnare un’applicazione lineare di M assegnando
arbitrariamente le immagini della base. In particolare troviamo sempre applicazioni che mandano m1 , . . . , mk in 0, ma mk+1 in un elemento non nullo. Dato
che HomD (M, M ) = Rl , troviamo sempre elementi r in Ik r Ik+1 . Abbiamo
trovato quindi un insieme di ideali che non soddisfa (MinC), contraddizione.
79
Indice analitico
B
B k (G, M ), 66
0-omotopo
Bi , 75
complesso di catene, 25
morfismo di complessi di catene, Bk (A, M ), 63
25
C
b , 48
C op , 17
e , 49
c.d.c., vedi complesso di catene
∗
, 15
∗,
Categoria, 6
op
, 17
additiva, 16
funtore, 7
A
morfismi di, 6
oggetti di, 6
Ah i, 8
opposta, 17
A-modulo, 3
piccola, 6
complesso di catene di, 22
cd G, 52
Aciclico
Centro
complesso di catene, 27
di un’algebra, 2
Additiva
Circuito, 58
categoria, 16
coind A
B N , 49
Additivo
Coinduzione
funtore, 17
di un modulo su una sopra-algebra,
Albero, 58
49
Alf X, 53
Coker, 11
Alfabeto
Combinatorico
su un insieme X, 53
grafo, 55
Algebra
Complesso
centro di, 2
associato a un grafo, 59
dei quaternioni, 3
Complesso di catene, 22
gruppale R[G], 3
0-omotopo, 25
aciclico, 27
modulo su, 3
di A-moduli, 22
omomorfismo di, 2
omomorfismo di, 22
su un anello, 2
omotopicamente equivalente a, 30
Anello
sequenza esatta corta di, 22
radicale di, 70
Componente
semisemplice, 70
di Wedderburn, 75
AhXi, 4
omogenea, 75
Azione
Condizione
di minimo, 68
di un gruppo su un grafo, 55
Connesso
senza inversione di spigoli, 55
grafo, 56
transitiva, 56
Conucleo, 8, 11
Coomologia
80
Indice analitico
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connesso, 56
loop, 58
sentiero di, 56
sottografo, 58
Gruppo
che agisce su un grafo, 55
libero su X, 53
di un gruppo, 41
Coomologica
dimensione di un gruppo, 52
D
C
δ−k
, 31
(DCP), 76
Derivazioni, 67
principali, 67
Dimensione
coomologica di un gruppo, 52
proiettiva, 52
Doppio centralizzante
proprietà del, 76
H
H k (G, M ), 41
Hk (M· , α· ), 22
Hk (φ· ), 22
Hamilton
algebra di, 3
HomA (C· , M ), 31
HomA (M, N ), 3
HomA (M, ), 16
HomA ( , M ), 16
E
E(Γ), 59
Equivalenza
omotopica, 30
di sequenze esatte corte, 10
Esatta
sequenza, 11
sequenza corta, 9
Esatto
funtore, 17
ExtkA (B, M ), 33
I
Ideale
minimale, 71
nil, 68
nilpotente, 68
Idempotente
sistema completo di, 73
indA
B M , 48
indG
H Z, 47
Induzione
di un modulo su una sopra-algebra,
48
Iniettivo
modulo, 18
Insieme
parzialmente ordinato, 20
Inversione
di spigoli, 55
Irr R, 75
F
F (X), 53
F(Gk , M ), 65
φ· ∼ ψ· , 25
Forget, 8
Funtore, 7
additivo, 17
controvariante, 7
covariante, 7
esatto, 17
esatto a destra, 17, 18
esatto a sinistra, 17, 18
G
K
Grafo, 55
circuito, 58
combinatorico, 55
complesso associato, 59
k-cobordi, 66
k-cocicli, 66
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L
O
Lemma
del serpente, 11
di Zorn, 20
Lettere
di un alfabeto, 53
Libero
gruppo, 53
modulo, 4
Loop, 58
ob(C), 6
Oggetti
di una categoria, 6
Omogenea
componente, 75
Omologia, 22
di un complesso di catene, 22
Omomorfismo
conucleo di, 8, 11
di A-moduli, 3
di algebre, 2
di complessi di catene, 22
nucleo di, 8
omotopicamente equivalente, 25
Omotopicamente equivalente
complesso di catene, 30
omomorfismo, 25
Opposta
categoria, 17
M
MJ0 K, 27
M ⊗A X, 42
m ⊕ x, 44
(MinC), 68
Minimale
ideale, 71
Modulo
completamente riducibile, 71
di omologia, 22
iniettivo, 18
irriducibile, 71
libero su un insieme, 4
omomorfismo di, 3
proiettivo, 18
su un’algebra, 3
zoccolo di, 71
morC (A, B), 6
Morfismi
di una categoria, 6
Morfismo
0-omotopo, 25
P
Par X, 53
Parole
su un alfabeto Alf X, 53
Parzialmente ordinato
insieme, 20
path(x, y), 56
pdim M , 52
Poset, 20
Presentazione
di un gruppo, 54
Prodotto
tensoriale, 42
Proiettiva
dimensione, 52
Proiettivo
modulo, 18
risoluzione, 27
rivestimento, 27
Proprietà
del doppio centralizzante, 76
Proprietà universale
del prodotto tensoriale, 42
N
Nil
ideale, 68
Nilpotente
elemento, 68
ideale, 68
Nucleo, 8
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Q
Quaternioni
algebra dei, 3
R
Rl , 76
R-algebra, 2
R[G], 3
rad R, 70
Radicale
di un anello, 70
Regolare
azione, 56
Relatore
di un gruppo, 54
Relazione
d’ordine parziale, 20
d’ordine totale, 20
res A
B N , 48
Restrizione
di un modulo su una sotto-algebra,
48
Ridotto
sentiero, 56
Risoluzione
proiettiva, 27
Rivestimento
proiettivo, 27
esatta corta, 9
di complessi di catene, 22
equivalente a, 10
spezzante, 10
Serpente
lemma del, 11
Simboli
di un alfabeto, 53
Sistema completo
di idempotenti ortogonali, 73
Socle M , 71
Sottografo, 58
Spezzante
sequenza esatta corta, 10
Spigoli
di un grafo, 55
T
Tensoriale
prodotto, 42
Teorema
di paragone, 28
Transitiva
semplicemente, 56
V
V (Γ), 59
Vertici
di un grafo, 55
S
s.e., vedi sequenza esatta
s.e.c., vedi sequenza esatta corta
Semisemplice
annello (MinC), 70
Semplicemente
transitiva, 56
Sentiero
di un grafo, 56
ridotto, 56
Sequenza, 9, 11
esatta, 11
W
Wedderburn
componente di, 75
Z
Z k (G, M ), 66
Z(A), 2
Zoccolo
di un modulo, 71
Zorn
lemma, 20
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Riferimenti bibliografici
marcocentin.altervista.org
Riferimenti bibliografici
[ML1] S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician
[ML2] S. Mac Lane, Homology
[CR] C. W. Curtis, I. Reiner, Representation Theory of Finite Goups and
Associative Algebras
[CR1] C. W. Curtis, I. Reiner, Methods of Representation Theory with
Applications to Finite Groups and Orders - vol. 1
[RT] J.J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra
[RB] D. Robinson, A Course in the Theory of Groups
[SE] J-P Serre, Trees
[WA] B.L. Waerden, Algebra: Volume I (7th ed)
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